บทที่ 2 คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 33



บทที่ 2 คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน

    วัตถุประสงค์การเรียนรู้
    เมื่อจบบทนี้ ผู้อ่านควรสามารถ
         1. อธิบายความหมายของผลตอบแทนและแยกผลตอบแทนจากการเปลี่ยนแปลงราคา กระแสเงินสด
            และต้นทุนได้
         2. คำนวณและเชื่อมโยง simple return, log return, holding-period return และผลตอบแทน
            สะสมหลายงวดได้อย่างถูกต้อง
         3. แปลงผลตอบแทนระหว่างช่วงเวลาและแยกความแตกต่างระหว่างอัตราในนาม อัตราที่ เป็น ผล
            และผลตอบแทนที่ทำให้เป็นรายปีได้
         4. คำนวณและเปรียบเทียบ Bank Discount Yield (BDY), Holding Period Yield (HPY), Money
            Market Yield (MMY) และ Effective Annual Yield (EAY)
         5. คำนวณ Money-Weighted Return (MWR/ IRR), Modified Dietz Return และ Time-
            Weighted Return (TWR) พร้อมเลือกใช้ตามวัตถุประสงค์ได้
         6. เปรียบเทียบค่า เฉลี่ย เลขคณิต กับ ค่า เฉลี่ย เรขาคณิต และอธิบายผลของการทบต้น และ volatility
            drag ได้
         7. ปรับผลตอบแทนด้วยเงินเฟ้อ อัตราแลกเปลี่ยน ค่าธรรมเนียม ภาษี และต้นทุนธุรกรรมได้อย่างถูก
            หลัก
         8. เตรียมข้อมูล ราคา ปรับ corporate actions และสร้างเมทริกซ์ ผลตอบแทนสำหรับ ใช้ ในการ
            วิเคราะห์ความเสี่ยงและทฤษฎีพอร์ตได้
         9. เลือกมาตรวัดผลตอบแทนให้สอดคล้องกับคำถามของเจ้าของเงิน ผู้จัดการพอร์ต และงานวิเคราะห์
            เชิงปริมาณ โดยไม่สับสนระหว่าง gross/net, nominal/real และ local/base-currency return
        10. ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของผลตอบแทนจากข้อมูลจริง โดยพิจารณาเวลาอ้างอิง corporate
            actions ต้นทุน และ data lineage ก่อนนำผลไปใช้ตัดสินใจ




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 34


2.1        บทนำ: จากราคาไปสู่ผลตอบแทน
บทที่ 1 วางกรอบว่าการตัดสินใจลงทุนต้องพิจารณาผลตอบแทน ความเสี่ยง และสภาพคล่องร่วมกัน บทนี้พัฒนา
แกนผลตอบแทนให้ เป็น ภาษาคณิตศาสตร์ ที่ สามารถใช้ เปรียบเทียบสินทรัพย์ ช่วงเวลา และกลยุทธ์ การลงทุน ได้
อย่างสอดคล้อง
    การเปลี่ยนแปลงของราคาเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอสำหรับวัดผลตอบแทน เพราะผู้ลงทุนอาจได้รับเงินปันผล
คูปอง ดอกเบี้ย หรือ กระแสเงินสดอื่น ระหว่างถือ ครอง นอกจากนี้ ผลตอบแทนร้อยละเดียวกัน อาจมี ความหมาย
ต่างกันเมื่อช่วงเวลา วิธีทบต้น กระแสเงินสดภายนอก ค่าเงิน เงินเฟ้อ และต้นทุนแตกต่างกัน
   ดังนั้น ก่อนคำนวณผลตอบแทนควรตอบคำถามอย่างน้อยสี่ข้อ ได้แก่ วัดผลตอบแทนของอะไร ในช่วงเวลาใด
รวมกระแสเงินสดและต้นทุนใดบ้าง และ ต้องการใช้ผลตอบแทนนั้นตอบคำถามใด
    ในเชิงเศรษฐศาสตร์ ผลตอบแทนคือการเปลี่ยน “มูลค่าที่ถือครอง” ให้เป็นอัตราการเติบโตที่เปรียบเทียบข้าม
สินทรัพย์ได้ แต่ในเชิงข้อมูล ผลตอบแทนเป็น ตัวแปรที่สร้างขึ้น จากราคา กระแสเงินสด เวลา และกติกาการปรับ
ข้อมูล จึงไม่มีคำว่า “return” ที่เป็นสากลโดยไม่ระบุ convention ตัวอย่างเช่น price return กับ total return
ตอบคำถามต่างกัน และ adjusted close จากผู้ให้ข้อมูลคนละรายอาจมีวิธีรวมเงินปันผลหรือ corporate actions
ต่างกัน [59]
    กรอบตรวจสอบก่อนคำนวณผลตอบแทน
    ก่อนใช้สูตรใด ควรกำหนดให้ชัดเจน 5 เรื่อง ได้แก่ (1) หน่วยลงทุน วัดหลักทรัพย์ พอร์ต หรือบัญชี (2)
    ช่วงเวลา เช่น วัน เดือน หรือปี (3) กระแสเงินสด รวมเงินปันผล คูปอง และเงินฝากถอนหรือไม่ (4) มุม
    มองผู้ใช้ เจ้าของเงินหรือผู้จัดการพอร์ต และ (5) ฐานเศรษฐกิจ gross/net, nominal/real และสกุลเงิน
    ใด การตอบห้าข้อนี้ก่อนคำนวณช่วยลดข้อผิดพลาดมากกว่าการเลือกสูตรที่ซับซ้อนขึ้น




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 35

              ราคา กระแสเงินสด                  ผลตอบแทน                      ผลตอบแทนสะสม
                และข้อมูล สิทธิ                  หนึ่ง งวด                   และการ annualize


            External cash flows                                                   เงินเฟ้อ FX
            MWR / TWR / Dietz                                                ค่าธรรมเนียมและภาษี
                                          Return series / matrix
                                             ที่ พร้อมใช้ วิเคราะห์

รูปที่ 2.1: เส้นทางจากข้อมูลราคาและกระแสเงินสดสู่ชุดผลตอบแทนที่พร้อมใช้ในการวิเคราะห์ โดยแยกการทบ
ต้น กระแสเงินสดภายนอก และการปรับฐานเศรษฐกิจออกจากกันอย่างชัดเจน


2.2        ผลตอบแทนหนึ่งงวดและองค์ประกอบของผลตอบแทน
ให้ 𝑃𝑡−1 เป็นราคาสินทรัพย์ต้นงวด 𝑃𝑡 เป็นราคาปลายงวด และ 𝐷𝑡 เป็นกระแสเงินสดที่ผู้ลงทุนได้รับระหว่าง
งวด เช่น เงินปันผลหรือคูปอง โดยในขั้นแรกยังไม่หักภาษีและต้นทุนธุรกรรม
   ตัวหาร 𝑃𝑡−1 มีความหมายสำคัญ เพราะทำให้กำไรหรือขาดทุนถูกวัดเทียบกับเงินทุนที่ต้องใช้เพื่อถือสินทรัพย์
ณ ต้นงวด จึงสามารถเปรียบเทียบการลงทุนที่มีระดับราคาแตกต่างกันได้ สำหรับหุ้น 𝐷𝑡 มักเป็นเงินปันผล สำหรับ
ตราสารหนี้อาจเป็นคูปอง ส่วนสินทรัพย์ที่ไม่มีการจ่ายกระแสเงินสดระหว่างงวดจะมี 𝐷𝑡 = 0
    บทนิยาม 2.1
    อัตราผลตอบแทนรวมหนึ่งงวด (total simple return) นิยามโดย
                                               𝑃𝑡 − 𝑃𝑡−1 + 𝐷𝑡
                                       𝑅𝑡 =
                                                    𝑃𝑡−1

    หาก 𝐷𝑡 = 0 จะได้ผลตอบแทนจากราคา

                                   (𝑃 )       𝑃𝑡 − 𝑃𝑡−1   𝑃
                                  𝑅𝑡      =             = 𝑡 −1
                                                 𝑃𝑡−1    𝑃𝑡−1




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 36

    ผลตอบแทนรวมสามารถแยกเป็น
                                          𝑃𝑡 − 𝑃𝑡−1    𝐷𝑡
                                 𝑅𝑡 =               +
                                          ⏟⏟⏟𝑃𝑡−1⏟⏟   𝑃𝑡−1
                                                      ⏟
                                         capital gain/loss yield     income yield


   การแยกองค์ ประกอบดัง กล่าวช่วยให้ เห็น ว่า สินทรัพย์ ที่ มี ผลตอบแทนรวมเท่า กัน อาจสร้างผลตอบแทนจาก
คนละแหล่ง เช่น หุ้น เติบโตอาจมี สัดส่วน capital gain สูง ขณะที่ หุ้น ปันผลหรือ ตราสารหนี้ อาจมี income
component สูงกว่า
   ในทางปฏิบัติ การแยกแหล่ง ผลตอบแทนช่วยตอบคำถามที่ “total return” เพียงตัว เดียวตอบไม่ ได้ เช่น
ผลตอบแทนเกิด จากกระแสเงินสดที่ ค่อนข้างสม่ำเสมอ หรือ เกิด จากการเปลี่ยน valuation ของราคาเป็น หลัก
ความแตกต่างนี้มีผลต่อการคาดการณ์กระแสเงินสด การวางแผนสภาพคล่อง และการประเมินความยั่งยืนของผล
ตอบแทน
ตัวอย่าง 2.1. นักลงทุนซื้อหุ้นที่ราคา 50 บาท ได้รับเงินปันผล 1.50 บาท และขายปลายงวดที่ 54 บาท จะได้
                                    54 − 50 + 1.50
                             𝑅=                    = 0.11 = 11%
                                          50
โดย capital gain yield เท่ากับ 8% และ dividend yield เท่ากับ 3%

    ข้อสังเกต
    ตัวอย่างนี้ให้ total return เท่ากับ 11% แต่หากผู้ลงทุนต้องใช้กระแสเงินสดเพื่อดำรงชีพ ส่วน 3% จาก
    เงินปันผลมี ความหมายต่างจากกำไรจากราคาที่ ยัง ไม่ ได้ ขาย ในทางกลับ กัน หากเป้า หมายคือ การเติบโต
    ของความมั่งคั่งระยะยาว ทั้งสององค์ประกอบควรถูกรวมภายใต้ total-return convention เดียวกัน


2.2.1       ผลตอบแทนสุทธิหลังต้นทุนธุรกรรม
ให้ 𝑇 𝐶𝑡 แทนต้นทุน ธุรกรรมทั้งหมดที่ เป็น จำนวนเงิน ในงวด 𝑡 เช่น ค่า นายหน้า ค่า ธรรมเนียม spread โดย
ประมาณ และ market impact ผลตอบแทนสุทธิอย่างง่ายเขียนได้เป็น
    ในการใช้ งานจริง 𝑇 𝐶𝑡 ควรมองเป็น ผลรวมของต้นทุน หลายส่วน เช่น 𝑇 𝐶𝑡 = 𝐶commission + 𝐶fee +
𝐶spread + 𝐶impact + 𝐶other โดยสองส่วนแรกมัก ประมาณได้ จากตารางค่า ธรรมเนียม ขณะที่ spread และ
market impact ขึ้นกับสภาพคล่อง ขนาดคำสั่ง และช่วงเวลาซื้อขาย จึงไม่ควรใช้ค่าคงที่เดียวกับทุกหลักทรัพย์โดย
อัตโนมัติ

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                              สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 37


                                           𝑃𝑡 − 𝑃𝑡−1 + 𝐷𝑡 − 𝑇 𝐶𝑡
                                 𝑅𝑡net =
                                                   𝑃𝑡−1

    ถ้าต้นทุนถูกกำหนดเป็นสัดส่วนของเงินลงทุนต้นงวด 𝑐𝑡 = 𝑇 𝐶𝑡 /𝑃𝑡−1 จะได้

                                           𝑅𝑡net = 𝑅𝑡gross − 𝑐𝑡

   ในงาน backtesting การรายงานเฉพาะ gross return สามารถทำให้กลยุทธ์ที่มี turnover สูงดูน่าสนใจกว่า
ความเป็นจริง จึงควรระบุสมมติฐานด้าน transaction cost และ slippage ก่อนตีความผลลัพธ์ [69]
    งานเชิง ประจักษ์ ของผู้ เขียนเกี่ยวกับ การ backtest กลยุทธ์ บนหุ้น SET50 ย้ำ ว่าการเปรียบเทียบกลยุทธ์ ควร
ทำภายใต้สมมติฐานการซื้อขายที่ระบุได้และทดสอบความทนทาน ไม่ใช่อาศัยผลตอบแทนจากสัญญาณก่อนต้นทุน
เพียงอย่างเดียว [69]

    จาก gross signal สู่ผลตอบแทนที่นำไปใช้ได้
    สำหรับกลยุทธ์ที่ซื้อ ขายถี่ ให้ตรวจอย่างน้อย turnover, bid–ask spread, fee, slippage, market
    impact และภาษี แล้วทำ sensitivity analysis ของต้นทุน หากกลยุทธ์เสียความได้เปรียบเมื่อเพิ่มต้นทุน
    เพียงเล็กน้อย แสดงว่าผลลัพธ์อาจเปราะบางต่อการนำไปใช้จริง

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    ผลตอบแทนก่อนต้นทุน และผลตอบแทนสุทธิ ต้องไม่ ใช้ สลับ กัน โดยไม่ ระบุ รวมทั้ง benchmark และ
    กลยุทธ์ควรถูกวัดภายใต้ convention ที่เทียบกันได้ เช่น ทั้งสองฝ่ายใช้ total return หรือ price return
    ในฐานเดียวกัน




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 38


2.3        Simple Return และ Log Return

2.3.1       Simple Return และ Wealth Relative
    บทนิยาม 2.2
    ถ้า 𝑅𝑡 เป็น simple return ปริมาณ

                                             𝐺𝑡 = 1 + 𝑅 𝑡

    เรียกว่า gross return หรือ wealth relative เพราะเงินหนึ่งหน่วยต้นงวดจะกลายเป็น 𝐺𝑡 หน่วยปลาย
    งวดเมื่อไม่มีกระแสเงินสดภายนอก

    ถ้าเริ่มด้วยความมั่งคั่ง 𝑊𝑡−1 จะได้

                                          𝑊𝑡 = 𝑊𝑡−1 (1 + 𝑅𝑡 )

    ดังนั้น simple return ทำงานกับความมั่งคั่งผ่านการคูณ wealth relatives ไม่ใช่การบวกอัตราผลตอบแทน
ข้ามเวลาโดยตรง
    ข้อเท็จจริงนี้เป็นเหตุผลว่าทำไมผลตอบแทน +20% แล้ว −20% จึงไม่หักล้างกัน เงิน 100 เพิ่มเป็น 120
แล้วลดลง 20% ของ 120 เหลือ 96 การคิดผลตอบแทนหลายงวดจึงต้องติดตาม ฐานความมั่งคั่งที่เปลี่ยนไปทุก
งวด

2.3.2       Log Return
เมื่อใช้ชุดราคาที่สะท้อน corporate actions และกระแสเงินสดตาม convention ที่เหมาะสม สามารถนิยาม log
return ได้ดังนี้
    บทนิยาม 2.3
    ผลตอบแทนลอการิทึม (log return หรือ continuously compounded return) คือ
                                                        𝑃𝑡
                                            𝑟𝑡 = ln(        )
                                                       𝑃𝑡−1



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 39


    ถ้า 𝑅𝑡 = 𝑃𝑡 /𝑃𝑡−1 − 1 เป็น simple price return จะมี

                           𝑟𝑡 = ln(1 + 𝑅𝑡 )           และ      𝑅𝑡 = 𝑒 𝑟 𝑡 − 1

    log return มีสมบัติเด่นคือบวกข้ามเวลาได้ แต่ไม่ควรนำ log return ของสินทรัพย์หลายชนิดมาถ่วงน้ำหนัก
แล้ว ตีความว่า เป็น log return ของพอร์ต โดยอัตโนมัติ เพราะผลตอบแทนพอร์ต หนึ่ง งวดถูก กำหนดจาก simple
returns และน้ำหนักต้นงวด [13]
    เมื่อ |𝑅𝑡 | มีขนาดเล็ก ใช้อนุกรมเทย์เลอร์ได้ว่า

                                                            𝑅𝑡2 𝑅𝑡3
                             𝑟𝑡 = 𝑙𝑛(1 + 𝑅𝑡 ) = 𝑅𝑡 −           +    −⋯
                                                            2    3

จึงมี 𝑟𝑡 ≈ 𝑅𝑡 สำหรับผลตอบแทนเล็ก ๆ แต่ความแตกต่างเพิ่มขึ้นเมื่อผลตอบแทนมีขนาดใหญ่ โดยเฉพาะในช่วง
ตลาดผันผวน [13, 59]

    ควรใช้ simple หรือ log return เมื่อใด
    ใช้ simple return เมื่อต้องการคำนวณผลตอบแทนพอร์ต ความมั่งคั่งจริง หรือรายงานผลการลงทุน ส่วน
    log return สะดวกต่อการรวมผลตอบแทนตามเวลาและการสร้างแบบจำลองทางสถิติหลายประเภท แต่
    ก่อนสื่อสารผลเชิงเศรษฐกิจควรแปลงกลับเป็น simple return เมื่อจำเป็น

    ทฤษฎีบท 2.1
    ให้ 𝑅1 , … , 𝑅𝑇 > −1 และ 𝑟𝑡 = ln(1 + 𝑅𝑡 ) จะได้
                                                       𝑇
                                        1 + 𝑅0∶𝑇 = ∏(1 + 𝑅𝑡 )
                                                      𝑡=1

    และ
                                                𝑇
                                    𝑟0∶𝑇 = ∑ 𝑟𝑡 = ln(1 + 𝑅0∶𝑇 )
                                               𝑡=1



พิสูจน์. จาก
                                           𝑃𝑡 = 𝑃𝑡−1 (1 + 𝑅𝑡 )



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 40

ทำซ้ำตั้งแต่ 𝑡 = 1 ถึง 𝑇 จะได้
                                                   𝑇
                                      𝑃𝑇 = 𝑃0 ∏(1 + 𝑅𝑡 )
                                                  𝑡=1

จึงได้ความสัมพันธ์ของ simple return สะสม
    สำหรับ log return ใช้สมบัติของลอการิทึม
                                     𝑇           𝑇
                            𝑃𝑇          𝑃𝑡            𝑃
                         ln( ) = ln(∏       ) = ∑ ln( 𝑡 )
                            𝑃0         𝑃
                                    𝑡=1 𝑡−1     𝑡=1
                                                     𝑃𝑡−1



ตัวอย่าง 2.2. หากผลตอบแทนสองงวดเท่ากับ +20% และ −20% ผลตอบแทนสะสมแบบ simple คือ

                                 (1.20)(0.80) − 1 = −0.04 = −4%

แม้ผลบวกของผลตอบแทนสองงวดจะเท่ากับศูนย์
    ในรูป log return จะได้

                         ln(1.20) + ln(0.80) = ln(0.96) ≈ −0.04082

และเมื่อนำกลับเป็น simple return

                                      𝑒−0.04082 − 1 ≈ −4%

    ข้อสังเกต
    simple return มีขอบเขตล่าง 𝑅 ≥ −1 สำหรับสินทรัพย์ที่ราคาปลายงวดไม่ติดลบ ส่วน log return
    ต้องมี wealth relative เป็นบวกและจะเข้าใกล้ −∞ เมื่อ wealth relative เข้าใกล้ศูนย์


2.4        ผลตอบแทนสะสม Holding-Period Return และการทำให้เป็นรายปี

2.4.1       Holding-Period Return
ให้ 𝑃0 เป็นมูลค่าเริ่มต้น 𝑃𝑇 เป็นมูลค่าปลายช่วง และ 𝐷 เป็นกระแสเงินสดรวมที่ผู้ลงทุนได้รับระหว่างถือครอง

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 41

    บทนิยาม 2.4
    Holding-Period Return (HPR) ตลอดช่วงถือครองคือ
                                                      𝑃𝑇 − 𝑃0 + 𝐷
                                           𝑅HPR =
                                                          𝑃0

    ถ้าช่วงถือครองแบ่งเป็นหลายงวดโดยไม่มี external cash flow และผลตอบแทนแต่ละงวดสะท้อนกระแส
    เงินสดอย่างสอดคล้อง จะได้
                                                           𝑇
                                         1 + 𝑅HPR = ∏(1 + 𝑅𝑡 )
                                                          𝑡=1


    HPR ตอบคำถามว่า “เงิน หนึ่ง ก้อนเติบโตเท่าใดตลอดช่วงที่ ถือ” จึง เหมาะกับ การวัด ประสบการณ์ การถือ
สินทรัพย์ ตั้งแต่ ต้น จนจบ แต่ ยัง ไม่ ทำให้ ช่วงเวลาที่ ต่างกัน เปรียบเทียบกัน ได้ โดยตรง การเปรียบเทียบจึง มัก ต้อง
แปลงเป็นอัตราต่อปีภายใต้ convention เดียวกัน

2.4.2       การทำให้เป็นรายปีแบบทบต้น
ถ้า 𝑅ℎ เป็นผลตอบแทนตลอดช่วงยาว ℎ ปี อัตราที่เป็นผลต่อปีซึ่งให้ wealth endpoint เดียวกันคือ
    Annualized Effective Return

                                         𝑅ann = (1 + 𝑅ℎ )1/ℎ − 1

    ถ้าช่วงถือครองยาว 𝑑 วันและกำหนดฐานปีเป็น 𝑌 วัน

                                         𝑅ann = (1 + 𝑅𝑑 )𝑌 /𝑑 − 1

   การเลือก 𝑌 = 365, 360 หรือ day-count convention อื่นต้องสอดคล้องกับวัตถุประสงค์และมาตรฐาน
ของตราสาร

ตัวอย่าง 2.3. หากผลตอบแทน 240 วันเท่ากับ 9% และใช้ 365 วันต่อปี จะได้

                                  𝑅ann = (1.09)365/240 − 1 ≈ 14.0%

ผลลัพธ์นี้ ต่างจากการคูณ 9% × 365/240 เพราะ annualized effective return รักษาความเทียบเท่า ของ

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                             สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 42

การทบต้น

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    การ annualize เป็นการ “แปลงหน่วยเวลา” ไม่ใช่การพยากรณ์ว่าผลตอบแทนเดิมจะเกิดซ้ำตลอดปี โดย
    เฉพาะผลตอบแทนจากช่วงสั้น มาก การยกกำลัง เพื่อ annualize สามารถสร้างตัวเลขสูง หรือ ต่ำ มากและ
    ทำให้ผู้ใช้เข้าใจผิดได้ จึงควรรายงานช่วงข้อมูลจริงควบคู่กัน


2.4.3       อัตราในนามและอัตราที่เป็นผล
ถ้า 𝑗(𝑚) เป็นอัตราในนามต่อปีที่คิดทบต้นปีละ 𝑚 ครั้ง อัตราที่เป็นผลต่อปีคือ [62]
                                                             𝑚
                                                 𝑗(𝑚)
                                     𝑖eff = (1 +      ) −1
                                                  𝑚

    ในทางกลับกัน

                                   𝑗(𝑚) = 𝑚 [(1 + 𝑖eff )1/𝑚 − 1]

    สองอัตรานี้อาจมีตัวเลขต่างกันทั้งที่อธิบายกระแสเงินสดเดียวกัน เพราะ nominal rate ระบุอัตราต่อปีพร้อม
ความถี่การทบต้น ขณะที่ effective annual rate สรุปผลของการทบต้นทั้งหมดให้เหลือการเติบโตจริงหนึ่งปี การ
เปรียบเทียบผลิตภัณฑ์จึงควรแปลงให้อยู่บนฐาน effective เดียวกันก่อน

ตัวอย่าง 2.4. อัตราในนาม 6% ต่อปี คิดทบต้นรายเดือน ให้
                                     0.06 12
                         𝑖eff = (1 +     ) − 1 ≈ 0.061678 = 6.1678%
                                      12


2.5        อัตราผลตอบแทนในตลาดเงิน
ตราสารตลาดเงิน มี ธรรมเนียมการเสนอราคาแตกต่างกัน การเปรียบเทียบผลตอบแทนจึง ต้องตรวจทั้ง ฐานเงิน
ลงทุน ฐานวัน และ สมมติฐานการทบต้น
     ความแตกต่างระหว่าง BDY, HPY, MMY และ EAY ไม่ได้แปลว่าตราสารมีผลตอบแทนทางเศรษฐกิจหลายค่า
แต่ เกิด จาก วิธี quote คนละแบบ ทั้ง ตัว หาร จำนวนวัน ต่อ ปี และการทบต้น ดัง นั้น ตราสารเดียวกัน ณ ราคา

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 43

เดียวกันสามารถรายงาน yield หลายตัวเลขได้โดยไม่ขัดแย้งกัน
   กำหนดให้ 𝐹 เป็น มูลค่า ที่ ตราไว้ 𝑃 เป็น ราคาซื้อ 𝐶 เป็น มูลค่า ไถ่ถอน 𝐷 เป็น ดอกเบี้ย หรือ กระแสเงินสด
ระหว่างถือครอง และ 𝑑 เป็นจำนวนวันจนถึงวันไถ่ถอน

2.5.1       Bank Discount Yield
    บทนิยาม 2.5
    สำหรับตราสารส่วนลดที่ไถ่ถอนที่ 𝐹 อัตราผลตอบแทนส่วนลดธนาคารนิยามเป็น
                                                       𝐹 − 𝑃 360
                                              𝑟BDY =
                                                         𝐹    𝑑

   BDY ใช้ มูลค่า ที่ ตราไว้ 𝐹 เป็น ฐานและ annualize แบบเส้น ตรงด้วย 360 วัน จึง เป็น quote convention
มากกว่าผลตอบแทนที่เป็นผลจริงของเงินลงทุน

ตัวอย่าง 2.5. ตราสารมีมูลค่าที่ตราไว้ 10,000 บาท ราคาซื้อ 9,800 บาท และเหลืออายุ 120 วัน
                                           10,000 − 9,800 360
                                  𝑟BDY =                      = 0.06 = 6%
                                               10,000     120


2.5.2       Holding Period Yield
สำหรับตราสารที่ซื้อที่ราคา 𝑃 ไถ่ถอนที่ 𝐶 และได้รับกระแสเงินสดระหว่างถือครอง 𝐷

                                                       𝐶 −𝑃 +𝐷
                                              𝑟HPY =
                                                          𝑃
    HPY เป็นผลตอบแทนตลอดช่วงถือครองและยังไม่ได้ annualize

ตัวอย่าง 2.6. ตราสารซื้อ ที่ 9,800 บาท ไถ่ถอนที่ 10,000 บาทในอีก 120 วัน และได้ รับ ดอกเบี้ย ระหว่างช่วง
98.63 บาท
                                  10,000 − 9,800 + 98.63
                         𝑟HPY =                          ≈ 0.03047 = 3.047%
                                          9,800




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 44


2.5.3        Money Market Yield
    บทนิยาม 2.6
    การ annualize HPY แบบเส้นตรงด้วยฐาน 360 วันให้
                                                     360
                                       𝑟MMY = 𝑟HPY
                                                      𝑑

    สำหรับตราสารส่วนลดที่ 𝐶 = 𝐹 และ 𝐷 = 0
                                              𝐹 − 𝑃 360
                                     𝑟MMY =
                                                𝑃    𝑑

    สำหรับตราสารส่วนลดเดียวกัน

                                                      𝐹
                                        𝑟MMY = 𝑟BDY
                                                      𝑃
    และเพราะ

                                                       𝑑
                                   𝑃 = 𝐹 (1 − 𝑟BDY        )
                                                      360
    จึงได้

    การแปลง BDY เป็น MMY
                                                360𝑟BDY
                                    𝑟MMY =
                                              360 − 𝑑𝑟BDY

    เมื่อ 𝑃 < 𝐹 จะได้ 𝑟MMY > 𝑟BDY สำหรับตราสารและช่วงเวลาเดียวกัน




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 45


2.5.4       Effective Annual Yield
    บทนิยาม 2.7
    ถ้า 𝑟HPY เป็นผลตอบแทนในช่วง 𝑑 วัน และใช้ 365 วันต่อปี

                                          𝑟EAY = (1 + 𝑟HPY )365/𝑑 − 1

ตัวอย่าง 2.7. ตราสารซื้อที่ 9,500 บาท ไถ่ถอนที่ 10,000 บาทในอีก 240 วัน และได้รับดอกเบี้ย 400 บาท
                                        10,000 − 9,500 + 400
                             𝑟HPY =                          = 0.0947368
                                               9,500

ดังนั้น
                         𝑟EAY = (1.0947368)365/240 − 1 ≈ 0.14758 = 14.758%


                               ตารางที่ 2.1: เปรียบเทียบมาตรวัดผลตอบแทนตลาดเงิน

 มาตรวัด                   ฐานเงินลงทุน             การ annualize              ข้อสังเกต
 BDY                       มูลค่าที่ตราไว้ 𝐹        360 วัน แบบเส้นตรง    quote convention ของ
                                                                          ตราสารส่วนลด
 HPY                       ราคาซื้อ 𝑃               ไม่ annualize         ผลตอบแทนตลอดช่วงถือครอง
 MMY                       ราคาซื้อ 𝑃               360 วัน แบบเส้นตรง    เปลี่ยน HPY เป็น money-
                                                                          market basis
 EAY                       ราคาซื้อ 𝑃               โดยทั่วไป 365 วัน แบบ ใช้ เปรียบ เทียบ อัตรา ที่ เป็น
                                                    ทบต้น                 ผล ต่อ ปี เมื่อ convention
                                                                          สอดคล้อง

    ขั้นตอนเปรียบเทียบตราสารตลาดเงินจริง
    ให้เริ่มจาก cash flow จริงและราคาที่จ่าย แล้วคำนวณ HPY เป็นฐาน จากนั้นจึงแปลงเป็น MMY หรือ
    EAY ตามวัตถุประสงค์ วิธี นี้ ช่วยป้องกัน การเลือกตราสารเพียงเพราะตัวเลข quote สูง กว่า ทั้ง ที่ เกิด จาก
    denominator หรือ day-count ที่ต่างกัน


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                          สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 46


    ประเด็นที่ต้องระวัง
    คำว่า yield, return, discount rate, money-market rate และ effective annual rate ไม่ใช่คำพ้อง
    กัน การเปรียบเทียบตราสารต้องทำให้ฐานเงินลงทุน day-count และสมมติฐานการทบต้นสอดคล้องกัน
    ก่อน


2.6        ค่าเฉลี่ยผลตอบแทนและผลของการทบต้น

2.6.1       ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
สำหรับ 𝑅1 , … , 𝑅𝑇

                                                           𝑇
                                                  1
                                            𝑅̄ 𝐴 = ∑ 𝑅𝑡
                                                  𝑇 𝑡=1

   ค่า เฉลี่ย เลขคณิต เหมาะกับ การสรุป ผลตอบแทนเฉลี่ย หนึ่ง งวดและเป็น ตัว ประมาณพื้น ฐานของ expected
one-period return ภายใต้สมมติฐานที่เหมาะสม แต่ไม่ใช่อัตราคงที่ที่สร้างความมั่งคั่งปลายทางเท่ากับข้อมูลจริง
หลายงวด
   ดัง นั้น arithmetic mean เหมาะกับ คำถามเชิง “งวดถัด ไปโดยเฉลี่ย” มากกว่า คำถามว่า เงิน เติบโตจริง กี่
เปอร์เซ็นต์ ต่อ ปี ตลอดหลายงวด หากนำค่า เฉลี่ย เลขคณิต ไปใช้ เป็น CAGR โดยตรงจะมองข้ามผลของการทบต้น
และความผันผวน

2.6.2       ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
    บทนิยาม 2.8
    ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของผลตอบแทน 𝑇 งวดคือ
                                                                 1/𝑇
                                                𝑇
                                   𝑅̄ 𝐺 = [∏(1 + 𝑅𝑡 )]                 −1
                                               𝑡=1


    ซึ่งเป็นอัตราคงที่ต่อหนึ่งงวดที่ให้ wealth factor สะสมเท่ากับข้อมูลจริง



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                          สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 47

    ทฤษฎีบท 2.2
    ถ้า 𝑅𝑡 > −1 ทุกงวด
                                               𝑅̄ 𝐺 ≤ 𝑅̄ 𝐴

    และเกิดเท่ากันก็ต่อเมื่อ
                                          𝑅1 = ⋯ = 𝑅 𝑇


พิสูจน์. ใช้อสมการค่าเฉลี่ยเลขคณิต–เรขาคณิตกับจำนวนบวก 1 + 𝑅1 , … , 1 + 𝑅𝑇
                                         1/𝑇
                           𝑇
                                                1 𝑇
                         [∏(1 + 𝑅𝑡 )]          ≤ ∑(1 + 𝑅𝑡 ) = 1 + 𝑅̄ 𝐴
                          𝑡=1
                                                𝑇 𝑡=1

หักหนึ่งทั้งสองข้างจะได้ผลลัพธ์

ตัวอย่าง 2.8. ผลตอบแทนสองปีเท่ากับ +20% และ −20% มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 0% แต่
                                                      √
                         𝑅̄ 𝐺 = √1.2(0.8) − 1 =           0.96 − 1 ≈ −2.02%

จึงเห็นว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่รักษา wealth endpoint

    ข้อสังเกต
    สำหรับ ผลตอบแทนที่ ไม่ รุนแรงมากและมี การกระจายค่อนข้างสม่ำเสมอ ความสัมพันธ์ เชิง ประมาณที่ ใช้
    สร้าง intuition คือ “geometric growth ต่ำกว่า arithmetic mean เมื่อความผันผวนสูงขึ้น” แนวคิดนี้
    ไม่ใช่สูตร exact ทั่วไป แต่ช่วยอธิบายว่าการควบคุมความผันผวนมีผลต่อการเติบโตของความมั่งคั่งระยะ
    ยาว


2.6.3       Volatility Drag
การสูญเสียและการฟื้นตัวไม่สมมาตรในหน่วยร้อยละ ถ้าขาดทุน 𝐿 โดย 0 < 𝐿 < 1 ผลตอบแทนที่ต้องได้ใน
งวดถัดไปเพื่อกลับสู่ทุนเดิมคือ

                                           1       𝐿
                                    𝐺=        −1=
                                          1−𝐿     1−𝐿

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 48

    ตัวอย่างเช่น ขาดทุน 50% ต้องได้ กำไร 100% จึง กลับ สู่ ทุน เดิม ประเด็น นี้ เป็น สะพานไปสู่ การวัด ความ
ผันผวนในบทที่ 3
   ในทางปฏิบัติ volatility drag อธิบายได้ว่าทำไมกลยุทธ์สองกลยุทธ์ที่มี arithmetic mean ใกล้กันอาจสร้าง
wealth endpoint ต่างกันมาก หากเส้นทางผลตอบแทนมีความผันผวนต่างกัน จึงควรดูทั้งค่าเฉลี่ย ความผันผวน
และ cumulative wealth ร่วมกัน


2.7        Money-Weighted Return, IRR และ Modified Dietz
เมื่อมีการเติมหรือถอนเงินระหว่างช่วงลงทุน ประสบการณ์ผลตอบแทนของเจ้าของเงินขึ้นกับทั้งผลการลงทุนและ
จังหวะของ external cash flows
    นี่ เป็น จุด ที่ ต้องแยก “ผลตอบแทนของเงิน ของผู้ ลงทุน” ออกจาก “ผลตอบแทนของกลยุทธ์ หรือ ผู้ จัดการ
พอร์ต” เพราะเงินจำนวนมากที่ถูกเติมก่อนช่วงตลาดลงสามารถทำให้ MWR ต่ำ แม้ผู้จัดการจะสร้าง TWR เท่ากับ
benchmark ในทางกลับ กัน การเติม เงิน ก่อนช่วงตลาดขึ้น อาจทำให้ MWR สูง กว่าผลงานเชิงทักษะของผู้จัดการ
[4, 14]

2.7.1       Money-Weighted Return และ IRR
ให้ 𝑉0 เป็นมูลค่าพอร์ตเริ่มต้น 𝑉𝑇 เป็นมูลค่าพอร์ตปลายช่วงที่เวลา 𝑇 ปี และให้ 𝐶𝑘 เป็นเงินที่เติมเข้าสู่พอร์ตที่
เวลา 𝑡𝑘 โดยกำหนด 𝐶𝑘 < 0 เมื่อเป็นการถอนเงิน
    บทนิยาม 2.9
    Money-Weighted Return (MWR) คืออัตรา 𝑟 > −1 ที่ทำให้
                                                         𝑚
                            𝑉𝑇 = 𝑉0 (1 + 𝑟)𝑇 + ∑ 𝐶𝑘 (1 + 𝑟)𝑇 −𝑡𝑘
                                                        𝑘=1


    หรือเทียบเท่ากับ                    𝑚
                                              𝐶𝑘          𝑉𝑇
                             −𝑉0 − ∑              𝑡
                                                     +          =0
                                       𝑘=1
                                           (1 + 𝑟) 𝑘   (1 + 𝑟)𝑇

    เมื่อช่วงเวลาวัดเป็นปี อัตรา 𝑟 คือ IRR ของกระแสเงินสดดังกล่าว

    สมการ IRR โดยทั่วไปไม่มี คำตอบแบบปิด จึง ต้องใช้ วิธี เชิง ตัวเลข เช่น bisection, secant หรือ Newton–

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 49

Raphson [62]
    ในการคำนวณจริงควรกำหนด sign convention ของกระแสเงินสดให้ชัดเจน และตรวจ residual ของสมการ
หลัง ได้ คำตอบจากโปรแกรม เช่น แทนค่า 𝑟 กลับ เข้า NPV equation แล้ว ต้องได้ ค่า ใกล้ ศูนย์ ไม่ ควรเชื่อ ผลจาก
ฟังก์ชัน spreadsheet โดยไม่ตรวจสอบ

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    IRR อาจไม่มี รากจริง ที่ ยอมรับ ได้ หรือ อาจมี มากกว่า หนึ่ง รากเมื่อ กระแสเงินสดเปลี่ยนเครื่องหมายหลาย
    ครั้ง จึงไม่ควรรายงานผลจากฟังก์ชัน IRR โดยไม่ตรวจรูปของสมการและความสมเหตุสมผลของราก


2.7.2       Modified Dietz Return
เมื่อ ต้องการประมาณ money-weighted performance โดยไม่ แก้ สมการ IRR สามารถใช้ Modified Dietz
Return
    บทนิยาม 2.10
    ให้ 𝐶𝑘 เป็น external cash flow ที่เวลา 𝑡𝑘 ภายในช่วง [0, 𝑇 ] และ
                                                       𝑇 − 𝑡𝑘
                                              𝑤𝑘 =
                                                         𝑇
    Modified Dietz Return คือ
                                                                 𝑚
                                              𝑉𝑇 − 𝑉0 − ∑𝑘=1 𝐶𝑘
                                    𝑅MD =                  𝑚
                                                𝑉0 + ∑𝑘=1 𝑤𝑘 𝐶𝑘

   น้ำหนัก 𝑤𝑘 สะท้อนสัดส่วนของช่วงเวลาที่ กระแสเงินสดอยู่ภายใต้การบริหารของพอร์ต วิธีนี้เหมาะเมื่อไม่มี
valuation ที่ ละเอียดพอสำหรับ TWR ทุก จุด กระแสเงินสด แต่ ต้องการมาตรวัด ที่ ดี กว่า การละเลย timing ของ
flows
   Modified Dietz จึง เป็น วิธี ประมาณที่ แลกความละเอียดกับ ความต้องการข้อมูล สมมติฐานโดยนัย คือ ผล
ตอบแทนเกิดค่อนข้างสม่ำเสมอภายในช่วงประเมิน หากตลาดเคลื่อนไหวรุนแรงใกล้จุดที่มี cash flow ขนาดใหญ่
ความคลาดเคลื่อนจากวิธีที่ใช้ valuation จริงทุกจุดอาจเพิ่มขึ้น [4]



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                          สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 50


2.8        Time-Weighted Return
TWR มี เป้า หมายวัดผลการบริหารสินทรัพย์ โดยลดอิทธิพลของจำนวนและจังหวะเงิน ฝากถอนซึ่ง ผู้ จัดการพอร์ต
อาจควบคุมไม่ได้
     หลักสำคัญคือแบ่งช่วงที่ไม่มี external cash flow แล้ว chain-link ผลตอบแทนของแต่ละช่วงเข้าด้วยกัน ดัง
นั้น คุณภาพของ TWR ขึ้น กับ ความสามารถในการประเมิน มูลค่า พอร์ต ณ จุด ที่ มี flow หาก valuation ผิด หรือ
timestamp ของ flow ไม่ตรงกับราคา ผล TWR ก็อาจมี bias ได้ [14]
    บทนิยาม 2.11
    แบ่ง ช่วงประเมิน ออกเป็น 𝑚 subperiod ที่ คั่น ด้วย external cash flows ให้ 𝑉𝑗−1
                                                                                 +
                                                                                    เป็น มูลค่า พอร์ต
    ทันทีหลัง flow ณ จุดเริ่ม subperiod และ 𝑉𝑗− เป็นมูลค่าพอร์ตทันที ก่อน flow ณ จุดสิ้น subperiod
    ผลตอบแทน subperiod คือ
                                               𝑉𝑗−
                                          𝑅𝑗 = + − 1
                                              𝑉𝑗−1
    และ Time-Weighted Return ตลอดช่วงคือ
                                                𝑚
                                     𝑅TWR = ∏(1 + 𝑅𝑗 ) − 1
                                               𝑗=1




2.8.1       MWR กับ TWR ต่างกันอย่างไร

                                ตารางที่ 2.2: เปรียบเทียบ MWR และ TWR

 ประเด็น                   MWR/IRR                                 TWR
 คำถามหลัก                 เจ้าของเงินได้รับผลตอบแทนจริงเท่าใด ผู้ จัดการ พอร์ต สร้าง ผล ตอบแทน จาก
                                                               สินทรัพย์เท่าใด
 ผลของ external flow       มีผลโดยตรง                          ลดผลผ่านการแบ่ง subperiod
 ความไวต่อ timing          สูง                                 ต่ำกว่าเมื่อมี valuation ณ จุด flow
 การใช้งาน                 ประสบการณ์ ผู้ ลงทุน หรือ บัญชี ที่ เปรียบเทียบผู้ จัดการพอร์ต หรือ กลยุทธ์
                           เจ้าของเงินควบคุม flow              เมื่อ flow อยู่นอกการควบคุม


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 51

MWR และ TWR ไม่ใช่ตัวเลขที่แข่งขันกันว่าอันใดถูกกว่า เพราะตอบคำถามคนละแบบ การเลือกมาตรวัดต้องเริ่ม
จากวัตถุประสงค์ของการประเมิน
    กฎเลือก MWR กับ TWR แบบใช้งานจริง
    หากคำถามคือ “เจ้าของเงินได้ผลตอบแทนเท่าใดจากเงินที่ใส่จริง” ให้เริ่มจาก MWR หากคำถามคือ “ผู้
    จัดการหรือกลยุทธ์สร้างผลตอบแทนจากสินทรัพย์ได้เท่าใดโดยตัดผลของเงินฝากถอน” ให้ใช้ TWR และ
    ถ้าข้อมูล valuation ไม่ละเอียดพอ อาจใช้ Modified Dietz พร้อมระบุว่าเป็น approximation


2.9        ผลตอบแทนจริง เงินเฟ้อ ค่าเงิน และผลตอบแทนสุทธิ

2.9.1         ผลตอบแทนจริงหลังเงินเฟ้อ
ให้ 𝑅𝑁 เป็น nominal return และ 𝜋 เป็นอัตราเงินเฟ้อในช่วงเดียวกัน
    Exact Real Return
                                                            1 + 𝑅𝑁
                                           1 + 𝑅real =
                                                             1+𝜋
    ดังนั้น
                                                      1 + 𝑅𝑁
                                           𝑅real =           −1
                                                       1+𝜋

    เมื่อ |𝑅𝑁 | และ |𝜋| มีขนาดเล็ก
                                               𝑅real ≈ 𝑅𝑁 − 𝜋

     สูตร exact แสดงว่าการปรับเงินเฟ้อเป็นความสัมพันธ์แบบคูณ ไม่ใช่การลบโดยหลักคณิตศาสตร์ การลบตรง
เป็นเพียง first-order approximation จึงคลาดเคลื่อนมากขึ้นเมื่อ nominal return หรือ inflation สูง การวาง
เป้า หมายระยะยาว เช่น เงิน เกษียณ ควรใช้ real return เพราะสิ่ง ที่ ผู้ ลงทุน ต้องการท้ายที่สุด คือ กำลัง ซื้อ ไม่ใช่
จำนวนเงินเชิงนาม

ตัวอย่าง 2.9. ถ้า nominal return เท่ากับ 8% และเงินเฟ้อ 3.5%
                                         1.08
                             𝑅real =          − 1 ≈ 0.04348 = 4.348%
                                        1.035


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                             สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 52

ขณะที่การลบตรงให้ 4.5% ซึ่งเป็นเพียงค่าประมาณ

2.9.2       ผลตอบแทนของการลงทุนต่างประเทศและอัตราแลกเปลี่ยน
ให้ 𝑅𝐿 เป็นผลตอบแทนสินทรัพย์ในสกุลเงินท้องถิ่น และให้ 𝑆𝑡 เป็นจำนวนหน่วยสกุลเงินฐานต่อหนึ่งหน่วยสกุล
เงินต่างประเทศ นิยาม

                                                  𝑆𝑡 − 𝑆𝑡−1
                                       𝑅𝐹 𝑋 =
                                                     𝑆𝑡−1

    เมื่อ 𝑅𝐹 𝑋 > 0 เงินตราต่างประเทศแข็งค่าต่อสกุลฐาน ผลตอบแทนในสกุลฐานคือ
   การ แยก 𝑅𝐿 กับ 𝑅𝐹 𝑋 ทำให้ เห็น ว่าการ ลงทุน ต่าง ประเทศ มี อย่าง น้อย สอง แหล่ง ผล ตอบแทน คือ ผล
ของสินทรัพย์ และผลของค่า เงิน ผู้ ลงทุน ที่ hedge ค่า เงิน บางส่วนจะมี base-currency return ต่างจากสูตร
unhedged ด้านล่าง และต้องรวมต้นทุน hedge กับ basis/roll effect ตามสัญญาที่ใช้
    ผลตอบแทนในสกุลฐาน

                               1 + 𝑅base = (1 + 𝑅𝐿 )(1 + 𝑅𝐹 𝑋 )

    หรือ
                                𝑅base = 𝑅𝐿 + 𝑅𝐹 𝑋 + 𝑅𝐿 𝑅𝐹 𝑋

ตัวอย่าง 2.10. สินทรัพย์ต่างประเทศให้ผลตอบแทนท้องถิ่น 8% และสกุลเงินต่างประเทศแข็งค่าต่อเงินบาท 4%

                          𝑅THB = (1.08)(1.04) − 1 = 0.1232 = 12.32%

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    สูตรอัตราแลกเปลี่ยนขึ้นกับนิยามของ 𝑆𝑡 หากเปลี่ยนจาก “บาทต่อหนึ่งหน่วยเงินต่างประเทศ” เป็นส่วน
    กลับ เครื่องหมายและสูตรที่ตีความการแข็งค่าจะเปลี่ยนตาม จึงต้องประกาศ FX convention ทุกครั้ง




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                     สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 53


2.9.3       ค่าธรรมเนียม ภาษี และผลตอบแทนที่ผู้ลงทุนได้รับจริง
ผลตอบแทนที่เกี่ยวข้องกับการตัดสินใจของผู้ลงทุนควรระบุอย่างชัดเจนว่าเป็น gross, net of transaction costs,
net of management fees หรือ after tax
     ถ้า wealth factor ก่อนค่า ธรรมเนียมเท่ากับ 1 + 𝑅𝑔 และค่า ธรรมเนียมคิด เป็น สัดส่วน 𝑓 ของมูลค่า ที่
เกี่ยวข้อง การประมาณแบบคูณให้

                                   1 + 𝑅net ≈ (1 + 𝑅𝑔 )(1 − 𝑓)

      การหัก 𝑅𝑔 − 𝑓 เป็นค่าประมาณเชิงเส้นที่เหมาะเมื่ออัตรามีขนาดเล็กและฐานการคิดค่าธรรมเนียมสอดคล้อง
กัน
   ภาษีมีรายละเอียดขึ้นกับประเภทสินทรัพย์ สถานะผู้ลงทุน และกฎหมายในช่วงเวลานั้น ตำราจึงเน้นหลักการ
คำนวณโดยไม่ถืออัตราภาษีเฉพาะเป็นค่าคงที่ถาวร
     ในเชิงวิเคราะห์ ควรแยก ต้นทุนที่เกิดจากการถือ เช่น management fee ออกจาก ต้นทุนที่เกิดจากการซื้อ
ขาย เช่น commission และ market impact เพราะสองส่วนตอบสนองต่อ turnover ต่างกัน ภาษียังอาจมี path
dependence จากจังหวะ realizations จึงไม่ควรหัก “อัตราภาษีคงที่” จาก return ทุกงวดโดยไม่ตรวจโครงสร้าง
จริง


2.10         ผลตอบแทนจากข้อมูลราคา: Corporate Actions และ Total Return
การคำนวณผลตอบแทนจากฐานข้อมูลราคาต้องระวัง corporate actions เพราะราคาก่อนและหลัง stock split,
reverse split, dividend, rights issue หรือการกระจายมูลค่าในรูปอื่นอาจไม่เปรียบเทียบกันโดยตรง
    หลักคิดคือแยก การเปลี่ยนมูลค่าทางเศรษฐกิจ ออกจาก การเปลี่ยนหน่วยบัญชีของหลักทรัพย์ เช่น stock
split ทำให้จำนวนหุ้นและราคาต่อหุ้นเปลี่ยนเชิงกล แต่ไม่ได้สร้างผลตอบแทนให้ผู้ถือทันที หากไม่ปรับข้อมูล ราคา
จะดูเหมือนร่วงแรงทั้งที่ความมั่งคั่งไม่เปลี่ยน ส่วนเงินปันผลเป็นกระแสเงินสดจริงและต้องถูกรวมใน total return
หาก series ราคายังไม่ได้ปรับ

2.10.1        ราคาดิบ ราคาปรับ และเงินปันผล
ถ้าใช้ raw close และเงินปันผลยังไม่รวมในราคา ต้องคำนวณ total return


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 54


                                               𝑃𝑡 + 𝐷𝑡 − 𝑃𝑡−1
                                       𝑅𝑡 =
                                                    𝑃𝑡−1

   ถ้าผู้ให้ข้อมูลสร้าง adjusted price ที่สะท้อน corporate actions ตาม methodology ที่ชัดเจนแล้ว สามารถ
คำนวณ return จาก adjusted series ได้โดยไม่เติมเงินปันผลซ้ำ

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    คำว่า “Adjusted Close” ไม่ได้มีวิธีคำนวณเหมือนกันทุกผู้ให้ข้อมูล ก่อนรวมข้อมูลจากหลายแหล่งต้อง
    ตรวจ metadata ว่าปรับ stock split, cash dividend, rights, spin-off และภาษีหัก ณ ที่จ่ายอย่างไร


2.10.2        Wealth Index และ Total-Return Index
กำหนด wealth index เริ่มต้นเป็น
                                               𝑊0 = 100

    แล้วอัปเดตด้วย
                                                                  𝑡
                           𝑊𝑡 = 𝑊𝑡−1 (1 + 𝑅𝑡 ) = 100 ∏(1 + 𝑅𝑠 )
                                                                𝑠=1


    wealth index ช่วยให้ เห็น ผลของการทบต้น และใช้ เปรียบเทียบกลยุทธ์ กับ benchmark ได้ เมื่อ ทั้ง สองถูก
สร้างจาก return convention เดียวกัน
    การ plot wealth index ยัง ช่วยตรวจข้อมูล ผิด ปกติ ได้ หาก index กระโดดอย่างไม่ สมเหตุ สมผลในวัน ที่
มี split หรือ dividend อาจบ่ง ชี้ ว่า ปรับ corporate action ซ้ำ หรือ ไม่ ได้ ปรับ เลย ในงาน backtest ควรสร้าง
wealth index ทั้งกลยุทธ์และ benchmark จาก pipeline เดียวกันเพื่อรักษา benchmark symmetry


2.11         การเตรียมข้อมูลราคาและสร้างเมทริกซ์ผลตอบแทน
การวิเคราะห์ เชิง ปริมาณเริ่ม ก่อนการคำนวณสูตร ขั้น ตอนการสร้าง return series ต้องตรวจสอบ calendar,
corporate actions, currency, missing observations และความสอดคล้องของ timestamps
    ข้อเท็จจริงสำคัญคือ “ข้อมูลราคาวันเดียวกัน” ไม่ได้แปลว่าเป็น information set เดียวกันเสมอ ตลาดในเอเชีย
ยุโรป และสหรัฐ ปิด คนละเวลา ข้อมูล macro อาจประกาศหลัง ตลาดปิด และราคาบางประเภทเป็น indicative
quote ไม่ใช่ executed price งานเชิงปริมาณจึงต้องแยก trade date, timestamp และเวลาที่ข้อมูลพร้อมให้ผู้

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 55

ลงทุนใช้งานจริง

2.11.1        การจัดแนววันซื้อขายและข้อมูลที่หายไป
สินทรัพย์ต่างตลาดอาจมีวันหยุดและเวลาปิดตลาดไม่ตรงกัน การนำราคา “วันที่เดียวกัน” มาคำนวณ covariance
โดยไม่ตรวจเวลาอาจสร้าง nonsynchronous-trading bias
    หลักปฏิบัติที่สำคัญ ได้แก่
    1. กำหนด timezone และ timestamp convention พร้อมแยก event time ออกจากวันที่ในไฟล์
    2. ระบุว่าราคาเป็น open, close, VWAP, settlement price, clean price หรือราคาอื่น
    3. ตรวจวันหยุดตลาดและ missing observations พร้อมแยก missing จาก no-trade/stale quote
    4. หลีกเลี่ยงการ forward-fill ราคาข้ามช่วงยาวโดยไม่ประเมินผลต่อ return และ volatility
    5. ตรวจ corporate actions, delisting และการเปลี่ยน identifier ของหลักทรัพย์
    6. ตรวจสกุลเงิน หน่วยราคา และตัวคูณสัญญาก่อนรวมหลายตลาด
    7. ใช้ universe ที่ สอดคล้องกับ ข้อมูล ที่ มี อยู่ จริง ณ เวลานั้น เมื่อ ทำ backtest เพื่อ ลด survivorship และ
       look-ahead bias

2.11.2        เมทริกซ์ผลตอบแทน
สำหรับสินทรัพย์ 𝑛 รายการและข้อมูลผลตอบแทน 𝑇 งวด กำหนด

                                       𝑅    𝑅2,1 ⋯ 𝑅𝑛,1
                                     ⎡ 1,1              ⎤
                                     ⎢ 𝑅1,2 𝑅2,2 ⋯ 𝑅𝑛,2 ⎥
                                   R=⎢                  ⎥
                                     ⎢ ⋮     ⋮   ⋱  ⋮ ⎥
                                     ⎣𝑅1,𝑇 𝑅2,𝑇 ⋯ 𝑅𝑛,𝑇 ⎦

      หนึ่งแถวแทนหนึ่งช่วงเวลาและหนึ่งคอลัมน์แทนหนึ่งสินทรัพย์ เมทริกซ์นี้เป็นข้อมูลตั้งต้นของการประมาณค่า
เฉลีย่ covariance, correlation, factor exposure และ portfolio risk ในบทถัดไป
    ก่อนส่ง เมทริกซ์ นี้ เข้า สู่ แบบจำลอง ควรตรวจอย่างน้อยว่า แต่ละคอลัมน์ ใช้ return convention เดียวกัน
จำนวนแถวหลัง alignment สอดคล้องกัน ไม่มีค่าผิดปกติจาก corporate actions และไม่มีข้อมูลอนาคตแทรก
เข้ามา หากการจัดแนวข้อมูลผิด แม้สูตร covariance หรือ optimization ถูกต้อง ผลลัพธ์ก็ยังผิดเชิงเศรษฐกิจได้



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                           สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 56

                                  1. Raw prices และ cash distributions
                                      เก็บ ข้อมูล ต้นฉบับ โดยไม่ แก้ ทับ

                                  2. Calendar / timestamp alignment
                                       ตรวจ วัน ซื้อ ขาย timezone
                                      และ information availability

                                    3. Corporate-action adjustment
                                    split, dividend, rights, delisting
                                         และ identifier changes

                                         4. Return construction
                                     กำหนด simple/log, total/price,
                                     currency และ cost convention

                                     5. Validation checks: missing/
                                     stale prices, outliers, currency,
                                     benchmark symmetry, leakage
                                    และ transaction-cost assumptions

                                6. Analysis-ready 𝑇 × 𝑛 return matrix
                                  พร้อม data dictionary และ audit trail

รูป ที่ 2.2: กระบวนการ สร้าง ข้อมูล ผล ตอบแทน จาก ราคา ดิบ สู่ เม ทริกซ์ ที่ พร้อม ใช้ โดย แทรก การ ตรวจ เวลา
corporate actions และ validation ก่อนเข้าสู่แบบจำลอง

    หลัก Data Lineage ของผลตอบแทน
    ทุก return series ควรสามารถย้อนกลับได้ว่าใช้แหล่งข้อมูลใด ช่วงเวลาใด ราคาแบบใด ปรับ corporate
    actions อย่างไร ใช้ simple หรือ log return รวมเงินปันผลหรือ ไม่ ใช้ สกุล เงิน ใด และหัก ต้นทุน ใด
    แล้ว บ้าง นอกจากนี้ ควรเก็บ raw data แยกจาก processed data และบันทึก code/version หรือ
    transformation rule เพื่อให้สร้างผลลัพธ์เดิมซ้ำได้




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 57


2.12         การเลือกมาตรวัดผลตอบแทนให้เหมาะกับปัญหา
การมีมาตรวัดหลายรูปแบบไม่ได้หมายความว่าสูตรหนึ่งดีกว่าอีกสูตรในทุกกรณี แต่แต่ละสูตรตอบคำถามต่างกัน
     การเลือกผิดมาตรวัดอาจทำให้ข้อสรุปผิดแม้คำนวณถูก เช่น ใช้ MWR ตัดสินผู้จัดการที่ควบคุมเงินฝากถอนไม่
ได้ ใช้ price return เทียบกับ total-return benchmark หรือใช้ nominal return วางเป้าหมายกำลังซื้อระยะ
ยาว ตารางต่อไปจึงควรอ่านเป็น “decision map” มากกว่ารายการสูตร

                            ตารางที่ 2.3: แผนที่การเลือกมาตรวัดผลตอบแทน

 คำถาม                          มาตรวัดที่เหมาะ                 เหตุผลหรือข้อควรระวัง
 ผลตอบแทนสินทรัพย์หนึ่งงวด      Simple total return      รวม price change และ cash distribu-
                                                         tion
 รวมผลตอบแทนหลายงวด           Cumulative simple return simple ใช้ product ส่วน log ใช้ sum
                              หรือ sum of log returns
 อัตราทบต้นคงที่ต่อปี         Geometric/ annualized ef- รักษา wealth endpoint
                              fective return
 ค่าเฉลี่ยผลตอบแทนหนึ่งงวด    Arithmetic mean            ไม่เท่ากับ CAGR โดยทั่วไป
 ตราสารตลาดเงิน               BDY, HPY, MMY, EAY ตาม ต้อง ตรวจ ฐาน ราคา day-count และ
                              convention                 compounding
 ประสบการณ์เจ้าของเงิน        MWR/IRR                    สะท้อนขนาดและ timing ของ external
                                                         cash flows
 ประเมินผู้จัดการพอร์ต        TWR                        ลด อิทธิพล ของ flows ที่ อยู่ นอก การ
                                                         ควบคุม
 ข้อมูล valuation ไม่ ละเอียด Modified Dietz             เป็น money-weighted approxima-
 ทุก flow                                                tion ที่ใช้ timing weights
 การเปลี่ยนแปลงกำลังซื้อ      Real return                ปรับเงินเฟ้อด้วย exact multiplicative
                                                         relation
 การลงทุนต่างประเทศ           Base-currency return       รวม local asset return กับ FX return
 งานเชิงปริมาณ                Simple หรือ log return ที่ ต้อง จัด แนว เวลา corporate actions
                              นิยามชัด                   และ costs ก่อน



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                     สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 58

    คำถาม 4 ข้อสำหรับเลือก return measure
    ก่อนเลือกสูตร ให้ถามว่า (1) วัดสินทรัพย์หรือเจ้าของเงิน (2) มี external cash flow หรือไม่ (3) ต้อง
    เปรียบเทียบข้ามช่วงเวลา/สกุลเงิน/เงินเฟ้อหรือไม่ และ (4) ต้องการ gross หรือ implementable
    net return หากตอบสี่ข้อนี้ได้ การเลือกมาตรวัดส่วนใหญ่จะชัดเจนขึ้น


2.13         Investment Lab และ Workshop
    Investment Lab: Return Engineering Lab
    วัตถุประสงค์ สร้างชุด ข้อมูล ผลตอบแทนที่ ตรวจสอบย้อนกลับ ได้ และเปรียบเทียบมาตรวัดผลตอบแทน
    หลายแบบ
    ส่วนที่ A: One-Period Return
        1. เลือกหลักทรัพย์อย่างน้อย 5 รายการ
        2. ดึงราคาและข้อมูลเงินปันผลหรือ corporate actions
        3. คำนวณ price return และ total return
        4. เปรียบเทียบ simple return กับ log return
    ส่วนที่ B: Compounding
        1. สร้าง cumulative wealth index จากเงินเริ่มต้น 100
        2. คำนวณ arithmetic mean และ geometric mean
        3. ตรวจสอบว่า geometric mean รักษา wealth endpoint
    ส่วนที่ C: Cash-Flow Performance
        1. สร้างตัวอย่างพอร์ตที่มีเงินฝากหรือถอนอย่างน้อย 3 ครั้ง
        2. คำนวณ MWR/IRR, Modified Dietz และ TWR
        3. อธิบายเหตุผลที่ค่าทั้งสามต่างกัน
    ส่วนที่ D: Data Quality
        1. สร้าง return matrix และตรวจ timestamp alignment
        2. ตรวจ missing dates, stale prices, outliers และ corporate actions
        3. บันทึก data dictionary, return convention, currency และ transaction-cost assumption
        4. สร้าง audit trail ที่ทำให้ผู้อื่นสามารถย้อนจาก return matrix กลับไปยัง raw data ได้
    ผลส่งมอบขั้นต่ำ


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 59


         1. ตารางเปรียบเทียบ simple, log, gross, net, nominal และ real return อย่างน้อยหนึ่งสินทรัพย์
         2. กราฟ wealth index ของสินทรัพย์/กลยุทธ์และ benchmark ภายใต้ convention เดียวกัน
         3. ตารางเปรียบเทียบ MWR, Modified Dietz และ TWR พร้อมคำอธิบายสาเหตุที่ต่างกัน
         4. ไฟล์ data dictionary และบันทึกขั้นตอน cleaning/adjustment ที่ทำซ้ำได้


บทสรุปท้ายบท
บทนี้พัฒนาคณิตศาสตร์ของผลตอบแทนจากระดับหนึ่งงวดไปสู่หลายงวด เริ่มจาก total simple return และ log
return แล้ว เชื่อมไปยัง holding-period return การทำให้ เป็น รายปี อัตราในนามและอัตราที่ เป็น ผล ตลอดจน
convention ของตราสารตลาดเงิน ได้แก่ BDY, HPY, MMY และ EAY
   เมื่อมี external cash flows ต้องแยกคำถามของผู้ลงทุนออกจากคำถามของผู้จัดการพอร์ต MWR/IRR สะท้อน
ประสบการณ์ของเจ้าของเงิน Modified Dietz เป็นวิธีประมาณที่คำนึงถึง timing ของ flows ส่วน TWR ลดอิทธิพล
ของ flows ผ่านการแบ่ง subperiod
   ผลตอบแทนที่ใช้ในการตัดสินใจจริงยังต้องพิจารณาเงินเฟ้อ อัตราแลกเปลี่ยน ต้นทุน ค่าธรรมเนียม และภาษี
ตามบริบท ขณะที่ การวิเคราะห์ เชิง ปริมาณต้องเริ่ม จากข้อมูล ราคาที่ ปรับ corporate actions จัด แนวเวลา และ
ระบุ return convention อย่างชัดเจนก่อนสร้างเมทริกซ์ผลตอบแทน
    สาระสำคัญในเชิงปฏิบัติคือ “ผลตอบแทนไม่ใช่เพียงสูตร แต่เป็นผลลัพธ์ของ convention และข้อมูล” ตัวเลข
return ที่น่าเชื่อถือจึงต้องตอบได้ว่าเริ่มจากราคาใด รวม cash flow อะไร ใช้เวลาและสกุลเงินใด หักต้นทุนอะไร
และวัดจากมุมมองของใคร การรักษาวินัยนี้ทำให้บทความเสี่ยง การสร้างพอร์ต และการประเมินผลในบทถัดไปมี
ฐานข้อมูลที่ถูกต้องและตรวจสอบได้


คำศัพท์สำคัญ

      • Simple return                                      • Effective annual rate
      • Total return                                       • Nominal rate
      • Log return                                         • Bank Discount Yield
      • Wealth relative                                    • Money Market Yield
      • Holding-Period Return                              • Effective Annual Yield
      • Annualized return                                  • Arithmetic mean

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 60

      • Geometric mean                                    • Real return
      • Volatility drag                                   • FX return
      • Money-Weighted Return                             • Adjusted price
      • Internal Rate of Return                           • Total-return index
      • Modified Dietz Return                             • Data lineage
      • Time-Weighted Return


แบบฝึกหัดท้ายบท
    1. หุ้นมีราคาต้นงวด 80 บาท ราคาปลายงวด 84 บาท และจ่ายเงินปันผล 2 บาท จงหา price return, income
       yield และ total return
    2. ถ้าผลตอบแทนสามงวดเท่ากับ 10%, −5% และ 8% จงหาผลตอบแทนสะสมและ log return สะสม
    3. พิสูจน์ว่า simple return สะสมหลายงวดต้องใช้ผลคูณของ wealth relatives ไม่ใช่ผลบวกของ simple
       returns
    4. เงินลงทุนให้ผลตอบแทน 12% ใน 18 เดือน จงหา annualized effective return
    5. อัตราในนาม 7.2% ต่อปี คิดทบต้นรายเดือน มี effective annual rate เท่าใด
    6. ตั๋วเงินคลังมูลค่าที่ตราไว้ 100,000 บาท ซื้อที่ 98,500 บาท เหลืออายุ 90 วัน จงหา BDY, HPY, MMY และ
       EAY
    7. พิสูจน์ความสัมพันธ์ระหว่าง BDY และ MMY สำหรับตราสารส่วนลด
    8. ผลตอบแทนสี่ ปี เท่ากับ 15%, −10%, 20% และ 5% จงหา arithmetic mean และ geometric
       mean
    9. หากพอร์ตขาดทุน 30% ต้องได้ผลตอบแทนกี่เปอร์เซ็นต์จึงกลับสู่ทุนเดิม
   10. พอร์ตเริ่มต้น 1,000,000 บาท มีการเติมเงิน 200,000 บาทเมื่อครบครึ่งปี และปลายปีมีมูลค่า 1,300,000
       บาท จงตั้งสมการ MWR
   11. สร้างตัวอย่าง external cash flows ที่ทำให้ MWR และ TWR แตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ พร้อมอธิบาย
       สาเหตุ
   12. nominal return เท่ากับ 9% และเงินเฟ้อ 4% จงหา exact real return และค่าประมาณแบบลบตรง
   13. หุ้น ต่างประเทศให้ local return 6% ขณะที่ เงิน ตราต่างประเทศอ่อนค่า ต่อ เงิน บาท 8% จงหาผล
       ตอบแทนในเงินบาท
   14. อธิบายความผิดพลาดที่เกิดจากการใช้ adjusted close แล้วเติมเงินปันผลซ้ำอีกครั้ง
   15. สร้าง return matrix สำหรับหลักทรัพย์อย่างน้อย 4 รายการและระบุขั้นตอนตรวจสอบ missing dates

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 61

       กับ corporate actions
   16. กลยุทธ์ A ให้ gross return 12% และ turnover สูง ส่วนกลยุทธ์ B ให้ gross return 10.5% และ
       turnover ต่ำ จงกำหนดสมมติฐานต้นทุนอย่างน้อย 3 กรณีและวิเคราะห์ว่าจุดใดอันดับผลตอบแทนสุทธิ
       เปลี่ยน
   17. สร้างกรณี ที่ MWR ต่ำ กว่า TWR อย่างชัดเจนโดยให้ มี external cash flow ขนาดใหญ่ ก่อนช่วงขาดทุน
       แล้วอธิบายว่าเหตุใดความแตกต่างนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นความผิดของผู้จัดการพอร์ต
   18. เลือกหุ้น ต่างประเทศหนึ่ง หลัก ทรัพย์ และออกแบบขั้น ตอนคำนวณผลตอบแทนเงิน บาทที่ ตรวจสอบได้
       ตั้งแต่ local total return, FX convention, fee/hedging cost จนถึง net base-currency return


คำถามชวนคิด
    1. เหตุใด log return จึงสะดวกในการรวมผลตอบแทนตามเวลา แต่ไม่ควรใช้แทน simple return ของพอร์ต
       โดยอัตโนมัติ
    2. หากสองกองทุน มี arithmetic mean เท่า กัน กองทุน ที่ มี geometric mean ต่ำ กว่า สื่อ ถึง อะไรเกี่ยวกับ
       เส้นทางความมั่งคั่ง
    3. MWR ที่ต่ำกว่า TWR จำเป็นต้องหมายความว่าผู้จัดการพอร์ตบริหารไม่ดีหรือไม่
    4. การ annualize ผลตอบแทนระยะสั้นมากสามารถสร้างความเข้าใจผิดอย่างไร
    5. เหตุใด data engineering ของผลตอบแทนจึงเป็นส่วนหนึ่งของแบบจำลองทางการเงิน ไม่ใช่เพียงขั้นตอน
       เตรียมข้อมูล
    6. หากผลตอบแทนจาก backtest สูงมาก แต่ผลลัพธ์เปลี่ยนอย่างมีนัยสำคัญเมื่อใช้ adjusted-price source
       คนละราย เราควรสรุปอะไรเกี่ยวกับ model risk และ data risk ของกลยุทธ์นั้น


เอกสารอ้างอิงท้ายบทที่ 2
 [4] Carl R. Bacon. Practical Portfolio Performance Measurement and Attribution. 2nd ed.
     Chichester: John Wiley & Sons, 2008.
[13] John Y. Campbell, Andrew W. Lo, and A. Craig MacKinlay. The Econometrics of Financial
     Markets. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997.
[14] CFA Institute. 2020 Global Investment Performance Standards (GIPS) for Firms. CFA Institute.
     Charlottesville, VA, 2020.

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 2: คณิตศาสตร์ของผลตอบแทนการลงทุน 62

[59] Ruey S. Tsay. Analysis of Financial Time Series. 3rd ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons,
     2010.
[62] Wichai Witayakiattilerd. คณิตศาสตร์การเงินและการประยุกต์. ตำราภาษาไทย. 2025.
[69] Wichai Witayakiattilerd and Wararit Panichkitkosolkul. “Robust Backtesting of Bollinger Bands
     with Alternative Moving Averages: An Empirical Study on SET50 Stocks”. In: Bangmod
     International Journal of Mathematical and Computational Science 12 (2026), pp. 96–118.
     DOI: 10.58715/bangmodjmcs.2026.12.6.




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                  สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์