บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน
หน้าพิมพ์ 137–184 · PDF 149–196
หน้า PDF 149 · หน้าพิมพ์ 137 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน
เนื้อหาประกอบด้วย
4.1 ยูโรเปียนออปชัน
4.2 ความเสมอภาคระหว่างคอลออปชันและพุทออปชัน
4.3 เงื่อนไขขอบเขตราคาของออปชัน
4.4 ราคาของออปชันตามตัวแปร
4.5 มูลค่าตามเวลาของออปชัน
4.6 การกำหนดราคายูโรเปียนออปชัน
4.7 สูตรของแบล็ก-โชลส์
บทนำ
การบริ ห ารความเสี่ ยงทางการเงิน และการออกแบบผลิตภัณฑ์การลงทุนในยุคปัจจุบัน
จำเป็นต้องอาศัยเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่สามารถจำลองพฤติกรรมของราคาสินทรัพย์และตรา
สารอนุพันธ์ได้อย่างแม่นยำ หนึ่งในเครื่องมือพื้นฐานที่มีบทบาทสำคัญในตลาดการเงินคือ ตราสาร
ออปชัน (Option) ซึ่งให้สิทธิแก่ผู้ถือในการซื้อหรือขายสินทรัพย์อ้างอิงภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด
ในบทนี ้ เราจะศึ ก ษาออปชั น ประเภทหนึ ่ ง ที ่ เ รี ย กว่ า ยู โ รเปี ย นออปชั น (European
Option) ซึ ่ งเป็ น สั ญ ญาที ่ ส ามารถใช้ ส ิ ทธิ ได้เพีย ง “ณ วัน ครบกำหนดอายุของสัญ ญา (Expiry
Date)” เท่านั้น แตกต่างจากอเมริกันออปชันที่สามารถใช้สิทธิได้ตลอดช่วงอายุของสัญญาซึ่งจะ
กล่าวถึงในบทถัดไป การกำหนดราคาของยูโรเปียนออปชันจึงสามารถวิเคราะห์ได้อย่างเป็นระบบ
โดยใช้แบบจำลองเชิงเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง แกนหลักของบทนี้คือการใช้ แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค
(Binomial Tree Model) โดยเริ่มจากกรณีง่ายในหนึ่งคาบเวลา และขยายไปสู่หลายคาบเวลา ซึ่ง
นำไปสู่ สูตรของคอกซ์–รอสส์–โรบินสไตน์ (Cox-Ross-Rubinstein: CRR Model) ที่ใช้จำลอง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 150 · หน้าพิมพ์ 138 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
138 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
เส้นทางราคาสินทรัพย์อย่างเป็นระบบภายใต้สมมติฐานของการไม่สามารถทำกำไรโดยปราศจาก
ความเสี่ยง (no-arbitrage condition)
เนื้อหาครอบคลุมหัวข้อสำคัญ ได้แก่ ความหมายและคุณสมบัติของยูโรเปียนคอลและพุทอ
อปชัน ความสัมพันธ์ระหว่างราคาคอลและพุท (Put-Call Parity) ขอบเขตราคาออปชันที่เหมาะสม
ตามทฤษฎี (Option Bounds) ผลของตัวแปรต่าง ๆ เช่น ราคาใช้สิทธิ เวลา และความผันผวนที่มีต่อ
ราคาของออปชัน การวิเคราะห์มูลค่าตามเวลา (Time Value) การคำนวณราคายูโรเปียนออปชัน
ด้วยแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค n คาบเวลา โดยที่จุดเด่นของบทนี้คือการสรุปสู่แบบจำลองราคาเวลา
ต่อเนื่องโดยใช้ สูตรของแบล็ก-โชลส์ (Black-Scholes Formula) ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญของการ
กำหนดราคายูโรเปียนออปชันในสภาวะตลาดที่ไม่มีโอกาสทำกำไรโดยปราศจากความเสี่ยง (no-
arbitrage condition) และมีคุณสมบัติตลาดที่สมบูรณ์ สูตรนี้ได้รับการยอมรับในระดับสากลและ
เป็นเครื่องมือสำคัญในการกำหนดราคาตราสารอนุพันธ์ในตลาดจริง
การเข้าใจแบบจำลองเหล่านี้ช่วยให้ผู้อ่านสามารถออกแบบผลิตภัณฑ์การเงิน เช่น สัญญา
อนุพันธ์ที่มีโครงสร้างซับซ้อน และวางกลยุทธ์การลงทุนหรือการป้องกันความเสี่ยงที่ตอบสนองต่อ
ความไม่แน่นอนของตลาดได้อย่างมีประสิทธิภาพ
4.1 ยูโรเปียนออปชัน
การกำหนดราคาออปชันโดยใช้แบบจำลองราคาตลาดอย่างง่าย หรือแบบจำลองต้นไม้
ทวิภาค 1 คาบ ในที่นี้ที่เวลา t 1 ในแบบจำลองจำลองต้นไม้ทวิภาค 1 คาบ จะหมายถึงเวลา ณ
เวลาครบกำหนด T นั่นเอง ดังนั้น ผลประโยชน์ของยูโรเปียนคอลออปชันจึงสามารถเขียนได้ในรูป
S (T ) K ; S (T ) K
max S (T ) K , 0
(4.1)
0
; S (T ) K
เพื่อความสะดวกจะแทน max S (T ) K , 0 ด้วย S (T ) K เมื่อ [ x] 0x ;; xx00 (เรียกว่ า
ฟังก์ชันส่วนบวก )
เนื่องจากผลประโยชน์มีค่าไม่เป็นลบ ดังนั้น ค่าพรีเมียมจึงมีค่ามากกว่าศูนย์และถูกจ่ายเพื่อ
ซื้อออปชันหรือซื้อสิทธิในการซื้อหรือการขายสินค้าอ้างอิง หากไม่มีการจ่ายพรีเมียมเพื่อซื้อออปชัน
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 151 · หน้าพิมพ์ 139 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 139
จะเกิดการค้ากำไร (arbitrage) โดยนักลงทุนสามารถทำกำไรได้โดยถือสัญญาออปชันและใช้สิทธิเมื่อ
ผลประโยชน์มีค่าเป็นบวก ซึ่งหากเกิดเหตุการณ์เช่นนี้แล้วจะขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้า
กำไร ในที่นี้ค่าพรีเมียมจะเป็นราคาตลาดของออปชัน เพื่อความสะดวกต่อไปจะแทน ค่าพรีเมียมของ
ยูโรเปียนคอลออปชันด้วย C โดยที่ เป็นอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องที่สมมูลกับอัตราดอกเบี้ย
E
ทบต้นต่อคาบ r นั่นคือ e 1 r
สำหรับผู้ซื้อคอลออปชัน (buyer) สมมติว่านักลงทุนยืมเงินจำนวน C บาทด้วยอัตราE
ดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เพื่อซื้อคอลออปชันจำนวน 1 สัญญา ดังนั้นที่เวลา T นักลงทุนจะได้ กำไร
จากการซื้อคอลออปชัน คำนวณได้จาก
กำไรของผู้ซื้อคอลออปชัน = ผลประโยชน์ที่รับ - หนี้ชำระคืน S (T ) K C e
E T
(4.2)
และในทางตรงกันข้ามสำหรับผู้ออกคอลออปชัน (writer) จะได้รับเงินจำนวน C บาทจากการขาย
E
คอลออปชันจำนวน 1 สัญญาและสมมติว่านำเงินที่ได้ไปลงทุนในสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยงด้วย
อัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง ดังนั้น กำไรจากการขายคอลออปชันที่ผู้ออกจะได้รับ คำนวณได้จาก
กำไรของผู้ขายคอลออปชัน =เงินสะสมที่ได้รับ - ผลประโยชน์จ่าย C e S (T ) K
E T
(4.3)
รูปที่ 4.1 ผลประโยชน์ (เส้นทึบ) และ กำไร (เส้นประ) ของคอลออปชัน
ในทำนองเดียวกันสำหรับพุทออปชัน จะแทนค่าพรีเมียมของยูโรเปียนพุทออปชันด้วย P โดย E
ผลประโยชน์ของยูโรเปียนพุทออปชัน คือ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 152 · หน้าพิมพ์ 140 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
140 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
K S (T )
(4.3)
สำหรับผู้ซื้อพุทออปชัน สมมติว่า นักลงทุนยืมเงินจำนวน P บาทด้วยอัตราดอกเบี้ยทบต้น
E
ต่อเนื่อง เพื่อซื้อพุทออปชันจำนวน 1 สัญญา ดังนั้นที่เวลา T นักลงทุนจะได้ กำไรจากการซื้อพุ
ทออปชัน เท่ากับ
K S (T ) P E eT (4.5)
และกำไรจากการขายพุทออปชันที่ผู้ออกจะได้รับ เท่ากับ
P E eT K S (T )
(4.6)
รูปที่ 4.2 ผลประโยชน์ (เส้นทึบ) และ กำไร (เส้นประ) ของพุทออปชัน
ตัวอย่างที่ 4.1 กำหนดราคาใช้สิทธิของพุทออปชัน 45 บาท และอายุของสัญญา 3 เดือน สมมติ
ว่าผู้ถือได้กำไร 3.75 บาทหลังจากใช้สิทธิ และราคาซื้อออปชัน 5.625 บาท จงหาราคาของหุ้น
อ้างอิง ณ วันใช้สิทธิ กำหนดอัตราดอกเบี้ยเงินกู้ทบต้นต่อเนื่อง 6 % ต่อปี
วิธ ีทํ า จากโจทย์ กํ า หนดให้ P 5.625 , K 45 , T 123 , 0.06 และ กํ าไร 3.75 โจทย์
E
ต้องการทราบ S (3 / 12) เนื่องจากนักลงทุนจะได้กำไรจากการซื้อพุทออปชัน เท่ากับ
K S (T ) P E eT 45 S (3 / 12) 5.625e0.06(3/12) 3.75
45 S (3 / 12) 5.625e0.06(3/12) 3.75
45 S (3 / 12) 9.46
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 153 · หน้าพิมพ์ 141 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 141
S (3 / 12) 35.54
ราคาของหุ้นอ้างอิง ณ วันใช้สิทธิ เท่ากับ 35.54 บาท
ตัวอย่างที่ 4.2 สมมติว่าคอลออปชันของหุ้นอ้างอิง a อายุของสัญญา 2 เดือน มีราคาใช้สิทธิ
110 บาท ณ วันครบกำหนด ถ้าคอลออปชันมีราคาซื้อ ณ วันที่ 30 กันยายน พ.ศ. 2557 เท่ากับ
9.75 บาท และ ราคาหุ้นอ้างอิง ณ วันเดียวกันเท่ากับ 120 บาท จงหาคำนวณว่าราคาหุ้นอ้างอิง
ควรขึ้นเป็นอย่างน้อยเท่าไรจึงจะไม่ทำให้นักลงทุนขาดทุนจากการซื้อคอลออปชัน ณ วันที่ครบ
กำหนด สมมติว่าอัตราดอกเบี้ยเงินกู้ทบต้นต่อเนื่อง 5 % ต่อปี
วิธีทำ จากโจทย์กำหนดให้ C 9.75 , K 110 , T 122 , 0.05 และ กำไร 0 (ไม่ขาดทุน)
E
โจทย์ต้องการทราบ S (2 / 12) เนื่องจากนักลงทุนจะได้กำไรจากการซื้อคอลออปชัน เท่ากับ
S (T ) K C E eT S (2 / 12) 110 9.75e0.05(2/12) 0
S (2 / 12) 110 9.75e0.05(2/12)
S (2 / 12) 110 9.83
S (2 / 12) 119.83
ราคาของหุ้นอ้างอิง ณ วันใช้สิทธิควรขึ้นเป็นอย่างน้อย 119.83 บาท
ตัวอย่างที่ 4.3 สมมติคอลออปชันของหุ้นอ้างอิงหนึ่งมีอายุครบกำหนด 6 เดือน ราคาใช้สิทธิ 40
บาท ณ วันครบกำหนด และคอลออปชันมีราคาซื้อ 4 บาท ถ้าราคาหุ้น ณ วันครบกำหนด
สามารถเป็น 38 บาท, 42 บาท หรือ 47 บาท ด้วยความน่าจะเป็น 1/3 เท่ากัน จงหาค่าคาดหวัง
ของกำไร(ขาดทุน) ของผู้ถือสัญญา กำหนดอัตราดอกเบี้ยเงินกู้ทบต้นต่อเนื่อง 7% ต่อปี
วิธีทำ จากโจทย์ กำหนดให้ C 4 , K 40 , T 126 , 0.07 ,
E
47 ; probability 1 / 3
S (6 / 12)
42 ; probability 1 / 3
โจทย์ต้องการทราบค่าคาดหวังของกำไร จะแทนด้วย
38 ; probability 1 / 3
E[Profit] เนื่องจากนักลงทุนจะได้กำไรจากการซื้อคอลออปชัน เท่ากับ S (T ) K C e , E T
47 40 7 ; probability 1 / 3
S (T ) K 42 40 2 ; probability 1 / 3
37 40
0 ; probability 1 / 3
และ C e 4e
E T 0.07(6/12)
4.14
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 154 · หน้าพิมพ์ 142 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
142 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
7 4.14 2.86 ; probability 1/ 3
จะได้ Profit S (T ) K C e 2 4.14
E T
2.14 ; probability 1/ 3
0 4.14 4.14 ; probability 1 / 3
ดังนั้น E[Profit] 1 / 3 (2.86) 1 / 3 (2.14) 1 / 3 (4.14) 1.14 บาท
4.2 ความเสมอภาคระหว่างคอลออปชันและพุทออปชัน
ความเสมอภาคระหว่างคอลออปชันและพุทออปชัน (put-call parity) เป็นสมบัติหนึ่งที่
สำคัญแสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างราคาคอลออปชันและพุทออปชัน
สมมติ ใ ห้ คอลออปชั น และพุ ท ออปชั น มี เ วลาครบกํ า หนด T และราคาใช้ ส ิ ท ธิ K
เช่นเดียวกัน พิจารณาพอร์ตการลงทุน 2 พอร์ตการลงทุน ดังนี้
พอร์ตการลงทุนที่ 1 ประกอบด้วย คอลออปชัน 1 สัญญา และ ตราสารหนี้มูลค่า Ke T
บาท
ที่ เวลา t 0 ; พอร์ตมีมูลค่า เท่ากับ C Ke E T
ที่ เวลา t T ; พอร์ตมีมูลค่า เท่ากับ S (T ) K K max S (T ), K
พอร์ตการลงทุนที่ 2 ประกอบด้วย พุทออปชัน 1 สัญญา และ หุ้น 1 หน่วย ราคา S (0)
ที่ เวลา t 0 ; พอร์ตมีมูลค่า เท่ากับ P S (0)
E
ที่ เวลา t T ; พอร์ตมีมูลค่า เท่ากับ K S (T ) S (T ) max S (T ), K
เนื่องจากมูลค่าอนาคต(ที่ เวลา t T ) ของการลงทุนทั้ง 2 พอร์ตเท่ากัน ดังนั้น มูลค่าปัจจุบันของ
พอร์ตทั้ง 2 ย่อมเท่ากัน นั่นคือ
C E KeT P E S (0) (4.7)
เรียกความสัมพันธ์ (4.7) ว่า ความเสมอภาคระหว่างคอลออปชันและพุทออปชัน
จากสมการ (4.7) สามารถจัดรูปใหม่ได้เป็น
C E P E S (0) KeT (4.8)
ซึ่งสามารถให้ความหมายได้ว่า ผลต่างระหว่างราคาคอลออปชันกับพุทออปชัน จะต้องเท่ากับ มูลค่า
ปัจจุบันของผลต่างราคาหุ้นและราคาใช้สิทธิ จะเห็นว่าการซื้อคอลออปชันพร้อมกับการออกพุทออป
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 155 · หน้าพิมพ์ 143 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 143
ชันเพื่อขายจะเทียบเท่ากับการทำสัญญาฟอร์เวิร์ดที่มีระยะเวลาใช้สิทธิ T และราคาฟอร์เวิร์ด K
ซึ่งแสดงให้เห็นได้ดังรูป
รูปที่ 4.3 ความสัมพันธ์ระหว่างคอลออปชัน พุทออปชัน และฟอร์เวิร์ด
ยิ่งไปกว่านั้นจากสมการ (4.8) จะเห็นว่า ถ้าราคาใช้สิทธิ K S (0)e แล้วจะได้ว่า
T
ราคาคอลออปชันกับราคาพุทออปชันจะเท่ากัน นั่นคือ C P E E
ทฤษฎีบท 4.1 (ความเสมอภาคระหว่างคอลออปชันและพุทออปชัน) สำหรับหุ้นซึ่งไม่มีการจ่าย
ปันผล จะได้ว่า C P S (0) Ke
E E T
พิสูจน์ จะพิสูจน์โดยข้อขัดแย้งโดยสมมติในทางตรงกันข้ามว่า C P S (0) Ke
E E T
หรือ
C E P E S (0) KeT
กรณีที่ 1 C P S (0) Ke
E E T
สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
ที่เวลา t 0
- ออกตราสารคอลออปชันและขาย 1 ตราสาร ได้รับเงิน C บาท E
- ซื้อพุทออปชัน 1 ตราสาร จ่ายเงิน P บาท E
- ซื้อหุ้น 1 หน่วย จ่ายเงิน S (0) บาท
- นำเงินที่เหลือจำนวน C P S (0) บาท ไปลงทุนในตราสารหนี้ ที่อัตราดอกเบี้ยทบ
E E
ต้นต่อเนื่อง โดยถ้า C P S (0) 0 หมายถึงลงทุนซื้อและถ้า C P S (0) 0 หมายถึง
E E E E
ยืมขาย
ดังนั้น มูลค่าของพอร์ต V (0) 0
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 156 · หน้าพิมพ์ 144 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
144 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
ที่เวลา t T
- ขายหุ้น 1 หน่วย รับเงิน S (T ) บาท
- ปิดสถานะของพุทออปชัน รับเงิน [ K S (T )] บาท
- ขายตราสารหนี้ (คืนเงิน) จากเงินลงทุน C P S (0) บาทรับเงิน (จ่ายเงิน)
E E
จำนวน C P S (0) e บาท
E E T
- ปิดสถานะของคอลออปชัน จ่ายเงิน [S (T ) K ] บาท
และเนื่องจาก [ K S (T )] [S (T ) K ] K S (T )
ดังนั้น จะได้ V (T ) S (T ) [ K S (T )] C P S (0) e [S (T ) K ]
E E T
K C E P E S (0) eT
โดยสมมติฐาน C P S (0) Ke
E E T
0 C E P E S (0) eT K 0
ดังนั้น V (T ) 0 ซึ่งเกิดข้อขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
กรณีที่ 2 C P S (0) Ke
E E T
สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
ที่เวลา t 0
- ยืมหุ้นมาขาย 1 หน่วย รับเงิน S (0) บาท
- ออกตราสารพุทออปชันและขาย 1 ตราสาร ได้รับเงิน P บาท E
- ซื้อคอลออปชัน 1 ตราสาร จ่ายเงิน C บาท E
- นำเงินที่เหลือจำนวน S (0) P C บาทไปลงทุนในตราสารหนี้อัตราดอกเบี้ยทบต้น
E E
ต่อเนื่อง
ดังนั้น มูลค่าของพอร์ต V (0) 0
ที่ เวลา t T
- ปิดสถานะของคอลออปชัน 1 ตราสาร รับเงิน [S (T ) K ] บาท
- ขายตราสารหนี้จากเงินลงทุน S (0) P C บาท รับเงิน S (0) P C e บาท
E E E E T
- ซื้อหุ้นคืน 1 หน่วย จ่ายเงิน S (T ) บาท
- ปิดสถานะของพุทออปชัน จ่ายเงิน [ K S (T )] บาท
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 157 · หน้าพิมพ์ 145 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 145
จะได้ V (T ) [S (T ) K ] S (0) P C e S (T ) [ K S (T )]
E E T
S (0) P E C E eT K ( [S (T ) K ] [ K S (T )] S (T ) K )
โดยสมมติฐาน S (0) P C Ke E E T
0 S (0) P E C E eT K 0
ดังนั้น V (T ) 0 ซึ่งเกิดข้อขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
จากทั้ง 2 กรณี จึงสรุปได้ว่า C P S (0) Ke
E E T
ตัวอย่างที่ 4.4 สมมติว่าหุ้นอ้างอิงของบริษัทหนึ่งมีราคาปัจจุบัน 30.20 บาทต่อหุ้น และสมมติว่า
ราคาของยูโรเปียนคอลออปชันของหุ้นอ้างอิงนี้ มีราคาใช้สิทธิ 30 บาท ซึ่งจะใช้สิทธิได้ในอีก 3
เดือนข้างหน้า โดยที่ราคาซื้อขายของคอลออปชันนี้เท่ากับ 5.66 บาท จงหาราคาซื้อขายของพุทอ
อปชัน ที่มีราคาใช้สิทธิ และเวลาใช้สิทธิเท่ากับคอลออปชันฉบับนี้ เมื่อกำหนดอัตราดอกเบี้ยเงินกู้
6.5% ต่อปี คิดทบต้นต่อเนื่อง
วิธีทำ จากโจทย์กำหนดให้ C 5.66 , K 30 , T 123 , 0.065 , S (0) 30.20
E
โจทย์ต้องการทราบราคาของพุทออปชัน P E
โดยใช้ทฤษฎีความเสมอภาคระหว่างคอลออปชันและพุทออปชัน ได้ว่า C P S (0) Ke E E T
นั่นคือ P C S (0) Ke 5.66 30.20 30e
E E T
4.98 บาท 0.065(3/12)
ตัวอย่างที่ 4.5 สมมติว่ายูโรเปียนคอลออปชัน และพุทออปชันของหุ้นบริษัทหนึ่งมีราคาใช้สิทธิ
230 บาท ระยะเวลาใช้สิทธิ 6 เดือน โดยที่คอลออปชันและพุทออปชันมีราคาซื้อขายที่ 50.90
บาท และ 77.80 บาท ตามลำดับ ถ้าปัจจุบันหุ้นอ้างอิงราคา 205 บาท และอัตราดอกเบี้ยเงินกู้
ทบต้นต่อเนื่อง 7% ต่อปี จงหาแนวทางการลงทุนที่ทำให้เกิดการค้ากำไรโดยปราศจากความเสี่ยง
ว ิ ธ ี ท ํ า จ า ก โ จ ท ย ์ ก ํ า ห น ด ใ ห ้ C 50.90 , P 77.80 , K 230 , T 126 , 0.07 ,
E E
S (0) 205 จะเห็ น ว่ า C P S (0) Ke
E E
เพราะว่ า C P 50.90 77.80 26.9
T E E
และ
S (0) KeT 205 230e0.07(6/12) 17.09
ดังนั้นการกำหนดราคา C และ P ไม่สอดคล้องกับความเสมอภาคระหว่างคอลออปชันและพุ
E E
ทออปชัน ซึ่งจะทำให้นักลงทุนสามารถค้ากำไรโดยปราศจากความเสี่ยงได้ โดยแนวทางการลงทุน
ดังกล่าวอาจทำได้ ดังนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 158 · หน้าพิมพ์ 146 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
146 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
ที่เวลา t 0
- ยืมหุ้นมาขาย 1 หน่วย รับเงิน 205 บาท
- ออกตราสารพุทออปชันและขาย 1 ตราสาร ได้รับเงิน 77.80 บาท
- ซื้อคอลออปชัน 1 ตราสาร จ่ายเงิน 50.90 บาท
- นำเงินที่เหลือ 231.90 บาท ไปลงทุนในตราสารหนี้อัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง 7%
ดังนั้น มูลค่าของพอร์ต V (0) 0
ที่ เวลา t 6 /12
- ปิดสถานะของคอลออปชัน 1 ตราสาร รับเงิน [S (T ) 230] บาท
- ขายตราสารหนี้จากเงินลงทุน 231.90 บาท ได้รับเงิน 231.90e 240.16 บาท
0.07(6/12)
- ซื้อหุ้นคืน 1 หน่วย จ่ายเงิน S (T ) บาท
- ปิดสถานะของพุทออปชัน จ่ายเงิน [230 S (T )] บาท
จะได้ V (6 / 12) [S (T ) 230] 240.16 S (T ) [230 S (T )]
240.16 230 10.16
นั่นคือ หากนักลงทุนลงทุนตามแนวทางนี้จะได้กำไร 3.16 บาทแน่นอนซึ่งเป็นกำไรจากการค้า
กำไร
สำหรับออปชันของหุ้นซึ่งมีการจ่ายปันผลที่มีมูลค่าปัจจุบันของเงินปันผล เท่ากับ div จะเทียบได้ 0
กับการหุ้นที่มีราคาปัจจุบัน S (0) div (ราคาส่วนลด) และถ้ามีการจ่ายปันผลด้วยอัตราทบต้น
0
ต่อเนื่อง
div
จะได้ div 0 (1 edivT ) S (0)
ดังนั้น S (0) div 0 S (0) (1 edivT ) S (0) edivT S (0)
เมื่อแทน S (0) ด้วย S (0) div และ e
0
divT
S (0) ลงในสมการ (4.8) จะได้ ความสัมพันธ์ของราคา
ออปชันดังบทแทรก 4.2 และ บทแทรก 4.3 ตามลำดับ
บทแทรก 4.2 สำหรับหุ้นซึ่งมีการจ่ายปันผลมีมูลค่าปัจจุบันเป็น div จะได้ว่า 0
C E P E S (0) div0 KeT (4.9)
พิสูจน์ พิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกับทฤษฎีบท 4.1 โดยการพิจารณา S (0) เป็น S (0) div 0
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 159 · หน้าพิมพ์ 147 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 147
บทแทรก 4.3 สำหรับหุ้นซึ่งมีการจ่ายปันผลด้วยอัตราทบต้นต่อเนื่อง div จะได้ว่า
C E P E S (0)e T KeT
div
(4.10)
พิสูจน์ ได้โดยตรงจาก บทแทรก 4.2 โดยการแทนค่า div (1 e 0
divT
) S (0)
ตัวอย่างที่ 4.6 ผู้นำเข้ารถยนต์ยี่ห้อหนึ่งจากญี่ปุ่นต้องการทำสัญญาออปชัน เพื่อซื้อเงินสกุลเยน
ในอีก 6 เดือนข้างหน้า ถ้าอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องสำหรับการลงทุนในเงินสกุลบาทไทยและ
สกุลเยนเป็น 3.5 % และ 2.5% ตามลำดับ โดยอัตราแลกเปลี่ยนเงินสกุลเยนเป็นเงินสกุลบาทไทย
ณ ปัจจุบัน เท่ากับ 2.93 เยนต่อบาท จงหาราคาใช้สิทธิของยูโรเปียนคอลและยูโรเปียนพุทออป
ชันซึ่งทำให้ C P
E E
วิ ธ ี ท ํ า ในที ่ น ี ้ จ ะพิ จ ารณา อั ต ราดอกเบี ้ ย สํ า หรั บ การลงทุ น ในเงิ น สกุ ล บาทไทยเป็ น อั ต รา
ผลตอบแทนจากการลงทุน ในสิน ทรั พย์ ที่ ปราศจากความเสี่ย ง 0.035 และอัตราดอกเบี้ ย
สำหรับการลงทุนในเงินสกุลเยนจะถูกพิจารณาเป็นอัตราปันผล 0.025 กำหนดให้ S (t ) เป็น
div
ราคาเงินเยนในสกุลบาท จากโจทย์ จะได้ T 126 , S (0) 1/ 2.93 0.3412969283 โจทย์ต้องการ
หาราคาใช้สิทธิ ( K )ของยูโรเปียนคอลและยูโรเปียนพุทออปชันซึ่งทำให้ C P จากบทแทรก E E
4.3 จะได้ C P 0.3412969283 e
E E
Ke0.025(6/12) 0.035(6/12)
นั่นคือ K 0.3412969283 e (0.0350.025)(6/12)
0.3430076863
4.3 เงื่อนไขขอบเขตราคาของออปชัน
ขอบเขตราคาของออปชัน จะช่วยให้ผู้กำหนดราคาออปชัน สามารถกำหนดราคาออปชันให้
เข้าสู่ราคาออปชันที่สอดคล้องกับ หลักการปราศจากการค้ากำไร ได้ง่ายและรวดเร็วขึ้น เพราะหาก
การกำหนดราคาไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตราคาก็ส่งผลให้เกิดการค้ากำไรโดยปราศจากความ
เสี่ยง เงื่อนไขขอบเขตราคาของออปชัน เป็นไปตามอสมการในทฤษฏีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 4.4 สำหรับหุ้นที่ไม่มีการจ่ายปันผล จะได้ว่า ราคาของออปชัน C และ P จะ E E
สอดคล้องตามอสมการต่อไปนี้
S (0) KeT C E S (0)
(4.11)
และ
KeT S (0) P E KeT
(4.12)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 160 · หน้าพิมพ์ 148 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
148 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
พิสูจน์ จะแสดงเฉพาะอสมการ (4.11) เท่านั้น ที่เหลือจะขอละไว้เป็นแบบฝึกหัดสำหรับผู้อ่าน
โดยจะแสดงว่า 1) C S (0) และ 2) C S (0) Ke
E E T
1) สมมติโดยเพื่อให้เกิดข้อแย้งว่า C S (0) สามารถทำธุรกรรม ได้ดังนี้
E
ที่เวลา t 0
- ออกคอลออปชัน เพื่อขาย 1 สัญญา รับเงิน C บาท E
- ซื้อหุ้น 1 หน่วย จ่ายเงิน S (0) บาท
- นำเงินที่เหลือ C S (0) บาทไปลงทุนในตราสารหนี้อัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง
E
จะได้ V (0) 0
ที่เวลา t T
- ขายหุ้น 1 หน่วย รับเงิน S (T ) บาท
- รับเงิน C S (0) e จากการลงทุนในตราสารหนี้
E T
- ปิดสถานะของคอลออปชัน จ่ายเงิน [S (T ) K ] บาท
จะได้ V (T ) S (T ) C S (0) e [S (T ) K ]
E T
min S (T ), K C E S (0) eT 0
ซึ่งขัดแย้งกับ หลักการปราศจากการค้ากำไร ดังนั้น C S (0) E
2) เพราะว่า C , P 0 และจากสมการความเสมอภาคของราคาออปชัน
E E
C E S (0) KeT P E S (0) KeT
นั่นคือ C max 0, S (0) Ke S (0) Ke
E T T
จาก 1) และ 2) จึงสรุปได้ว่า S (0) Ke C S (0)
T E
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 161 · หน้าพิมพ์ 149 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 149
รูปที่ 4.4 ขอบเขตของราคาคอลออปชันและพุทออปชัน
บทแทรก 4.5 สำหรับหุ้นที่มีการจ่ายปันผลมีมูลค่าปัจจุบันเป็น div จะได้ว่า ราคาของออปชัน
0
CE และ P จะสอดคล้องตามอสมการต่อไปนี้
E
S (0) div 0 KeT C E S (0) div 0
(4.13)
และ T E
Ke S (0) div 0 P Ke
T
(4.14)
พิสูจน์ พิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกับทฤษฎีบท 4.4 โดยการพิจารณา S (0) เป็น S (0) div 0
4.4 ราคาของออปชันตามตัวแปร
ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงราคาของออปชันเมื่อพิจารณาตัวแปรใดตัวหนึ่งต่อไปนี้ ได้แก่ จำนวน
หน่วยของหุ้นที่ออปชันให้สิทธิซื้อ(ขาย) และ ราคาใช้สิทธิ K มีการเปลี่ยนแปลงโดยตัวแปรที่เหลือ
จะถูกกำหนดให้คงที่ ภายใต้ระยะเวลาครบกำหนด T เช่นเดียวกัน การทราบถึงลักษณะของการ
เปลี่ยนแปลงดังกล่าว จะทำให้สามารถกำหนดราคาออปชันที่ลู่เข้าสู่ราคาที่สมดุลซึ่งเป็นราคาที่ไม่ทำ
ให้เกิดการค้ากำไรโดยปราศจากความเสี่ยงได้รวดเร็วขึ้น
ทฤษฎีบท 4.6 (ราคาใช้สิทธิแปรเปลี่ยน) กำหนดให้ C ( K ) และ P ( K ) เป็นราคาของคอลออปชัน
E E
และพุทออปชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรราคาใช้สิทธิ K ถ้า K และ K เป็นราคาใช้สิทธิของออป
1 2
ชันที่เวลา T ซึ่ง K K แล้ว จะได้ว่า
1 2
C E ( K1 ) C E ( K 2 ) (4.15)
และ P E ( K1 ) P E ( K 2 ) (4.16)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 162 · หน้าพิมพ์ 150 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
150 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
พิสูจน์ จะพิสูจน์เฉพาะ (4.15) เท่านั้นที่เหลือขอละไว้เป็นแบบฝึกหัดสำหรับผู้อ่าน
กำหนดให้ K K สมมติว่าในทางตรงกันข้ามว่า C ( K ) C ( K )
1 2
E
1
E
2
ที่เวลา t 0
- ออกคอลออปชันที่มี ราคาใช้สิทธิ K ขาย 1 สัญญา รับเงิน C ( K ) บาท
2
E
2
- ซื้อคอลออปชันที่มี ราคาใช้สิทธิ K จำนวน 1 สัญญา จ่ายเงิน C ( K ) บาท
1
E
1
- นำเงินที่เหลือ C ( K ) C ( K ) บาทไปลงทุนในตราสารหนี้อัตราดอกเบี้ยทบต้น
E
2
E
1
ต่อเนื่อง
จะได้ V (0) 0
ที่เวลา t T
- ปิดสถานะของคอลออปชันราคาใช้สิทธิ K รับเงิน [S (T ) K ] บาท 1 1
- ปิดสถานะของคอลออปชันราคาใช้สิทธิ K จ่ายเงิน [S (T ) K ] บาท 2 1
- รับเงิน C ( K ) C ( K ) e จากการลงทุนในตราสารหนี้
E
2
E
1
T
จะได้ V (T ) [S (T ) K ] [S (T ) K ] C ( K ) C ( K ) e
1
2
E
2
E
1
T
( S (T ) K1 ) ( S (T ) K 2 ) C E ( K 2 ) C E ( K1 ) eT
( K 2 K1 ) C E ( K 2 ) C E ( K1 ) eT 0
ซึ่งขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร ดังนั้น C ( K ) C ( K ) E
1
E
2
ทฤษฎีบท 4.6 ทำให้ทราบว่าถ้ากำหนดราคาใช้สิทธิสูงขึ้น ราคาของคอลออปชันหรื อค่า
พรีเมียมจะถูกลง แต่ตรงกันข้ามกับพุทออปชันซึ่งที่ราคาใช้สิทธิสูงขึ้นค่าพรีเมียมจะแพงขึ้น
สมมติให้ ออปชัน 1 สัญญาให้สิทธิซื้อ(ขาย)หุ้นได้จำนวน x หน่วยที่ราคา S (0) โดยมีราคา
ใช้สิทธิสำหรับหุ้น x หน่วยเท่ากับ K บาท ต่อไปจะพิจารณาค่าพรีเมียมของออปชันเมื่อจำนวนหุ้น
x ที่ออปชันให้สิทธิมีการเปลี่ยนแปลง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 163 · หน้าพิมพ์ 151 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 151
ทฤษฎีบท 4.7 (จำนวนหุ้นในสิทธิแปรเปลี่ยน) กำหนดให้ C ( x) และ P ( x) เป็นราคาของคอ E E
ลออปชันและพุทออปชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรจำนวนหน่วยที่ตราสารให้สิทธิซื้อ (ขาย) x หน่วย
โดยมีราคาใช้สิทธิสำหรับจำนวนหน่วยดังกล่าวเท่ากับ K ที่เวลาใช้สิทธิ T ถ้า x และ x เป็น 1 2
จำนวนหุ้นที่ออปชันให้สิทธิซื้อ (ขาย) ซึ่ง x x แล้ว จะได้ว่า 1 2
C E ( x1 ) C E ( x2 ) (4.17)
และ P E ( x1 ) P E ( x2 ) (4.18)
พิสูจน์ จะพิสูจน์เฉพาะ (4.17) เท่านั้นที่เหลือขอละไว้เป็นแบบฝึกหัดสำหรับผู้อ่าน
กำหนดให้ x x สมมติว่าในทางตรงกันข้ามว่า C ( x ) C ( x )
1 2
E
1
E
2
ที่เวลา t 0
- ออกคอลออปชันที่ให้สิทธิซื้อหุ้นจำนวน x หน่วย ขายสัญญา รับเงิน C ( x ) บาท
1
E
1
- ซื้อคอลออปชันที่ให้สิทธิซื้อหุ้นจำนวน x หน่วย จ่ายเงิน C ( x ) บาท
2
E
2
- นำเงินที่เหลือ C ( x ) C ( x ) บาทไปลงทุนในตราสารหนี้อัตราดอกเบี้ยทบต้น
E
1
E
2
ต่อเนื่อง
จะได้ V (0) 0
ที่เวลา t T
- ปิดสถานะคอลออปชันที่ให้สิทธิซื้อหุ้นจำนวน x หน่วย รับเงิน [ x S (T ) K ] บาท 2 2
- ปิดสถานะคอลออปชันที่ให้สิทธิซื้อหุ้นจำนวน x หน่วย จ่ายเงิน [ x S (T ) K ] บาท1 1
- รับเงิน C ( x ) C ( x ) e จากการลงทุนในตราสารหนี้
E
1
E
2
T
จะได้ V (T ) [ x S (T ) K ] [ x S (T ) K ] C ( K ) C ( K ) e
2
1
E
2
E
1
T
( x2 S (T ) K ) ( x1 S (T ) K ) C E ( K 2 ) C E ( K1 ) eT
( x2 x1 ) S (T ) C E ( K 2 ) C E ( K1 ) eT 0
ซึ่งขัดแย้งกับ หลักการปราศจากการค้ากำไร ดังนั้น C ( x ) C ( x ) E
1
E
2
ทฤษฎีบท 4.7 ทำให้ทราบว่า ถ้าจำนวนหน่วยหุ้นที่ออปชันให้สิทธิซื้อ (ขาย) เพิ่มมากขึ้น
ค่าพรีเมียมหรือราคาของคอลออปชันจะแพงขึ้น แต่ตรงกันข้ามกับพุทออปชันซึ่งค่าพรีเมียมจะถูกลง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 164 · หน้าพิมพ์ 152 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
152 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
4.5 มูลค่าตามเวลาของออปชัน
ภาวะเงิน (moneyness) เป็นตำแหน่งความสัมพันธ์ของราคาปัจจุบันหรือราคาอนาคตของ
สินค้าอ้างอิงในที่นี้คือ หุ้น เทียบกับราคาใช้สิทธิของออปชัน ซึ่งประกอบด้วย 3 ภาวะคือ ภาวะกำไร
แฝง (in the money : itm) ภาวะขาดทุนแฝง (out of the money : otm) และภาวะคุ้มทุนแฝง
( at the money: atm) ทำให้สามารถบ่งบอกได้ว่าออปชัน ณ ขณะเวลานั้นๆ อยู่ในภาวะเงินใดเพื่อ
ใช้ตัดสินใจในการลงทุนของนักลงทุน
บทนิยาม 4.8 (ภาวะเงิน) กำหนดให้ 0 t T เป็นเวลา สำหรับออปชันที่มีราคาใช้สิทธิ K จะ
กล่าวว่า
คอลออปชัน ที่เวลา t อยู่ในภาวะ และพุทออปชัน ที่เวลา t อยู่ในภาวะ
- กำไรแฝง ถ้า S (t ) K - กำไรแฝง ถ้า S (t ) K
- ขาดทุนแฝง ถ้า S (t ) K - ขาดทุนแฝง ถ้า S (t ) K
- คุ้มทุนแฝง ถ้า S (t ) K - คุ้มทุนแฝง ถ้า S (t ) K
จากบทนิยาม 4.8 ที่เวลา t ใด ๆ คอลออปชันจะอยู่ในภาวะกำไรแฝง ถ้าราคาหุ้นสูงกว่า
ราคาใช้สิทธิ คอลออปชันจะอยู่ในภาวะขาดทุนแฝง ถ้าราคาหุ้นตํ่ากว่าราคาใช้สิทธิ และคอลออป
ชันจะอยู่ภาวะคุ้มทุนถ้าราคาใช้สิทธิเท่ากับราคาใช้สิทธิ ส่วนพุทออปชันจะเงื่อนไขที่ทำให้เกิดภาวะ
เงินที่สวนทางกับภาวะเงินของคอลออปชันตามนิยาม
บทนิยาม 4.9 กำหนดให้ K เป็นราคาใช้สิทธิของออปชัน เรียก S (t ) K ที่เวลา t T ใดๆ
ว่ามูลค่าแฝง (intrinsic value) ของคอลออปชันและเรียก K S (t ) ว่ามูลค่าแฝงของพุทออปชัน
จากบทนิยาม 4.9 จะเห็นว่า มูลค่าแฝงของออปชันเป็นบวกเมื่อออปชันจะอยู่ในภาวะกำไร
แฝงและมูลค่าแฝงเท่ากับศูนย์เมื่อออปชันจะอยู่ในภาวะขาดทุนแฝงหรือคุ้มทุนแฝง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 165 · หน้าพิมพ์ 153 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 153
บทนิยาม 4.10 กำหนดให้ K เป็นราคาใช้สิทธิของออปชัน มูลค่าตามเวลา (the time value)
ของออปชันคือผลต่างของราคาออปชันกับมูลค่าแฝงของออปชัน นั่นคือ
- มูลค่าตามเวลาสำหรับคอลออปชัน เท่ากับ C (t ) S (t ) K
E
- มูลค่าตามเวลาสำหรับพุทออปชัน เท่ากับ P (t ) K S (t )
E
มูลค่าตามเวลาของออปชันจะบ่งบอกถึงกำไร และ ขาดทุนที่เวลาต่างๆจากการลงทุนในออปชัน
รูปที่ 4.5 มูลค่าตามเวลาของคอลออปชัน รูปขวามือเปรียบเทียบราคาของคอลคอปชั่นกับมูลค่าแฝง
รูปที่ 4.6 มูลค่าตามเวลาของพุทออปชัน รูปขวามือเปรียบเทียบราคาของพุทคอปชั่นกับมูลค่าแฝง
4.6 การกำหนดราคายูโรเปียนออปชัน
ทฤษฎี บท 4.11 กํ า หนดให้ T เป็ น ระยะเวลาครบกำหนด และสมมติว ่ามีพอร์ตการลงทุ น
[ x(t ), y (t )] สำหรับ 0 t T ที่ซึ่ง V (T ) D(T ) จะได้ว่าราคาออปชัน D(0) V (0)
พิสูจน์ สมมติในทางตรงกัยข้ามว่า D(0) V (0)
ถ้า D(0) V (0)
ที่เวลา t 0 ทำธุรกรรมโดย
- ออกและขายออปชัน 1 สัญญา รับเงิน D(0) บาท
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 166 · หน้าพิมพ์ 154 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
154 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
- ถือสถานะลองของสินทรัพย์ [ x, y] จ่ายเงิน V (0) บาท
- นำเงินที่เหลือ D(0) V (0) 0 บาทไปลงทุนในตราสารหนี้อัตราดอกเบี้ยทบต้น
ต่อเนื่อง
จะได้ V New (0) 0
ที่เวลา t T ทำธุรกรรมโดย
- ปิดสถานะลองของสินทรัพย์ [ x, y] รับเงิน V (T ) บาท
- ปิดสถานะออปชันจ่ายผลประโยชน์ D(T ) บาท
- รับเงิน D(0) V (0) e จากการลงทุนในตราสารหนี้
T
จะได้ V New (T ) V (T ) D(T ) D(0) V (0) eT D(0) V (0) eT 0
ถ้า D(0) V (0) สามารถทำธุรกรรมได้ในทำนองเดียวกันโดยถือสถานะตรงข้าม
จากทั้ง 2 กรณีจะได้ V New (T ) 0 ซึ่งขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
จึงสรุปได้ว่า D(0) V (0)
4.6.1 แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค
ให้ T เป็นระยะเวลาครบกำหนดของออปชัน กำหนดให้ S (t ) แทนราคาหุ้น(หุ้นอ้างอิง)ที่
เวลา t 1, 2,... โดยที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลง K (n) ud ;; , n 1, 2,... และ r เป็นอัตราดอกเบี้ย
ทบต้นของการลงทุนในสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยง(ตราสารหนี้) และกำหนดให้ f (S ) เป็น
ผลประโยชน์ของออปชั น นั ่ น คื อ f ( S ) [S K ] สำหรับ คอลออปชั น และ f ( S ) [ K S ]
สำหรับพุทออปชัน และ กำหนดให้ D(T ) f S (T ) โดยที่ D(0) ราคาของออปชัน
แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 1 คาบเวลา
พิจารณาจำลองต้นไม้ทวิภาค 1 คาบเวลา สมมติว่ามีพอร์ตการลงทุน [ x(t ), y(t )] สำหรับ
t 0,1 ที่ซึ่ง V (1) D(1) ดังนั้นจะได้ x(1) S (1) y (1) A(1) f ( S (1)) นั่นคือ
x(1)(1 u ) S (0) y (1)(1 r ) A(0) f ( Su ) (1)
และ x(1)(1 d ) S (0) y (1)(1 r ) A(0) f ( S d ) (2)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 167 · หน้าพิมพ์ 155 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 155
โดยการแก้ระบบสมการ (1) และ (2) จะได้
f ( Su ) f ( S d )
x(1)
(u d ) S (0)
และ y(1) (1 u()uf(Sd )(1
) (1 d ) f ( S )
d
r ) A(0)
u
ดังนั้นถ้ากำหนดให้
f ( Su ) f ( S d ) (1 u ) f ( S d ) (1 d ) f ( Su )
x(t ), y (t ) , สำหรับทุกๆ t 0,1
(u d ) S (0) (u d )(1 r ) A(0)
จะได้ว่า x(t ), y(t ) เป็นพอร์ตการลงทุนที่ทำให้ V (1) D(1)
โดยทฤษฎีบท 4.11 ได้ว่า D(0) V (0) นั่นคือ
D(0) x(0) S (0) y (0) A(0)
f ( Su ) f ( S d ) (1 u ) f ( S d ) (1 d ) f ( Su )
S (0)
A(0)
(u d ) S (0) (u d )(1 r ) A(0)
f ( Su ) f ( S d ) (1 u ) f ( Sd ) (1 d ) f ( Su )
(u d )
(u d )(1 r )
(4.19)
จะเห็นว่าราคาออปชัน D(0) นั้นไม่ขึ้นกับราคาปัจจุบันของตราสารหนี้ แต่ยังขึ้นอยู่กับราคาปัจจุบัน
ของหุ้นหรือราคาสินค้าอ้างอิง ( S (1 u)S (0) และ S (1 d )S (0) ) ดังนั้นสามารถเขียน
u d
D(0) ตามสูตร (4.19) ในรูป
D(0) xS (0) y (4.20)
เมื ่ อ x, y f ((uS) d)Sf (0)
u ( S ) (1 u ) f ( S ) (1 d ) f ( S )
d
, d
(u d )(1 r )
u ซึ ่ ง เรี ย ก พอร์ ต การลงทุ น [ x, y ] นี้ ว่ า
พอร์ตการลงทุนการจำลอง (replicating portfolio) สำหรับการกำหนดราคาออปชัน โดยที่สามารถ
พิจารณา y เป็นจำนวนตราสารหนี้ที่มีราคาปัจจุบันเท่ากับ 1 บาท ต่อหน่วย ซึ่งเท่ากับมูล ค่ า
ปัจจุบันของตราสารหนี้ที่ราคาปัจจุบันใดๆ นั่นเอง
Cu [ Su K ] ; probabity p
กำหนดให้ C (1)
Cd [ S d K ] ; probabity 1 p
Pu [ K Su ] ; probabity p
และ P(1)
Pd [ K S d ] ; probabity 1 p
ดังนั้น จาก (4.19) จะได้ราคาออปชัน ดังนี้
Cu Cd (1 u )Cd (1 d )Cu
ราคาคอลออปชัน C E (0)
ud
(u d )(1 r )
(4.21)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 168 · หน้าพิมพ์ 156 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
156 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
Pu Pd (1 u ) Pd (1 d ) Pu
และ ราคาพุทออปชัน P E (0)
ud
(u d )(1 r )
(4.22)
โดยทฤษฎีบท 2.14 ถ้า p * เป็นความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง นั่นคือ p* ur dd
จะได้ ราคาคอลออปชัน C E (0) (1 r )1 E *C (1) (4.23)
และ ราคาพุทออปชัน P E (0) (1 r )1 E * P (1) (4.24)
เมื่อ E * เป็นค่าคาดหวังความเป็นกลางต่อความเสี่ยง นั่นคือ
1
D(0)
1 r
p * f ( Su ) (1 p*) f ( Sd ) (1 r )1 E * f ( S (1)) (4.25)
รูปที่ 4.7 ราคาของออปชัน D(0) เท่ากับมูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์
ตัวอย่างที่ 4.7 กำหนดให้ r 0.015 , S (0) K 1 บาท จงคำนวณหาราคา C (0) ของคอ E
ลออปชั น โดยใช้ แ บบจํ า ลองราคาต้ น ไม้ ท วิ ภ าค 1 คาบเวลา เมื ่ อ กํ า หนดให้ u 0.04 และ
d 0.06
วิธีทำ คำนวณความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงได้ p* 0.00 20.06
0.06
0.75
และ S (1) 11 0.06;
0.04; probabity 0.75 1.04; probabity 0.75
probabity 0.25 0.94; probabity 0.25
ต่อไปคำนวณผลประโยชน์ของคอลออปชัน คือ
0.04; probabity 0.75
f ( S (1)) [ S (1) K ] [ S (1) 1]
0 ; probabity 0.25
โดยสูตร (4.24) จะได้
C E (0) (1 r )1 E * f ( S (1)) (1 0.015)1 0.04(0.75) 0(0.25) 0.02955665
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 169 · หน้าพิมพ์ 157 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 157
ตัวอย่างที่ 4.8 สมมติให้ S (0) K 100 บาท, u 0.1 , d 0.01 และ r 0.06 โดยทุกครั้งที่มี
การขายหุ้นจะต้องจ่ายค่านายหน้าซื้อขาย (commission) 0.25% ของมูลค่าหุ้นที่ขาย จงคำนวณ
กำไรที่ผู้ซื้อคอลออปชันได้รับ
วิธีทำ คำนวณความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงได้ p* 0.06 0.01
0.1 0.01
0.5556
และ S (1) 100(1 0.1) ; probabity 0.5556 110 ; probabity 0.5556
100(1 0.01); probabity 0.4444 101 ; probabity 0.4444
ต่อไปคำนวณผลประโยชน์ของคอลออปชัน คือ
10 ; probabity 0.5556
f ( S (1)) [ S (1) K ] [ S (1) 100]
1 ; probabity 0.4444
โดยสูตร (4.25) จะได้
C E (0) (1 r )1 E * f ( S (1)) (1 0.06)1 10(0.5556) 1(0.4444) 5.6608
เนื่องจากการขายหุ้นมีค่านายหน้าซื้อขายเกิดขึ้น ดังนั้นกำไรที่ผู้ซื้อคอลออปชันได้รับ เท่ากับ
S (1) K C E (1 r ) commission= S (1) 100 5.6608(1 0.06) 0.02S (1)
10 ; 110 ;
5.6608(1.06) 0.02
1 ; 101 ;
1.7996 ;
7.0204 ;
ตัวอย่างที่ 4.9 กำหนดให้ S (0) 100 , K 95 , u 0.1 และ d 0.1 และสมมติว่าอัตรา
ดอกเบี้ยจากการลงทุนที่ปราศจากความเสี่ยงเท่ากับ 8% จงคำนวณหามูลค่าของพอร์ตการลงทุน
การจำลองสำหรับคอลออปชันและพุทออปชัน พร้อมทั้งคำนวณหาราคาของคอลและพุทออปชัน
วิธีทำ จากโจทย์จะได้ S (1) 100(1 0.1) ; 110 ;
100(1 0.1) ; 90 ;
และผลประโยชน์สำหรับคอลออปชัน f ( S ) [S 95] 15 ;
0 ;
คำนวณหาพอร์ตการลงทุนการจำลองสำหรับคอลออปชันตามสูตร (4.24) ได้
15 0 (1 0.1)0 (1 0.1)15
[ x, y ] , 0.75, 62.50
(0.1 0.1)100 (0.1 0.1)(1 0.08)
โดยสูตร (4.23) จะได้
C E (0) xS (0) y 0.75(100) 62.50 12.50 บาท
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 170 · หน้าพิมพ์ 158 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
158 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
ต่อไปคำนวณหาพอร์ตการลงทุนการจำลองสำหรับพุทออปชัน เนื่องจากผลประโยชน์สำหรับพุท
ออปชัน f ( S ) [95 S ] 50 ;; ดังนั้น พอร์ตการลงทุนการจำลองสำหรับพุทออปชัน คือ
05 (1 0.1)5 (1 0.1)0
[ x, y ] , 0.25, 25.4630
(0.1 0.1)100 (0.1 0.1)(1 0.08)
ซึ่งทำให้ได้ P E (0) xS (0) y 0.25(100) 25.4630 0.4630 บาท
แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 2- คาบเวลา
ต่อไปจะกำหนดราคาตราสารออปชันโดยใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 2 คาบเวลา (2-step
model) พิจารณาแผนภาพต้นไม้ทวิภาค 2 คาบเวลา ต่อไปนี้
(ก) (ข) (ค)
รูปที่ 4.7 ต้นไม้ทวิภาค 2 คาบเวลา
จากต้นไม้ตามรูปที่ 4.7 จะได้ว่า S (1) มีค่าที่เป็นไปได้ 2 ค่า คือ
Su (1 u ) S (0) และ S (1 d )S (0)
d
และราคา S (2) มีค่าที่เป็นไปได้ 3 ค่า คือ
Suu (1 u ) 2 S (0) , Sud (1 u )(1 d ) S (0) และ S (1 d ) S (0)
dd
2
สามารถหาราคาออปชันแต่ละขั้วในแต่ละต้นไม้ย่อยโดยประยุกต์ใช้ต้นไม้ทวิภาค 1 คาบเวลา และ
ทฤษฎีบท 4.11 ดังนี้ เนื่องจากผลประโยชน์ D(2) f (S (2)) จากรูปที่ 4.7(ก) และ 4.7(ข) และ สูตร
(4.24) จะได้ ราคาออปชัน D(1) เป็นไปได้ 2 ค่า คือ
1 1
Du (1) p * f ( Suu ) (1 p*) f ( Sud ) , Dd (1) p * f ( Sud ) (1 p*) f ( Sdd )
1 r 1 r
โดยใช้การทำซํ้า (replication procedure) จากรูป 4.7 (ค) จะได้ ราคาออปชัน D(0) คือ
D(0) (1 r )1 E * fS (1)) (1 r )1 E * D(1)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 171 · หน้าพิมพ์ 159 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 159
(1 r )1 p * Du (1) (1 p*) Dd (1)
(1 r )2 p * p * f ( Suu ) (1 p*) f ( Sud ) (1 p * ) p * f ( Sud ) (1 p*) f ( S dd )
(1 r )2 p * f ( Suu ) 2 p *(1 p*) f ( Sud ) (1 p*) 2 f ( Sdd )
2
2
2
(1 r )2 p * (1 p*) 2k f S (0)(1 u ) k (1 d ) 2k
k
k
k 0
(1 r )2 E * f ( S (2))
นั่นคือ D(0) (1 r )2 E * f ( S (2)) (4.26)
รูปที่ 4.8 ราคาของออปชัน D(0) เท่ากับมูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์
ตั ว อย่ า งที ่ 4.10 สมมติ ว ่ า หุ ้ น อ้ า งอิ ง ของบริ ษ ั ท หนึ ่ ง มี ร าคาปั จ จุ บ ั น 100 บาทโดยมี อ ั ต รา
เปลี่ยนแปลงราคาของหุ้น K (n) 0.20.1 ;; , n 1, 2 และอัตราผลตอบแทนของตราสารหนี้เท่ากับ
0.12 ต่อปีทบต้นทุก 3 เดือน จงใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 2 คาบเวลา คำนวณราคาของคอล
และพุทออปชันซึ่งมีราคาใช้สิทธิ 105 บาท และเวลาใช้สิทธิเดือนที่ 6
วิธีทำ จากโจทย์ u 0.2 , d 0.1 และ r 0.12 / 4 0.03 ต่องวด (3 เดือน) คำนวณความ
น่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงได้ p* 0.03 0.1
0.2 0.1
0.4333
1 u 2 S (0) ; probability p 2
จากสูตร (9.35), S (2) 1 u 1 d S (0); probability 2 p(1 p)
2 2
1 d S (0) ; probability 1 p
144 ; probbability 0.18774889
จะได้
S (2) 108
; probbability 0.49110222
81
; probbability 0.32114889
ต่อไปคำนวณผลประโยชน์สำหรับคอลออปชันได้
39 ; probbability 0.18774889
f ( S (2)) [ S (2) 105]
3 ; probbability 0.49110222
0 ; probbability 0.32114889
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 172 · หน้าพิมพ์ 160 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
160 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
คำนวณราคาคอลออปชันตามสูตร (4.26) ได้
C E (0) (1 r )2 E * f ( S (2))
(1.032 ) 39(0.18774889) 3(0.49110222) 0(0.32114889) 8.2906 บาท
สำหรับการคำนวณราคาพุทออปชันสามารถทำได้ในทำนองเดียวกัน
เนื่องจากผลประโยชน์สำหรับพุทออปชัน
0 ; probbability 0.18774889
f ( S (2)) [105 S (2)]
0 ; probbability 0.49110222
24 ; probbability 0.32114889
ดังนั้น ราคาคอลออปชันตามสูตร (4.26) คือ
P E (0) (1 r )2 E * f ( S (2))
(1.032 ) 0(0.18774889) 0(0.49110222) 24(0.32114889) 7.2651 บาท
แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลา
ต่อไปจะกำหนดราคาตราสารออปชันโดยใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลา ( 3-step
model) โดยการพิจารณาต้นไม้ และ การทำซํ้า ดังรูป ต่อไปนี้
รูปที่ 4.9 ต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลา
จากบทที่ 2 เราทราบว่าราคา S (3) เป็นไปได้ 4 ค่า ดังนี้
S 1 u 3 S (0) ; probability p 3
uuu
2
Suud 1 u 1 d S (0) ; probability 3 p 2 (1 p )
S (3)
S 1 u 1 d 2 S (0) ; probability 3 p 1 p 2
udd
3 3
Sudd 1 d S (0) ; probability 1 p
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 173 · หน้าพิมพ์ 161 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 161
จะได้ D(3) เป็นไปได้ 4 ค่า คือ
Duuu f ( Suuu ) ; probability ( p*)3
D f ( S ) ; probability 3( p*) 2 (1 p*)
uud
D(3) f ( S (3))
uud
Dudd f ( Sudd ) ; probability 3 p * 1 p *2
3
Dddd f ( S ddd ) ; probability 1 p *
ค่า D(2) เป็นไปได้ 3 ค่า คือ
D (1 r )1 p * D (1 p * ) D ; probability p *2
uu uuu uud
D(2) Dud (1 r ) p * Duud (1 p * ) Dudd ; probability 2 p *(1 p*)
1
D (1 r )1 p * D (1 p * ) D ; probability 1 p *2
dd udd ddd
ค่า D(1) เป็นไปได้ 2 ค่า คือ
Du (1 r )1 p * Duu (1 p * ) Dud ; probability p *
D(1)
Dd (1 r )1 p * Dud (1 p * ) Ddd ; probability 1 p *
จะได้ ราคาออปชัน D(0) คือ
D(0) (1 r )1 p * Du (1 p * ) Dd
(1 r )2 p * p * Duu (1 p * ) Dud (1 p * ) p * Dud (1 p *) Ddd
2
(1 r )2 p * Duu 2 p * (1 p * ) Dud (1 p * ) 2 Ddd
(1 r ) p * p * D (1 p * ) D 2 p * (1 p * ) p * D (1 p * ) D
3 2
uuu uud uud udd
(1 p * ) 2 p * Dudd (1 p * ) Dddd
3 2
(1 r )3 p * Duuu 3 p * (1 p * ) Duud 3 p * (1 p * ) 2 Dudd (1 p * )3 Dddd
(1 r ) p * f ( S ) 3 p * (1 p * ) f ( S ) 3 p * (1 p * ) f ( S ) (1 p * ) f ( S )
3 3 2 2 3
uuu uud udd ddd
3
3
(1 r )3 p * (1 p*)3k f S (0)(1 u ) k (1 d )3k
k
k 0 k
(1 r )3 E * f ( S (3))
นั่นคือ D(0) (1 r )3 E * f ( S (3)) (4.27)
รูปที่ 4.11 ราคาของออปชัน D(0) เท่ากับมูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 174 · หน้าพิมพ์ 162 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
162 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
ตัวอย่างที่ 4.11 กำหนดให้ S (0) K 100 บาท, u 0.2 , d 0.1 และอัตราผลตอบแทน
ของตราสารหนี ้ เท่ า กับ 0.08 ต่ อปี คิ ดทบต้น ทุ ก 3 เดือน จงใช้แบบจำลอง 3-คาบเวลาเพื่อ
คำนวณราคาของคอลออปชันและพุทออปชัน โดยใช้สิทธิได้เมื่อสิ้นเดือนที่ 9
วิธีทำ ในที่นี้จะใช้แบบจำลอง 3 คาบเวลา จากโจทย์จะได้ว่า 1 คาบเวลา (งวด) = 3 เดือน และ
โจทย์กำหนดให้ u 0.2 , d 0.1 และ r 0.08 / 4 0.02 ต่อคาบ (3 เดือน)
สามารถคำนวณความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงได้ p* 0.02 0.1
0.2 0.1
0 .4
3
1 u S (0) ; probability p 3
1 u 1 d S (0) ; probability 3 p 2 (1 p )
2
จากสูตร (2.36), S (3) 2 2
1 u 1 d S (0) ; probability 3 p 1 p
1 d 3 S (0) ; probability 1 p
3
172.80 ; probability 0.064
129.60 ; probability 0.288
จะได้ S (3)
97.2 ; probability 0.432
72.9
; probability 0.216
ต่อไปคำนวณผลประโยชน์สำหรับคอลออปชันได้
72.80 ; probability 0.064
29.60 ; probability 0.288
f ( S (3)) [ S (3) 100]
0 ; probability 0.432
0
; probability 0.216
คำนวณราคาคอลออปชันตามสูตร (4.27) ได้
C E (0) (1 r )3 E * f ( S (3))
1.023 72.80(0.064) 29.60(0.288) 0(0.432) 0(0.216) 12.4236 บาท
สำหรับการคำนวณราคาพุทออปชันสามารถทำได้ในทำนองเดียวกัน
เนื่องจากผลประโยชน์สำหรับพุทออปชัน
0 ; probability 0.064
0 ; probability 0.288
f ( S (3)) [100 S (3)]
2.8 ; probability 0.432
27.1; probability 0.216
ดังนั้น ราคาคอลออปชันตามสูตร (4.27) คือ
P E (0) (1 r )3 E * f ( S (3))
1.023 0(0.064) 0(0.288) 2.8(0.432) 27.1(0.216) 6.6558 บาท
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 175 · หน้าพิมพ์ 163 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 163
แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค n คาบเวลา
จากแบบรูปที่ได้จากแบบจำลอง 1 คาบเวลา, 2 คาบเวลา และ 3 คาบเวลา
สามารถสรุปสูตรของราคาออปชันด้วยแบบจำลอง N คาบเวลา ได้ดังนี้
N N
D(0) (1 r ) N p * (1 p*) N k f S (0)(1 u ) k (1 d ) N k
k
k 0 k
(1 r ) N E * f ( S ( N )) (4.28)
ทฤษฎีบท 4.12 สำหรับแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค N คาบเวลา ซึ่งมีผลประโยชน์ f S ( N )
จะได้ว่าภายใต้ความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง ราคาออปชัน D(0) อยู่ในรูป
D(0) (1 r ) N E * f ( S ( N )) (4.29)
พิสูจน์ สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ซึ่งขอละไว้เป็นแบบฝึกหัดสำหรับผู้อ่าน
รูปที่ 4.12 ราคาของออปชัน D(0) เท่ากับมูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์
จากสู ต ร (4.26) สามารถกล่ า วได้ ว ่ า ราคาของออปชั น จะเท่ากับ มูล ค่าปัจ จุบ ัน ของค่ า
คาดหวังของผลประโยชน์ที่จะได้รับเมื่อมีการปิดสถานะของสัญญาที่เวลาใช้สิทธิ ดังนั้นหากหุ้น
อ้างอิงมีการจ่ายเงินปันผล เพื่อไม่ให้เกิดการค้ากำไรโดยปราศจากความเสี่ยงซึ่งเกิดจากเงินปันผลที่
ได้รับ ราคาของออปชัน D(0) จะต้องคำนวณจากราคาหุ้นที่หักออกด้วยเงินปันผลแล้ว นั่นคือถ้า
สมมติว่ามีการจ่ายเงินปันผลครั้งเดียวที่คาบเวลาที่ N จำนวน div ราคาของออปชัน D(0) จะ N
เท่ากับค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์ที่คำนวณจากราคาที่หักออกด้วยเงินปันผลแล้ว
นั่นคือ
D(0) (1 r ) N E * f ( S ( N ) div N ) (4.30)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 176 · หน้าพิมพ์ 164 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
164 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
ตัวอย่างที่ 4.12 กำหนดให้ S (0) K 100 บาท, u 0.3 , d 0.1 และอัตราผลตอบแทนของ
ตราสารหนี้เท่ากับ 0.04 ต่อครึ่งปี จงใช้แบบจำลอง 50 คาบเวลาคำนวณราคาของคอลออปชัน
และพุทออปชัน โดยใช้สิทธิได้เมื่อสิ้นเดือนที่ 6
วิธีทำ ในที่นี้จะใช้แบบจำลอง 50 คาบเวลา จากโจทย์จะได้ว่า 1 คาบเวลา (งวด)= 6/50 เดือน
และ โจทย์กำหนดให้ u 0.3 , d 0.1 และ r (1 0.04) 1 0.00078472 ต่องวด
1/50
สามารถคำนวณความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงได้
0.00078472 0.1
p* 0.2519618
0.3 0.1
N
จากสูตร (4.28), C E (0) (1 r )N kN p *k (1 p*) N k f S (0)(1 u)k (1 d ) N k
k 0
50 50
จะได้ C E (0) (1.00078472)50 0.2519618 (1 0.2519618)50k f 100(1.3) k (0.9)50k
k
k 0 k
1.3
k
เมื่อ f 100(1.3) (0.9) 100(1.3) (0.9)
k 50k k 50k
100 100 (0.9)50 1
0.9
k
1.3
เนื่องจาก (0.9)50 1 0 สำหรับทุกๆ k 15
0.9
1.3
k
ทำให้ได้ว่า f 100(1.3) k (0.9)50k 100 (0.9)50 1 สำหรับทุกๆ k 15
0.9
ดังนั้น C E (0)
50 50
k
1.3
(1.00078472)50 0.2519618 (1 0.2519618)50k 100 (0.9)50 1
k
k 15 k 0.9
45.6197
สำหรับพุทออปชัน โดยใช้สูตร (4.28) ได้
50 50
P E (0) (1.00078472)50 0.2519618 (1 0.2519618)50k f 100(1.3) k (0.9)50k
k
k 0 k
เมื่อ f 100(1.3) (0.9) 100 100(1.3) (0.9)
k 50k k 50k
k 50k
100 1 (1.3) (0.9)
k
เนื่องจาก 1 (0.9) 1.3
50 0 สำหรับทุกๆ k 14
0.9
ดังนั้น f 100(1.3) k (0.9)50k 100 1 (1.3) k (0.9)50k สำหรับทุกๆ k 14 และทำให้ได้
14 50
P E (0) (1.00078472)50 0.2519618 (1 0.2519618)50k 100 1 (1.3) k (0.9)50k
k
k 0 k
41.7735
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 177 · หน้าพิมพ์ 165 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 165
อีกวิธีหนึ่ง เราสามารถใช้สมบัติความเสมอภาคระหว่างคอลและพุทออปชันในการคำนวณราคา
ของ
พุทออปชันได้ E
C (0) P (0) S (0) Ke E T
จะได้ P (0) C (0) S (0) Ke 45.6197 100 100(1.00078472 ) 41.7735
E E T 50
ตารางที่ 4.1 ตารางอย่างย่อการใช้ excel ช่วยคำนวณค่า C E และ P E กรณีหุ้นไม่มีการจ่ายปัน
ผล
c1 c2 c3 c4 c5 c6
k p^k (1-p)^(50-k) S(k)=S(0)*(1+u)^k*(1+d)^(50-k) f(S(k))=max{S(k)-K,0} 50Ck c1*c2*c4*c5
0 1.000000000 0.000000497 0.515378 0.000000 1.00 0.000000
1 0.251961800 0.000000664 0.744434 0.000000 50.00 0.000000
2 0.063484749 0.000000888 1.075294 0.000000 1225.00 0.000000
3 0.015995732 0.000001187 1.553202 0.000000 19600.00 0.000000
11 0.000000260 0.000012107 29.433014 0.000000 37353738800.00 0.000000
12 0.000000065 0.000016185 42.514354 0.000000 121399651100.00 0.000000
13 0.000000016 0.000021636 61.409623 0.000000 354860518600.00 0.000000
14 0.000000004 0.000028924 88.702788 0.000000 937845656300.00 0.000000
15 0.000000001 0.000038666 128.126250 28.126250 2250829575120.00 2.563346
16 0.000000000 0.000051690 185.071250 85.071250 4923689695575.00 5.712644
17 0.000000000 0.000069101 267.325139 167.325139 9847379391150.00 7.569312
18 0.000000000 0.000092376 386.136311 286.136311 18053528883775.00 7.993198
19 0.000000000 0.000123492 557.752450 457.752450 30405943383200.00 7.254134
46 0.000000000 0.313108679 11438372.717923 11438272.717923 230300.00 0.000000
47 0.000000000 0.418573114 16522093.925889 16521993.925889 19600.00 0.000000
48 0.000000000 0.559561149 23865246.781840 23865146.781840 1225.00 0.000000
49 0.000000000 0.748038200 34472023.129324 34471923.129324 50.00 0.000000
50 0.000000000 1.000000000 49792922.297913 49792822.297913 1.00 0.000000
sum= 47.444453
C(0) 45.619671
P(0)=C(0)-S(0)+K(1+r)^(-N41.7735264
หมายเหตุ ตัวเลขที่ได้จากการคำนวณในตำราเล่มนี้ส่วนใหญ่แล้วเป็นค่าโดยประมาณ แต่เพื่อ
ความสะดวกบางครั้งจะยังคงใช้เครื่องหมาย แทนเครื่องหมาย
ตัวอย่างที่ 4.13 จากตัวอย่างที่ 4.12 จงคำนวณราคาของคอลและพุทออปชันโดยสมมติว่าหุ้นมี
การจ่ายปันผล 1 ครั้งที่ปลายเดือนที่ 6 จำนวน 3 บาท
วิธีทำ จากตัวอย่างที่ 4.12 จะได้
50 50
C E (0) (1.00078472)50 0.2519618 (1 0.2519618)50k f 100(1.3) k (0.9)50k 3
k
k 0 k
เมื่อ f 100(1.3) (0.9) 3 100(1.3) (0.9) 3 100 100(1.3) (0.9)
k 50k k 50k k 50k
103
เนื่องจาก 100(1.3) (0.9) 103 0 สำหรับทุกๆ k 15
k 50k
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 178 · หน้าพิมพ์ 166 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
166 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
ทำให้ได้ว่า f 100(1.3) (0.9) k 50k
3 100(1.3) k (0.9)50k 103 สำหรับทุกๆ k 15
ดังนั้น C (0) E
50 50
(1.00078472)50 0.2519618 (1 0.2519618)50k 100(1.3) k (0.9)50k 103
k
k 15 k
44.8625
สำหรับพุทออปชัน จะได้
50 50
P E (0) (1.00078472)50 0.2519618 (1 0.2519618)50k f 100(1.3) k (0.9)50k 3
k
k 0 k
เมื่อ f 100(1.3) (0.9) 3 100 100(1.3) (0.9) 3 103 100(1.3) (0.9)
k 50k k 50k k 50k
เนื่องจาก 103 100(1.3) (0.9) 0 สำหรับทุกๆ k 14
k 50k
ดังนั้น f 100(1.3) (0.9) 3 103 100(1.3) (0.9) สำหรับทุกๆ k 14 และทำให้ได้
k 50k k 50k
14 50
P E (0) (1.00078472)50 0.2519618 (1 0.2519618)50k 103 100(1.3) k (0.9)50k
k
k 0 k
43.9010
อีกวิธีหนึ่ง เราสามารถใช้สมบัติความเสมอภาคระหว่างคอลและพุทออปชันในกรณีที่มีการจ่ายปัน
ผลในการคำนวณราคาของพุทออปชันได้ C P S (0) div Ke E E
0
T
จะได้ P (0) C (0) S (0) div Ke
E E
0
T
44.8625 100 3(1.0007847250 ) 100(1.0007847250 ) 43.9010
ตารางที่ 4.2 ตารางอย่างย่อการใช้ excel คำนวณค่า C E และ P E กรณีหุ้นมีการจ่ายปันผล
c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7
k p^k (1-p)^(50-k) S(k)=S(0)*(1+u)^k*(1+d)^(50-k) S(k)-div f(S(k)-div)=max{S(k)-div-K,0} 50Ck c1*c2*c5*c6
0 1.0000000000000 0.00000050 0.515378 -2.485 0.000 1.00 0.000000
1 0.2519618000000 0.00000066 0.744434 -2.256 0.000 50.00 0.000000
2 0.0634847486592 0.00000089 1.075294 -1.925 0.000 1225.00 0.000000
3 0.0159957315447 0.00000119 1.553202 -1.447 0.000 19600.00 0.000000
11 0.0000002598255 0.00001211 29.433014 26.433 0.000 37353738800.00 0.000000
12 0.0000000654661 0.00001618 42.514354 39.514 0.000 121399651100.00 0.000000
13 0.0000000164950 0.00002164 61.409623 58.410 0.000 354860518600.00 0.000000
14 0.0000000041561 0.00002892 88.702788 85.703 0.000 937845656300.00 0.000000
15 0.0000000010472 0.00003867 128.126250 125.126 25.126 2250829575120.00 2.289934
16 0.0000000002638 0.00005169 185.071250 182.071 82.071 4923689695575.00 5.511190
17 0.0000000000665 0.00006910 267.325139 264.325 164.325 9847379391150.00 7.433601
44 0.0000000000000 0.17520345 5482296.983147 5482293.983 5482193.983 15890700.00 0.000000
45 0.0000000000000 0.23421725 7918873.420101 7918870.420 7918770.420 2118760.00 0.000000
46 0.0000000000000 0.31310868 11438372.717923 11438369.718 11438269.718 230300.00 0.000000
47 0.0000000000000 0.41857311 16522093.925889 16522090.926 16521990.926 19600.00 0.000000
48 0.0000000000000 0.55956115 23865246.781840 23865243.782 23865143.782 1225.00 0.000000
49 0.0000000000000 0.74803820 34472023.129324 34472020.129 34471920.129 50.00 0.000000
50 0.0000000000000 1.00000000 49792922.297913 49792919.298 49792819.298 1.00 0.000000
sum= 46.657043
C(0) 44.862546
P(0)=C(0)-S(0)+div0+K(1+r)^(-N) 43.9010173
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 179 · หน้าพิมพ์ 167 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 167
4.6.2 สูตรของคอกซ์-โรสส์-โรบินสไตน์
สูตรของคอกซ์-โรสส์-โรบินสไตน์ (cox-ross-rubinstien formula) จะพิจารณาแบบจำลอง
ต้ น ไม้ ทวิ ภ าค N - คาบเวลา สํ า หรั บ ในกรณีที่ K เป็ น ราคาใช้ส ิทธิซึ ่ง ผลประโยชน์ f ( x) 0
สำหรับทุกๆ x K ดังนั้น จะมี m ที่น้อยที่สุด ซึ่ง
S (0)(1 u ) k (1 d ) N k K สำหรับทุกๆ k m, m 1,..., N (4.31)
จากสูตร (4.28) จะลดรูปได้เป็น
N N
C E (1 r ) N p * (1 p*) N k S (0)(1 u ) k (1 d ) N k K (4.32)
k
k m k
จากสมการ (4.30) สามารถเขียนได้อยู่ในรูป
C E aN S (0) bN K (4.33)
N N
เมื่อ aN (1 r ) N p * (1 p*) N k (1 u ) k (1 d ) N k
k
k m k
N
N
และ bN (1 r ) N p * (1 p*) N k
k
k
k m
เราสามารถจัดรูป a ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายได้ดังนี้
N
N k N k
N 1 u
aN p * (1 p*) 1 d (4.34)
1 r
k m k
1 r
1 u 1 d 1 u
จะสังเกต ได้ว่า p *
1 r
(1 p*)
1 r
1 เพื่อความสะดวกให้ q p *
1 r
N
N
จะได้ aN q k (1 q ) N k (4.35)
k m k
m
N
นิยาม (m, N , x) x k (1 x) N k
สำหรับทุก ๆ 0 x 1
k 0 k
N
N
สังเกตได้ว่า ( N , N , x) x k (1 x) N k 1
k
k 0
ดังนั้นสามารถเขียน a และ b ในรูปของ ได้เป็น
N N
aN 1 (m 1, N , q ) และ b (1 r )
N
N
1 (m 1, N , p*) (4.36)
นั่นคือ C 1 (m 1, N , q ) S (0) (1 r ) 1 (m 1, N , p*) K
E N
(4.37)
และพิจารณาในทำนองเดียวกัน จะได้
P E (m 1, N , q ) S (0) (1 r ) N (m 1, N , p*) K (4.38)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 180 · หน้าพิมพ์ 168 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
168 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
ตัวอย่างที่ 4.14 จากตัวอย่างที่ 4.12 จงใช้สูตรของคอกซ์-โรสส์-โรบินสไตน์สำหรับแบบจำลอง
50 คาบเวลาคำนวณราคาของคอลออปชันและพุทออปชัน โดยใช้สิทธิได้เมื่อสิ้นเดือนที่ 6
วิธีทำ คำนวณความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงได้
0.00078472 0.1
p* 0.2519618
0.3 0.1
และคำนวณ q p *1 u 0.2519618 1 0.3 0.32729351
1 r 1 0.00078472
เนื่องจาก k
100(1.3) (0.9) 50k
100 สำหรับทุกๆ k 15
โดยสูตร (4.37) จะได้
C E (0) 1 (14,50, 0.32729351)100 1.0007847250 1 (14,50, 0.2519618)100
เมื่อ (14,50, 0.32729351) 50
14
0.32729351 (1 0.32729351)
k 50k
0.29142835
k
k 0
14
และ (14,50, 0.2519618) 50 0.2519618k (1 0.2519618)50k 0.73753011
k 0 k
ดังนั้น C (0) 1 0.29142835100 1.00078472 1 0.73753011100 45.6197
E 50
ต่อไปคำนวณราคาพุทออปชันโดยใช้สูตร (4.38) ได้
P E (0) (14,50, 0.32729351)100 1.0007847250 (14, 50, 0.2519618)100
(0.29142835)100 1.0007847250 (0.73753011)100 41.7735
ตารางที่ 4.3 ตารางอย่างย่อการใช้ excel คำนวณค่า C E และ P E กรณีหุ้นไม่มีการจ่ายปันผล
k C(50,k) q^k*(1-q)^(50-k) C(N,k)q^k*(1-q)^(N-k) p*^k*(1-p*)^(50-k) C(N,k)p*^k*(1-p*)^(N-k)
0 1 0.0000000025 0.0000000025 0.0000004968 0.0000004968
1 50 0.0000000012 0.0000000599 0.0000001673 0.0000083670
2 1225 0.0000000006 0.0000007139 0.0000000564 0.0000690473
3 19600 0.0000000003 0.0000055574 0.0000000190 0.0003721154
4 230300 0.0000000001 0.0000317704 0.0000000064 0.0014727413
5 2118760 0.0000000001 0.0001422072 0.0000000022 0.0045637855
6 15890700 0.0000000000 0.0005189131 0.0000000007 0.0115291532
7 99884400 0.0000000000 0.0015869420 0.0000000002 0.0244097297
8 536878650 0.0000000000 0.0041500305 0.0000000001 0.0441928861
9 2505433700 0.0000000000 0.0094225800 0.0000000000 0.0694656449
10 10272278170 0.0000000000 0.0187960010 0.0000000000 0.0959322994
11 37353738800 0.0000000000 0.0332540491 0.0000000000 0.1175014122
12 121399651100 0.0000000000 0.0525823103 0.0000000000 0.1286285497
13 354860518600 0.0000000000 0.0747810702 0.0000000000 0.1266451443
14 937845656300 0.0000000000 0.0961561649 0.0000000000 0.1127387350
(m 1, N , q) 0.291428372 (m 1, N , p*) 0.737530108
a_N 0.708571628 b_N -0.252374921
C(0) 45.61967063
P(0) 41.77352637
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 181 · หน้าพิมพ์ 169 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 169
4.7 สูตรของแบล็ก-โชลส์
หัวข้อนี้จะกล่าวถึงแบบจำลองราคาของแบล็ก-โชลส์คิดค้นโดย ฟิชเชอร์ แบล็ก (Fisher
Black), มายรอน โชลส์ (Myron Scholes) และ โรเบิร์ต ซี เมอร์ทัน (Robert C. Merton) ซึ่ง 2 ใน
3 ในนี้คือ มายรอน โชลส์ และ โรเบิร์ต ซี เมอร์ทัน ได้รับรางวัลโนเบลในสาขาเศรฐศาสตร์ ในปี
ค.ศ.1970 และเป็ น ที ่ น ่ า เสี ย ดายที ่ ฟิ ช เชอร์ แบล็ ก ได้ เ สี ย ชี ว ิ ต ลงเสี ย ก่ อ นจึ ง ไม่ ไ ด้ ร ั บ รางวั ล
แบบจำลองแบล็ก-โชลส์มีบทบาทค่อนข้างมากในการกำหนดราคาซื้อขายออปชันในปัจจุบัน ถึงแม้ว่า
แต่ละสมการในแบบจำลองจะต้องใช้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากและมีความซับซ้อนอย่างมาก
แต่เนื่องด้วยในปัจจุบันความเจริญทางด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ก็เจริญรุดหน้าไปอย่างมากเช่นกัน
เราจึงสามารถนำคอมพิวเตอร์มาใช้แก้ปัญหาและคำนวณราคาออปชันด้วยแบบจำลองที่ยุ่งยากนี้ได้
อย่างง่ายดาย ไม่ว่าจะใช้โปรแกรม excel หรือ โปรแกรมสำเร็จรูปอื่นที่ได้พัฒนาขึ้นเพื่อให้สามารถ
ใช้งานทางด้านการเงินได้โดยเฉพาะ เป็นต้น
การกำหนดสัญลักษณ์ต่างๆที่จะใช้ต่อไปนี้ยังคงใช้เหมือนที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ อ้างถึง
แบบจำลองราคาเชิงเวลาต่อเนื่องที่ได้กล่าวไว้ในบทที่ 3 จะได้ราคาของหุ้นกำหนดโดย
S (t ) S (0)et W ( t ) (4.39)
เมื่อ W (t ) เป็นตัวแปรเชิงสุ่มของการเคลื่อนที่แบบบาวน์เนียน และ S (t ) มีการแจกแจกแบบลอก
นอร์มอล
พิจารณายูโรเปียนออปชันที่มีระยะเวลาครบกำหนด T และผลประโยชน์ f (S (T )) เรา
สามารถพิจารณาได้ในลักษณะเดียวกับแบบจำลองราคาแบบไม่ต่อเนื่อง คือ ราคาออปชันที่เวลา
t0 คือค่าคาดหวังของผลประโยชน์ f (S (T )) ที่ถูกคิดลดด้วยฟังก์ชันคิดลดจากอัตราผลตอบแทน
ทบต้นต่อเนื่อง ของตราสารหนี้ที่สมมูลกับอัตราผลตอบแทนต่องวด r นั่นคือ e T
(1 r )T
ดังนั้น จะได้
D (0) eT E * f ( S (T )) (4.40)
ภายใต้ความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง p *
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 182 · หน้าพิมพ์ 170 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
170 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
ต่อไปจะพิจารณา E e S (t ) ซึ่งเป็นค่าคาดหวังของราคา S (t ) ที่ถูกคิดลดด้วย et หรือ
t
x2
1
มูลค่าปัจจุบันของราคา S (t ) เนื่องจาก W (t ) N (0, t ) โดยมีฟังก์ชันความหนาแน่น คือ
e 2t
2 t
ภายใต้ความน่าจะเป็น p ดังนั้นจะได้ว่า
E et S (t ) E S (0)et et W (t ) S (0) E et t W (t )
x2
1
S (0) e t t x
e 2t
dx
2t
2
1 2 x t
1 t
S (0) e 2 2t
dx
2 t
2
1 2 xt
t 1
S (0)e e dx
2 2t
2 t
1 2 y2
1
1 2
t t
S (0)e 2
e 2t dy S (0)e 2
(4.41)
2t
จาก (4.41) จะเห็ น ว่ า ค่ า คาดหวั งของมู ลค่ า ปั จ จุ บัน S (t ) ไม่ควรขึ้น กับ เวลา t นั่น คือ อัตรา
ดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง จะต้องเท่ากับ 1 ซึ่งจะทำให้ E e S (t ) S (0) ดังนั้นเงื่อนไข
2 t
2
1
2 เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นที่ทำให้มีความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง
2
p * ซึ่ง
E * et S (t ) S (0) (4.42)
การแสดงว่ามีความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง p * มีความยุ่งยากซับซ้อน ซึ่งใน
ที่นี้จะไม่กล่าวถึงบทพิสูจน์
ทฤษฎีบท 4.13 ให้ S (t ) เป็นราคาหุ้น ซึ่งเป็นราคาที่จะทราบ ที่เวลา t s ค่าคาดหวังความเป็น
กลางต่อความเสี่ยงแบบมีเงื่อนไขของ S (t ) จะเท่ากับ
E *[ S (t )et | S ( s )] S ( s )e s (4.43)
บทแทรก 4.22 (สมบัติของมาร์ทิงเกล) กำหนดให้ S (s) S (s)e เป็นราคาหุ้นส่วนลด ภายใต้ s
ความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง จะได้ว่า
E *[ S (t ) | S ( s )] S ( s ) สำหรับทุกๆ t s 0 (4.44)
พิจารณายูโรเปียนคอลออปชัน จากสมการ (4.44) จะได้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 183 · หน้าพิมพ์ 171 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 171
T
C E (0) eT E * S (T ) K E * S (T )e Ke
T
E * S (0)eT T W (T ) KeT
1
( 2 )T T W (T )
E * S (0)e 2
KeT
1
2T W (T )
E * S (0)e 2 KeT
1 2 x2
S (0)e 2 T x KeT 1 e 2T dx
2T
d2 T
1 x2 x2
2T x 1 1
S (0) e 2 e 2T dx KeT e 2T dx
d 2 T
2T d 2 T
2T
x 2 2T x 2 T 2 y2
1 1
S (0) e 2T
dx KeT e 2
dy
d2 T
2T d2 2
2
xT y2
1 1
S (0) e 2T
dx KeT e 2 dy
d2 T
2T d2 2
y2 y2
1 1
S (0) e 2
dy Ke T
e 2
dy
d1 2 d2 2
นั่นคือ C E (0) S (0) N (d1 ) KeT N (d 2 ) (4.45)
S (0) S (0)
ln ( 0.5 2 )T ln ( 0.5 2 )T
เมื่อ d K , d2 K
1
T T
x y2 y2
1 1
และ N ( x) e
2
dy e
2
dy (4.46)
2 x 2
จะเห็นว่า N ( x) เป็นฟังก์ชันค่าสะสมของการกระจายความน่าจะเป็นแบบปกติมาตรฐาน N (0,1)
นั่นคือ N ( x) P( z x) P( z x) ดังนั้นสามารถคำนวณค่า N ( x) ได้จากตารางความน่าจะเป็น
สะสมของการแจงแจงแบบปกติซึ่งปรากฏอยู่ในภาคผนวก หรือเพื่อความสะดวกอาจจะใช้คำสั่ง
ฟังก์ชัน normsdist(z) ในโปรแกรม excel ก็ได้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 184 · หน้าพิมพ์ 172 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
172 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
รูปที่ 4.13 ฟังก์ชันค่าสะสมของการกระจายความน่าจะเป็นแบบปกติมาตรฐาน N ( x) P( z x)
โดยอาศัยแนวความคิดจากสมการ (4.59) และ (4.60) จะได้ราคายูโรเปียนคอลออปชั น
และยูโรเปียนพุทออปชัน ที่เวลา t T ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 4.14 (สูตรของแบล็ก-โชลส์) สำหรับยูโรเปียนออปชันซึ่งมีราคาใช้สิทธิ K และเวลา
ครบกำหนด T จะได้ว่า ราคาของออปชันที่เวลา t T ใดๆ เป็นไปดังนี้
C E (t ) S (t ) N (d1 ) Ke (T t ) N (d 2 ) (4.47)
และ P E (t ) Ke (T t ) N (d 2 ) S (t ) N (d1 ) (4.48)
S (0) S (0)
ln ( 0.5 2 )(T t ) ln ( 0.5 2 )(T t )
เมื่อ d K , d2 K
1
T t T t
x y2
1
และ N ( x)
e 2
dy (4.49)
2
ในสูตร (4.49) จะเห็นว่ามีพารามิเตอร์ตัวหนึ่งที่มีความสำคัญเป็นอย่างมากในการกำหนด
หรือประเมินราคาออปชันด้วยสูตรของแบล็ก-โชลส์ นั่นคือ พารามิเตอร์ ซึ่งเรียกว่า ค่าความผัน
(t )
ผวน (volatility) ของราคาหุ ้ น S (t ) เนื ่ อ งจาก ln SS(0) N (t , t ) ถ้ า แทน t 1 จะได้2
S (1)
ln N (, 2 ) นั่นคือ ค่าความผันผวน ก็คือส่วนเบี่ยงเบนของอัตราผลตอบแทนลอการิทึม
S (0)
ต่อคาบเวลานั่นเอง เนื่องจาก S (t ) เป็นราคาหุ้นในอนาคต ดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณค่าความผัน
ผวน ได้โดยตรง ในทางปฏิบัตินิยมใช้ ส่วนเบี่ยงเบนของอัตราผลตอบแทนลอการิทึมต่อคาบเวลา
ซึ่งคำนวณจากข้อมูลราคาในอดีตมาแทนค่าความผันผวน ในเชิงทฤษฎี เนื่องจากเราทราบว่า 2
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 185 · หน้าพิมพ์ 173 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 173
n
2
x x
i
NVar[k (n)] ในที ่ น ี ้ จ ะประมาณ Var[k (n)] ด้ ว ย ความแปรปรวน s 2 i 1 จากกลุ่ม
n 1
ตัวอย่างของอัตราผลตอบแทนลอการิทึม X ของหุ้นอ้างอิง
n 2
xi x
นั่นคือ 2 s 2 N i 1 N (4.50)
n 1
เมื่อ n เป็นขนาดของกลุ่มตัวอย่าง
Si เป็นราคาหุ้นในที่เวลาที่ i ( i 0,1, 2,..., n )
Si
xi ln
Si1
อัตราผลตอบแทนลอการิทึมของหุ้นอ้างอิง ( i 1, 2,..., n )
x เป็นค่าเฉลี่ยของอัตราผลตอบแทนลอการิทึมของหุ้นอ้างอิง
N เป็นจำนวนจุดเวลาที่แบ่งใน 1 คาบเวลา (ในที่นี้จำนวนจุดเวลา ใน 1 ปีกำหนดให้เท่า
250 วันทำการใน 1 ปี )
ตัวอย่างที่ 4.15 จงประมาณค่าความผันผวน ต่อปี ของราคาหุ้นของบริษัทหนึ่งจากข้ อมูล
ราคาปิดของหุ้นย้อนหลัง 42 วันทำการ ดังนี้
2
วันที่ Si x i ln( Si / Si1 ) xi x xi x
0 100.00 - - -
1 100.00 0 0.0002451 0.00000006
2 99.00 -0.01005034 -0.0098052 0.00009614
3 99.00 0 0.0002451 0.00000006
4 100.00 0.010050336 0.0102955 0.00010600
5 101.00 0.009950331 0.0101955 0.00010395
6 100.00 -0.00995033 -0.0097052 0.00009419
7 99.00 -0.01005034 -0.0098052 0.00009614
8 99.00 0 0.0002451 0.00000006
9 98.00 -0.01015237 -0.0099072 0.00009815
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 186 · หน้าพิมพ์ 174 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
174 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
10 97.00 -0.0102565 -0.0100114 0.00010023
11 98.00 0.0102565 0.0105016 0.00011028
12 98.00 0 0.0002451 0.00000006
13 97.00 -0.0102565 -0.0100114 0.00010023
14 96.00 -0.01036279 -0.0101177 0.00010237
15 96.00 0 0.0002451 0.00000006
16 95.00 -0.0104713 -0.0102262 0.00010457
17 95.00 0 0.0002451 0.00000006
18 96.00 0.0104713 0.0107164 0.00011484
19 97.00 0.010362787 0.0106079 0.00011253
20 97.00 0 0.0002451 0.00000006
21 97.00 0 0.0002451 0.00000006
22 98.00 0.0102565 0.0105016 0.00011028
23 98.00 0 0.0002451 0.00000006
24 99.00 0.010152371 0.0103975 0.00010811
25 100.00 0.010050336 0.0102955 0.00010600
26 100.00 0 0.0002451 0.00000006
27 99.00 -0.01005034 -0.0098052 0.00009614
28 99.00 0 0.0002451 0.00000006
29 99.00 0 0.0002451 0.00000006
30 100.00 0.010050336 0.0102955 0.00010600
31 100.00 0 0.0002451 0.00000006
32 101.00 0.009950331 0.0101955 0.00010395
33 100.00 -0.00995033 -0.0097052 0.00009419
34 99.00 -0.01005034 -0.0098052 0.00009614
35 99.00 0 0.0002451 0.00000006
36 99.00 0 0.0002451 0.00000006
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 187 · หน้าพิมพ์ 175 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 175
37 100.00 0.010050336 0.0102955 0.00010600
38 99.00 -0.01005034 -0.0098052 0.00009614
39 99.00 0 0.0002451 0.00000006
40 99.00 0 0.0002451 0.00000006
41 99.00 0 0.0002451 0.00000006
x 0.00024513 s 2 0.00005909
จากตาราง s N 0.00005909(250) 0.01477282 ดังนั้นจะได้ค่าความผันผวนของราคา
2 2
หุ้น 0.1215435 12.15435% ต่อปี
ตัวอย่างที่ 4.16 กำหนดยูโรเปียนพุทออปชันของหุ้นบริษัทหนึ่ง มีราคาใช้สิทธิ 100 บาท อายุ
ของสัญญา 6 เดือน สมมติว่าราคาปัจจุบันของหุ้นอ้างอิงเท่ากับ 90 บาท และอัตราผลตอบแทน
ของการลงทุนในตราสารหนี้ 0.2 ต่อปีทบต้นต่อเนื่องและอัตราผลตอบแทนลอการิทึมคาดหวัง
0.2 สมมติว่าราคาหุ้นอ้างอิงมีค่าความผันผวน 12.15 % ต่อปี จงใช้สูตรของแบล็ก-โชลส์
คำนวณหา P (t ) สำหรับ t [0, 0.5] เมื่อแบ่งช่วงเวลาออกเป็น 10 ช่องเท่าๆกัน โดยสมมติว่า
E
ราคาของหุ้นอ้างอิงที่เวลาต่างๆจากการจำลองได้ผลลัพธ์ดังนี้
ti 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Si 90 93.05 93.04 96.38 97.11 98.08 100.35 99.61 104.58 106.38 107.21
วิธีทำ จากโจทย์กำหนดให้ S (0) 90 , K 100 , T 6 /12 0.5 , 0.2 และ
2 0.12152 0.01476225 จากสูตรของแบล็ก-โชลส์ (4.64) และ (4.65) จะได้
90
ln (0.2 0.5(0.01476225))(0.5 t )
100 0.0137 1.7068t
d1
0.1215 0.5 t 0.5 t
90
ln (0.2 0.5(0.01476225))(0.5 t )
100 0.0745 1.5853t
และ d2
0.1215 0.5 t 0.5 t
และ E
P (t ) 100e 0.2(0.5t )
N (d ) S (t ) N (d ) 2 1
เมื่อ N ( x) P( z x) เราจะเขียนกราฟของ P (t ) โดยการแบ่งช่วงเวลา [0, 0.5] ออกเป็น 10
E
ช่องย่อยๆ จะได้ความกว้างของแต่ละช่องย่อยเท่ากับ 0.5 0 0.05 โดยมีจุดเวลาเป็น t , i
10
d1 (ti ) , d 2 (ti ) N (d1 (ti )) , N (d 2 (ti )) และ P (t ) แสดงในตารางต่อไปนี้
E
i
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 188 · หน้าพิมพ์ 176 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
176 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
ti S (ti ) d1 (ti ) d 2 (ti ) N (d1 ) N (d 2 ) P E (ti )
0 90 -0.0194 -0.1054 0.5077289 0.54195449 3.342468
0.05 93.05 -0.1476 -0.2292 0.5586866 0.590650775 1.996808
0.1 93.04 -0.2915 -0.3685 0.6146771 0.643732176 2.236551
0.15 96.38 -0.4559 -0.5279 0.6757727 0.701206915 0.249714
0.2 97.11 -0.6482 -0.7149 0.7415877 0.762660714 0
0.25 98.08 -0.8808 -0.9417 0.810787 0.826814069 0
0.3 100.35 -1.1756 -1.2300 0.8801207 0.890658681 0
0.35 99.61 -1.5778 -1.6250 0.9426944 0.947917402 0
0.4 104.58 -2.2023 -2.2409 0.986177 0.987482207 0
0.45 106.38 -3.4961 -3.5235 0.999764 0.99978708 0
0.5 107.21 1 1 0
หมายเหตุ ค่าที่คำนวณได้จากสูตรของแบล็ก-โชลส์ได้ค่าน้อยกว่า 0 แต่เงื่อนไขขอบเขตของราคา
ตามทฤษฎีบท 4.17 จึงได้ว่าราคาของ P (t ) 0 เมื่อ t 0.2
E
i i
กราฟราคาของหุ้นที่ เวลา t ใดๆ
กราฟราคาของ P (t ) ที่เวลา t ใดๆ
E
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 189 · หน้าพิมพ์ 177 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 177
บทสรุปท้ายบทที่ 4
บทที่ 4 นี้ได้กล่าวถึงกระบวนการกำหนดราคาของยูโรเปียนออปชัน โดยอิงหลักการสำคัญ
ของทฤษฎีการเงินสมัยใหม่คือ หลักการปราศจากการค้ากำไร (No-Arbitrage Principle) และ
การประเมิ น ค่ า ตามความเป็ น กลางต่ อความเสี่ยง (Risk-Neutral Valuation) ซึ่งวางอยู่บ น
พื ้ น ฐานของ สมบั ต ิ ม าร์ ท ิ ง เกล (Martingale Property) ที ่ ร ะบุ ว ่ ามู ล ค่า ที ่ ค าดหวั งของราคา
ทรัพย์สินที่ปรับด้วยส่วนลดดอกเบี้ย จะต้องเท่ากับราคาปัจจุบันภายใต้โลกความเสี่ยงเป็นกลาง
เนื้อหาในบทนี้มุ่งเน้นการใช้แบบจำลอง ต้นไม้ทวิภาค (Binomial Tree Model) และ
สูตรของ คอกซ์–รอสส์–โรบินสไตน์ (Cox-Ross-Rubinstein: CRR Model) สำหรับการคำนวณ
ราคายูโรเปียนออปชันในเชิงตัวเลข โดยอาศัยเทคนิคการคำนวณย้อนกลับ (Backward Induction)
เพื่อวิเคราะห์ความคุ้มค่าของออปชันในแต่ละจุดเวลา และประเมินกระแสเงินสดที่คาดหวังภายใต้
สถานการณ์ความไม่แน่นอนของตลาด
สิ่งที่สำคัญคือ บทนี้ไม่เพียงเป็นการวางรากฐานทฤษฎีของการกำหนดราคาตราสารอนุพันธ์
เท่านั้น แต่ยังเปิดโอกาสให้เห็นการประยุกต์ใช้งานจริงในโลกการลงทุน เช่น
• นักลงทุนสถาบัน ใช้แบบจำลองเหล่านี้ในการประเมินมูลค่าออปชันที่ซื้อขายในตลาด เช่น
คอลออปชันของหุ้น ซึ่งจะช่วยตัดสินใจได้ว่าราคาตลาดปัจจุบันสูงหรือตํ่ากว่ามูลค่ าทาง
ทฤษฎี
• ผู้จัดการกองทุน ใช้เพื่อสร้างกลยุทธ์การป้องกันความเสี่ยง เช่น การใช้พุทออปชันในการ
ประกันพอร์ตจากความเสี่ยงขาลงของตลาดหุ้น
• นักออกแบบผลิตภัณฑ์การเงิน (financial engineers) ใช้แบบจำลอง CRR เป็นฐานใน
การสร้างตราสารอนุพันธ์ซับซ้อน เช่น Barrier options หรือ structured notes
แนวคิดที่เรียนรู้ในบทนี้จึงเป็นทั้งเครื่องมือทางทฤษฎีและทางปฏิบัติ ที่สามารถใช้วิเคราะห์
ความผันผวนของราคา ประเมินทางเลือกการลงทุน และจัดการความเสี่ยงในพอร์ตการลงทุนอย่างมี
ประสิทธิภาพ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 190 · หน้าพิมพ์ 178 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
178 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
นอกจากนี้ยังได้ขยายการวิเคราะห์ไปสู่การใช้ สูตรของแบล็ก–โชลส์ (Black-Scholes
Formula) ซึ่งเป็นแบบจำลองในเวลาต่อเนื่องที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในตลาดทุน โดยเฉพาะในการ
กำหนดราคายูโรเปียนคอลและพุทออปชันที่ไม่มีเงินปันผล สูตรนี้อาศัยสมมติฐานเกี่ยวกับพฤติกรรม
ของราคาสินทรัพย์ที่เคลื่อนไหวตามการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล (lognormal distribution) และ
เป็นจุดเริ่มต้นของการพัฒนาเครื่องมืออนุพันธ์ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นในทางปฏิบัติ
โดยสรุป บทที่ 4 ได้ให้ความเข้าใจอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับกลไกของยูโรเปียนออปชัน การ
ประเมินราคาอย่างมีเหตุผล และการนำแนวคิดเหล่านี้ไปใช้จริงในตลาดทุน ซึ่งล้วนเป็นทั กษะที่
จำเป็นต่อทั้งนักวิเคราะห์ นักลงทุน และผู้พัฒนาผลิตภัณฑ์ทางการเงินในยุคที่ความผันผวนและ
ความซับซ้อนของตลาดเพิ่มสูงขึ้นอย่างต่อเนื่อง
เอกสารอ้างอิง
[1] Cox, J. C., Ross, S. A., & Rubinstein, M. (1979). Option pricing: A simplified approach.
Journal of Financial Economics, 7(3), 229–263.
[2] Hull, J. C. (2022). Options, Futures, and Other Derivatives (10th ed.). Pearson.
[3] Sundaram, R. K., & Das, S. R. (2015). Derivatives: Principles and Practice (2nd ed.).
McGraw-Hill.
[4] Haug, E. G. (2007). The Complete Guide to Option Pricing Formulas (2nd ed.).
McGraw-Hill.
[5] Luenberger, D. G. (1998). Investment Science. Oxford University Press.
[6] Baxter, M., & Rennie, A. (1996). Financial Calculus: An Introduction to Derivative
Pricing. Cambridge University Press.
[7] Wilmott, P. (2006). Paul Wilmott On Quantitative Finance (2nd ed.). John Wiley &
Sons.
[8] Björk, T. (2009). Arbitrage Theory in Continuous Time (3rd ed.). Oxford University
Press.
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 191 · หน้าพิมพ์ 179 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 179 แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 4 1) กำหนดราคาใช้สิทธิของยูโรเปียนคอลออปชัน 145 บาท และอายุของสัญญา 6 เดือน สมมติว่าผู้ ถือได้กำไร 13 บาทหลังจากใช้สิทธิ และราคาซื้อออปชัน 15.50 บาท จงหาราคาของหุ้นอ้างอิง ณ วันใช้สิทธิ กำหนดอัตราดอกเบี้ยเงินกู้ทบต้นต่อเนื่อง 7 % ต่อปี 2) สมมติว่าพุทออปชันของหุ้นอ้างอิง a อายุของสัญญา 3 เดือน มีราคาใช้สิทธิ 110 บาท ณ วันครบ กำหนด ถ้าพุทออปชันมีราคาซื้อ ณ วันที่ 31 ตุลาคม พ.ศ. 2557 เท่ากับ 12.50 บาท และ ราคาหุน้ อ้างอิง ณ วันเดียวกันเท่ากับ 110 บาท จงหาราคาหุ้นอ้างอิงควรเปลี่ยนแปลงอย่างไรจึงจะทำให้นัก ลงทุนไม่ขาดทุนจากการซื้อคอลออปชัน ณ วันที่ครบกำหนด สมมติว่าอัตราดอกเบี้ยเงินกู้ทบต้น ต่อเนื่อง 6.5 % ต่อปี 3) สมมติพุทออปชันของหุ้นอ้างอิงหนึ่งมีอายุครบกำหนด 3 เดือน ราคาใช้สิทธิ 80 บาท ณ วันครบ กำหนด และคอลออปชันมีราคาซื้อ 10.25 บาท ถ้าราคาหุ้น ณ วันครบกำหนด สามารถเป็น 92 บาท, 80 บาท หรือ 75 บาท ด้วยความน่าจะเป็น 1/3 เท่ากัน จงหาค่าคาดหวังของกำไร(ขาดทุน) ของผู้ถือสัญญา กำหนดอัตราดอกเบี้ยเงินกู้ 8% ต่อปี 4) สมมติให้หุ้นอ้างอิงของบริษัทหนึ่งมีราคาปัจจุบัน 130 บาทต่อหุ้น และสมมติว่าราคาของยูโรเปียน คอลออปชันของหุ้นอ้างอิงนี้ มีราคาใช้สิทธิ 120 บาท ซึ่งจะใช้สิทธิได้ในอีก 6 เดือนข้างหน้า โดยที่ ราคาซื้อขายของคอลออปชันนี้เท่ากับ 25.50 บาท จงหาราคาซื้อขายของพุทออปชัน ที่มีราคาใช้ สิทธิ และเวลาใช้สิทธิเท่ากับคอลออปชันฉบับนี้ เมื่อกำหนดอัตราดอกเบี้ยเงินกู้ 8.5 % ต่อปี คิดทบ ต้นทุกครึ่งปี 5) ผู้ส่งออกเสื้อผ้ายี่ห้อหนึ ่งไปยังประเทศสหรัฐ อเมริ กาต้ องการทำสัญญาออปชัน เพื่อขายเงิ น สกุลดอลล่าร์ ในอีก 6 เดือน ถ้าอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องสำหรับการลงทุนในเงินสกุลบาทไทย และสกุลดอลล่าร์เป็น 2.5 % และ 3.5% ตามลำดับ โดยอัตราแลกเปลี่ยนเงินสกุลดอลล่าร์เป็นเงิน วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 192 · หน้าพิมพ์ 180 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
180 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
สกุลบาทไทย ณ ปัจจุบัน เท่ากับ 33.25 ต่อดอลล่าร์ จงหาราคาใช้ส ิทธิ ของยูโ รเปีย นคอลและ
ยูโรเปียนพุทออปชันซึ่งทำให้ C E P E 1
6) สมมติ ว ่ า ยู โ รเปี ย นคอลออปชั น และพุ ทออปชั น ของหุ้น บริษัทหนึ่งมีร าคาใช้ส ิทธิ 120 บาท
ระยะเวลาใช้สิทธิ 9 เดือน โดยที่มีคอลและพุทออปชันมีราคาซื้อขายที่ 15.20 บาท และ 17.80 บาท
ตามลำดับ ถ้าราคาปัจจุบันหุ้นอ้างอิงราคา 105 บาท และอัตราดอกเบี้ยเงินกู้ทบต้นต่อเนื่อง 6.7%
ต่อปี จงหาแนวทางการลงทุนที่ทำให้เกิดการค้ากำไรโดยปราศจากความเสี่ยง
7) กำหนดให้ r 0.05 , S (0) K 100 บาท จงคำนวณหาราคา P (0) ของคอลออปชัน โดยใช้
E
แบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาค 1 คาบเวลา เมื่อกำหนดให้ u 0.10 และ d 0.05
8) สำหรับยูโรเปียนออปชัน สมมติให้ S (0) 100, K 110 บาท, u 0.2 , d 0.1 และ r 0.05
โดยทุกครั้งที่มีการขายหุ้นจะต้องจ่ายค่านายหน้าซื้อขาย( commission) 0.25% ของมูลค่าหุ้นที่
ขาย จงคำนวณกำไรที่ผู้ซื้อพุทออปชันได้รับ
9) สำหรับยูโรเปียนออปชัน กำหนดให้ S (0) K 1 , u 0.15 และ d 0.1 และสมมติว่าอัตรา
ดอกเบี้ยจากการลงทุนที่ปราศจากความเสี่ยงเท่ากับ 7.5 % จงคำนวณหามูลค่าของพอร์ตการลงทุน
การจำลองสำหรับคอลออปชันและพุทออปชัน พร้อมทั้งคำนวณหาราคาของคอลและพุท ออปชัน
ด้วย
10) สำหรับยูโรเปียนออปชัน สมมติว่าหุ้นอ้างอิงของบริษัทหนึ่งมีราคาปัจจุบัน 100 บาทโดยมีอัตรา
0.1823 ;
เปลี่ยนแปลงราคาของหุ้น k (n) 0.105 4 ;
, n 1,2 และอัตราผลตอบแทนของตราสารหนี้
เท่ากับ 0.6 ต่อปีทบต้นทุกเดือน จงใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 2 คาบเวลา คำนวณราคาของคอล
และพุทออปชันซึ่งมีราคาใช้สิทธิ 110 บาท และเวลาใช้สิทธิเดือนที่ 3
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 193 · หน้าพิมพ์ 181 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 181
11) สํ า หรั บ ยู โ รเปี ย นออปชั น กํ า หนดให้ S (0) K 100 บาท, u 0.2 , d 0.1 และอั ต รา
ผลตอบแทนของตราสารหนี้เท่ากับ 0.08 ต่อปีคิดทบต้นทุก 3 เดือน จงใช้แบบจำลอง 3 คาบเวลา
คำนวณราคาของคอลออปชันและพุทออปชัน โดยใช้สิทธิได้เมื่อสิ้นเดือนที่ 9
12) สํ าหรับ ยู โรเปี ย นออปชั น กํ า หนดให้ S (0) 100, K 90 บาท, u 0.2 , d 0.2 และอั ต รา
ผลตอบแทนของตราสารหนี้เท่ากับ 0.08 ต่อปีทบต้นทุกครึ่งปี สัญญามีอายุ 6 เดือน
12.1) จงใช้แบบจำลอง 20 คาบเวลาคำนวณราคาของคอลออปชันและพุทออปชัน
12.2) จงใช้สูตรของคอกซ์-โรสส์-โรบินสไตน์สำหรับแบบจำลอง 20 คาบเวลาคำนวณราคา
ของคอลออปชันและพุทออปชัน
12.2) สมมติว่าหุ้นมีการจ่ายปันผล 1 ครั้งที่ปลายเดือนที่ 6 จำนวน 5.5 บาทจงคำนวณ
ราคาของคอลและพุทออปชัน
13) สำหรับยูโรเปียนออปชัน กำหนดให้หุ้นของบริษัทหนึ่ง มีราคาปัจจุบัน 125.50 บาทต่อหน่วย
โดยที่ยูโรเปียนออปชันของหุ้นดังกล่าวที่ราคาใช้สิทธิต่างๆมีราคาดังตาราง ต่อไปนี้
ราคาใช้สิทธิ(บาท) ราคาออปชัน(บาท)
คอลออปชัน พุทออปชัน
110 19.50 4.25
120 13.75 7.50
130 8.25 11.25
จงคำนวณมูลค่าแฝง และมูลค่าตามเวลา
14) กำหนดยูโรเปียนคอลออปชันของหุ้นบริษัทหนึ่ง มีราคาใช้สิทธิ 100 บาท อายุของสัญญา 6
เดือน ( t 3 ) สมมติว่าราคาปัจจุบันของหุ้นอ้างอิงเท่ากับ 90 บาท โดยมีอัตราการเปลี่ยนแปลงราคา
0.0953 ; และอัตราผลตอบแทนของตราสารหนี้ 0.20 ต่อปีทบต้นทุก 3 เดือน
k ( n)
0.1054 ;
14.1) จงคำนวณราคาของคอลออปชัน
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 194 · หน้าพิมพ์ 182 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
182 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
14.2) จงคำนวณราคาของยูโรเปียนคอลออปชัน ถ้าสมมติว่าหุ้นอ้างอิงมีการจ่ายเงินปันผล
4.5 บาทที่เวลา t 3
15) จงใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลาคำนวณราคาของคอลยูโรเปียนออปชันและคอล
ยูโรเปียนออปชันของหุ้นอ้างอิงของบริษัทหนึ่งซึ่งมีราคาใช้สิทธิ 100 บาทและมีอายุ 6 เดือนโดย
สมมติ ว ่ า S (0) 48 บาท u 0.15 , d 0.20 และอั ต ราดอกเบี ้ ย จากการลงทุ น ในสิ น ทรั พ ย์ ที่
ปราศจากความเสี่ยงคิดทบต้นต่อเนื่อง 7 % ต่อปี
16) จงใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลา คำนวณและเปรียบเทียบราคายูโรเปียนคอลออปชัน
ที่มีราคาใช้สิทธิ 20 บาท และมีอายุ 3 เดือน กำหนดให้ u 0.15 d 0.1 อัตราดอกเบี้ยเงินกู้
12% ต่อปีทบต้นทุกเดือน และ ราคาปัจจุบันเท่ากับ 18 บาท โดยหุ้นอ้างอิงมีการจ่ายเงินปันผล 1
ครั้ง 0.50 บาท ต่อหุ้น ณ ปลายเดือนที่ 3
17) กำหนดยูโรเปียนคอลออปชันของหุ้นบริษัทหนึ่ง มีราคาใช้สิทธิ 30 บาท อายุของสัญญา 3 เดือน
สมมติว่าราคาปัจจุบันของหุ้นอ้างอิงเท่ากับ 32 บาท และอัตราผลตอบแทนของการลงทุนในตรา
สารหนี้ 0.3 ต่อปีทบต้นต่อเนื่องและอัตราผลตอบแทนลอการิทึมคาดหวัง µ = 0.15 สมมติว่าราคา
หุ้นอ้างอิงมีค่าความผันผวน 20.35% ต่อปี จงใช้สูตรของแบล็ก-โชลส์คำนวณหา C E (t ) สำหรับ
t ∈ [0, 0.25] เมื่อแบ่งช่วงเวลาออกเป็น 10 ช่องเท่าๆกัน โดยสมมติว่าราคาของหุ้นอ้างอิงที่เวลา
ต่างๆจากการจำลองได้ผลลัพธิ์ดังนี้
ti 0 0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150 0.175 0.200 0.225 0.250
Si 32 32.20 31.34 30.41 29.10 31.01 31.89 32.08 33.08 34.08 33.58
18) จงใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลา คำนวณและเปรียบเทียบราคายูโรเปียนคอลออปชัน
กับราคาอเมริกันคอลออปชัน ที่มีราคาใช้สิทธิ 120 บาท และมีอายุ 6 เดือน โดยกำหนด u 0.2
d 0 อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ 8% ต่อปีทบต้นทุก 3 เดือน และ ราคาปัจจุบันเท่ากับ 100 บาท
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 195 · หน้าพิมพ์ 183 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 4 แบบจำลองราคายูโรเปียนออปชัน 183
19) จงประมาณค่าความผันผวน σ ต่อปี ของราคาหุ้นของบริษัทหนึ่งจากข้อมูลราคาปิดของหุ้น
ย้อนหลัง 22 วันทำการ ดังนี้
วันที่ ราคา วันที่ ราคา
0 50 11 51.08
1 50.00 12 51.84
2 50.00 13 50.88
3 50.41 14 50.88
4 51.10 15 50.58
5 51.01 16 49.75
6 50.89 17 48.90
7 51.08 18 48.67
8 51.08 19 48.31
9 51.08 20 47.51
10 51.08 21 47.51
19) (ประเมินราคาคอลออปชันและการป้องกันความเสี่ยง) ให้เลือกหุ้นที่ตนเองสนใจ 1 บริษัทที่จด
ทะเบียนในตลาดหลักทรัพย์ (เช่น หุ้นใน SET100 หรือหุ้นที่มีสภาพคล่องสูง) แล้วดึงข้อมูลราคาหุ้น
ย้อนหลัง 252 วันทำการ (ประมาณ 1 ปี) จากแหล่งข้อมูล เช่น https://www.settrade.com หรือ
https://finance.yahoo.com
19.1) คำนวณผลตอบแทนลอการิทึมรายวันของราคาหุ้น
19.2) คำนวณอัตราดริฟท์ (drift) รายปี
19.3) คำนวณค่าความผันผวน (volatility) รายปี
19.4) สมมุ ต ิ ส ถานการณ์ : คุ ณ ต้ อ งการซื ้ อ คอลออปชั น แบบยู โ รเปี ย นของหุ ้ น นี ้ โดยมี
พารามิ เ ตอร์ ท ี ่ เ กี ่ ย วข้ อ ง ดั ง นี้ ราคาหุ ้ น ปั จ จุ บ ั น S (0) = ราคาปิ ด ล่ า สุ ด , ราคาใช้ ส ิ ท ธิ
60
K S (0) ×1.05 , ระยะเวลา T =
= , อัตราดอกเบี้ยปราศจากความเสี่ยง r = 0.03
365
จงประเมินราคาคอลออปชันโดยใช้สูตร Black-Scholes
19.5) วิเคราะห์ว่าการซื้อคอลออปชันนี้เหมาะสมต่อการป้องกันความเสี่ยงของพอร์ตหรือไม่
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 196 · หน้าพิมพ์ 184 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
184 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
20) (ประเมินราคาพุทออปชันและการป้องกันความเสี่ยง) เลือกหุ้นที่สนใจ แล้วดำเนินการดังต่อไปนี้
ดึงข้อมูลราคาหุ้นย้อนหลัง 1 ปี
คำนวณผลตอบแทนรายวัน
20.1) คำนวณผลตอบแทนลอการิทึมรายวันของราคาหุ้น
20.2) คำนวณอัตราดริฟท์รายปี
20.3) คำนวณค่าความผันผวนรายปี
20.4) สมมุติว่าคุณต้องการซื้อพุทออปชันแบบยูโรเปียนเพื่อป้องกันความเสี่ยง โดยมีกำหนด
พารามิเตอร์ในการประเมินราคาดังต่อไปนี้ ราคาหุ้นปัจจุบัน S (0) = ราคาปิดล่าสุด, ราคาใช้สิทธิ
90
K S (0) × 0.95 , ระยะเวลา T =
= , อัตราดอกเบี้ย r = 0.025 จงประเมินราคาราคาพุทออป
365
ชันโดยใช้สูตร Black-Scholes
20.5) วิเคราะห์ว่าการซื้อพุทออปชันนี้เหมาะสมต่อการป้องกันความเสี่ยงของพอร์ตหรือไม่
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์