บทที่ 6 ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 169



บทที่ 6 ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน

    วัตถุประสงค์การเรียนรู้
    เมื่อจบบทนี้ ผู้อ่านควรสามารถ
         1. นิยามพอร์ต การลงทุน และน้ำ หนัก พอร์ต อย่างถูก ต้อง รวมทั้ง แยก long-only, short position
            และ fully-invested portfolio ได้
         2. พิสูจน์ผลตอบแทนพอร์ตจาก simple returns และอธิบายเหตุผลที่ log returns ไม่สามารถนำมา
            ถ่วงน้ำหนักในลักษณะเดียวกันได้โดยทั่วไป
         3. คำนวณ ผล ตอบแทน คาด หมาย ความ แปรปรวน และ ส่วน เบี่ยง เบน มาตรฐาน ของ พอร์ต สอง
            สินทรัพย์ สามสินทรัพย์ และพอร์ต 𝑛 สินทรัพย์
         4. ใช้ covariance และ correlation อธิบายกลไกของ diversification และวิเคราะห์ กรณี 𝜌 =
            1, 0, −1 ได้
         5. เขียนสมการพอร์ตในรูปเวกเตอร์–เมทริกซ์

                              𝑅𝑝 = wT R,        𝜇𝑝 = wT 𝜇,           𝜎𝑝2 = wT Σw

        6. พิสูจน์ว่า covariance matrix เป็น symmetric positive semidefinite และอธิบายความสำคัญ
           ต่อการวิเคราะห์พอร์ตได้
        7. วิเคราะห์ diversification limit ใน equal-weight/common-correlation model และอธิบาย
           ความแตกต่างระหว่าง naive diversification กับ covariance-aware diversification
        8. คำนวณ marginal contribution to risk และ component contribution to risk เพื่ออธิบาย
           แหล่งกำเนิดความเสี่ยงของพอร์ต
        9. ประมาณ ค่า mean vector และ covariance matrix จาก ข้อมูล จริง พร้อม ตรวจ data
           alignment, corporate actions, missing observations และ estimation risk
       10. อธิบาย covariance shrinkage, correlation stress testing และเหตุผลที่ sample covariance
           ไม่ควรถูกมองเป็นค่าคงที่ที่ทราบแน่นอน
       11. วิเคราะห์ international diversification โดยรวมผลตอบแทนสินทรัพย์ต่างประเทศกับความเสี่ยง
           อัตราแลกเปลี่ยนอย่างถูกต้อง



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 170


       12. เตรียม risk inputs ที่มีคุณภาพสำหรับ Markowitz theory และ portfolio optimization ในบท
           ถัดไป


6.1        บทนำ: จากสินทรัพย์รายตัวสู่ระบบของพอร์ต
บทที่ 3 พัฒนามาตรวัดความเสี่ยงของผลตอบแทนและความสัมพันธ์ระหว่างสินทรัพย์ บทนี้เปลี่ยนหน่วยวิเคราะห์
จากสินทรัพย์รายตัวไปเป็นพอร์ต ซึ่งทำให้คำถามสำคัญไม่ใช่เพียงว่าแต่ละสินทรัพย์มีความผันผวนเท่าใด แต่รวม
ถึงว่าสินทรัพย์เหล่านั้นเคลื่อนไหวร่วมกันอย่างไร
    หัวใจของการบริหารพอร์ตจึงอยู่ที่สามองค์ประกอบ

                  Portfolio Risk = Weights + Individual Risks + Dependence Structure

   กล่าวอีก นัย หนึ่ง ความเสี่ยงของพอร์ต ไม่ ได้ เกิด จากค่า เฉลี่ย ของความเสี่ยงรายตัว แต่ เกิด จาก quadratic
aggregation ผ่าน covariance matrix [33]
    ประเด็น นี้ เป็น ความแตกต่างเชิง แนวคิด ที่ สำคัญ มาก ตัวอย่างเช่น สินทรัพย์ สองชนิด อาจมี volatility เท่า กัน
ทุกประการ แต่ให้ความเสี่ยงของพอร์ตต่างกันอย่างมากหาก correlation ต่างกัน ดังนั้นการวิเคราะห์พอร์ตจึงต้อง
ตอบพร้อมกันว่า “ถืออะไร” “ถือเท่าใด” และ “สินทรัพย์ที่ถือเคลื่อนไหวร่วมกันอย่างไร” ไม่ใช่ดู volatility ราย
ตัวแยกจากกัน

      Asset Returns               Dependence                 Portfolio Weights                Portfolio
            R                       Σ, Corr                          w                         𝜇𝑝 , 𝜎𝑝




                                                                                           Portfolio Design
                                                                                         diversify / optimize

              รูปที่ 6.1: โครงสร้างจากผลตอบแทนรายสินทรัพย์สู่ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ต




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                           สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 171

    ข้อสังเกต
    Diversification ไม่ ได้ หมายถึง การถือ สินทรัพย์ ให้ มากที่สุด แต่ หมายถึง การออกแบบการรวมสินทรัพย์
    โดยคำนึงถึงโครงสร้างการเคลื่อนไหวร่วมกัน หากสินทรัพย์จำนวนมากมี correlation สูงในเวลาเดียวกัน
    ประโยชน์จากการเพิ่มจำนวนสินทรัพย์อาจมีจำกัด


6.2        พอร์ตการลงทุนและน้ำหนักพอร์ต
ให้พอร์ตมีสินทรัพย์ 𝑛 รายการ ณ ต้นช่วงเวลา 𝑡 โดย 𝑉𝑖,𝑡 เป็นมูลค่าที่ลงทุนในสินทรัพย์ 𝑖 และ

                                                       𝑛
                                            𝑉𝑝,𝑡 = ∑ 𝑉𝑖,𝑡
                                                      𝑖=1


    เป็นมูลค่ารวมของพอร์ต กำหนดน้ำหนักต้นงวดเป็น

                                                        𝑉𝑖,𝑡
                                              𝑤𝑖,𝑡 =
                                                        𝑉𝑝,𝑡

    ถ้าพอร์ต fully invested

                                               𝑛
                                             ∑ 𝑤𝑖,𝑡 = 1
                                             𝑖=1

    หรือในรูปเวกเตอร์

                                                1T w = 1
    บทนิยาม 6.1
    ถ้า
                                          𝑤𝑖 ≥ 0            ทุก 𝑖
    พอร์ตเป็น long-only portfolio
    ถ้าอนุญาต
                                                   𝑤𝑖 < 0


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 172


    น้ำหนักติดลบแทน short position ภายใต้ข้อสมมติว่ากลยุทธ์สามารถขายชอร์ตได้
    Gross exposure และ net exposure สามารถนิยามเป็น
                                                    𝑛
                                          𝐺 = ∑ |𝑤𝑖 |
                                                   𝑖=1

    และ                                              𝑛
                                           𝑁 = ∑ 𝑤𝑖
                                                   𝑖=1

    ตามลำดับ

    สำหรับ fully-invested long-only portfolio จะมี 𝐺 = 𝑁 = 1 แต่พอร์ต long–short อาจมี 𝐺 > 1
แม้ 𝑁 = 1 หรือ 𝑁 = 0
     ในการใช้งานจริง ควรแยกคำว่า “fully invested” ออกจาก “unlevered” ให้ชัดเจน เงื่อนไข 𝑁 = 1 เป็น
เงื่อนไขทางบัญชีของน้ำหนักสุทธิ แต่ไม่ได้ควบคุมขนาด position รวม หากต้องการควบคุม leverage ต้องกำหนด
ข้อจำกัดของ gross exposure เพิ่ม เช่น 𝐺 ≤ 𝐺max ส่วนกรณีที่ ∑𝑖 𝑤𝑖 < 1 ส่วนที่เหลืออาจถูกตีความว่า
เป็นเงินสดหรือสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยง ซึ่งต้องระบุไว้ในแบบจำลองอย่างชัดเจน

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    เงื่อนไข 1T w = 1 ไม่ ได้ แปล ว่า ไม่มี leverage หาก มี short positions ตัวอย่าง เช่น w =
    (1.5, −0.5)T มี net exposure เท่ากับ 1 แต่ gross exposure เท่ากับ 2



6.3        ผลตอบแทนพอร์ตในหนึ่งช่วงเวลา
ให้ 𝑅𝑖,𝑡+1 เป็น simple total return ของสินทรัพย์ 𝑖 จาก 𝑡 ถึง 𝑡 + 1 หากไม่มี external cash flow ระหว่าง
ช่วง

                                             𝑛
                                𝑉𝑝,𝑡+1 = ∑ 𝑉𝑖,𝑡 (1 + 𝑅𝑖,𝑡+1 )
                                            𝑖=1

    หารด้วย 𝑉𝑝,𝑡



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                     สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 173


                                                   𝑛
                               1 + 𝑅𝑝,𝑡+1 = ∑ 𝑤𝑖,𝑡 (1 + 𝑅𝑖,𝑡+1 )
                                                  𝑖=1

    เมื่อ ∑𝑖 𝑤𝑖,𝑡 = 1
    Portfolio Simple Return
                                             𝑛
                               𝑅𝑝,𝑡+1 = ∑ 𝑤𝑖,𝑡 𝑅𝑖,𝑡+1 = wT
                                                         𝑡 R𝑡+1
                                            𝑖=1


    ทฤษฎีบท 6.1
    ผลตอบแทน simple return ของพอร์ต ในหนึ่ง ช่วงเวลาเป็น ผลรวมเชิง เส้น ของ simple returns ราย
    สินทรัพย์เมื่อใช้น้ำหนักต้นงวด

   สูตรนี้ เป็น สูตรแบบ exact สำหรับ one-period buy-and-hold return เมื่อ 𝑅𝑖 เป็น total return ที่
สอดคล้องกับกระแสเงินสดของสินทรัพย์ หากมีการเติมหรือถอนเงินระหว่างงวด หรือมีการ rebalancing ภายใน
งวด ต้องแยกผลจากการลงทุนออกจาก external cash flow ก่อน มิฉะนั้นผลตอบแทนที่คำนวณได้จะปะปนกับ
การเปลี่ยนแปลงของเงินลงทุน

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    โดยทั่วไป
                                        𝑟𝑝,𝑡 ≠ ∑ 𝑤𝑖,𝑡−1 𝑟𝑖,𝑡
                                                   𝑖

    เมื่อ 𝑟 เป็น log return เพราะ logarithm ไม่แจกแจงผ่านผลรวมของมูลค่าสินทรัพย์ สมการเชิงเส้นของ
    พอร์ตจึงควรสร้างจาก simple returns ก่อน
    สำหรับ fully-invested portfolio ที่ไม่มี external cash flow จะมีความสัมพันธ์แบบ exact

                                 𝑟𝑝,𝑡+1 = log (∑ 𝑤𝑖,𝑡 𝑒𝑟𝑖,𝑡+1 )
                                                        𝑖


    ไม่ใช่ ∑𝑖 𝑤𝑖,𝑡 𝑟𝑖,𝑡+1 โดย weighted average ของ log returns อาจ ใช้ เป็น first-order
    approximation ได้ เมื่อ ผลตอบแทนมี ขนาดเล็ก และ dispersion ระหว่างสินทรัพย์ ไม่ สูง มาก แต่ ไม่ ควร


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 174


      ใช้แทน exact portfolio return ในการตรวจผลหรือ backtest


6.4            ผลตอบแทนคาดหมายของพอร์ต
ให้

                                                 𝜇𝑖 = 𝔼(𝑅𝑖 )

      และ

                                             𝜇 = (𝜇1 , … , 𝜇𝑛 )T

      จาก linearity of expectation

                                        𝔼(𝑅𝑝 ) = 𝔼(wT R) = wT 𝜇

     ผลนี้ ไม่ ต้องสมมติ ว่า สินทรัพย์ เป็น อิสระต่อ กัน เพราะ expectation เป็น ตัว ดำเนิน การเชิง เส้น อย่างไรก็ตาม
สมการในรูปนี้ตีความ w เป็นน้ำหนักที่กำหนดไว้ล่วงหน้าหรือเป็นน้ำหนักที่ถือว่าคงที่ภายใต้ข้อมูลที่ใช้คำนวณ หาก
น้ำ หนัก เป็น ตัวแปรสุ่ม ที่ ขึ้น กับ ผลตอบแทนในงวดเดียวกัน ต้องวิเคราะห์ conditional expectation และความ
สัมพันธ์ระหว่างน้ำหนักกับผลตอบแทนเพิ่มเติม
      จึงได้
      Expected Portfolio Return
                                                    𝑛
                                          𝜇𝑝 = ∑ 𝑤𝑖 𝜇𝑖 = wT 𝜇
                                                   𝑖=1


ตัวอย่าง 6.1. ให้

                                       𝜇𝐴 = 8%               𝜇𝐵 = 14%

      และ

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                             สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 175



                                   𝑤𝐴 = 0.60               𝑤𝐵 = 0.40

    จะได้

                         𝜇𝑝 = 0.60(0.08) + 0.40(0.14) = 0.104 = 10.4%

    การคำนวณ expected return ยังไม่ต้องใช้ covariance แต่การคำนวณ portfolio risk จำเป็นต้องใช้

6.4.1       Scenario Representation
ถ้ามีสถานการณ์ 𝑠 = 1, … , 𝑚 ที่มีความน่าจะเป็น 𝑝𝑠 และเวกเตอร์ผลตอบแทน r𝑠

                                               𝑚
                                               ∑ 𝑝𝑠 = 1
                                               𝑠=1

    แล้ว

                                                      𝑚
                                              𝜇 = ∑ 𝑝𝑠 r𝑠
                                                     𝑠=1

    และ

                                                     𝑚
                                          𝜇𝑝 = ∑ 𝑝𝑠 wT r𝑠
                                                   𝑠=1

    หากต้องการสร้าง risk inputs จาก scenario set เดียวกัน สามารถคำนวณ
                                          𝑚
                                  Σ = ∑ 𝑝𝑠 (r𝑠 − 𝜇)(r𝑠 − 𝜇)T
                                         𝑠=1


โดยสูตรนี้เป็น population-style scenario covariance เมื่อ 𝑝𝑠 เป็นความน่าจะเป็นที่กำหนดให้ ไม่ใช้ตัวหาร
𝑚 − 1 แบบ sample covariance
  รูปแบบนี้มีประโยชน์เมื่อ expected returns และ dependence structure มาจาก economic scenarios
แทนการประมาณจากค่า เฉลี่ย ย้อนหลัง เพียงอย่างเดียว และช่วยให้ ผู้ วิเคราะห์ ตรวจได้ ว่า scenario ที่ ให้ ผล

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 176

ตอบแทนสูงหรือต่ำเกิดพร้อมกันในสินทรัพย์ใดบ้าง


6.5        Covariance Matrix และความแปรปรวนของพอร์ต
ให้

                                 Σ = Var(R) = 𝔼 [(R − 𝜇)(R − 𝜇)T ]

      สมาชิกตำแหน่ง (𝑖, 𝑗) คือ

                                          Σ𝑖𝑗 = Cov(𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 )

      และสมาชิกแนวทแยงคือ

                                                Σ𝑖𝑖 = 𝜎𝑖2

      เมื่อ 𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 > 0 covariance และ correlation เชื่อมกันด้วย

                                             Σ𝑖𝑗 = 𝜌𝑖𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑗

จึงมองได้ว่า covariance matrix รวมทั้ง “ขนาดความผันผวน” และ “ทิศทางการเคลื่อนไหวร่วมกัน” ไว้ในวัตถุ
ทางคณิตศาสตร์เดียวกัน
      ทฤษฎีบท 6.2
      สำหรับน้ำหนักพอร์ต w

                                       𝜎𝑝2 = Var(𝑅𝑝 ) = wT Σw

      หรือในรูปผลรวม
                                         𝑛   𝑛
                                    2
                                  𝜎 𝑝 = ∑ ∑ 𝑤𝑖 𝑤𝑗         Cov(𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 )
                                        𝑖=1 𝑗=1




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 177

พิสูจน์. จาก

                                    𝑅𝑝 − 𝜇𝑝 = wT (R − 𝜇)

    ดังนั้น


                             Var(𝑅𝑝 ) = 𝔼 [(𝑅𝑝 − 𝜇𝑝 )2 ]
                                      = 𝔼 [wT (R − 𝜇)(R − 𝜇)T w]
                                      = wT 𝔼 [(R − 𝜇)(R − 𝜇)T ] w
                                      = wT Σw




6.5.1         เหตุใด Covariance Matrix ต้องเป็น Positive Semidefinite
    ทฤษฎีบท 6.3
    Covariance matrix เป็น symmetric positive semidefinite กล่าวคือ

                                              T
                                            Σ =Σ

    และสำหรับทุก a ∈ ℝ𝑛

                                           aT Σa ≥ 0

พิสูจน์. ความสมมาตรเกิดจาก

                                 Cov(𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 ) = Cov(𝑅𝑗 , 𝑅𝑖 )

    และ



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                   สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 178



                                      aT Σa = Var(aT R) ≥ 0

    จึงได้ผลตามต้องการ

     ผลนี้สำคัญเพราะ variance ของ portfolio ใด ๆ ต้องไม่ติดลบ นอกจากนี้ sample covariance matrix ที่
คำนวณจาก return matrix ชุดเดียวกันด้วยสูตรมาตรฐานจะเป็น PSD โดยโครงสร้างอยู่แล้ว ดังนั้นหากเมทริกซ์
ที่สร้างจากข้อมูลมี negative eigenvalues ขนาดมีนัยสำคัญ สาเหตุที่ควรตรวจเป็นลำดับต้น ๆ ได้แก่ pairwise
deletion ที่ใช้ sample คนละช่วง การปัดเศษ correlation มากเกินไป การปรับ correlation ทีละคู่โดยไม่รักษา
ความสอดคล้อง หรือ ความผิด พลาดในการประกอบเมทริกซ์ ส่วน eigenvalue ติดลบขนาดเล็ก มากอาจเกิด จาก
numerical roundoff และควรพิจารณาเทียบกับ tolerance ที่เหมาะสม


6.6        พอร์ตสองสินทรัพย์และบทบาทของ Correlation
ให้ 𝑤 เป็นน้ำหนักสินทรัพย์ 1 และ 1 − 𝑤 เป็นน้ำหนักสินทรัพย์ 2

                                     𝜇𝑝 = 𝑤𝜇1 + (1 − 𝑤)𝜇2

    และ
    Two-Asset Portfolio Variance

                         𝜎𝑝2 = 𝑤2 𝜎12 + (1 − 𝑤)2 𝜎22 + 2𝑤(1 − 𝑤)𝜌12 𝜎1 𝜎2


ตัวอย่าง 6.2. กำหนด

                                   𝜇𝐴 = 8%           𝜎𝐴 = 12%


                                   𝜇𝐵 = 14%           𝜎𝐵 = 20%


                                           𝜌𝐴𝐵 = 0.25


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 179

    และ

                                   𝑤𝐴 = 0.60             𝑤𝐵 = 0.40

    ผลตอบแทนคาดหมายคือ

                                             𝜇𝑝 = 10.4%

    ส่วนความแปรปรวนคือ

             𝜎𝑝2 = 0.62 (0.12)2 + 0.42 (0.20)2 + 2(0.6)(0.4)(0.25)(0.12)(0.20)

    จึงได้

                                            𝜎𝑝2 = 0.014464

    และ

                                             𝜎𝑝 ≈ 12.03%

    ขณะที่ weighted average volatility เท่ากับ

                                 0.6(12%) + 0.4(20%) = 15.2%

    ความแตกต่างระหว่าง 15.2% กับ 12.03% แสดงผลของ covariance ต่อ diversification
    สำหรับ long-only two-asset portfolio ผลของ correlation เห็นได้โดยตรงจาก
                                   𝜕𝜎𝑝2
                                        = 2𝑤(1 − 𝑤)𝜎1 𝜎2 ≥ 0
                                   𝜕𝜌12

เมื่อ 0 ≤ 𝑤 ≤ 1 ดัง นั้น ถ้า weights และ volatilities คงเดิม การลด correlation จะไม่ เพิ่ม portfolio
variance และโดยทั่วไปจะเพิ่ม ประโยชน์ จาก diversification นี่ เป็น เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ว่า ทำไมสินทรัพย์ ที่
volatility สูงกว่าเล็กน้อยอาจยังมีประโยชน์ต่อพอร์ต หากมี correlation ต่ำหรือเป็นลบกับสินทรัพย์เดิม

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 180


6.6.1       กรณี Correlation เท่ากับ 1
เมื่อ 𝜌12 = 1

                                      𝜎𝑝 = |𝑤𝜎1 + (1 − 𝑤)𝜎2 |

    สำหรับ long-only weights

                                       𝜎𝑝 = 𝑤𝜎1 + (1 − 𝑤)𝜎2

    จึงไม่มีประโยชน์จากการหักล้างความเสี่ยงเชิงเส้น

6.6.2       กรณี Correlation เท่ากับ 0
เมื่อ 𝜌12 = 0

                                     𝜎𝑝2 = 𝑤2 𝜎12 + (1 − 𝑤)2 𝜎22

    แม้ covariance เป็นศูนย์ ความเสี่ยงพอร์ตยังไม่เป็นศูนย์ และ zero correlation ไม่ได้แปลว่าสินทรัพย์เป็น
อิสระต่อกันโดยทั่วไป เพราะ correlation วัดเฉพาะความสัมพันธ์เชิงเส้น

6.6.3       กรณี Correlation เท่ากับ -1 และพอร์ตความแปรปรวนศูนย์
เมื่อ 𝜌12 = −1

                                                                     2
                                     𝜎𝑝2 = [𝑤𝜎1 − (1 − 𝑤)𝜎2 ]

    ดังนั้นน้ำหนัก

                                                          𝜎2
                                           𝑤(0) =
                                                       𝜎1 + 𝜎 2
    และ


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 181


                                                            𝜎1
                                        1 − 𝑤(0) =
                                                         𝜎1 + 𝜎2

    ทำให้

                                                 𝜎𝑝 = 0

    ภายใต้แบบจำลอง
    สำหรับ 𝜎𝐴 = 12% และ 𝜎𝐵 = 20%

                                               (0)
                                             𝑤𝐴 = 0.625

    และ

                                               (0)
                                             𝑤𝐵 = 0.375

    ทำให้ expected return เท่ากับ

                          𝜇𝑝 = 0.625(0.08) + 0.375(0.14) = 10.25%

   ผลลัพธ์นี้ไม่ได้หมายความว่าสามารถสร้าง “สินทรัพย์ไร้ความเสี่ยง” ได้จากสินทรัพย์เสี่ยงทั่วไปเสมอไป แต่เกิด
จากสมมติฐานที่เข้มมากว่า 𝜌 = −1 แบบคงที่และ covariance structure ที่ใช้ยังคงเดิมตลอดช่วงลงทุน

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    Perfect negative correlation ที่คงอยู่ตลอดเวลาเป็นกรณีเชิงทฤษฎีที่เข้มมาก Sample correlation ที่
    ใกล้ −1 ในช่วงข้อมูลหนึ่งไม่ใช่หลักประกันว่าจะคงอยู่ในอนาคต โดยเฉพาะในช่วง market stress


6.7         พอร์ตสามสินทรัพย์และพอร์ตหลายสินทรัพย์
สำหรับสามสินทรัพย์



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 182




                         𝜎𝑝2 = 𝑤12 𝜎12 + 𝑤22 𝜎22 + 𝑤32 𝜎32
                                 + 2𝑤1 𝑤2 𝜎12 + 2𝑤1 𝑤3 𝜎13 + 2𝑤2 𝑤3 𝜎23

    เมื่อจำนวนสินทรัพย์เพิ่ม รูปเมทริกซ์

                                                𝜎𝑝2 = wT Σw

    ช่วยลดความซับซ้อนของ notation และเป็นฐานของ optimization ในบทถัดไป

ตัวอย่าง 6.3. ให้

                                           w = (0.40, 0.35, 0.25)T


                                           𝜇 = (0.08, 0.12, 0.10)T

    และ

                                 0.0100 0.0036 −0.0014
                               ⎛
                               ⎜                       ⎞
                                                       ⎟
                             Σ=⎜
                               ⎜ 0.0036 0.0324 0.00756 ⎟
                                                       ⎟
                               ⎝−0.0014 0.00756 0.0196 ⎠
    จะได้

                                     𝜇𝑝 = wT 𝜇 = 0.099 = 9.9%

    และ

                                       𝜎𝑝2 = wT Σw = 0.008845

    ดังนั้น


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 183



                                                  𝜎𝑝 ≈ 9.405%

       จาก diagonal ของ Σ จะได้ 𝜎1 = 10%, 𝜎2 = 18% และ 𝜎3 = 14% ขณะที่ correlations ที่
สอดคล้องกันคือประมาณ 0.20, −0.10 และ 0.30 สำหรับคู่ (1, 2), (1, 3) และ (2, 3) ตามลำดับ ตัวอย่าง
นี้ จึง แสดงให้ เห็น ว่า คู่ ที่ มี covariance ติดลบช่วยหัก ล้าง risk aggregation บางส่วน แม้ สินทรัพย์ ทุก ตัว จะยัง มี
variance เป็นบวก

6.7.1       จำนวนพารามิเตอร์ของ Covariance Matrix
covariance matrix ของสินทรัพย์ 𝑛 รายการมี variance 𝑛 ค่า และ covariance ที่ไม่ซ้ำกัน

                                                     𝑛(𝑛 − 1)
                                                        2
    ค่า จึงมีพารามิเตอร์อิสระทั้งหมด

                                                     𝑛(𝑛 + 1)
                                                        2
   เมื่อ 𝑛 ใหญ่ ปัญหาสำคัญจึงเปลี่ยนจากการคำนวณเมทริกซ์ไปเป็นการประมาณเมทริกซ์จำนวนพารามิเตอร์สูง
จากข้อมูลที่จำกัด
    ยิ่งไปกว่านั้น หาก sample covariance คำนวณจากข้อมูล 𝑇 ช่วงหลังหักค่าเฉลี่ย rank ของเมทริกซ์จะไม่
เกิน 𝑇 − 1 ดังนั้นเมื่อ 𝑛 ≥ 𝑇 เมทริกซ์ sample covariance จะ singular อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ปัญหานี้มีผล
โดยตรงต่อ portfolio optimization ที่ต้องอาศัยการแก้ระบบสมการหรือ inverse ของ covariance matrix และ
เป็นเหตุผลหนึ่งที่ต้องใช้ shrinkage หรือ factor structure ในพอร์ตที่มีสินทรัพย์จำนวนมาก


6.8        Diversification: กลไกทางคณิตศาสตร์

6.8.1       Naive Diversification
Naive diversification ลด concentration ด้วยการกระจายเงินไปยัง สินทรัพย์จำนวนมาก วิธีนี้ง่ายและอาจลด
idiosyncratic exposure แต่ไม่ได้ใช้ covariance structure โดยตรง


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                               สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 184

    ค่า

                                                     𝑛
                                                   ∑ 𝑤𝑖 𝜎𝑖
                                                   𝑖=1

    ไม่ใช่ portfolio volatility โดยทั่วไป เพราะไม่มี cross-covariance terms

6.8.2       Covariance-Aware Diversification
แนวคิด mean–variance ของ Markowitz ใช้ expected returns, variances และ covariances พร้อมกัน [33]
ดัง นั้น พอร์ต ที่ มี สินทรัพย์ จำนวนน้อยกว่า อาจมี diversification ที่ ดี กว่า พอร์ต ขนาดใหญ่ หากสินทรัพย์ ในพอร์ต
แรกมี dependence structure ที่เหมาะสมกว่า

6.8.3       Equal-Weight/Common-Correlation Model
สมมติสินทรัพย์ 𝑛 รายการมี volatility เท่ากัน 𝜎 correlation ระหว่างคู่ทุกคู่เท่ากัน 𝜌 และ

                                                             1
                                                    𝑤𝑖 =
                                                             𝑛
    จะได้


                                           1
                                    𝜎𝑝2 =    [𝑛𝜎2 + 𝑛(𝑛 − 1)𝜌𝜎2 ]
                                          𝑛2
                                                  1−𝜌
                                        = 𝜎2 [𝜌 +      ]
                                                   𝑛

    ทฤษฎีบท 6.4
    ภายใต้ equal-weight/common-correlation model

                                                                 1−𝜌
                                         𝜎𝑝2 = 𝜎2 (𝜌 +               )
                                                                  𝑛

    ถ้า 𝜌 ≥ 0 คงที่


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                            สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 185



                                             lim 𝜎𝑝2 = 𝜌𝜎2
                                          𝑛→∞


    ส่วน

                                               1−𝜌 2
                                                  𝜎
                                                𝑛
    ลดลงเมื่อ 𝑛 เพิ่ม ขณะที่

                                                 𝜌𝜎2

    ไม่หายไปจากการเพิ่มจำนวนสินทรัพย์เพียงอย่างเดียว ในแบบจำลองนี้จึงตีความได้ว่าพจน์ที่ลดลงตาม 1/𝑛
เป็น ส่วนที่ diversification สามารถลดได้ จากการเพิ่ม จำนวนสินทรัพย์ ขณะที่ พจน์ ที่ เกิด จาก common co-
movement ยังคงอยู่ แม้การตีความนี้ไม่ควรถูกขยายไปแทน systematic risk ของ factor model โดยอัตโนมัติ

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    สำหรับ equicorrelation matrix ขนาด 𝑛 เงื่อนไขที่เมทริกซ์เป็น PSD คือ

                                              1
                                         −       ≤𝜌≤1
                                             𝑛−1
    ดังนั้นไม่สามารถกำหนด common correlation ติดลบค่าคงที่ เช่น 𝜌 = −0.20 แล้วปล่อย 𝑛 → ∞
    โดยยังถือว่า covariance matrix ถูกต้องสำหรับทุก 𝑛


6.9        Marginal Risk และ Risk Contribution
การรู้เพียง 𝜎𝑝 บอกขนาดความเสี่ยงรวม แต่ยังไม่บอกว่าสินทรัพย์ใดสร้างความเสี่ยงให้พอร์ตเท่าใด
    จาก

                                                   √
                                           𝜎𝑝 =      w T Σw

    อนุพันธ์ต่อ 𝑤𝑖 คือ

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 186

    Marginal Contribution to Risk
                                                𝜕𝜎𝑝   (Σw)𝑖
                                    𝑀 𝑅𝐶𝑖 =         =
                                                𝜕𝑤𝑖    𝜎𝑝

    กำหนด component contribution to risk เป็น

                                                         𝑤𝑖 (Σw)𝑖
                                  𝑅𝐶𝑖 = 𝑤𝑖 𝑀 𝑅𝐶𝑖 =
                                                            𝜎𝑝

    โดย Euler decomposition ให้
    ทฤษฎีบท 6.5
    ถ้า 𝜎𝑝 > 0
                                         𝑛
                                        ∑ 𝑅𝐶𝑖 = 𝜎𝑝
                                        𝑖=1



พิสูจน์.
                                       ∑𝑖 𝑤𝑖 (Σw)𝑖   wT Σw
                          ∑ 𝑅𝐶𝑖 =                  =       = 𝜎𝑝
                            𝑖
                                           𝜎𝑝         𝜎𝑝



    Percentage risk contribution คือ

                                                     𝑅𝐶𝑖
                                       𝑃 𝑅𝐶𝑖 =
                                                      𝜎𝑝
    และ

                                       ∑ 𝑃 𝑅𝐶𝑖 = 1
                                         𝑖




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                   สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 187

    ข้อสังเกต
    น้ำหนักเงินลงทุนและน้ำหนักความเสี่ยงเป็นคนละแนวคิด สินทรัพย์ที่มี capital weight ต่ำอาจสร้าง risk
    contribution สูง หาก volatility สูงหรือ covariance กับส่วนอื่นของพอร์ตสูง
    นอกจากนี้ 𝑀 𝑅𝐶𝑖 , 𝑅𝐶𝑖 หรือ 𝑃 𝑅𝐶𝑖 สามารถติดลบได้ หากสินทรัพย์ 𝑖 มีบทบาทเป็น hedge และ
    ช่วยลด volatility ของพอร์ต ค่า risk contribution ติดลบจึงไม่ใช่ความผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ แต่ต้อง
    ตีความร่วมกับเครื่องหมายของน้ำหนักและ covariance structure ส่วน 𝑀 𝑅𝐶𝑖 เป็นผลกระทบเฉพาะ
    ที่จากการเปลี่ยน 𝑤𝑖 เล็กน้อยโดยยังไม่ได้บังคับ budget constraint ให้ weights อื่นเปลี่ยนตาม


6.10          International Diversification และ Currency Risk
สำหรับผู้ลงทุนไทยที่ถือสินทรัพย์ต่างประเทศ ให้ 𝑅asset,FX เป็นผลตอบแทนสินทรัพย์ในสกุลเงินต่างประเทศ และ
ให้ 𝑅FX เป็นผลตอบแทนของสกุลเงินต่างประเทศเทียบเงินบาท โดยนิยามให้ค่าเพิ่มหมายถึงเงินต่างประเทศแข็ง
ค่าต่อเงินบาท
    ผลตอบแทนสกุลบาทแบบ exact คือ
    Foreign Asset Return in Domestic Currency

                              1 + 𝑅THB = (1 + 𝑅asset,FX )(1 + 𝑅FX )

    ดังนั้น

                              𝑅THB = 𝑅asset,FX + 𝑅FX + 𝑅asset,FX 𝑅FX

    สำหรับผลตอบแทนขนาดเล็ก

                                       𝑅THB ≈ 𝑅asset,FX + 𝑅FX

    ถ้าใช้ log returns และนิยามอัตราแลกเปลี่ยนในทิศเดียวกัน จะได้ความสัมพันธ์แบบ exact

                                        𝑟THB = 𝑟asset,FX + 𝑟FX

ซึ่งเป็นกรณีที่ log return มีข้อได้เปรียบด้านการบวกข้ามองค์ประกอบแบบคูณ แม้จะไม่สามารถถ่วงน้ำหนักข้าม

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 188

สินทรัพย์ในพอร์ตแบบเดียวกับ simple return ได้
    จึง เห็น ว่า international diversification อาจ ลด dependence ระหว่าง ตลาด ทุน แต่ เพิ่ม currency
exposure เข้ามาในพอร์ต การ hedge ค่าเงินจึงเปลี่ยน covariance structure ของผลตอบแทนที่ผู้ลงทุนไทยได้
รับจริง

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    ต้องกำหนดทิศทางของอัตราแลกเปลี่ยนให้ชัด หากนิยาม FX quote ในทิศกลับกัน เครื่องหมายของ 𝑅FX
    จะเปลี่ยน การใช้สูตรโดยไม่กำหนด quote convention อาจทำให้ตีความผลตอบแทนผิดทิศ


6.11         การประมาณ Mean Vector และ Covariance Matrix จากข้อมูลจริง
ให้มีผลตอบแทนที่จัดแนววันตรงกัน 𝑇 ช่วงเวลา สำหรับ 𝑛 สินทรัพย์

                           R𝑡 = (𝑅1𝑡 , … , 𝑅𝑛𝑡 )T            𝑡 = 1, … , 𝑇

    sample mean vector คือ

                                                1 𝑇
                                           𝜇 ̂ = ∑ R𝑡
                                                𝑇 𝑡=1

    และ sample covariance matrix คือ
    Sample Covariance Matrix
                                             𝑇
                              ̂=        1
                              Σ             ∑(R − 𝜇)(
                                                   ̂ R𝑡 − 𝜇)̂ T
                                      𝑇 − 1 𝑡=1 𝑡

                ̂ ขึ้นกับ sampling frequency และ estimation window อย่างมีนัยสำคัญ การใช้ข้อมูลรายวัน
    ทั้ง 𝜇̂ และ Σ
ให้จำนวนสังเกตมากขึ้นแต่ไวต่อ microstructure และ asynchronous trading มากขึ้น ขณะที่ข้อมูลรายเดือน
ลด noise บางส่วนแต่มีจำนวนสังเกตน้อยลง จึงไม่มีความถี่เดียวที่เหมาะสมกับทุกวัตถุประสงค์
                                  √
    การ annualize volatility ด้วย 𝐾 และ covariance ด้วย 𝐾 เป็น กฎที่ อาศัย สมมติฐานว่า ผลตอบแทน
ข้ามช่วงไม่มี serial covariance ที่มีนัยสำคัญ หากมี autocorrelation หรือ overlapping returns การ scaling

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                      สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 189

แบบง่ายอาจคลาดเคลื่อนและควรใช้ long-horizon variance ที่รวม autocovariance terms

6.11.1        Data Alignment
ก่อนประมาณ covariance ต้องตรวจอย่างน้อย
    1. ใช้วันที่สังเกตเดียวกันทุกสินทรัพย์
    2. ใช้ adjusted prices หรือ total-return data ที่สะท้อน corporate actions ตามวัตถุประสงค์
    3. ไม่ forward-fill ราคาข้ามวันที่ไม่มีการซื้อขายโดยไม่พิจารณาผลต่อ volatility และ correlation
    4. ใช้ return frequency เดียวกัน
    5. ตรวจ missing values และ asynchronous trading
    6. ตรวจ outliers ว่าเป็นเหตุการณ์ตลาดจริงหรือ data error

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    Pairwise deletion อาจทำให้ covariance แต่ละคู่ถูกประมาณจากคนละ sample period และเมทริกซ์
    ที่ประกอบขึ้นอาจไม่เป็น PSD แม้ covariance matrix ทางทฤษฎีต้องเป็น PSD


6.12         Estimation Risk และ Covariance Shrinkage
Sample covariance เป็น estimator ไม่ใช่ ค่า ความจริง ที่ ทราบแน่นอน เมื่อ 𝑛 มี ขนาดใหญ่ เมื่อ เทียบกับ 𝑇
estimation noise สามารถทำให้ portfolio optimization ไวต่อ ข้อมูล อย่างมาก แม้ เมทริกซ์ จะเป็น PSD ทาง
คณิตศาสตร์ แต่ก็อาจมี eigenvalues เล็กมากและ condition number สูง ทำให้ผลลัพธ์จาก optimizer เปลี่ยน
รุนแรงจากการเปลี่ยนข้อมูลเพียงเล็กน้อย
    แนวคิด shrinkage สร้าง estimator
    Linear Covariance Shrinkage

                            ̂ 𝜆 = (1 − 𝜆)Σ
                            Σ            ̂ + 𝜆𝐹                 0≤𝜆≤1

     โดย 𝐹 เป็น structured target เช่น diagonal covariance หรือ constant-correlation target [30] ส่วน
𝜆 ควบคุม trade-off ระหว่างข้อมูล ใน sample กับ โครงสร้างที่ เสถียรกว่า ในการประยุกต์ ไม่ ควรเลือก 𝜆 เพียง
เพื่อให้ผลลัพธ์ดูเรียบ แต่ควรใช้เกณฑ์เชิงสถิติหรือวิธีประมาณที่สอดคล้องกับวัตถุประสงค์ของ risk estimation


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 190

    ทฤษฎีบท 6.6
        ̂ และ 𝐹 เป็น PSD และ 0 ≤ 𝜆 ≤ 1 แล้ว Σ
    ถ้า Σ                                   ̂ 𝜆 เป็น PSD


พิสูจน์. สำหรับทุก a

                                    ̂ 𝜆 a = (1 − 𝜆)aT Σ
                                 aT Σ                 ̂ a + 𝜆aT 𝐹 a

    ทั้งสองพจน์ไม่ติดลบ จึงได้

                                                  ̂𝜆a ≥ 0
                                               aT Σ


    ข้อสังเกต
    Shrinkage ไม่ได้สร้างข้อมูลใหม่ แต่ยอมเพิ่ม bias บางส่วนเพื่อแลกกับ variance ของ estimator ที่ลด
    ลง เป้าหมายคือความเสถียรของ risk estimate และ downstream portfolio weights


6.13         Correlation Stress Testing
Correlation ไม่คงที่ตามเวลา โดยเฉพาะในช่วงวิกฤต dependence ระหว่างสินทรัพย์เสี่ยงอาจสูงขึ้น จึงควรตรวจ
ว่าพอร์ตตอบสนองอย่างไรหาก correlation structure เปลี่ยน
    วิธี stress แบบง่ายอาจกำหนด candidate correlation matrix

                                     𝐶 stress = (1 − 𝜂)𝐶 + 𝜂11T

    โดย

                                               0≤𝜂≤1

    ซึ่งดัน pairwise correlations เข้าใกล้ 1 ขณะที่ diagonal ยังคงเท่ากับ 1
    สำหรับ stress construction นี้ หาก 𝐶 เป็น correlation matrix ที่ถูกต้องและ 0 ≤ 𝜂 ≤ 1 แล้ว 𝐶 stress

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 191

จะยังเป็น PSD เพราะเป็น convex combination ของ PSD matrices 𝐶 และ 11T จึงเป็นวิธี stress ที่รักษา
global consistency ของ correlation matrix ได้ดีกว่าการเพิ่ม correlation ทีละคู่แบบอิสระ
    ถ้า 𝐷 = diag(𝜎1 , … , 𝜎𝑛 )

                                         Σstress = 𝐷𝐶 stress 𝐷

    แล้วคำนวณ

                                                     √
                                       𝜎𝑝,stress =       wT Σstress w

    ประเด็นที่ต้องระวัง
    Stress matrix ต้องผ่าน validity checks เช่น symmetry, unit diagonal สำหรับ correlation matrix
    และ PSD ไม่ควรปรับ correlation ทีละคู่โดยอิสระแล้วสมมติว่าเมทริกซ์ที่ได้ยังเป็น correlation matrix
    ที่ถูกต้อง


6.14         Diversification Ratio
มาตรวัด หนึ่ง ที่ ช่วยแยก weighted standalone volatility ออกจาก portfolio volatility คือ diversification
ratio
    บทนิยาม 6.2
    สำหรับ long-only portfolio
                                                         𝑛
                                             ∑ 𝑤𝑖 𝜎𝑖
                                         𝐷𝑅 = 𝑖=1
                                                𝜎𝑝

    จาก triangle inequality ของ standard deviation

                                           𝜎𝑝 ≤ ∑ 𝑤𝑖 𝜎𝑖
                                                     𝑖

    เมื่อ 𝑤𝑖 ≥ 0 จึงได้

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 192



                                                  𝐷𝑅 ≥ 1

     ค่า 𝐷𝑅 สูงขึ้นสะท้อนว่าการรวม covariance ทำให้ portfolio volatility ต่ำกว่า weighted standalone
volatility มากขึ้น แต่ ไม่ ได้ บอกว่า expected return สูง ขึ้น หรือ ว่า พอร์ต เหมาะสมที่สุด หากสินทรัพย์ ทุก ตัว
เคลื่อนไหวร่วมกัน อย่างสมบูรณ์ ในทิศ เดียวกัน จะได้ 𝐷𝑅 = 1 ส่วนค่า 𝐷𝑅 > 1 สะท้อน diversification
benefit ภายใต้ metric นี้ ทั้งนี้นิยามดังกล่าวเหมาะที่สุดกับ long-only portfolio เพราะเมื่อมี short positions
ตัวเศษอาจไม่สะท้อน standalone risk aggregation ในความหมายเดียวกัน


6.15         กรณี ศึกษางานวิจัย: Correlation และการสร้างพอร์ต จากหลัก ทรัพย์
             SET50
Witayakiattilerd และคณะศึกษาหลัก ทรัพย์ ใน SET50 จำนวน 41 หลัก ทรัพย์ โดยใช้ ข้อมูล รายวัน ในช่วง 4
มกราคม 2017 ถึง 30 ธันวาคม 2021 และใช้ correlation, beta แนวคิด modern portfolio theory และ
ข้อกำหนดด้าน short selling เพื่อศึกษาการจัดคู่หลักทรัพย์และกลยุทธ์การลงทุน [68]

    จากงานวิจัยสู่การประยุกต์: บทเรียนที่เชื่อมกับบทนี้
    ผลการศึกษาดังกล่าวมีคุณค่าในฐานะตัวอย่างเชิงประจักษ์ของแนวคิดว่า dependence structure มีผล
    ต่อการสร้างพอร์ต แต่ผลการจัดคู่หลักทรัพย์ในช่วงข้อมูลดังกล่าวเป็น historical empirical finding ไม่ใช่
    คำแนะนำการลงทุนปัจจุบัน
    สิ่งที่ควรนำไปใช้ต่อคือกระบวนการ

                          aligned returns → correlation/covariance estimation
                         → portfolio construction → out-of-sample evaluation

    มากกว่าการนำรายชื่อคู่หลักทรัพย์ในอดีตไปใช้โดยตรง


6.16         จาก Risk Aggregation สู่ Portfolio Optimization
บทนี้ ตอบคำถามว่า เมื่อ กำหนด w, 𝜇 และ Σ แล้ว พอร์ต มี expected return และ risk เท่าใด กล่าวคือ เป็น
ปัญหาแบบ “forward evaluation” จาก inputs ไปสู่คุณลักษณะของพอร์ต

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                          สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 193

    บทถัด ไปเปลี่ยนทิศ ของปัญหาเป็น “inverse design” คือ เริ่ม จากเป้า หมายด้านผลตอบแทนและความเสี่ยง
แล้วหาน้ำหนักที่สอดคล้องกับเป้าหมายนั้น
    บทถัดไปเปลี่ยนทิศของปัญหาเป็น

                                                     เลือก w

    ภายใต้เงื่อนไข เช่น

                                                    1T w = 1

    เพื่อให้

                                                     w T Σw

    ต่ำที่สุดสำหรับ target return หรือเพื่อหาพอร์ตบน efficient frontier

               Inputs            Risk Aggregation              Optimization           Efficient Frontier
                   ̂
               𝜇,̂ Σ                 𝜇𝑝 , 𝜎𝑝                    choose w              portfolio choice


     รูปที่ 6.2: บทที่ 6 ทำหน้าที่เป็นสะพานจากการประมาณความเสี่ยงไปสู่ทฤษฎีพอร์ตและ optimization




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                         สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 194


6.17         Data Lineage และ Model Validation

                         ตารางที่ 6.1: Checklist สำหรับ Portfolio Risk Model

 องค์ประกอบ                  ต้องบันทึก                           ความผิดพลาดที่พบบ่อย
 Price data                  source, adjusted/ unadjusted, corporate actions ทำให้ return ผิด
                             currency
 Calendar                    common dates, holidays, time asynchronous observations
                             zones
 Return definition           simple/log, total/price return    ใช้ log return เป็น exact portfolio
                                                               return
 Frequency                   daily/weekly/monthly              annualization ไม่สอดคล้อง
 Missing data                deletion/imputation rule          covariance แต่ละ คู่ ใช้ sample
                                                               คนละชุด
 Mean estimate               window, estimator, forecast historical mean ถูก ใช้ เป็น ex-
                             source                            pected return โดยไม่ ประเมิน un-
                                                               certainty
 Covariance                  sample/shrinkage/factor estima- near-singular หรือ unstable ma-
                             tor                               trix
 Correlation stress          scenario และ PSD check            ปรับทีละคู่จน matrix invalid
 Currency                    FX quote และ hedge assumption เครื่องหมาย FX return ผิด
 Validation                  rolling window / holdout / stress ประเมิน และ ทดสอบ บน ข้อมูล ชุด
                             test                              เดียวทั้งหมด

    Minimum Validation Set
    ก่อนส่ง 𝜇̂ และ Σ̂ ไปยัง optimizer ควรตรวจอย่างน้อย
        1. Σ̂=Σ   ̂ T ภายใน numerical tolerance
        2. diagonal entries ไม่ติดลบ
        3. eigenvalues ไม่ติดลบเกิน tolerance ที่อธิบายได้ และตรวจ condition number หรือ near-
            singularity เมื่อจะใช้ optimization


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                    สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 195


         4. portfolio variance จาก matrix formula ตรงกับ direct calculation ใน test cases รวมทั้ง
            ตรวจหน่วยว่า daily, monthly หรือ annualized สอดคล้องกัน
         5. ผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนอย่างรุนแรงจากการเลื่อน estimation window เล็กน้อย
         6. ผ่าน correlation และ volatility stress scenarios ที่เกี่ยวข้อง


6.18         Investment Lab: Portfolio Risk Engine
    Investment Lab: Excel: จากราคาไปสู่ Covariance Matrix
    เลือกสินทรัพย์อย่างน้อย 5 รายการและสร้าง workbook ที่มี
         1. adjusted price data ที่จัดวันตรงกัน
         2. simple-return matrix
         3. mean vector
         4. covariance matrix
         5. correlation matrix
         6. equal-weight portfolio
         7. portfolio variance และ volatility
         8. risk contribution ของแต่ละสินทรัพย์
         9. correlation stress scenario
    ทดลองเพิ่มจำนวนสินทรัพย์ใน equal-weight portfolio แล้วสร้างกราฟ 𝑛 กับ 𝜎𝑝 พร้อมอธิบายว่าผลที่
    เห็นเกิดจากจำนวนสินทรัพย์หรือ dependence structure และเปรียบเทียบอย่างน้อยสองช่วงเวลา เช่น
    normal period กับ stress period เพื่อดูว่า diversification benefit เปลี่ยนเมื่อ correlation regime
    เปลี่ยนหรือไม่

    Investment Lab: Python: Portfolio Risk Functions
    สร้างหรือปรับโมดูลให้มีฟังก์ชันอย่างน้อย
         • portfolio_return(w, mu)
         • portfolio_variance(w, cov)
         • portfolio_sd(w, cov)
         • cov_from_corr(vol, corr)


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 196


         • is_psd(cov)
         • linear_shrinkage(sample, target, lambda)
         • risk_contributions(w, cov)
         • diversification_ratio(w, cov)
         • stress_correlation(corr, eta)
    สร้าง unit tests สำหรับ two-asset formula, three-asset matrix formula, perfect-negative-
    correlation case, PSD test, shrinkage PSD preservation และ Euler risk decomposition


6.19         ข้อจำกัดของกรอบ Mean–Variance
แม้ variance–covariance framework เป็นรากฐานสำคัญของ portfolio theory แต่มีข้อจำกัด
    1. variance ปฏิบัติต่อ upside และ downside deviations แบบสมมาตร จึงไม่แยกความผันผวนที่ผู้ลงทุน
       ชอบออกจาก downside risk ที่ผู้ลงทุนกังวล
    2. expected returns และ covariances ต้องประมาณจากข้อมูลหรือแบบจำลองและมี estimation error
    3. dependence อาจ nonlinear มี tail dependence และเปลี่ยนตาม regime ซึ่ง covariance เพียงเม
       ทริกซ์เดียวอาจสรุปได้ไม่ครบ
    4. sample correlation ในช่วงปกติอาจไม่สะท้อน crisis dependence
    5. transaction costs, taxes, liquidity และ market impact ยังไม่อยู่ในสมการพื้นฐาน
    6. short-sale และ leverage constraints เปลี่ยน feasible set
    7. multi-period investing มี rebalancing และ path dependence ที่ one-period model ไม่ครอบคลุม
       ทั้งหมด
    ข้อจำกัดเหล่านี้ไม่ได้ทำให้ mean–variance framework หมดประโยชน์ แต่กำหนดขอบเขตการตีความและ
เป็นแรงจูงใจให้พัฒนาแบบจำลองที่สมบูรณ์ขึ้นในบทต่อไป


บทสรุปท้ายบท
บทนี้ สร้างสะพานจากความเสี่ยงรายสินทรัพย์ ไปสู่ ความเสี่ยงของพอร์ต โดยผลตอบแทน simple return ของ
พอร์ตหนึ่งช่วงเวลาเป็นผลรวมเชิงเส้น



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                  สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 197



                                               𝑅𝑝 = wT R

    และ expected return คือ

                                               𝜇𝑝 = wT 𝜇

    ขณะที่ความเสี่ยงรวมมีโครงสร้างกำลังสอง

                                              𝜎𝑝2 = wT Σw

    จึงขึ้นกับทั้งน้ำหนัก variance รายสินทรัพย์ และ covariance ระหว่างทุกคู่
   Diversification benefit เกิดจาก dependence structure ไม่ใช่จำนวนสินทรัพย์เพียงอย่างเดียว ใน equal-
weight/common-correlation model

                                                           1−𝜌
                                       𝜎𝑝2 = 𝜎2 (𝜌 +           )
                                                            𝑛

    ซึ่งแสดงว่าความเสี่ยงส่วนที่เกิดจาก common co-movement ไม่หายไปเพียงเพราะเพิ่มจำนวนสินทรัพย์
    Risk contribution ช่วยแยกแหล่งที่มาของ portfolio volatility โดย

                                                     𝑤𝑖 (Σw)𝑖
                                           𝑅𝐶𝑖 =
                                                        𝜎𝑝
    และ

                                             ∑ 𝑅𝐶𝑖 = 𝜎𝑝
                                              𝑖

    ในเชิง ประจักษ์ covariance matrix ต้องถูก มองเป็น ค่า ประมาณที่ มี estimation risk จึง ต้องตรวจ data
alignment, PSD, rank/conditioning, stability และ stress scenarios รวมทั้งอาจใช้ shrinkage เพื่อเพิ่มความ
เสถียร โดยเฉพาะเมื่อจำนวนสินทรัพย์มีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับจำนวนสังเกต
                 ̂ ได้รับ การตรวจสอบแล้ว บทถัดไปจะใช้ตัวแปรเหล่านี้ เพื่อศึกษาการเลือกน้ำ หนักพอร์ต อย่าง
    เมื่อ 𝜇̂ และ Σ
เป็นระบบภายใต้กรอบ Markowitz

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                        สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 198


คำศัพท์สำคัญ

      • Portfolio weight                                 • Diversification
      • Fully invested                                   • Naive diversification
      • Long-only                                        • Common correlation
      • Short position                                   • Marginal contribution to risk
      • Gross exposure                                   • Risk contribution
      • Net exposure                                     • Diversification ratio
      • Portfolio return                                 • International diversification
      • Expected return                                  • Currency risk
      • Variance                                         • Sample covariance
      • Covariance                                       • Covariance shrinkage
      • Correlation                                      • Correlation stress
      • Covariance matrix                                • Estimation risk
      • Positive semidefinite


แบบฝึกหัดท้ายบท
    1. พอร์ตมีสินทรัพย์ 4 รายการ มูลค่า 200,000, 300,000, 250,000 และ 250,000 บาท จงหาน้ำหนักพอร์ต
       และตรวจเงื่อนไข fully invested
    2. พอร์ต long–short มีน้ำหนัก (1.2, 0.5, −0.7)T จงหา net exposure และ gross exposure
    3. พิสูจน์ว่า simple return ของพอร์ตหนึ่งช่วงเวลาเท่ากับ wT R เมื่อใช้น้ำหนักต้นงวด
    4. ยกตัวอย่างเชิงตัวเลขที่แสดงว่า weighted average ของ log returns ไม่เท่ากับ exact log return ของ
       พอร์ต
    5. ให้ w = (0.3, 0.4, 0.3)T และ 𝜇 = (0.06, 0.10, 0.14)T จงหา expected portfolio return
    6. พิสูจน์สูตร 𝜎𝑝2 = wT Σw
    7. พิสูจน์ว่า covariance matrix เป็น symmetric PSD
    8. พอร์ตสองสินทรัพย์มี 𝜎1 = 10%, 𝜎2 = 18%, 𝑤1 = 0.55 และ 𝜌 = 0.30 จงหา 𝜎𝑝
    9. ใช้ข้อมูลในข้อก่อนคำนวณ 𝜎𝑝 ใหม่เมื่อ 𝜌 = 1, 0, −1 และตีความผล
   10. พิสูจน์น้ำหนัก zero-variance portfolio เมื่อ 𝜌 = −1


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                     สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 199

   11. สำหรับพอร์ตสามสินทรัพย์ จงขยาย wT Σw เป็น scalar formula
   12. covariance matrix ของสินทรัพย์ 20 รายการมีพารามิเตอร์อิสระกี่ค่า
   13. พิสูจน์ equal-weight/common-correlation variance formula
   14. อธิบายเหตุผลที่ equicorrelation matrix ต้องมี 𝜌 ≥ −1/(𝑛 − 1)
   15. พอร์ตมี w = (0.4, 0.35, 0.25)T และใช้ covariance matrix จากตัวอย่างพอร์ตสามสินทรัพย์ข้าง
       ต้น จงคำนวณ MRC, RC และ PRC
   16. พิสูจน์ Euler risk decomposition ∑𝑖 𝑅𝐶𝑖 = 𝜎𝑝
   17. สินทรัพย์ ต่างประเทศให้ ผลตอบแทน 8% ในสกุล เงิน ท้องถิ่น และสกุล เงิน นั้น แข็ง ค่า ต่อ บาท 4% จงหา
       exact THB return และ first-order approximation
   18. อธิบายว่าทำไม pairwise deletion อาจทำให้ covariance matrix ไม่เป็น PSD
   19. พิสูจน์ว่า convex combination ของ PSD matrices ยังเป็น PSD และเชื่อมผลกับ covariance shrinkage
   20. ออกแบบ correlation stress test สำหรับพอร์ต 5 สินทรัพย์และอธิบาย validity checks ที่ต้องทำ
   21. เปรียบเทียบ naive diversification กับ covariance-aware diversification โดยสร้างตัวอย่างที่พอร์ต 5
       สินทรัพย์มีความเสี่ยงต่ำกว่าพอร์ต 20 สินทรัพย์
   22. อธิบายเหตุผลที่ sample covariance matrix ไม่ควรถูกส่งเข้า optimizer โดยไม่ทำ stability analysis
   23. พิสูจน์ว่า sample covariance matrix ที่คำนวณจาก return matrix ชุดเดียวกันเป็น PSD และอธิบายว่า
       ทำไม pairwise deletion จึงอาจทำลายสมบัตินี้
   24. ถ้ามีสินทรัพย์ 𝑛 = 120 รายการ แต่ใช้ข้อมูลรายเดือนเพียง 𝑇 = 60 เดือน จงอธิบาย rank limitation
       ของ sample covariance matrix และผลต่อการทำ portfolio optimization
   25. แสดงว่าในกรณี long-only two-asset portfolio มี 𝜕𝜎𝑝2 /𝜕𝜌12 ≥ 0 และตีความเชิงการลงทุน
   26. แสดงว่า exact log return ของ fully-invested one-period portfolio คือ log(∑𝑖 𝑤𝑖 𝑒𝑟𝑖 ) และ
       เปรียบเทียบกับ ∑𝑖 𝑤𝑖 𝑟𝑖 ด้วยตัวอย่างเชิงตัวเลข


คำถามชวนคิด
    1. จำนวนสินทรัพย์ในพอร์ตเป็นมาตรวัด diversification ที่ดีเพียงใด
    2. เหตุใด correlation ระหว่างสินทรัพย์จึงมักเปลี่ยนในช่วงวิกฤต และมีผลต่อพอร์ตอย่างไร
    3. ถ้าสินทรัพย์มี expected return สูงแต่สร้าง risk contribution สูงมาก ควรลดน้ำหนักเสมอหรือไม่
    4. การใช้ข้อมูลย้อนหลัง 5 ปีเพื่อประมาณ covariance สำหรับพอร์ตในอีก 1 ปีข้างหน้ามีสมมติฐานแฝงอะไร
       บ้าง
    5. ในการสร้างพอร์ตระหว่างประเทศ การ hedge ค่าเงินอาจเพิ่มความเสี่ยงในบางกรณีได้หรือไม่

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                       สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6: ผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน 200

    6. เหตุ ใด portfolio optimization จึง อาจ ไว ต่อ expected-return estimates มากกว่า covariance
       estimates



เอกสารอ้างอิงท้ายบทที่ 6
[30] Olivier Ledoit and Michael Wolf. “A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional
     Covariance Matrices”. In: Journal of Multivariate Analysis 88.2 (2004), pp. 365–411.
[33] Harry Markowitz. “Portfolio Selection”. In: The Journal of Finance 7.1 (1952), pp. 77–91.
     DOI: 10.2307/2975974.
[68] Wichai Witayakiattilerd, C. Neaimsri, T. Atthaphichan, C. Boontam, and P. Senarat.
     “Unleashing the Potential: Exploring Cashless Investment Strategies through Short-Selling
     Techniques and Modern Portfolio Theory”. In: Thailand Statistician 23.4 (2025), pp. 875–892.




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ                                  สาขาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์