บทที่ 7 ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz
หน้าพิมพ์ 201–234 · PDF 243–276
หน้า PDF 243 · หน้าพิมพ์ 201 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 201
บทที่ 7 ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz
วัตถุประสงค์การเรียนรู้
เมื่อจบบทนี้ ผู้อ่านควรสามารถ
1. อธิบาย feasible set, opportunity set, dominance และ mean–variance efficient
portfolio ได้
2. ตั้งปัญหา target-return minimum variance และแก้ด้วย Lagrange multiplier ในรูปเวกเตอร์–
เมทริกซ์
3. หา Global Minimum Variance Portfolio (GMV) และพิสูจน์สมบัติสำคัญของพอร์ตดังกล่าว
4. สร้างสมการ minimum-variance frontier แบบปิด รูป และแยก efficient branch ออกจาก
inefficient branch
5. พิสูจน์ two-fund theorem สำหรับ frontier ของสินทรัพย์เสี่ยง
6. ใช้ mean–variance utility เพื่อเชื่อม risk aversion กับการเลือกพอร์ตบน efficient frontier
7. วิเคราะห์ผลของข้อจำกัด no short-selling ด้วย quadratic programming และเงื่อนไข KKT
8. อธิบาย corner portfolios และ active-set interpretation ได้
9. วิเคราะห์ sensitivity ของ optimal weights ต่อ expected-return vector และ covariance
matrix
10. แยก in-sample efficient frontier ออกจาก realized out-of-sample performance
11. ออกแบบ robustness analysis ด้วย shrinkage, resampling, constraints และ rolling
estimation
12. เตรียมแนวคิดจาก risky-asset frontier ไปสู่ risk-free asset, tangency portfolio และ CAPM
ในบทถัดไป
7.1 บทนำ: จากการวัดพอร์ตสู่การเลือกพอร์ต
บทที่ 6 แสดงว่า เมื่อกำหนดน้ำหนักพอร์ต w แล้ว ผลตอบแทนคาดหมายและความแปรปรวนของพอร์ตเขียนได้
เป็น
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 244 · หน้าพิมพ์ 202 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 202
𝜇𝑝 = wT 𝜇, 𝜎𝑝2 = wT Σw
บทนี้กลับทิศทางของคำถาม โดยถือว่า 𝜇 และ Σ เป็น inputs แล้วถามว่าเราควรเลือก w อย่างไรภายใต้เป้า
หมายและข้อจำกัดที่กำหนด แนวคิดนี้เป็นแกนของทฤษฎีการเลือกพอร์ตของ Markowitz [33]
ในเชิง การตัดสิน ใจ ต้องแยกสองชั้น ออกจากกัน ให้ ชัดเจน ชั้น แรกคือ estimation layer ซึ่ง ใช้ ข้อมูล เพื่อ
ประมาณ 𝜇̂ และ Σ ̂ ส่วนชั้นที่สองคือ optimization layer ซึ่งนำค่าประมาณเหล่านั้นเข้าสู่ปัญหาการเลือกพอร์ต
ตัว optimizer สามารถแก้ ปัญหาคณิตศาสตร์ ได้ ถูก ต้องทุก ขั้น แต่ พอร์ต ที่ ได้ ยัง อาจไม่ เหมาะสมในอนาคตหาก
inputs มี estimation error สูง ดังนั้นคำว่า “optimal portfolio” จึงต้องตีความควบคู่กับคุณภาพของข้อมูลและ
แบบจำลองเสมอ
(𝜇, Σ, constraints) ⟶ feasible portfolios
⟶ efficient frontier ⟶ portfolio choice
Inputs Feasible Set Minimum-Variance Efficient Set
̂
𝜇,̂ Σ constraints Frontier non-dominated
Selected Portfolio Preferences
w∗ utility / mandate
รูปที่ 7.1: โครงสร้างการเลือกพอร์ตในกรอบ mean–variance
ประเด็นที่ต้องระวัง
คำว่า “optimal” ในบทนี้ หมายถึง optimal ภายใต้ objective function, inputs และ constraints
ที่ ระบุ ไม่ ได้ หมายความว่า พอร์ต ดัง กล่าวจะให้ ผลตอบแทนดี ที่สุด ในอนาคต และ efficient frontier ที่
ประมาณจากข้อมูลเป็น estimated frontier ไม่ใช่เส้นคงที่ของตลาด
7.2 Feasible Set, Opportunity Set และ Dominance
ให้มีสินทรัพย์เสี่ยง 𝑛 รายการ โดย
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 245 · หน้าพิมพ์ 203 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 203
𝜇 = (𝜇1 , … , 𝜇𝑛 )T
และ
Σ = Cov(R)
ถ้าอนุญาต short-selling และพอร์ต fully invested
𝒲 = {w ∈ ℝ𝑛 ∶ 1T w = 1}
เมื่อส่งแต่ละ w ∈ 𝒲 ไปยังระนาบ risk–return ด้วย
√
w ⟼ ( wT Σw, wT 𝜇)
จะได้ opportunity set ซึ่งเป็นภาพของ feasible weights ในระนาบ risk–return
ข้อสังเกต
Feasible set และ opportunity set ไม่ใช่สิ่งเดียวกัน Feasible set อยู่ใน weight space และบอกว่า
น้ำ หนัก ชุด ใดทำได้ ภายใต้ constraints ส่วน opportunity set อยู่ ใน risk–return space และบอกว่า
พอร์ตเหล่านั้นให้คู่ (𝜎𝑝 , 𝜇𝑝 ) ใดบ้าง พอร์ตน้ำหนักต่างกันอาจถูกส่งไปยังจุด risk–return เดียวกันได้ จึง
ไม่ควรใช้สองคำนี้แทนกันโดยไม่ระบุบริบท
บทนิยาม 7.1
พอร์ต 𝑃1 ครอบงำพอร์ต 𝑃2 ในความหมาย mean–variance ถ้า
𝜇1 ≥ 𝜇2
และ
𝜎1 ≤ 𝜎2
โดยมีอย่างน้อยหนึ่งอสมการเป็นแบบเข้ม
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 246 · หน้าพิมพ์ 204 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 204
พอร์ตที่ไม่มีพอร์ตอื่นใน feasible set ครอบงำเรียกว่า mean–variance efficient portfolio
7.2.1 ข้อสมมติและขอบเขตของกรอบ Mean–Variance
กรอบ mean–variance ใช้ expected return เป็นตัวแทน reward และ variance เป็นตัวแทน risk เกณฑ์นี้มี
ฐานเชิงทฤษฎีที่ชัดเจนภายใต้ quadratic utility และมีความสะดวกมากเมื่อผลตอบแทนอยู่ในตระกูลการแจกแจง
ที่อธิบายได้ดีด้วยพารามิเตอร์ตำแหน่งและการกระจาย เช่น กรณีปกติ อย่างไรก็ตาม ในข้อมูลจริงที่มี skewness,
fat tails หรือ downside asymmetry การใช้เพียงสองโมเมนต์แรกอาจไม่สะท้อนความเสี่ยงทั้งหมด จึงควรมอง
mean–variance เป็นแบบจำลองอ้างอิงที่มีประโยชน์ ไม่ใช่คำอธิบายความเสี่ยงที่สมบูรณ์ในทุกสถานการณ์
การประยุกต์ใช้ต้องระบุอย่างน้อย investment horizon, return definition, วิธีประมาณ 𝜇, วิธีประมาณ Σ,
universe, short-sale rule, leverage rule และข้อจำกัดด้านสภาพคล่อง เพราะการเปลี่ยนองค์ประกอบใดองค์
ประกอบหนึ่งสามารถเปลี่ยน feasible set และ efficient frontier ได้ แม้ข้อมูลราคาชุดเดิมจะไม่เปลี่ยน
ข้อสังเกต
̂ ชุดหนึ่ง
Mean–variance efficiency เป็น conditional statement พอร์ตที่ efficient ภายใต้ 𝜇̂ และ Σ
อาจไม่ efficient เมื่อ estimation window, estimator, constraints หรือ market regime เปลี่ยน
7.3 Target-Return Minimum-Variance Problem
สมมติ Σ เป็น symmetric positive definite และต้องการผลตอบแทนเป้าหมาย 𝜇0
Mean–Variance Optimization
1 T
min w Σw
w 2
subject to 1T w = 1, 𝜇T w = 𝜇 0
ตัว คูณ 1/2 ไม่ เปลี่ยนคำตอบ แต่ ทำให้ อนุพันธ์ สะดวกขึ้น ภายใต้ กรณี unconstrained ที่ อนุญาต short-
selling หาก 𝜇 ไม่เป็นค่าคงที่เท่ากันทุกสินทรัพย์ จะสามารถสร้าง target return ได้หลากหลายมากผ่าน long–
short positions แต่ ความเป็น ไปได้ เชิง คณิตศาสตร์ นี้ ไม่ ได้ หมายความว่า พอร์ต ดัง กล่าวดำเนิน การได้ จริง เมื่อ มี
leverage, borrow หรือ position limits
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 247 · หน้าพิมพ์ 205 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 205
สร้าง Lagrangian
1
ℒ = wT Σw − 𝜆(1T w − 1) − 𝛾(𝜇T w − 𝜇0 )
2
เงื่อนไขอันดับหนึ่งคือ
Σw − 𝜆1 − 𝛾𝜇 = 0
ดังนั้น
w = Σ−1 (𝜆1 + 𝛾𝜇)
กำหนด
−1 −1 −1
𝐴 = 1T Σ 1, 𝐵 = 1T Σ 𝜇, 𝐶 = 𝜇T Σ 𝜇, Δ = 𝐴𝐶 − 𝐵2 (7.1)
จาก constraints
𝐴 𝐵 𝜆 1
[ ][ ] = [ ]
𝐵 𝐶 𝛾 𝜇0
ถ้า Δ > 0
𝐶 − 𝐵𝜇0
𝜆=
Δ
และ
𝐴𝜇0 − 𝐵
𝛾=
Δ
จึงได้ผลสำคัญ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 248 · หน้าพิมพ์ 206 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 206
ทฤษฎีบท 7.1
ถ้า Σ positive definite และ Δ > 0 พอร์ตความแปรปรวนต่ำสุดที่ให้ expected return เท่ากับ 𝜇0
คือ
𝐶 − 𝐵𝜇0 𝐴𝜇 − 𝐵
w(𝜇0 ) = Σ−1 [ 1+ 0 𝜇] (7.2)
Δ Δ
สูตร นี้ มี ความ หมาย สำคัญ สอง ประการ ประการ แรก น้ำ หนัก พอร์ต ขึ้น กับ Σ−1 จึง ไว ต่อ covariance
estimation โดยเฉพาะเมื่อ เมทริกซ์ มี condition number สูง ประการที่ สอง target return เข้า สูตรแบบเชิง
เส้น ทำให้ frontier portfolios ทั้งหมดอยู่ บน affine subspace ที่มีมิติต่ำ กว่า พื้นที่น้ำหนักเดิม ซึ่งเป็นพื้นฐาน
ของ two-fund theorem ในหัวข้อถัดไป
พิสูจน์. เงื่อนไขอันดับหนึ่งให้รูปของ w ด้านบน และ constraints ให้ระบบเชิงเส้นสำหรับ 𝜆, 𝛾 เมื่อ Δ > 0
ระบบมีคำตอบเอกลักษณ์
เนื่องจาก Σ positive definite ฟังก์ชันวัตถุประสงค์
1 T
w Σw
2
เป็น strictly convex ขณะที่ constraints เป็น affine ดัง นั้น feasible stationary point เป็น global
minimizer ที่มีเอกลักษณ์
7.4 เหตุใด Δ ≥ 0
ทฤษฎีบท 7.2
ถ้า Σ positive definite แล้ว
Δ = 𝐴𝐶 − 𝐵2 ≥ 0
และ Δ > 0 ถ้า 𝜇 ไม่เป็นสัดส่วนกับ 1
พิสูจน์. กำหนด
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 249 · หน้าพิมพ์ 207 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 207
x = Σ−1/2 1
และ
y = Σ−1/2 𝜇
จะได้
𝐴 = xT x
𝐵 = xT y
และ
𝐶 = yT y
จาก Cauchy–Schwarz inequality
𝐵2 ≤ 𝐴𝐶
จึงได้
Δ≥0
และ equality เกิดเมื่อ x กับ y เป็นเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งเทียบเท่ากับ 𝜇 เป็นสัดส่วนกับ 1
กรณี Δ = 0 ภายใต้ Σ positive definite เทียบเท่ากับ 𝜇 = 𝑐1 สำหรับค่าคงที่ 𝑐 กล่าวคือ expected
return ของสินทรัพย์ ทุก ตัว เท่า กัน ดัง นั้น พอร์ต fully invested ทุก พอร์ต มี expected return เท่ากับ 𝑐 หาก
กำหนด 𝜇0 = 𝑐 ข้อจำกัดด้านผลตอบแทนจะซ้ำกับ budget constraint ในเชิงข้อมูล และหากกำหนด 𝜇0 ≠ 𝑐
ปัญหาจะไม่มี feasible solution ประเด็นนี้อธิบายว่าทำไมสูตร frontier แบบปิดรูปจึงต้องสมมติ Δ > 0
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 250 · หน้าพิมพ์ 208 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 208
7.5 Global Minimum Variance Portfolio
หากไม่กำหนด target return ปัญหาคือ
1
min wT Σw
w 2
ภายใต้
1T w = 1
ทฤษฎีบท 7.3
Global Minimum Variance Portfolio คือ
−1 −1
Σ 1 Σ 1
wGMV = = (7.3)
1T Σ−1 1 𝐴
โดย
𝐵 1
𝜇GMV = 2
𝜎GMV = (7.4)
𝐴 𝐴
พิสูจน์. Lagrangian คือ
1
ℒ = wT Σw − 𝜆(1T w − 1)
2
จึงได้
Σw = 𝜆1
หรือ
w = 𝜆Σ−1 1
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 251 · หน้าพิมพ์ 209 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 209
ใช้ budget constraint
1 = 1T w = 𝜆𝐴
ดังนั้น
1
𝜆=
𝐴
และได้สูตรน้ำหนัก GMV จากนั้น
−1
TΣ 1 𝐵
𝜇GMV = 𝜇 =
𝐴 𝐴
ส่วน variance คือ
2 1T Σ−1 ΣΣ−1 1 1
𝜎GMV = =
𝐴2 𝐴
ข้อ สังเกตสำคัญ คือ wGMV ขึ้น กับ Σ แต่ ไม่ ขึ้น กับ 𝜇 โดยตรง จึง มัก มี ความเสถียรกว่า พอร์ต ที่ ไล่ ตาม target
return หรือ expected-return forecasts เมื่อ การประมาณค่า mean มี noise สูง อย่างไรก็ ดี GMV ยัง ไวต่อ
covariance estimation และอาจมีน้ำหนักสุดโต่งได้หากอนุญาต short-selling โดยไม่มีข้อจำกัด
7.5.1 กรณีสองสินทรัพย์
ถ้า 𝑤 เป็นน้ำหนักสินทรัพย์ 1
𝜎𝑝2 = 𝑤2 𝜎12 + (1 − 𝑤)2 𝜎22 + 2𝑤(1 − 𝑤)𝜎12
หาอนุพันธ์เทียบ 𝑤 จะได้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 252 · หน้าพิมพ์ 210 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 210
Two-Asset GMV
𝜎22 − 𝜎12
𝑤1GMV = ,
𝜎12 + 𝜎22 − 2𝜎12
𝑤2GMV = 1 − 𝑤1GMV
ตัวส่วน 𝜎12 + 𝜎22 − 2𝜎12 = Var(𝑅1 − 𝑅2 ) จึงสะท้อนความเสี่ยงของผลตอบแทนส่วนต่างระหว่างสอง
สินทรัพย์ หากส่วนต่างแทบไม่ผันผวน สินทรัพย์ทั้งสองให้ข้อมูลด้าน diversification ที่ใกล้เคียงกันมาก และสูตร
น้ำหนักจะไวต่อค่าประมาณ covariance มากขึ้น
7.6 Minimum-Variance Frontier
จาก optimality condition
Σw = 𝜆1 + 𝛾𝜇
จึงมี
𝜎𝑝2 = wT Σw = 𝜆 + 𝛾𝜇0
แทนค่า 𝜆 และ 𝛾
ทฤษฎีบท 7.4
Minimum-variance frontier ของ risky assets ภายใต้ unconstrained short-selling คือ
𝐴𝜇2 − 2𝐵𝜇 + 𝐶
𝜎2 (𝜇) = (7.5)
Δ
และสามารถเขียนรอบ GMV เป็น
2
1 𝐴 𝐵
𝜎2 (𝜇) = + (𝜇 − ) (7.6)
𝐴 Δ 𝐴
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 253 · หน้าพิมพ์ 211 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 211
สมการหลังทำให้เห็นทันทีว่า variance ต่ำสุดเกิดเมื่อ
𝐵
𝜇= = 𝜇GMV
𝐴
และ
1
𝜎2 =
𝐴
ในระนาบ (𝜇, 𝜎2 ) สมการเป็นพาราโบลา ส่วนในระนาบ (𝜎, 𝜇) สมการเต็มเป็นไฮเพอร์โบลา แต่ในทางการ
เงินพิจารณาเฉพาะครึ่งระนาบ 𝜎 ≥ 0 จึงเห็นแขนบนและแขนล่างที่มาบรรจบกัน ณ GMV แขนบนเป็นส่วนที่ให้
ผลตอบแทนสูงกว่าสำหรับความเสี่ยงระดับเดียวกัน
𝜇
efficient frontier
GMV
inefficient branch
𝜎
รูปที่ 7.2: Minimum-variance frontier และ efficient branch
บทนิยาม 7.2
ส่วนของ minimum-variance frontier ที่
𝜇 ≥ 𝜇GMV
คือ efficient frontier
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 254 · หน้าพิมพ์ 212 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 212
ส่วนที่
𝜇 < 𝜇GMV
เป็น inefficient branch เพราะสำหรับ ทุก จุด บนแขนล่าง มี พอร์ต บนแขนบนที่ มี variance เท่า กัน แต่
expected return สูงกว่า
การแบ่ง efficient/inefficient จึง ไม่ใช่ เรื่องของ “ความเสี่ยงต่ำ หรือ สูง” เพียงอย่างเดียว แต่ เป็น เรื่องของ
dominance ตัวอย่าง เช่น พอร์ต ที่ มี ความ เสี่ยง สูง กว่า GMV อาจ ยัง มี ประสิทธิภาพ หาก ไม่มี พอร์ต อื่น ที่ ให้
expected return อย่างน้อยเท่ากันด้วยความเสี่ยงที่ต่ำกว่า
7.7 ตัวอย่างเชิงตัวเลขสามสินทรัพย์
พิจารณา
0.06
⎡ ⎤
𝜇 = ⎢0.10⎥
⎢ ⎥
⎣0.14 ⎦
และ
0.0064 0.00192 0.00144
⎡ ⎤
Σ = ⎢0.00192 0.0144 0.00756⎥
⎢ ⎥
⎣0.00144 0.00756 0.0324 ⎦
เมทริกซ์นี้สอดคล้องกับ volatilities 8%, 12%, 18% และ pairwise correlations 0.20, 0.10, 0.35
จากการคำนวณได้ประมาณ
𝐴 = 197.7324, 𝐵 = 14.7551, 𝐶 = 1.29864, Δ = 39.0718
สำหรับ target return
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 255 · หน้าพิมพ์ 213 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 213
𝜇0 = 10%
ได้
0.3149
⎡ ⎤
w(0.10) ≈ ⎢
⎢0.3703 ⎥
⎥
⎣0.3149⎦
และ
𝜎𝑝 ≈ 9.12%
ส่วน GMV คือ
0.7082
⎡ ⎤
wGMV ≈ ⎢
⎢ 0.2181 ⎥
⎥
⎣0.0737 ⎦
โดย
𝜇GMV ≈ 7.46%
และ
𝜎GMV ≈ 7.11%
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 256 · หน้าพิมพ์ 214 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 214
ตารางที่ 7.1: ตัวอย่างจุดบน minimum-variance frontier
𝜇0 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝜎𝑝
8% 0.6248 0.2503 0.1248 7.21%
10% 0.3149 0.3703 0.3149 9.12%
12% 0.0049 0.4902 0.5049 12.44%
14% -0.3051 0.6102 0.6949 16.34%
ตัวอย่างนี้ แสดงให้ เห็น ว่า เมื่อ target return สูง ขึ้น optimizer ค่อย ๆ ลดน้ำ หนัก สินทรัพย์ ที่ มี expected
return ต่ำและเพิ่มน้ำหนักสินทรัพย์ที่มี expected return สูง เมื่อ target เท่ากับ 14% ซึ่งเป็น expected return
สูงสุดของสินทรัพย์ทั้งสาม พอร์ต long-only ในตัวอย่างนี้ต้องเป็น w = (0, 0, 1)T จึงมี volatility 18% แต่
unconstrained optimizer สามารถใช้ short position ในสินทรัพย์ ที่ 1 เพื่อ จัด covariance structure ใหม่
และลด volatility ลงเหลือประมาณ 16.34% จึงไม่ควรนำสูตรปิดรูปไปใช้กับ long-only mandate โดยไม่แก้
constrained problem ใหม่
7.8 Two-Fund Theorem สำหรับสินทรัพย์เสี่ยง
จากสมการ (7.2) สามารถจัดรูปเป็น
w(𝜇) = g + 𝜇h
โดย
−1 −1
𝐶Σ 1 − 𝐵Σ 𝜇
g=
Δ
และ
−1 −1
𝐴Σ 𝜇 − 𝐵Σ 1
h=
Δ
ดังนั้น frontier portfolios อยู่บน affine line ใน weight space
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 257 · หน้าพิมพ์ 215 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 215
ทฤษฎีบท 7.5
เลือกพอร์ตบน minimum-variance frontier สองพอร์ต w(1) และ w(2) ที่มี expected returns 𝜇1 ≠
𝜇2 แล้ว frontier portfolio ที่มี target return 𝜇0 สามารถเขียนเป็น
w(𝜇0 ) = 𝛼w(1) + (1 − 𝛼)w(2)
เมื่อ
𝜇0 − 𝜇 2
𝛼=
𝜇1 − 𝜇 2
คำว่า combination ในทฤษฎีบทนี้เป็น affine combination กล่าวคือ 𝛼 ไม่จำเป็นต้องอยู่ในช่วง [0, 1] หาก
target return อยู่นอกช่วงระหว่าง 𝜇1 และ 𝜇2 จะได้ 𝛼 < 0 หรือ 𝛼 > 1 ซึ่งตีความเป็นการ extrapolate
ด้วย long–short positions ไม่ใช่การผสมแบบ long-only ธรรมดา
พิสูจน์. เพราะ
w(𝜇) = g + 𝜇h
จึงมี
𝛼w(𝜇1 ) + (1 − 𝛼)w(𝜇2 ) = g + [𝛼𝜇1 + (1 − 𝛼)𝜇2 ] h
= g + 𝜇0 h
= w(𝜇0 )
ประเด็นที่ต้องระวัง
Two-fund theorem ในส่วนนี้กล่าวถึงการสร้าง frontier จาก risky frontier portfolios สองพอร์ต ไม่ใช่
mutual-fund separation ที่เกิดหลังเพิ่ม risk-free asset ซึ่งจะพัฒนาในบทที่ 8
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 258 · หน้าพิมพ์ 216 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 216
7.9 Utility และการเลือกพอร์ตของนักลงทุน
Efficient frontier ระบุ ชุด พอร์ต ที่ ไม่ ถูก ครอบงำ แต่ ยัง ไม่ ระบุ ว่า ผู้ ลงทุน ควร เลือก จุด ใด จำเป็น ต้อง เพิ่ม
preference หรือ objective
พิจารณา mean–variance utility
𝑎
𝑈 (w) = 𝜇T w − wT Σw 𝑎>0 (7.7)
2
โดย 𝑎 เป็น risk-aversion coefficient
ทฤษฎีบท 7.6
ภายใต้ budget constraint
1T w = 1
คำตอบของ
𝑎
max {𝜇T w − wT Σw}
w 2
คือ
1
w𝑎 = wGMV + Σ−1 (𝜇 − 𝜇GMV 1) (7.8)
𝑎
พิสูจน์. FOC คือ
𝜇 − 𝑎Σw − 𝜆1 = 0
จึงได้
1
w = Σ−1 (𝜇 − 𝜆1)
𝑎
จาก budget constraint
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 259 · หน้าพิมพ์ 217 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 217
1
1= (𝐵 − 𝜆𝐴)
𝑎
ดังนั้น
𝐵−𝑎 𝑎
𝜆= = 𝜇GMV −
𝐴 𝐴
แทนกลับและจัดรูปจะได้สมการ (7.8)
นอกจากนี้
Δ
𝜇𝑎 = 𝜇GMV +
𝑎𝐴
และ
1 Δ
𝜎𝑎2 = + 2
𝐴 𝑎 𝐴
ดัง นั้น เมื่อ 𝑎 เพิ่ม พอร์ต ที่ เลือกจะเข้าใกล้ GMV และเมื่อ 𝑎 → ∞ จะได้ w𝑎 → wGMV โดยตรง ในทาง
กลับกัน เมื่อ 𝑎 ลดลง นักลงทุนให้น้ำหนักกับ expected return มากขึ้น ทำให้พอร์ตเคลื่อนออกจาก GMV ไปตาม
efficient frontier และโดยทั่วไปมีความไวต่อ estimation error ของ 𝜇 มากขึ้น
สังเกตว่าเมื่อ 𝑎 > 0 และ Δ > 0 จะมี 𝜇𝑎 > 𝜇GMV ดังนั้นคำตอบของ utility problem อยู่บน efficient
branch ไม่ใช่แขนล่าง และสมการ variance ที่ถูกต้องคือ 𝜎𝑎2 = 1/𝐴 + Δ/(𝑎2 𝐴) ซึ่งสอดคล้องกับการแทน
𝜇𝑎 ลงในสมการ frontier โดยตรง
ข้อสังเกต
Utility parameter ไม่ ควรถูก เลือกเพียงเพื่อ ทำให้ ผลย้อนหลัง ดู ดี ค่า 𝑎 ควรสะท้อน mandate, risk
budget หรือ preference ที่กำหนดก่อนประเมินผลลัพธ์
7.10 No Short-Selling และ Quadratic Programming
เมื่อไม่อนุญาต short-selling เพิ่มข้อจำกัด
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 260 · หน้าพิมพ์ 218 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 218
𝑤𝑖 ≥ 0 𝑖 = 1, … , 𝑛
ปัญหากลายเป็น
Long-Only Mean–Variance Problem
1 T
min w Σw
w 2
subject to 1T w = 1, 𝜇T w = 𝜇 0 , w≥0
ในกรณี long-only และ fully invested ค่า 𝜇0 ต้องอยู่ ใน convex hull ของ expected returns ของ
สินทรัพย์ กล่าวง่าย ๆ คือสำหรับสินทรัพย์รายตัวและไม่มีข้อจำกัดอื่น ต้องมี min𝑖 𝜇𝑖 ≤ 𝜇0 ≤ max𝑖 𝜇𝑖 จึงจะ
มี feasible portfolio เงื่อนไขนี้ต่างจาก unconstrained case ที่ short-selling ทำให้ช่วง target return ขยาย
ออกไปได้มาก
สูตร inverse แบบ unconstrained ไม่ สามารถใช้ได้ ตลอด frontier เพราะ active set เปลี่ยนเมื่อ target
return เปลี่ยน
7.10.1 KKT Conditions
เขียน inequality เป็น
−𝑤𝑖 ≤ 0
และให้ 𝜈𝑖 ≥ 0 เป็น multipliers
เงื่อนไข KKT คือ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 261 · หน้าพิมพ์ 219 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 219
Σw − 𝜆1 − 𝛾𝜇 − 𝜈 = 0
1T w = 1
𝜇T w = 𝜇 0
w≥0
𝜈≥0
𝜈 𝑖 𝑤𝑖 = 0
บทนิยาม 7.3
สินทรัพย์ ที่ มี 𝑤𝑖 = 0 อยู่ บน boundary ของ feasible set ในภาษา active-set optimization ข้อ
จำกัด 𝑤𝑖 ≥ 0 ของสินทรัพย์นั้นเป็น active constraint ขณะที่สินทรัพย์มักถูกเรียกว่า inactive asset
เพราะไม่ได้ถูกถือในพอร์ต หาก 𝑤𝑖 > 0 complementary slackness บังคับให้ 𝜈𝑖 = 0
จุด ที่ active set เปลี่ยนทำให้ frontier แบบ constrained มี โครงสร้างเป็น ชิ้น ๆ และเกิด corner
portfolios จึงไม่ควรคาดหวังว่าน้ำหนักจะเปลี่ยนอย่างเรียบตลอดทุก target return
ประเด็นที่ต้องระวัง
หาก unconstrained solution มีน้ำหนักติดลบ การแทนน้ำหนักเหล่านั้นด้วยศูนย์แล้ว normalize ใหม่
ไม่ใช่คำตอบ long-only optimizer โดยทั่วไป เพราะการเปลี่ยนน้ำหนักหนึ่งตัวเปลี่ยนทั้ง budget, target
return และ covariance interactions
7.11 ข้อจำกัดเชิงปฏิบัติที่เปลี่ยน Efficient Frontier
การลงทุนจริงอาจมี constraints เช่น
ℓ𝑖 ≤ 𝑤 𝑖 ≤ 𝑢 𝑖
sector limits
𝐿𝑔 ≤ ∑ 𝑤𝑖 ≤ 𝑈𝑔
𝑖∈𝑔
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 262 · หน้าพิมพ์ 220 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 220
gross leverage limit
∑ |𝑤𝑖 | ≤ 𝐺max
𝑖
และ turnover constraint
∑ |𝑤𝑖 − 𝑤𝑖old | ≤ 𝜏
𝑖
เมื่อเพิ่ม constraints feasible set จะหดตัว ดังนั้น frontier ที่เป็นไปได้ภายใต้ constraints ใหม่ไม่สามารถ
ครอบงำ unconstrained frontier ในเชิง mathematical opportunity set ได้
ทฤษฎีบท 7.7
ถ้า feasible sets สองชุดมีความสัมพันธ์
𝒲2 ⊆ 𝒲 1
แล้ว minimum variance ที่ target return เดียวกันภายใต้ 𝒲2 ไม่น้อยกว่าภายใต้ 𝒲1
พิสูจน์. การ minimize ฟังก์ชัน เดียวกัน บนเซตที่ เล็ก กว่า ไม่ สามารถให้ ค่า ต่ำ กว่า ค่า ต่ำ สุด บนเซตที่ ใหญ่ กว่า ซึ่ง
ครอบคลุมเซตนั้น
อย่างไรก็ตาม constraints อาจช่วยให้ realized out-of-sample performance ดีขึ้น เพราะลด estimation-
error amplification, concentration และ turnover แม้ in-sample frontier จะดูด้อยลง นี่เป็นตัวอย่างสำคัญ
ของความแตกต่างระหว่าง optimization efficiency กับ investment robustness: การยอมเสียประสิทธิภาพ
เชิงแบบจำลองเล็กน้อยอาจแลกกับพอร์ตที่ดำเนินการได้จริงและเสถียรกว่า
7.12 Estimation Error และความไม่เสถียรของ Optimal Weights
สูตรปิดรูปทำให้เห็นว่าคำตอบขึ้นกับ
−1
Σ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 263 · หน้าพิมพ์ 221 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 221
อย่างมาก ถ้า covariance matrix มี eigenvalue เล็ก การกลับเมทริกซ์จะขยาย noise ในทิศดังกล่าว
ให้ eigendecomposition
Σ = 𝑄Λ𝑄T
โดย
Λ = diag(𝜆1 , … , 𝜆𝑛 )
แล้ว
−1
Σ = 𝑄Λ−1 𝑄T
ถ้า 𝜆𝑗 เล็กมาก ค่า 1/𝜆𝑗 จะมีค่ามาก ทำให้ perturbation เล็กในข้อมูลสร้างการเปลี่ยนแปลงของน้ำหนักได้
มาก ปัญหานี้มักสรุปด้วย condition number
𝜆
𝜅(Σ) = max
𝜆min
เมื่อ 𝜅(Σ) สูงมาก การคำนวณ inverse แม้ทำได้ในเชิงตัวเลขก็อาจไม่เสถียร ในกรณีที่ sample covariance
เป็น singular เช่น จำนวนสินทรัพย์มากเมื่อเทียบกับจำนวนข้อมูล การใช้ pseudoinverse เพียงอย่างเดียวไม่แก้
estimation risk โดยอัตโนมัติ จึงควรพิจารณา shrinkage, factor structure หรือ regularization ร่วมด้วย
ประเด็นที่ต้องระวัง
Efficient frontier ที่ดูดีมากใน sample อาจเป็นผลของ estimation noise โดยเฉพาะเมื่อ expected-
return estimates แตกต่างกัน เพียงเล็ก น้อยแต่ optimizer ใช้ leverage หรือ short positions เพื่อ
แสวงหาความแตกต่างนั้น
7.13 Sensitivity ของ Optimal Weights
ให้ 𝜃 แทน input parameter เช่น expected return, volatility หรือ correlation และให้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 264 · หน้าพิมพ์ 222 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 222
w∗ (𝜃)
เป็น optimal weights
การตรวจ sensitivity สามารถใช้ finite difference
𝜕 w∗ w∗ (𝜃 + ℎ) − w∗ (𝜃 − ℎ)
≈
𝜕𝜃 2ℎ
สำหรับ unconstrained problem ที่ คำตอบเปลี่ยนอย่างเรียบ finite difference ให้การประมาณ local
sensitivity ที่มีความหมาย แต่ใน constrained optimization คำตอบอาจไม่ differentiable ณ จุดที่ active set
เปลี่ยน ดังนั้นควรดูทั้งอนุพันธ์เชิงตัวเลขและการเปลี่ยนแปลงของ active constraints ควบคู่กัน
ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องรายงานอนุพันธ์ทุกตัว แต่ควรตรวจอย่างน้อย
1. expected-return perturbation
2. volatility perturbation
3. correlation stress
4. estimation-window shift
5. universe inclusion/exclusion
6. constraint tightening/relaxation
Weight Stability Diagnostics
ตัวชี้วัดง่ายที่ใช้เปรียบเทียบพอร์ตฐานกับพอร์ตหลัง perturbation ได้แก่
‖w(1) − w(0) ‖1
‖w(1) − w(0) ‖2
และ maximum absolute weight change
max |𝑤𝑖(1) − 𝑤𝑖(0) |
𝑖
หาก input เปลี่ยนเล็กน้อยแต่น้ำหนักเปลี่ยนมาก ควรตีความคำตอบ optimizer ด้วยความระมัดระวัง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 265 · หน้าพิมพ์ 223 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 223
7.14 แนวทางเพิ่ม Robustness
แนวทางสำคัญประกอบด้วย
ตารางที่ 7.2: แนวทางลดความเปราะบางของ Mean–Variance Portfolio
แนวทาง หลักการ ข้อแลกเปลี่ยน
Covariance shrinkage ดึง sample covariance เข้าหา เพิ่ม bias เพื่อ แลก กับ estimation
structured target stability
Expected-return shrink- ลด dispersion ของ 𝜇̂ ลด extreme active bets
age
Weight bounds จำกัด 𝑤𝑖 frontier ใน sample แคบลง
Long-only ตัด short positions ลด leverage แต่เสีย flexibility
Turnover penalty ลงโทษการเปลี่ยนน้ำหนัก ลด trading cost แต่ตอบสนองช้าลง
Resampling สร้าง หลาย samples/ parameter ใช้ computation มากขึ้นและขึ้นกับ
scenarios resampling design
Factor structure ลดมิติของ covariance estimation มี factor-model risk
Rolling validation ประเมินผลข้ามเวลา ลด sample สำหรับแต่ละ window
แนวคิด shrinkage ของ covariance เชื่อมกับ บทที่ 6 และงานของ Ledoit และ Wolf [30] จุด สำคัญ
คือ robustness ไม่ ได้ หมายถึง การใช้ วิธี ที่ ซับ ซ้อนที่สุด แต่ หมายถึง การลดความไวของผลลัพธ์ ต่อ noise และ
assumptions โดยยังรักษาเหตุผลทางเศรษฐศาสตร์และความสามารถในการตรวจสอบย้อนกลับ
7.15 In-Sample Frontier กับ Out-of-Sample Portfolio
การสร้าง frontier และการประเมินผลต้องแยกช่วงข้อมูลอย่างชัดเจน
̂ 𝑡 ) ⟶ w∗𝑡 ⟶ Future Holding Period
Estimation Window ⟶ (𝜇𝑡̂ , Σ
ผลตอบแทน realized ของพอร์ตในช่วงถัดไปคือ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 266 · หน้าพิมพ์ 224 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 224
𝑅𝑝,𝑡+1 = (w∗𝑡 )T R𝑡+1
ไม่ใช่
(w∗𝑡 )T 𝜇𝑡̂
ประเด็นที่ต้องระวัง
การ ใช้ ข้อมูล อนาคต ใน การ ประมาณ 𝜇̂ หรือ Σ ̂ ก่อน สร้าง น้ำ หนัก เป็น look-ahead bias การ
รายงาน efficient frontier ที่ ใช้ ข้อมูล ทั้ง sample จึง ไม่ใช่ หลัก ฐานของ out-of-sample investment
performance
สำหรับ rolling experiment ควร บันทึก estimation date, rebalance date, holding period,
transaction-cost assumption และ benchmark ทุก ครั้ง หากมี การซื้อ ขายจริง realized portfolio return
ควรหัก ต้นทุน จาก turnover ที่ เกิด ขึ้น ด้วย มิ ฉะนั้น อาจเกิด กรณี ที่ optimizer ดู เหนือ กว่า benchmark ในเชิง
gross return แต่ด้อยกว่าเมื่อพิจารณา net return
7.16 กรณีศึกษางานวิจัยของผู้เขียน
งานของ Witayakiattilerd และคณะศึกษาการใช้ correlation, beta และการสร้างพอร์ตจากหลักทรัพย์ SET50
ในข้อมูลย้อนหลัง โดยแสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ระหว่างหลักทรัพย์และข้อกำหนด long–short สามารถเปลี่ยน
feasible investment strategies ได้ [68]
จากงานวิจัยสู่การประยุกต์: Correlation Structure กับ Feasible Strategy
บทเรียนสำหรับ ทฤษฎี พอร์ต ไม่ใช่ การนำคู่ หลัก ทรัพย์ จาก sample period เดิม มาใช้ ในปัจจุบัน แต่ คือ
กระบวนการ
return data → dependence estimation → feasible-set design
→ portfolio rule → out-of-sample evaluation
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 267 · หน้าพิมพ์ 225 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 225
เมื่ออนุญาต short-selling feasible set เปลี่ยนอย่างมีสาระ และต้องเพิ่มข้อจำกัดด้าน borrowability,
leverage, liquidity และ transaction cost ในการใช้งานจริง
งานของ Kesamoon และ Witayakiattilerd ใช้ fuzzy analytical hierarchy process เพื่อ รวมข้อมูล เชิง
ปริมาณและเชิงคุณภาพในการคัดเลือกหลักทรัพย์ [28]
จากงานวิจัยสู่การประยุกต์: Security Selection กับ Portfolio Weighting เป็นคนละชั้น
การคัดเลือก universe สามารถทำก่อน mean–variance optimization
fundamentals / qualitative information → screening or score
→ candidate universe → (𝜇,̂ Σ)̂ → portfolio weights
วิธี screening ไม่ได้แทน Markowitz optimizer และ Markowitz optimizer ไม่ได้ตอบคำถามว่าควรนำ
สินทรัพย์ใดเข้าสู่ universe ตั้งแต่ต้น
7.17 สะพานสู่สินทรัพย์ปราศจากความเสี่ยงและ CAPM
frontier ในบทนี้สร้างจาก risky assets เท่านั้น บทที่ 8 จะเพิ่มสินทรัพย์ปราศจากความเสี่ยงที่ให้ผลตอบแทน 𝑅𝑓
เมื่อผสม risk-free asset กับ risky portfolio 𝑃 ด้วยน้ำหนัก 𝑦 โดยน้ำหนักในสินทรัพย์ปราศจากความเสี่ยง
เท่ากับ 1 − 𝑦
𝜇𝐶 = 𝑅𝑓 + 𝑦(𝜇𝑃 − 𝑅𝑓 )
และ
𝜎𝐶 = |𝑦|𝜎𝑃
ดังนั้นพอร์ตผสมอยู่บนเส้นตรงในระนาบ 𝜎–𝜇 เมื่อพิจารณาด้าน 𝑦 ≥ 0 และหากอนุญาต 𝑦 > 1 หมายถึง
การกู้ที่อัตรา 𝑅𝑓 เพื่อเพิ่ม leverage ส่วน 0 < 𝑦 < 1 หมายถึงถือทั้ง risk-free asset และ risky portfolio
ผลเส้นตรงนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าการให้กู้และกู้ยืมทำได้ที่อัตรา risk-free เดียวกันและไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติม
ซึ่งเป็น idealization ที่จะต้องระวังเมื่อนำไปใช้จริง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 268 · หน้าพิมพ์ 226 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 226
คำถามสำคัญจึงเปลี่ยนเป็นว่า risky portfolio ใดทำให้เส้นที่เริ่มจาก 𝑅𝑓 มีความชันสูงที่สุด
𝜇𝑃 − 𝑅 𝑓
𝜎𝑃
ซึ่งนำไปสู่ tangency portfolio, Capital Allocation Line, Capital Market Line และ CAPM
𝜇
L)
e (CA
Efficient frontier n Lin
o
cat
a l Allo
it
Cap
พอร์ตสัมผัส 𝑇
การเลือกพอร์ตสัมผัสและ CAPM
พัฒนาในบทถัดไป
𝑅𝑓 GMV
Inefficient frontier
𝜎
รูปที่ 7.3: การเพิ่มสินทรัพย์ปราศจากความเสี่ยงทำให้เส้นจัดสรรเงินทุน (Capital Allocation Line: CAL) สัมผัส
เส้นขอบเขตประสิทธิภาพของสินทรัพย์เสี่ยง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 269 · หน้าพิมพ์ 227 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 227
7.18 Data Lineage และ Model Governance
ตารางที่ 7.3: Checklist สำหรับ Mean–Variance Portfolio Model
องค์ประกอบ ต้องระบุ ความเสี่ยงหากละเลย
Universe inclusion/exclusion rule survivorship และ selection bias
Expected returns estimator, horizon, annualiza- optimizer ไล่ตาม noise
tion
Covariance estimator, window, shrinkage unstable inverse matrix
Constraints long-only, bounds, leverage, theoretical weights ใช้งานจริงไม่ได้
sectors
Rebalancing frequency, trigger turnover สูงหรือ drift มากเกินไป
Transaction costs commissions, spread, impact paper frontier สูงเกินจริง
Validation train/holdout/rolling look-ahead และ overfitting
Benchmark equal weight, market, policy ไม่รู้ว่า complexity เพิ่มคุณค่าหรือไม่
portfolio
Stress tests mean, vol, correlation, liquidity ไม่เห็น fragility ของ solution
Versioning data/model/parameter version ทำซ้ำผลไม่ได้
7.19 Investment Lab: Efficient Frontier และ Robustness
Investment Lab: Excel: Closed-Form Efficient Frontier
สร้าง workbook อย่างน้อย 6 ชีต
1. Prices สำหรับ adjusted price data
2. Returns สำหรับ simple returns ที่จัดวันตรงกัน
̂ และ constraints
3. Inputs สำหรับ 𝜇,̂ Σ
4. ClosedForm สำหรับ 𝐴, 𝐵, 𝐶, Δ, GMV และ target-return portfolios
5. Frontier สำหรับ target-return grid อย่างน้อย 30 จุด
6. Checks สำหรับ budget, target-return, variance และ weight diagnostics
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 270 · หน้าพิมพ์ 228 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 228
วาดกราฟ 𝜎–𝜇 ทำเครื่องหมาย GMV และแยก efficient กับ inefficient branch จากนั้นเปรียบเทียบ
unconstrained frontier กับ long-only frontier
Investment Lab: Python: Markowitz Solver Validation
สร้างหรือปรับโมดูลให้มีฟังก์ชันอย่างน้อย
• frontier_constants(mu, cov)
• gmv_weights(cov)
• target_return_weights(mu, cov, target)
• frontier_variance(mu, cov, target)
• utility_optimal_weights(mu, cov, risk_aversion)
• long_only_minvar(mu, cov, target)
• weight_stability(base, perturbed)
• rolling_frontier_experiment(...)
unit tests ควรตรวจ budget constraint, target-return constraint, GMV minimum property,
closed-form versus numerical solver, two-fund identity และ KKT residuals โดย กำหนด
numerical tolerance อย่างชัดเจน ไม่ควรตรวจ floating-point equality แบบตรงตัว
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 271 · หน้าพิมพ์ 229 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 229
7.20 ข้อจำกัดและการตีความอย่างรับผิดชอบ
ตารางที่ 7.4: ข้อจำกัดสำคัญของ Mean–Variance Portfolio Selection
ประเด็น ผลกระทบ แนวทางลดปัญหา
Expected-return error น้ำหนักไวและอาจสุดโต่ง shrinkage, views, bounds, scenar-
ios
Covariance instability inverse matrix ขยาย noise shrinkage, factor model, eigen-
value checks
Non-normal returns variance ไม่ เห็น tail/ asymmetry downside risk, ES, stress tests
ทั้งหมด
Transaction costs theoretical optimum อาจ turnover/cost constraints
turnover สูง
Liquidity น้ำหนักที่คำนวณได้อาจซื้อขายไม่ได้ liquidity caps, market-impact
model
Shortability short weights อาจดำเนินการไม่ได้ borrow constraints, long-only
model
Regime change frontier จากอดีตเคลื่อนที่ rolling/regime/stress estimation
Model risk in-sample efficiency ไม่เท่ากับ real- benchmark และ out-of-sample
ized success validation
บทสรุปท้ายบท
บทนี้พัฒนาการวิเคราะห์จากการคำนวณ risk–return ของพอร์ตไปสู่การเลือกพอร์ตที่มีประสิทธิภาพภายใต้กรอบ
mean–variance
สำหรับ target return 𝜇0 และ covariance matrix ที่ positive definite คำตอบ unconstrained คือ
𝐶 − 𝐵𝜇0 𝐴𝜇 − 𝐵
w(𝜇0 ) = Σ−1 [ 1+ 0 𝜇]
Δ Δ
โดย
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 272 · หน้าพิมพ์ 230 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 230
−1 −1 −1
𝐴 = 1T Σ 1, 𝐵 = 1T Σ 𝜇, 𝐶 = 𝜇T Σ 𝜇, Δ = 𝐴𝐶 − 𝐵2
GMV มีน้ำหนัก
−1
Σ 1
wGMV =
𝐴
พร้อม
𝐵 2 1
𝜇GMV = , 𝜎GMV =
𝐴 𝐴
minimum-variance frontier มีสมการ
2
1 𝐴 𝐵
𝜎2 (𝜇) = + (𝜇 − )
𝐴 Δ 𝐴
และแขนที่อยู่เหนือ GMV คือ efficient frontier
two-fund theorem แสดงว่า frontier portfolio ใด ๆ สามารถสร้างจาก affine combination ของ frontier
portfolios สองพอร์ตที่มี expected returns ต่างกัน
เมื่อเพิ่ม preference นักลงทุนสามารถเลือกพอร์ตด้วย mean–variance utility โดยสำหรับ risk-aversion
coefficient 𝑎 > 0 คำตอบมี 𝜇𝑎 = 𝜇GMV + Δ/(𝑎𝐴) และ 𝜎𝑎2 = 1/𝐴 + Δ/(𝑎2 𝐴) ส่วนเมื่อ
เพิ่ม no-short, weight bounds, leverage หรือ turnover constraints ปัญหาจะเปลี่ยนเป็น constrained
quadratic program และอาจเกิด corner portfolios
ข้อสรุปเชิงปฏิบัติที่สำคัญคือ efficient frontier ขึ้นกับ estimated inputs อย่างมาก การใช้งานจึงต้องตรวจ
estimation risk, weight stability, constraints, transaction costs และ out-of-sample performance ไม่ใช่
พิจารณาเฉพาะ in-sample frontier
บทถัด ไปจะเพิ่ม risk-free asset และพัฒนาจาก Markowitz frontier ไปสู่ tangency portfolio, Capital
Allocation Line, Capital Market Line และแบบจำลองการกำหนดราคาสินทรัพย์
คำศัพท์สำคัญ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 273 · หน้าพิมพ์ 231 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 231
• Feasible set • Mean–variance utility
• Opportunity set • Risk aversion
• Dominance • No short-selling
• Mean–variance efficiency • KKT conditions
• Efficient portfolio • Complementary slackness
• Minimum-variance frontier • Active set
• Efficient frontier • Corner portfolio
• Global Minimum Variance Portfolio • Weight stability
• Lagrange multiplier • Estimation error
• Quadratic programming • Shrinkage
• Positive definite matrix • Resampling
• Frontier constants • Out-of-sample validation
• Two-fund theorem
แบบฝึกหัดท้ายบท
1. อธิบายความแตกต่างระหว่าง feasible set, opportunity set, minimum-variance frontier และ
efficient frontier
2. ให้พอร์ต 𝑃1 มี (𝜎, 𝜇) = (10%, 8%) และ 𝑃2 มี (9%, 9%) จงพิจารณา dominance
3. ตั้ง Lagrangian ของ target-return minimum-variance problem และหา first-order conditions
4. พิสูจน์สูตร closed-form ของ w(𝜇0 )
5. พิสูจน์ว่า Δ = 𝐴𝐶 − 𝐵2 ≥ 0 ด้วย Cauchy–Schwarz inequality
6. อธิบายความหมายทางเศรษฐศาสตร์ของกรณี Δ = 0
7. พิสูจน์สูตร GMV และ 𝜎GMV
2
= 1/𝐴
8. หา GMV ของพอร์ตสองสินทรัพย์จากการหาอนุพันธ์โดยตรง
9. พิสูจน์สมการ minimum-variance frontier
2
2 1 𝐴 𝐵
𝜎 (𝜇) = + (𝜇 − )
𝐴 Δ 𝐴
10. อธิบายเหตุผลที่แขนล่างของ minimum-variance frontier ไม่มีประสิทธิภาพ
11. ใช้ข้อมูลตัวอย่างสามสินทรัพย์ในบทคำนวณพอร์ตที่ target returns 8%, 10%, 12%, 14%
12. ตรวจว่าพอร์ต target 14% ในตัวอย่างต้องมี short position หรือไม่
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 274 · หน้าพิมพ์ 232 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 232
13. พิสูจน์ two-fund theorem สำหรับ risky frontier portfolios
14. แก้ mean–variance utility problem และพิสูจน์สูตร w𝑎
15. แสดงว่า 𝜇𝑎 = 𝜇GMV + Δ/(𝑎𝐴) และ 𝜎𝑎2 = 1/𝐴 + Δ/(𝑎2 𝐴) พร้อมพิสูจน์ว่าเมื่อ 𝑎 → ∞
จะมี w𝑎 → wGMV
16. เขียน KKT conditions สำหรับ long-only target-return problem
17. อธิบาย complementary slackness ในความหมายของสินทรัพย์ที่มีน้ำหนักศูนย์
18. แสดงด้วยตัวอย่างว่าการตัด negative weights เป็นศูนย์แล้ว normalize ไม่จำเป็นต้องเป็น long-only
optimum
19. พิสูจน์ว่าเมื่อ feasible set ถูกทำให้เล็กลง minimum variance ที่ target เดิมไม่สามารถลดลง
20. อธิบายด้วย eigendecomposition ว่า เหตุ ใด covariance matrix ที่ ill-conditioned ทำให้ น้ำ หนัก
optimizer ไม่เสถียร
21. ออกแบบ sensitivity experiment โดย perturb expected return ของสินทรัพย์หนึ่งตัว ±50 bp
22. เปรียบเทียบ sample covariance กับ shrinkage covariance ในแง่ frontier และ weight stability
23. ออกแบบ rolling out-of-sample experiment ที่ไม่มี look-ahead bias
24. อธิบายความแตกต่างระหว่าง in-sample efficient portfolio กับ realized best portfolio
25. อธิบายว่าเหตุใดการเพิ่ม risk-free asset ในบทถัดไปทำให้ปัญหา efficient portfolio เปลี่ยนจากเส้นโค้ง
ไปสู่การหาเส้นสัมผัส
คำถามชวนคิด
1. พอร์ตที่อยู่บน efficient frontier จำเป็นต้องเป็นพอร์ตที่ดีสำหรับนักลงทุนทุกคนหรือไม่
2. เหตุใด expected-return estimation error จึงสร้างน้ำหนักสุดโต่งได้ง่าย
3. constraints ที่ทำให้ in-sample frontier แย่ลงอาจทำให้ผลจริงดีขึ้นได้อย่างไร
4. หาก covariance matrix มี ความแม่นยำสูง แต่ expected returns แทบพยากรณ์ ไม่ ได้ ควรออกแบบ
พอร์ตอย่างไร
5. การใช้ historical efficient frontier เพื่อสื่อสารกับนักลงทุนควรมีคำเตือนหรือ uncertainty information
แบบใด
6. Markowitz theory ควรถูก มองเป็น “คำตอบสุดท้าย” หรือ เป็น mathematical benchmark สำหรับ
การพัฒนาระบบบริหารพอร์ตที่ซับซ้อนขึ้น
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 275 · หน้าพิมพ์ 233 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 233
เอกสารอ้างอิงท้ายบทที่ 7
[28] C. Kesamoon and W. Witayakiattilerd. “Hierarchy Analysis Process under Fuzzy Environment:
A Positive Way of Selecting Stocks into Portfolio under Ambiguity in Stock Information”. In:
Science & Technology Asia 25.4 (2020), pp. 1–11. DOI: 10 . 14456 / scitechasia .
2019.24.
[30] Olivier Ledoit and Michael Wolf. “A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional
Covariance Matrices”. In: Journal of Multivariate Analysis 88.2 (2004), pp. 365–411.
[33] Harry Markowitz. “Portfolio Selection”. In: The Journal of Finance 7.1 (1952), pp. 77–91.
DOI: 10.2307/2975974.
[68] Wichai Witayakiattilerd, C. Neaimsri, T. Atthaphichan, C. Boontam, and P. Senarat.
“Unleashing the Potential: Exploring Cashless Investment Strategies through Short-Selling
Techniques and Modern Portfolio Theory”. In: Thailand Statistician 23.4 (2025), pp. 875–892.
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 276 · หน้าพิมพ์ 234 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7: ทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz 234 วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์