บทที่ 9 การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด
หน้าพิมพ์ 263–294 · PDF 305–336
หน้า PDF 305 · หน้าพิมพ์ 263 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 263
บทที่ 9 การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด
วัตถุประสงค์การเรียนรู้
เมื่อจบบทนี้ ผู้อ่านควรสามารถ
1. แปลงปัญหาการลงทุนให้อยู่ในรูป decision variables, objective function, constraints และ
data inputs
2. จำแนก convex optimization, quadratic programming และปัญหาที่ไม่เป็น convex ซึ่งพบ
บ่อยในการบริหารพอร์ต
3. สร้าง Minimum-Variance และ Target-Return Portfolio ภายใต้ข้อจำกัดจริง
4. ใช้เงื่อนไข Karush–Kuhn–Tucker เพื่ออธิบาย optimality และ shadow prices
5. สร้าง Maximum-Sharpe Portfolio ภาย ใต้ ข้อ จำกัด โดย ไม่ ใช้ สูตร tangency แบบ
unconstrained อย่างผิดเงื่อนไข
6. อธิบาย Maximum Diversification, Marginal Risk Contribution, Component Risk
Contribution และ Risk Parity
7. ใส่ข้อจำกัดด้านน้ำหนัก กลุ่มอุตสาหกรรม leverage turnover liquidity และ transaction costs
ลงใน optimizer
8. วิเคราะห์ estimation risk, covariance shrinkage, conditioning และความไม่ เสถียรของน้ำ
หนัก
9. อธิบายหลักของ Black–Litterman และ robust optimization ในฐานะเครื่องมือจัดการ input
uncertainty
10. ตรวจ feasibility, solver status, KKT residuals และ numerical tolerances ก่อนนำคำตอบ
ไปใช้
11. ออกแบบ rolling out-of-sample experiment ที่ เปรียบเทียบ optimizer กับ benchmark
อย่างเป็นธรรม
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 306 · หน้าพิมพ์ 264 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 264
9.1 บทนำ: จากทฤษฎีพอร์ตสู่การตัดสินใจเชิงคำนวณ
บทที่ 6 สร้างคณิตศาสตร์ของผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ต บทที่ 7 พัฒนา minimum-variance frontier
และ efficient frontier ส่วนบทที่ 8 เพิ่มสินทรัพย์ปราศจากความเสี่ยงและ tangency portfolio
บทนี้เปลี่ยนจากคำถามว่า “พอร์ตที่มีประสิทธิภาพมีสมบัติอย่างไร” ไปสู่คำถามว่า “เมื่อมีข้อจำกัดจริง เราจะ
คำนวณน้ำหนักที่นำไปใช้ได้อย่างไร”
ให้สัญลักษณ์พื้นฐานของปัญหาเป็น
w = (𝑤1 , … , 𝑤𝑛 )T , 𝜇 = (𝜇1 , … , 𝜇𝑛 )T , Σ = Cov(R)
จึงมีผลตอบแทนคาดหมายและความแปรปรวนของพอร์ต
𝜇𝑝 = wT 𝜇, 𝜎𝑝2 = wT Σw
̂ เข้า solver แต่ เป็นกระบวนการตัดสิน ใจที่ เชื่อม
ในทางปฏิบัติ การหาค่า w∗ ไม่ใช่ เพียงการส่ง 𝜇̂ และ Σ
ข้อมูล การประมาณค่า วัตถุประสงค์ ข้อจำกัด ต้นทุน และการตรวจสอบนอกตัวอย่างเข้าด้วยกัน ความผิดพลาด
จึงเกิดได้อย่างน้อยสามระดับ ได้แก่ input risk จากค่าประมาณที่คลาดเคลื่อน model risk จาก objective หรือ
constraints ที่ไม่ตรงกับงานจริง และ implementation risk จากต้นทุน สภาพคล่อง และข้อจำกัดในการส่งคำ
สั่งซื้อขาย
ทุกพจน์ใน objective ต้องใช้หน่วยและช่วงเวลาเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ถ้า 𝜇 เป็นผลตอบแทนคาดหมายรายปี
Σ ก็ควรเป็น covariance รายปี และ transaction-cost term ที่นำมาหักต้องถูกแปลงให้อยู่ในหน่วยผลตอบแทน
ที่สอดคล้องกัน
บทนิยาม 9.1
ปัญหาการหาพอร์ตที่เหมาะสมที่สุดคือการเลือกเวกเตอร์น้ำหนัก w เพื่อทำให้ objective function ดีที่สุด
ภายใต้ feasible set ℱ
min 𝑓(w) หรือ max 𝑔(w)
w∈ℱ w∈ℱ
คำว่า “เหมาะสมที่สุด” จึง มี ความหมายเฉพาะเมื่อ objective, inputs และ constraints ถูก ระบุ อย่าง
ครบถ้วน
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 307 · หน้าพิมพ์ 265 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 265
ข้อมูล ประมาณค่า Objective Solver
Prices / Returns / Costs ̂
𝜇,̂ Σ + Constraints + Optimality
Validation Implementation Candidate Portfolio
Stress / Realized / OOS Trades / Costs / Liquidity w∗
รูปที่ 9.1: วงจร Portfolio Optimization ตั้งแต่ข้อมูล การประมาณค่า การสร้างพอร์ต การนำไปใช้ และการตรวจ
สอบนอกตัวอย่าง
ประเด็นที่ต้องระวัง
Solver สามารถหาคำตอบของปัญหาที่กำหนดได้อย่างแม่นยำ แต่ไม่สามารถแก้ปัญหา input ที่ไม่เหมาะ
สม objective ที่ไม่ตรงกับเป้าหมาย หรือ constraints ที่ไม่สะท้อนการซื้อขายจริงได้
9.2 โครงสร้างของ Portfolio Optimization Problem
ปัญหาหนึ่งควรถูกแยกเป็นสี่องค์ประกอบ
1. Decision variables เช่น น้ำหนัก 𝑤𝑖 หรือ trade vector Δw
2. Objective function เช่น variance, utility, tracking error, transaction cost หรือ risk
concentration
3. Constraints เช่น budget, long-only, position limits, sector limits, leverage, turnover และ
liquidity
̂ , benchmark weights, current holdings และ cost estimates
4. Inputs เช่น 𝜇̂ , Σ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 308 · หน้าพิมพ์ 266 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 266
9.2.1 Convexity และเหตุใดจึงสำคัญ
บทนิยาม 9.2
เซต ℱ เป็น convex set ถ้าสำหรับ w(1) , w(2) ∈ ℱ และ 𝜃 ∈ [0, 1]
𝜃w(1) + (1 − 𝜃)w(2) ∈ ℱ
ฟังก์ชัน 𝑓 เป็น convex ถ้า
𝑓(𝜃w(1) + (1 − 𝜃)w(2) ) ≤ 𝜃𝑓(w(1) ) + (1 − 𝜃)𝑓(w(2) )
ถ้า objective เป็น convex และ feasible set เป็น convex จุดต่ำสุดเฉพาะที่ใด ๆ ที่มีอยู่จะเป็นจุดต่ำสุด
ทั่วทั้งเซต นี่คือเหตุผลสำคัญที่ปัญหา minimum variance พร้อมข้อจำกัดเชิงเส้นได้รับความนิยม เพราะสามารถ
ตรวจ optimality ได้อย่างเป็นระบบและไม่ต้องกังวลกับ local minima หลายจุดแบบปัญหา non-convex
ทฤษฎีบท 9.1
ถ้า Σ ⪰ 0 แล้ว
𝑓(w) = wT Σw
เป็น convex function
พิสูจน์. เพราะ Σ symmetric
∇𝑓(w) = 2Σw
และ
∇2 𝑓(w) = 2Σ
เมื่อ Σ ⪰ 0 Hessian เป็น positive semidefinite จึงได้ว่า 𝑓 เป็น convex
ถ้า Σ ≻ 0 ฟังก์ชันเป็น strictly convex ดังนั้นถ้า optimum มีอยู่บน convex feasible set คำตอบจะมี
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 309 · หน้าพิมพ์ 267 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 267
เอกลักษณ์ สำหรับ long-only fully invested portfolio feasible set เป็น simplex ที่ปิดและมีขอบเขต จึงรับ
ประกันการมี minimum เมื่อ objective ต่อเนื่อง ส่วนปัญหาที่มี leverage หรือ short selling แบบไม่มีขอบเขต
ต้องตรวจ existence และ boundedness แยกต่างหาก
9.3 Minimum-Variance Portfolio ภายใต้ข้อจำกัด
ปัญหา long-only minimum variance คือ
Long-Only Minimum Variance
1 T
min w Σw
w 2
s.t. 1T w = 1
w≥0
ตัวคูณ 1/2 ไม่เปลี่ยนคำตอบ แต่ทำให้ gradient เท่ากับ Σw
ถ้าไม่มี long-only constraint และ Σ ≻ 0 จะกลับไปสู่คำตอบ GMV ในบทที่ 7
−1
Σ 1
wGMV =
1T Σ−1 1
แต่เมื่อมี inequalities สูตรปิดรูปนี้อาจไม่ใช่ feasible solution หากน้ำหนักบางตัวติดลบหรือเกิน position
limits ต้อง แก้ constrained problem ใหม่ จุด สำคัญ คือ “ข้อ จำกัด” ไม่ ได้ เป็น ขั้น ตอน แก้ไข น้ำ หนัก หลัง
optimization แต่เป็นส่วนหนึ่งของนิยามปัญหาตั้งแต่ต้น การตัดน้ำหนักติดลบให้เป็นศูนย์แล้ว normalize ใหม่
โดยไม่ re-optimize โดยทั่วไปไม่ให้คำตอบ minimum variance ภายใต้ข้อจำกัดใหม่
9.4 KKT Conditions และความหมายของ Active Constraints
สำหรับ long-only minimum variance กำหนด Lagrangian
1
ℒ = wT Σw − 𝜆(1T w − 1) − 𝜈 T w
2
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 310 · หน้าพิมพ์ 268 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 268
โดย
𝜈≥0
เงื่อนไข KKT คือ
Σw − 𝜆1 − 𝜈 = 0, 1T w = 1,
w ≥ 0, 𝜈 ≥ 0, 𝜈 𝑖 𝑤𝑖 = 0 (𝑖 = 1, … , 𝑛)
โดยสมการแรกคือ stationarity สมการที่สองคือ primal feasibility เงื่อนไข 𝜈 ≥ 0 คือ dual feasibility และ
𝜈𝑖 𝑤𝑖 = 0 คือ complementary slackness
บทนิยาม 9.3
ถ้า 𝑤𝑖 > 0 complementary slackness บังคับให้
𝜈𝑖 = 0
ถ้า 𝑤𝑖 = 0 constraint ของสินทรัพย์นั้นอาจ active และ 𝜈𝑖 สามารถเป็นบวกได้
การเปลี่ยน active set เมื่อ parameters หรือ target return เปลี่ยนเป็นสาเหตุหนึ่งที่ทำให้ constrained
frontier มี corner portfolios
ตัวคูณ Lagrange และ KKT multipliers ยังมีความหมายเชิงเศรษฐศาสตร์ในฐานะ shadow prices กล่าวคือ
บอกการเปลี่ยนแปลงของค่าที่เหมาะสมที่สุดโดยประมาณเมื่อผ่อนหรือทำให้ constraint เข้มขึ้นเล็กน้อย อย่างไร
ก็ดี เครื่องหมายของ shadow price ขึ้นกับรูปที่ใช้เขียน constraint และการตีความเชิงอนุพันธ์ใช้ได้ภายในช่วงที่
active set ไม่เปลี่ยน
ข้อสังเกต
ภายใต้ convexity และ constraint qualification ที่ เหมาะสม KKT conditions เป็น เงื่อนไขที่ ใช้ ระบุ
global optimum ได้ ไม่ใช่เพียงเงื่อนไขอันดับหนึ่งของ local optimum
9.5 Target-Return Portfolio และ Constrained Efficient Frontier
ให้ target return เท่ากับ 𝜇0
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 311 · หน้าพิมพ์ 269 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 269
Target-Return Minimum Variance
1 T
min w Σw
w 2
s.t. 1T w = 1
𝜇T w ≥ 𝜇 0
ℓ𝑖 ≤ 𝑤𝑖 ≤ 𝑢𝑖
รูป แบบ 𝜇T w ≥ 𝜇0 ควรตีความว่า เป็น minimum required return ถ้า 𝜇0 สูง กว่า ผลตอบแทนของ
constrained GMV portfolio และปัญหาเป็น convex ตามเงื่อนไขมาตรฐาน ข้อจำกัดผลตอบแทนจะ bind ที่คำ
ตอบ จึงได้ 𝜇T w = 𝜇0 แต่ถ้า 𝜇0 ต่ำกว่าผลตอบแทนของ GMV constraint นี้จะไม่ active และ optimizer
จะคืน GMV portfolio เดิม
ดัง นั้น การสร้าง constrained efficient frontier สามารถทำได้ โดยแก้ ปัญหาซ้ำ บนกริด ของ 𝜇0 ที่ เริ่ม จาก
ผลตอบแทนของ constrained GMV ขึ้นไป หรือใช้ equality 𝜇T w = 𝜇0 เมื่อประสงค์ให้พอร์ตมี expected
return เท่ากับ target โดยตรง
ทฤษฎีบท 9.2
ถ้า
ℱ2 ⊆ ℱ1
แล้วสำหรับ target return เดียวกัน
min wT Σw ≥ min wT Σw
w∈ℱ2 w∈ℱ1
เมื่อทั้งสองปัญหามี feasible solution
ผลนี้อธิบายว่า constraints ทำให้ in-sample opportunity set แคบลง แต่ไม่ได้หมายความว่า constraints
ไม่มี ประโยชน์ เพราะ constraints สามารถลด concentration, leverage, turnover และ estimation-error
amplification
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 312 · หน้าพิมพ์ 270 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 270
9.5.1 Feasibility ก่อน Optimization
สำหรับ long-only fully invested portfolio
w≥0 1T w = 1
จะมี
min 𝜇𝑖 ≤ 𝜇T w ≤ max 𝜇𝑖
𝑖 𝑖
ดังนั้น target return ที่สูงกว่า max𝑖 𝜇𝑖 เป็น infeasible ทันที
เมื่อมี upper bounds หรือ group constraints feasible return interval อาจแคบกว่านี้ วิธีที่ทั่วไปกว่าและ
ตรวจสอบได้คือคำนวณ
min = min 𝜇 w,
𝜇ℱ max = max 𝜇 w
T
𝜇ℱ T
w∈ℱ w∈ℱ
ก่อนสร้าง target grid ถ้า ℱ นิยามด้วยข้อ จำกัด เชิง เส้น ปัญหาสองข้อ นี้ เป็น linear programs และช่วยแยก
“target ที่เป็นไปไม่ได้” ออกจาก “solver ที่แก้ปัญหาไม่สำเร็จ” ได้อย่างชัดเจน
ประเด็นที่ต้องระวัง
สถานะ “infeasible” ไม่ได้หมายความว่า solver ล้มเหลวเสมอไป แต่อาจหมายถึงข้อกำหนดของผู้ใช้ขัด
กันจริง เช่น target return สูงเกินไปพร้อมกับ position caps ที่เข้มเกินไป
9.6 Maximum-Sharpe Portfolio ภายใต้ข้อจำกัด
เมื่อมี risk-free rate 𝑅𝑓 และ w แทนน้ำหนักของ risky assets ที่ fully invested นิยาม Sharpe ratio สำหรับ
พอร์ตที่มี 𝜎𝑝 > 0 เป็น
𝜇T w − 𝑅 𝑓
𝑆(w) = √
w T Σw
ตัวเศษต้องใช้ผลตอบแทนและ 𝑅𝑓 ที่มี horizon และ convention เดียวกัน เช่น nominal ต่อปีทั้งคู่
ในกรณี unconstrained บทที่ 8 ให้ tangency direction
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 313 · หน้าพิมพ์ 271 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 271
w𝑇 ∝ Σ−1 (𝜇 − 𝑅𝑓 1)
แต่เมื่อมี constraints ต้องแก้
max 𝑆(w)
w∈ℱ
ใหม่
ประเด็นที่ต้องระวัง
Sharpe ratio เป็น fractional objective จึงไม่ใช่ quadratic objective โดยตรง การใส่ Sharpe ratio
เข้า quadratic-programming solver โดยไม่ reformulate เป็นข้อผิดพลาดเชิงแบบจำลอง
แนวทางเชิงคำนวณที่ใช้ได้ขึ้นกับข้อจำกัด เช่น nonlinear optimization หรือการแก้ target excess-return
minimum-variance problems หลายระดับ แล้ว เลือกจุด ที่ มี Sharpe ratio สูง ที่สุด วิธี หลัง มี ข้อดี เชิง การสอน
เพราะสามารถตรวจ feasibility และ variance ของแต่ละจุดบน constrained frontier ได้โดยตรง
ถ้า expected excess return ของทุกพอร์ต feasible ไม่เป็นบวก ค่า maximum Sharpe อาจเป็นศูนย์หรือ
ติดลบ และแนวคิด “เส้น สัมผัส จาก 𝑅𝑓 ” ต้องตีความด้วยความระมัดระวัง ไม่ ควรบังคับ ใช้ สูตร tangency โดย
สมมติว่าพอร์ตที่มี Sharpe ratio บวกต้องมีอยู่เสมอ
9.7 Maximum Diversification Portfolio
ให้
𝜎 = (𝜎1 , … , 𝜎𝑛 )T
Diversification Ratio นิยามเป็น
wT 𝜎
𝐷𝑅(w) = √
wT Σw
Maximum Diversification Portfolio แก้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 314 · หน้าพิมพ์ 272 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 272
max 𝐷𝑅(w)
w∈ℱ
ข้อสังเกต
สำหรับ long-only fully invested portfolio ตัวเศษ wT 𝜎 คือ weighted average ของ standalone
volatilities ส่วนตัวส่วนคือ volatility หลังรวม covariance จึงวัดประโยชน์จากโครงสร้างความสัมพันธ์
มากกว่า จำนวน สินทรัพย์ เพียง อย่าง เดียว ถ้า สินทรัพย์ เคลื่อนไหว สัมพันธ์ กัน สมบูรณ์ ใน ทิศทาง เดียว
Diversification Ratio จะไม่ สร้างประโยชน์ จาก correlation แต่ เมื่อ correlation ต่ำ ลง อัตราส่วนนี้
สามารถสูงกว่า 1 ได้
ภายใต้ long-only และ fully invested สามารถใช้ numerical optimization หรือ reformulation ที่
เหมาะสมเพื่อ แก้ ปัญหา โดยต้องตรวจ normalization และ constraints ของ formulation ที่ ใช้ หากอนุญาต
short selling ตัวเศษอาจไม่ใช่ weighted average ที่มีความหมายเดิม จึงต้องระบุ domain และการตีความของ
Diversification Ratio ให้ชัดเจน
งานเชิง ประจักษ์ ด้าน risk models และ diversification แสดงการใช้ minimum variance, maximum
diversification และ risk parity กับ covariance estimators หลายรูปแบบ พร้อม upper bounds เพื่อควบคุม
concentration
9.8 Risk Contribution และ Risk Parity
portfolio volatility คือ
√
𝜎𝑝 = wT Σw
สำหรับ 𝜎𝑝 > 0 Marginal Risk Contribution ของสินทรัพย์ 𝑖 คือ
𝜕𝜎𝑝 (Σw)𝑖
𝑀 𝑅𝐶𝑖 = =
𝜕𝑤𝑖 𝜎𝑝
Component Risk Contribution คือ
𝑤𝑖 (Σw)𝑖
𝑅𝐶𝑖 = 𝑤𝑖 𝑀 𝑅𝐶𝑖 =
𝜎𝑝
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 315 · หน้าพิมพ์ 273 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 273
จาก Euler’s theorem
𝑛
∑ 𝑅𝐶𝑖 = 𝜎𝑝
𝑖=1
กำหนด percentage risk contribution
𝑅𝐶𝑖
𝑃 𝑅𝐶𝑖 =
𝜎𝑝
จึงมี
𝑛
∑ 𝑃 𝑅𝐶𝑖 = 1
𝑖=1
บทนิยาม 9.4
Equal Risk Contribution Portfolio หรือ risk-parity portfolio ในรูปพื้นฐานต้องการ
𝜎𝑝
𝑅𝐶𝑖 =
𝑛
สำหรับสินทรัพย์ที่อยู่ในพอร์ต
กรณีมี risk budgets 𝑏𝑖 > 0 และ ∑𝑖 𝑏𝑖 = 1 จะกำหนดเป้าหมาย
𝑅𝐶𝑖 = 𝑏𝑖 𝜎𝑝
หรือในรูปที่ไม่ต้องหารด้วย 𝜎𝑝
𝑤𝑖 (Σw)𝑖 = 𝑏𝑖 wT Σw
แม้ ∑𝑖 𝑅𝐶𝑖 = 𝜎𝑝 เสมอตาม Euler decomposition แต่ 𝑅𝐶𝑖 แต่ละตัวไม่จำเป็นต้องเป็นบวก ในพอร์ต
ที่อนุญาต short selling หรือมีสินทรัพย์ที่ทำหน้าที่ hedge อาจเกิด 𝑀 𝑅𝐶𝑖 < 0 และ 𝑅𝐶𝑖 < 0 ได้ ดัง
นั้นการสร้าง risk-budgeting portfolio แบบมาตรฐานมักกำหนด long-only และ positive risk budgets เพื่อ
ให้การตีความ “ส่วนแบ่งความเสี่ยง” ตรงไปตรงมา
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 316 · หน้าพิมพ์ 274 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 274
ประเด็นที่ต้องระวัง
Equal weight ไม่ เท่ากับ equal risk contribution โดยทั่วไป และ inverse-volatility weights จะ
เท่ากับ risk parity เฉพาะภายใต้โครงสร้าง covariance บางกรณี ไม่ใช่เอกลักษณ์ทั่วไป
9.9 ข้อจำกัดที่พบในการบริหารพอร์ตจริง
9.9.1 Position Bounds
ℓ𝑖 ≤ 𝑤 𝑖 ≤ 𝑢 𝑖
upper bounds ช่วยลด concentration และลดความไวของ optimizer ต่อ input errors
9.9.2 Group และ Sector Limits
ถ้า 𝒢𝑗 เป็นกลุ่มสินทรัพย์
𝐿 𝑗 ≤ ∑ 𝑤𝑖 ≤ 𝑈 𝑗
𝑖∈𝒢𝑗
9.9.3 Gross Exposure และ Leverage
สำหรับ long–short portfolio
‖w‖1 = ∑ |𝑤𝑖 | ≤ 𝐺max
𝑖
ใน fully invested portfolio
1T w = 1
net exposure กับ gross exposure จึงเป็นคนละแนวคิด ตัวอย่างเช่นพอร์ตที่มี long 150% และ short 50%
มี net exposure 100% แต่ gross exposure 200% การควบคุมเพียง 1T w = 1 จึงไม่เพียงพอสำหรับพอร์ต
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 317 · หน้าพิมพ์ 275 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 275
long–short
9.9.4 Tracking Error Constraint
ให้ benchmark weights เป็น w𝑏
𝑇 𝐸(w) = √(w − w𝑏 )T Σ(w − w𝑏 )
สามารถกำหนด
𝑇 𝐸(w) ≤ 𝑇 𝐸max
โดย Σ ควรเป็น covariance ที่ สอดคล้องกับ active returns และ horizon ของ mandate ถ้า พอร์ต และ
benchmark fully invested ทั้ง คู่ จะมี 1T (w − w𝑏 ) = 0 ทำให้ active risk มาจากการเบี่ยงน้ำ หนัก จาก
benchmark ไม่ใช่จากการเพิ่มหรือลดเงินสดโดยไม่ตั้งใจ
9.9.5 Turnover Constraint
ให้ wold เป็นน้ำหนักก่อน rebalance
𝑇 𝑂(w) = ∑ |𝑤𝑖 − 𝑤𝑖old |
𝑖
และกำหนด
𝑇 𝑂(w) ≤ 𝜏
ข้อสังเกต
บางสถาบันนิยาม one-way turnover เป็นครึ่งหนึ่งของผลรวม absolute trades
1
𝑇 𝑂oneway = ∑ |𝑤𝑖 − 𝑤𝑖old |
2 𝑖
จึงต้องระบุ convention ก่อนเปรียบเทียบตัวเลข turnover โดยเฉพาะเมื่อมี external cash flow เพราะ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 318 · หน้าพิมพ์ 276 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 276
เงื่อนไข “มูลค่าซื้อเท่ากับมูลค่าขาย” อาจไม่เป็นจริงในงวดนั้น
9.10 Transaction Costs และการตัดสินใจจาก Holdings เดิม
เมื่อมี current portfolio การตัดสินใจที่แท้จริงคือ trade vector
Δw = w − wold
linear transaction-cost approximation คือ
𝐶lin (Δw) = ∑ 𝑐𝑖 |Δ𝑤𝑖 |
𝑖
และแบบจำลองที่เพิ่ม market impact อาจใช้
𝐶(Δw) = ∑ [𝑐𝑖 |Δ𝑤𝑖 | + 𝑞𝑖 (Δ𝑤𝑖 )2 ]
𝑖
โดย 𝑐𝑖 ≥ 0 และ 𝑞𝑖 ≥ 0 พจน์ 𝑐𝑖 |Δ𝑤𝑖 | สามารถใช้แทนค่าธรรมเนียมและ bid–ask spread โดยประมาณ
ส่วนพจน์กำลังสองใช้เป็น local approximation ของ market impact ต้นทุนจริงอาจไม่สมมาตรระหว่างซื้อกับ
ขายและอาจไม่เป็น quadratic จึงควรประมาณค่าจากข้อมูลการซื้อขายที่เหมาะกับขนาดคำสั่ง
ปัญหา utility หลังต้นทุนสามารถเขียนเป็น
Return–Risk–Cost Optimization
𝜆
max {𝜇T w − wT Σw − 𝐶(w − wold )}
w∈ℱ 2
เมื่อ 𝜆 > 0 เป็น risk-aversion parameter และทุกพจน์ในวงเล็บถูกแปลงให้อยู่ในหน่วยผลตอบแทนของ
horizon เดียวกัน หาก Σ ⪰ 0 และ 𝐶(⋅) เป็น convex ฟังก์ชันที่ maximize ข้างต้นเป็น concave objective
จึงยังอยู่ในกรอบ convex optimization เมื่อ feasible set เป็น convex
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 319 · หน้าพิมพ์ 277 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 277
ข้อสังเกต
การมี transaction-cost penalty ทำให้ optimal target weights ขึ้นกับ current holdings ด้วย ดังนั้น
นักลงทุนสองรายที่มี expectations เหมือนกันอาจมี optimal trades ต่างกันเพราะเริ่มจาก holdings
คนละชุด
9.11 Liquidity Constraints
ถ้า มูลค่า พอร์ต เป็น 𝑉 และสินทรัพย์ 𝑖 มี Average Daily Value Traded เท่ากับ 𝐴𝐷𝑉𝑖 อาจกำหนด trade
limit
𝑉 |Δ𝑤𝑖 | ≤ 𝜅𝑖 𝐴𝐷𝑉𝑖
เมื่อ 𝜅𝑖 เป็นสัดส่วน participation ที่ยอมรับได้
หรือเขียน
𝜅𝑖 𝐴𝐷𝑉𝑖
|Δ𝑤𝑖 | ≤
𝑉
และสามารถตีความ “จำนวนวันโดยประมาณที่ต้องใช้ในการซื้อขาย” เป็น
𝑉 |Δ𝑤𝑖 |
Days𝑖 =
𝜅𝑖 𝐴𝐷𝑉𝑖
ภายใต้สมมติฐานว่า 𝐴𝐷𝑉𝑖 และ participation rate คงที่ระหว่างช่วงดำเนินการ
ประเด็นที่ต้องระวัง
Liquidity constraint ควรใช้กับ trade size ไม่ใช่เพียง target weight เพราะต้นทุนและความสามารถใน
การดำเนินการขึ้นกับขนาดการเปลี่ยน position จาก holdings เดิม
9.12 Covariance Estimation, Shrinkage และ Conditioning
sample covariance matrix คือ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 320 · หน้าพิมพ์ 278 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 278
𝑇
1
𝑆= ∑(R𝑡 − R)(
̄ R𝑡 − R)̄ T
𝑇 − 1 𝑡=1
เมื่อ 𝑛 มี ขนาดใหญ่ เทียบกับ 𝑇 เมทริกซ์ อาจประมาณได้ ไม่ เสถียร และถ้า 𝑛 ≥ 𝑇 sample covariance
จะมี rank ไม่เกิน 𝑇 − 1 จึง singular
แนวทางหนึ่งคือ covariance shrinkage
̂ 𝛿 = (1 − 𝛿)𝑆 + 𝛿𝐹
Σ
เมื่อ
0≤𝛿≤1
และ 𝐹 เป็น structured target
ทฤษฎีบท 9.3
ถ้า 𝑆 ⪰ 0, 𝐹 ⪰ 0 และ 0 ≤ 𝛿 ≤ 1 แล้ว
̂𝛿 ⪰ 0
Σ
พิสูจน์. สำหรับ x ใด ๆ
̂ 𝛿 x = (1 − 𝛿)xT 𝑆 x + 𝛿 xT 𝐹 x ≥ 0
xT Σ
แนวคิด shrinkage ใช้เพื่อลด estimation variance โดยยอมรับ bias บางส่วน และมีบทบาทสำคัญใน high-
dimensional portfolio optimization [30] ถ้า 𝐹 ≻ 0 และ 𝛿 > 0 จะได้ Σ ̂ 𝛿 ≻ 0 แม้ 𝑆 จะ singular
ซึ่ง ช่วยให้การแก้ ระบบเชิง เส้น และ inverse-based calculations มี เสถียรภาพมากขึ้น อย่างไรก็ ดี shrinkage
intensity ที่มากเกินไปอาจลบโครงสร้าง covariance ที่มีสาระ จึงควรเลือกด้วยหลักสถิติหรือ validation ไม่ใช่
เพื่อทำให้เมทริกซ์กลับด้านได้เพียงอย่างเดียว
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 321 · หน้าพิมพ์ 279 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 279
9.12.1 Condition Number
ถ้า
0 < 𝜆min (Σ) ≤ 𝜆max (Σ)
condition number แบบ spectral คือ
𝜆 (Σ)
𝜅(Σ) = max
𝜆min (Σ)
ค่า 𝜅 สูงบ่งชี้ว่า inverse-based optimizer อาจไวต่อ perturbations ถ้า Σ singular จะมี 𝜆min = 0 และ
condition number ในความหมายนี้เป็นอนันต์ จึงไม่ควรตีความ inverse โดยตรงก่อน regularization หรือการ
ลดมิติ
9.13 Estimation Risk และ Error Maximization
mean–variance optimizer มีแนวโน้มให้น้ำหนักสูงกับสินทรัพย์ที่ estimated return สูง estimated risk ต่ำ
หรือ estimated diversification benefit สูง
ถ้าค่าประมาณดังกล่าวเกิดจาก noise optimizer อาจขยาย estimation errors ไปเป็น extreme weights
𝜇̂ = 𝜇 + 𝜀𝜇
และ
̂ = Σ + ℰΣ
Σ
จึงทำให้
̂
ŵ∗ = 𝑔(𝜇,̂ Σ)
แตกต่างจาก
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 322 · หน้าพิมพ์ 280 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 280
w∗ = 𝑔(𝜇, Σ)
อย่างมากได้
Sensitivity Analysis
สำหรับ parameter 𝜃 สามารถตรวจ finite-difference sensitivity
w∗ (𝜃 + ℎ) − w∗ (𝜃 − ℎ)
2ℎ
หรือเปรียบเทียบ
‖w(1) − w(0) ‖1
‖w(1) − w(0) ‖2
และ
max |𝑤𝑖(1) − 𝑤𝑖(0) |
𝑖
ภายใต้ mean, volatility, correlation และ estimation-window perturbations
สำหรับ constrained optimizer ต้องระวังว่า w∗ (𝜃) อาจไม่ differentiable ณ จุดที่ active set เปลี่ยน
ดังนั้น finite-difference sensitivity ควรถูกตีความเป็น local diagnostic ไม่ใช่อนุพันธ์ที่มีอยู่ทุกจุด การ
รายงานทั้ง weight change, turnover และ objective deterioration มักให้ภาพความเปราะบางที่ครบ
กว่าดู gradient เพียงค่าเดียว
9.14 Black–Litterman: จาก Equilibrium สู่ Views
ปัญหาหนึ่ง ของ mean–variance optimization คือ expected returns ประมาณได้ ยาก Black–Litterman
framework เริ่มจาก equilibrium-implied returns แล้วผสมกับ views ที่มี uncertainty
ให้ market weights เป็น w𝑚 และ risk-aversion parameter เป็น 𝛿 ภายใต้ reverse-optimization
convention ของ Black–Litterman equilibrium-implied excess returns เขียนได้เป็น
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 323 · หน้าพิมพ์ 281 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 281
Π = 𝛿Σw𝑚
ให้ views อยู่ในรูป
𝑃𝜇 = 𝑞 + 𝜀
โดยในส่วนนี้ 𝜇 และ 𝑞 ต้องใช้ convention เดียวกับ Π กล่าวคือถ้า Π เป็น excess returns views ก็ควรถูก
เขียนบน excess-return scale เช่นกัน
โดย
𝜀 ∼ (0, Ω)
ภายใต้ Gaussian formulation ที่ใช้กันทั่วไป posterior mean สามารถเขียนเป็น
Black–Litterman Posterior Mean
−1
𝜇BL = [(𝜏 Σ)−1 + 𝑃 T Ω−1 𝑃 ] [(𝜏 Σ)−1 Π + 𝑃 T Ω−1 𝑞]
เมื่อ 𝜏 > 0 ควบคุม uncertainty ของ prior mean และ Ω เป็น covariance ของ view errors สูตรนี้
สมมติ Gaussian prior/view structure และเมทริกซ์ ที่ เกี่ยวข้องสามารถแก้ ระบบเชิง เส้น ได้ ในการคำนวณจริง
ควรใช้ linear solver หรือ factorization ที่เสถียรกว่าการสร้าง matrix inverse แบบตรง ๆ
𝜇BL เป็น posterior mean ไม่ใช่ realized return ที่ รับ ประกัน และ ตำรา หรือ ซอฟต์แวร์ บาง ชุด ใช้
convention ต่างกันในการนำ posterior uncertainty ไปปรับ covariance ที่ใช้ใน optimization จึงต้องบันทึก
ให้ชัดว่า optimizer ใช้ Σ เดิมหรือ posterior-adjusted covariance
ประเด็นที่ต้องระวัง
Black–Litterman ไม่ ได้ กำจัด estimation risk แต่ ทำให้ assumptions เกี่ยวกับ prior, views และ
confidence ถูกเขียนอย่างชัดเจนขึ้น ผลลัพธ์ยังขึ้นกับ 𝛿 , 𝜏 , 𝑃 , 𝑞 และ Ω
9.15 Robust Optimization
แทนที่จะถือว่า 𝜇 และ Σ ทราบแน่นอน robust optimization กำหนด uncertainty set
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 324 · หน้าพิมพ์ 282 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 282
𝜇 ∈ 𝒰𝜇
และอาจมี
Σ ∈ 𝒰Σ
ตัวอย่าง robust mean–variance problem คือ
𝜆
max min {𝜇T w − wT Σw}
w∈ℱ 𝜇∈𝒰𝜇 2
แนวคิด คือ เลือกพอร์ต ที่ ยัง ยอมรับ ได้ เมื่อ inputs เคลื่อนภายใน uncertainty set แทนการ optimize กับ
point estimates เพียงชุดเดียว ตัวอย่างที่เห็นกลไกได้ชัดคือ ellipsoidal mean-uncertainty set
𝒰𝜇 = {𝜇̂ + 𝑢 ∶ 𝑢T 𝑄−1 𝑢 ≤ 𝜌2 } , 𝑄≻0
ซึ่งให้ worst-case expected return
min 𝜇T w = 𝜇̂ T w − 𝜌√wT 𝑄w
𝜇∈𝒰𝜇
จึง เห็น ว่า robustness ทำหน้าที่ คล้าย penalty ต่อ exposure ที่ ไวต่อ ความไม่ แน่นอนของ expected-return
estimates โดยตรง
ข้อสังเกต
Robustness ไม่ได้หมายถึงการทำให้พอร์ต conservative มากที่สุด แต่หมายถึงการกำหนด uncertainty
อย่างสมเหตุผลแล้วหาคำตอบที่ไม่พึ่งค่าประมาณเฉพาะจุดมากเกินไป
9.16 Solver Validation และ Numerical Diagnostics
การได้เวกเตอร์น้ำหนักจาก software ไม่เพียงพอ ต้องตรวจคำตอบอย่างน้อยดังนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 325 · หน้าพิมพ์ 283 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 283
ตารางที่ 9.1: รายการตรวจสอบคำตอบของ Portfolio Optimizer
รายการ สิ่งที่ตรวจ การตีความ/เกณฑ์ตรวจสอบ
Solver status status และ termination reason ยอมรับเฉพาะสถานะที่เหมาะกับ solver; ไม่ใช้
weights โดยอัตโนมัติ
Primal feasibility budget, target, bounds, group, leverage residual/violation ต้องอยู่ภายใน tolerance
ของปัญหา
Covariance symmetry, PSD, condition number negative eigenvalue ที่มีนัยหรือ
near-singularity ต้องได้รับการวิเคราะห์/แก้ไข
Objective recompute return, variance, Sharpe, TE, costs คำนวณซ้ำจาก weights เพื่อจับ unit และ
coding errors
KKT/dual stationarity, dual feasibility, ใช้ diagnostic ที่ตรงกับ convex/non-smooth
complementarity formulation
Units/scaling 𝜇, Σ, 𝑅𝑓 , costs horizon, annualization และหน่วยต้อง
สอดคล้องกัน
Concentration max weight, HHI, group/factor exposure ต้องสอดคล้อง mandate และเหตุผลเชิง
เศรษฐศาสตร์
Turnover/liquidity ‖w − w𝑜𝑙𝑑 ‖1 , trade size, participation ต้องอยู่ใน limits และดำเนินการได้จริง
Sensitivity weights, active set, objective เมื่อ input ระบุ unexplained jumps หรือความเปราะบาง
เปลี่ยน ของคำตอบ
9.16.1 Numerical Tolerance
คอมพิวเตอร์อาจคืนค่าเช่น
𝑤𝑖 = −10−10
ในปัญหา long-only ซึ่งอาจเป็น numerical tolerance ไม่ใช่ economically meaningful short position
การตัดสินใจว่าจะปัดค่าเป็นศูนย์ต้องอาศัย solver tolerance และ verification ไม่ใช่กฎตายตัว และหลังการ
ปัดค่าต้องตรวจ budget, bounds และ objective อีกครั้ง เพราะการแก้ post-processing อาจทำให้คำตอบเดิม
ไม่ feasible หรือไม่ optimal
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 326 · หน้าพิมพ์ 284 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 284
9.17 ตัวอย่างเชิงคำนวณแบบครบวงจร
พิจารณาสินทรัพย์ 4 ชนิด
0.07
⎡ ⎤
⎢0.10⎥
𝜇=⎢ ⎥
⎢0.13⎥
⎣0.09⎦
volatility vector
0.08
⎡ ⎤
⎢0.14⎥
𝜎=⎢ ⎥
⎢0.20⎥
⎣0.11⎦
และ correlation matrix
1 0.25 0.10 0.20
⎡ ⎤
⎢0.25 1 0.45 0.30⎥
𝑃 =⎢ ⎥
⎢0.10 0.45 1 0.35⎥
⎣0.20 0.30 0.35 1 ⎦
สร้าง covariance matrix ด้วย
Σ = 𝐷 𝜎 𝑃 𝐷𝜎 , 𝐷𝜎 = diag(𝜎)
จึงได้
0.00640 0.00280 0.00160 0.00176
⎡ ⎤
⎢0.00280 0.01960 0.01260 0.00462⎥
Σ=⎢ ⎥
⎢0.00160 0.01260 0.04000 0.00770⎥
⎣0.00176 0.00462 0.00770 0.01210⎦
เมทริกซ์ นี้ เป็น positive definite สำหรับ ค่าที่ กำหนด จึง ทำให้ minimum-variance objective เป็น strictly
convex
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 327 · หน้าพิมพ์ 285 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 285
สำหรับ long-only minimum variance ผลเชิงตัวเลขจะให้น้ำหนักประมาณ
0.6394
⎡ ⎤
⎢0.0800⎥
wMV ≈ ⎢ ⎥
⎢0.0190⎥
⎣0.2616⎦
และมี
1T wMV = 1, 𝜇𝑝 ≈ 7.88%, 𝜎𝑝 ≈ 6.93%
น้ำ หนัก ทุก ตัว เป็น บวก จึง หมายความว่า long-only constraints ยัง ไม่ active ในคำตอบนี้ และ constrained
solution ตรงกับ unconstrained GMV solution สำหรับข้อมูลชุดนี้
ถ้ากำหนด target return
𝜇0 = 10%
จะได้พอร์ต long-only target-return โดยประมาณ
0.1739
⎡ ⎤
⎢0.2156⎥
w10% ≈ ⎢ ⎥
⎢0.2831⎥
⎣0.3274⎦
พร้อม
1T w10% = 1, 𝜇T w10% ≈ 10.00%, 𝜎𝑝 ≈ 9.90%
เมื่อใช้ค่าที่ไม่ปัดเศษจะได้ 𝜎𝑝 ≈ 9.8955% และน้ำหนักทั้งสี่ยังคงเป็นบวก ดังนั้น target-return constraint
เป็นตัวกำหนดตำแหน่งบน frontier แต่ long-only constraints ยังไม่ bind ตัวอย่างนี้จึงเหมาะสำหรับฝึกตรวจ
active constraints, budget identity และการคำนวณซ้ำ ทั้ง ใน spreadsheet และ numerical solver ไม่ใช่
เพียงคัดลอก weights
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 328 · หน้าพิมพ์ 286 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 286
9.18 กรณีศึกษางานวิจัยและการเชื่อมสู่การใช้งาน
งานเชิง ประจักษ์ เกี่ยวกับ quantitative portfolio construction แสดงการเปรียบเทียบ risk models และ
diversification strategies เช่น minimum variance, maximum diversification และ risk parity พร้อม
covariance shrinkage และ position upper bounds ในการทดสอบนอกตัวอย่าง
จากงานวิจัยสู่การประยุกต์: สิ่งที่ควรเรียนรู้จากงานเชิงประจักษ์
สาระสำคัญ สำหรับ ตำราไม่ใช่ การนำผลตอบแทนย้อนหลัง ของกลยุทธ์ หนึ่ง มาเป็น คำรับรองผลในอนาคต
แต่คือการแยก
risk model → optimization rule → constraints
→ out-of-sample test → robustness
ออกจากกันอย่างชัดเจน
เมื่อ เปลี่ยน covariance estimator แม้ ใช้ optimization objective เดิม น้ำ หนัก และ realized risk
สามารถเปลี่ยนได้มาก
ข้อ สรุป เชิง วิธี วิจัย คือ การเปรียบเทียบกลยุทธ์ ต้องเปลี่ยนองค์ ประกอบที ละส่วนให้ ตรวจสอบได้ เช่น ตรึง
objective แล้วเปลี่ยน covariance estimator หรือตรึง risk model แล้วเปลี่ยน constraints การเปลี่ยนหลาย
องค์ประกอบพร้อมกันทำให้ไม่สามารถระบุได้ว่าผลลัพธ์ที่ดีขึ้นหรือแย่ลงเกิดจากส่วนใดของกระบวนการ
9.19 Out-of-Sample Portfolio Optimization
กระบวนการที่เหมาะสมต้องรักษาลำดับเวลา
̂ 𝑡 ) → w∗𝑡 → 𝑅𝑝,𝑡+1
𝒟𝑡 → (𝜇𝑡̂ , Σ
โดย 𝒟𝑡 มีเฉพาะข้อมูลที่ทราบ ณ วันที่ตัดสินใจ
ถ้า rebalance ทุก ℎ งวด
w∗𝑡 = 𝑔(𝒟𝑡 )
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 329 · หน้าพิมพ์ 287 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 287
และ realized gross portfolio return คือ
gross
𝑅𝑝,𝑡+1∶𝑡+ℎ
จากข้อมูล หลัง วัน ตัดสิน ใจ หากต้นทุน ที่ เกิด ณ เวลา rebalance ถูก แปลงเป็น สัดส่วนของมูลค่า พอร์ต สามารถ
รายงานผลตอบแทนสุทธิโดยประมาณเป็น
net gross
𝑅𝑝,𝑡+1∶𝑡+ℎ = 𝑅𝑝,𝑡+1∶𝑡+ℎ − 𝐶𝑡
โดย ต้อง ใช้ cost convention เดียวกัน ทุก กลยุทธ์ และ ถ้า ใช้ holding periods ที่ ทับ ซ้อน กัน ต้อง ระวัง
dependence ของ observations เมื่อนำผลไปทดสอบเชิงสถิติ
Benchmark Ladder
ก่อนสรุปว่า optimizer เพิ่มคุณค่า ควรเปรียบเทียบอย่างน้อยกับ
1. equal weight
2. current portfolio หรือ policy portfolio
3. long-only minimum variance
4. simple inverse-volatility portfolio
5. strategy ที่ซับซ้อนขึ้นตามวัตถุประสงค์
ทุก กลยุทธ์ ต้อง ใช้ ข้อมูล ณ เวลา เดียวกัน rebalance schedule เดียวกัน และ transaction-cost
assumptions เดียวกัน
9.20 Investment Lab: จาก Spreadsheet สู่ Reproducible Optimizer
Investment Lab: Excel Solver: Constrained Portfolio Optimization
สร้าง workbook อย่างน้อย 7 ชีต
1. Prices สำหรับ adjusted prices
2. Returns สำหรับ aligned returns
̂ , 𝑅𝑓 และ constraints
3. Inputs สำหรับ 𝜇,̂ Σ
4. Optimization สำหรับ weights, return, variance, volatility และ Sharpe ratio
5. Frontier สำหรับ target-return grid
6. Trading สำหรับ current weights, trades, turnover และ costs
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 330 · หน้าพิมพ์ 288 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 288
7. Checks สำหรับ PSD, budget, bounds, target return และ sensitivity
เปรียบเทียบ minimum variance, target return และ maximum Sharpe ภายใต้ long-only และ
position caps จากนั้นเปลี่ยน estimation window แล้ววัด weight instability
Investment Lab: Python: Portfolio Optimization Validation
สร้างหรือปรับโมดูลให้มีฟังก์ชันอย่างน้อย
• check_covariance(cov)
• minimum_variance(cov, constraints)
• target_return(mu, cov, target, constraints)
• maximum_sharpe(mu, cov, rf, constraints)
• risk_contributions(weights, cov)
• risk_parity(cov, budgets)
• transaction_cost(trade, parameters)
• solver_diagnostics(result)
• rolling_optimization(...)
unit tests ควรตรวจ budget identity, PSD, target-return feasibility, KKT residuals, Euler risk
decomposition, transaction-cost sign และ absence of look-ahead
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 331 · หน้าพิมพ์ 289 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 289
9.21 ข้อจำกัดและหลักการตีความอย่างรับผิดชอบ
ตารางที่ 9.2: ความเสี่ยงของ Portfolio Optimization และแนวทางควบคุม
ความเสี่ยง ผลที่อาจเกิด แนวทางควบคุม
Mean estimation error extreme weights, error maximization shrinkage, views, bounds, robust sets
Covariance error diversification/risk contribution ไม่เสถียร shrinkage, factor risk model, stress tests
Ill-conditioning perturbation เล็กถูกขยายผ่าน inverse eigenvalue/condition diagnostics,
regularization
Objective mismatch optimum ทางคณิตศาสตร์ไม่ตรง mandate ระบุ investment objective และ loss
function ให้ชัด
Infeasible constraints ไม่มีพอร์ตที่ทำตามเงื่อนไขพร้อมกัน feasible-range check, constraint audit
Over-concentration model risk กลายเป็น position risk position/group/factor caps, concentration
metrics
Turnover/cost error gross alpha ถูกต้นทุนกิน calibrated costs, turnover control, net
test
Liquidity target trade ดำเนินการไม่ได้ตามเวลา trade-size, participation, days-to-liquidate
limits
Nonstationarity historical optimum เสื่อมเมื่อ regime เปลี่ยน rolling estimation, stress/regime
diagnostics
Look-ahead bias backtest สูงเกินจริง point-in-time data, decision clock, audit
trail
Solver/formulation คำตอบผิดชนิดหรือ residual สูง ตรวจ convexity, scaling, status, KKT/dual
misuse diagnostics
บทสรุปท้ายบท
Portfolio optimization เป็น ขั้น ตอนที่ แปลงแบบจำลองผลตอบแทนและความเสี่ยงให้ เป็นการตัดสิน ใจเชิง น้ำ
หนัก
minimum-variance problem พื้นฐานคือ
1
min wT Σw
w 2
ภายใต้ constraints ที่กำหนด
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 332 · หน้าพิมพ์ 290 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 290
เมื่อ Σ ⪰ 0 และ constraints เป็น convex ปัญหา minimum variance เป็น convex optimization
problem และ KKT conditions มีบทบาทสำคัญในการตรวจ optimality
target-return problem เพิ่ม 𝜇T w ≥ 𝜇0 และต้องตรวจว่า target อยู่ใน feasible return interval ก่อน
แก้ optimization
ขณะที่ maximum-Sharpe problem ใช้
𝜇T w − 𝑅 𝑓
√
wT Σw
และต้องเลือก formulation ให้เหมาะกับ constraints
การกระจายความเสี่ยงสามารถมองผ่าน Diversification Ratio และ risk contributions
𝑤𝑖 (Σw)𝑖
𝑅𝐶𝑖 =
𝜎𝑝
โดย
∑ 𝑅𝐶𝑖 = 𝜎𝑝
𝑖
พอร์ตที่ใช้จริงต้องเพิ่ม position limits, group limits, leverage, tracking error, turnover, transaction
costs และ liquidity constraints
̂ การ
ความท้าทายสำคัญ ไม่ ได้ อยู่ ที่ solver เพียงอย่างเดียว แต่ อยู่ ที่ estimation risk โดยเฉพาะ 𝜇̂ และ Σ
ใช้ shrinkage, Black–Litterman, robust optimization, constraints และ sensitivity analysis ช่วยลดความ
เปราะบางของคำตอบได้ แต่ไม่สามารถกำจัด model risk ทั้งหมด
การประเมิน optimizer จึงต้องใช้ rolling out-of-sample design และ benchmark ที่เหมาะสม โดยรักษา
point-in-time information และหักต้นทุนการซื้อขายอย่างสอดคล้อง
บทถัดไปจะนำพอร์ตที่ได้จาก optimization ไปสู่ปัญหาเชิงนโยบายการลงทุน ได้แก่ strategic/tactical asset
allocation และ rebalancing
คำศัพท์สำคัญ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 333 · หน้าพิมพ์ 291 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 291
• Portfolio optimization • Component risk contribution
• Decision variable • Risk parity
• Objective function • Risk budget
• Feasible set • Position limit
• Convex set • Gross exposure
• Convex function • Tracking error
• Quadratic programming • Turnover
• KKT conditions • Transaction cost
• Active constraint • Liquidity constraint
• Shadow price • Covariance shrinkage
• Minimum variance • Condition number
• Target return • Estimation risk
• Maximum Sharpe • Black–Litterman
• Diversification ratio • Robust optimization
• Maximum diversification • Solver tolerance
• Marginal risk contribution • Out-of-sample validation
แบบฝึกหัดท้ายบท
1. แยก decision variables, objective, constraints และ inputs ของ long-only minimum-variance
problem
2. พิสูจน์ว่า wT Σw เป็น convex เมื่อ Σ ⪰ 0
3. อธิบายความแตกต่างระหว่าง positive semidefinite กับ positive definite ในบริบทของ portfolio
optimization
4. เขียน KKT conditions ของ long-only minimum-variance problem
5. อธิบาย complementary slackness สำหรับสินทรัพย์ที่มี 𝑤𝑖 = 0
6. เขียน target-return minimum-variance problem ที่มี 0 ≤ 𝑤𝑖 ≤ 0.30
7. พิสูจน์ ว่า long-only fully invested expected return อยู่ ระหว่าง minimum และ maximum ของ
asset expected returns
8. สร้างตัวอย่าง target return ที่ infeasible
9. อธิบายเหตุ ใด constrained frontier ไม่ สามารถอยู่ เหนือ unconstrained opportunity set ในความ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 334 · หน้าพิมพ์ 292 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 292
หมายของ minimum variance ที่ target เดียวกัน
10. อธิบายว่าเหตุใด maximum-Sharpe problem ไม่ใช่ quadratic program โดยตรง
11. เขียน Diversification Ratio และอธิบาย numerator กับ denominator
12. หา 𝑀 𝑅𝐶𝑖 , 𝑅𝐶𝑖 และ 𝑃 𝑅𝐶𝑖 ของพอร์ตที่กำหนด
13. พิสูจน์ Euler risk decomposition
14. อธิบายความแตกต่างระหว่าง equal weight, inverse volatility และ risk parity
15. เขียน portfolio problem ที่มี sector cap 25%
16. อธิบายความแตกต่างระหว่าง net exposure กับ gross exposure
17. เขียน tracking-error constraint เทียบ benchmark
18. เปรียบเทียบ two-way turnover กับ one-way turnover conventions
19. สร้าง objective ที่รวม expected return, variance และ linear transaction cost
20. อธิบายเหตุผลที่ liquidity constraint ควรผูกกับ trade vector
21. พิสูจน์ว่า shrinkage covariance ยังคง PSD เมื่อ matrices ต้นทางเป็น PSD
22. อธิบายเหตุผลที่ sample covariance singular เมื่อ 𝑛 ≥ 𝑇 ภายใต้ข้อมูลที่ demean แล้ว
23. อธิบายผลของ condition number สูงต่อ inverse-based portfolio weights
24. ออกแบบ sensitivity test ต่อ expected returns ±50 basis points
25. อธิบายแนวคิด error maximization ของ mean–variance optimizer
26. คำนวณ equilibrium-implied returns Π = 𝛿Σw𝑚 จากข้อมูลที่กำหนด
27. อธิบายบทบาทของ 𝑃 , 𝑞 และ Ω ใน Black–Litterman
28. เขียน robust optimization problem เมื่อ expected returns อยู่ใน uncertainty set
29. ออกแบบ solver-validation checklist สำหรับ constrained portfolio
30. ออกแบบ rolling out-of-sample experiment เปรียบเทียบ equal weight, minimum variance และ
maximum Sharpe หลัง transaction costs
31. อธิบายว่าเหตุใดข้อจำกัด 𝜇T w ≥ 𝜇0 อาจไม่ bind เมื่อ 𝜇0 ต่ำกว่าผลตอบแทนของ constrained GMV
และเปรียบเทียบกับการใช้ equality
32. ยกตัวอย่างสถานการณ์ ที่ 𝑅𝐶𝑖 < 0 แล้ว อธิบายความหมายเชิง hedge และผลต่อ การตีความ risk
budget
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 335 · หน้าพิมพ์ 293 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 293
คำถามชวนคิด
1. ถ้า optimizer ให้คำตอบที่มี Sharpe ratio สูงมากแต่เปลี่ยนน้ำหนักเกือบทั้งหมดเมื่อ expected returns
เปลี่ยนเพียงเล็กน้อย ควรเชื่อคำตอบนั้นเพียงใด
2. การเพิ่ม constraints เป็นการทำลาย optimality หรือเป็นการนิยาม optimality ให้สอดคล้องกับโลกจริง
มากขึ้น
3. หาก expected returns พยากรณ์ได้ไม่ดี แต่ covariance matrix ค่อนข้างเสถียร กลยุทธ์ใดควรใช้เป็น
benchmark
4. Black–Litterman แก้ปัญหา estimation risk หรือเพียงจัดโครงสร้าง assumptions ให้ชัดขึ้น
5. เหตุใดพอร์ตที่ชนะใน sample จึงอาจแพ้ equal-weight portfolio นอก sample
6. ในยุคที่ optimization software ใช้งานง่าย ความรู้เรื่อง convexity, KKT และ numerical diagnostics
ยังจำเป็นหรือไม่
เอกสารอ้างอิงท้ายบทที่ 9
[7] Fischer Black and Robert Litterman. “Global Portfolio Optimization”. In: Financial Analysts
Journal 48.5 (1992), pp. 28–43.
[30] Olivier Ledoit and Michael Wolf. “A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional
Covariance Matrices”. In: Journal of Multivariate Analysis 88.2 (2004), pp. 365–411.
[33] Harry Markowitz. “Portfolio Selection”. In: The Journal of Finance 7.1 (1952), pp. 77–91.
DOI: 10.2307/2975974.
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 336 · หน้าพิมพ์ 294 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 9: การหาพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด 294 วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์