บทที่ 11 สัญญาแคป ฟลอร์ คอลลาร์และสวอปชัน
หน้าพิมพ์ 433–504 · PDF 445–516
หน้า PDF 445 · หน้าพิมพ์ 433 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 สัญญาแคป ฟลอร์ คอลลาร์และสวอปชัน
เนื้อหาประกอบด้วย
11.1 ทฤษฎีของฮีธ-จาร์โรว์-มอร์ตัน
11.2 เมเชอร์ฟอร์เวิร์ด
11.3 ออปชันของสินค้าโภคภัณฑ์ภายใต้อัตราดอกเบี้ยแปรผัน
11.4 สัญญาแคปอัตราดอกเบี้ย สัญญาฟลอร์และสัญญาคอลลาร์ของอัตราดอกเบี้ย
11.5 สัญญาสวอปชัน
บทนำ
สั ญญาแคป (cap) สั ญ ญาฟลอร์ (floor) สัญ ญาคอลลาร์ (collar) และสัญ ญาสวอปชั น
(swaption) เป็นเครื่องมือหนึ่งในจัดการความเสี่ยงทางการเงินซึ่งมีความซับซ้อนและผันผวนมากใน
ตลาดทุนโลก การมีความรู้ความเข้าใจที่ถ่องแท้ในสัญญาเหล่านี้ย่อมมีประโยชน์ในการจัดการความ
เสี่ยงทางการเงิน ไม่ว่าจะเป็นความเสี่ยงจากการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ย อัตราแลกเปลี่ยน
หรือความเสี่ยงอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องก็ตาม
สั ญ ญาแคป (cap agreement) และ สั ญ ญาฟลอร์ (floor agreement) คื อ สั ญ ญาทาง
การเงินที่ช่วยให้ผู้ถือสัญญาสามารถจัดการการความเสี่ยงจากความผันผวนของอัตราดอกเบี้ยคือ
จำกัดการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอัตราดอกเบี้ยที่ไม่แน่นอนที่เกิดขึ้นในอนาคต ช่วยลดความผันผวน
และจำกัดความเสี่ยงจากการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยในอนาคต
สัญญาคอลลาร์ (collar agreement) เป็นสัญญาที่เกิดจากการรวมกันของสัญญาแคปและ
สัญญาฟลอร์ ทำให้ผู้ทำสัญญาสามารถกำหนดช่วงของอัตราดอกเบี้ยที่ต้องการจำกัด มีอัตราดอกเบี้ย
สูงสุด (cap rate) และอัตราดอกเบี้ยตํ่าสุด (floor rate) ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
ส่ ว นสั ญ ญาสวอปชั น (swaption) หรื อ ออปชั น สวอป (swap option) เป็ น สั ญ ญาที่
ผสมผสานระหว่างสวอปอัตราดอกเบี้ยและออปชัน สวอปชันเป็นเครื่องมือหนึ่งในการรับประกัน
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 446 · หน้าพิมพ์ 434 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
434 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ระดับดอกเบี้ยที่แน่นอนสำหรับการกู้ยืมระยะยาวในอนาคตหรือการฝากเงินระยะยาว ช่วยป้องกัน
ความเสี่ยงจากความผันผวนของอัตราดอกเบี้ยระยะยาวที่เกิดขึ้นในอนาคต โดยสัญญาสวอปชันให้
สิทธิแก่ผู้ถือเข้าทำสัญญา swap แบบจ่ายคงที่-รับลอยตัว (payer swaption) หรือ ให้สิทธิแก่ผู้ถือ
เข้าทำสัญญา swap แบบรับคงที่-จ่ายลอยตัว (receiver swaption) สวอปชันให้ผู้ถือสัญญามีความ
ยืดหยุ่นในการตัดสินใจว่าจะใช้สิทธิตามสัญญาสวอปหรือลบล้างสัญญาสวอป นับว่าเป็นเครื่องมือที่มี
ประโยชน์ในการจัดการความเสี่ยงทางการเงินและการวางแผนการเงินระยะยาว
ในบทที่ 11 นี้ จะอธิบายความหมายและการทำงานของสัญญาแคป สัญญาฟลอร์ สัญญา
คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน รวมถึงการกำหนดราคาและการประเมินมูลค่าของสัญญาดังกล่าว
นอกจากนี้ ยังเปรียบเทียบความแตกต่างของสัญญาเหล่านี้และความเหมาะสมของแต่ละสัญญาใน
สถานการณ์ที่แตกต่างกัน
11.1 กรอบโครงสร้างของตัวแบบ ฮีธ-จาร์โรว์-มอร์ตัน
ตัวแบบของ ฮีธ-จาร์โรว์-มอร์ตัน หรือตัวแบบ HJM (heath-jarrow-morton : HJM) คือตัว
แบบทางการเงินที่ใช้ในการวิเคราะห์อัตราดอกเบี้ยล่วงหน้าหรืออัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ด (forward
rate) ตัวแบบ HJM พยากรณ์การเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ดโดยตรง ซึ่งต่างจากตัว
แบบการเงินอื่น ๆ ที่พยายามจะพยากรณ์หรือจำลองอัตราดอกเบี้ยทันที (spot rate) ตัวแบบนี้ได้รับ
การคิดขึ้นโดยเดวิด ฮีธ (David Heath) โรเบิร์ต จาร์โรว์ (Robert Jarrow) และ แอนดรูว์ มอร์ตัน
(Andrew Morton) ในปี ค.ศ.1992
กรอบโครงสร้างของตัวแบบ ฮีธ-จาร์โรว์-มอร์ตัน มีหลักการภายใต้เงื่อนไข 3 ประการ คือ
1) อัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ดไม่เป็นการเคลื่อนที่สุ่ม
การเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ดต้องสอดคล้องกับการเคลื่อนไหวทางการเงิน
ทั่วไป ซึ่งมักจะถูกแทนที่ด้วยอัตราดอกเบี้ยสั้น
2) ไม่มีการขาดทุนจากการคาดการณ์
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 447 · หน้าพิมพ์ 435 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 435
ตั ว แบบ HJM จะต้ อ งสามารถป้ อ งกั น การขาดทุ น จากการคาดการณ์ ที่ ผ ิ ด พลาด หาก
คาดการณ์อัตราดอกเบี้ยที่จะเกิดขึ้นในอนาคตและใช้ข้อมูลนั้นในการทำรายการทางการเงินจะ
สามารถทำกำไรได้โดยไม่มีความเสี่ยง
3) ความสามารถในการพยากรณ์ราคา
ตัวแบบ HJM ต้องสามารถใช้ในการพยากรณ์ราคาของตราสารทางการเงินที่เกี่ยวข้องกับ
อัตราดอกเบี้ ย ราคาของสิน ค้า ทั้ งหมดที ่มี ความสัมพันธ์กับ อัตราดอกเบี้ย จะต้ องสอดคล้ องกั บ
หลักการปราศจากการทำกำไรโดยไม่มีความเสี่ยง (no-arbitrage principle)
ตัวแบบ HJM ใช้สมการสัมพันธ์กับความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย (volatility structure)
ซึ่งใช้ความผันผวนในอดีตเพื่อพยากรณ์การเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ด โดยตัวแบบ
HJM สามารถทำงานกับอัตราดอกเบี้ยที่มีโครงสร้างที่ซับซ้อน ในทางปฏิบัติการหาผลเฉลยรูปปิดของ
สมการของตัวแบบ HJM นั้นทำได้ยาก จำเป็นต้องใช้เทคนิคการทำความเข้าใจที่ซับซ้อน อย่างไรก็
ตาม ตัวแบบนี้เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการทำความเข้าใจและวิเคราะห์ อัตราดอกเบี้ย ที ่ มี
โครงสร้างที่ซับซ้อน
กำหนดอายุครบกำหนด T ≥ 0 สำหรับเวลา t ใดๆ ตัวประกอบส่วนลด (discount factor),
Pt T ภายใต้ตัววัดความน่าจะเป็น Q กำหนดโดย นิยามอยู่ในรูป
T
=Pt T EtQ exp − ∫ rs ds (11.1)
t
ในที่นี้อาจพิจารณา PtT เป็นราคาปัจจุบันของพันธบัตรที่นักลงทุนยินดีจ่ายในปัจจุบัน ( t ) เพื่อแลก
กับเงิน 1 หน่วยที่จะได้รับในอนาคต ณ เวลา T โดยคำนึงถึงอัตราดอกเบี้ยที่ปราศจากความเสี่ยง
และการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยนั้นตลอดช่วงเวลา t ถึง T
11.1.1 อัตราฟอร์เวิร์ดทันที (instantaneous forward rate)
อัตราฟอร์เวิร์ดทันที เป็นอัตราดอกเบี้ยที่ใช้สำหรับสัญญาซื้อขายตราสารหนี้ระหว่างสอง
เวลา ซึ่งอัตรานี้ถูกกำหนดจากราคาตลาดของตราสารหนี้ในปัจจุบัน โดยอัตราฟอร์เวิร์ดทันทีแสดงถึง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 448 · หน้าพิมพ์ 436 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
436 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
อัตราดอกเบี้ยที่คาดว่าจะได้รับในช่วงเวลาเล็ก ๆ ในอนาคตที่กำหนดจากเวลาปัจจุบัน ในที่นี้จะเขียน
แทนอัตราฟอร์เวิร์ดทันที ด้วยสัญลักษณ์ f (t , T ) กำหนดโดย
Q T
Et exp − ∫ rs ds
1 t ∂ ln ( Pt T )
f (t , T ) =lim
∆T → 0 ∆T
− 1 =− (11.2)
E Q exp −
T +∆T
∂T
t
t
∫ rs ds
สมมติว ่ า มี ความเสี ่ ย งจํ า นวน N ปั จ จั ย ซึ ่ งแต่ ล ะปัจ จัย นั้น เกิดจากการเคลื่อนที่บ ราวน์ ที่ไม่ มี
1, 2,..., N สมมติว่าภายใต้ความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความ
ความสัมพันธ์กัน, W , t > 0, k =
t
k
เสี่ยง, P สอดคล้องกับสมการ
t
T
dPtT N
=
PtT
µ ( t , T ) dt + ∑
k =1
σ k ( t , T ) dWt k (11.3)
เมื่อ µ ( t , T ) , σ k ( t , T ) เป็นอัตราดริฟท์ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น (instantaneous
mean) และค่าความผันผวน ตามลำดับ สมมติว่าภายใต้ความเป็นกลางต่อความเสี่ยง
µ ( t , T ) = rt (11.4)
∂ ln ( Pt )
T
1 1
เมือ่ rt ≡ ∆lim
t → 0 ∆t P t +∆t
− 1 = − เป็นอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น (short-term rate)
t ∂T
T =t
ดังนั้นจากสมการ (11.4) จะได้ว่า
dPtT N
= T
rt dt + ∑ σ k ( t , T ) dWt k (11.5)
Pt k =1
โดยการประยุกต์บทตั้งของอิโต้ ได้ว่า
1 N N
rt dt + ∑ σ k ( t , T ) dWt k −
∑σ k ( t , T )σ k ( t , T ) dt
d ln Pt T = (11.6)
=k 1=2k 1
จากสมการ (11.6) หาอนุพันธ์ย่อยเทียบตัวแปร T ได้
∂ ln PtT ∂ ∂ N 1 ∂ N
= ( rt dt ) + ∑σ k ( t , T ) dWt k − ∑ σ k ( t , T )σ k ( t , T ) dt
=∂T ∂T ∂T k 1 = 2 ∂T k 1
∂σ k ( t , T ) N N ∂σ
k (t,T )
∑ − df (t , T )
=
∂T
dWt
k
− ∑
∂T
σ k ( t , T ) dt
=
k 1= k 1
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 449 · หน้าพิมพ์ 437 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 437
∂σ k ( t , T ) N ∂σ
N
k ( t , T ) ∂σ k ( t , s )
T
∑ ( t ) ∑ ∫ (11.7)
k
df (t , T )
= d −W + ds dt
= ∂T
k 1= k 1 ∂T t ∂s
เนื่องจาก −W เป็นการเคลื่อนที่บราวน์เช่นเดียวกับ W เพื่อความสะดวกเขียน −W แทนด้วย
t
k
t
k
t
k
Wt k เช่นเดิม ดังนั้นจะได้ว่า
N ∂σ k ( t , T ) T ∂σ k ( t , s ) N ∂σ
( t , T ) dW k
df (t , T ) ∑
∂T
∫
∂s
ds dt + ∑ k
∂T
t (11.8)
k 1= t k 1
สมการ (11.8) เป็นที่รู้จักกันในชื่อ “สมการฮีธ-จาร์โรว์-มอร์ตัน (Heath-Jarrow-Morton equation:
HJM) สัมประสิทธิ์ ∂σ ( t , T ) แทนสัดส่วนของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอัตราฟอร์เวิร์ด f (t , T )
k
∂T
จากปัจจัยที่ k ข้อสังเกตคือ สัมประสิทธิ์ ∂σ ( t , T ) ค่าความผันผวนของอัตราฟอร์เวิร์ด
k
∂T
เนื่องจาก
∂σ ( t , T ) N N ∂σ ( t , T )
cov ( df (t , T1 ), df (t , T2 ) )
= k dt ≡ ∑ (σ k′ ( t , T1 ) ) (σ k′ ( t , T2 ) ) dt
∑ k
∂T ∂T
=
1=
k=
T T1= T T2 k 1
(11.9)
รูปสมการเชิงอนุพันธ์ (11.8) สามารถเขียนในรูปสมการเชิงปริพันธ์ได้ในรูป
t
N ∂σ ( s, T ) T ∂σ k ( s, u ) N t
∂σ k ( s, T )
f (0, T ) + ∫ ∑ k
f (t , T ) =
∫ du
ds + ∑ ∫ dWs
k
(11.10)
=
0 k 1=
∂T s ∂u k 1 0 ∂T
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง T = t เนื่องจาก f (t , t ) = rt จะได้ว่า
t
N ∂σ ( s, t ) t ∂σ k ( s, u ) N t
∂σ k ( s, t )
f (0, t ) + ∫ ∑ k
rt =
∫ du
ds + ∑ ∫ dWs
k
(11.11)
=
0 k 1=
∂t s ∂u k 1 0 ∂t
−1/ 2
กำหนดให้ Z t เป็นการเคลื่อนที่บราวน์ซึ่ง dZt = ∑ (σ k′ (t , t ) )2 ∑σ k′ (t , t )dWt k
N N
= k 1= k 1
และเพื่อความสะดวกในที่นี้ให้ ∂σ ( s, T ) k
≡ σ k′ ( s, t ) และ
∂ 2σ k ( s , T )
≡ σ k′′ ( s, t ) จะได้ว่า
∂T T =t
∂T 2 T =t
=drt µr (t )dt + σ r (t )dZ t (11.12)
เมื่อ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 450 · หน้าพิมพ์ 438 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
438 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
N t
t N t
f ′(0, t ) + ∑ ∫ ( σ k′ ( s, t )) + (σ k′′ ( s, t ) ) ∫ σ k′ ( s, u )du ds + ∑ ∫ σ k′′ ( s, t ) dWsk (11.13)
2
µr (t ) =
0
k 1= s k 1 0
N
∑ (σ ′ ( t , t ) )
2
และ σ r (t ) = k (11.14)
k =1
จากสมการ (11.13) จะเห็นว่า ในกรณีที่ ค่าความผันผวนเท่ากับศูนย์ µr (t )= rt=′ f ′(0, t ) นั่นคือ
อัตราดริฟท์ของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นเท่ากับความชันของเส้นโค้งของอัตราฟอร์เวิร์ดซึ่งขึ้นอยู่กับค่า
ความผันผวนของอัตราดอกเบี้ยในอดีต
รูปที่ 11.1 อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น euribor ระยะ 3 เดือน เปรียบเทียบกับอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น
อัตราผลตอบแทนตั๋วเงินคลังสหรัฐอายุ 3 เดือน (อัตราดอกเบี้ยจริง)
เพื่อความเข้าใจพิจารณาตัวอย่างการคำนวณเชิงตัวเลขเพื่อหาอัตราฟอร์เวิร์ดทันที f (t , T )
และตัวประกอบส่วนลด P(t , T ) ดังต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 11.1 กำหนดข้อมูลดังต่อไปนี้ สมมติให้อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt = 3% จำนวน
ปัจจัย N = 1 จงใช้คำนวณหาตัวประกอบส่วนลด PtT และ อัตราฟอร์เวิร์ดทันที f (t , T )
วิธีทำ 1) การคำนวณตัวประกอบส่วนลด PtT
จากนิยามของ PtT ตามสมการที่ (11.1) และ จากข้อมูลที่กำหนดให้ rs = 0.03
( )
จะได้ PtT = Q exp − ∫t rs ds = e−0.03(T −t )
T
2) การคำนวณอัตราฟอร์เวิร์ดทันที f (t , T ) โดยใช้สมการ (11.2)
∂ ln ( Pt T ) ∂ ln ( e −0.03(T −t ) ) ∂ (−0.03(T − t ))
จะได้ f (t , T ) =
− =
− =− 0.03
=
∂T ∂T ∂T
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 451 · หน้าพิมพ์ 439 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 439
11.1.2 ตัวแบบ HJM-1 ปัจจัย และ σ ′(t , T =) σ= ค่าคงที่
สำหรับตัวแบบ HJM-1 ปัจจัย และ σ ′(t , T =) σ= ค่าคงที่ นั่นคือ
T
= (T − t )σ จากสมการ (11.8) จะได้ว่า
σ (t , T=) ∫ σ ds
t
T
df (t , T ) = σ ∫ σ ds dt + σ dWt = σ 2 (T − t ) dt + σ dWt (11.15)
t
โดยการอินทิเกรตเทียบ t จะได้
t2
) f (0, T ) + σ 2 Tt − + σ Wt
f (t , T= (11.16)
2
เรียกตัวแบบ HJM-1 ปัจจัย ในกรณีที่ σ ′(t , T =) σ= ค่าคงที่ ว่า “ตัวแบบโฮ-ลี (ho-lee model)”
จากสมการ (11.16) แทน T = t จะได้อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น
σ 2t 2
rt = f (t , t ) = f (0, t ) + + σ Wt (11.17)
2
σ 2t 2
นั่นคือ σ Wt =
rt − f (0, t ) − เมื่อแทนในสมการ (11.16) จะได้ว่าสามารถเขียนอัตราฟอร์เวิร์ด
2
f (t , T ) ในรูปอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt โดย
, T ) f (0, T ) − f (0, t ) + rt + σ 2t (T − t )
f (t= (11.18)
∂ ln ( Pt T )
เนื่องจาก f (t , T ) = − และจากสมการ (11.16) ได้ว่า
∂T
T T t2
Pt T = exp − ∫ f (t , s )ds = exp − ∫ f (0, s ) + σ 2 st − + σ Ws ds
2
t t
T T 2 t2 T
= exp ∫
− f (0, s )ds exp ∫
− σ st − ds
exp − ∫ σ Ws ds
t t 2 t
− σ Tt (T −t ) − ∫ σ Ws ds
T
2
=P eT 2
e t (11.19)
0
− σ Tt (T −t ) − ∫ σ Ws ds
T
2
นั่นคือ T
Pt = P e T 2
e t (11.20)
0
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 452 · หน้าพิมพ์ 440 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
440 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
สูตรของตัวประกอบส่วนลด P ตามสมการ (11.20) สามารถใช้ในการหาสูตรรูปปิดสำหรับการ
t
T
กำหนดราคาอนุพันธ์ของอัตราดอกเบี้ยเช่น สัญญาแคป สัญญาฟลอร์ เป็นต้น ซึ่งสามารถศึกษา
รายละเอียดเพิ่มเติมของตัวแบบโฮ-ลีในบทที่ 7
ตัวอย่างที่ 11.2 พิจารณาพันธบัตรที่มีอายุ 2 ปี เราต้องการจำลองราคาพันธบัตรในช่วงเวลา
ต่างๆ โดยใช้ตัวแบบ HJM (heath-jarrow-morton) โดยสมมติว่า อัตราผลตอบแทนล่วงหน้า
เริ่มต้น f (0, T ) = 5% , ค่าความผันผวน σ = 2% , วันครบกำหนด T = 2 ปี จงคำนวณหา
1) อัตราผลตอบแทนล่วงหน้า f (t , T ) ที่เวลา t = 0.5
2) ราคาพันธบัตร PtT ที่เวลา t = 0.5
วิธีทำ 1) คำนวณอัตราผลตอบแทนล่วงหน้า f (t , T )
2
จากส มการตั ว แบบ HJM (11.16), f (t , T=) f (0, T ) + σ 2 Tt − t + σ Wt แล ะข้ อ มู ล ที่
2
t2
กำหนดให้ f (t , 2) = 0.05 + (0.02) 2 2t − + 0.02Wt
2
ดังนั้น อัตราผลตอบแทนล่วงหน้า f (t , T ) ที่เวลา t = 0.5 ,
2 (0.5) 2
f (0.5, 2) =
0.05 + (0.02) 2(0.5) − + 0.02Wt
2
= 0.05035 + 0.02Wt
เนื่องจาก Wt เป็นกระบวนการการเคลื่อนที่บราวน์ โดยทั่วไปแล้ว Wt แสดงถึงความผันผวนทาง
สุ่มในตลาดการเงินและเป็นฟังก์ชันของเวลา t และ Wt N (0, t ) สำหรับในตัวอย่างนี้ เรา
สามารถใช้ค่าเฉลี่ยของ Wt ที่เท่ากับ 0 เพื่อความง่ายในการคำนวณจะกำหนด Wt = 0
ดังนั้น f (0.5,
= 2) 0.05035 + 0.02= × 0 0.05035
T
2) คำนวณราคาพันธบัตร Pt
− σ Tt (T −t ) − ∫ σ Ws ds
T
2
จากสมการ (11.20), Pt = P0 e 2 e t
T T
T σ 2T (T − t )
T
P exp −
Pt =
0
2
T
(
exp − ∫t σWs ds
)
สมมติว่า P0T = 1 (ราคาพันธบัตรที่ t = 0 ) และ Ws = 0
(0.02) 2 ⋅ 2 ⋅ (2 − 0.5)
≈ 0.9994
T
P0.5
= exp −
2
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 453 · หน้าพิมพ์ 441 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 441
11.1.3 ตัวแบบ HJM- 1 ปัจจัย และ σ ′(t , T ) = σ e −κ (T − t )
ตัวแบบ HJM- 1 ปัจจัย และ σ ′(t , T ) = σ e κ − (T − t )
ในกรณีนี้ค่าความผันผวนของอัตราฟอร์
เวิ ร ์ ด มี ก ารเปลี ่ ย นแปลงลดลงเมื ่ อ อายุ ค รบกํ า หนดของสั ญ ญา T มี ค ่ า เพิ ่ ม ขึ ้ น โดยที่ เ งื ่ อนไข
σ ′(t , T ) = σ e−κ (T −t ) เป็นการกำหนดความผันผวนของอัตราดอกเบี้ยในตัวแบบ HJM-1 ปัจจัย
เดียว มีความหมายดังนี้
1) σ เป็นค่าคงที่ที่แสดงถึงความผันผวนของอัตราดอกเบี้ยในช่วงเวลา t
2) e−κ (T −t ) เป็นตัวประกอบที่ลดทอนค่าความผันผวนตามเวลาที่ผ่านไป โดยมี κ เป็น
ค่าเฉลี่ยการวกกลับ (mean reversion rate)
โดยเงื่อนไขในข้อ 2) นี้ หมายความว่าความผันผวนของอัตราดอกเบี้ยจะลดลงตามเวลาที่ใกล้วันครบ
กำหนด T และความผันผวนนี้จะถูกควบคุมโดยค่า κ หาก κ มีค่าสูง การวกกลับสู่ค่าเฉลี่ยจะเร็ว
ขึ้นทำให้ความผันผวนลดลงอย่างรวดเร็ว
ตัวแบบ HJM -1ปัจจัย กรณี σ ′(t , T ) = σ e −κ (T − t )
สำหรับอัตราฟอร์เวิร์ดจะอยู่ในรูป
T
=df (t , T ) σ e −κ (T −t ) ∫ σ e −κ ( s −t ) ds dt + σ e −κ (T −t ) dWt
t
σ 2 −κ (T −t ) −2κ (T −t )
=
κ
( e −e ) + σ e −κ (T −t ) dWt (11.21)
อินทิเกรตเทียบ t ของทั้ง 2 ข้างของสมการ จะได้
t
σ2 σ2
f (t , T ) = f (0, T ) + 2 (1 − e ) − 2 (1 − e
−κ T 2
)
−κ (T − t ) 2
+ σ ∫ e −κ (T − s ) dWs (11.22)
2κ 2κ 0
t
กำหนดตัวแปรสถานะ X t = σ ∫ e−κ (t − s ) dWs ซึ่งได้ว่า
0
t t
= e −κ (T −t ) ∫ e −κ (t − s ) dWs σ ∫ e −κ (T − s ) dWs
e −κ (T −t ) X t σ= (11.23)
0 0
เมื่อแทนใน (11.22) ทำให้ได้
σ2 σ2
( )
−κ T 2
2 (
1 − e −κ (T − t ) ) + e −κ (T − t ) X t
2
f (t , T ) = f (0, T ) + 1 − e − (11.24)
2κ 2
2κ
และ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 454 · หน้าพิมพ์ 442 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
442 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
σ2 σ2
( )
−κ t 2
2 (
1 − e −κ ( t − t ) ) + e −κ ( t − t ) X t
2
f (t , t ) = f (0, t ) + 1 − e −
2κ 2
2κ
σ2
= f (0, t ) + 2 (1 − e −κ t ) + X t
2
(11.25)
2κ
σ2
2 (
1 − e −κ t ) + X t
2
นั่นคือ rt = f (0, t ) + (11.26)
2κ
ตัวแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt ตามสมการ (11.26) เป็นที่รู้จักกันดีในชื่อ “ตัว
แบบวาสิเซคดัดแปลงหรือตัวแบบฮัลล์-ไวท์ (modified vasicek model or hull-white model)”
ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างตัวแบบโฮ-ลี และ ตัวแบบวาสิเซคดัดแปลง คือ หากพิจารณาอัตรา
ดอกเบี้ยระยะสั้นในลักษณะระยะยาว ( t → ∞ ) จากสมการ (11.17) จะเห็นว่าอัตราดอกเบี้ยระยะ
สั้น rt ตามตัวแบบโฮ-ลี นั้นลู่ออก เนื่องจากพจน์ทางขวาประกอบด้วยพจน์ σ t ของสมการ
2 2
2
(11.17) นั้นลู่ออก
รูปที่ 11.2 อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt ตามตัวแบบโฮ-ลี นั้นลู่ออก เมื่อ t → ∞
ในขณะที่ อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt ตามตัวแบบฮัลล์-ไวท์ นั้นลู่เข้าเมื่อ t → ∞ นั่นคือเมื่อ t >> 1
σ2
rt ≈ f (0, t ) + + X t ≡ rt∞ (11.27)
2κ 2
ซึ่งพจน์ทางขวาของ (11.27) เป็นตัวแปรสุ่ม r มีการแจงแจงปกติ ซึ่งค่าเฉลี่ยของ r เท่ากับ
t
∞
t
∞
σ2
µt∞ f (0, t ) +
= (11.28)
2κ
และความแปรปรวนของ r เท่ากับ t
∞
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 455 · หน้าพิมพ์ 443 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 443
t
2
t
2
(σ ) = E ( rt − µt ) = E ( X t ) = E σ ∫ e dWs = σ E ∫ e dWs
t
∞ 2 ∞ ∞ 2 2
−κ ( t − s ) 2 −κ ( t − s )
0 0
t s =t
e −2κ ( t − s ) σ2 σ2
= σ 2 ∫ e −2κ ( t − s ) ds = σ 2 = (1 − e −2κ t ) ≈ (เมื่อ t >> 1 ) (11.29)
0 2κ s = 0 2κ 2κ
จะเห็นว่าเมื่อ t >> 1 อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt ตามตัวแบบฮัลล์-ไวท์จะมีการแจกแจงความน่าจะ
เป็นเชิงกำกับ (asymptotic probability distribution) ในที่นี้คือ rt∞>>1 N f (0, t ) + σ , σ ซึ่ง
2 2
2κ 2κ
กล่าวได้ว่าอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt เคลื่อนที่วกกลับสู่ค่าเฉลี่ยของ rt เอง โดยจะเรียกพารามิเตอร์
κ ว่า “อัตราการวกกลับของค่าเฉลี่ย (rate of mean reverion)”
ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับในกรณีที่ T >> 1 จากสมการ (11.24) ได้ว่าอัตราฟอร์เวิร์ด
f (t , T ) ≈ f (0, T ) + e −κ (T −t ) X t (11.30)
รูปที่ 11.3 เปรียบเทียบอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt ตามตัวแบบฮัล-ไวท์ ค่าคาดหวังอัตราฟอร์เวิร์ด
และค่าคาดหวังอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น เมื่อ T >> 1
ตัวอย่างที่ 11.3 พิจารณาตัวแบบ HJM-1 ปัจจัยเดียว ในกรณีที่ σ ′(t , T ) = σ e−κ (T −t ) โดยมี
ค่าพารามิ เตอร์ด ังนี้ อัตราดอกเบี้ ยล่ว งหน้าเริ่ มต้น f (0, t ) = 5% , ความผันผวน σ = 1% ,
อัตราการกลับสู่ค่าเฉลี่ย κ = 0.1 , ระยะเวลา T = 10 ปี
1) จงคำนวณค่าความผันผวน σ ′(t , T ) ณ เวลา t = 5 ปี
2) จงคำนวณอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt ณ เวลา t = 5 ปี โดยสมมติว่า X t ≈ 0.002
วิธีทำ 1) คำนวณค่าความผันผวน σ ′(t , T ) ณ เวลา t = 5 ปี
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 456 · หน้าพิมพ์ 444 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
444 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
σ ′(5,10) = 0.01e−0.1(10−5) = 0.006065
ดังนัน้ ความผันผวน ณ เวลา t = 5 ปี จะเท่ากับ 0.006065 หรือประมาณ 0.61%
2) คำนวณอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt ณ เวลา t = 5 ปี
σ2
2 (
1 − e −κ t ) + X t โดยการแทนค่าข้อมูลที่โจทย์กำหนด
2
จากสมการ (11.26), rt = f (0, t ) +
2κ
0.012
2 (
1 − e −0.1(5) ) + 0.002 =
2
จะได้ r5 ≈ 0.05 + 0.052775 = 5.2775%
2(0.1 )
11.2 เมเชอร์ฟอร์เวิร์ด
เมเชอร์ฟอร์เวิร์ด หรือตัววัดฟอร์เวิร์ด (forward measure) คือการวัดความน่าจะเป็นที่ใช้
ในการคำนวณความเสี่ยงในการเงินซึ่งเป็นการเปลี่ยนการวัดความน่าจะเป็นจากการวัดด้วยเมเชอร์
ความเป็นกลางต่อความเสี่ยง (risk-neutral measure) มาใช้ตัววัดเมเชอร์ฟอร์เวิร์ดในการวัดค่า
คาดหวัง ในการตัดสินใจเกี่ยวกับการจัดการดอกเบี้ยเงินกู้ ปกติเราจะต้องคำนวณค่าคาดหวังของ
ผลตอบแทนที่ได้จากการวัดที่เป็นกลางต่อความเสี่ยง แต่เมื่อเปลี่ยนไปใช้ตัววัดเมเชอร์ฟอร์เวิร์ดจะ
ทำให้การวัดค่าคาดหวังทำได้ง่ายขึ้น โดยเฉพาะกับสัญญาที่ขึ้นอยู่กับมูลค่าของตราสารหนี้หรืออัตรา
ดอกเบี้ยในวั นสิ้ นสุ ดของสัญญา อย่างไรก็ตามการใช้เ มเชอร์ ฟอร์เวิ ร์ดในการวัดค่าคาดหวังนั้ น
จำเป็นต้องมีความรู้ทางด้านทฤษฎีการวัดความน่าจะเป็น วิธีคำนวณความไม่แน่นอน และหลักการ
ของกระบวนการสโตแคสติ ก จึงจะสามารถทํ า ให้ผ ู้อ่านมีความรู้ความเข้าใจมากขึ้น โดยผู้อ่ าน
สามารถศึกษาความรู้พื้นฐานเหล่านี้ได้ในบทที่ 6
พิจารณาหลักทรัพย์ซึ่งมีการจ่ายปันผล Dk , k = 1, 2,..., N ที่เวลา Tk < T , k =
1, 2,..., N
และ S D เป็นมูลค่าปัจจุบันจากการคิดลดกระแสเงินสดการจ่ายปันผลด้วยอัตราดอกเบี้ย rt ซึ่งเป็น
กระบวนการสโตแคสติ ก กํ า หนดให้ Q เป็ น เมเชอร์ ค วามเป็ น กลางต่ อ ความเสี ่ ย ง และ
Tk
− ∫ rs ds
Pt Tk = EtQ [e t ] เป็นฟังก์ชันส่วนลด นั่นคือ
Tk Tk
N ∫ N − rs ds N ∫
− rs ds
=SD ∑
= Pt Tk Dk ∑ EtQ [e =
t
]Dk ∑ E [e
t
Q t
Dk ] (11.31)
=k 1=k 1 =k 1
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 457 · หน้าพิมพ์ 445 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 445
กำหนดให้กระบวนการสโตแคสติก St , t < T เป็นมูลค่าปัจจุบันหรือราคาที่รวมมูลค่าจากการจ่าย
ปันผลของหลักทรัพย์ และกำหนดให้ St เป็นราคาที่ไม่รวมมูลค่าจากการจ่ายปันผล ดังนั้น
N
St =St + S D =St + ∑ Pt Tk Dk (11.32)
k =1
กำหนดให้ ( fT S )t แทนราคาฟอร์เวิร์ดหรือราคาล่วงหน้าของหลักทรัพย์ (ไม่รวมมูลค่าจากการจ่าย
ปันผล) ซึ่งพิจารณาเป็นมูลค่าสะสมของ St ด้วยฟังก์ชันสะสม 1 นั่นคือ
Pt T
S
( fT S )t = Tt (11.33)
Pt
พิจารณาการเปลี่ยนแปลงราคาที่ไม่รวมมูลค่าจากการจ่ายปันผล dSt ภายใต้ตัวแบบที่ประกอบด้วย
ความเสี่ยง N ปัจจัย ( N − factors model ) ซึ่งอธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก ดังนี้
dSt= St (σ S ⋅ dZ t + rt dt ) (11.34)
เมื่อ rt เป็นอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น (short-term interest rate), σ = σ ,σ ,...,σ S S1 S2 S N
เวกเตอร์
ความเสี่ยงหรือความผันผวนของราคาหลั กทรัพย์ และ Z = Z , Z ,..., Z t
1
t t
2
t
N
เป็นเวกเตอร์ การ
เคลื่อนที่สุ่มบราวน์เนียนใน ν มิติ ในทำนองเดียวกันถ้าพิจารณา P เป็นราคาของตราสารหนี้ที่ t
T
ไม่มีคูปอง อายุของสัญญา T ปี และมีราคาไถ่ถอน 1 บาท จะได้ว่า
dPt T Pt T (σ ( t ; T ) ⋅ dZ t + rt dt )
= (11.35)
S
ต่อไปพิจาณาอนุพันธ์อิโต้ (ito differential) ของราคาฟอร์เวิร์ดของหลักทรัพย์ ( fT S )t = Tt , โดย
Pt
บทแทรกของอิโต้ จะได้ว่า
S dSt St 1
dPT + St dPT dPT
d ( f T S )t =
d Tt = − dP T
− dS
( PtT ) ( PtT ) ( PtT )
T 2 t 2 t t 3 t t
Pt Pt
St St St
= (
Pt T S
σ ⋅ dZ t + rt dt ) −
Pt T
( σ ( t ; T ) ⋅ dZ t + rt dt ) − (σ ⋅ dZt + rt dt ) (σ ( t;T ) ⋅ dZt + rt dt )
Pt T S
St
T ( (
σ t ; T ) ⋅ dZ t + rt dt )
2
+
Pt
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 458 · หน้าพิมพ์ 446 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
446 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
St
T ( S
σ ⋅ dZ t + rt dt ) − (σ ( t ; T ) ⋅ dZ t + rt dt ) − σ S ⋅ σ ( t ; T ) dt + σ ( t ; T ) dt
2
=
Pt
( fT S )t (σ S − σ ( t;T ) ) ⋅ dZ t − (σ S ⋅ σ ( t;T ) − σ ( t;T ) ) dt
2
=
= ( fT S )t (σ S − σ ( t;T ) ) ⋅ ( dZt − σ ( t;T ) dt ) (11.36)
N
โดยที่ x = x12 + x22 + ... + xN2 และ x ⋅ y =∑ ( x y ) นั่นคือ
k k
k =1
d ( fT=
S )t ( fT S )t (σ S − σ ( t;T ) ) ⋅ ( dZt − σ ( t;T ) dt ) (11.37)
กำหนดตัวดำเนินการอนุพันธ์ของกระบวนการสุ่มสโตแคสติก dWt ≡ dZt − σ ( t;T ) dt ดังนั้นได้ว่า
d ( f T S )t
( f T S )t
(σ S − σ ( t;T ) ) ⋅ dWt
= (11.38)
โดยทฤษฎีบทของกีร์ซานอฟ (Girsanov ’s theorem) จะได้ว่า กระบวนสุ่มสโตแคสติก Wt เป็น
การเคลื่อนที่บราวน์เนียนภายใต้ตัววัดความน่าจะเป็น Q ที่สมนัยกับ ตัววัดความน่าจะเป็น Q
*T
ดังนั้นราคาฟอร์เวิร์ดสอดคล้องกับสมบัติมาร์ทิงเกลภายใต้ตัววัดความน่าจะเป็น Q โดยที่ Q *T *T
เป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่นิยามขึ้นอยู่กับเวลา T ซึ่งอธิบายด้วยอนุพันธ์เรดอน-นิโคไดม์
(Radon-Nikodym derivative) ในรูป
dQ*T T 1
T
2
= exp ∫ σ ( t ; T ) ⋅ dZ t − ∫ σ ( t ; T ) dt (11.39)
dQ 0 20
หมายเหตุ ค่าอนุพันธ์เรดอน-นิโคไดม์ เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการแปลงค่าระหว่างการ
แจกแจงความน่าจะเป็นที่แตกต่างกันซึ่งจะช่วยให้สามารถเปลี่ยนจากการวัดความน่าจะเป็นที่หนึ่งไป
ยังอีกการวัดความน่าจะเป็นหนึ่ง ในสาขาทางการเงิน มักใช้ค่านี้เมื่อเราต้องการเปลี่ยนการวัดความ
น่าจะเป็นที่มีความเสี่ยง (risk probability measure) ไปสู่การวัดความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อ
ความเสี่ยง (risk-neutral probability measure) การคำนวณอนุพันธ์เรดอน-นิโคไดม์ นั้นขึ้นอยู่กับ
การแจกแจงความน่าจะเป็นที่ต้องการที่จะแปลงค่าการวัดความน่าจะเป็น โดยอนุพันธ์เรดอน-นิโค
ไดม์เป็นอัตราส่วนของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density functions) ทั้งสอง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 459 · หน้าพิมพ์ 447 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 447
การแจกแจงความน่าจะเป็น ตัวอย่างเช่น ถ้า P และ Q เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีฟังก์ชัน
ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f และ g ตามลำดับ แล้ว อนุพันธ์เรดอน-นิโคไดม์ของ Q
เทียบกับ P สามารถเขียนได้เป็น dQ / dP = g / f เป็นต้น
ตัวอย่างที่ 11.4 บริษัท abc มีหุ้นที่จ่ายปันผล Dk สำหรับ k = 1, 2,3 ที่เวลาต่าง ๆ Tk โดยมี
อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt คงที่เท่ากับ 0.05 (5%) และจ่ายปันผลตามตารางด้านล่าง
เวลา Tk (ปี) ปันผล Dk (บาท)
1 100
2 120
3 150
จงคำนวณมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายปันผลทั้งหมด ณ เวลาปัจจุบัน t = 0
วิธีทำ ในการคำนวณนี้ จะใช้เมเชอร์ฟอร์เวิร์ดในการคำนวณมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายปันผลใน
อนาคตโดยใช้อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt ที่เป็นค่าคงที่ ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณมูลค่าปัจจุบัน
ของกระแสเงินสดที่คาดว่าจะได้รับจากการลงทุนในหุ้นได้ โดยมีขั้นตอนการคำนวณ ดังนี้
1) คำนวณมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายปันผล PtT
Tk
จาก PtT = EtQ [e− ∫ r ds ] และเนื่องจาก rs เป็นค่าคงที่เท่ากับ 0.05 ดังนั้น PtT = e−0.05(T −t )
t
s k k
จะได้มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายปันผลแต่ละช่วงเวลา ดังนี้
สำหรับ T1 = 1 ปี =P0T e −0.05(1
= − 0)
e −0.05 ≈ 0.9512
ดังนั้น มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายปันผล D1 ที่ T1 คือ P0T D=1 0.9512 ×100= 95.12 บาท
สำหรับ T2 = 2 ปี =P0T e−0.05(2=− 0)
e−0.1 ≈ 0.9048
ดังนั้น มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายปันผล D2 ที่ T2 คือ P0T D=2 0.9048 ×120= 108.58 บาท
สำหรับ T3 = 3 ปี =P0T e −0.05(3
= − 0)
e −0.15 ≈ 0.8607
ดังนั้น มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายปันผล D3 ที่ T3 คือ P0T D=3 0.8607 ×150= 129.11 บาท
ดังนั้น รวมมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายปันผลทั้งหมด
S D =95.12 + 108.58 + 129.11 =332.81 บาท
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 460 · หน้าพิมพ์ 448 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
448 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
การคำนวณในตัวอย่างที่ 11.4 แสดงให้เห็นว่าเมเชอร์ฟอร์เวิร์ดสามารถใช้ในการประเมิน
มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายปันผลในอนาคตได้ ทำให้ผู้ลงทุนสามารถตัดสินใจเกี่ยวกับการลงทุนในหุ้น
ได้ดีขึ้น โดยพิจารณาจากมูลค่าที่คาดว่าจะได้รับในอนาคต
ทฤษฎีบท 11.1 ให้ T เป็นจุดเวลาที่กำหนดและสมมติให้ Q เป็นตัววัดความน่าจะเป็นความเป็น
กลางต่อความเสี่ยง จะมีตัววัดความน่าจะเป็น Q ที่สมนัยกับ ตัววัดความน่าจะเป็น Q ที่ซึ่งราคาฟอร์
*T
เวิร์ดสำหรับส่งมอบวันที่ T ของหลักทรัพย์ใด ๆ สอดคล้องกับสมบัติมาร์ทิงเกลภายใต้ตัววัดความ
น่าจะเป็น Q โดยเรียกตัววัดความน่าจะเป็น Q นี้ว่า “เมเชอร์ฟอร์เวิร์ดสำหรับวันส่งมอบที่ T ”
*T *T
ทีส่ มนัยกับตัววัดความน่าจะเป็น Q
เราทราบว่าภายใต้ความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง Q ราคาของยูโรเปียนคอ
ลออปชัน C0 ที่มีราคาใช้สิทธิ K วันส่งมอบวันที่ T โดยตัวแบบคิดลดกระแสเงินสดคำนวนได้จาก
T
∫ − rs ds
t E [ C (T ) ] max {ST − K ,0}] (11.40)
=Ct P=T Q Q
E= Pt T C (T ) E Q [e t
โดยที่ C (T ) =[ ST − K ]+ =max {ST − K ,0} เป็นผลประโยชน์ของคอลออปชันที่เวลา T
จากทฤษฎีบท 11.1 ราคาฟอร์เวิร์ดของคอลออปชัน ( fT C )t มีสมบัติมาร์ทิงเกลภายใต้ตัววัดความ
น่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง Q นั่นคือ
*T
T
∫
− rs ds
t E [ C (T ) ] Pt T ( fT C )t E Q*T [e t
E Q*T = max {ST − K ,0}] (11.41)
T Q
=Ct P=
จากสมการ (11.41) จะเห็นว่าการใช้ราคาฟอร์เวิร์ดของคอลออปชัน ( fT C )t มีข้อดีกว่าการใช้ราคา
ทันที (spot prices)คือสามารถแยกผลกระทบที่เกิดจากความผันผวนจากการคิดลดกระแสเงินสดได้
ตัวอย่างที่ 11.5 พิจารณาคอลออปชันสำหรับหุ้นของบริษัทหนึ่งที่มีราคาปัจจุบัน S0 = 50
บาท อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt = 0.05 (5%) ราคาการใช้สิทธิ (strike price) K = 45 บาท และ
เวลาครบกำหนด T = 1 ปี จงคำนวณมูลค่าปัจจุบันของคอลออปชันนี้ โดยใช้เมเชอร์ฟอร์เวิร์ด
(forward measure) และราคาฟอร์เวิร์ด ของคอลออปชัน fT C ในการประเมินมูล ค่าของคอ
ลออปชัน (call option) สำหรับหุ้นดังกล่าว
วิธีทำ ขั้นตอนการคำนวณมูลค่าปัจจุบันของคอลออปชัน เป็นดังนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 461 · หน้าพิมพ์ 449 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 449
1) คำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของหุ้น fT
เนื่อองจาก fT S0erT = 50e0.05×1 ≈ 52.565 บาท
=
2) คำนวณมูลค่าของคอลออปชันโดยใช้ราคาฟอร์เวิร์ด
คำนวณโดยใช้ราคาฟอร์เวิร์ด C (T =) max{ST − K ,0}= max{ fT − K ,0}
= max{52.565
= − 45, 0} max{7.565,
= 0} 7.565
Tk
และเนื่องจาก PtT = EtQ [e− ∫ r ds ] = e−0.05(T −t ) ดังนั้น=
t
s
P01 e−0.05×=
(1− 0)
e−0.05 ≈ 0.9512
คำนวณมูลค่าปัจจุบันของคอลออปชันโดยใช้สมการ (11.40), Ct = PtT E Q [C (T )]
ดังนั้น มูลค่าปัจจุบันของคอลออปชันคือ Ct = 0.9512 × 7.565 ≈ 7.20 บาท
มูลค่าปัจจุบันของคอลออปชันนี้ ณ เวลา t = 0 คือ 7.20 บาท เนื่องจากราคาฟอร์เวิร์ดของหุ้น
มากกว่าราคาการใช้สิทธิ K ทำให้มีมูลค่าในการใช้สิทธิในอนาคต
11.3 ออปชันของสินค้าโภคภัณฑ์ภายใต้อัตราดอกเบี้ยแปรผัน
ในหั ว ข้ อ นี ้ จ ะกล่ า วถึ ง การกํ า หนดราคาออปชั น ที่ ม ี ส ิ น ค้ า อ้ า งอิ ง เป็ น สิ น ค้ า โภคภั ณฑ์
(commodity option) ภายใต้อัตราดอกเบี้ยแปรผันหรืออัตราดอกสุ่ม (stochastic interest rate)
สินค้าโภคภัณฑ์เหล่านี้ ได้แก่ ทองคำ นํ้ามันดิบ ข้าว กาแฟ ฯลฯ ในที่นี้จะหมายรวมถึงสินทรัพย์ทาง
การเงินด้วย เช่น หุ้น เป็นต้น โดยในที่นี้ใช้ตัวแบบอัตราดอกเบี้ยโฮ-ลีปัจจัยเดียว (1-factor ho-lee
interest rate ) ในการอธิบายการเคลื่อนไหวของอัตราดอกเบี้ย
11.3.1 ออปชันของสินค้าโภคภัณฑ์
พิจารณาสัญญาออปชันที่มีสินค้าอ้างอิงเป็นสินค้าโภคภันฑ์ชนิดหนึ่งภายใต้อัตราดอกสุ่ม
ตามตัวแบบอัตราดอกเบี้ยโฮ-ลีปัจจัยเดียว ส่งมอบ ณ วันที่ T กำหนดให้ St แทนราคาสินค้าโภค
ภันฑ์นั้น กำหนดให้ Q เป็นตัววัดความน่าจะเป็นของการเคลื่อนไหวร่วมกันของราคาสินค้าโภคภัณฑ์
และราคาตราสารหนี้ไม่มีคูปองที่อายุ T ซึ่งการเคลื่อนไหวของราคาอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ส
โตแคสติก
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 462 · หน้าพิมพ์ 450 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
450 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
dSt
= σ S dZ t + ( rt − dt ) dt (11.42)
St
dPtT
=σ r (T − t ) dX t + rt dt (11.43)
PtT
เมื่อ dt เป็นกระบวนการสโตแคสติกการจ่ายปันผล, σ S และ σ r เป็นค่าคงที่ และ Z t และ X t
เป็นการเคลื่อนที่บราวน์ซึ่ง E Q [ Zt X t ] = ρ dt ดังนั้นจะมีการเคลื่อนที่บราวน์ Yt ที่เป็นอิสระกับ Z t
และ X t สามารถเขียนได้ในรูป
X t = ρ Zt + (1 − ρ )Y 2
t (11.44)
จาก (11.44) สามารถเขียน (11.43) ใหม่ได้เป็น
dPtT
T
= σ r (T − t ) ρ dZ t + σ r (T − t ) (1 − ρ 2 )dYt + rt dt (11.45)
Pt
จากสมการ (11.38) ค่าความผันผวนของราคาฟอร์เวิร์ดของสินค้าโภคภัณฑ์ ( fT S )t เท่ากับผลต่าง
T
dP
ระหว่างความผันผวนสำหรับ dSt และ Tt ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติกของราคาฟอร์
St Pt
เวิร์ดสำหรับสินค้าโภคภัณฑ์ภายใต้ตัววัดความน่าจะเป็น Q สามารถเขียนได้อยู่ในรูป *T
d ( f T S )t
( f T S )t
= (σ − ρσ (T − t ) ) dW − 1 − ρ σ (T − t ) dW
S r t
1 2
r t
2
(11.46)
เมื่อ W และ W เป็นการเคลื่อนที่บราวน์ที่เป็นอิสระกัน
t
1
t
2
จากสมการ (11.46) ทำให้ได้ว่าค่าความผันผวนของราคาฟอร์เวิร์ด ( fT S )t ซึ่งเขียนแทนด้วย σ f (t )
คำนวณได้จาก
(σ (t ) ) = (σ − ρσ (T − t ) ) + (1 − ρ ) (σ ) (T − t )
2 2 2 2 2
f S r r
(σ ) − 2σ ρσ (T − t ) + (σ ) (T − t ) (11.47)
2 2 2
= S S r r
เทอมค่าความผันผวน ( fT S )T (จาก 0 ถึง T ) เขียนแทนด้วย σ T ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของค่าความผัน
ผวน ( fT S )t คำนวนได้จาก
T
1
( σ f (t ) ) dt
2
σT =
T0∫
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 463 · หน้าพิมพ์ 451 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 451
(σ ) T 2
2
= (σ S )
2
− σ ρσ T + r
S r (11.48)
3
โดยใช้เมเชอร์ฟอร์เวิร์ด จะได้ว่าราคาคอลออปชันของสินค้าโภคภัณฑ์ อยู่ในรูป
=C0 P=T
0 E
Q*T
[C (T )] P0T E Q*T max {( fT S )T − K ,0} (11.49)
จาก (11.45), ( fT S )t มีการแจกแจงแบบล็อก-นอร์มอลและสมบัติมาร์ทิงเกลที่มีความผันผวน σ T
โดยประยุกต์ใช้สูตรแบล็กโชลส์
=C0 P0T ( ( fT S )0 N ( d1 ) − KN ( d 2 ) ) (11.50)
1 ( fT )0 1
โดยที่ d1
= ln + σ T T , d= d1 − σ T T
T K 2
2
σT
จะเห็นว่าการคำนวณค่าความผันผวน σ T ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของค่าความผันผวน ( fT S )t ง่ายและ
สะดวกต่อการใช้ในการคำนวณราคาคอลออปชันตามสูตรของแบล็กโชลส์
ตัวอย่างที่ 11.6 สำหรับการคำนวณราคาของคอลออปชันของกาแฟเกรด a ณ เวลา t = 0
พิจารณาคอลออปชันสำหรับกาแฟเกรด a ที่มีราคาปัจจุบัน S0 = 200 บาท/กก. อัตราดอกเบี้ย
rt = 0.05 (5%) ราคาการใช้สิทธิ K = 220 บาท/กก. เวลาครบกำหนด T = 1 ปี ความผันผวน
σ s = 0.2 , σ r = 0.15 และความสัมพันธ์ ρ = 0.3 จงคำนวณมูลค่าปัจจุบันของคอลออปชัน
วิธีทำ 1) คำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของกาแฟเกรด a fT
เนื่องจาก fT = S0erT
โดยการแทนค่าได้ = fT 200e0.05=
×1
200e0.05 ≈ 200 ×1.0513
= 210.26
2) คำนวณค่า σ T
เนื่องจาก σ T =σ s2 − σ s ρσ rT + σ r T
2 2
3
(0.15) 2 ×12
โดยการแทนค่าได้=
σT (0.2) 2 − 2 × 0.2 × 0.3 × 0.15 + ≈ 0.1718
3
3) คำนวณค่า d1 และ d 2
1 fT σ T2T
เนื่องจาก d1
= ln + และ d=
2 d1 − σ T T
σT T K 2
โดยการแทนค่าได้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 464 · หน้าพิมพ์ 452 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
452 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
1 210.26 (0.1718) 2
=d1 ln + ≈ −0.1736
0.1718 1 220 2
และ d 2 = −0.1736 − 0.1718 ≈ −0.3454
4) คำนวณ N (d1 ) และ N (d 2 )
โดยการเปิดตารางการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติ ได้
N (d1 ) ≈ 0.4310, N (d 2 ) ≈ 0.3646
5) คำนวณมูลค่าปัจจุบันของคอลออปชัน
เนื่องจาก
= C0 P0T ( fT N (d1 ) − KN (d 2 ) )
และ = P0T e= − rT
e −0.05×1 ≈ 0.9512
โดยการแทนค่ = าได้ C0 0.9512 ( 210.26 × 0.4310 − 220 × 0.3646 )
= 0.9512 × 9.818 ≈ 9.34 บาท
ดังนั้น มูลค่าปัจจุบันของคอลออปชันสำหรับกาแฟเกรด a ณ เวลา t = 0 คือ 9.34 บาท
ทฤษฎีบท 11.2 กำหนดให้ Q เป็นตัววัดความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง ภายใต้ตัววัด
ความน่าจะเป็นเมเชอร์ฟอร์เวิร์ด Q จะได้ว่าอัตราฟอร์เวิร์ด f (t , T ) สอดคล้องกับสมการเชิง
*T
อนุพันธ์สโตแคสติก
N
∂σ k ( t , T )
(t , T )
df= ∑
k =1 ∂T
=dWt k σ (t , T ) ⋅ dWt (11.51)
เมื่อ σ (t , T ) = ∂σ ( t , T ) ,..., ∂σ ( t , T ) เป็ น อนุ พั น ธ์ ข องค่ า ความผั น ผวนของ f (t , T ) เมื่ อ
1 N
∂T ∂T
Wt = Wt1 ,...,Wt N เป็นการเคลื่อนที่บราวน์ ยิ่งไปกว่านั้น f (t , T ) มีสมบัติมาร์ทิงเกลภายใต้ Q *T
∂ ln ( Pt T ) ∂σ (t , T )
พิสูจน์ เนื่องจาก f (t , T ) = − โดยสมการ (11.5) จะได้ว่า σ (t , T ) = − เป็นส่วน
∂T ∂T
T
เบี่ยงเบนมาตรฐานของ df (t , T ) นั่นคือ σ (t , T ) = − ∫ σ (t , s)ds พิจารณาตัวแบบ HJM ภายใต้ตัว
t
ความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง
T
df (t , T=) σ ′ ( t , T ) ⋅ dZ t + σ ′ ( t , T ) ⋅ ∫ σ ′ ( t , s ) ds dt
t
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 465 · หน้าพิมพ์ 453 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 453
= σ ′ ( t , T ) ⋅ dZ t − σ ′ ( t , T ) ⋅ σ ( t , s ) dt (11.52)
=t dWt + σ ( t ; T ) dt ในสมการ (11.52) จะได้
โดยการแทน dZ
) σ ′ ( t , T ) ⋅ ( dWt + σ ( t ; T ) dt ) − σ ′ ( t , T ) ⋅ σ ( t , s ) dt= σ ′ ( t , T ) ⋅ dWt
df (t , T = (11.53)
เมื่อ Wt เป็นการเคลื่อนที่บราวน์ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องการ
ตัวอย่างที่ 11.7 สมมติว่าต้องการคำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของนํ้ามันดิบ brent โดยใช้นิพจน์ HJM
(heath-jarrow-morton) ที่มีการคำนวณราคาฟอร์เวิร์ด f (t , T ) สำหรับสินค้าโภคภัณฑ์โดย
พิจารณาความผันผวนของราคาสินค้าโภคภัณฑ์ σ (t , T ) ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยกำหนดให้
ความผันผวน σ (t , T ) ของนํ้ามันดิบ brent มีค่าเท่ากับ 0.03 × e−0.2(T −t ) และเวลา T = 1 ปี
จงคำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของนํ้ามันดิบ brent โดยใช้สมการ HJM ดังนี้
( T
) σ ′(t , T ) ⋅ dZ t + σ ′(t , T ) ⋅ ∫ σ ′( s, T )ds dt
df (t , T=
t )
วิธีทำ เราสามารถคำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของนํ้ามันดิบ brent ได้ตามขั้นตอน ดังนี้
1) คำนวณ σ (t , T ) และหาอนุพันธ์ σ ′(t , T )
เนื่องจาก σ (t , T ) ของนํ้ามันดิบ brent มีค่าเท่ากับ 0.03 × e−0.2(T −t )
ดังนั้น อนุพันธ์ของ σ (t , T ) เทียบกับตัวแปร T
∂
σ ′(t , T ) = (0.03 × e −0.2(T −t ) ) =
−0.2 × 0.03 × e −0.2(T −t ) =
−0.006 × e −0.2(T −t )
∂T
เมื่อแทนค่า t = 0 และ T = 1 จะได้
σ ′(0,1) =
−0.006 × e−0.2(1−0) =
−0.006 × e−0.2 ≈ −0.006 × 0.8187 ≈ −0.004912
T
2) คำนวณ ∫t σ ( s, T )ds
T 1
จากที่กำหนดให้ ∫t σ ( s,=
T )ds ∫ 0.03 × e −0.2(1− s ) ds
0
1 1
0.03 × ∫ e −0.2+ 0.2 s ds =
= 0.03 × e −0.2 ∫ e0.2 s ds
0 0
1
e 0.2 s
e0.2 − 1
0.03 × 0.8187
= 0.03
= × 0.8187
0.2 0 0.2
= 0.02717397
3) คำนวณ df (t , T )
( T
จากสมการ df (t , T=) σ ′(t , T ) ⋅ dZt + σ ′(t , T ) ⋅ ∫t σ ′( s, T )ds dt )
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 466 · หน้าพิมพ์ 454 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
454 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ดังนั้น df (t , T ) =−0.004912 ⋅ dZ + (−0.004912)(0.02717397)dt
t
df (t , T ) =−0.004912 ⋅ dZ t + (−0.00013342) ⋅ dt
โดยกราฟแสดงการเคลื่อนไหวของราคาฟอร์เวิร์ดนํ้ามันดิบ brent เป็นดังนี้
รูปที่ 11.4 แสดงการเคลื่อนไหวของราคาฟอร์เวิร์ดของนํ้ามันดิบ brent
กราฟข้างต้นแสดงการเคลื่อนไหวของราคาฟอร์เวิร์ดของนํ้ามันดิบ brent ตามผลลัพธ์ที่ได้จาก
การคำนวณตามทฤษฎี HJM โดยพิจารณาความผันผวนของราคาสินค้าโภคภัณฑ์ σ ′(t , T ) และ
การเคลื่อนที่แบบบราวเนียน dZt
11.3.2 ออปชันบนตราสารหนี้ไม่มีคูปอง
พิจารณาตราสารหนี้ไม่มีคูปองที่มีราคาที่ตราไว้ 1 บาท อายุครบไถ่ถอนที่ T + ∆T เมื่อ
∆T > 0 จะได้ว่าราคาของตราสารหนี้ดังกล่าวที่เวลา t เท่ากับ PtT +∆T ในที่นี้ต้องการคำนวนราคา
ของคอลออปชันที่อายุ T และราคาใช้สิทธิ K จากสมการ (11.38) จะได้
d ( fT PT +∆T )
= t
(σ ( t , T + ∆T ) − σ ( t , T ) ) ⋅ dW (11.54)
( fT PT +∆T ) t
t
เมื่อ Wt เป็นการเคลื่อนที่บราวน์ภายใต้ตัววัดความน่าจะเป็น Q ผลเฉลยของสมการ (11.54) อยู่ใน
*T
P0T +∆T
รูป (T
f P T +∆T
)t P T M t
= (11.55)
0
t t
เมื่อ M t exp ∫ (σ ( s, T + ∆T ) − σ ( s, T ) ) ⋅ dWs − 1 ∫ σ ( s, T + ∆T ) − σ ( s, T ) 2 ds ซึ่งมีสมบัติ
=
0 20
มาร์ทิงเกลในรูปชี้กำลัง (exponential martingale) จากทฤษฎีบท 11.1 ราคาฟอร์เวิร์ดของคอ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 467 · หน้าพิมพ์ 455 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 455
ลออปชัน ( f P T
T +∆T
) มีสมบัติมาร์ทิงเกลภายใต้ตัววัดความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง
t
T
∫
{ }
− rs ds
Q*T นั่นคือ
= P0 ( fT PT +∆T ) E Q*T [e 0
Q*T T
C0 E= max ( fT PT +∆T ) − K ,0 ] (11.56)
T T
โดยประยุกต์ใช้สูตรแบล็กโชลส์
=C0 P0T +∆T N ( d1 ) − P0T KN ( d 2 ) (11.57)
โดยที่
1 PT +∆T 1
d1 ln 0 T + s (T , T + ∆T ) T , d 2= d1 − s (T , T + ∆T ) T (11.58)
s (T , T + ∆T ) T KP0 2
T
1
และ s (=
T , T + ∆T ) ∫
2
σ ( s, T + ∆T ) − σ ( s, T ) ds (11.59)
T 0
ซึ่งเป็นค่าความผันผวนของ M t เรียกว่า “ค่าความผันผวนแฝง (implied volatility)”ของออปชัน
ยกตัวอย่างเช่น สำหรับตัวแบบปัจจัยเดียว-วาซิเซค (1-factor vasicek model)
σ (1 − eκ (T −t ) )
σ (t,T ) = (11.60)
κ
เมื่อ σ เป็นค่าความผันผวนของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นและ κ เป็นอัตราของค่าเฉลี่ยวกกลับ จะได้
1 − e −κ∆T 1 − e −2κ T
s (T , T + ∆T ) =σ (11.62)
κ 2κ T
ตัวอย่างที่ 11.8 สมมติว่าต้องการคำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของพันธบัตรที่ไม่มีคูปองที่มีมูลค่าหน้า
ตั๋ว 1,000 บาท ที่จะครบกำหนดในเวลา 1 ปีนับจากปัจจุบัน โดยใช้ตัวแบบ 1-factor Vasicek
model โดยพิจารณาข้อมูลดังนี้ อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น σ = 0.01 , ค่า κ ที่ใช้ในการคำนวณมี
ค่า 5 ค่า ได้แก่ 0.001, 0.01, 0.1, 0.5, 1 และ เวลา T = 1 ปี จงคำนวณค่าความผันผวนแฝง
s (T , T + ∆T ) สำหรับค่าต่าง ๆ ของ κ และแสดงกราฟเปรียบเทียบ
วิธีทำ 1) คำนวณค่าความผันผวนแฝง s(T , T + ∆T )
1 − e −κT 1 − e −2κT
s (T , T + ∆T ) =σ
κ 2κ T
สำหรับค่า κ แต่ละค่า κ = 0.001, 0.01, 0.1, 0.5, 1
2) สร้างกราฟเปรียบเทียบ s(T , T + ∆T ) สำหรับค่า κ ต่าง ๆ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 468 · หน้าพิมพ์ 456 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
456 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
โค้ด python สำหรับการคำนวณและสร้างกราฟ
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# define parameters
sigma = 0.01
kappa_values = [0.001, 0.01, 0.1, 0.5, 1]
t = np.linspace(0, 30, 1000)
# define function for s(t, t + δt)
def s(t, kappa):
return sigma * (1-np.exp(-kappa * t)) / kappa * np.sqrt((1-np.exp(-2 * kappa * t))/(2 * kappa *
t))
# plotting the graphs
plt.figure(figsize=(12, 6))
for kappa in kappa_values:
s_values = s(t, kappa)
plt.plot(t, s_values, label=f'κ = {kappa}')
plt.xlabel('t (years)')
plt.ylabel('s(t, t + δt)')
plt.title('comparison of s(t, t + δt) for different κ values')
plt.legend()
plt.grid(true)
plt.show()
รูปที่ 11.5 เปรียบเทียบค่าความผันผวนแฝง s(T ,T + ∆T ) ของออปชันบนตราสารหนี้ไม่มีคูปอง
กรณี κ = 0.001, 0.01,0.1,0.5,1
การคำนวณค่าความผันผวนแฝง s(T , T + ∆T ) สำหรับค่า κ ต่าง ๆ จะช่วยให้ผู้จัดการพอร์ต
การลงทุนสามารถวิเคราะห์และเปรียบเทียบความเสี่ยงในการลงทุนในพันธบัตรที่ไม่มีคูปอง และ
สามารถเลือกกลยุทธ์การลงทุนที่เหมาะสมตามระดับความเสี่ยงที่ยอมรับได้
11.4 สัญญาแคปของอัตราดอกเบี้ย สัญญาฟลอร์และสัญญาคอลลาร์ของอัตราดอกเบี้ย
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 469 · หน้าพิมพ์ 457 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 457
ในหัวข้อนี้แนะนำโครงสร้างและเครื่องมือที่ใช้ในการบริหารจัดการความเสี่ยงในกลุ่มอนุพันธ์
ของดอกเบี้ยซึ่งได้แก่สัญญาแคป สัญญาฟลอร์และสัญญาคอลลาร์ของอัตราดอกเบี้ย และแนวทางที่
เป็นที่นิยมในการกำหนดราคาของสัญญาแคป สัญญาฟลอร์และสัญญาคอลลาร์ของอัตราดอกเบี้ย ซึ่ง
ได้แก่ การกำหนดราคาโดยการประยุกต์ใช้แบบจำลองของแบล็กโชลส์ (black-scholes model)
และนอกจากนี้ จะกล่าวถึงรูปแทนความเป็นกลางต่อความเสี่ยง (risk neutral representation)
ของแบบจำลองของแบล็กโชลส์ เพื่อที่จะนำไปสู่รูปปิดของผลเฉลยแบบทางคณิตศาสตร์ (closed
form solution) ของแบบจำลองแบล็กโชลส์ เพื่อนำไปใช้ในการสร้างสูตรรูปปิดของการกำหนด
ราคาสัญญาแคป สัญญาฟลอร์และสั ญญาคอลลาร์ของอัตราดอกเบี้ยให้ง่ายและสะดวกต่ อ การ
นำไปใช้งาน
11.4.1 สัญญาแคปของอัตราดอกเบี้ย
สัญญาแคป (cap agreement) หรือ interest rate cap เป็นสัญญาทางการเงินระหว่างสอง
ฝ่ายที่ให้สิทธิแก่ผู้ซื้อสัญญาในการจำกัดความเสี่ยงที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ย
ลอยตัว (floating rate) โดยกำหนดขีดจำกัดสูงสุดของระดับอัตราดอกเบี้ย (อัตราแคป: cap rate)
ในสัญญา โดยผู้ซื้อแคปได้รับประโยชน์เมื่ออัตราดอกเบี้ยในตลาดสูงขึ้นเหนืออัตราที่กำหนดไว้ (อัตรา
แคป) โดยผู้ขายจะต้องชดใช้ส่วนต่างให้กับผู้ซื้อโดยความถี่ในการจ่ายอาจเป็นรายเดือน รายไตรมาส
หรือรายครึ่งปี ในทางกลับกันผู้ซื้อจะต้องชำระค่าพรีเมียมให้กับผู้ขายเป็นการแลกเปลี่ยนสำหรับ
ความคุ้มครองที่ได้รับจากสัญญาแคป
รูปที่ 11.6 การซื้อขายสัญญาแคปอัตราดอกเบี้ย
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 470 · หน้าพิมพ์ 458 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
458 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
เราอาจพิจารณาสัญญาแคปว่าเป็นสัญญาซึ่งประกอบขึ้นด้วยชุดของคอลออปชันแบบยุโรป
หรือ “แคปเล็ต” (call European options or caplets) บนอัตราดอกเบี้ยที่มีอัตราดอกเบี้ยใช้สิทธิ
หรืออัตราแคปเดียวกัน แต่วันครบกำหนดแตกต่างกัน ถึงแม้ว่าสัญญาแคปจะเป็นเครื่องมือที่มี
ประโยชน์มากสำหรับผู้กู้ที่ต้องการควบคุมและจำกัดความเสี่ยงจากการเพิ่มขึ้นของอัตราดอกเบี้ย
อย่างไรก็ตามสัญญาแคปมีข้อจำกัดอยู่ในบางประการ เช่น สัญญาแคปเป็นเครื่องมือที่ต้องซื้อจาก
ตลาดทุนซึ่งอาจมีการเรียกเก็บค่าธรรมเนียม และส่วนใหญ่จะต้องมีการประเมินความเสี่ยงทาง
เครดิตของผู้ขายสัญญาเพื่อประเมินความน่าเชื่อถือและความสามารถในการจ่ายค่าชดเชยให้กับผู้ซื้อ
เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: สมมุติว่า บริษัท a ได้ทำสัญญากู้ยืมเงิน
จำนวนมากที่มีอัตราดอกเบี้ยแบบลอยตัว การที่อัตราดอกเบี้ยสามารถเพิ่มขึ้นได้จะส่งผลกระทบต่อ
ความสามารถในการจ่ายชำระคืนเงินของบริษัท ด้วยเหตุนี้ บริษัท a ต้องการที่จะจำกัดความเสี่ยง
จากการเพิ่มขึ้นของอัตราดอกเบี้ย ทางเลือกหนึ่งที่เป็นไปได้ของบริษัท a คือ ซื้อสัญญาแคปจาก
ธนาคาร b ด้วยอัตราแคปที่ 5% ต่อ 6 เดือน ระยะเวลา 5 ปี ทั้งนี้ บริษัท a จะต้องชำระค่าพรีเมียม
ให้ธนาคาร b ในแต่ละปี ถ้าอัตราดอกเบี้ยในตลาดเพิ่มขึ้นมาอยู่ที่ 7% ต่อ 6 เดือน ธนาคาร b ต้อง
จ่ายค่าชดเชย (7% - 5% = 2%)*n ให้กับบริษัท a เมื่อ n เป็นเงินต้นอ้างอิงที่กำหนดไว้ในสัญญา
นั่นคือ บริษัท a จะได้รับความคุ้มครองจากการเพิ่มขึ้นของอัตราดอกเบี้ย ทำให้บริษัทสามารถ
ควบคุมค่าใช้จ่ายที่เกี่ยวข้องกับดอกเบี้ยในระยะเวลาที่กำหนดไว้ได้
รูปที่ 11.7 การจำกัดความเสี่ยงจากการเพิ่มขึ้นของอัตราดอกเบี้ยด้วยสัญญาแคป
11.4.1.1 การกำหนดราคาสัญญาแคปตัวแบบคิดลดกระแสเงินสด
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 471 · หน้าพิมพ์ 459 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 459
การกำหนดราคาสัญญาแคปจะถูกต้องขึ้นอยู่กับหลายปัจจัย ได้แก่
1) อัตราดอกเบี้ยในอนาคต ถ้ามีความคาดหวังว่าอัตราดอกเบี้ยในอนาคตจะสูง ราคาของ
สัญญาแคปจะสูงด้วย เนื่องจากผู้ถือสัญญาแคปจะได้รับมูลค่าคุ้มครองหรือผลประโยชน์สูงเมื่ออัตรา
ดอกเบี้ยเพิ่มสูงกว่าอัตราแคป
2) ความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย อัตราดอกเบี้ยที่ผันผวนมากจะทำให้สัญญาแคปมีราคา
สูง เนื่องจากมันเพิ่มโอกาสที่สัญญาแคปจะกำหนดให้ดอกเบี้ยที่ต้องจ่ายตํ่ากว่าอัตราดอกเบี้ยใน
ตลาด
3) ระยะเวลาของสัญญา สัญญาแคปที่มีระยะเวลานานมากขึ้นจะมีราคาสูง ทั้งนี้เนื่องจาก
ระยะเวลาที่นานมากขึ้นจะเพิ่มโอกาสที่อัตราดอกเบี้ยในตลาดจะเพิ่มขึ้นเหนืออัตราที่กำหนดไว้ใน
สัญญาแคป
4) อัตราแคป (cap rate) สัญญาแคปที่มีอัตราแคปสูงกว่าจะมีราคาถูกกว่าสัญญาแคปที่มี
อัตราแคป ตํ่ากว่าเนื่องจากสัญญาแคปที่มีอัตราแคปสูงกว่าเพิ่มโอกาสที่อัตราดอกเบี้ยในตลาดจะสูง
กว่าอัตราแคปลดลง
กํ= T1 , T2 ,..., Tn T แทนจุดกำหนดช่วงเวลา (งวด) กระแสเงินสดจะเกิดขึ้นที่
าหนดให้ T0 0,=
ปลายงวด t = T1 ,T2 ,...Tn , τ k ≡ ∆ k T= Tk − Tk −1 และกํ า หนดให้ Lk = L (Tk −1 , Tk ) แทนอั ต รา
ดอกเบี ้ ย ลอยตั ว ในช่ว ง [Tk −1 , Tk ] , k = 1,2,..., n , ผลประโยชน์ ของแคปเล็ตที่ k , k = 1,2,..., n
สามารถคำนวณ ได้ดังนี้
ผลประโยน์ของแคปเล็ตที่ k= Nτ k [ Lk − K ]=+ Nτ k max {Lk − K ,0} (11.63)
โดยที่ N เป็นเงินต้นอ้างอิง (principle notation) และ K แทนอัตราดอกเบี้ยใช้สิทธิหรืออัตรา
แคป
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 472 · หน้าพิมพ์ 460 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
460 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
รูปที่ 11.8 ผลประโยชน์ของคอลออปชันแบบยุโรปหรือแคปเล็ต
T
∫
− rs ds
กำหนดให้ P = E [e
t
T Q* t
] เป็นตัวประกอบส่วนลดในช่วง [t , T ] และ
1 Pt T
Ft T +∆T F (t ; T , T=
= + ∆T ) T +∆T − 1 (11.64)
∆T Pt
เป็นอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้าสำหรับ [T , T + ∆T ] ณ วันที่ t ≤ T , ผลประโยน์ของแคปเล็ต ck ที่
1 1
คำนวณจากอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้
= า Fk F ( Tk −1 ;T=
k −1 , Tk ) Tk − 1 คำนวณได้ ดังนี้
τ k PTk −1
ผลประโยน์ของแคปเล็ต c=k Nτ k [ Fk − K ]=+ Nτ k max {Fk − K ,0} (11.65)
และมูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยน์ของแคปเล็ต ck คำนวณได้จาก
P0Tk E [ ck ] P0Tk E Nτ k [ Fk − K ]
+
=
− k rs ds
T
∫ +
= Nτ k P0 E [ Fk −=
K ] Nτ k E e [ Fk − K ]
+
Tk
0
(11.66)
และมูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยน์ของแคปเล็ต ck ภายใต้ความน่าจะเป็นความเป็น
กลางต่อความเสี่ยง แทนด้วย Capletk = P0T E * [ck ] k
ค่าพรีเมียมหรือราคาของแคปคือเงินที่ผู้ซื้อยินยอมจ่ายเพื่อแลกกับผลประโยชน์ที่คาดว่าจะ
ได้รับในอนาคต ดังนั้นราคาของแคปจึงควรเท่ากับผลรวมของมูลค่าปัจจุบันของผลประโยชน์ของแต่
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 473 · หน้าพิมพ์ 461 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 461
ละแคปเล็ตในสัญญาแคป นั่นคือ ภายใต้ค่าคาดหวังความเป็นกลางต่อความเสี่ยง E * ค่าพรีเมียม
(ราคาของแคปที่เวลา t = 0 ) คำนวณได้จาก
− k rs ds
T
n n ∫ n
Cap ∑ Capletk ∑ = P0Tk E * [ ck ] N ∑τ k E * e 0 [ Fk − K ]
+
= =
(11.67)
= k 1= k 1 = k 1
ตัวอย่างที่ 11.9 สมมติว่าต้องการคำนวณราคาของสัญญาแคป (cap) ที่มีอัตราดอกเบี้ยใช้อ้างอิง
เป็น LIBOR โดยสัญญาแคปนี้มีระยะเวลา 1 ปีและมีอัตราแคป (cap rate) ที่ 5% กำหนดให้
มูลค่าหน้าตั๋วของแคป ( N ) เท่ากับ 1,000,000 บาท และข้อมูลที่เกี่ยวข้อง ดังนี้ อัตราดอกเบี้ย
ระยะสั้น r (t ) , จำนวนงวดที่มีการคำนวณดอกเบี้ย n = 4 งวด (ชำระดอกเบี้ยทุก 3 เดือน),
อัตราดอกเบี้ยใช้อ้างอิง Lk , อัตราแคป K ที่ 5%
งวดที่ k tk k Lk r (t ) = rk
1 0.25 0.25 0.061 0.050
2 0.50 0.25 0.055 0.051
3 0.75 0.25 0.049 0.055
4 1.00 0.25 0.057 0.049
จงคำนวณ
1) Pt t และ P0t สำหรับแต่ละงวด
k
k −1
k
1 1
2) อัตราดอกเบี้ยล่วงหน้
= า Fk F ( Tk −1 ;T=
k −1 , Tk ) Tk − 1 สำหรับแต่ละงวด
τ k PTk −1
3) ผลประโยชน์ของแคปเล็ตในแต่ละงวด ที่คำนวณจากอัตราดอกเบี้ยลอยตัว Lk
4) ผลประโยชน์ของแคปเล็ตในแต่ละงวด ck ที่คำนวณจากอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า
1 1
=Fk F ( Tk −1 ; T=
k −1 , Tk ) Tk − 1
τ k PTk −1
5) มูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์ของแคปเล็ต Capletk (ภายใต้ความน่าจะเป็น
ความเป็นกลางต่อความเสี่ยง) ที่คำนวณจากอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า
6) ค่าพรีเมียมหรือราคาของแคป Cap
วิธีทำ 1) คำนวณ Pt t และ P0t สำหรับแต่ละงวด
k
k −1
k
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 474 · หน้าพิมพ์ 462 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
462 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
tk tk
T
∫
− rs ds ∫ rs ds
− − ∫ rk ds
จากสูตร P = E [e
t
T Q* t
] จะได้=
tk Q*
Ptk −1 E [e =] e=
tk −1 tk −1 ( tk − tk −1 )
e − rk= e − rkτ k
และ P0t = P0t Pt t
k k −1 k
k −1
−0.05(0.25) −0.05(0.25)
=P0t1 e= 0.9876 =P0t1 e= 0.9876
−0.051(0.25)
=Pt1t2 e= 0.9873 P0t2 P=
= t1 t2
0 Pt1 (0.9876)(0.9873)=0.9751
=Pt2t3 e=
−0.055(0.25)
0.9863 P0t3 P=
= t2 t3
0 Pt2 (0.9751)(0.9863)=0.9617
−0.045(0.25) t3 t4
=Pt3t4 e= 0.9888 P0t4 P=
= 0 Pt3 (0.9617)(0.9888)=0.9509
1 1
ตร Fk F ( Tk −1 ;T=
2) คำนวณ Fk สำหรับแต่ละงวด จากสู= k −1 , Tk ) Tk − 1 จะ
τ k PTk −1
ได้
1 1
=F1 = − 1 0.0505
0.25 0.9876
1 1
=F2 = − 1 0.0515
0.25 0.9873
1 1
=F3 = − 1 0.0556
0.25 0.9863
1 1
=F4 = − 1 0.0453
0.25 0.9888
3) ผลประโยชน์ของแคปเล็ตในแต่ละงวด ที่คำนวณจากอัตราดอกเบี้ยลอยตัว Lk
จากสูตร ผลประโยน์ของแคปเล็ตที่ k= Nτ k [ Lk − K ]=+ Nτ k max {Lk − K ,0}
=
ผลประโยน์ของแคปเล็ ตที่ 1 Nτ1 max( F1 − K ,0)
= 1, 000, 000 × 0.25 × max(0.061 − 0.05,
= 0) 2750
=
ผลประโยน์ของแคปเล็ ตที่ 2 Nτ 2 max( F2 − K ,0)
= 1, 000, 000 × 0.25 × max(0.055 − 0.05,
= 0) 1250
=
ผลประโยน์ของแคปเล็ ตที่ 3 Nτ 3 max( F3 − K ,0)
= 1, 000, 000 × 0.25 × max(0.049 − 0.05,
= 0) 0
=
ผลประโยน์ของแคปเล็ ตที่ 4 Nτ 4 max( F4 − K ,0)
= 1, 000, 000 × 0.25 × max(0.057 − 0.05,
= 0) 1750
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 475 · หน้าพิมพ์ 463 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 463
4) คำนวณผลประโยชน์ของแคปเล็ต ck สำหรับแต่ละงวด
จากสูตร c=k Nτ k [ Fk − K ]=+ Nτ k max {Fk − K ,0}
c1 Nτ 1 max( F1 − K=
= ,0) 1,000,000 × 0.25 × max(0.0505 − 0.05,0)
= 125
c2 Nτ 2 max( F2 − K=
= ,0) 1,000,000 × 0.25 × max(0.0515 − 0.05,0)
= 375
c3 Nτ 3 max( F3 − K=
= ,0) 1,000,000 × 0.25 × max(0.0556 − 0.05,0)
= 1400
c4 Nτ 4 max( F4 − K=
= ,0) 1,000,000 × 0.25 × max(0.0453 − 0.05,0)
= 0
5) มูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์ของแคปเล็ต Capletk (ภายใต้ความ
น่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง) ที่คำนวณจากอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า
0 E [ ck ]
T
Capletk P=
จากสูตร= * k
P0T ck k
Caplet1 = P0t1 × c1 = 0.9876 ×125 = 123.45
Caplet2 = P0t2 × c2 = 0.9751× 375 = 365.65
Caplet3 = P0t3 × c3 = 0.9617 ×1400 = 1346.38
Caplet4 = P0t4 × c4 = 0.9505 × 0 = 0
6) คำนวณค่าพรีเมียมหรือราคาของแคป Cap
n
จากสูตร Cap = ∑ Caplet k
k =1
4
= ∑ Caplet
จะได้ Cap = k 123.45 + 365.65 + 1346.38=
+ 0 1,835.48 บาท
k =1
ดังนั้น ราคาของสัญญาแคปที่มีมูลค่าหน้าตั๋ว 1,000,000 บาท และมีอัตราแคปที่ 5% โดยคำนวณ
จากผลประโยชน์ของแคปเล็ตในแต่ละงวดและมูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์ของ
แคปเล็ต จะมีค่าเท่ากับ 1,835.48 บาท
11.4.1.2 การกำหนดราคาสัญญาแคปโดยใช้ตัวแบบแบล็กโชลส์ (black-scholes model)
การกำหนดราคาของสัญญาแคปดอกเบี้ยโดยใช้ตัวแบบแบล็กโชลส์ เป็นการใช้ทฤษฎีการ
กำหนดราคาออปชันแบบยุโรปด้วยตัวแบบแบล็กโชลส์ในการกำหนดราคาสัญญาแคปดอกเบี้ย ซึ่ง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 476 · หน้าพิมพ์ 464 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
464 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
สัญญาแคปดอกเบี้ยนี้จะมีลักษณะเหมือนกับยูโรเปียนคอลออปชัน (European call option) โดย
พิจารณาอัตราดอกเบี้ยแทนราคาหุ้นหรือราคาสินทรัพย์ โดยราคาของสัญญาแคปดอกเบี้ยจะเท่ากับ
ผลรวมของราคาแคปเล็ตที่มีราคาใช้สิทธิเท่ากันแต่อายุของสัญญาต่างกัน โดยราคาของแคปเล็ตตาม
ตัวแบบแบล็กโชลส์ คำนวณได้ตามสูตร ดังนี้
=Capletk Nτ k P0Tk Fk N ( d1k ) − KN ( d 2k ) (11.68)
Tk
∫
− rs ds
โดยที่ Capletk เป็นราคาแคปเล็ตซึ่งมีอายุครบกำหนดที่ Tk , P = E [e t
Tk Q* 0
] เป็นตัวประกอบ
1 1
ส่ ว นลดสํ า หรั บ ช่ ว ง [t ,T=
k ] , Fk F ( Tk −1 ; T=
k −1 , Tk ) Tk − 1 เป็น อัตราดอกเบี ้ย ล่ว งหน้ า
τ k PTk −1
(forward rate) หรืออัตราดอกเบี้ยที่คาดการณ์ในอนาคตที่จะเกิดขึ้นในวันที่แคปเล็ตที่ k อายุครบ
กำหนดวันที่ Tk , N เป็นเงินต้นอ้างอิง, K เป็นอัตราดอกเบี้ยใช้สิทธิหรืออัตราแคป, N ( x) เป็น
ความน่าจะเป็นสะสมของการแจงแจงแบบปกติ, σ เป็นค่าความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย, d 1
k
และ d เป็นค่าพารามิเตอร์ที่คำนวณจากสูตรดังนี้
k
2
ln ( Fk / K ) + 0.5σ 2Tk
d =
1
k
และ d=2k d1k − σ Tk (11.69)
σ Tk
n n
ดังนั้นจะได้ว่า =Cap ∑
= Caplet ∑ Nτ P F N (d ) − KN ( d )
k k 0
Tk
k 1
k k
2 (11.70)
=k 1= k 1
หมายเหตุ การคำนวณค่าความน่าจะเป็นสะสมของการแจงแจงแบบปกติ N ( x) สามารถคำนวณ
ค่า ได้จากตารางความน่าจะเป็นสะสมของการแจงแจงแบบปกติซึ่งปรากฏอยู่ในภาคผนวก หรือเพื่อ
ความสะดวกอาจจะใช้คำสั่งฟังก์ชัน normsdist(z) ในโปรแกรม excel ก็ได้
ตั ว อย่ า งที ่ 11.10 การกํ า หนดราคาสั ญ ญาแคปโดยใช้ต ัว แบบแบล็กโชลส์ (black-scholes
model)สมมติว่าต้องการคำนวณราคาของสัญญาแคป (cap) ที่มีอัตราดอกเบี้ยใช้อ้างอิงเป็น
LIBOR โดยสัญญาแคปนี้มีระยะเวลา 1 ปีและมีอัตราแคป (cap rate) ที่ 5% กำหนดให้มูลค่า
หน้าตั๋วของแคปเท่ากับ 1,000,000 บาท และ กำหนดข้อมูลที่เกี่ยวข้อง ดังนี้ อัตราดอกเบี้ยใช้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 477 · หน้าพิมพ์ 465 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 465
อ้างอิง Lk , จำนวนงวดที่มี การคำนวณดอกเบี้ย n = 4 (ชำระดอกเบี้ย ทุ ก 3 เดือน), อัตรา
ดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง rk ในแต่ละงวด, อัตราแคป K ที่ 5%, ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
อัตราดอกเบี้ย σ = 0.02
งวดที่ k tk k Lk r (t ) = rk
1 0.25 0.25 0.061 0.050
2 0.50 0.25 0.055 0.051
3 0.75 0.25 0.049 0.055
4 1.00 0.25 0.057 0.049
จงคำนวณ
1) ผลประโยชน์ของแคปเล็ตในแต่ละงวด Capletk
2) ค่าพรีเมียมหรือราคาของแคป Cap
วิธีทำ จากตัวอย่างที่ 11.9 คำนวณ Pt t , P0t และ Fk สำหรับแต่ละงวด
k
k −1
k
tk
− ∫ rk ds 1 1
จากสูตร Pt t = e
k tk −1
, P0t = P0t Pt t และ
k k −1
= Fkk
Tk − 1 แสดงในตารางต่อไปนี้
k −1 k −1
τ k PTk −1
งวดที่ k Ptktk−1 P0tk Fk
1 0.9876 0.9876 0.0505
2 0.9873 0.9751 0.0515
3 0.9863 0.9617 0.0556
4 0.9888 0.9509 0.0453
1) คำนวณผลประโยชน์ของแคปเล็ต Capletk
จากสูตร = Caplet Nτ P F N ( d ) − KN ( d )
k k 0
Tk
k 1
k k
2
ln ( Fk / K ) + 0.5σ 2Tk
โดยที่ Fk เป็นอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า d = 1
k
และ d=2k d1k − σ Tk
σ Tk
ln ( F1 / K ) + 0.5σ 2t1 ln ( 0.0505 / 0.05 ) + 0.5(0.022 )(0.25)
คำนวณ 1 =
= d 1
= 1.00003
σ t1 0.02 0.25
d11 − σ t1 =
d 21 = 1.00003 − 0.02 0.25 =
0.99003
N (d11 ) N=
= (1.00003) 0.84135
N (d 21 ) N=
= (0.99003) 0.83892
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 478 · หน้าพิมพ์ 466 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
466 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
Caplet1 Nτ 1 P0t1 F1 N ( d11 ) − KN ( d 21 )
=
= 1,000,000(0.25)(0.9876)[0.0505(0.84135) − 0.05(0.83892)] =
133.88
สำหรับ Capletk , k = 2,3, 4 คำนวณได้ในทำนองเดียวกัน ผลลัพธ์ที่ได้แสดงในตารางต่อไปนี้
งวดที่ tk k P0tk Fk d1k d 2k N ( d1k )
N ( d 2k ) Capletk
k
1 0.25 0.25 0.9876 0.0505 1.00003 0.99003 0.84135 0.83892 133.88
2 0.50 0.25 0.9751 0.0515 2.09719 2.08305 0.98201 0.98138 366.83
3 0.75 0.25 0.9617 0.0556 6.13782 6.12050 1.00000 1.00000 1346.38
4 1.00 0.25 0.9509 0.0453 -4.92580 -4.94580 0.00000 0.00000 0.00
2) คำนวณค่าพรีเมียมหรือราคาของแคป Cap
n
จากสูตร Cap = ∑ Caplet k
k =1
4
จะได้
= Cap ∑
= Caplet 133.88 + 366.83 + 1346.38 + 0 =
k 1,847.09
k =1
ดังนั้น ราคาของสัญญาแคปที่มีมูลค่าหน้าตั๋ว 1,000,000 บาท และมีอัตราแคปที่ 5% โดยคำนวณ
จากผลประโยชน์ของแคปเล็ตในแต่ละงวดและมูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์ของ
แคปเล็ต จะมีค่าเท่ากับ 1,857.09 บาท
11.4.1.3 การกำหนดราคาสัญญาแคปภายใต้โครงสร้างอัตราดอกเบี้ยของเกาส์
โครงสร้ า งอั ต ราดอกเบี ้ ย ของเกาส์ (Gaussian term-structure model: GTSM) คื อตั ว
แบบที่ใช้ในการระบุโครงสร้างอัตราดอกเบี้ยในอนาคตโดยสมมุติให้ระดับอัตราดอกเบี้ยปัจจุบันและ
ความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย (volatility) มีการแจกแจงแบบเกาส์ (Gaussian distribution) ใน
ตัวแบบจำลองที่ผ่านมาเช่น ตัวแบบฮีธ-จาร์โรว์-มอร์ตัน (HJM) อัตราดอกเบี้ยดอกเบี้ยตามระยะเวลา
ที่แตกต่างต่างกันอาจมีความผันผวนที่ไม่แน่นอน แต่ในตัวแบบโครงสร้างของเกาส์จะสมมติให้ความ
ผันผวนนั้นคงที่
ตัวแบบโครงสร้างอัตราดอกเบี้ยของเกาส์มีหลายรูปแบบแต่ละรูปแบบมีความซับซ้อน
แตกต่างกันขึ้นอยู่กับสมมติฐานและตัวแบบอัตราดอกเบี้ยที่เลือกใช้ โดยตัวแบบอัตราดอกเบี้ยที่เป็น
ที่นิยมได้แก่ ตัวแบบวาซิเซค และ ตัวแบบฮัลล์-ไวท์ ซึ่งเป็นตัวแบบในกรอบโครงสร้างของฮีธ-จาร์
โรว์-มอร์ตันที่ได้กล่าวไว้แล้วในหัวห้อก่อนหน้านี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 479 · หน้าพิมพ์ 467 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 467
ในหัวข้อนี้นำเสนอสูตรรูปปิดของการกำหนดราคาสัญญาแคปในรูปสูตรของแบล็กโชลส์
ภายใต้โครงสร้างอัตราดอกเบี้ยของเกาส์ กำหนดให้ BSP(S , K , T ,σ ) แทนสูตรของแบล็กโชลส์ของ
พุทออปชันบนสินค้าอ้างอิงที่มีราคาปัจจุบัน S , ราคาใช้สิทธิ K , อายุครบกำหนด T , และค่า
ความผันผวน σ (คงที่) จะได้ว่าราคาของสั ญญาแคปที่มี อั ตราใช้ส ิทธิ R อายุครบกํ าหนด Tn
สามารถคำนวณได้จากสูตร
n
Cap = ∑ capletk (11.71)
k =1
เมื่อ capletk = Nτ k P0T BSP ( xk ,1, Tk , sk ) , N เป็นเงินต้นอ้างอิง
k
T 2
1 k
และ xk = 1 + τ k= ⋅R
และ sk σ (t , Tk ) − σ (t , Tk −1 ) dt , k = 1, 2,..., n (11.72)
1 + τ k ⋅ Fk Tk ∫0
− κ ∆Tk
1 − e −2κ Tk
โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของตัวแบบเกาส์ 1 ปัจจัย จะได้ s = σ 1 − e k
κ 2κ Tk
และ BSP( S , K , T ,σ=) KP0T N ( −d 2 ) − SN ( −d1 ) (11.73)
1 S 1
โดยที่ =d1 ln T + σ T , d=
2 d1 − σ T (11.74)
σ T KP0 2
นั่นคือ BSP ( xk ,1, Tk , sk =) P0Tk N ( −d 2k ) − xk N ( −d1k )
1 x 1
โดยที่ =d1k ln kT + sk Tk , d=
k
2 d1k − sk Tk
sk Tk P0 2
หมายเหตุ ในบริบทของการกำหนดราคาสัญญาแคปภายใต้โครงสร้างอัตราดอกเบี้ยของเกาส์สำหรับ
สินทรัพย์สำหรับการใช้งานจริงมีสองค่าที่สำคัญ ได้แก่ อัตราใช้สิทธิ R และ ราคาใช้สิทธิ K ซึ่งทั้ง
สองค่านี้มีความแตกต่างกันดังนี้
1) อัตราใช้สิทธิ ( R ): อัตราใช้สิทธิ R หมายถึงอัตราดอกเบี้ยที่ใช้สำหรับการปรับราคา
ของสินค้าที่มีการใช้สิทธิ เช่น การคำนวณผลตอบแทนจากการลงทุน หรือการปรับอัตราดอกเบี้ยใน
สัญญาต่าง ๆ ในสมการ (11.71) R ถูกใช้ในการคำนวณค่า Cap เพื่อปรับราคาของพุทออปชันให้มี
ความเป็นปัจจุบัน โดยอัตราใช้สิทธิ R จะถูกนำไปคำนวณร่วมกับค่า ∆Tk ซึ่งเป็นระยะเวลาที่ใช้ใน
การคำนวณ เพื่อให้ได้ผลตอบแทนจากการลงทุนที่ถูกต้อง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 480 · หน้าพิมพ์ 468 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
468 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
2) ราคาใช้สิทธิ ( K ): ราคาใช้สิทธิ K หมายถึงราคาที่ผู้ถือออปชันสามารถซื้อหรือ
ขายสินทรัพย์พื้นฐานได้เมื่อถึงวันครบกำหนดของออปชัน ในสมการ BSP( S , K , T , σ ) ตามสมการ
(11.73) จะใช้ราคาใช้สิทธิ K เพื่อคำนวณมูลค่าของออปชัน (ทั้งพุทและคอลออปชัน) โดยที่ K
จะเป็นตัวกำหนดว่าผู้ถือออปชันจะเลือกใช้สิทธิเมื่อราคาสินทรัพย์อ้างอิงถึงราคาใช้สิทธิหรือไม่
ตัวอย่างของอัตราใช้สิทธิ R
สมมติว่ามีอัตราใช้สิทธิ R = 5% ต่อปี ใช้ในการปรับราคาของพุทออปชันที่มีราคาใช้
สิทธิ K = 100 บาท ระยะเวลาครบกำหนด 1 ปี และมีค่า ∆Tk = 0.25 ปี ในกรณีนี้อัตราใช้สิทธิ
R จะถูกใช้ในการคำนวณผลตอบแทนจากการลงทุนและปรับราคาออปชันให้สอดคล้องกับ
ระยะเวลาที่เหลืออยู่ของสัญญา
ตัวอย่างที่ 11.11 จงคำนวณราคาสัญญาแคปภายใต้โครงสร้างอัตราดอกเบี้ยของเกาส์ (gtsm)
โดยสมมติว่าพิจารณาสัญญาแคปสำหรับหุ้นอ้างอิงตามข้อมูลต่อไปนี้
- มูลค่าหน้าตั๋วของแคปเท่ากับ 1,000,000 บาท
- มีอัตราแคป (cap rate) ที่ 5%
- ระยะเวลาถึงวันครบกำหนด (time to maturity, T ) 1 ปี
- ค่าความผันผวน (volatility, σ ) 0.25
- จำนวนงวด (number of periods, n ) 4 งวด
- อัตราดอกเบี้ยในตลาด (risk-free interest rate, r ) 5%
- ค่า κ (mean reversion rate): 0.03
- ระยะเวลาระหว่างงวด (time interval, τ ) 0.25 ปี k
- มีอัตราใช้สิทธิ R = 5% ต่อปี
วิธทำ คำนวณราคาสัญญาแคปภายใต้โครงสร้างอัตราดอกเบี้ยของเกาส์ (gtsm) ตามขั้นตอน ดังนี้
1) คำนวณ sk สำหรับแต่ละงวด k
1 − e −κ τ k 1 − e −2κ Tk
จากสูตร sk = σ ในที่นี้ τ k = 0.25 และ κ = 0.03
κ 2κ Tk
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 481 · หน้าพิมพ์ 469 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 469
1 − e −0.03(0.25) 1 − e −2(0.03)(0.25)
ดังนั้น s1 0.25
= 0.062033
0.03 2(0.03)(0.25)
สำหรับผลการคำนวณ sk , k 2,3, 4 แสดงในตารางถัดจากนี้
T
∫
− rs ds
1 1
จากสูตร P = e T t
และ
= Fk Tk − 1 แสดงในตารางต่อไปนี้
t
τ k PTk −1
tk
− ∫ rk ds t −0.05t
จะได้=
Pt t e= e −0.05(=
k
k −1
t −t )
e −0.05τ และ P0 = e
tk −1 k k −1 k k k
0.05τ 0.05(0.25)
1 1 e k −1 e −1
Fk
และ= =
−
−0.05τ k 1 = = 0.05031 , k 1, 2,3, 4
τk e τk 0.25
จากสูตร capletk = Nτ k P0T BSP ( xk ,1, Tk , sk ) k
เมื่อ xk = 1 + τ k ⋅ R และ BSP ( xk ,1, Tk , sk =) P0T N ( −d 2k ) − xk N ( −d1k ) k
1 + τ k ⋅ Fk
1 x 1
โดยที่ d1k
= ln kT + sk Tk , d=
k
2 d1k − sk Tk
sk Tk P0 2
ผลลัพธ์ที่คำนวณได้แสดงในตารางด้านล่าง
k tk k sk P0tk Fk xk
1 0.25 0.25 0.062033 0.9876 0.05031 0.999923
2 0.50 0.25 0.061802 0.9751 0.05031 0.999923
3 0.75 0.25 0.061572 0.9617 0.05031 0.999923
4 1.00 0.25 0.061344 0.9509 0.05031 0.999923
d1k d 2k N (d1k ) N (d 2k ) BSP ( xk ,1, Tk , sk ) capletk
0.900513 0.775513 0.183923582 0.219018 0.032388 7,996.47
1.070301 0.893525 0.142241837 0.185788 0.03897 9,502.00
1.201809 0.985303 0.114718705 0.162238 0.041557 10,006.76
1.313813 1.063813 0.094454639 0.143707 0.042251 10,047.56
ดังนั้น ราคาสัญญาแคปภายใต้โครงสร้างอัตราดอกเบี้ยของเกาส์
n
Cap = ∑ capletk = 7,996.47 + 9,502.00 + 10,006.76 + 10,047.56 = 37,552.79 บาท
k =1
11.4.1.3 ค่าความผันผวนแฝงของสัญญาแคป
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 482 · หน้าพิมพ์ 470 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
470 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
กำหนดให้ Cap แทนราคาของสัญญาแคปที่มีอัตราใช้สิทธิ R อายุครบกำหนด Tn และ
τk = 1, 2,..., n ค่ า ความผั น ผวนแฝง (implied volality) ของสั ญ ญาแคปเขี ย นแทนด้ ว ย
∆Tk , k =
σ n คือค่าความผันผวนที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง
n
Cap
= ∑ NP ∆T BSC ( F , S , T ,σ )
k =1
0
Tk
k k n k n (11.75)
n
∑τ P F k 0
Tk
k
เมื่อ S =
n
k =1
n
, T ,σ ) SN ( d1 ) − KP0T N ( d 2 )
และ BSC (S , K= (11.76)
∑τ F
k =1
k k
S 1
1
โดยที่ d1
= ln T + σ T , d=
2 d1 − σ T
σ T KP0 2
ค่าความผันผวนแฝงของสัญญาแคปเป็นมาตรวัดความเสี่ยงหรือความไม่แน่นอนในการเคลื่อนไหว
ของราคาแคปซึ่งเป็นความแปรปรวนของราคาแคปในตลาดซึ่งวัดจากการเคลื่อนไหวของราคาในอดีต
สำหรับแต่แคปเล็ตอายุ Tk , k = 1,2,..., n ลำดับของค่าความผันผวนแฝงของแคปเล็ต σ k
นิยามจากค่าความผันผวนซึ่งสอดคล้องกับสมการ
k
Cap (k ) = ∑ NP0 j τ j BSC ( Fj , S k , T j ,σ k ) (11.77)
T
j =1
ในโครงสร้างตัวแบบของเกาส์ลำดับของค่าความผันผวนแฝงของแคปเล็ต σ k จากสมการ (11.77)
T 2
1 k
และ ค่าความผั นผวน sk σ (t , Tk ) − σ (t , Tk −1 ) dt จากสมการ (11.68) มีความสัมพันธ์กัน
Tk ∫0
=
1 + τ k ⋅ Sn
คือ P0Tk BSP ,1, Tk , sk = P0Tk τ k BSC ( Fk , S n , Tk ,σ k ) (11.78)
1 + τ k ⋅ Fk
โดยการค่าประมาณ
k
Sσ T
∑τ P F k 0
Tk
k
BSC
= ( S , S , T ,σ ) BSP ( S , S , T ,σ ) ≈ และ Sk
=
j =1
n
≈ Fk (11.79)
2π
∑τ F
k =1
k k
จากสมการ (11.79) จะได้ว่า ค่าโดยประมาณของค่าความผันผวนแฝง sk ของแคปเล็ตจากตัวแบบ
เกาส์ คือ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 483 · หน้าพิมพ์ 471 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 471
τ F τ
sk ≈ σ k k k 1 + k (11.80)
1 + τ k Fk Tk
ตัวอย่างที่ 11.12 จงคำนวณค่าประมาณความผันผวนแฝง ( sk ) จากข้อมูลในตัวอย่างที่ 11.10
ในการกำหนดราคาสัญญาแคปโดยใช้ตัวแบบแบล็กโชลส์ของสัญญาแคป (cap) ที่มีอัตราดอกเบี้ย
ใช้ อ้ างอิ งเป็ น LIBOR โดยสั ญ ญาแคปนี ้ มี ร ะยะเวลา 1 ปีและมีอัตราแคป (cap rate) ที่ 5%
กำหนดให้มูลค่าหน้าตั๋วของแคปเท่ากับ 1,000,000 บาท และกำหนดข้อมูลที่เกี่ยวข้อง ดังนี้
อัตราดอกเบี้ยใช้อ้างอิง Lk , จำนวนงวดที่มีการคำนวณดอกเบี้ย n = 4 (ชำระดอกเบี้ยทุก 3
เดือน), อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง rk ในแต่ละงวด, อัตราแคป K ที่ 5%, ค่าเบี่ยงเบน
มาตรฐานของอัตราดอกเบี้ย σ = 0.02
วิธีทำ จากผลลัพธ์ในตัวอย่างที่ 11.10 ค่าของ P0t และ Fk k
งวดที่ k tk r (t ) = rk τk P0t
k
Fk
1 0.25 0.050 0.25 0.9876 0.0505
2 0.50 0.051 0.25 0.9751 0.0515
3 0.75 0.055 0.25 0.9617 0.0556
4 1.00 0.049 0.25 0.9509 0.0453
ขั้นตอนการคำนวณค่าประมาณความผันผวนแฝง ( sk ) ทำได้ดังนี้
n
∑τ P F k 0
Tk
k
1) คำนวณค่า Sn จากสูตร Sn = k =1n
∑τ F
k =1
k k
0.25(0.9878)(0.0505) + 0.25(0.9751)(0.05) + 0.25(0.963)(0.0505) + 0.25(0.95)(0.054)
Sn =
0.25(0.0505) + 0.25(0.0500) + 0.25(0.0505) + 0.25(0.0540)
≈ 0.9686
2) คำนวณค่า sk สำหรับ caplet ที่ 1 ( k = 1 ,2,3,4)
τ F
จากสูตร sk ≈ σ k kτ kS
1+ k n
Fk
สำหรับ k = 1
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 484 · หน้าพิมพ์ 472 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
472 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
0.25(0.0505)
s1 ≈ 0.02 ≈ 0.00004357
1 + 0.25 0.9686
0.0505
0.25(0.0515)
s2 = 0.02 ≈ 0.002258
1 + 0.25 0.9686
0.0515
0.25(0.0556)
s3 0.02 ≈ 0.002596
1 + 0.25 0.9686
0.0556
0.25(0.0453)
s4 0.02 ≈ 0.00003569
1 + 0.25 0.9686
0.0453
11.4.2 สัญญาฟลอร์ของอัตราดอกเบี้ย
สั ญญาฟลอร์ (floor agreement) เป็ น สั ญ ญาทางการเงิน ที่ถูกออกแบบมาเพื่อให้ความ
คุ้มครองต่อการลดลงของอัตราดอกเบี้ย สัญญาฟลอร์จะกำหนดระดับขั้นตํ่าที่อัตราดอกเบี้ยจะลดลง
นั่นหมายความว่า ถ้าอัตราดอกเบี้ยลดลงตํ่ากว่าจุดที่กำหนด (อัตราดอกเบี้ยฟลอร์) ผู้ขายฟลอร์
จะต้องชดใช้ส่วนต่างให้กับผู้ซื้อ ในทางกลับกันผู้ซื้อฟลอร์จะต้องชำระค่าพรีเมียมให้กับผู้ขายเป็นการ
แลกเปลี่ยนสำหรับความคุ้มครองที่ได้รับจากสัญญาฟลอร์ เพื่อความเข้าใจพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้
สมมติว่ากองทุนหนึ่งมีพอร์ตการลงทุนที่ประกอบด้วยหน่วยลงทุนเงินตราที่ผลตอบแทนขึ้นอยู่กับ
อัตราดอกเบี้ยในตลาดและกองทุนนีต้ ้องการที่ป้องกันความเสี่ยงจากสภาวะที่อัตราดอกเบี้ยจะลดลง
อย่างมากซึ่งจะทำให้ผลตอบแทนของกองทุนลดลงอย่างมีนัยสำคัญ ในกรณีนี้กองทุนสามารถซื้อ
สัญญาฟลอร์จากธนาคาร โดยกำหนดอัตราดอกเบี้ยฟลอร์ที่ 2% และระยะเวลา 5 ปี กองทุนนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 485 · หน้าพิมพ์ 473 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 473
จะต้ องชํ า ระค่ า พรี เ มี ย มให้ กั บ ธนาคารในแต่ล ะปี ถ้าอัตราดอกเบี้ย ในตลาดลดลงมาอยู่ที่ 1%
ธนาคารจะต้องจ่ายค่าชดเชย (2% - 1% = 1%) ให้กับกองทุนนี้ ซึ่งจะทำให้กองทุน ได้รับความ
คุ้มครองจากการลดลงของอัตราดอกเบี้ย ทำให้กองทุนสามารถควบคุมค่าใช้จ่ายที่เกี่ยวข้องกับ
ดอกเบี้ยในระยะเวลาที่กำหนดไว้ได้
รูปที่ 11.9 การซื้อขายสัญญาฟลอร์อัตราดอกเบี้ย
11.4.2.1 การกำหนดราคาสัญญาฟลอร์ตัวแบบคิดลดกระแสเงินสด
การกำหนดราคาสัญญาฟลอร์นั้นทำได้ในลักษณะเดียวกับสัญญาแคป โดยราคาของสัญญา
ฟลอร์ขึ้นอยู่กับหลายปัจจัย ได้แก่
1) อัตราดอกเบี้ยในอนาคต: ถ้ามีความคาดหวังว่าอัตราดอกเบี้ยในอนาคตจะลดตํ่าลงมาก
ราคาของสัญญาฟลอร์จะสูงด้วย
2) ความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย: อัตราดอกเบี้ยที่ผันผวนมากจะทำให้สัญญาฟลอร์มีราคาสูง
3) ระยะเวลาของสัญญา: สัญญาฟลอร์ที่มีระยะเวลานานมากขึ้นจะมีราคาสูง
4) อัตราฟลอร์ (floor rate): สัญญาฟลอร์ที่มอี ัตราฟลอร์สูงกว่าจะมีราคาแพงกว่าสัญญาฟลอร์
ที่มอี ัตราฟลอร์ตํ่ากว่า
กํ= T1 , T2 ,..., Tn T แทนจุดกำหนดช่วงเวลา (งวด) กระแสเงินสดจะเกิดขึ้นที่
าหนดให้ T0 0,=
ปลายงวด t = T1 ,T2 ,...Tn , τ k ≡ ∆ k T= Tk − Tk −1 และกํ า หนดให้ Lk = L (Tk −1 , Tk ) แทนอั ต รา
ดอกเบี ้ ย ลอยตั ว ในช่ ว ง [Tk −1 , Tk ] , k = 1,2,..., n , ผลประโยชน์ของฟลอร์เล็ตที่ k , k = 1,2,..., n
สามารถคำนวณ ได้ดังนี้
ผลประโยน์ของฟลอร์เล็ตที่ k= Nτ k [ K − Lk ]+= Nτ k max {K − Lk ,0} (11.81)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 486 · หน้าพิมพ์ 474 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
474 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
โดยที่ N เป็นเงินต้นอ้างอิง (principle notation) และ K แทนอัตราดอกเบี้ยใช้สิทธิหรืออัตรา
ฟลอร์
รูปที่ 11.10 ผลประโยชน์ของพุทออปชันแบบยุโรปหรือฟลอร์เล็ต
T
∫
− rs ds
1 Pt T
กำหนดให้ P = E [e
t
T Q* t
] และ =
Ft T +∆T F (t ; T , T=
+ ∆T ) T +∆T − 1 เป็ น อั ต รา
∆T Pt
ดอกเบี้ยล่วงหน้าสำหรับ [T , T + ∆T ] ณ วันที่ t ≤ T , ผลประโยน์ของฟลอร์เล็ต flk ที่ภายใต้
1 1
อัตราดอกเบี้ยล่วงหน้
= า Fk F ( Tk −1 ;T=
k −1 , Tk ) Tk − 1 คำนวณได้ ดังนี้
τ k PTk −1
ผลประโยน์ของฟลอร์เล็ต flk= Nτ k [ K − Fk ]+= Nτ k max {K − Fk ,0} (11.82)
และมูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยน์ของฟลอร์เล็ต flk คำนวณได้จาก
0 E [ flk ] [
P0Tk E Nτ k= K − Fk ] Nτ k P0Tk E [ K − Fk ]
+ +
Floorlet
= k P=Tk
(11.83)
ค่าพรีเมียมหรือราคาของฟลอร์คือเงินที่ผู้ซื้อยินยอมจ่ายเพื่อแลกกับผลประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับใน
อนาคต ดังนั้น ภายใต้ค่าคาดหวังความเป็นกลางต่อความเสี่ยง E * ค่าพรีเมียม (ราคาของฟลอร์ที่
เวลา t = 0 ) คำนวณได้จาก
− k rs ds
T
n n
*
∫ n
+
Floor ∑
= = floorletk ∑=
*
P0 E [ flk ] N ∑τ k E e
Tk * 0
[ K − Fk ] (11.84)
= k 1= k 1 = k 1
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 487 · หน้าพิมพ์ 475 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 475
ตัวอย่างที่ 11.13 จากข้อมูลตัวอย่างที่ 11.9 จงคำนวณราคาสัญญาฟลอร์ของอัตราดอกเบี้ย
สมมติว่าต้องการคำนวณราคาสัญญาฟลอร์ (floor) ที่มีอัตราดอกเบี้ยใช้สิทธิเป็น LIBOR โดย
สัญญามีอายุประมาณ 1 ปีและมีอัตราฟลอร์ (floor rate) ที่ 5% กำหนดให้มูลค่าหน้าตั๋ว ของ
ฟลอร์ ( N ) เท่ากับ 1,000,000 บาท และมีข้อมูลที่เกี่ยวข้อง ดังนี้ อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น r (t )
, จำนวนงวดที่มีการคำนวณดอกเบี้ย n = 4 (ชำระดอกเบี้ยทุก 3 เดือน), อัตราดอกเบี้ยใช้สิทธิ
อ้างอิง Lk , อัตราฟลอร์ K ที่ 5%, ความผันผวน σ = 0.02
งวดที่ k tk k Lk r (t ) = rk
1 0.25 0.25 0.061 0.050
2 0.50 0.25 0.055 0.051
3 0.75 0.25 0.049 0.055
4 1.00 0.25 0.057 0.049
วิธีทำ จากตัวอย่างที่ 11.9 เราได้คำนวณค่าของ Pt t , P0t และ Fk สำหรับแต่ละงวดแล้วซึ่ง
k
k −1
k
เป็น
ตารางต่อไปนี้
งวดที่ k Pt t
k
k −1
P0t k
Fk
1 0.9876 0.9876 0.0505
2 0.9873 0.9751 0.0515
3 0.9863 0.9617 0.0556
4 0.9888 0.9509 0.0453
ต่อไปจะคำนวณผลประโยชน์ของฟลอร์แต่ละงวด f k = จากสูตร f k Nτ k max( K − Fk , 0)
ดังนั้น สำหรับแต่ละงวดจะได้
=f1 1, 000, 000 × 0.25 × max(0.05 − 0.0505,
= 0) 0
f 2 1, 000, 000 × 0.25 × max(0.05 − 0.0515,
= = 0) 0
=f3 1, 000, 000 × 0.25 × max(0.05 − 0.0556,
= 0) 0
f 4 1, 000, 000 × 0.25 × max(0.05 − 0.0453,
= = 0) 1,175
ต่อไปคำนวณมูลค่าปัจจุบันของผลประโยชน์ของฟลอร์แต่ละงวด Floorletk
จากสูตร Floorletk = P0t f k จะได้
k
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 488 · หน้าพิมพ์ 476 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
476 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
Floorlet1 = P0t1 × f1 = 0.9876 × 0 = 0
Floorlet2 = P0t2 × f 2 = 0.9751× 0 = 0
Floorlet3 = P0t3 × f 3 = 0.9617 × 0 = 0
Floorlet4 = P0t4 × f 4 = 0.9509 × 1,175 = 1,116.81
n
ค่าพรีเมียมหรือราคาของฟลอร์ Floor สามารถคำนวณได้ จาก Floor = ∑ Floorletk
k =1
ดังนั้น จะได้ Floor = 0 + 0 + 0 + 1,116.81 = 1,116.81 บาท
ดังนั้น ราคาของสัญญาฟลอร์ที่มีมูลค่าหน้าตั๋ว 1,000,000 บาท และมีอัตราฟลอร์ที่ 5% คือ
1,116.81 บาท
11.4.2.2 การกำหนดราคาสัญญาฟลอร์โดยใช้ตัวแบบแบล็กโชลส์
การกำหนดราคาของสัญญาฟลอร์ดอกเบี้ยโดยใช้ตัวแบบแบล็กโชลส์ เป็นการใช้ทฤษฎีการ
กำหนดราคาออปชันแบบยุโรปด้วยตัวแบบแบล็กโชลส์ในการกำหนดราคาสัญญาฟลอร์ดอกเบี้ยซึ่ง
สัญญาฟลอร์ดอกเบี้ยนี้จะมีลักษณะเหมือนกับยูโรเปียนพุทออปชัน (European put option) โดย
พิจารณาอัตราดอกเบี้ยแทนราคาหุ้นหรื อราคาสิน ทรัพย์ โดยราคาของสัญญาฟลอร์ดอกเบี ้ย จะ
เท่ากับผลรวมของราคาฟลอร์เล็ตที่มีราคาใช้สิทธิเท่ากันแต่อายุของสัญญาต่างกัน โดยราคาของ
ฟลอร์เล็ตตามตัวแบบแบล็กโชลส์ คำนวณได้ตามสูตร ดังนี้
Floorlet
= k Nτ k P0Tk KN ( − d 2k ) − Fk N ( − d1k ) (11.84)
Tk
∫
− rs ds
โดยที่ Floorletk เป็ น ราคาฟลอร์ เ ล็ ต ซึ ่ ง มี อ ายุ ค รบกํ า หนดที ่ Tk , P = E [e
t
Tk Q* 0
] เป็ น ตั ว
1 1
ประกอบส่วนลดสำหรั บช่ว ง [t ,T=
k ] , Fk F ( Tk −1 ; T=
k −1 , Tk ) Tk − 1 เป็น อัตราดอกเบี้ ย
τ k PTk −1
ล่วงหน้า (forward rate) หรืออัตราดอกเบี้ยที่คาดการณ์ในอนาคตที่จะเกิดขึ้นในวันที่ฟลอร์เล็ตที่ k
อายุครบกำหนดวันที่ Tk , K เป็นอัตราดอกเบี้ยใช้สิทธิหรืออัตราฟลอร์, N เป็นฟังก์ชันสะสมของ
การแจกแจงปกติ ม าตรฐาน, σ เป็ น ค่ า ความผั น ผวนของอั ต ราดอกเบี ้ ย , d และ d เป็ น 1
k k
2
ค่าพารามิเตอร์ที่คำนวณจากสูตรดังนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 489 · หน้าพิมพ์ 477 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 477
ln ( Fk / K ) + 0.5σ 2Tk
d =
1
k
และ d=2k d1k − σ Tk (11.85)
σ Tk
ดังนั้น ราคาฟลอร์สามารถคำนวณได้จากสูตร
n n
=k 1=
Floor
=
k 1
∑ Floorlet
= k ∑ Nτ P KN (−d ) − F N ( −d )
k 0
Tk
2 k 1 (11.86)
ตัวอย่างที่ 11.14 จากข้อมูลในตัวอย่างที่ 11.10 จงคำนวณราคาของสัญญาฟลอร์โดยใช้ตัว
แบบแบล็กโชลส์ โดยข้อมูลสำหรับสัญญาฟลอร์ของอัตราดอกเบี้ยโดยใช้ตัวแบบแบล็กโชลส์ มี
ดังนี้ จำนวน n = 4, เงินต้นอ้างอิงของ floor ( N ) = 1,000,000 บาท อัตราดอกเบี้ยตลาด (
Lk ) และอัตราดอกเบี้ยแบบผันผวน ( r (t ) = rk ), ราคาใช้สิทธิ ( K ) = 0.05 (5%) และค่าความ
ผันผวน ( σ ) = 0.02 (2%)
วิธีทำ จากตัวอย่างที่ 11.9 เราได้คำนวณค่าของ Pt t , P0t และ Fk สำหรับแต่ละงวดแล้วซึ่ง
k
k −1
k
เป็นดังตารางต่อไปนี้
งวดที่ k r (t ) = rk Ptktk−1 P0tk Fk
1 0.050 0.9876 0.9876 0.0505
2 0.051 0.9873 0.9751 0.0515
3 0.055 0.9863 0.9617 0.0556
4 0.049 0.9888 0.9509 0.0453
1) คำนวณผลประโยชน์ของแคปเล็ต Floorletk
จากสูตร = Nτ P KN ( − d ) − F N ( − d )
Floorlet k k 0
Tk k
2 k 1
k
ln ( Fk / K ) + 0.5σ 2Tk
โดยที่ Fk เป็นอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า d1k = และ d=2k d1k − σ Tk
σ Tk
ln ( F1 / K ) + 0.5σ 2t1 ln ( 0.0505 / 0.05 ) + 0.5(0.022 )(0.25)
คำนวณ d =
= 1
1 = 1.00003
σ t1 0.02 0.25
d11 − σ t1 =
d 21 = 1.00003 − 0.02 0.25 =
0.99003
N (− d11 ) = N (−1.00003) = 0.15865
N (− d 21 ) = N (−0.99003) = 0.16108
Floorlet
= k Nτ k P0Tk KN ( − d 2k ) − Fk N ( − d1k )
= 1,000,000(0.25)(0.9876)[0.05(0.16108) − 0.0505(0.15865)] =
10.41
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 490 · หน้าพิมพ์ 478 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
478 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
สำหรับ Floorletk , k = 2,3, 4 คำนวณได้ในทำนองเดียวกัน ผลลัพธ์ที่ได้แสดงในตารางต่อไปนี้
งวดที่ tk k P0tk Fk d1k d 2k N (− d1k )
N ( − d 2k ) Floorletk
k
1 0.25 0.25 0.9876 0.0505 1.00003 0.99003 0.15865 0.16108 10.43
2 0.50 0.25 0.9751 0.0515 2.09719 2.08305 0.01799 0.01862 1.16
3 0.75 0.25 0.9617 0.0556 6.13782 6.12050 0.00000 0.00000 0.00
4 1.00 0.25 0.9509 0.0453 -4.92580 -4.94580 1.00000 1.00000 1117.31
n
คำนวณค่าพรีเมียมหรือราคาของฟลอร์ Floor จากสูตร Floor = ∑ Floorletk
k =1
ดังนั้นจะได้ = 10.43 + 1.16 + 0 + 1117.31
Floor = 1,128.90
ดังนั้นราคาของสัญญาฟลอร์ ที ่มี มูล ค่าหน้าตั ๋ว 1,000,000 บาท และมีอั ตราฟลอร์ที่ 5% คือ
1,128.90 บาท
11.4.4 สัญญาคอลลาร์ของอัตราดอกเบี้ย
สั ญ ญาคอลลาร์ (collar agreement) เป็ น สั ญ ญาทางการเงิ น ที ่ ร วมการซื ้ อ สั ญ ญา
แคปและการขายสัญญาฟลอร์พร้อมกัน โดยการขายฟลอร์และการซื้อแคปจะสามารถสร้างคอลลาร์
ที่จำกัดการแกว่งตัวของอัตราดอกเบี้ยหรือราคาให้อยู่ในช่วงที่เราต้องการ เพื่อให้เข้าใจมากขึ้น
พิจารณาสมมติว่าบริษัท a มีหนี้ที่มีอัตราดอกเบี้ยแบบลอยตัว บริษัท a ต้องการจำกัดการแกว่งตัว
ของอัตราดอกเบี้ยให้อยู่ระหว่าง 2% ถึง 5% ในช่วง 5 ปีข้างหน้า ในกรณีนี้ บริษัท a สามารถสร้าง
คอลลาร์อัตราดอกเบี้ยโดยการซื้อสัญญาแคปที่ 5% และขายสัญญาฟลอร์ที่ 2% ถ้าอัตราดอกเบี้ยใน
ตลาดเพิ่มขึ้นมาอยู่ที่ 7% ผู้ขายของสัญญาแคปจะจ่ายค่าชดเชยแก่บริษัท a ส่วนต่างระหว่าง 7%
และ 5% เท่ากับ 2% อย่างไรก็ตาม ถ้าอัตราดอกเบี้ยในตลาดลดลงมาอยู่ที่ 1% บริษัท a จะต้อง
ชำระค่าชดเชยให้แก่ผู้ซื้อสัญญาฟลอร์ซึ่งส่วนต่างระหว่าง 1% และ 2% เท่ากับ 1% เป็นต้น จะเห็น
ว่าสัญญาคอลลาร์ช่วยให้บริษัท a สามารถจำกัดการแกว่งตัวของอัตราดอกเบี้ยให้อยู่ในช่วงที่ต้องการ
คือช่วงระหว่าง 2% และ 5% ไม่ว่าอัตราดอกเบี้ยในตลาดจะเปลี่ยนแปลงผันผวนมากเท่าใดก็ตาม
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 491 · หน้าพิมพ์ 479 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 479
รูปที่ 11.12 การจำกัดการแกว่งตัวของอัตราดอกเบี้ยให้อยู่ช่วงที่ต้องการโดยใช้สัญญาคอลลาร์
รูปที่ 11.11 สัญญาคอลลาร์เป็นสัญญาที่รวมการซื้อสัญญาแคปและการขายสัญญาฟลอร์พร้อมกัน
11.4.5 การกำหนดราคาของสัญญาคอลลาร์
จากนิยามของสัญญาคคอลลาร์จะพิจารณาคอลลาร์ประกอบด้วยสัญญาคอลลาร์เล็ต
(collarlet) หลาย ๆ คอลลาร์เล็ต กำหนดให้ Collarletk เป็นราคาคอลลาร์เล็ตซึ่งมีอายุครบกำหนด
ที่ Tk โดยที่
ราคาคอลลาร์เล็ต ( Collarletk ) = ราคาแคปเล็ต ( Capletk ) – ราคาฟลอร์เล็ต ( Floorletk ) (11.87)
n
และ ราคาคอลลาร์ ( Collar ) = ∑ Collarlet k (11.88)
k =1
โดยทีส่ ามารถกำหนดราคาของคอลลาร์เล็ต ได้ดังนี้
-การกำหนดราคาสัญญาคอลลาร์เล็ตด้วยตัวแบบคิดลดกระแสเงินสด
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 492 · หน้าพิมพ์ 480 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
480 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
Collarlet
= k (
P0Tk E Nτ k Fk − K cap − E Nτ k K floor − Fk
+
+
) (11.89)
-การกำหนดราคาสัญญาคอลลาร์เล็ตโดยใช้ตัวแบบแบล็กโชลส์
( ( )
Collarletk Nτ k P0Tk Fk N (d1kKcap ) − K cap N d 2cKcap − K floor N (− d 2kK floor ) − Fk N − d1kK floor
=
( ))
(11.90)
Tk
∫
− rs ds
โดยที่ Floorletk เป็ น ราคาฟลอร์ เ ล็ ต ซึ ่ ง มี อ ายุ ค รบกํ า หนดที ่ Tk , P = E [e t
Tk Q* 0
] เป็ น ตั ว
1 1
ประกอบส่ ว นลดสํ า หรั บ ช่ ว ง [t ,T=
k ] , Fk F ( Tk −1 ; T=
k −1 , Tk ) Tk − 1 เป็น อัตราดอกเบี้ ย
τ k PTk −1
ล่วงหน้าหรืออัตราดอกเบี้ยที่คาดการณ์ในอนาคตที่จะเกิดขึ้นในวันที่ฟลอร์เล็ตที่ k อายุครบกำหนด
วันที่ Tk , K และ K floor เป็นอัตราใช้สิทธิของแคปและฟลอร์ ตามลำดับ, N เป็นฟังก์ชันสะสมของ
cap
การแจกแจงปกติ ม าตรฐาน, σ เป็ น ค่ า ความผั น ผวนของอั ต ราดอกเบี ้ ย , d และ d เป็ น k
1x
k
2x
ค่าพารามิเตอร์ที่คำนวณจากสูตรดังนี้
ln ( Fk / x ) + 0.5σ 2Tk
d = k
1x และ d=
k
2x d1kx − σ Tk (11.91)
σ Tk
ตัวอย่างที่ 11.15 จากข้อมูลในตัวอย่างที่ 11.10 จงคำนวณราคาของสัญญาคอลลาร์โดยใช้ตัว
แบบแบล็กโชลส์ โดยข้อมูลสำหรับสัญญาสัญญาคอลลาร์ของอัตราดอกเบี้ย มีดังนี้ จำนวน n =
4, เงินต้นอ้างอิงของคอลลาร์ ( N ) = 1,000,000 บาท อัตราดอกเบี้ยตลาด ( Lk ) และอัตรา
ดอกเบี้ยแบบผันผวน ( r (t ) = rk ), ราคาใช้สิทธิ =
( K K=
cap K floor ) = 0.05 (5%) และค่าความ
ผันผวน ( σ ) = 0.02 (2%)
วิธีทำ เนื่องจาก ราคาคอลลาร์เล็ต ( Collarletk ) = Capletk - Floorletk
n
และ ราคาคอลลาร์ ( Collar ) = ∑ Collarlet k
k =1
และจากโจทย์ ก ํ า หนด ราคาใช้ ส ิ ท ธิ = ( K K= cap K floor ) = 0.05 โดยการใช้ ผ ลลั พ ธ์ จ าก
ตั ว อย่ า งที ่ 11.9 ตั ว อย่ า งที ่ 11.10 และตั ว อย่ า งที ่ 11.14 ค่ า ของ Pt t , P0t และ Fk , k
k −1
k
Floorletk และ Capletk สำหรับแต่ละงวด แสดงดังตารางต่อไปนี้
ตารางแสดงค่า Pt t , P0t และ Fk ,
k
k −1
k
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 493 · หน้าพิมพ์ 481 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 481
งวดที่ k r (t ) = rk Ptktk−1 P0tk Fk
1 0.050 0.9876 0.9876 0.0505
2 0.051 0.9873 0.9751 0.0515
3 0.055 0.9863 0.9617 0.0556
4 0.049 0.9888 0.9509 0.0453
ตารางแสดงค่า d1k , d 2k , N (d1k ) , N (d 2k ) , N (d1k ) , N (d 2k ) สำหรับกรณีที่ราคาใช้สิทธิของ
( K K=
= cap K floor ) = 0.05
งวดที่ k d1k d 2k N (d1k ) N (d 2k ) N (d1k ) N (d 2k )
1 1.00003 0.99003 0.841352 0.838920 0.158648 0.161080
2 2.09719 2.08305 0.982012 0.981377 0.017988 0.018623
3 6.13782 6.12050 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000
4 -4.92580 -4.94580 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000
คำนวณค่า Capletk , Floorletk และ Collarletk ทีมีราคาใช้สิทธิของ =
( K K=
cap K floor ) =
0.05 ซึ่งคำนวณได้จากสูตร
= Caplet Nτ P F N (d ) − K N (d
Tk k
) , c
k
k 0 k 1K cap cap 2 K cap
(
Floorletk Nτ k P0Tk K floor N (− d 2kK floor ) − Fk N − d1kK floor ,
=
)
และ Collarletk = Capletk - Floorletk ค่าที่ได้แสดงในตารางต่อไปนี้
Capletk Floorletk Collarletk
133.88 10.43 123.45
366.83 1.16 365.67
1346.38 0.00 1346.38
0.00 1117.31 -1117.31
n
คำนวณค่าพรีเมียมหรือราคาของคอลลาร์ Collar จากสูตร Collar = ∑ Collaretk
k =1
ดังนั้นจะได้ Collar = 123.45 + 365.67 + 1346.38 − 1117.31 = 718.19 บาท
ดังนั้นราคาของสัญญาคอลลาร์ที่มีมูลค่าหน้าตั๋ว 1,000,000 บาท โดยมีค่าใช้สิทธิของ cap ที่ 5%
และ floor ที่ 5% คือ 718.19 บาท
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 494 · หน้าพิมพ์ 482 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
482 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
11.5 สัญญาสวอปชันของอัตราดอกเบี้ย
สวอปชัน (swaption) หรือ สวอปออบชัน (swap option ) เป็นสัญญาที่ให้สิ ทธิ ที่ไม่ใช่
พันธะผูกพันแก่ผู้ถือสัญญาสวอปชันในการแลกเปลี่ยนอัตราดอกเบี้ยหรือสินทรัพย์อื่นที่เกี่ยวข้องใน
อนาคตตามเงื่อนไขที่กำหนดไว้ล่วงหน้า นั่นหมายความว่าผู้ถือสวอปชันสามารถตัดสินใจว่าจะทำ
รายการสวอปหรือไม่ตามความพอใจของตนเอง สวอปชันสามารถใช้เพื่อจัดการความเสี่ย งทาง
ดอกเบี้ยหรือความเสี่ยงในตลาดสินทรัพย์อื่น ๆ แต่สำหรับในบทนี้จะกล่าวถึงสัญญาสวอปชันของ
อัตราดอกเบี้ยเท่านั้น
เพื่อให้เข้าใจได้ชัดเจนขึ้น พิจาณากรณีต่อไปนี้ สมมติว่าบริษัทแห่งหนึ่งต้องการกู้เงินเพื่อ
ขยายธุรกิจใน 3 ปีข้างหน้า แต่บริษัทกังวลว่าอัตราดอกเบี้ยอาจเพิ่มขึ้นในระยะเวลานั้นเพื่อจัดการ
กับความเสี่ยงนี้ บริษัทสามารถซื้อสวอปชันจากธนาคารหรือสถาบันการเงินที่ขายสวอปชัน สวอปชัน
นี้จะให้สิทธิแต่ไม่ใช่พันธะผูกพันต่อบริษัทนี้ที่จะสวอปอัตราดอกเบี้ยที่คงที่กำหนดไว้ล่วงหน้ากับ
อัตราดอกเบี้ยลอยตัวในอนาคต หากใน 3 ปีข้างหน้าอัตราดอกเบี้ยในตลาดเพิ่มขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ
บริษัทนี้สามารถใช้สิทธิในสวอปชันเพื่อทำการสวอปอัตราดอกเบี้ยคงที่ที่กำหนดไว้ล่วงหน้ากับอัตรา
ดอกเบี้ยลอยตัว ในทางตรงกันข้าม หากอัตราดอกเบี้ยในตลาดลดลง บริษัทสามารถเลือกที่จะไม่ใช้
สิทธิตามที่ระบุไว้ในสัญญาสวอปชันและกู้เงินด้วยอัตราดอกเบี้ยในตลาด
จะเห็นว่า สวอปชันเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการจัดการความเสี่ยงทางดอกเบี้ ยหรือ
ความเสี่ยงในตลาดสินทรัพย์ แต่อย่างไรก็ตามการใช้สวอปชันมากไปเช่นเดียวกับเครื่องมือการจัดการ
ความเสี่ยงอื่น ๆ อาจทำให้เกิดความเสี่ยงที่ไม่คาดคิดได้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 495 · หน้าพิมพ์ 483 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 483
รูปที่ 11.12 สวอปชันเป็นสัญญาที่ให้สิทธิที่ไม่ใช่พันธะผูกพันแก่ผู้ถือสัญญาในการแลกเปลี่ยนอัตรา
ดอกเบี้ย
11.5.1 ประเภทของสวอปชัน
สวอปชั น แบ่งประเภทตามการให้ สิทธิเป็น 2 ประเภท ได้แก่ สวอปชัน ผู้ จ ่าย (payer
swaption) และ สวอปชันผู้รับ (receiver swaption)
1) สวอปชันผู้จ่าย เป็นสัญญาสวอปชันที่ให้สิทธิแต่ไม่ใช่พันธะผูกพัน แก่ผู้ถือสัญ ญา
สามารถเข้าสู่สถานะของสัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ยที่ผู้ถือจะจ่ายอัตราดอกเบี้ยคงที่และได้รับอัตรา
ดอกเบี้ยลอยตัว ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับว่าในอนาคตอัตราดอกเบี้ยลอยตัวจะสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยคงที่หรือไม่
ดังนั้น สวอปชันผู้จ่ายเป็นเครื่องมือในการประกันความเสี่ยงจากการเพิ่มขึ้นของอัตราดอกเบี้ย
2) สวอปชันผู้รับเป็นสัญญาประเภทที่ให้สิทธิแต่ไม่ใช่พันธะผูกพันแก่ผู้ถือสัญญาสามารถ
เข้าสู่สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ยที่ผู้ถือจะรับอัตราดอกเบี้ยคงที่และจ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัว ทั้งนี้
ขึ้นอยู่กับว่าในอนาคตอัตราดอกเบี้ยลอยตัวจะตํ่ากว่าอัตราดอกเบี้ยคงที่หรือไม่ ดังนั้น สวอปชันผู้รับ
เป็นเครื่องมือในการประกันความเสี่ยงจากการลดลงของอัตราดอกเบี้ย
11.5.2 การกำหนดราคาของสัญญาสวอปชัน
พิจารณาสัญญาสวอป กำหนดให้ t0 , t1 , t2 ,..., tn = T แทนจุดกำหนดช่วงเวลา (งวด) กระแส
เงิ น สดจะเกิ ด ขึ ้ น ที ่ ป ลายงวด t = t1 , t2 ,..., tn , τ k ≡ ∆ k t= tk − tk −1 และกำหนดให้ Lk = L ( tk −1 , tk )
แทนอัตราดอกเบี ้ยลอยตัว (floating rate) ในช่วง [tk −1 , tk ] , k = 1,2,..., n และให้ F แทนอัต รา
ดอกเบี้ยคงที่ (fixed rate) โดยที่ N แทนเงินต้นอ้างอิง (principle notation) ของสัญญาสวอป
tk
∫
− rs ds
1 1
และ P = E [etk Q* 0
] เป็นตัวประกอบส่วนลด=
ซึ่ง Lk tk − 1 จะได้ว่า
t
τ k Ptk −1
การจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยคงที่ที่เวลา tk จะเท่ากับ
( ∆ k T ) FN =
τ k FN , k = 1,2,..., n (11.92)
มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยคงที่ t = t เท่ากับ
0
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 496 · หน้าพิมพ์ 484 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
484 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
tk
n n ∫
− rs ds
PV fixed
=
=
tk
k t0
k 1= k 1
∑=
τ P FN ∑τ E [e k
Q* t0
FN ] (11.93)
การจ่ายของฝั่งอัตราดอกเบี้ยลอยตัวที่เวลา tk จะเท่ากับ
( ∆ k T ) Lk N =
τ k Lk N , k = 1,2,..., n (11.94)
มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยเบี้ยลอยตัว ที่เวลา t = t เท่ากับ 0
tk
n − ∫ rs ds n
PV
= ∑= τ k Pt0 Lk N ∑ τ k E [e
float
k 1
tk Q* t0
Lk N ] (11.95)
= k 1=
ดังนั้น ราคาของสวอปที่เวลา t = t0 (ในมุมมองฝั่งจ่ายดอกเบี้ยคงที)่ เท่ากับ
− ∫ rs ds
tk
n
Q*
n
swap
= PV fixed
− PV = N ∑τ k Pt0 ( Lk − F=
float tk
) N ∑ τ k E ( Lk − F ) e
t0
(11.96)
= k 1= k 1
ยิ่งไปกว่านั้นหากนิยามอัตราสวอป (swap rate) เป็นอัตราดอกเบี้ยคงที่ F swap ที่เวลา t = 0 ซึ่งทำ
n 1 1
= ∑τ P ( L − F =
ให้ swap ) 0 โดยใช้
tk
= Lk swap
tk − 1 และแก้สมการจะได้ อัตราสวอป
k =1
k 0 k
τ k Ptk −1
1 − P0tn
เท่ากับ F swap = n
(11.97)
∑τ P
k =1
k 0
tk
สำหรับสัญญาสวอปชันผู้จ่าย (payer swaption) ให้สิทธิแก่ผู้ถือสัญญาสามารถเข้าสู่สถานะ
ของสัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ยที่ผู้ถือจะจ่ายอัตราดอกเบี้ยคงที่และได้รับอัตราดอกเบี้ยลอยตัว
ดังนั้นมูลค่าปัจจุบันของผลประโยชน์สำหรับสัญญาสวอปชันผู้จ่าย ที่เวลา t = t0 เท่ากับ
− ∫ rs ds
tk
n
Q*
payer swaption
= max
Pof {swap,0} N max ∑ τ k E ( Lk − F ) e ,0
= t0
(11.98)
k =1
ดังนั้น ราคาของสวอปชันผู้จ่ายซึ่งเป็นมูลค่าปัจจุบันของผลประโยชน์สำหรับสัญญาสวอปชันผู้จ่ายที่
เวลา t = 0 คำนวณได้จาก
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 497 · หน้าพิมพ์ 485 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 485
− ∫ rs ds
tk
n
Q*
payer swaption NP0 max ∑ τ k E ( Lk − F ) e
= t0 t0
,0
k =1
t0
− ∫ rs ds
tk
− ∫ rs ds
n
Q*
Q*
= NE e 0
max ∑ τ k E ( Lk − F ) e t0
,0
(11.99)
k =1
รูปที่ 11.13 ทำสัญญาสวอปชันที่เวลาปัจจุบัน ( t = 0 ) ระยะเวลาใช้สิทธิในลักษณะออปชันของ
สัญญาสวอปชันที่เวลา t = t0
ตัวอย่างที่ 11.16 สำหรับการคำนวณราคาสวอปชันผู้จ่ายซึ่งสัญญาระบุข้อมูลที่เกี่ยวข้อง ดังนี้
เงิ น ต้ น อ้ า งอิ ง (n) = 1,000,000 บาท, จํ า นวนงวดการจ่ายดอกเบี้ย n = 4 , ระยะเวลางวด
τ k = 0.25 , อัตราดอกเบี้ยลอยตัว Lk และ อัตราดอกเบี้ยคงที่ F = 5% และ
งวดที่ k tk k Lk r (t ) = rk
1 0.25 0.25 0.061 0.050
2 0.50 0.25 0.055 0.051
3 0.75 0.25 0.049 0.055
4 1.00 0.25 0.057 0.049
จงคำนวณ
1) คำนวณมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยคงที่ ที่เวลา t = 0
2) คำนวณมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยเบี้ยลอยตัว ที่เวลา t = 0
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 498 · หน้าพิมพ์ 486 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
486 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
3) คำนวณราคาสวอปที่เวลา t = 0 (ในมุมมองฝั่งจ่ายดอกเบี้ยคงที)่
4) คำนวณอัตราดอกเบี้ยสวอป (swap rate)
5) ผลประโยชน์สำหรับสัญญาสวอปชันผู้จ่าย
6) คำนวณราคาของสวอปชันผู้จ่าย ที่เวลา t = 0
วิธีทาํ 1) คำนวณมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยคงที่
n
จากสูตร PV fixed = ∑τ k P0t FN โดยการแทนค่าข้อมูลที่โจทย์กำหนด จะได้
k
k =1
4 4
PV fixed
=
=k 1=k 1
∑
= τ k P0tk FN FN ∑τ k P0tk
(0.05)(1, 000, 000)(0.25 × 0.9876 + 0.25 × 0.9751 + 0.25 × 0.9617 + 0.25 × 0.9505)
= 48, 436.25
ดังนั้น มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยคงที่เท่ากับ 48,436.25 บาท
2) คำนวณมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยเบี้ยลอยตัว
n n
ตร PV float ∑
จากสู= = τ k P0t Lk N N ∑τ k P0t Lk โดยการแทนค่าข้อมูลที่โจทย์กำหนด จะได้
k k
= k 1= k 1
4
PV = N ∑τ P L
float
k 0
tk
k
k =1
1, 000, 000[(0.25)(0.9876)(0.061) + (0.25)(0.9751)(0.055)
+(0.25)(0.9617)(0.049) + (0.25)(0.9505)(0.057)]
= 53, 790.39
ดังนั้น มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยเบี้ยลอยตัวเท่ากับ 53,790.39 บาท
3) คำนวณราคาสวอปที่เวลา t = 0 (ในมุมมองฝั่งจ่ายดอกเบี้ยคงที่)
จากสูตร = swap PV fixed − PV float
จาก 2) และ 3) จะได้ = swap 48, 436.25 − 53, 790.39
= −5,354.14
ดังนั้น ราคาสวอปที่เวลา t = 0 เท่ากับ -5,354.14 บาท
4) คำนวณอัตราดอกเบี้ยสวอป (swap rate)
1 − P0tn
จากสูตร F swap
= n โดยการแทนค่า k , P0t จะได้
k
∑τ P
k =1
k 0
tk
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 499 · หน้าพิมพ์ 487 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 487
1 − 0.9505
F swap = 0.0511
0.25 × 0.9876 + 0.25 × 0.9751 + 0.25 × 0.9617 + 0.25 × 0.9505
ดังนั้น อัตราดอกเบี้ยสวอป (swap rate) เท่ากับประมาณ 0.0511 หรือ 5.11%
5) ผลประโยชน์สำหรับสัญญาสวอปชันผู้จ่าย
n
จากสู ต ร Pof
= payer swaption N max ∑τ k P0t ( Lk − F ), 0 โดยการแทนค่ า ข้ อ มู ล ที่
k
k =1
กำหนดให้ จะได้
4
∑τ P ( L − F ) = 0.25 × 0.9876 × (0.061 − 0.051) + 0.25 × 0.9751× (0.055 − 0.051)
k =1
k 0
tk
k
+0.25 × 0.9617 × (0.049 − 0.051) + 0.25 × 0.9505 × (0.057 − 0.051)
= 0.004390125
ดังนั้น มูลค่าปัจจุบันของผลประโยชน์สำหรับสัญญาสวอปชันผู้จ่าย ที่เวลา t = 0
Pof payer swaption =× 1, 000, 000 max(0.004390125, 0) = 4,390.13 บาท
6) คำนวณราคาของสวอปชันผู้จ่าย ที่เวลา t = 0
เนื่องจาก ราคาของสวอปชันผู้จ่าย ที่เวลา t = 0 เท่ากับ มูลค่าปัจจุบันของผลประโยชน์
สำหรับสัญญาสวอปชันผู้จ่าย ที่เวลา t = 0
ดังนั้น ราคาของสวอปชันผู้จ่าย ที่เวลา t = 0 เท่ากับ 4,390.13 บาท
บทสรุปท้ายบทที่ 11
ในบทที่ 11 นี้อธิบายถึงเครื่องมือทางการเงินที่สำคัญสำหรับการจัดการความเสี่ยงทาง
การเงิน ได้แก่ สัญญาแคป (Cap) สัญญาฟลอร์ (Floor) สัญญาคอลลาร์ (Collar) และสัญญาสวอป
ชั น (Swaption) โดยเนื ้ อหาในบทนี ้ครอบคลุมตั้งแต่ทฤษฎีพื้นฐาน ไปจนถึงการประยุกต์ใช้ใน
สถานการณ์จริง เนื้อหาสำคัญประกอบด้วย
1) ทฤษฎีพื้นฐานและกรอบแนวคิด
โดยเริ่มต้นด้วยการนำเสนอ ทฤษฎีของฮีธ-จาร์โรว์-มอร์ตัน (Heath-Jarrow-Morton
Theory) และ เมเชอร์ฟอร์เวิร์ด (Forward Measure) ซึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการทำความ
เข้าใจการกำหนดราคาและการประเมินมูลค่าของสัญญาอนุพันธ์ โดยทั้งสองทฤษฎีนี้ช่วยอธิบายการ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 500 · หน้าพิมพ์ 488 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
488 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
สร้างแบบจำลองทางการเงินในตลาดทุนที่มีความซับซ้อนและความผันผวนสูง เช่น ตลาดอัตรา
ดอกเบี้ย
2) ลักษณะและการทำงานของสัญญาแต่ละประเภท
• สัญญาแคป (Cap Agreement)
เป็นสัญญาทางการเงินที่ช่วยป้องกันความเสี่ยงจากอัตราดอกเบี้ยที่เพิ่มสูงขึ้นในอนาคต โดย
กำหนดเพดานอัตราดอกเบี้ย (Cap Rate) ที่ไม่สามารถเกินขอบเขตที่กำหนดไว้ ทำให้ผู้ถือ
สัญญาสามารถควบคุมต้นทุนการเงินในช่วงที่อัตราดอกเบี้ยมีความผันผวน
• สัญญาฟลอร์ (Floor Agreement)
เป็นสัญญาที่ช่วยป้องกันความเสี่ยงจากอัตราดอกเบี้ยที่ลดตํ่าลงเกินระดับที่กำหนดไว้ ทำให้
ผู้ถือสัญญามั่นใจได้ว่าจะได้รับผลตอบแทนขั้นตํ่า (Floor Rate) ในช่วงที่อัตราดอกเบี้ย
ลดลง
• สัญญาคอลลาร์ (Collar Agreement)
เป็นการรวมคุณสมบัติของสัญญาแคปและฟลอร์ ทำให้สามารถกำหนดขอบเขตของอัตรา
ดอกเบี้ยสูงสุดและตํ่าสุดในอนาคต โดยผู้ถือสัญญาจะได้รับประโยชน์จากการลดความผัน
ผวนของอัตราดอกเบี้ยในช่วงที่กำหนด
• สัญญาสวอปชัน (Swaption)
เป็นสัญญาออปชันที่ให้สิทธิแก่ผู้ถือในการเข้าทำสัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ยในอนาคต โดย
แบ่งเป็น 2 ประเภท ได้แก่
o Payer Swaption: ให้สิทธิเข้าทำสัญญาสวอปแบบจ่ายคงที่-รับลอยตัว
o Receiver Swaption: ให้ ส ิ ท ธิ เ ข้ า ทํ า สั ญ ญาสวอปแบบรั บ คงที่ - จ่ า ยลอยตั ว
สวอปชันช่วยให้ผู้ถือสามารถล็อกอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า และมีความยืดหยุ่นในการ
ตัดสินใจว่าจะใช้สิทธิหรือไม่ ทั้งนี้เพื่อป้องกันความเสี่ย งจากอั ตราดอกเบี ้ ย ใน
อนาคต
3) การกำหนดราคาและการประเมินมูลค่า
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 501 · หน้าพิมพ์ 489 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 489
ในบทนี ้ ย ั งกล่ า วถึ งวิ ธ ี ก ารกํ า หนดราคาและการประเมิน มูล ค่ าของสั ญ ญาแคป ฟลอร์
คอลลาร์ และสวอปชัน โดยใช้ตัวแบบทางคณิตศาสตร์และสถิติ เช่น การประเมินราคาด้วย Black-
Scholes Model และ Monte Carlo Simulation พร้อมทั้งอธิบายปัจจัยที่มีผลต่อมูลค่าของสัญญา
เช่น ระยะเวลาสัญญา อัตราดอกเบี้ยในตลาด และความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย
4) การประยุกต์ใช้ในสถานการณ์จริง
สัญญาแคป ฟลอร์ คอลลาร์ และสวอปชัน เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับการบริหารความเสี่ยง
ทางการเงินในตลาดทุนโลก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสถานการณ์ที่อัตราดอกเบี้ยมีความผันผวนสูง เช่น
การควบคุมต้นทุนการกู้ยืมระยะยาว การวางแผนการเงินเพื่อรับประกันผลตอบแทนขั้นตํ่าและการ
ลดความเสี่ยงจากการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยในอนาคต
โดยสรุปบทที่ 11 ได้ให้ภาพรวมเกี่ยวกับความหมาย การทำงาน และการประยุกต์ใช้สัญญา
แคป ฟลอร์ คอลลาร์ และสวอปชัน พร้อมทั้งเปรียบเทียบข้อดีและข้อเสียของแต่ละประเภทเพื่อช่วย
ให้ผู้อ่านสามารถเลือกใช้เครื่องมือที่เหมาะสมในการจัดการความเสี่ยงทางการเงินและการวางแผน
การเงินระยะยาวได้อย่างมีประสิทธิภาพ
เอกสารอ้างอิง
[1] Hull, J. C. (2022). Options, futures, and other derivatives (11th ed.). Pearson
Education.
[2] Sundaram, R. K., & Das, S. R. (2016). Derivatives: Principles and practice (2nd ed.).
McGraw-Hill Education.
[3] Chance, D. M., & Brooks, R. (2015). An introduction to derivatives and risk
management (10th ed.). Cengage Learning.
[4] Brigo, D., & Mercurio, F. (2006). Interest rate models: Theory and practice (2nd ed.).
Springer.
[5] Jamshidian, F. (1997). LIBOR and swap market models and measures. Finance and
Stochastics, 1(4), 293–330. https://doi.org/10.1007/s007800050022
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 502 · หน้าพิมพ์ 490 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
490 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์ [6] Rebonato, R. (2002). Modern pricing of interest-rate derivatives: The LIBOR market model and beyond. Princeton University Press. [7] Piterbarg, V., & Andersen, L. B. G. (2010). Interest rate modeling (Vol. I-III). Atlantic Financial Press. [8] Tuckman, B., & Serrat, A. (2011). Fixed income securities: Tools for today's markets (3rd ed.). Wiley. วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 503 · หน้าพิมพ์ 491 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 491
แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 11
1) กำหนดข้อมูลดังต่อไปนี้ สมมติให้อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt = 4% จำนวนปัจจัย N = 1 และ
สมมติว่าอัตราดอกเบี้ยลอยตัว Lk มีค่าเท่ากับ 5%, 4%, 3.5%, และ 4.5% สำหรับงวดที่ 1 ถึง 4
ตามลำดับ จงคำนวณ
1.1) ตัวประกอบส่วนลด PtT
1.2) อัตราอาร์ฟอร์เวิร์ดทันที f (t , T )
1.3) คำนวณราคาสวอปชันผู้จ่าย (payer swaption) ที่เวลา t = 0 โดยใช้อัตราดอกเบี้ย
คงที่ F = 6% และระยะเวลางวด τ k = 0.25
1.4) จงคำนวณมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยลอยตัว (pv of floating rate
payments)
1.5) จงคำนวณราคาสวอปที่เวลา t = 0
2) พิจารณาพันธบัตรที่มีอายุ 3 ปี เราต้องการจำลองราคาพันธบัตรในช่วงเวลาต่างๆ โดยใช้ตัวแบบ
HJM (heath-jarrow-morton) โดยสมมติว่าอัตราผลตอบแทนล่วงหน้าเริ่มต้น f (0, T ) = 4% , ค่า
ความผันผวน σ = 1.5% , วันครบกำหนด T = 3 ปี จงคำนวณหา
2.1) อัตราผลตอบแทนล่วงหน้า f (t , T ) ที่เวลา t = 1
2.2) ราคาพันธบัตร PtT ที่เวลา t = 1
3) พิจารณาตัวแบบ HJM-1 ปัจจัยเดียว ในกรณีที่ σ ′(t , T ) = σ e−κ (T −t ) โดยมีค่าพารามิเตอร์ดังนี้
อัตราดอกเบี้ยล่วงหน้าเริ่มต้น f (0, t ) = 4% , ความผันผวน σ = 1.2% , อัตราการกลับสู่ค่าเฉลี่ย
κ = 0.15 , ระยะเวลา T = 8 ปี
3.1) จงคำนวณค่าความผันผวน σ ′(t , T ) ณ เวลา t = 4 ปี
3.2) จงคำนวณอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt ณ เวลา t = 4 ปี โดยสมมติว่า X t ≈ 0.003
3.3) จงคำนวณอัตราผลตอบแทนล่วงหน้า f (t , T ) ที่เวลา t = 4
3.4) จงคำนวณราคาพันธบัตร PtT ที่เวลา t = 4
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 504 · หน้าพิมพ์ 492 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
492 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
4) บริษัท abc มีหุ้นที่จ่ายปันผล Dk สำหรับ k = 1, 2,3, 4 ที่เวลาต่าง ๆ Tk โดยมีอัตราดอกเบี้ย
ระยะสั้น rt คงที่เท่ากับ 0.05 (5%) และจ่ายปันผลตามตารางด้านล่าง
เวลา Tk (ปี) ปันผล Dk (บาท)
1 200
2 150
3 170
4 180
จงคำนวณ
4.1) มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายปันผลแต่ละงวด ณ เวลาปัจจุบัน t = 0
4.2) มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายปันผลทั้งหมด ณ เวลาปัจจุบัน t = 0
4.3) มูลค่าปัจจุบัน ของการจ่ายปันผลทั้งหมด ณ เวลาปัจจุบัน t = 0 หากคาดว่าอัตรา
ดอกเบี้ยระยะสั้นจะเพิ่มขึ้นเป็น 0.06 (6%) ในปีที่ 3 และ 4
5) พิจารณาคอลออปชันสำหรับหุ้นของบริษัทหนึ่งที่มีราคาปัจจุบัน S0 = 55 บาท อัตราดอกเบี้ย
ระยะสั ้ น rt = 0.04 (4%) ราคาการใช้ส ิทธิ (strike price) K = 50 บาท และเวลาครบกำหนด
T = 2 ปี สำหรับหุ้นดังกล่าว จงคำนวณ
5.1) มูลค่าปัจจุบันของคอลออปชันนี้โดยใช้เมเชอร์ฟอร์เวิร์ด
5.2) ราคาฟอร์เวิร์ดของคอลออปชัน fTC ในการประเมินมูลค่าของคอลออปชัน
5.3) สมมติว่าอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นเพิ่มขึ้นเป็น 0.05 (5%) หลังจากปีที่ 1 จงคำนวณมูลค่า
ปัจจุบันของคอลออปชันใหม่
5.4) เปรียบเทียบมูลค่าปัจจุบันของคอลออปชันในกรณีที่อัตราดอกเบี้ยคงที่ 0.04 (4%)
ตลอดเวลาและในกรณีที่อัตราดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นเป็น 0.05 (5%) หลังจากปีที่ 1
6) สำหรับการคำนวณราคาของคอลออปชันของหุ้นบริษัท x ณ เวลา t = 0 พิจารณาคอลออปชัน
สำหรับหุ้นบริษัท x ที่มีราคาปัจจุบัน S0 = 150 บาท อัตราดอกเบี้ย rt = 0.03 (3%) ราคาการใช้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 505 · หน้าพิมพ์ 493 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 493
สิทธิ K = 160 บาท และเวลาครบกำหนด T = 2 ปี ความผันผวน σ s = 0.25 และความสัมพันธ์
ρ = 0.4 จงคำนวณ
6.1) ราคาฟอร์เวิร์ดของหุ้นบริษัท x, fT
6.2) ค่าของ σ T
6.3) ราคาคอลออปชันที่เวลา t = 0
6.4) สมมติอัตราดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นเป็น 0.04 (4%) หลังจากปีที่ 1 จงคำนวณราคาฟอร์เวิร์ด
ใหม่ของหุ้นบริษัท x fT
6.5) เปรียบเทียบค่า σ T ในกรณีที่อัตราดอกเบี้ยคงที่และในกรณีที่อัตราดอกเบี้ยเพิ่มขึ้น
6.6) คำนวณราคาคอลออปชันใหม่ในกรณีที่อัตราดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นเป็น 0.04 (4%) หลังจาก
ปีที่ 1
7) สมมติว่าต้องการคำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของนํ้ามันดิบ wti โดยใช้พจน HJM (heath-jarrow-
morton) ที่มีการคำนวณราคาฟอร์เวิร์ด f (t , T ) สำหรับสินค้าโภคภัณฑ์โดยพิจารณาความผันผวน
ของราคาสินค้าโภคภัณฑ์ σ (t , T ) ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยกำหนดให้ ความผันผวน σ (t , T )
ของนํ้ามันดิบ wti มีค่าเท่ากับ 0.04 × e−0.3(T −t ) และเวลา T = 2 ปี
7.1) จงคำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของนํ้ามันดิบ wti โดยใช้สมการ HJM ดังนี้
( T
)
) σ (t , T ) ⋅ dZ t + σ ′(t , T ) ⋅ ∫ σ ′( s, T )ds dt
df (t , T=
t
7.2) เขียนกราฟแสดงการเคลื่อนไหวของราคาฟอร์เวิร์ดนํ้ามันดิบ wti
7.3) สมมติให้ f (0, T ) = 65 usd ต่อบาร์เรล คำนวณราคาฟอร์เวิร์ดที่เวลา t = 1 ปี
7.4) วิเคราะห์ความเสี่ยงของการลงทุนในฟิวเจอร์สของนํ้ามันดิบ wti โดยใช้ผลจากการ
คำนวณในข้อ 7.1)
8) สมมติว่าต้องการคำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของพันธบัตรที่ไม่มีคูปองที่มีมูลค่าหน้าตั๋ว 1,000 บาท ที่
จะครบกำหนดในเวลา 1 ปีนับจากปัจจุบัน โดยใช้ตัวแบบ 1-factor vasicek model โดยพิจารณา
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 506 · หน้าพิมพ์ 494 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
494 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ข้อมูลดังนี้ อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น σ = 0.01 , ค่า κ ที่ใช้ในการคำนวณมีค่า 5 ค่า ได้แก่ 0.001,
0.05, 0.1, 0.2, 0.5 และเวลา T = 1 ปี
8.1) จงคำนวณค่าความผันผวนแฝง s(T , T + ∆T ) สำหรับค่าต่าง ๆ ของ κ
8.2) เขียนกราฟแสดงการเปรียบเทียบค่าความผันผวนแฝง s(T , T + ∆T ) สำหรับค่าต่าง ๆ
ของ κ
8.3) จงคำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของพันธบัตรที่ไม่มีคูปองสำหรับแต่ละค่า κ
8.4) วิเคราะห์ผลกระทบของค่าความผันผวนแฝงต่อราคาฟอร์เวิร์ดของพันธบัตรที่ไม่มีคูปอง
9) สมมติว่าต้องการคำนวณราคาของสัญญาแคป (cap) ที่มีอัตราดอกเบี้ยอ้างอิงเป็น LIBOR โดย
สัญญาแคปนี้มีระยะเวลา 1 ปีและมีอัตราแคป (cap rate) ที่ 5% กำหนดให้มูลค่าหน้าตั๋วของแคป (
n ) เท่ากับ 1,000,000 บาท และข้อมูลที่เกี่ยวข้อง ดังนี้ อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น ( r (t ) ), จำนวนงวด
ที่มีการคำนวณดอกเบี้ย n = 4 งวด (ชำระดอกเบี้ยทุก 3 เดือน), อัตราดอกเบี้ยอ้างอิง lk , อัตรา
แคป k ที่ 5%
งวดที่ k tk k Lk r (t ) = rk
1 0.25 0.25 0.072 0.049
2 0.50 0.25 0.060 0.050
3 0.75 0.25 0.050 0.052
4 1.00 0.25 0.045 0.055
จงคำนวณ
9.1) Pt t และ P0t สำหรับแต่ละงวด
k
k −1
k
1 1
9.2) อัตราดอกเบี้ยล่วงหน้
= า Fk F ( Tk −1 ;T=
k −1 , Tk ) Tk − 1 สำหรับแต่ละงวด
τ k PTk −1
9.3) ผลประโยชน์ของแคปเล็ตในแต่ละงวด ที่คำนวณจากอัตราดอกเบี้ยลอยตัว Lk
9.4) ผลประโยชน์ของแคปเล็ตในแต่ละงวด ck ที่คำนวณจากอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า
9.5) มูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์ของแคปเล็ต Capletk (ภายใต้ความ
น่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง) ที่คำนวณจากอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 507 · หน้าพิมพ์ 495 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 495
9.6) ค่าพรีเมียมหรือราคาของแคป Cap
10) การกำหนดราคาสัญญาแคปโดยใช้ตัวแบบแบล็ ค-โชลส์ (Black-Scholes model) สมมติว่า
ต้องการคำนวณราคาของสัญญาแคป (cap) ที่มีอัตราดอกเบี้ยอ้างอิงเป็น LIBOR โดยสัญญาแคปนี้มี
ระยะเวลา 1 ปี แ ละมี อ ั ต ราแคป (cap rate) ที ่ 6% กํ า หนดให้ ม ู ล ค่ า หน้ า ตั ๋ ว ของแคปเท่ า กั บ
1,000,000 บาท และ กำหนดข้อมูลที่เกี่ยวข้อง ดังนี้ อัตราดอกเบี้ยอ้างอิง Lk , จำนวนงวดที่มีการ
คำนวณดอกเบี้ย n = 4 งวด (ชำระดอกเบี้ยทุก 3 เดือน), อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง rk ในแต่
ละงวด, อัตราแคป K ที่ 6%, ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของอัตราดอกเบี้ย σ = 0.03
งวดที่ k tk k Lk r (t ) = rk
1 0.25 0.25 0.060 0.045
2 0.50 0.25 0.055 0.050
3 0.75 0.25 0.045 0.055
4 1.00 0.25 0.056 0.060
จงคำนวณ
10.1) ผลประโยชน์ของแคปเล็ตในแต่ละงวด Capletk
10.2) ค่าพรีเมียมหรือราคาของแคป Cap
11) สำหรับการคำนวณราคาสัญญาแคปภายใต้โครงสร้างอัตราดอกเบี้ยของเกาส์ (GTSM) โดยสมมติ
ว่าพิจารณาสัญญาแคปสำหรับหุ้นอ้างอิงตามข้อมูลต่อไปนี้
- มูลค่าหน้าตั๋วของแคปเท่ากับ 2,000,000 บาท
- มีอัตราแคป (cap rate) ที่ 6%
- ระยะเวลาถึงวันครบกำหนด (time to maturity, T ) 1 ปี
- ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (volatility, σ ) 0.2
- จำนวนงวด (number of periods, n ) 4 งวด
- อัตราดอกเบี้ยในตลาด (risk-free interest rate, r ) 4%
- ค่า κ (mean reversion rate) 0.02
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 508 · หน้าพิมพ์ 496 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
496 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
- ระยะเวลาระหว่างงวด (time interval, τ k ) 0.25 ปี
- มีอัตราใช้สิทธิ R = 6% ต่อปี
จงคำนวณ
11.1) ราคาฟอร์เวิร์ดของอัตราดอกเบี้ยอ้างอิงในแต่ละงวด f (tk , T )
11.2) ค่า d1 และ d 2 สำหรับแต่ละงวด
11.3) คำนวณราคาสัญญาแคปภายใต้โครงสร้างอัตราดอกเบี้ยของเกาส์ (gtsm)
12) จงคำนวณค่าประมาณความผันผวนแฝง ( sk ) ในการกำหนดราคาสัญญาแคปโดยใช้ตัวแบบ
แบล็กโชลส์ของสัญญาแคป (cap) ที่มีอัตราดอกเบี้ยอ้างอิงเป็น LIBOR โดยสัญญาแคปนี้มีระยะเวลา
1 ปีและมีอัตราแคป (cap rate) ที่ 6% กำหนดให้มูลค่าหน้าตั๋วของแคปเท่ากับ 2,000,000 บาท
และกำหนดข้อมูลที่เกี่ยวข้อง ดังนี้ อัตราดอกเบี้ยอ้างอิง Lk , จำนวนงวดที่มีการคำนวณดอกเบี้ย
n = 4 งวด (ชำระดอกเบี้ยทุก 3 เดือน), อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง rk ในแต่ละงวด, อัตราแคป
K ที่ 6%, ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของอัตราดอกเบี้ย σ = 0.03
งวดที่ k tk k Lk r (t ) = rk
1 0.25 0.25 0.061 0.050
2 0.50 0.25 0.058 0.052
3 0.75 0.25 0.050 0.058
4 1.00 0.25 0.059 0.060
จงคำนวณ
12.1) ค่าประมาณความผันผวนแฝง ( sk ) สำหรับแต่ละงวด
12.2) ราคาฟอร์เวิร์ดของอัตราดอกเบี้ยอ้างอิงในแต่ละงวด ( f (tk , T ) )
12.3) มูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์ของแคปเลต ( Capletk ) (ภายใต้ความ
น่าจะเป็นกลางต่อความเสี่ยง)
12.4) ค่าพรีเมียมหรือราคาของแคป
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 509 · หน้าพิมพ์ 497 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 497
13) จงคำนวณราคาสัญญาฟลอร์ของอัตราดอกเบี้ย สมมติว่าต้องการคำนวณราคาสัญญาฟลอร์
(floor) ที่มีอัตราดอกเบี้ยใช้สิทธิเป็น LIBOR โดยสัญญามีอายุประมาณ 1 ปีและมีอัตราฟลอร์ (floor
rate) ที ่ 4% กํ า หนดให้ มู ล ค่ า หน้ า ตั ๋ ว ของฟลอร์ ( N ) เท่ากับ 1,000,000 บาท และมี ข้ อ มู ล ที่
เกี่ยวข้อง ดังนี้ อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น r (t ) = rk , จำนวนงวดที่มีการคำนวณดอกเบี้ย n = 4 งวด
(ชำระดอกเบี้ยทุก 3 เดือน), อัตราดอกเบี้ยใช้สิทธิอ้างอิง Lk , อัตราฟลอร์ K ที่ 4%, ความผันผวน
σ = 0.03
งวดที่ k tk k Lk r (t ) = rk
1 0.25 0.25 0.060 0.050
2 0.50 0.25 0.050 0.052
3 0.75 0.25 0.040 0.056
4 1.00 0.25 0.052 0.058
จงคำนวณ
13.1) ผลประโยชน์ของฟลอร์เลตในแต่ละงวด Floorletk
13.2) มูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์ของฟลอร์เลต Floorletk (ภายใต้
ความน่าจะเป็นกลางต่อความเสี่ยง)
13.3) ค่าพรีเมียมหรือราคาของฟลอร์
13.4) สมมติว่าความผันผวนเปลี่ยนเป็น 0.02 จงคำนวณผลประโยชน์ของฟลอร์เลตใหม่ใน
แต่ละงวด Floorletk
13.5) วิเคราะห์ผลกระทบของความผันผวนต่อราคาฟลอร์
14) จงคำนวณราคาของสัญญาฟลอร์โดยใช้ตัวแบบแบล็กโชลส์ โดยข้อมูลสำหรับสัญญาฟลอร์ของ
อัตราดอกเบี้ยโดยใช้ตัวแบบแบล็กโชลส์ มีดังนี้ จำนวนงวด n = 4 , เงินต้นอ้างอิงของ floor ( N ) =
2,000,000 บาท อัตราดอกเบี้ยตลาด ( Lk ) และอัตราดอกเบี้ยแบบผันผวน ( r (t ) = rk ), ราคาใช้
สิทธิ ( K ) = 0.04 (4%) และค่าความผันผวน ( σ ) = 0.03 (3%)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 510 · หน้าพิมพ์ 498 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
498 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
งวดที่ k tk k Lk r (t ) = rk
1 0.25 0.25 0.058 0.049
2 0.50 0.25 0.055 0.054
3 0.75 0.25 0.048 0.056
4 1.00 0.25 0.054 0.055
จงคำนวณ
14.1) ผลประโยชน์ของฟลอร์เลตในแต่ละงวด Floorletk
14.2) มูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์ของฟลอร์เลต Floorletk
14.3) ค่าพรีเมียมหรือราคาของฟลอร์
14.4) สมมติว่าความผันผวนเปลี่ยนเป็น 0.02 จงคำนวณผลประโยชน์ของฟลอร์เลตใหม่ใน
แต่ละงวด Floorletk
14.5) วิเคราะห์ผลกระทบของความผันผวนต่อราคาฟลอร์
15) สำหรับการคำนวณราคาของสัญญาคอลลาร์โดยใช้ตัวแบบแบล็กโชลส์ โดยข้อมูลสำหรับสัญญา
คอลลาร์ ข องอั ต ราดอกเบี ้ ย มี ด ั ง นี ้ จํ า นวนงวด n = 4 , เงิ น ต้ น อ้ า งอิ ง ของคอลลาร์ ( N ) =
2,500,000 บาท อัตราดอกเบี้ยตลาด ( Lk ) และอัตราดอกเบี้ยแบบผันผวน ( r (t ) = rk ) และ ค่า
ความผันผวน ( σ ) = 0.03 (3%)
งวดที่ k tk k Lk r (t ) = rk
1 0.25 0.25 0.062 0.051
2 0.50 0.25 0.054 0.053
3 0.75 0.25 0.048 0.055
4 1.00 0.25 0.058 0.057
จงคำนวณ
15.1) ผลประโยชน์ของคอลลาร์ในแต่ละงวด Collark ในกรณีที่
K cap K=
= floor 0.05(5%)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 511 · หน้าพิมพ์ 499 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 499
15.2) มู ล ค่ า ปั จ จุ บ ั น ของค่ า คาดหวั งของผลประโยชน์ ข องคอลลาร์ Collark ในกรณี ที่
K cap K=
= floor 0.05(5%)
15.3) ค่าพรีเมียมหรือราคาของคอลลาร์ ในกรณีที่ =
K cap K=
floor 0.05(5%)
15.4) ผลประโยชน์ของคอลลาร์ในแต่ละงวด Collark ในกรณีที่ K cap = 0.06(6%) และ
K floor = 0.04(4%)
15.5) มู ล ค่ า ปั จ จุ บ ั นของค่ า คาดหวั งของผลประโยชน์ของคอลลาร์ Collark ในกรณีที่
K cap = 0.06(6%) และ K floor = 0.04(4%)
15.6) ค่าพรีเมียมหรือราคาของคอลลาร์ในกรณีที่ K cap = 0.06(6%) และ
K floor = 0.04(4%)
16) สำหรับการคำนวณราคาสวอปชันซึ่งสัญญาระบุข้อมูลที่เกี่ยวข้อง ดังนี้ เงินต้นอ้างอิง ( N ) =
1,000,000 บาท, จำนวนงวดการจ่ายดอกเบี้ย n = 4 , ระยะเวลางวด τ k = 0.25 ปี, อัตราดอกเบี้ย
ลอยตัว Lk และ อัตราดอกเบี้ยคงที่ F = 5%
.งวดที่ k tk k Lk r (t ) = rk
1 0.25 0.25 0.060 0.049
2 0.50 0.25 0.052 0.051
3 0.75 0.25 0.046 0.053
4 1.00 0.25 0.056 0.055
จงคำนวณ
16.1) คำนวณมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยคงที่ ที่เวลา t = 0
16.2) คำนวณมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยลอยตัว ที่เวลา t = 0
16.3) คำนวณราคาสวอปที่เวลา t = 0 (ในมุมมองฝั่งจ่ายดอกเบี้ยคงที่)
16.4) คำนวณอัตราดอกเบี้ยสวอป (swap rate)
16.5) ผลประโยชน์สำหรับสัญญาสวอปชันผู้จ่าย ที่เวลา t = 0
16.6) คำนวณราคาของสวอปชันผู้จ่าย ที่เวลา t = 0
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 512 · หน้าพิมพ์ 500 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
500 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
17) พิจารณาโครงสร้างอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า f (t , T ) ภายใต้กรอบทฤษฎี HJM ซึ่งให้นิยามว่า
df (t , T ) α (t , T )dt + σ (t , T )dWt
=
โดย Wt เป็นมาตรฐานบราวเนียน และฟังก์ชัน σ (t , T ) = 0.01e−0.05(T −t ) ให้คำนวณพารามิเตอร์
T
α (t , T ) ตามสมการ HJM, α (t , T ) = σ (t , T ) ∫ σ (t , s)ds ที่เวลา t = 0 และ T = 2 ปี
t
T ) a (T − t ) และ a = 0.02
18) สมมุติให้อัตราดอกเบี้ยล่วงหน้าภายใต้ HJM มีฟังก์ชัน σ (t ,=
โดยกำหนด t = 1 และ T = 3 ปี จง
18.1) คำนวณ α (t , T ) จากสมการ HJM
18.2) อธิบายผลกระทบของรูปแบบ σ (t , T ) ดังกล่าวต่อความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย
ในช่วงเวลาต่าง ๆ และผลต่อการกำหนดราคาตราสารหนี้แบบ zero-coupon
19) สมมติให้ P(t , T ) คือราคาของพันธบัตรไม่มีคูปอง (zero-coupon bond) ที่เวลา t และครบ
กำหนดที่เวลา T โดยกำหนด P(0,1) = 0.95 , P(0, 2) = 0.89 และอัตราดอกเบี้ ยต่ อเนื ่ องใน
ตลาดเป็นแบบ deterministic จงคำนวณอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า (forward rate) f (0,1, 2) ที่เวลา
0 สำหรับช่วง [1,2] และอธิบายว่าอัตรานี้ใช้ประโยชน์อย่างไรในบริบทของการวัดความเสี่ยงภายใต้
forward measure
20) ให้นิยามฟังก์ชันราคาพันธบัตรแบบไม่มีคูปองเป็น P(t , T ) = e− r (T −t ) โดย r = 5% ต่อปีแบบ
ทบต่อเนื่อง และกำหนดสัญญาออปชันพันธบัตรซึ่งมี payoff ณ เวลาครบกำหนด T = 2 เป็น
max( P(T , T * ) − K , 0)
โดย T * = 3 และ K = 0.9 จงหามูลค่าปัจจุบันของออปชันดังกล่าวโดยใช้แนวคิดของ forward
measure ที่อิงกับพันธบัตร P(t , T * ) เป็น numéraire
หมายเหตุ: numéraire คือสินทรัพย์ที่ใช้เป็น "หน่วยวัดมูลค่า" เมื่อเปลี่ยน measure เพื่อทำให้
ราคาของสินทรัพย์อื่นเป็น martingale ซึ่งช่วยให้การกำหนดราคาทางคณิตศาสตร์มีความเป็นระบบ
และง่ายขึ้น
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 513 · หน้าพิมพ์ 501 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 501
21) พิจารณาสัญญาคอลออปชันสำหรับสินค้าโภคภัณฑ์ชนิดหนึ่ง (เช่น ทองคำ) ซึ่งราคาสปอตของ
สินค้าในปัจจุบันคือ S (0) = 1000 บาทต่อหน่วย และราคาฟอร์เวิร์ด F (0, T ) = 1040 สำหรับ
T = 1 ปี ในขณะที่อัตราดอกเบี้ย r (t ) มีลักษณะเป็นอัตราผันแปรตามเวลา โดยเฉลี่ยอยู่ที่ 4% ต่อ
ปีแบบทบต้นต่อเนื่อง และค่าความผันผวนของราคาสินค้าเท่ากับ σ = 20% ต่อปี
21.1) จงใช้ ส ู ต รของ Black (Black '76) คํ า นวณมู ล ค่ า คอลออปชั น ที ่ ม ี ร าคาใช้ ส ิ ท ธิ
K = 1020 และมีอายุ 1 ปี
21.2) อธิบายผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงอัตราดอกเบี้ย r (t ) ต่อราคาของออปชัน
22) บริษัทหนึ่งต้องการทำประกันความเสี่ยงราคานํ้ามันล่วงหน้าโดยใช้พุทออปชัน ซึ่งมีราคาใช้สทิ ธิ
K = 75 ดอลลาร์/บาร์เรล และราคาฟอร์เวิร์ดนํ้ามันในอีก 6 เดือนข้างหน้าเท่ากับ F (0, 0.5) = 72
ดอลลาร์/บาร์เรล โดยให้อัตราดอกเบี้ยต่อเนื่องแปรผันตามเวลาเฉลี่ย r = 3% ต่อปี และค่าความ
ผันผวน σ = 25% ต่อปี
22.1) จงคำนวณมูลค่าพุทออปชันโดยใช้ตัวแบบของ Black (Black '76) สำหรับออปชันบน
ฟิวเจอร์ส
22.2) วิเคราะห์ว่าหากอัตราดอกเบี้ยพุ่งขึ้นไปที่ 5% ต่อปี จะทำให้บริษัทควรซื้อหรือขาย
ออปชันเพิ่มขึ้นหรือไม่
23) บริษัทแห่งหนึ่ งทํ าสั ญญา Interest Rate Cap เพื่อป้องกั นความเสี่ ยงจากการกู้ ยืมในอั ตรา
ดอกเบี้ยลอยตัว โดยมีเงื่อนไขดังนี้
- Notional principal: 100 ล้านบาท
- Cap rate: 5%
- ระยะเวลา: 3 ปี จ่ายดอกเบี้ยทุก 6 เดือน
- อัตราดอกเบี้ยลอยตัวอ้างอิง: 6M-THBFIX
- สมมติ ใ ห้ อ ั ต ราดอกเบี ้ ย คาดการณ์ ใ นแต่ ล ะงวดเป็ น 5.5%, 4.8%, 6.2%, 5.1%, 5.6%,
4.9%
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 514 · หน้าพิมพ์ 502 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
502 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
23.1) จงคำนวณกระแสเงินสดที่ได้รับจากสัญญา Cap ในแต่ละงวด
23.2) วิเคราะห์ผลประโยชน์ของการใช้ Cap สำหรับบริษัทนี้ภายใต้สถานการณ์ดังกล่าว
24) นักลงทุนรายหนึ่งซื้อ Interest Rate Collar โดยมีรายละเอียด
- Notional: 50 ล้านบาท
- Cap rate: 6%, Floor rate: 4%
- ระยะเวลา: 2 ปี ชำระทุก 6 เดือน
- อัตราดอกเบี้ยลอยตัวอ้างอิง: 6M-THBFIX
- สมมติให้อัตราดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นจริงเป็น 3.5%, 4.2%, 5.8%, 6.5%
24.1) คำนวณกระแสเงินสดที่ได้รับหรือจ่ายจากสัญญา Collar ในแต่ละงวด
24.2) อธิบายว่า Collar ช่วยลดต้นทุนหรือจำกัดความเสี่ยงในมุมของนักลงทุนอย่างไร
25) พิจารณาบริษัทแห่งหนึ่งได้รับสิทธิในการทำ payer swaption ซึ่งอนุญาตให้บริษัทเข้าสู่สัญญา
แลกเปลี่ยนอัตราดอกเบี้ย โดยจ่ายดอกเบี้ยคงที่และรับดอกเบี้ยลอยตัวในอีก 1 ปีข้างหน้า (swap
เริ่มต้นใน 1 ปี) รายละเอียดของ swaption ดังนี้
- Notional amount: 200 ล้านบาท
- Fixed rate (strike rate): 3.5% ต่อปี
- อัตราดอกเบี้ยลอยตัวอ้างอิง: 6M-THBFIX
- ระยะเวลา swap หลังจากใช้สิทธิ: 2 ปี ชำระดอกเบี้ยทุก 6 เดือน
- อัตราดอกเบี้ยลอยตัวคาดการณ์ในช่วง swap: 4.2%, 3.8%, 4.5%, 4.0%
25.1) บริษัทควรใช้สิทธิ swaption หรือไม่? เพราะเหตุใด
25.2) หากใช้สิทธิ จงคำนวณกระแสเงินสดสุทธิตลอดอายุ swap
26) นักลงทุนรายหนึ่งถือ receiver swaption ซึ่งให้สิทธิรับอัตราคงที่ 5% และจ่ายอัตราดอกเบี้ย
ลอยตัว โดย swap มีระยะเวลา 3 ปี เริ่มต้นในอีก 6 เดือนข้างหน้า โดยมีข้อมูลเพิ่มเติม
- Notional: 100 ล้านบาท
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 515 · หน้าพิมพ์ 503 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 11 แคป ฟลอร์ คอลลาร์และสัญญาสวอปชัน 503
- อัตราดอกเบี้ยลอยตัวคาดการณ์: 4.3%, 5.2%, 5.6%, 5.1%, 5.4%, 5.0%
- อัตราดอกเบี้ยปัจจุบัน: 4.5% (ต่อเนื่อง)
26.1) ประเมินว่า swaption นี้มีมูลค่าในเชิงเศรษฐศาสตร์หรือไม่
26.2) วิเคราะห์ประโยชน์ของการถื อ receiver swaption ในบริบทของการบริหารพอร์ต
ลงทุน
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 516 · หน้าพิมพ์ 504 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
504 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์ วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์