บทที่ 3 คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 63



บทที่ 3 คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน

    วัตถุประสงค์การเรียนรู้
    เมื่อจบบทนี้ ผู้อ่านควรสามารถ
         1. อธิบายความเสี่ยงของผลตอบแทนในฐานะตัวแปรสุ่ม และคำนวณค่า คาดหมาย ความแปรปรวน
            และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้
         2. คำนวณและตีความ covariance, correlation และ covariance matrix พร้อมเข้าใจข้อจำกัดของ
            correlation
         3. แยกความเสี่ยงรวม ความเสี่ยงด้านลบ ความเสี่ยงเชิงระบบ ความเสี่ยงเทียบ benchmark ความ
            เสี่ยงตามเส้นทาง และ tail risk ออกจากกันได้
         4. คำนวณ downside deviation, beta, tracking error และ maximum drawdown ได้อย่างถูก
            ต้องตามนิยาม
         5. นิยามและคำนวณ Value-at-Risk (VaR) และ Expected Shortfall (ES/CVaR) ด้วยวิธี พารา
            เมตริกและ Historical Simulation ได้
         6. อธิบาย EWMA volatility และเหตุผลที่แบบจำลองความเสี่ยงต้องได้รับการตรวจสอบด้วยข้อมูล
            จริง
         7. เลือกมาตรวัด ความเสี่ยงให้ สอดคล้องกับ คำถามการลงทุน แทนการใช้ ตัวเลขเพียงตัว เดียวแทน
            ความเสี่ยงทั้งหมด
         8. สร้าง risk summary จากข้อมูลผลตอบแทนโดยระบุ data lineage, convention, horizon และ
            สมมติฐานอย่างชัดเจน
         9. แยกความแตกต่างระหว่าง แหล่ง ความเสี่ยง มาตรวัด ความเสี่ยง และ เกณฑ์ ตัดสิน ใจ/เพดาน
            ความเสี่ยง เพื่อไม่ใช้ตัวเลขเดียวแทนความเสี่ยงทุกมิติ
        10. ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของ risk estimate จากข้อมูลจริง โดยพิจารณา sample window,
            parameter uncertainty, regime change และผล backtesting ก่อนนำไปใช้ กำหนดสถานะ
            หรือวงเงิน




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 64


3.1        บทนำ: ความเสี่ยงไม่ใช่ตัวเลขเดียว
บทที่ 2 เปลี่ยนราคาและกระแสเงินสดให้ เป็น อนุกรมผลตอบแทน บทนี้ พัฒนาคำถามต่อ ไปว่า ผลตอบแทน
ดัง กล่าวไม่ แน่นอนเพียงใด และความไม่ แน่นอนแบบใดมี ความสำคัญ ต่อ การตัดสิน ใจลงทุน กรอบพื้น ฐาน
ของ expected return, variance, covariance และ correlation เชื่อม ต่อ จาก เอกสาร ส.247 และ ตำรา
คณิตศาสตร์ การเงิน ของผู้ เขียน ขณะที่ tail-risk framework เชื่อมกับ วรรณกรรมมาตรฐานด้าน quantitative
risk management [61, 62, 34]
    คำว่า “ความเสี่ยง” ในการลงทุนมีหลายมิติ ความผันผวนเป็นเพียงมิติหนึ่ง ผู้ลงทุนอาจสนใจความน่าจะเป็นที่
ผลตอบแทนต่ำกว่าเป้าหมาย ความไวต่อการเคลื่อนไหวของตลาด การเบี่ยงเบนจาก benchmark การลดลงจาก
จุดสูงสุดเดิม หรือความเสียหายรุนแรงบริเวณหางซ้ายของการแจกแจง
   ดังนั้น การวัดความเสี่ยงที่ดีต้องเริ่มจากคำถามก่อนเลือกสูตร ไม่ใช่เลือกสูตรแล้วพยายามให้ตัวเลขเดียวอธิบาย
ความเสี่ยงทุกชนิด

    สามชั้นที่ต้องแยกก่อนวัดความเสี่ยง
    การวิเคราะห์ ที่ ใช้ จริง ควรแยก (1) แหล่ง ความเสี่ยง เช่น ตลาด ดอกเบี้ย เครดิต หรือ สภาพคล่อง (2)
    มาตรวัดความเสี่ยง เช่น SD, beta, MDD, VaR และ ES และ (3) กฎตัดสินใจ เช่น position limit, risk
    budget หรือ trigger สำหรับการลดสถานะ ทั้งสามชั้นเชื่อมกันแต่ไม่ใช่สิ่งเดียวกัน ตัวอย่างเช่น VaR เป็น
    มาตรวัด tail threshold ไม่ใช่เพดานการขาดทุน และไม่ใช่สาเหตุของความเสี่ยง

     อีก ประเด็น ที่ สำคัญ คือ การแยก ex ante risk ออกจาก ex post realized loss ค่า volatility หรือ VaR
ที่ ประมาณก่อนลงทุน เป็นการสรุป distribution ภายใต้ ข้อมูล และแบบจำลอง ณ เวลานั้น ส่วนผลขาดทุน ที่ เกิด
จริงเป็นเพียงหนึ่ง realization จาก distribution ดังกล่าว การที่วันหนึ่งไม่ขาดทุนจึงไม่ได้พิสูจน์ว่าแบบจำลองถูก
และการเกิดขาดทุนเกิน VaR เพียงครั้งเดียวก็ไม่ได้พิสูจน์ว่าแบบจำลองผิดโดยอัตโนมัติ ต้องพิจารณาความถี่และ
รูปแบบของ exceptions ตลอดช่วงทดสอบ
    ข้อสังเกต
    ขอบเขตของบทนี้ เน้นมาตรวัดความเสี่ยงในระดับสินทรัพย์หรืออนุกรมผลตอบแทน เพื่อสร้างภาษากลาง
    สำหรับบทถัด ไป การรวมความเสี่ยงของพอร์ต หลายสินทรัพย์ ด้วยเมทริกซ์ covariance จะพัฒนาในบท
    ที่ 6 ส่วน portfolio VaR, risk limits, stress testing และ formal backtesting จะพัฒนาในบทที่ 11




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 65


                              Dispersion             ผลตอบแทนกระจายจากค่ากลางมากเพียงใด
                            Variance / SD            ใช้วัดความผันผวนรวม แต่ไม่แยก upside และ downside


                            Dependence
                            Covariance /             สินทรัพย์เคลื่อนไหวร่วมกับสินทรัพย์อื่นหรือตลาดอย่างไร
                                                     เป็นฐานของ diversification และการวัด systematic exposure
                          Correlation / Beta

                           Downside                  ผลตอบแทนต่ำกว่าเป้าหมายบ่อยและรุนแรงเพียงใด
                    LPM / Downside Deviation         ต้องระบุ target return และเกณฑ์การคำนวณให้ชัดเจน



                            Relative / Path          พอร์ตเบี่ยงจาก benchmark หรือเคยลดจากจุดสูงสุดเพียงใด
                         Tracking Error / MDD        สะท้อนความเสี่ยงที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพียงตัวเดียวอาจมองไม่เห็น



                              Tail Risk              threshold ของการขาดทุนรุนแรงอยู่ที่ใด และเมื่อเข้าสู่ tail แล้วรุนแรงเพียงใด
                              VaR / ES               ต้องระบุ confidence level, horizon และแบบจำลองที่ใช้




รูปที่ 3.1: แผนที่มาตรวัดความเสี่ยงตามคำถามที่ต้องการตอบ โดยแยก dispersion, dependence, downside,
relative/path และ tail risk ออกจากกัน


3.2        ผลตอบแทนในฐานะตัวแปรสุ่ม
ให้ 𝑅 เป็นตัวแปรสุ่มแทนอัตราผลตอบแทนหนึ่งงวด หาก 𝑅 เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องที่รับค่า 𝑟1 , … , 𝑟𝑚 ด้วย
ความน่าจะเป็น 𝑝1 , … , 𝑝𝑚 โดย
                                                                                          𝑚
                                            𝑝𝑗 ≥ 0               และ                    ∑ 𝑝𝑗 = 1
                                                                                        𝑗=1


    บทนิยาม 3.1
    ค่าคาดหมายของผลตอบแทนคือ
                                                                                   𝑚
                                                𝜇 = 𝔼(𝑅) = ∑ 𝑝𝑗 𝑟𝑗
                                                                                 𝑗=1




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 66


    ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ
                                                                𝑚
                         𝜎2 = Var(𝑅) = 𝔼[(𝑅 − 𝜇)2 ] = ∑ 𝑝𝑗 (𝑟𝑗 − 𝜇)2
                                                                𝑗=1

    และ
                                             𝜎 = √Var(𝑅)

    ถ้า 𝑅 เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่มี density 𝑓𝑅 (𝑟)
                                                   ∞
                                         𝜇=∫            𝑟𝑓𝑅 (𝑟) d𝑟
                                                 −∞

    และ
                                               ∞
                                    𝜎2 = ∫ (𝑟 − 𝜇)2 𝑓𝑅 (𝑟) d𝑟
                                             −∞

    ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีหน่วยเดียวกับผลตอบแทน จึงตีความได้สะดวกกว่าความแปรปรวน แต่ทั้งสองมาตร
วัดให้ความสำคัญกับความเบี่ยงเบนด้านบวกและด้านลบแบบสมมาตร
    ข้อสังเกต
    ค่า คาดหมายไม่ใช่ ผลตอบแทนที่ คาดว่า จะเกิด ทุก งวด ค่า 𝜇 เป็น ค่า เฉลี่ย เชิง ความน่า จะเป็น ของ
    distribution ไม่ใช่ คำพยากรณ์ แบบจุด ของผลตอบแทนงวดถัด ไป ในทำนองเดียวกัน 𝜎 = 10% ไม่
    ได้หมายความว่าจะขาดทุนไม่เกิน 10% แต่บอกขนาดการกระจายภายใต้ distribution ที่ใช้ การแปลง
    volatility เป็น probability of loss หรือ tail loss ต้องอาศัยข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับรูปการแจกแจง

     ข้อจำกัดเชิงแนวคิดของ variance คือผลตอบแทนที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยมากถูกนับเป็น “ความเสี่ยง” เช่นเดียวกับ
ผลตอบแทนต่ำกว่าค่าเฉลี่ยมาก แม้ผู้ลงทุนส่วนใหญ่ไม่ถือ upside surprise เป็นความเสียหาย ปัญหานี้เป็นเหตุผล
หนึ่งที่ต้องมี downside measures และ tail measures ในหัวข้อถัดไป

ตัวอย่าง 3.1. สมมติผลตอบแทนของหลักทรัพย์มีสี่สถานการณ์

                           (𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 , 𝑟4 ) = (−12%, −2%, 8%, 18%)


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 67

    และ

                          (𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , 𝑝4 ) = (0.10, 0.20, 0.40, 0.30)

    จะได้


              𝜇 = 0.10(−0.12) + 0.20(−0.02) + 0.40(0.08) + 0.30(0.18) = 0.07

    และ

                                           𝜎2 = 0.0089

    ดังนั้น

                                    𝜎 ≈ 0.09434 = 9.434%

    ผลตอบแทนคาดหมายเท่ากับ 7% ต่อหนึ่งงวด ขณะที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 9.43%

3.2.1         การประมาณจากข้อมูลตัวอย่าง
เมื่อมีข้อมูลผลตอบแทน 𝑅1 , … , 𝑅𝑇 ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือ

                                                     𝑇
                                              1
                                          𝑅̄ = ∑ 𝑅𝑡
                                              𝑇 𝑡=1

    ความแปรปรวนตัวอย่างแบบใช้ตัวหาร 𝑇 − 1 คือ
    Sample Mean และ Sample Variance
                                             𝑇
                                    2   1          ̄ 2
                                  𝑠 =       ∑(𝑅 − 𝑅)
                                      𝑇 − 1 𝑡=1 𝑡




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                   สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 68


    และ                                                   √
                                                   𝑠=         𝑠2

    ตัวหาร 𝑇 − 1 ให้ sample variance แบบ unbiased ภายใต้กรอบการสุ่มตัวอย่างมาตรฐาน หากข้อมูลที่มี
ถูกนิยามให้เป็นประชากรทั้งหมดที่สนใจ อาจใช้ตัวหาร 𝑇 ได้ แต่ต้องระบุ convention ให้ชัดเจน
    ในเชิงปฏิบัติ การเลือก 𝑇 − 1 แก้เพียง bias เชิงพีชคณิตของ estimator ภายใต้สมมติฐานมาตรฐาน แต่ไม่ได้
ทำให้ค่าประมาณ “แม่น” โดยอัตโนมัติ หากตัวอย่างสั้น มี outlier หรือครอบคลุมเพียง regime เดียว ค่า 𝑅̄ และ
𝑠 ยังมี sampling uncertainty สูง จึงควรรายงาน sample period และตรวจ sensitivity ต่อ rolling window
ควบคู่กับค่าประมาณจุดเดียว

    หลักตรวจสอบค่าความเสี่ยงจากข้อมูลตัวอย่าง
    คำนวณอย่างน้อยสามแบบควบคู่กัน: full-sample estimate เพื่อเห็นภาพรวม rolling estimate เพื่อ
    เห็นการเปลี่ยนตามเวลา และ stress/subsample estimate เพื่อดูว่าค่าความเสี่ยงเปลี่ยนมากเพียงใด
    เมื่อ เข้า สู่ ช่วงวิกฤต หากข้อ สรุป เปลี่ยนแรงเมื่อ ขยับ หน้าต่างข้อมูล เพียงเล็ก น้อย ควรถือว่า estimation
    risk มีนัยสำคัญ

    ข้อสังเกต
    ค่า เฉลี่ย เลขคณิต ของผลตอบแทน หนึ่ง งวด และค่า เฉลี่ย เรขาคณิต ของ อัตราการเติบโตหลาย งวดตอบ
    คำถามต่างกัน บทที่ 2 แยกสองแนวคิด นี้ ไว้ แล้ว ในบทนี้ 𝜇 หรือ 𝑅̄ ทำหน้าที่ เป็น ตำแหน่ง ศูนย์กลาง
    ของการแจกแจงผลตอบแทนสำหรับการวัดความเสี่ยง


3.2.2       การทำให้ความผันผวนเป็นรายปี
ถ้า ผลตอบแทนแต่ละงวดมี ความแปรปรวน 𝜎2 เท่า กัน และไม่ สัมพันธ์ กัน ตามเวลาโดยประมาณ ความแปรปรวน
ของผลรวม 𝑁 งวดคือ

                                                  𝑁
                                          Var(∑ 𝑅𝑡 ) = 𝑁 𝜎2
                                                 𝑡=1

    จึงได้กฎ square-root-of-time



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                             สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 69

    Volatility Scaling
                                                    √
                                           𝜎ann ≈       𝑁 𝜎period

    สำหรับข้อมูลรายวันมักใช้ 𝑁 ≈ 252 วันซื้อขายต่อปี

                                                    √
                                           𝜎ann ≈       252 𝜎day

    สูตรนี้มีที่มาจากการบวก variance ของผลตอบแทนหลายงวดเมื่อ covariance ข้ามเวลาประมาณศูนย์ หากมี
                                                               √
serial correlation จะเกิด cross-covariance terms เพิ่มขึ้นและกฎ 𝑁 ไม่ตรงอีกต่อไป ดังนั้นการ annualize
จึงเป็น model-based conversion ไม่ใช่เพียงการเปลี่ยนหน่วยเหมือนเซนติเมตรเป็นเมตร

    ประเด็นที่ต้องระวัง
         √
    กฎ 𝑁 เกิดจากสมมติฐานเกี่ยวกับ dependence และความคงที่ของ variance ไม่ใช่กฎทางบัญชี หาก
    ผลตอบแทนมี autocorrelation, volatility clustering, structural break หรือ regime change การ
    scaling แบบนี้อาจทำให้ประมาณความเสี่ยงผิด


3.2.3        Coefficient of Variation และข้อจำกัด
สัมประสิทธิ์ความแปรผันนิยามเป็น

                                                         𝜎
                                                 CV =
                                                         𝜇

   CV อาจใช้เปรียบเทียบความผันผวนต่อหนึ่งหน่วยผลตอบแทนคาดหมายเมื่อ 𝜇 > 0 และอยู่ห่างจากศูนย์พอ
สมควร แต่เมื่อ 𝜇 ≤ 0 หรือใกล้ศูนย์ ตัวเลขนี้อาจไม่เสถียรหรือไม่มีความหมายเชิงอันดับที่น่าเชื่อถือ
      ตัวอย่างเช่น หากสินทรัพย์ A มี 𝜇 = 0.2% และ 𝜎 = 2% จะได้ CV = 10 แต่หากประมาณค่าเฉลี่ย
เปลีย่ นเพียงเล็กน้อยเป็น 0.1% ค่า CV จะกระโดดเป็น 20 ทั้งที่ volatility ไม่เปลี่ยน จึงไม่ควรใช้ CV จัดอันดับ
หลักทรัพย์เมื่อ expected return มีค่าเล็กหรือไม่เสถียร




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 70


3.2.4       Skewness และ Kurtosis
Variance ไม่บอกว่าการแจกแจงมีความเบ้หรือหางหนาเพียงใด ในข้อมูลการเงิน skewness ด้านลบและ excess
kurtosis ที่สูงสามารถทำให้ความเสี่ยงด้านขาดทุนรุนแรงมากกว่าที่แบบจำลองปกติสื่อ การวิเคราะห์ความเสี่ยงจึง
ไม่ควรหยุดเพียง mean และ standard deviation
    ในเชิงตีความ negative skewness หมายถึงหางด้านผลตอบแทนต่ำมีแนวโน้มยาวหรือรุนแรงกว่าด้านบวก
ขณะที่ high excess kurtosis บ่ง ชี้ ว่าการแจกแจงมี มวลบริเวณหางมากกว่า การแจกแจงปกติ ในบางลักษณะ
อย่างไรก็ตาม ค่า ประมาณ moment ลำดับ สูง ไวต่อ outlier มาก จึง ควรใช้ ร่วม กับ histogram, empirical
quantiles และ tail measures มากกว่าตีความจากตัวเลขเพียงค่าเดียว


3.3        Covariance และ Correlation
ความ ผันผวน ของ สินทรัพย์ ราย ตัว ไม่ ได้ บอก ว่า สินทรัพย์ สอง ตัว เคลื่อนไหว ร่วม กัน อย่างไร การ พิจารณา
dependence จึงเป็นพื้นฐานของการกระจายการลงทุน [33]
    บทนิยาม 3.2
    สำหรับผลตอบแทน 𝑅𝑖 และ 𝑅𝑗 ที่มีค่าเฉลี่ย 𝜇𝑖 และ 𝜇𝑗

                               Cov(𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 ) = 𝔼[(𝑅𝑖 − 𝜇𝑖 )(𝑅𝑗 − 𝜇𝑗 )]
    ถ้า 𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 > 0 correlation คือ

                                                                Cov(𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 )
                                  𝜌𝑖𝑗 = Corr(𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 ) =
                                                                     𝜎𝑖 𝜎𝑗

    Covariance มีหน่วยเป็นผลตอบแทนกำลังสอง ส่วน correlation ไม่มีหน่วยและอยู่ในช่วง [−1, 1]
    Correlation จึงเหมาะกับการเปรียบเทียบความสัมพันธ์เชิงเส้นของคู่สินทรัพย์ที่มี scale ต่างกัน แต่การไม่มี
หน่วยก็ ทำให้ ข้อมูล เรื่อง “ขนาดความเสี่ยง” หายไป คู่ สินทรัพย์ สองคู่ สามารถมี correlation เท่า กัน แต่ คู่ ที่ มี
volatility สูงกว่าย่อมสร้าง covariance และผลต่อความเสี่ยงพอร์ตมากกว่า




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                             สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 71

    ทฤษฎีบท 3.1
    ถ้า 𝑅𝑖 และ 𝑅𝑗 มี variance บวกและจำกัด แล้ว

                                          −1 ≤ 𝜌𝑖𝑗 ≤ 1


พิสูจน์. ให้

                          𝑋 = 𝑅 𝑖 − 𝜇𝑖           และ       𝑌 = 𝑅 𝑗 − 𝜇𝑗

    จาก Cauchy–Schwarz inequality ใน 𝐿2

                              |𝔼(𝑋𝑌 )|2 ≤ 𝔼(𝑋 2 )𝔼(𝑌 2 ) = 𝜎𝑖2 𝜎𝑗2

    จึงได้

                                      | Cov(𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 )| ≤ 𝜎𝑖 𝜎𝑗

    เมื่อหารด้วย 𝜎𝑖 𝜎𝑗 > 0 จะได้

                                             |𝜌𝑖𝑗 | ≤ 1




3.3.1          การประมาณจากข้อมูลตัวอย่าง
sample covariance นิยามเป็น

                                          𝑇
                                     1
                           𝑠𝑖𝑗 =         ∑(𝑅𝑖,𝑡 − 𝑅̄ 𝑖 )(𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅̄ 𝑗 )
                                   𝑇 − 1 𝑡=1

    และ sample correlation คือ



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 72


                                                       𝑠𝑖𝑗
                                              𝜌𝑖𝑗
                                               ̂ =
                                                      𝑠𝑖 𝑠𝑗

    สำหรับสินทรัพย์ 𝑛 รายการสามารถรวบรวม covariance เป็นเมทริกซ์

                                            ̂ = (𝑠𝑖𝑗 )𝑛×𝑛
                                            Σ

   เมทริกซ์ covariance ควรสมมาตรและ positive semidefinite ในเชิงทฤษฎี แต่การประมาณจากข้อมูลจริง
อาจมีปัญหา numerical instability เมื่อจำนวนสินทรัพย์มากเมื่อเทียบกับจำนวน observations
     ในทางปฏิบัติ correlation ยัง มี regime dependence ด้วย ความสัมพันธ์ ที่ ต่ำ ในภาวะปกติ อาจเพิ่ม ขึ้น
พร้อมกันในช่วง market stress ทำให้ประโยชน์จาก diversification ลดลงในเวลาที่ต้องการมากที่สุด ดังนั้นการ
ใช้ correlation matrix เพื่อสร้างพอร์ตควรมีทั้ง rolling estimates และ stressed correlations ไม่ควรอาศัยค่า
เฉลี่ยระยะยาวเพียงชุดเดียว

ตัวอย่าง 3.2. ให้ผลตอบแทนสองสินทรัพย์ในสี่สถานการณ์เป็น

                                  𝑅𝐴 = (−10%, 2%, 8%, 16%)

    และ

                                  𝑅𝐵 = (12%, 5%, 2%, −6%)

    ด้วยความน่าจะเป็น

                                      (0.10, 0.20, 0.40, 0.30)

    จะได้

                            𝜇𝐴 = 7.4%             และ          𝜇𝐵 = 1.2%

    รวมทั้ง



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 73



                                   Cov(𝑅𝐴 , 𝑅𝐵 ) = −0.004128

    และ

                                          𝜌𝐴𝐵 ≈ −0.9800

    ค่าดังกล่าวบ่งชี้ความสัมพันธ์เชิงเส้นสวนทางกันสูงในชุดสถานการณ์สมมติ แต่การใช้ข้อมูลจริงต้องตรวจความ
เสถียรของ correlation ตามเวลา

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    Correlation ใกล้ศูนย์หมายถึงไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นเด่นชัด ไม่ได้หมายถึงเป็นอิสระต่อกัน นอกจากนี้
    correlation ขึ้นกับช่วงเวลา ความถี่ข้อมูล และภาวะตลาด และอาจเปลี่ยนอย่างมากในช่วงวิกฤต


3.4        Downside Risk และ Lower Partial Moments
Variance ลงโทษผลตอบแทนที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยและต่ำกว่าค่าเฉลี่ยแบบสมมาตร แต่ในหลายปัญหา ผู้ลงทุนสนใจ
เฉพาะการต่ำกว่าเป้าหมาย จึงใช้ lower partial moments
    บทนิยาม 3.3
    ให้ 𝜏 เป็น target return หรือ minimum acceptable return และกำหนด

                                          (𝑥)+ = max(𝑥, 0)

    Lower Partial Moment ลำดับ 𝑞 > 0 คือ

                                      LPM𝑞 (𝜏 ) = 𝔼[(𝜏 − 𝑅)𝑞+ ]
    สำหรับ 𝑞 = 2

                                      LPM2 (𝜏 ) = 𝔼[(𝜏 − 𝑅)2+ ]
    และ Downside Deviation คือ

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 74



                                           DD(𝜏 ) = √LPM2 (𝜏 )

    สำหรับข้อมูลตัวอย่างภายใต้ convention ที่หารด้วยจำนวน observations ทั้งหมด

                                             √
                                             √1 𝑇
                                   D̂D(𝜏 ) = √ ∑(𝜏 − 𝑅𝑡 )2+
                                               𝑇
                                             ⎷ 𝑡=1
   บาง ซอฟต์แวร์ หาร ด้วย จำนวน observations ที่ ต่ำ กว่า เป้า หมาย เท่านั้น จึง ต้อง ระบุ denominator
convention ก่อนเปรียบเทียบ
    นอกจาก denominator แล้ว ค่า 𝜏 เป็น ส่วนหนึ่ง ของคำถามการลงทุน ไม่ใช่ พารามิเตอร์ ที่ เลือกตามความ
สะดวก หากเป้าหมายคือรักษาเงินต้นอาจใช้ 𝜏 = 0 หากเป็นกองทุนที่มี required return หรือ benchmark
อาจกำหนด target ต่างออกไป สินทรัพย์เดียวกันจึงสามารถมี downside risk ต่างกันภายใต้เป้าหมายของผู้ลงทุน
ต่างราย
ตัวอย่าง 3.3. ให้ผลตอบแทนห้างวดเป็น

                                    (−8%, −2%, 1%, 4%, 7%)

    และกำหนด 𝜏 = 0 จะได้

                                             0.082 + 0.022
                             LPM2 (0) =                    = 0.00136
                                                   5
    ดังนั้น

                                              √
                                  DD(0) = 0.00136 ≈ 3.688%

    ขณะที่ shortfall probability เท่ากับ

                                                2
                                                  = 40%
                                                5
   สองมาตรวัด นี้ ตอบคำถามต่างกัน เพราะ shortfall probability บอกความถี่ ส่วน downside deviation
สะท้อนขนาดของการต่ำกว่าเป้าหมายด้วย

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 75


3.5         Beta และความเสี่ยงเชิงระบบ
ความไวของสินทรัพย์ต่อปัจจัยตลาดสามารถอธิบายผ่าน market model

                                   𝑅𝑖 = 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 𝑅𝑀 + 𝜀 𝑖

    โดย 𝑅𝑀 คือผลตอบแทนตลาด และ 𝜀𝑖 คือส่วนที่แบบจำลองตลาดอธิบายไม่ได้
    บทนิยาม 3.4
    ถ้า Var(𝑅𝑀 ) > 0 เบตาของสินทรัพย์ 𝑖 เทียบตลาดคือ

                                            Cov(𝑅𝑖 , 𝑅𝑀 )
                                     𝛽𝑖 =
                                              Var(𝑅𝑀 )

    ถ้า

                                      Cov(𝑅𝑀 , 𝜀𝑖 ) = 0

    จะได้

                             Var(𝑅𝑖 ) = 𝛽𝑖2 Var(𝑅𝑀 ) + Var(𝜀𝑖 )

    พจน์แรกคือ systematic component ภายใต้ market model ส่วนพจน์หลังคือ idiosyncratic component

ตัวอย่าง 3.4. ถ้า

                                  Cov(𝑅𝑖 , 𝑅𝑀 ) = 0.00024

    และ

                                    Var(𝑅𝑀 ) = 0.00016

    จะได้


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                 สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 76


                                             0.00024
                                      𝛽𝑖 =           = 1.5
                                             0.00016
   ค่า 𝛽 = 1.5 หมายถึง regression slope ต่อผลตอบแทนตลาดเท่ากับ 1.5 ไม่ได้หมายความว่าความเสี่ยง
รวมของสินทรัพย์สูงกว่าตลาด 50% เพราะ total variance ยังขึ้นกับ idiosyncratic risk

   Beta ในบทนี้เป็นมาตรวัด dependence กับตลาด ส่วนการเชื่อม beta กับ expected return จะพัฒนาใน
บท asset pricing
    ข้อสังเกต
    Beta ไม่ใช่ ค่า คงที่ ของ หลัก ทรัพย์ ค่าที่ ประมาณ ขึ้น กับ market proxy, sample period, data
    frequency และ corporate events ตัวอย่างเช่น beta รายวัน 1 ปี อาจต่างจาก beta รายสัปดาห์ 5
    ปีอย่างมีสาระ การรายงาน beta โดยไม่บอก benchmark และ estimation window จึงตรวจสอบซ้ำไม่
    ได้


3.6        Tracking Error
เมื่อพอร์ตมี benchmark ความเสี่ยงที่สำคัญอาจเป็นความผันผวนของผลตอบแทนส่วนเกินเทียบ benchmark
    ให้

                                        𝐴𝑡 = 𝑅𝑝,𝑡 − 𝑅𝑏,𝑡

    เรียกว่า active return
    บทนิยาม 3.5
    Tracking Error แบบ ex post คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ active return

                               TE = SD(𝐴𝑡 ) = SD(𝑅𝑝,𝑡 − 𝑅𝑏,𝑡 )
    สำหรับข้อมูลตัวอย่าง




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 77


                                        √
                                        √        𝑇
                                        √   1
                                   TE =
                                   ̂            ∑(𝐴 − 𝐴)̄ 2
                                          𝑇 − 1 𝑡=1 𝑡
                                        ⎷

    ถ้า active return รายวันอยู่ภายใต้สมมติฐานเดียวกับ volatility scaling

                                                   √
                                         TEann ≈ 252 TEday

    ข้อสังเกต
    Tracking Error ต่ำไม่ได้หมายความว่าพอร์ตมีความเสี่ยงรวมต่ำ พอร์ตอาจเคลื่อนไหวใกล้ benchmark ที่
    มีความผันผวนสูงได้ Tracking Error จึงเป็น relative risk ไม่ใช่ total risk

     ในงานบริหารพอร์ต ควรแยก ex post tracking error ซึ่ง คำนวณจาก active returns ที่ เกิด ขึ้น แล้ว ออก
จาก ex ante tracking error ซึ่งเป็นค่าคาดการณ์จากแบบจำลอง covariance และ active weights ค่าทั้งสอง
อาจต่างกันเมื่อ covariance เปลี่ยนหรือพอร์ตถูกปรับระหว่างทาง การควบคุม mandate จึงควรระบุชัดว่ากำลัง
ใช้ TE แบบใด


3.7        Maximum Drawdown และความเสี่ยงตามเส้นทาง
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่ ใช้ ลำดับ เวลาของผลตอบแทน แต่ ผู้ ลงทุน เผชิญ ความมั่งคั่ง เป็น เส้น ทาง ให้ 𝑊𝑡 เป็น
wealth index และ

                                            𝐻𝑡 = max 𝑊𝑠
                                                    0≤𝑠≤𝑡

    เป็น running peak
    บทนิยาม 3.6
    Drawdown ในรูปสัดส่วนความเสียหายที่เป็นจำนวนบวกคือ

                                                          𝑊𝑡
                                            𝐷𝑡 = 1 −
                                                          𝐻𝑡



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 78


    โดย

                                            0 ≤ 𝐷𝑡 ≤ 1

    Maximum Drawdown คือ

                                          MDD = max 𝐷𝑡
                                                     𝑡


ตัวอย่าง 3.5. ถ้า wealth index เป็น

                             100, 108, 105, 112, 98, 101, 115

    จุดสูงสุดก่อนการลดลงคือ 112 และ trough คือ 98 จึงได้

                                            98
                              MDD = 1 −         = 0.125 = 12.5%
                                            112
    แม้พอร์ตจะจบที่ 115 สูงกว่าจุดสูงสุดเดิม แต่ระหว่างทางผู้ลงทุนเคยเผชิญ drawdown 12.5%

    MDD ขึ้นกับเส้นทางและช่วงตัวอย่างอย่างมาก จึงไม่ควรใช้เปรียบเทียบโดยไม่ระบุ sample period
    Drawdown ยังมีความไม่สมมาตรเชิงคณิตศาสตร์ หากมูลค่าลดลงสัดส่วน 𝐷 จากจุดสูงสุด ผลตอบแทนที่ต้อง
ได้จาก trough เพื่อกลับสู่จุดเดิมคือ
                                                    𝐷
                                            𝐺=
                                                   1−𝐷
ดังนั้น drawdown 20% ต้องฟื้น 25% แต่ drawdown 50% ต้องฟื้น 100% ความสัมพันธ์นี้อธิบายว่าทำไม
การควบคุม drawdown มีความหมายต่อความอยู่รอดของพอร์ต แม้ MDD จะไม่ใช่มาตรวัดความน่าจะเป็น


3.8        Value-at-Risk
เพื่อให้ sign convention ชัดเจน กำหนดตัวแปร loss

                                              𝐿 = −𝑅


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                     สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 79

    สำหรับผลตอบแทนในรูปอัตรา หรือ

                                                              𝐿𝑉 = −𝑉0 𝑅

    สำหรับความเสียหายในหน่วยเงินเมื่อ 𝑉0 เป็นมูลค่าฐาน
    บทนิยาม 3.7
    สำหรับระดับความเชื่อมั่น 𝛼 ∈ (0, 1) กำหนด Value-at-Risk เป็น quantile ของ loss

                                          VaR𝛼 (𝐿) = inf{ℓ ∶ Pr(𝐿 ≤ ℓ) ≥ 𝛼}

   ดังนั้น VaR ที่ระดับ 99% เป็น threshold ที่มี probability mass อย่างน้อย 99% อยู่ไม่เกินค่านั้นภายใต้
แบบจำลองที่ใช้
    สำหรับ 1-day VaR ที่ 99% หาก distribution และ calibration คงที่ ในระยะยาว เราคาดจำนวนวัน ที่
loss เกิน VaR โดยเฉลี่ยประมาณ 1% ของวัน ไม่ใช่ว่า “จะไม่ขาดทุนเกิน VaR” การตีความนี้เชื่อม VaR เข้ากับ
backtesting โดยตรง เพราะแบบจำลองที่ รายงาน 99% แต่ มี exceptions บ่อยเกิน ไปกำลัง understate tail
risk ในเชิง coverage

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    VaR ไม่ใช่ “การ ขาดทุน สูงสุด ที่ เป็น ไป ได้” เพราะ การ ขาดทุน ที่มา กก ว่า VaR ยัง เกิด ขึ้น ได้ ใน tail
    probability ประมาณ 1 − 𝛼 ภายใต้ distribution ที่สมมติ

                                                                                        tail probability
                  Distribution ของ Loss                                VaR𝛼                 1−𝛼                    ES𝛼
                    ผลขาดทุน ตั้งแต่ น้อยไปมาก            จุดแบ่งระหว่างส่วนกลางกับ tail               ค่า เฉลี่ย ความเสีย หายใน tail


                                     VaR ตอบ ว่า “tail เริ่ม ที่ ระดับ ใด” ส่วน ES ตอบ ว่า “เมื่อ เข้า tail แล้ว
                                       โดย เฉลี่ย รุนแรง เพียง ใด” จึง ควร ใช้ ร่วม กัน เมื่อ สนใจ extreme loss


รูปที่ 3.2: ความสัมพันธ์เชิงแนวคิดระหว่าง Value-at-Risk และ Expected Shortfall ภายใต้ loss convention




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                                                 สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 80


3.8.1           Parametric Normal VaR
ถ้า

                                           𝑅 ∼ 𝑁 (𝜇, 𝜎2 )

      และ

                                              𝐿 = −𝑅

      จะได้

                                          𝐿 ∼ 𝑁 (−𝜇, 𝜎2 )

      ดังนั้น
      Normal VaR

                                       VaR𝛼 (𝐿) = −𝜇 + 𝑧𝛼 𝜎

      โดย 𝑧𝛼 = Φ−1 (𝛼)
      ถ้าต้องการ VaR ในหน่วยเงินและใช้ linear return approximation

                                     VaR𝛼,𝑉 = 𝑉0 (−𝜇 + 𝑧𝛼 𝜎)
ตัวอย่าง 3.6. สมมติผลตอบแทนรายวันมี

                              𝜇 = 0.04%           และ       𝜎 = 1.20%

      ที่ระดับ 99% ใช้

                                           𝑧0.99 ≈ 2.3263

      จึงได้ VaR ในอัตราผลตอบแทน

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                     สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 81



                          VaR0.99 = −0.0004 + 2.3263(0.012) ≈ 0.02752

    หรือประมาณ 2.752%
    ถ้ามูลค่าสถานะเท่ากับ 10 ล้านบาท

                                        VaR0.99,𝑉 ≈ 275,200

    ภายใต้สมมติฐานของแบบจำลอง

3.8.2       Historical Simulation
ให้ realized losses เป็น

                                               𝐿 1 , … , 𝐿𝑇

    Historical Simulation ประมาณ VaR ด้วย empirical quantile

                                          HS
                                       V̂     ̂ (𝐿 , … , 𝐿 )
                                        aR𝛼 = 𝑄 𝛼 1       𝑇


   วิธีนี้ไม่กำหนด parametric distribution เช่น Normal โดยตรง แต่ยังสมมติว่าประวัติที่เลือกเป็นตัวแทนของ
ความเสี่ยงที่เกี่ยวข้องในอนาคต
    การเลือก lookback window จึงเป็น trade-off สำคัญ: หน้าต่างยาวให้ observations ใน tail มากขึ้นแต่ผสม
ข้อมูล regime เก่าที่อาจไม่เกี่ยวข้อง ขณะที่หน้าต่างสั้นตอบสนองต่อภาวะล่าสุดได้เร็วแต่ quantile มี sampling
noise สูง โดยเฉพาะที่ระดับ 99% ซึ่งใช้ข้อมูลเพียงส่วนน้อยบริเวณหาง

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    Historical Simulation ไม่ได้แปลว่า “ไม่มีแบบจำลอง” เพราะการเลือก lookback window, sampling
    frequency, quantile interpolation, weighting scheme และ data cleaning ล้วนเป็น model
    choices




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 82


3.8.3       Holding Period และ Square-Root Scaling
VaR ที่รายงานควรระบุอย่างน้อย
    1. ตัวแปรที่วัดและหน่วย
    2. confidence level
    3. holding period
    4. แบบจำลองหรือ estimation method
    ภายใต้สมมติฐานที่เหมาะสม อาจประมาณ

                                                       √
                                          VaR𝛼,ℎ ≈ ℎ VaR𝛼,1

    แต่การ scaling นี้อาจไม่น่าเชื่อถือเมื่อ volatility เปลี่ยนตามเวลา ผลตอบแทนมี serial dependence หรือ
distribution เปลี่ยนตาม horizon


3.9        Expected Shortfall หรือ Conditional Value-at-Risk
VaR บอกตำแหน่ง threshold แต่ไม่ได้บอกว่าหลังจากทะลุ threshold แล้ว การขาดทุนรุนแรงเพียงใด
    บทนิยาม 3.8
    สำหรับ loss 𝐿 กำหนด Expected Shortfall ที่ระดับ 𝛼 ด้วย quantile integral
                                                            1
                                             1
                                  ES𝛼 (𝐿) =    ∫ VaR𝑢 (𝐿) d𝑢
                                            1−𝛼 𝛼
    ถ้า distribution ต่อเนื่องในบริเวณ quantile ที่เกี่ยวข้อง

                                   ES𝛼 (𝐿) = 𝔼[𝐿 ∣ 𝐿 ≥ VaR𝛼 (𝐿)]

   นิยามแบบ quantile integral ใช้ได้ สม่ำเสมอกับ distribution ที่ ไม่ ต่อ เนื่องและ empirical distributions
มากกว่าการอาศัย conditional expectation เพียงรูปเดียว [41]
     สำหรับ distribution ต่อเนื่องภายใต้ loss convention โดยทั่วไป ES𝛼 ≥ VaR𝛼 เพราะ ES เฉลี่ยเฉพาะค่าที่
อยู่ตั้งแต่ threshold ไปทางหางขวาของ loss หากผลคำนวณให้ ES ต่ำกว่า VaR อย่างมีนัยสำคัญ ควรตรวจ sign

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                          สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 83

convention, quantile definition และ implementation ก่อนตีความทางเศรษฐกิจ [34, 72]

3.9.1         Normal Expected Shortfall
ถ้า

                                           𝑅 ∼ 𝑁 (𝜇, 𝜎2 )

      และ 𝐿 = −𝑅
      Normal Expected Shortfall
                                                          𝜙(𝑧𝛼 )
                                     ES𝛼 (𝐿) = −𝜇 + 𝜎
                                                          1−𝛼

      โดย 𝜙 คือ standard normal density

ตัวอย่าง 3.7. ใช้ข้อมูลจากตัวอย่าง Normal VaR ที่

                          𝜇 = 0.0004           𝜎 = 0.012           𝛼 = 0.99

      และ

                                       𝜙(2.3263) ≈ 0.02665

      จะได้

                                                      0.02665
                         ES0.99 ≈ −0.0004 + 0.012             ≈ 0.03158
                                                        0.01
      หรือประมาณ 3.158%
      สำหรับมูลค่า 10 ล้านบาท เท่ากับประมาณ 315,800 บาท




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                     สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 84


3.9.2       VaR กับ ES ตอบคำถามต่างกัน

                         ตารางที่ 3.1: เปรียบเทียบ VaR และ Expected Shortfall

 ประเด็น                    VaR                                     Expected Shortfall
 คำถามหลัก                  threshold ของ loss อยู่ที่ใด   เมื่อเข้าสู่ tail แล้ว loss โดยเฉลี่ยรุนแรง
                                                           เพียงใด
 ใช้ขอ้ มูลหลัง threshold ไม่สรุปความรุนแรงโดยตรง          ใช้ tail severity โดยตรง
 การตีความ                quantile                         tail average / quantile integral
 optimization             อาจมี ปัญหาด้าน non-convexity ใน มี โครงสร้าง เหมาะ กับ convex opti-
                          บางกรณี                          mization มากกว่าในหลายบริบท


3.9.3       คุณสมบัติของ Coherent Risk Measure
มาตรวัดความเสี่ยง 𝜌(𝑋) บนตัวแปร loss เรียกว่า coherent หากมีสมบัติหลัก [3]
    1. Monotonicity ถ้า 𝑋 ≤ 𝑌 เกือบแน่นอน แล้ว 𝜌(𝑋) ≤ 𝜌(𝑌 )
    2. Translation invariance สำหรับค่าคงที่ 𝑐

                                           𝜌(𝑋 + 𝑐) = 𝜌(𝑋) + 𝑐

    3. Positive homogeneity สำหรับ 𝜆 ≥ 0

                                              𝜌(𝜆𝑋) = 𝜆𝜌(𝑋)

    4. Subadditivity
                                       𝜌(𝑋 + 𝑌 ) ≤ 𝜌(𝑋) + 𝜌(𝑌 )

   Expected Shortfall ภายใต้นิยามมาตรฐานเป็น coherent risk measure ส่วน VaR ไม่เป็น subadditive
สำหรับ distribution บางประเภท จึงอาจให้ผลที่ไม่สอดคล้องกับหลัก diversification ในบางกรณี
   ความหมายเชิงปฏิบัติของ subadditivity คือ “การรวมสองพอร์ตไม่ควรถูกประเมินว่าเสี่ยงมากกว่าผลรวมของ
ความเสี่ยงที่ แยกกัน โดยไม่มี เหตุผล” คุณสมบัติ นี้ สอดคล้องกับ intuition ของ diversification และเป็น เหตุผล
สำคัญ ที่ ES ถูก ใช้ ในงานบริหาร tail risk และ optimization หลายประเภท แม้ การใช้ งานจริง ยัง ต้องระวัง

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 85

estimation error ของ tail distribution


3.10         EWMA Volatility และความเสี่ยงที่เปลี่ยนตามเวลา
ข้อมูลผลตอบแทนทางการเงินมักมี volatility clustering คือช่วงที่ความผันผวนสูงมีแนวโน้มตามด้วยช่วงที่ความ
ผันผวนสูง และช่วงสงบมีแนวโน้มตามด้วยช่วงสงบ แบบจำลอง EWMA ให้น้ำหนักข้อมูลล่าสุดมากกว่าข้อมูลเก่า
    บทนิยาม 3.9
    กำหนด EWMA conditional variance โดย

                               𝜎𝑡2 = 𝜆𝜎𝑡−1
                                       2
                                           + (1 − 𝜆)(𝑅𝑡−1 − 𝜇)2

    โดย

                                            0<𝜆<1

    เมื่อขยาย recursion

                                             ∞
                                2
                               𝜎𝑡 = (1 − 𝜆) ∑ 𝜆𝑗−1 (𝑅𝑡−𝑗 − 𝜇)2
                                            𝑗=1

    ภายใต้ infinite-history idealization
    น้ำหนักของ squared innovation ที่ lag 𝑗 คือ

                                           (1 − 𝜆)𝜆𝑗−1

    จึงลดลงแบบเรขาคณิตตามความเก่าของข้อมูล
    ค่า 𝜆 จึงควบคุม trade-off ระหว่าง ความไวต่อข่าวล่าสุด กับ ความเรียบของค่าประมาณ ค่า 𝜆 ต่ำให้น้ำ
หนักข้อมูลใหม่มากและตอบสนองเร็ว ส่วนค่า 𝜆 สูงทำให้ volatility เปลี่ยนช้ากว่า สามารถสรุปความจำของน้ำ
หนักด้วย half-life
                                                   ln(0.5)
                                         ℎ1/2 =
                                                    ln(𝜆)
เช่น 𝜆 = 0.94 มี half-life ประมาณ 11.2 งวด หมายความว่าน้ำหนักของ shock จะลดลงเหลือครึ่งหนึ่งหลัง

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 86

ประมาณ 11 งวด
ตัวอย่าง 3.8. ให้

                                                𝜆 = 0.94


                                              𝜎𝑡−1 = 1.5%

    และ

                                          𝑅𝑡−1 − 𝜇 = −3%

    จะได้

                          𝜎𝑡2 = 0.94(0.015)2 + 0.06(0.03)2 = 0.0002655

    ดังนั้น

                                          √
                                   𝜎𝑡 =       0.0002655 ≈ 1.629%

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    EWMA ทำให้ volatility เปลี่ยนตามข้อมูล ล่าสุด แต่ หากใช้ Normal EWMA ใน VaR หรือ ES ยัง มี
    distributional assumption แบบ Normal เป็น อีก ชั้น หนึ่ง จึง ไม่ ควรสรุป ว่า time-varying volatility
    แก้ปัญหา fat tails ได้ทั้งหมด


3.11          การตรวจสอบแบบจำลองความเสี่ยง
ค่าความเสี่ยงที่คำนวณได้เป็น forecast ของ distribution หรือ tail threshold จึงต้องตรวจสอบด้วย realized
outcomes
      การ validation ควรแยกอย่างน้อยสองคำถาม: coverage ว่าจำนวน exceptions สอดคล้องกับระดับความ
เชื่อ มั่น หรือ ไม่ และ independence ว่า exceptions กระจายตามเวลาอย่างเหมาะสมหรือ กระจุก ตัว เป็นกลุ่ม

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 87

หาก exceptions เกิด ติด กัน ในช่วงวิกฤต แม้ จำนวนรวมดู ใกล้ ค่า คาด ก็ อาจบ่ง ชี้ ว่า แบบจำลองตอบสนองต่อ
regime change ช้าเกินไป

                         1. Data & Convention ราคา/ผลตอบแทน เวลา corporate actions
                         หน่วย และ sign convention

                         2. Estimation window, mean/volatility, correlation, tail sample
                         และ parameter choices

                         3. Risk Measure     SD, downside, beta, TE, MDD, VaR หรือ ES ให้ตรง
                         กับคำถาม

                         4. Validation rolling stability, exceptions, coverage, independence
                         และ stress sensitivity

                         5. Decision position size, risk budget, monitoring threshold และ
                         escalation rule

รูปที่ 3.3: วงจรจากข้อมูลสู่การตัดสินใจด้านความเสี่ยง โดยบังคับให้ risk estimate ผ่านการตรวจสอบก่อนนำไป
ใช้กำหนดสถานะหรือวงเงิน

    สำหรับ VaR กำหนด exception indicator

                                             𝐼𝑡 = 1{𝐿𝑡 > VaR𝛼,𝑡 }

    ถ้าแบบจำลอง calibrated ถูกต้องในเชิง coverage โดยประมาณ

                                                 𝔼(𝐼𝑡 ) = 1 − 𝛼

    และจำนวน exceptions ใน 𝑇 วันควรใกล้

                                                    𝑇 (1 − 𝛼)


3.11.1        Violation Ratio
ถ้าเกิด exception จริง 𝑥 ครั้ง

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                             สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 88


                                                    𝑥
                                         VR =
                                                𝑇 (1 − 𝛼)

   ค่าใกล้ 1 หมายถึงจำนวน exceptions ใกล้ค่าที่คาดจาก nominal coverage แต่ไม่ได้ยืนยันว่า exceptions
กระจายอย่างเป็นอิสระ
   ในเชิงบริหารความเสี่ยง VR > 1 มักชี้ว่าแบบจำลองให้ VaR ต่ำเกินไปเมื่อเทียบกับ realized losses ส่วน
VR < 1 อาจเกิดจากแบบจำลอง conservative เกินไปหรือช่วงทดสอบสงบกว่าช่วงประมาณค่า อย่างไรก็ตามทั้ง
สองกรณีต้องดูความไม่แน่นอนเชิงสถิติและ clustering ของ exceptions ก่อนตัดสินคุณภาพแบบจำลอง

ตัวอย่าง 3.9. VaR ที่ระดับ 99% มีข้อมูล 500 วันและเกิด exception 9 วัน จำนวนที่คาดคือ

                                         500(0.01) = 5

    ดังนั้น

                                                 9
                                          VR =     = 1.8
                                                 5
    แบบจำลองมี exceptions มากกว่าที่ nominal coverage คาดไว้ 80% ในเชิงจำนวน แต่การตัดสินเชิงสถิติ
ยังต้องใช้ formal backtesting

    การทดสอบ formal coverage และ independence เช่น Kupiec และ Christoffersen จะพัฒนาในบทที่ 11
[29, 15]


3.12          กรณีศึกษาจากงานวิจัย: VaR และ CVaR ของหุ้นธนาคารไทย
งานวิจัย ของ Witayakiattilerd และคณะศึกษาความเสี่ยงของหุ้น กลุ่ม ธนาคารไทยและดัชนี SET Finance ด้วย
ข้อมูลในช่วงปี 2017–2021 โดยเปรียบเทียบ Normal EWMA กับ Historical Simulation ที่ระดับความเชื่อมั่น
95% และ 99% พร้อมตรวจสอบแบบจำลองด้วย Violation Ratio, Three-Zone Approach และการประเมิน
CVaR [71]




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 89

    จากงานวิจัยสู่การประยุกต์: หลักการอ่านกรณีศึกษาทางประวัติศาสตร์
    ตัวเลขในส่วนนี้เป็นผลจาก sample period ปี 2017–2021 และ methodology ของงานวิจัยดังกล่าว
    จึงใช้เพื่อศึกษาความไวของ risk estimates ต่อแบบจำลองและการตรวจสอบคุณภาพของแบบจำลอง ไม่
    ควรตีความเป็นอันดับความเสี่ยงปัจจุบันหรือคำแนะนำซื้อขายหลักทรัพย์


    ตารางที่ 3.2: ตัวอย่างค่าเฉลี่ยความเสี่ยงรายวันระดับ 99% จากกรณีศึกษาหุ้นธนาคารไทย ปี 2017–2021
                                               Normal EWMA Historical Normal EWMA Historical
                         หลักทรัพย์      SD        VaR        VaR       CVaR/ES    CVaR/ES
                                        (%)             (%)      (%)           (%)      (%)
                         BAY         1.83342        4.27498   4.81192         4.89627 6.58033
                         BBL         1.66791        3.90430   5.68874         4.46950 7.63402
                         KBANK       2.07678        4.85173   6.48606         5.55548 9.16025
                         KKP         1.74970        4.06866   5.58098         4.66158 9.06688
                         KTB         1.62364        3.80265   4.65200         4.35285 7.88938
                         SCB         1.95513        4.56549   6.03957         5.22802 9.21371
                         LHFG        1.59193        3.72377   4.34851         4.26322 6.51605
                         TCAP        1.75994        4.10823   4.50237         4.70461 8.23542
                         TISCO       1.66323        3.83718   5.24258         4.40079 8.47776
                         TTB         2.22489        5.20752   6.80535         5.96147 11.19225
                         SET Finance 1.30504        3.04015   3.73471         3.48238 6.98334



    ตารางแสดงประเด็นสำคัญสามประการ
    1. การจัดอันดับความเสี่ยงสามารถเปลี่ยนเมื่อเปลี่ยนแบบจำลอง แม้ใช้ข้อมูลชุดเดียวกัน
    2. Historical ES/CVaR สามารถสูง กว่า Normal EWMA ES อย่างมากเมื่อ empirical tail รุนแรงกว่า ที่
       Normal assumption สื่อ
    3. แบบจำลองที่ให้ตัวเลขดูสมเหตุสมผลยังต้องผ่านการตรวจสอบกับ realized losses ก่อนนำไปใช้จริง
    เมื่อ อ่านตัวเลขเชิง เปรียบเทียบจะเห็น ภาพชัด ขึ้น เช่น TTB มี Historical CVaR 11.19225% เทียบกับ
Normal EWMA CVaR 5.96147% หรือ ประมาณ 1.88 เท่า ขณะที่ SET Finance มี Historical CVaR
6.98334% เทียบกับ Normal EWMA CVaR 3.48238% หรือ ประมาณ 2.01 เท่า ความต่างดัง กล่าวไม่
ได้พิสูจน์ว่า Historical Simulation “ดีกว่าเสมอ” แต่ชี้ว่า สมมติฐานเกี่ยวกับ tail มีผลต่อขนาด risk estimate
อย่างมาก และผู้ใช้ควรตรวจว่าแบบจำลองใดสอดคล้องกับ realized outcomes มากกว่าในบริบทที่ใช้งาน
   อีกข้อสังเกตคือ SD กับ tail risk ไม่ให้ ranking เดียวกันโดยอัตโนมัติ แม้ TTB มี SD สูงสุดในตารางและมีค่า
หางสูงมาก แต่ความแตกต่างระหว่างหลักทรัพย์อื่น ๆ เปลี่ยนตาม Normal EWMA หรือ Historical Simulation

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                                  สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 90

จึงไม่ควรสรุป “หุ้นใดเสี่ยงกว่า” โดยไม่ระบุทั้ง metric, confidence level, horizon และ model
   ผล การ ตรวจ สอบ ใน งาน วิจัย ยัง แสดง ว่า acceptance หรือ rejection ของ แบบ จำลอง แตก ต่าง ตาม
confidence level และวิธี ประเมิน จึง สนับสนุน หลัก การว่า risk model ไม่มี คุณภาพโดยอาศัย ความซับ ซ้อน
ของสูตรเพียงอย่างเดียว [71]


3.13         Data Risk, Estimation Risk และ Model Risk
การวัดความเสี่ยงมีความเสี่ยงของตัวมันเองอย่างน้อยสามชั้น

3.13.1        Data Risk
เกิดจากข้อมูลผิด ไม่ครบ หรือไม่สอดคล้อง เช่น missing prices, corporate actions ที่ไม่ได้ปรับ, stale prices,
timestamp mismatch, survivorship bias และ currency mismatch

3.13.2        Estimation Risk
เกิดจากการประมาณพารามิเตอร์จากตัวอย่างจำกัด เช่น mean, volatility, beta, correlation และ tail quantile
ซึ่งสามารถเปลี่ยนเมื่อเปลี่ยน sample period

3.13.3        Model Risk
เกิด จากสมมติฐานหรือ โครงสร้างแบบจำลอง เช่น Normality, iid assumption, fixed correlation, linear
exposure หรือ lookback window ที่ไม่เหมาะกับสภาวะตลาด
    สามชั้นนี้สามารถเกิดพร้อมกันได้ ตัวอย่างเช่นราคาบางวัน stale (data risk) ทำให้ volatility ถูกประมาณต่ำ
(estimation risk) และเมื่อ นำค่า ดัง กล่าวไปใส่ Normal VaR ที่ สมมติหางบาง (model risk) ความคลาดเคลื่อน
อาจสะสมจน risk limit ที่กำหนดจากผลลัพธ์ดูปลอดภัยเกินจริง ดังนั้น governance ที่ดีต้องตรวจตั้งแต่ต้นทาง
ข้อมูล ไม่ใช่ตรวจเฉพาะสูตรสุดท้าย




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 91

    แนวทางควบคุมแบบใช้งานจริง
    Data risk: ใช้ data dictionary, timestamp check และ corporate-action audit Estimation
    risk: ใช้ rolling window, confidence interval, bootstrap หรือ sensitivity analysis Model
    risk: ใช้ challenger model, out-of-sample validation และ stress scenario หากโมเดลหลายแบบ
    ให้คำตอบต่างกันมาก ความแตกต่างนั้นเองเป็นข้อมูลเกี่ยวกับ model uncertainty

    Minimum Risk-Model Record
    การรายงานตัวเลขความเสี่ยงควรระบุอย่างน้อย
       1. ตัวแปรและ sign convention
       2. data source และ sample period
       3. frequency และ timestamp convention
       4. return definition และ corporate-action adjustment
       5. estimation window
       6. confidence level และ horizon
       7. model specification
       8. parameter choices เช่น 𝜆
       9. validation method
      10. ข้อจำกัดและเหตุการณ์ที่แบบจำลองอาจใช้ไม่ได้


3.14         การเลือกมาตรวัดความเสี่ยงให้เหมาะกับคำถาม
หลักที่สำคัญคือ ไม่มีมาตรวัดใดเป็น “ดีที่สุด” โดยไม่ระบุ decision problem ผู้จัดการกองทุนตามดัชนีอาจให้
ความสำคัญกับ Tracking Error มากกว่านักลงทุนที่กังวลการขาดทุนจาก peak ขณะที่ผู้กำหนด risk limit ระยะ
สั้นอาจใช้ VaR/ES ร่วมกับ liquidity และ stress metrics ตารางต่อไปจึงควรอ่านเป็นแผนที่เลือกเครื่องมือ ไม่ใช่
อันดับคุณภาพของมาตรวัด




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 92

                           ตารางที่ 3.3: แผนที่การเลือกมาตรวัดความเสี่ยง

 คำถาม                         มาตรวัดหลัก                   ข้อควรระวัง
 ผล ตอบแทน กระจาย จาก ค่า Variance / SD                      สมมาตรต่อ upside และ downside
 เฉลี่ยเพียงใด
 สินทรัพย์ สองตัว เคลื่อนไหวร่วม Covariance / Correlation    correlation ไม่เท่ากับ independence
 กันอย่างไร
 ขาดทุนต่ำกว่าเป้าหมายเพียงใด LPM / Downside Devia-          ต้องกำหนด target และ denominator
                                     tion                    convention
 ไวต่อ การเคลื่อนไหวตลาดเพียง Beta                           ไม่ใช่ total risk
 ใด
 เบี่ยงจาก benchmark เพียงใด Tracking Error                  ไม่วัด absolute risk
 เคย ลด จาก peak มาก ที่สุด MDD                              ขึ้นกับเส้นทางและ sample period
 เท่าใด
 threshold ของ tail loss อยู่ที่ VaR                         ไม่บอก severity หลัง threshold
 ใด
 เมื่อ อยู่ ใน tail แล้ว รุนแรงเพียง ES/CVaR                 ขึ้นกับ tail model และ sample
 ใด
 volatility ปัจจุบัน เปลี่ยน EWMA                            ยัง ต้อง เลือก 𝜆 และ distribution as-
 อย่างไร                                                     sumption


3.15         Investment Lab: Risk Measurement Pipeline
    Investment Lab: Risk Dashboard จากข้อมูลผลตอบแทน
    วัตถุประสงค์ สร้างรายงานความเสี่ยงที่สามารถตรวจสอบย้อนกลับได้
        1. เลือกสินทรัพย์อย่างน้อย 5 รายการและกำหนด sample period
        2. คำนวณ mean, SD, skewness และ kurtosis
        3. สร้าง covariance และ correlation matrix
        4. คำนวณ downside deviation ที่ target อย่างน้อย 2 ค่า


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                   สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 93


        5. เลือก benchmark และคำนวณ beta กับ tracking error
        6. สร้าง wealth index และคำนวณ MDD
        7. คำนวณ Historical VaR/ES ที่ 95% และ 99%
        8. ประมาณ EWMA volatility และ Normal VaR/ES
        9. สร้าง exception indicators สำหรับช่วง out-of-sample
       10. สรุปว่า metric ใดให้ข้อมูลที่ metric อื่นไม่ให้

    Quality Gate ก่อนส่ง Risk Dashboard
    รายงานควรผ่านอย่างน้อย 6 จุด: (1) ใช้ return convention เดียวกันทุกสินทรัพย์ (2) ระบุ sample
    และ as-of date (3) ตรวจ missing/stale data (4) ระบุ denominator/quantile convention (5)
    แยก in-sample estimation จาก out-of-sample validation และ (6) อธิบายว่าตัวเลขแต่ละตัวนำไป
    ใช้ตัดสินใจอะไร หาก dashboard มีตัวเลขมากแต่ตอบข้อ 6 ไม่ได้ ควรถือว่ายังไม่พร้อมใช้งาน

    Investment Lab: Research Reproduction: VaR–CVaR และ Model Validation
    หากมีข้อมูลต้นฉบับช่วงปี 2017–2021 ให้ทำซ้ำกรณีศึกษาหุ้นธนาคารไทยตามขั้นตอน
       1. สร้าง daily return โดยบันทึก price adjustment และ trading calendar
       2. ประมาณ volatility ด้วย EWMA
       3. คำนวณ Normal VaR/ES ที่ 95% และ 99%
       4. คำนวณ Historical Simulation VaR/ES ด้วย quantile convention ที่ระบุ
       5. สร้าง exception indicator และ Violation Ratio
       6. เปรียบเทียบผลกับตารางที่ 3.2
       7. หากผลต่างจากงานเดิม ให้ ตรวจ calendar, missing data, price convention, quantile
            interpolation และ EWMA initialization ก่อนสรุป
    การใช้ข้อมูลช่วงเวลาอื่นถือเป็น replication หรือ extension ไม่ใช่ reproduction ของ sample เดิม


บทสรุปท้ายบท
บทนี้ พัฒนาคณิตศาสตร์ ของความเสี่ยงจากแนวคิด พื้น ฐานไปสู่ tail risk โดยเริ่ม จากการมองผลตอบแทนเป็น
ตัวแปรสุ่มและวัดการกระจายด้วย variance กับ standard deviation จากนั้นใช้ covariance และ correlation
เพื่ออธิบาย dependence และใช้ beta เพื่อวัดความไวต่อปัจจัยตลาด

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 94

    ความเสี่ยงด้านลบถูกแยกออกด้วย lower partial moments และ downside deviation ขณะที่ tracking
error วัดความเสี่ยงเทียบ benchmark และ maximum drawdown วัดความเสี่ยงตามเส้นทาง
    สำหรับ tail risk การกำหนด loss convention ทำให้ VaR และ ES ตีความสอดคล้องกัน VaR เป็น quantile
threshold ส่วน ES สรุปความรุนแรงหลัง threshold Historical Simulation ใช้ empirical distribution โดยตรง
ขณะที่ Normal EWMA ทำให้ volatility ปรับตามข้อมูลล่าสุดแต่ยังคง distributional assumption
   สุดท้าย การวัดความเสี่ยงต้องคำนึงถึง data risk, estimation risk และ model risk ควบคู่กับตัวเลข จึงควร
รายงาน sample period, frequency, convention, horizon, confidence level, model specification และ
ผล validation ทุกครั้งที่นำ risk estimate ไปใช้


คำศัพท์สำคัญ

      • Expected return                                   • Tracking Error
      • Variance                                          • Maximum Drawdown
      • Standard deviation                                • Value-at-Risk
      • Covariance                                        • Expected Shortfall
      • Correlation                                       • Conditional Value-at-Risk
      • Covariance matrix                                 • Historical Simulation
      • Skewness                                          • EWMA
      • Kurtosis                                          • Exception
      • Lower Partial Moment                              • Violation Ratio
      • Downside deviation                                • Data risk
      • Beta                                              • Estimation risk
      • Systematic risk                                   • Model risk
      • Idiosyncratic risk


แบบฝึกหัดท้ายบท
    1. ให้ ผลตอบแทน (5%, −2%, 10%, −6%, 8%) จงหาค่า เฉลี่ย sample variance และ sample
       standard deviation
    2. พิสูจน์ว่า variance ไม่เปลี่ยนเมื่อบวกค่าคงที่ให้ตัวแปรสุ่ม

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 95

                                                         √
    3. อธิบายเงื่อนไขที่ทำให้การ annualize volatility ด้วย 252 สมเหตุสมผล
    4. พิสูจน์ว่า |𝜌𝑖𝑗 | ≤ 1 ด้วย Cauchy–Schwarz inequality
    5. สร้างตัวอย่างตัวแปรสุ่มสองตัวที่มี correlation เท่ากับศูนย์แต่ไม่เป็นอิสระต่อกัน
    6. คำนวณ downside deviation สำหรับ ข้อมูล (−8%, −2%, 1%, 4%, 7%) ที่ target 0% และ
        2%
    7. ถ้า Cov(𝑅𝑖 , 𝑅𝑀 ) = 0.00030 และ Var(𝑅𝑀 ) = 0.00020 จงหา beta และตีความ
    8. จาก active returns รายเดือน 12 ค่า จงคำนวณ annualized tracking error โดยระบุสมมติฐาน
    9. จาก wealth index ที่กำหนด จงหาจุด peak, trough, drawdown และ MDD
   10. ถ้า 𝑅 ∼ 𝑁 (0.0005, 0.0152 ) จงหา Normal VaR ที่ 95% และ 99%
   11. จากข้อมูล loss 100 ค่า จงอธิบายขั้นตอนคำนวณ Historical VaR และ ES ที่ 95% พร้อมระบุ quantile
       convention
   12. พิสูจน์สูตร Normal ES จาก expectation ของ truncated normal distribution
   13. อธิบายเหตุผลที่ VaR อาจไม่เป็น subadditive ในบาง distribution
   14. ให้ 𝜆 = 0.94, 𝜎𝑡−1 = 1.5% และ innovation เท่ากับ −3% จงหา EWMA volatility งวดถัดไป
   15. แบบจำลอง VaR 99% มีข้อมูล 500 วันและ exceptions 9 วัน จงหา Violation Ratio และอภิปรายข้อ
       จำกัดของการใช้ VR เพียงอย่างเดียว
   16. จากตารางที่ 3.2 เลือกหลักทรัพย์อย่างน้อย 3 ตัวและเปรียบเทียบ risk ranking ระหว่าง Normal EWMA
       กับ Historical Simulation
   17. อธิบายความแตกต่างระหว่าง data risk, estimation risk และ model risk พร้อมยกตัวอย่างอย่างละ 2
       กรณี
   18. แบบจำลอง A ให้ VaR 99% ต่ำกว่าแบบจำลอง B แต่ ES สูงกว่า จงอธิบายว่าเหตุการณ์นี้สะท้อนรูป tail
       ที่ต่างกันอย่างไร และควรตรวจข้อมูลใดก่อนเลือกแบบจำลอง
   19. สร้าง rolling 60-day volatility และ rolling 250-day volatility จากข้อมูล ชุด เดียวกัน แล้ว อภิปราย
       trade-off ระหว่าง responsiveness กับ estimation noise
   20. สมมติ risk dashboard รายงาน SD, beta, MDD และ ES ให้กำหนดตัวอย่าง decision rule ที่เหมาะกับ
       แต่ละมาตรวัด โดยไม่ใช้มาตรวัดใดแทน risk limit โดยตรง


คำถามชวนคิด
    1. สินทรัพย์ที่มี standard deviation ต่ำกว่าอาจมี tail risk สูงกว่าได้หรือไม่ เพราะเหตุใด
    2. Correlation ที่ต่ำในภาวะปกติสามารถสร้างความมั่นใจเกินจริงด้าน diversification ได้อย่างไร

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 3: คณิตศาสตร์ของความเสี่ยงการลงทุน 96

    3. หากผู้ลงทุนสนใจการรักษาเงินต้นมากกว่าความผันผวนโดยรวม ควรใช้มาตรวัดใดร่วมกัน
    4. VaR และ ES ควรแทนที่กันหรือควรใช้ร่วมกัน เพราะเหตุใด
    5. แบบจำลองความเสี่ยงที่ผ่าน backtest ในอดีตควรถูกเชื่อถือในอนาคตโดยอัตโนมัติหรือไม่
    6. ระหว่าง การ ใช้ โมเดล เดียว ที่ ซับ ซ้อน มาก กับ การ ใช้ หลาย โมเดล ที่ เรียบ ง่าย เพื่อ เปรียบ เทียบ model
       uncertainty แนวทางใดเหมาะกับ governance มากกว่าในบริบทใด


เอกสารอ้างอิงท้ายบทที่ 3
 [3] Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber, and David Heath. “Coherent Measures
     of Risk”. In: Mathematical Finance 9.3 (1999), pp. 203–228.
[15] Peter F. Christoffersen. “Evaluating Interval Forecasts”. In: International Economic Review
     39.4 (1998), pp. 841–862.
[29] Paul H. Kupiec. “Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models”. In:
     The Journal of Derivatives 3.2 (1995), pp. 73–84.
[33] Harry Markowitz. “Portfolio Selection”. In: The Journal of Finance 7.1 (1952), pp. 77–91.
     DOI: 10.2307/2975974.
[34] Alexander J. McNeil, Rüdiger Frey, and Paul Embrechts. Quantitative Risk Management:
     Concepts, Techniques and Tools. 2nd ed. Princeton University Press, 2015.
[41] R. Tyrrell Rockafellar and Stanislav Uryasev. “Optimization of Conditional Value-at-Risk”. In:
     The Journal of Risk 2.3 (2000), pp. 21–41.
[61] Wichai Witayakiattilerd. คณิตศาสตร์ การลงทุน ในตลาดการเงิน: เอกสารประกอบการเรียนรายวิชา
     ส.247 ตลาดการเงินและการลงทุนในหลักทรัพย์. ปทุมธานี, 2021.
[62] Wichai Witayakiattilerd. คณิตศาสตร์การเงินและการประยุกต์. ตำราภาษาไทย. 2025.
[71] Wichai Witayakiattilerd, Natthaphon Reunprot, Wachirada Limpanawannakul, and Jirawan
     Phuphon. “Analyzing Stock Performance in the Banking Sector: Unveiling Value-at-Risk and
     Conditional Value-at-Risk Strategies”. In: Thailand Statistician 22.4 (2024), pp. 877–893.
[72] Yasuhiro Yamai and Toshinao Yoshiba. “Value-at-Risk versus Expected Shortfall: A Practical
     Perspective”. In: Journal of Banking & Finance 29.4 (2005), pp. 997–1015.

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                           สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

97




                                  Part II

                         การประเมินมูลค่าสินทรัพย์




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

ไม่พบข้อความจาก text layer; หน้านี้ยังเป็นร่างและต้องตรวจภาพ PDF