บทที่ 5 คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 137



บทที่ 5 คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย

    วัตถุประสงค์การเรียนรู้
    เมื่อจบบทนี้ ผู้อ่านควรสามารถ
         1. แยกองค์ประกอบของตราสารหนี้ ได้แก่ มูลค่าที่ตราไว้ มูลค่าไถ่ถอน อัตราคูปอง ความถี่การจ่าย
            คูปอง วันครบกำหนด และอัตราผลตอบแทนที่ใช้คิดลด
         2. ประเมิน ราคาตราสารไม่มี คูปองและตราสารมี คูปองจากหลัก มูลค่า ปัจจุบัน โดยจัด ฐานเวลาและ
            ความถี่การทบต้นให้สอดคล้องกัน
         3. พิสูจน์ และ ตีความ ความ สัมพันธ์ ระหว่าง coupon rate, yield และ สถานะ premium–par–
            discount
         4. หา Yield to Maturity (YTM) จากสมการราคาและอธิบายข้อจำกัดของ YTM ในฐานะมาตรวัดผล
            ตอบแทน
         5. สร้าง discount factors และ spot rates ด้วย bootstrap และคำนวณ forward rates จาก
            เงื่อนไข no-arbitrage
         6. คำนวณมูลค่าตามบัญชี การตัดจ่าย premium/discount และแยก clean price, dirty price กับ
            accrued interest
         7. คำนวณ Macaulay duration, modified duration, convexity, DV01/BPV และใช้ ประมาณ
            การการเปลี่ยนแปลงราคาจาก yield shock
         8. อธิบาย key-rate duration และข้อจำกัดของ parallel-shift assumption
         9. สร้าง immunized portfolio ภาย ใต้ เงื่อนไข present-value matching และ duration
            matching พร้อมอธิบายบทบาทของ convexity
        10. แยก interest-rate risk ออกจาก credit, liquidity, reinvestment และ embedded-option
            risk
        11. เชื่อม zero-coupon curve และ forward-rate representation กับ แบบจำลองอัตราดอกเบี้ย
            เชิงสโตแคสติก
        12. สร้างแบบจำลองตราสารหนี้ด้วย Excel หรือ Python ที่ตรวจสอบย้อนกลับได้และมี unit checks
            ของราคา yield duration และ convexity



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 138


5.1        บทนำ: ตราสารหนี้คือชุดกระแสเงินสดที่มีโครงสร้างเวลา
ตราสารหนี้ เป็น สิทธิ เรียกร้องตามสัญญาที่ กำหนดกระแสเงินสดในอนาคต ผู้ ลงทุน จึง สามารถมองตราสารหนี้ เป็น
ชุดของ cash flows ที่กระจายอยู่ตามเวลา แล้วใช้ discount factors ที่เหมาะสมแปลงกระแสเงินสดเหล่านั้นกลับ
มาเป็นมูลค่าปัจจุบัน
    แกนกลางของบทคือ

                          Bond Price = Present Value of Contractual Cash Flows

    เมื่ออัตราที่ใช้คิดลดเปลี่ยน ราคาจะเปลี่ยนตาม จึงเกิดความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย ขณะเดียวกัน ตราสารหนี้ยังมี
ความเสี่ยงจากเครดิต สภาพคล่อง การลงทุนต่อ และเงื่อนไขแฝงในสัญญา ดังนั้น duration หรือ yield เพียงตัว
เดียวไม่สามารถอธิบายความเสี่ยงทั้งหมดได้ [18]

     ข้อกำหนดสัญญา             Cash-Flow Timeline          Discount Curve                Bond Price
   coupon / principal           𝐶𝐹1 , … , 𝐶𝐹𝑁             yield / spot rates                 𝑃




                                                          Interest-Rate Risk          Portfolio Decision
                                                         duration / convexity         hedge / immunize

            รูปที่ 5.1: จากข้อกำหนดในสัญญาไปสู่ราคา ความไวต่ออัตราดอกเบี้ย และการบริหารพอร์ต

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    คำว่า “อัตราดอกเบี้ย”, “coupon rate”, “yield”, “YTM”, “spot rate” และ “forward rate” ไม่ใช่คำ
    เดียวกัน แม้ทั้งหมดมีหน่วยเป็นอัตราต่อเวลา การคำนวณต้องระบุฐานเวลา ความถี่การทบต้น day-count
    convention และกระแสเงินสดที่อัตรานั้นใช้กำหนดราคาเสมอ




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 139


5.2        องค์ประกอบของตราสารหนี้และสัญลักษณ์

                                        ตารางที่ 5.1: สัญลักษณ์หลักที่ใช้ในบท

 สัญลักษณ์               ความหมาย                                      หมายเหตุ
 𝐹                       มูลค่าที่ตราไว้ (face/par value)              ฐานคำนวณคูปองในกรณีทั่วไป
 𝑀                       มูลค่าไถ่ถอน (redemption value)               อาจเท่าหรือไม่เท่ากับ 𝐹
 𝑐                       nominal coupon rate ต่อปี                     ต้องระบุ frequency
 𝑚                       จำนวนครั้งที่จ่ายคูปองต่อปี                   เช่น 𝑚 = 2 สำหรับครึ่งปี
 𝐾                       คูปองต่อหนึ่งงวด                              โดยทั่วไป 𝐾 = 𝑐𝐹 /𝑚
 𝑇                       อายุคงเหลือในหน่วยปี                          อาจเป็นเศษปีได้
 𝑁                       จำนวนงวดคูปองที่เหลือ                         ถ้าเป็นจำนวนเต็ม มักมี 𝑁 = 𝑚𝑇
 𝑦(𝑚)                    nominal YTM ต่อปี ทบต้น 𝑚 ครั้ง               periodic yield 𝑖 = 𝑦(𝑚) /𝑚
 𝑖                       yield ต่อหนึ่งงวดคูปอง                        ใช้กับ cash flows ที่ห่างกันหนึ่งงวด
 𝑣                       discount factor หนึ่งงวด                      𝑣 = (1 + 𝑖)−1
 𝑃                       ราคาตราสาร ณ วันประเมิน                       ต้องระบุ clean หรือ dirty ระหว่างวันคูปอง


                                                                                𝐾 +𝑀
                                                                            คูปอง + ไถ่ถอน
                         𝐾          𝐾           𝐾           𝐾          𝐾

                                                                                                       งวด
              0          1          2            3           4          5           6
           −𝑃

                             รูปที่ 5.2: แผนภาพกระแสเงินสดของตราสารคูปองมาตรฐาน

5.3        ราคาตราสารหนี้จากมูลค่าปัจจุบัน

5.3.1       หลักมูลค่าปัจจุบันทั่วไป
ให้ตราสารจ่ายกระแสเงินสด 𝐶𝐹𝑘 ณ เวลา 𝑡𝑘 และให้ 𝑑(0, 𝑡𝑘 ) เป็น discount factor จาก 𝑡𝑘 กลับสู่เวลา 0


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                             สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 140


    หลักการประเมินราคาตราสารหนี้
                                              𝑞
                                     𝑃 = ∑ 𝐶𝐹𝑘 𝑑(0, 𝑡𝑘 )
                                             𝑘=1


   สมการนี้เป็นหลักทั่วไปที่สุดของบท สูตร YTM, spot-rate pricing และการ bootstrap ล้วนเป็นกรณีหรือการ
ประยุกต์ของสมการเดียวกัน

5.3.2       ตราสารไม่มีคูปอง
    บทนิยาม 5.1
    ตราสารไม่มีคูปอง (zero-coupon bond) จ่ายเพียงมูลค่าไถ่ถอน 𝑀 ณ เวลา 𝑇 ถ้าอัตราผลตอบแทนที่
    เป็นผลต่อปีเท่ากับ 𝑦
                                                      𝑀
                                            𝑃 =
                                                   (1 + 𝑦)𝑇

ตัวอย่าง 5.1. ตราสารไม่มีคูปองมีมูลค่าไถ่ถอน 100,000 บาท อายุ 5 ปี และ yield 10% ต่อปี

                            𝑃 = 100,000(1.10)−5 ≈ 62,092.13 บาท


5.3.3       ตราสารมีคูปอง
ถ้า yield ต่อหนึ่งงวดคูปองเท่ากับ 𝑖 และเหลือ 𝑁 งวด
    Coupon Bond Pricing
                                        𝑁
                                              𝐾           𝑀
                                𝑃 =∑               𝑘
                                                     +
                                       𝑘=1
                                           (1 + 𝑖)     (1 + 𝑖)𝑁
    หรือ
                                      𝑃 = 𝐾 𝑎𝑁|𝑖 + 𝑀 𝑣𝑁




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                     สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 141


    โดย
                                    1 − 𝑣𝑁
                             𝑎𝑁|𝑖 =                   𝑣 = (1 + 𝑖)−1
                                       𝑖

    ถ้า 𝑀 = 𝐹 และจ่ายคูปองปีละครั้ง 𝐾 = 𝑐𝐹

                                     𝑃 = 𝑐𝐹 𝑎𝑁|𝑖 + 𝐹 𝑣𝑁

ตัวอย่าง 5.2. ตราสารมูลค่าที่ตราไว้และมูลค่าไถ่ถอน 100,000 บาท อัตราคูปอง 10% อายุคงเหลือ 10 ปี YTM
8% และจ่ายคูปองปีละครั้ง


                           𝑃 = 10,000 𝑎10|0.08 + 100,000(1.08)−10

    จึงได้

                                     𝑃 ≈ 113,420.16 บาท


5.3.4         ความถี่การจ่ายคูปองและฐาน yield
หากจ่ายคูปองปีละ 𝑚 ครั้ง

                                                   𝑐𝐹
                                            𝐾=
                                                   𝑚
    และถ้า YTM เสนอเป็น nominal rate 𝑦(𝑚)

                                               𝑦(𝑚)
                                            𝑖=
                                                𝑚
    ดังนั้น




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                   สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 142

    Bond Pricing with 𝑚 Coupon Payments per Year
                               𝑚𝑇
                                       𝑐𝐹 /𝑚                          𝑀
                         𝑃 =∑                         𝑘
                                                          +                    𝑚𝑇
                               𝑘=1 (1 + 𝑦
                                            (𝑚) /𝑚)           (1 + 𝑦(𝑚) /𝑚)

    หากทราบ effective annual yield 𝑦eff แทน periodic yield ที่สอดคล้องคือ

                                     𝑖 = (1 + 𝑦eff )1/𝑚 − 1

    ไม่ใช่ 𝑦eff /𝑚 โดยทั่วไป


5.4         Premium, Par และ Discount
กำหนด modified coupon rate ต่อหนึ่งงวดเมื่อเทียบกับมูลค่าไถ่ถอนเป็น

                                                      𝐾
                                              𝑔=
                                                      𝑀
    จาก

                                      𝑃 = 𝐾𝑎𝑁|𝑖 + 𝑀 𝑣𝑁

    และ

                                        1 − 𝑣𝑁 = 𝑖𝑎𝑁|𝑖

    จะได้
    Base-Amount Formula

                                    𝑃 − 𝑀 = 𝑀 (𝑔 − 𝑖)𝑎𝑁|𝑖

    หรือ
                                    𝑃 = 𝑀 + 𝑀 (𝑔 − 𝑖)𝑎𝑁|𝑖



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 143

    อีกแบบหนึ่งคือ
    Makeham Form
                                              𝐾       𝐾
                                       𝑃 =      + (𝑀 − ) 𝑣𝑁
                                              𝑖       𝑖

    ทฤษฎีบท 5.1
    สมมติ 𝑀 > 0, 𝑖 > 0 และคูปองคงที่ แล้ว

                                            𝑔>𝑖⟺𝑃 >𝑀


                                            𝑔=𝑖⟺𝑃 =𝑀

    และ

                                            𝑔<𝑖⟺𝑃 <𝑀


พิสูจน์. จาก
                                        𝑃 − 𝑀 = 𝑀 (𝑔 − 𝑖)𝑎𝑁|𝑖

    และเพราะ

                                    𝑀 >0              และ         𝑎𝑁|𝑖 > 0

    เครื่องหมายของ 𝑃 − 𝑀 จึงตรงกับเครื่องหมายของ 𝑔 − 𝑖

   ในกรณี 𝐹 = 𝑀 และ coupon frequency กับ yield convention สอดคล้องกัน สามารถเปรียบเทียบ
coupon rate กับ YTM ได้โดยตรง
    ข้อสังเกต
    ตราสารที่ ซื้อ ขายสูง กว่า พาร์ ไม่ ได้ แปลว่า “แพงเกิน ไป” และตราสารที่ ต่ำ กว่า พาร์ ไม่ ได้ แปลว่า “ถูก”
    สถานะ premium หรือ discount เป็น กลไกที่ ทำให้ present value ของกระแสเงินสดสอดคล้องกับ


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                            สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 144


    yield ที่ตลาดกำหนด


5.5        Yield to Maturity
    บทนิยาม 5.2
    Yield to Maturity คือ periodic rate 𝑖 ที่ทำให้ present value ของ contractual cash flows เท่ากับ
    ราคาตราสาร
                                           𝑁
                                              𝐾           𝑀
                            𝑓(𝑖) = ∑               𝑘
                                                     +          −𝑃 =0
                                       𝑘=1
                                           (1 + 𝑖)     (1 + 𝑖)𝑁


    YTM จึงเป็น IRR ของชุดกระแสเงินสดภายใต้ convention ที่กำหนด [62]
    ทฤษฎีบท 5.2
    ถ้า 𝐶𝐹𝑘 > 0 ทุกงวดและ 𝑖 > −1
                                                   𝑁
                                       𝑃 (𝑖) = ∑ 𝐶𝐹𝑘 (1 + 𝑖)−𝑘
                                                   𝑘=1

    เป็นฟังก์ชันลดลงอย่างเคร่งครัด เพราะ
                                               𝑁
                                𝑃 (𝑖) = − ∑ 𝑘𝐶𝐹𝑘 (1 + 𝑖)−𝑘−1 < 0
                                  ′

                                               𝑘=1

    ดังนั้น หากราคาที่กำหนดอยู่ในช่วงของฟังก์ชันราคา ราก YTM มีเอกลักษณ์

    Bisection สำหรับ YTM
         1. เลือก 𝑖𝐿 และ 𝑖𝑈 ให้ 𝑓(𝑖𝐿 )𝑓(𝑖𝑈 ) < 0
         2. กำหนด
                                                          𝑖𝐿 + 𝑖 𝑈
                                                   𝑖𝑀 =
                                                             2
         3. เลือกครึ่งช่วงที่ยังคร่อมราก

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 145


        4. ทำซ้ำจน residual หรือความกว้างช่วงต่ำกว่า tolerance ที่กำหนด
    Bisection มี convergence ที่ทนทานและเหมาะเป็น reference implementation สำหรับตรวจผลจาก
    spreadsheet หรือ library อื่น

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    YTM ไม่ใช่ realized return ที่รับประกัน หากขายก่อนครบกำหนด หาก reinvest coupons ด้วยอัตราที่
    ต่างจาก YTM หรือหาก cash flows เปลี่ยนเพราะ default หรือ embedded option ผลตอบแทนจริง
    อาจต่างจาก YTM อย่างมีนัยสำคัญ


5.6        ราคาและ Yield: Monotonicity และ Convexity
สำหรับกระแสเงินสดบวก

                                             𝑃 ′ (𝑖) < 0

    และ

                                     𝑁
                          𝑃 ″ (𝑖) = ∑ 𝑘(𝑘 + 1)𝐶𝐹𝑘 (1 + 𝑖)−𝑘−2 > 0
                                    𝑘=1


    ดังนั้น price–yield relationship ของ plain-vanilla bond ที่ cash flows คงที่มีลักษณะลดลงและนูน




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                     สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 146



            Price

                                                        เส้นสัมผัส
                                                        duration approximation




                                                                                          Yield
             รูปที่ 5.3: เส้นราคา–yield มีลักษณะลดลงและนูน ขณะที่ duration เป็นความชันเฉพาะที่


5.7        Spot Rate, Discount Factor และ Bootstrap
YTM ใช้อัตราเดียวสำหรับกระแสเงินสดหลายเวลา แต่การกำหนดราคาแบบ no-arbitrage ใช้ discount factor
เฉพาะแต่ละ maturity
    บทนิยาม 5.3
    ให้ 𝑠𝑡 เป็น spot rate แบบ effective annual สำหรับอายุ 𝑡 ปี

                                                             1
                                      𝑑𝑡 = 𝑑(0, 𝑡) =
                                                         (1 + 𝑠𝑡 )𝑡
    และ

                                           𝑃 = ∑ 𝐶𝐹𝑡 𝑑𝑡
                                                    𝑡




5.7.1       Bootstrap
สมมติ zero-coupon อายุ 1 ปีมี spot rate 3%

                                              1
                                      𝑑1 =        = 0.9708738
                                             1.03


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 147

    จากนั้นมีตราสาร 2 ปี มูลค่าไถ่ถอน 1,000 บาท คูปอง 40 บาทต่อปี และราคา 1,000 บาท

                                   1000 = 40𝑑1 + 1040𝑑2

    จึงได้

                                     1000 − 40𝑑1
                              𝑑2 =               ≈ 0.9241972
                                        1040
    ดังนั้น

                                         −1/2
                                 𝑠2 = 𝑑 2       − 1 ≈ 4.0202%

   หลัก bootstrap ทำซ้ำโดยใช้ discount factors ที่หาได้แล้วหัก present value ของ cash flows ต้นทาง
ออกก่อนแก้ discount factor ของ maturity ถัดไป

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    การ bootstrap ใน ตลาด จริง ต้อง คำนึง ถึง instrument conventions, settlement, day count,
    coupon dates, interpolation และ market quotes ที่แตกต่างกัน การใช้ตัวอย่าง annual cash flow
    แบบเรียบง่ายมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงตรรกะทางคณิตศาสตร์


5.8           Forward Rate และ Term Structure
ให้ 𝑓𝑚,𝑛 เป็น effective annual forward rate สำหรับช่วง 𝑚 ถึง 𝑛
    บทนิยาม 5.4
    ภายใต้ no-arbitrage

                          (1 + 𝑠𝑛 )𝑛 = (1 + 𝑠𝑚 )𝑚 (1 + 𝑓𝑚,𝑛 )𝑛−𝑚

    จึงได้




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 148


                                                                  1/(𝑛−𝑚)
                                               (1 + 𝑠𝑛 )𝑛
                                 1 + 𝑓𝑚,𝑛 = [             ]
                                              (1 + 𝑠𝑚 )𝑚

    จาก 𝑠1 = 3% และ 𝑠2 ≈ 4.0202%

                                           (1 + 𝑠2 )2
                                  𝑓1,2 =              − 1 ≈ 5.0505%
                                            1 + 𝑠1

    เมื่อใช้ continuous compounding และ instantaneous forward rate
    Continuous Forward-Rate Representation
                                                           𝑇
                                 𝑃 (0, 𝑇 ) = exp (− ∫ 𝑓(0, 𝑢) d𝑢)
                                                       0



    ข้อสังเกต
    yield curve อาจมี ลักษณะ upward, flat, inverted หรือ humped แต่ รูป ทรงเพียงอย่างเดียวไม่ใช่
    คำพยากรณ์ เศรษฐกิจ ที่ แน่นอน เพราะสะท้อน expected future rates, term premium, liquidity,
    supply–demand และปัจจัยเชิงสถาบันร่วมกัน


5.9           มูลค่าตามบัญชีและการตัดจ่าย Premium/Discount
สมมติซื้อ bond ที่ราคา 𝐵0 = 𝑃 และใช้ effective yield ต่อหนึ่งงวด 𝑖 ภายใต้วิธี effective interest
    ดอกเบี้ยทางคณิตศาสตร์ของงวด 𝑘 คือ

                                              𝐼𝑘 = 𝑖𝐵𝑘−1

    ถ้าคูปองที่ได้รับเท่ากับ 𝐾

                                       𝐵𝑘 = 𝐵𝑘−1 + 𝐼𝑘 − 𝐾

    ดังนั้น

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 149

    Book-Value Recursion

                                    𝐵𝑘 = 𝐵𝑘−1 (1 + 𝑖) − 𝐾

   ถ้า bond เป็น premium bond จะมี 𝐾 > 𝐼𝑘 ในช่วงแรกโดยทั่วไปและ book value ลดเข้าหา
redemption value ส่วน discount bond จะมี 𝐼𝑘 > 𝐾 โดยทั่วไปและ book valueเพิ่มเข้าหา redemption
value
    ทฤษฎีบท 5.3
    หาก yield 𝑖 และ contractual cash flows คงที่ Book value หลังจ่ายคูปองงวดที่ 𝑘 เท่ากับ present
    value ณ เวลานั้นของ remaining cash flows

                                  𝐵𝑘 = 𝐾𝑎𝑁−𝑘|𝑖 + 𝑀 𝑣𝑁−𝑘


พิสูจน์. เริ่มจาก

                              𝐵𝑘−1 = 𝐾𝑎𝑁−𝑘+1|𝑖 + 𝑀 𝑣𝑁−𝑘+1

    ใช้ identity

                                   (1 + 𝑖)𝑎𝑛|𝑖 = 1 + 𝑎𝑛−1|𝑖

    จะได้

                         𝐵𝑘−1 (1 + 𝑖) − 𝐾 = 𝐾𝑎𝑁−𝑘|𝑖 + 𝑀 𝑣𝑁−𝑘 = 𝐵𝑘




5.10         ราคาตราสารระหว่างวันจ่ายคูปอง
เมื่อ settlement date อยู่ระหว่าง coupon dates ต้องแยก dirty price กับ clean price


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 150

    บทนิยาม 5.5
    Dirty price หรือ full price คือ present value ของ cash flows ที่ผู้ซื้อมีสิทธิได้รับจาก settlement
    date เป็นต้นไป
    Accrued interest คือส่วนคูปองที่สะสมจากวันจ่ายคูปองล่าสุดถึง settlement date ตาม day-count
    convention
    Clean price คือ

                                          𝑃clean = 𝑃dirty − 𝐴𝐼

    ภายใต้ simple fraction approximation ถ้า 𝛼 เป็นสัดส่วนของ coupon period ที่ผ่านไปแล้ว

                                              𝐴𝐼 ≈ 𝛼𝐾

    หากเวลาเหลือถึง coupon ถัดไปเท่ากับ 1 − 𝛼 งวด และ periodic yield เท่ากับ 𝑖

                                                 𝑁
                                                       𝐶𝐹𝑗
                                         𝑃dirty = ∑
                                                𝑗=1
                                                    (1 + 𝑖)𝑗−𝛼

    ในงานจริงต้องใช้ settlement rule และ day-count convention ของตลาดนั้น ไม่ควรแทน 𝛼 ด้วยจำนวน
วันหารจำนวนวันในงวดแบบใดก็ได้โดยไม่ตรวจมาตรฐาน
ตัวอย่าง 5.3. สมมติ coupon ต่อครึ่งปีเท่ากับ 3 บาท และผ่านไป 40% ของ coupon period

                                    𝐴𝐼 = 0.40(3) = 1.20 บาท

    ถ้า dirty price เท่ากับ 102.75 บาท

                             𝑃clean = 102.75 − 1.20 = 101.55 บาท


5.11         Macaulay Duration
Macaulay duration วัดค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของเวลาที่ได้รับ present value ของ cash flows

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 151

    ให้ 𝑡𝑘 เป็นเวลาในหน่วยปี 𝑃 𝑉𝑘 เป็น present value ของ cash flow ที่เวลา 𝑡𝑘 และ

                                          𝑃 = ∑ 𝑃 𝑉𝑘
                                                    𝑘

    บทนิยาม 5.6
                                                 ∑𝑘 𝑡𝑘 𝑃 𝑉𝑘
                                       𝐷Mac =
                                                    𝑃

    กำหนด

                                                        𝑃 𝑉𝑘
                                            𝑤𝑘 =
                                                         𝑃
    จะได้

                              𝑤𝑘 ≥ 0          และ              ∑ 𝑤𝑘 = 1
                                                               𝑘


    ดังนั้น

                                        𝐷Mac = ∑ 𝑤𝑘 𝑡𝑘
                                                        𝑘

    จึงเป็น weighted-average time ของ cash flows ในหน่วยปี
    สำหรับ zero-coupon bond ที่ครบกำหนด 𝑇

                                             𝐷Mac = 𝑇

    สำหรับ coupon bond ที่ cash flow ส่วนหนึ่งได้รับก่อน maturity จะมี

                                             𝐷Mac < 𝑇

    เมื่อคูปองเป็นบวก


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 152


5.12         Modified Duration และ Price Sensitivity
ในกรณี yield 𝑦(𝑚) เสนอเป็น nominal annual yield ทบต้น 𝑚 ครั้ง
    บทนิยาม 5.7
                                                    𝐷Mac
                                      𝐷mod =
                                                 1 + 𝑦(𝑚) /𝑚

    และสำหรับ yield shift เล็ก
    First-Order Price Approximation
                                      Δ𝑃
                                         ≈ −𝐷mod Δ𝑦(𝑚)
                                       𝑃

    สูตรนี้ใช้ Δ𝑦(𝑚) ในหน่วย decimal เช่น 25 bp เท่ากับ

                                                0.0025

ตัวอย่าง 5.4. ถ้า

                                           𝐷mod = 6.8

    และ yield เพิ่ม 50 bp

                                           Δ𝑦 = 0.005

    จะได้

                            Δ𝑃
                               ≈ −6.8(0.005) = −0.034 = −3.4%
                            𝑃
    ถ้าราคาเริ่มต้น 105 บาท ราคาประมาณใหม่คือ

                                 105(1 − 0.034) = 101.43 บาท

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 153


    ประเด็นที่ต้องระวัง
    Modified duration เป็น local linear approximation จึงเหมาะกับ yield change ขนาดเล็กและสมมติ
    ว่า cash flows ไม่เปลี่ยนตาม yield หาก bond มี call, put หรือ prepayment behavior ความสัมพันธ์
    นี้อาจคลาดเคลื่อนมาก


5.13         Convexity
Duration ใช้ อนุพันธ์ อันดับ หนึ่ง ส่วน convexity ใช้ อนุพันธ์ อันดับ สองเพื่อ สะท้อนความโค้ง ของ price–yield
relation
    กำหนด convexity ต่อ nominal yield 𝑦(𝑚) เป็น

                                                  1 𝜕 2𝑃
                                           𝒞=
                                                  𝑃 𝜕(𝑦(𝑚) )2

    สำหรับ cash flows ที่เกิดที่งวดคูปอง 𝑘 = 1, … , 𝑁

                                        1 𝑁       𝑘(𝑘 + 1)𝐶𝐹𝑘
                                𝒞=          ∑
                                       𝑚2 𝑃 𝑘=1 (1 + 𝑦(𝑚) /𝑚)𝑘+2

    เมื่อใช้ Taylor approximation อันดับสอง
    Duration–Convexity Approximation
                                  Δ𝑃             1
                                     ≈ −𝐷mod Δ𝑦 + 𝒞(Δ𝑦)2
                                  𝑃              2

      สำหรับ plain-vanilla option-free bond ที่ cash flows คงที่ convexity เป็นบวก จึงทำให้ราคาลดน้อยกว่า
ที่เส้น duration tangent คาดเมื่อ yield เพิ่ม และราคาเพิ่มมากกว่าที่ linear approximation คาดเมื่อ yield ลด
ในระดับขนาดใกล้กัน


5.14         DV01 หรือ BPV
DV01 วัดการเปลี่ยนแปลงของราคาโดยประมาณเมื่อ yield เปลี่ยนหนึ่ง basis point

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 154



                                            1 bp = 0.0001

    จาก duration approximation
    บทนิยาม 5.8

                                     𝐷𝑉 01 ≈ 𝑃 𝐷mod (0.0001)

   โดยทั่วไป DV01 รายงานเป็น จำนวนเงิน บวกแทนขนาดการเปลี่ยนแปลง หาก yield เพิ่ม 1 bp ราคาจะลด
ประมาณ DV01 และหาก yield ลด 1 bp ราคาจะเพิ่มประมาณ DV01 ภายใต้ first-order approximation

ตัวอย่าง 5.5. ถ้าราคาเท่ากับ 10 ล้านบาทและ modified duration เท่ากับ 4.5

                         𝐷𝑉 01 ≈ 10,000,000(4.5)(0.0001) = 4,500 บาท


5.15         Key-Rate Duration และการเปลี่ยนรูปของ Yield Curve
single duration สมมติโดยนัยว่าการเปลี่ยน yield ที่เกี่ยวข้องสามารถสรุปด้วย parallel shift หนึ่งค่า แต่ yield
curve จริงอาจ steepen, flatten, twist หรือเปลี่ยนเฉพาะบาง tenor
    ให้ 𝑧𝑗 เป็น yield/spot rate ที่ key maturity 𝑗 และ Δ𝑧𝑗 เป็น bump ขนาดเล็ก
    บทนิยาม 5.9
    Key-rate duration ที่ tenor 𝑗 สามารถประมาณด้วย central difference

                                           𝑃 (𝑧𝑗 + Δ𝑧𝑗 ) − 𝑃 (𝑧𝑗 − Δ𝑧𝑗 )
                           𝐾𝑅𝐷𝑗 ≈ −
                                                    2𝑃0 Δ𝑧𝑗

    เมื่อ bump rate อื่นตาม interpolation rule ที่กำหนดคงเดิม

    จากนั้นการเปลี่ยนแปลงราคาอันดับหนึ่งจาก nonparallel curve shock ประมาณได้ด้วย

                                     Δ𝑃
                                        ≈ − ∑ 𝐾𝑅𝐷𝑗 Δ𝑧𝑗
                                     𝑃      𝑗



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 155


    ประเด็นที่ต้องระวัง
    Key-rate duration ขึ้นกับวิธี bump และ interpolation ของ yield curve จึงไม่ใช่ตัวเลขที่เป็นอิสระ
    จาก curve construction methodology


5.16         Immunization
หลัก immunization ใช้ โครงสร้างของ present value และ duration เพื่อ ลดความไวของ surplus ระหว่าง
สินทรัพย์และภาระผูกพันต่อการเปลี่ยนแปลงอัตราดอกเบี้ย [62, 18]
    ให้ 𝐴 เป็น present value ของสินทรัพย์และ 𝐿 เป็น present value ของหนี้สิน
    เงื่อนไข first-order แบบพื้นฐานคือ

                                               𝐴=𝐿

    และ

                                             𝐷𝐴 = 𝐷 𝐿

    ทฤษฎีบท 5.4
    ภายใต้ small parallel yield shift Δ𝑦 หาก

                                               𝐴=𝐿

    และ

                                             𝐷𝐴 = 𝐷𝐿

    แล้ว first-order change ของ surplus

                                            𝑆 =𝐴−𝐿

    มีค่าเป็นศูนย์โดยประมาณ


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 156

พิสูจน์. ใช้ duration approximation

                                      Δ𝐴 ≈ −𝐴𝐷𝐴 Δ𝑦

    และ

                                      Δ𝐿 ≈ −𝐿𝐷𝐿 Δ𝑦

    ดังนั้น

                                      Δ𝑆 = Δ𝐴 − Δ𝐿

    จึงได้

                                 Δ𝑆 ≈ −(𝐴𝐷𝐴 − 𝐿𝐷𝐿 )Δ𝑦

    เมื่อ 𝐴 = 𝐿 และ 𝐷𝐴 = 𝐷𝐿

                                       𝐴𝐷𝐴 = 𝐿𝐷𝐿

    จึงมี

                                          Δ𝑆 ≈ 0




5.16.1        สองสินทรัพย์สำหรับภาระผูกพันหนึ่งก้อน
ให้สินทรัพย์ 1 และ 2 มี durations 𝐷1 และ 𝐷2 โดยต้องการ duration เป้าหมาย 𝐷𝐿
    กำหนดน้ำหนัก

                                       𝑤1 + 𝑤 2 = 1


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                 สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 157

    และ

                                       𝑤1 𝐷1 + 𝑤2 𝐷2 = 𝐷𝐿

    จะได้

                                                   𝐷2 − 𝐷 𝐿
                                           𝑤1 =
                                                   𝐷2 − 𝐷 1
    และ

                                                   𝐷𝐿 − 𝐷 1
                                           𝑤2 =
                                                   𝐷2 − 𝐷 1

    ถ้าต้องการ long-only solution จะต้องมี 𝐷𝐿 อยู่ระหว่าง 𝐷1 และ 𝐷2

5.16.2        Convexity Condition
เมื่อสินทรัพย์และหนี้สินมี value และ duration match กัน เงื่อนไขเสริมที่มักต้องการคือ

                                               𝒞𝐴 ≥ 𝒞 𝐿

    เพื่อให้ asset value มี second-order response ที่ไม่ด้อยกว่าหนี้สินภายใต้ small parallel shifts

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    Immunization ไม่ใช่การกำจัดความเสี่ยงอย่างถาวร Duration เปลี่ยนตามเวลา yield curve และ cash
    flows จึง ต้อง rebalance และยัง ต้องบริหาร curve risk, credit spread risk, liquidity risk และ
    optionality แยกต่างหาก




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 158


5.17         ความเสี่ยงของตราสารหนี้ที่ Duration ไม่ครอบคลุม

                                 ตารางที่ 5.2: มิติความเสี่ยงสำคัญของตราสารหนี้

 ความเสี่ยง                    กลไก                                     มาตรวัด/แนวทางที่เกี่ยวข้อง
 Interest-rate risk            risk-free/benchmark curve เปลี่ยน
                                                       duration, convexity, KRD, DV01
 Curve risk                    tenor ต่างกันเคลื่อนไม่เท่ากัน
                                                       KRD, scenario shocks
 Credit-spread risk            spread ของผู้ออกเพิ่ม/ลดspread duration, CS01, credit
                                                       analysis
 Default risk         ผู้ออกไม่จ่ายตามสัญญา            PD, LGD, recovery, rating transi-
                                                       tion
 Liquidity risk       ซื้อขายยากหรือ spread กว้าง      bid–ask, market depth, liquidity
                                                       premium
 Reinvestment risk    coupon ถูกลงทุนต่อที่อัตราใหม่   horizon return / immunization
 Embedded-option risk call/put/prepayment เปลี่ยน cash effective duration, OAS, scenario
                      flows                            models
 Inflation risk       purchasing power ลด              real yield, inflation-linked instru-
                                                       ments


               Interest Rate                                                          Yield Curve




                                                      Bond
             Credit                                                                         Liquidity
                                                       Risk



              Reinvestment                                                         Embedded Option


                  รูปที่ 5.4: ตราสารหนี้มีความเสี่ยงหลายมิติซึ่งต้องใช้มาตรวัดมากกว่าหนึ่งประเภท

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                           สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 159


5.18         สะพานสู่งานวิจัย: Zero-Coupon Curve และ Stochastic Rates
งานของ Witayakiattilerd และคณะศึกษาการกำหนดราคาตราสารหนี้และการแปลงมูลค่าตราสารเป็นเงินสดตาม
เวลา โดยเปรียบเทียบแบบจำลองอัตราดอกเบี้ย Vasicek, CIR และ Hull–White ในข้อมูล ตลาดตราสารหนี้ ไทย
[70]
    จากงานวิจัยสู่การประยุกต์: จาก Discount Curve สู่ Stochastic Interest Rates
    คณิตศาสตร์ในบทนี้เชื่อมกับงานดังกล่าวผ่านความสัมพันธ์
                                                            𝑇
                              𝑃 (𝑡, 𝑇 ) = exp (− ∫ 𝑓(𝑡, 𝑠) d𝑠)
                                                       𝑡

    เมื่อ forward curve 𝑓(𝑡, 𝑠) กลายเป็นตัวแปรสุ่ม ราคา zero-coupon bond จึงเป็นฟังก์ชันของเส้น
    อัตราดอกเบี้ยที่เปลี่ยนตามเวลา
    แบบจำลอง Vasicek, CIR และ Hull–White เพิ่มโครงสร้างพลวัตให้ short rate หรือ term structure
    แต่หลัก present-value/no-arbitrage ที่ใช้ในบทนี้ยังคงเป็นรากฐานของการกำหนดราคา

    ผลการศึกษาเชิง ประจักษ์ ของแบบจำลองหนึ่ง ใน sample period ไม่ ควรถูก ตีความว่า แบบจำลองนั้น ดี ที่สุด
ในทุก ตลาดหรือ ทุก ช่วงเวลา การเลือก interest-rate model ต้องพิจารณาวัตถุประสงค์ calibration target,
instrument set และ out-of-sample validation


5.19         Data Lineage และ Pricing Convention
การคำนวณตราสารหนี้ไวต่อ convention มากกว่าการดูสูตรเพียงอย่างเดียว




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                          สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 160

                         ตารางที่ 5.3: Checklist สำหรับข้อมูลและ convention ของตราสารหนี้

 รายการ                            ต้องระบุ                             ความผิดพลาดที่พบบ่อย
 Settlement                        trade date, settlement date       ใช้ maturity fraction ผิด
 Coupon                            rate, frequency, coupon dates     ใช้ annual rate เป็น periodic
                                                                     coupon
 Yield                             nominal/effective/continuous      หาร effective yield ด้วย frequency
                                                                     โดยตรง
 Day count                         ACT/365, ACT/360, 30/360 หรือ accrued interest ผิด
                                   convention อื่น
 Price                             clean/dirty                       เทียบ market clean price กับ
                                                                     model dirty price
 Redemption                        par หรือ redemption premium       สมมติ 𝑀 = 𝐹 โดยไม่ตรวจ
 Curve                             source,            interpolation, bootstrap/integration basis ไม่ตรง
                                   compounding                       กัน
 Credit                            risk-free, government, corporate ใช้ government curve กับ risky
                                   spread                            cash flow โดยไม่ปรับ
 Option                            callable/puttable/prepayable      ใช้ fixed cash-flow duration กับ
                                                                     option bond


5.20         Investment Lab: Fixed-Income Analytics
    Investment Lab: Excel: Bond Pricing, Yield และ Interest-Rate Risk
    สร้าง workbook อย่างน้อย 5 ชีต
        1. Inputs ระบุ settlement, maturity, face, redemption, coupon rate, frequency, YTM
           และ day-count assumption
        2. CashFlows แสดงวัน ที่/ งวด coupon principal total cash flow discount factor และ
           present value
        3. Price–Yield สร้าง yield grid รอบ base yield อย่างน้อย ±200 bp และคำนวณ exact price



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                          สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 161


        4. Risk คำนวณ Macaulay duration, modified duration, convexity, DV01 และ
            approximation error
        5. Curve bootstrap discount factors/spot rates จากตราสารตัวอย่าง แล้ว คำนวณ forward
            rates
    สร้าง กราฟ price–yield curve และ เปรียบ เทียบ exact repricing กับ duration และ duration–
    convexity approximation สำหรับ shocks ±25, ±50, ±100 และ ±200 bp

    Investment Lab: Python: Fixed-Income Companion
    สร้างหรือปรับโมดูลให้มีฟังก์ชันอย่างน้อย
         • bond_price(...)
         • ytm_bisection(...)
         • macaulay_duration(...)
         • modified_duration(...)
         • convexity(...)
         • dv01(...)
         • clean_dirty_price(...)
         • bootstrap_discount_factors(...)
         • forward_rate(...)
         • two_asset_immunization(...)
    ควรมี unit tests อย่างน้อยสำหรับกรณี par bond, zero-coupon bond, premium bond, discount
    bond, duration ของ zero-coupon และ round-trip test ที่ นำราคาจากฟังก์ชัน pricing กลับ ไปหา
    YTM แล้วได้ yield เดิมภายใน tolerance




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                  สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 162


5.21         การเลือกมาตรวัดให้เหมาะกับปัญหา

                           ตารางที่ 5.4: แผนที่การเลือกเครื่องมือวิเคราะห์ตราสารหนี้

 คำถาม                                  เครื่องมือหลัก                  ข้อควรระวัง
 ราคา จาก contractual cash              PV / discount factors           convention ต้องตรง cash flows
 flows เท่าใด
 อัตราเดียวที่ ทำให้ ราคาเท่า กัน คือ   YTM                             ไม่ใช่ realized return ที่รับประกัน
 เท่าใด
 อัตราเฉพาะ maturity เป็นเท่าใด         Spot rate                       ต้องสร้าง curve อย่างสอดคล้อง
 อัตรา implied ระหว่างสอง ma-           Forward rate                    ขึ้นกับ compounding convention
 turity คือเท่าใด
 ราคาไวต่อ parallel yield shift         Modified duration / DV01        เป็น first-order/local measure
 เพียงใด
 ความโค้งของราคาเป็นอย่างไร             Convexity                       cash flows ต้อง ไม่ เปลี่ยน จาก
                                                                        option exercise
 curve เปลี่ยนเฉพาะ tenor ใดมี Key-rate duration                        ขึ้น กับ bump/ interpolation
 ผลอย่างไร                                                              method
 จับคู่สินทรัพย์กับหนี้สินอย่างไร PV + duration matching                ต้อง rebalance และดู convexity/
                                                                        curve risk
 credit spread เปลี่ยนมี ผลอย่าง Spread duration / CS01                 แยกจาก risk-free rate movement
 ไร


บทสรุปท้ายบท
บทนี้ พัฒนาคณิตศาสตร์ ตราสารหนี้ จากหลัก มูลค่า ปัจจุบัน โดยมองตราสารเป็น ชุด contractual cash flows ที่
ต้องคิดลดด้วยอัตราหรือ discount factors ที่สอดคล้องกับเวลา
    ในกรอบ YTM ราคาของ plain-vanilla bond เป็นฟังก์ชันลดลงและนูนของ yield ความสัมพันธ์ premium–
par–discount เกิด จากการเปรียบเทียบ coupon rate กับ required yield บนฐานเวลาเดียวกัน ขณะที่ YTM
เป็น IRR ของ contractual cash flows และไม่ควรถูกตีความเป็นผลตอบแทนจริงที่รับประกัน

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                          สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 163

    การ กำหนด ราคา ที่ ละเอียด ขึ้น ใช้ spot rates และ discount factors ตาม maturity แล้ว สร้าง term
structure ด้วย bootstrap จากนั้น forward rates เกิดจาก no-arbitrage identities
   มูลค่า ตามบัญชี อธิบายการตัด จ่าย premium หรือ สะสม discount ตาม effective yield ส่วนการซื้อ ขาย
ระหว่าง coupon dates ต้องแยก dirty price, accrued interest และ clean price ตาม market convention
    ความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย วัด ด้วย Macaulay duration, modified duration, convexity, DV01 และ key-
rate duration โดย duration เป็น first-order sensitivity และ convexity เป็น second-order correction
Immunization ใช้ present-value matching กับ duration matching แต่ ต้อง rebalance และยัง คงเผชิญ
curve, credit, liquidity และ option risk
    สุดท้าย การ วิเคราะห์ ตราสาร หนี้ ที่ ตรวจ สอบ ได้ ต้อง บันทึก settlement, day count, compounding,
coupon schedule, clean/dirty convention, curve construction และ model assumptions ก่อนนำ
ตัวเลขไปใช้ในการบริหารพอร์ต


คำศัพท์สำคัญ

      • Face value                                      • Dirty price
      • Redemption value                                • Clean price
      • Coupon rate                                     • Macaulay duration
      • Yield to Maturity                               • Modified duration
      • Discount factor                                 • Convexity
      • Spot rate                                       • DV01 / BPV
      • Forward rate                                    • Key-rate duration
      • Yield curve                                     • Spread duration
      • Premium bond                                    • CS01
      • Par bond                                        • Immunization
      • Discount bond                                   • Reinvestment risk
      • Book value                                      • Embedded-option risk
      • Accrued interest




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 164


แบบฝึกหัดท้ายบท
    1. ตราสารไม่มีคูปองมีมูลค่าไถ่ถอน 100,000 บาท อายุ 4 ปี และ effective annual yield 6% จงหาราคา
    2. พันธบัตรมูลค่าที่ตราไว้ 100,000 บาท คูปอง 8% จ่ายปีละครั้ง อายุ 6 ปี และ YTM 7% จงหาราคา
    3. พิสูจน์ base-amount formula

                                       𝑃 − 𝑀 = 𝑀 (𝑔 − 𝑖)𝑎𝑁|𝑖

    4. พิสูจน์ Makeham form จากสูตร coupon-bond pricing
    5. อธิบาย ว่า ทำไม coupon rate 8% กับ YTM 8% อาจ ไม่ เพียง พอที่ จะ สรุป ว่า ราคา เท่า พาร์ หาก
       compounding conventions ไม่ตรงกัน
    6. แสดงว่า price function ของ bond ที่มี cash flows เป็นบวกเป็นฟังก์ชันลดลงของ yield
    7. สร้าง bisection algorithm เพื่อหา YTM และทดสอบ round trip จากราคาที่สร้างด้วย yield 5.5%
    8. ใช้ zero-coupon 1 ปีและ coupon bond 2 ปีที่กำหนดเพื่อ bootstrap 𝑑1 , 𝑑2 และ spot rates
    9. พิสูจน์ forward-rate identity จาก no-arbitrage
   10. สร้าง amortization schedule ของ premium bond และตรวจว่า book value เข้าใกล้ redemption
       value
   11. ตราสารจ่ายคูปอง 4 บาทต่อครึ่งปี settlement ผ่านไป 35% ของ coupon period และ dirty price
       103.20 บาท จงหา accrued interest แบบ simple fraction และ clean price
   12. คำนวณ Macaulay duration ของ zero-coupon 7 ปี
   13. ตราสารมี modified duration 5.2 และราคา 98.50 บาท หาก yield เพิ่ม 75 bp จงประมาณราคาใหม่
       ด้วย duration
   14. เพิ่ม convexity 42 ให้ข้อก่อนและคำนวณ duration–convexity approximation
   15. พอร์ตตราสารหนี้มีมูลค่า 25 ล้านบาทและ modified duration 6.4 จงประมาณ DV01
   16. อธิบายว่าทำไม parallel duration อาจล้มเหลวเมื่อ yield curve steepen
   17. สร้าง key-rate shocks ที่ 2Y, 5Y และ 10Y แล้วอธิบายวิธีประมาณผลกระทบต่อพอร์ต
   18. ภาระผูกพันมี duration 6 ปี เลือกจาก bond duration 3 ปีและ 9 ปี จงหาน้ำหนัก long-only ที่ match
       duration
   19. พิสูจน์ว่า PV matching กับ duration matching ทำให้ first-order change ของ surplus เป็นศูนย์ภาย
       ใต้ small parallel shift
   20. อธิบายว่าทำไม callable bond ต้องใช้ effective duration มากกว่า modified duration แบบ fixed


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 165

        cash flows


คำถามชวนคิด
    1. เหตุ ใด bond ที่ ซื้อ ขายต่ำ กว่า พาร์ จึง ไม่ จำเป็น ต้องให้ ผลตอบแทนที่ น่า สนใจกว่า bond ที่ ซื้อ ขายสูง กว่า
       พาร์
    2. YTM มีข้อจำกัดอะไรบ้างเมื่อนำไปเปรียบเทียบตราสารที่มี embedded options
    3. หาก yield curve ไม่ขยับแบบขนาน duration matching เพียงอย่างเดียวเพียงพอหรือไม่
    4. Positive convexity มีคุณค่าต่อผู้ถือ bond อย่างไร และเหตุใด bond ที่มี call option อาจมี negative
       convexity ในบางช่วง
    5. ในการบริหารพอร์ต ตราสารหนี้ ขนาดใหญ่ ควรให้ ความสำคัญ กับ curve construction หรือ security
       selection มากกว่ากัน หรือทั้งสองส่วนเชื่อมโยงกันอย่างไร



เอกสารอ้างอิงท้ายบทที่ 5
[18] Frank J. Fabozzi. Bond Markets, Analysis, and Strategies. 8th ed. Pearson, 2012.
[62] Wichai Witayakiattilerd. คณิตศาสตร์การเงินและการประยุกต์. ตำราภาษาไทย. 2025.
[70] Wichai Witayakiattilerd, Kammanai Phothong, Kanticha Sudtinont, and Panisara Bundasak.
     “Instant Exchange Analytics: A Compelling Mathematical Model for Real-Time Debt
     Instrument and Cash Conversion Rates”. In: Thailand Statistician 22.2 (2024), pp. 390–406.




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                              สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 5: คณิตศาสตร์ตราสารหนี้และความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย 166




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                 สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

167




                          Part III

            ทฤษฎีพอร์ตและการกำหนดราคาสินทรัพย์




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ               สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

ไม่พบข้อความจาก text layer; หน้านี้ยังเป็นร่างและต้องตรวจภาพ PDF