บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย
เนื้อหาประกอบด้วย
9.1 พื้นฐานอัตราดอกเบี้ยลอยตัว
9.2 ราคาฟอร์เวิร์ดของตราสารหนี้ไม่จ่ายคูปองและฟอร์เวิร์ดอัตราดอกเบี้ย
9.3 สัญญาฟอร์เวิร์ดอัตราดอกเบี้ยและฟอร์เวิร์ดอัตราดอกเบี้ย xIBOR
9.4 สัญญาฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ย xIBOR
9.5 ค่าความผันผวนตามนัยและราคาของฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ยที่มีการปรับแต่งความนูน
9.6 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย

บทนำ

        สั ญญาสวอป หรื อ สั ญ ญาแลกเปลี ่ ย น (swap contact) เป็น สัญ ญาในการแลกเปลี่ย น
สินทรัพย์หรือตัวแปรทางการเงินที่จะเกิดขึ้นในอนาคตระหว่างคู่สัญญาซึ่งเป็นสินทรัพย์หรือตัวแปร
ทางการเงิน เช่น เงินตราต่างประเทศหรืออัตราดอกเบี้ย เครดิต หลักทรัพย์ เป็นต้น สัญญาสวอป ถือ
เป็นเครื่องมือในการบริหารความเสี่ยง ผู้บริหารความเสี่ยงควรให้ความสำคัญอย่างยิ่ง สวอปถูก
นำมาใช้ในการบริห ารความเสี่ ยงในด้านต่าง ๆ ที่จะเกิดในอนาคต เช่นความผันผวนจากอัต รา
แลกเปลี่ยนเงินตราระหว่างประเทศ ความผันผวนจากอัตราดอกเบี้ย หรือความผันผวนของกระแส
เงินสดเกิดขึ้นในอนาคต ความผันผวนเหล่านี้ อาจมีผลจากความผันผวนทางเศรษฐกิจของประเทศ
นั้น ๆ หรือของประเทศคู่ค้า หรือ ของประเทศที่ใช้เป็นประเทศอ้างอิงเงินตรา ตลอดจนความผันผวน
ของภาวะเศรษฐกิจโลก สัญญาสวอปที่เป็นที่รู้จักกันแพร่หลาย ได้แก่ สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย
(interest rate swap) สัญญาสวอปเงินตราต่างประเทศ (currency. swap). สัญญาสวอปของการ
ผิดนัดชำระหนี้ของบริษัท (credit default. swap) สัญญาสวอปหลักทรัพย์ (equity. swap)
        ในบทนี้จะกล่าวถึงสัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย ซึ่งเป็นสัญญาทางการเงินประเภทหนึ่งที่
คู่สัญญาตกลงที่จะแลกเปลี่ยนภาระการชำระดอกเบี้ยให้แก่กันและกันภายในระยะเวลาที่กำหนดไว้

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

328                                                                 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
เพื่อป้องกันความเสี่ยงจากความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย โดยจำนวนเงินค่าดอกเบี้ยที่ต้องชำระ
ขึ้นอยู่กับจำนวนเงินต้น อ้างอิ งตามที่ระบุไว้ในสัญญา การแลกเปลี่ยนเป็นส่วนที่ เกี ่ยวกับ ภาระ
ดอกเบี้ยเท่านั้น ไม่มีการแลกเปลี่ยนเงินต้นกัน คู่สัญญาซึ่งเข้าทำสัญญาแลกเปลี่ยนอัตราดอกเบี้ยไม่
จำต้องมีการทำสัญญาเงินกู้ระหว่างกัน แต่เมื่อเข้าทำสัญญาแลกเปลี่ยนอัตราดอกเบี้ยแล้ว (interest
rate swap) คู่สัญญาทั้งสองฝ่ายมีภาระผูกพันที่จะต้องชำระเงินภายใต้ระยะเวลาและเงื่อนไขที่
กำหนดไว้ในสัญญาแลกเปลี่ยน เงินผลต่างที่เกิดจากการแลกเปลี่ยนอัตราดอกเบี้ย
หมายเหตุ จำนวนเงินต้นอ้างอิง หมายถึง เงินต้นซึ่งมิใช่จำนวนเงินที่แลกเปลี่ยนกันจริงเมื่อเริ่มทำ
สัญญาแลกเปลี่ยน เพียงแต่ใช้อ้างอิงเพื่อคำนวณหาจำนวนเงินจากอัตราดอกเบี้ยคงที่และอั ตรา
ดอกเบี้ยลอยตัว และสัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย ที่จะกล่าวถึงในบทนี้เป็นสัญญาสวอปที่มีรูปแบบไม่
ซับซ้อนซึ่งเรียกว่า “plain vanilla swap”

9.1 พื้นฐานอัตราดอกเบี้ยลอยตัว

        ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงความรู้พื้นฐานอัตราดอกเบี้ยลอยตัว อัตราดอกเบี้ยลอยตัวที่นิยมใช้
อ้างอิงกัน โดยเริ่มต้นจากการแนะนำความรู้เรื่องของวิธีการนับจำนวนวันลงทุน

9.1.1 วิธีการนับจำนวนวัน

        การนับจำนวนวันลงทุนหรืออายุของสัญญา สำหรับหน่วยเวลาเป็นปี สามารถคำนวณได้จาก
                                                จำนวนวันที่ลงทุน
                                           t                                                  (9.1)
                                                 จำนวนวันต่อปี
โดยวิธีการนับจำนวนวัน สามารถทำได้หลายวิธี คือ
        1) การนับจำนวนวันแท้จริง (นับวันแน่นอน)
        วิธีนี้ จำนวนวันลงทุน นับเป็นจำนวนวันแน่นอนจากวันเริ่มต้นถึงวันสุดท้าย และกำหนด
จำนวนวันต่อปีจะเท่ากับ 365 วัน หรือ 366 วัน
        2) การนับจำนวนวันสามัญ(นับวันโดยประมาณ)



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                               329
        วิธีนี้กำหนดว่าแต่ละเดือนมี 30 วัน ดังนั้นจำนวนวันต่อปี เท่ากับ 360 วัน และจำนวนวัน
ลงทุนเขียนเป็นสูตรคำนวณได้ดังนี้
                        360(YT  Y0 )  30( M T  M 0 )  ( DT  D0 )                        (9.2)
โดยที่ D0 , M 0 และ Y0 แทน วัน เดือน และ ปี ของวันเริ่มต้นลงทุน และ DT , M T และ YT
แทน วัน เดือน และ ปี ของวันสุดท้ายของการลงทุน
หมายเหตุ สำหรับวันที่ 28 กุมภาพันธ์ (ปีที่มี 365 วัน) , 29 กุมภาพันธ์ (ปีที่มี 366 วัน) และวันที่
31 ของเดือนที่ลงท้ายด้วยคม เมื่อแทนในสูตร (9.2) ให้แทน ด้วยวันที่ 30 ส่วนวันอื่นแทนตามปกติ
        3) การนับวันด้วยวิธี กฎของธนาคาร (banker’s rule)
        วิธีนี้กำหนดวันต่อปี เท่ากับ 360 วัน แต่นับจำนวนวันลงทุนเป็นจำนวนวันแน่นอน ดังนั้น
เมื่อเปรียบเทียบวิธีการนับจำนวนวันระหว่างในการคำนวณดอกเบี้ยโดยวิธีนับวันแน่นอน และกฎ
ของธนาคาร นักลงทุนหรือผู้ฝากเงินย่อมพอใจกฎของธนาคารมากกว่าเพราะว่ากฎของธนาคารให้
ดอกเบี้ยมากกว่า

 ตัวอย่างที่ 9.1 จงนับวันลงทุนของโครงการลงทุนหนึ่งซึ่งเริ่มลงทุนวันที่ 12 กุมภาพันธ์ 2563
 และวันสิ้นสุดโครงการวันที่ 23 สิงหาคม 2566 โดย
          1) นับจำนวนวันแท้จริง และ เวลาลงทุนในหน่วยปี
          2) นับจำนวนวันสามัญ
   วิธีทำ 1) นับจำนวนวันแท้จริง
 จำนวนวันทั้งหมด = (366-11-31)+365+365+(365-8-30-31-30-31)=1,289 วัน
 สมมติ 1 ปี =365 วัน ดังนั้นเวลาลงทุนในหน่วยปี เท่ากับ 1, 289  3.5315 ปี
                                                              365
          2) นับจำนวนวันสามัญ
 จาก จำนวนวันลงทุน  360(YT  Y0 )  30(M T  M 0 )  ( DT  D0 )
 จะได้ จำนวนวันลงทุน  360(2566  2563)  30(8  2)  (23 12)  1, 271 วัน
 1 ปี =360 วัน ดังนั้นเวลาลงทุนในหน่วยปี เท่ากับ 1, 271  3.5306 ปี                          
                                                       360


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

330                                                                      อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
9.1.2 อัตราดอกเบี้ยลอยตัว xIBOR

         อั ต ราดอกเบี ้ ย ลอยตั ว ที ่ น ิ ย มใช้ ใ นการทํ า ธุ ร กรรมมี ห ลายอั ต ราอ้ า งอิ ง เช่ น LIBOR
(London Interbank Offered Rate), EURIBOR (European Banking Federation), CIBOR
(Nasdaq OMX), BIBOR (Bangkok Interbank Offered Rate) แ ล ะ THOR (Thai Overnight
Repurchase Rate) เป็นต้น ซึ่งอัตราดอกเบี้ยแต่ละชนิดก็มีวิธีการคำนวณที่แตกต่างกัน เพื่อความ
สะดวกในตำรานี้หากไม่ระบุว่าเป็นอัตราดอกเบี้ยลอยตัวชนิดใด จะระบุเป็นอัตราดอกเบี้ย xIBOR
กำหนดให้อัตราดอกเบี้ย xIBOR จ่ายทันที ณ เวลา t (spot xIBOR rate) ระยะเวลา  (หน่วย ปี)
จ่ายระหว่างเวลา t ถึง t   แทนด้วยสัญลักษณ์ Lt (t , t   ) โดย Lt (t , t   )  t เมื่อ t คิดทบต้น
ต่อเนื่องสำหรับช่วงเวลา t ถึง t   และสำหรับเวลาในอนาคต T  t เราได้ว่า LT (T , T   ) เป็น
ตัวแปรสุ่ม (random variable) ดังนั้นหากที่เวลา t เรากู้ยืมเงินจำนวน N บาท ที่เวลา t   เรา
จะต้องจ่ายเงินคืนทั้งหมด N 1   Lt (t , t   ) บาท จะเห็นว่าการคิดดอกเบี้ยในลักษณะนี้เป็นการคิด
ดอกเบี้ยเชิงเดี่ยว
หมายเหตุ 1) อั ต ราดอกเบี ้ ย ลอยตั ว ที ่ น ิ ย มใช้ อ ้ า งอิ ง กั น มากที ่ ส ุ ด คื อ อั ต ราดอกเบี ้ ย LIBOR
.(London Interbank Offered Rate) สำหรับประเทศไทยตั้งแต่ปี พ.ศ.2564 ธนาคารกลางแห่ ง
ประเทศไทยได้ประกาศยกเลิกการใช้อัตราดอกเบี้ย LIBOR เป็นอัตราดอกเบี้ยอ้างอิง โดยให้ใช้
อั ต ราดอกเบี ้ ย อ้ า งอิ ง THOR หรื อ อั ต ราดอกเบี ้ ย อ้ า งอิ ง ธุ ร กรรมซื ้ อ ข้ า มคื น (Thai Overnight
Repurchase Rate: THOR) ซึ่งคำนวณจากธุรกรรมซื้อพันธบัตรภาคเอกชนระยะข้ามคืนระหว่างคู่
ค้าที่เป็นธนาคาร เพื่อเป็นการส่งเสริมและผลักดันให้เกิดการใช้อัตราดอกเบี้ยอ้างอิง THOR ในตำรา
เล่มนี้จะใช้อัตราดอกเบี้ย THOR เป็นอัตราดอกเบี้ยอ้างอิง โดยอัตราดอกเบี้ย THOR เพียงในนามต่อ
ปีคิดทบต้นทุก m เดือน จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ m-THOR
         2) อัตราดอกเบี้ย THOR + spread คือ อัตราดอกเบี้ย THOR ที่บวกด้วยส่วนต่างอัตรา
ดอกเบี้ยที่เรียกว่าอัตรา spread (%) โดยที่ส่วนต่างอัตราดอกเบี้ยจะเป็นอัตราดอกเบี้ยที่ธนาคาร
หรือผู้ให้กู้บวกเพิ่มเติมเข้าไปกับอัตราดอกเบี้ยลอยตัวเพื่อเป็นส่วนชดเชยความเสี่ยงจากความผัน
ผวนของอัตราดอกเบี้ย อัตราดอกเบี้ยของแต่ละธนาคารจะขึ้นอยู่กับกลไกตลาดเงินและการแข่งขัน

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                            331
ระหว่างธนาคาร โดยมักอ้างอิงกับอัตราดอกเบี้ยนโยบายของภาครัฐ และมีส่วนต่างแตกต่างกันไป
เพื่อผลประโยชน์สูงสุดของธนาคาร
        3) อัตราดอกเบี้ยในตลาดการเงินไทยนั้นมีทั้งอัตราดอกเบี้ยเงินฝากประเภทต่างๆ และอัตรา
ดอกเบี้ย เงินกู้อีกหลายประเภท ซึ่งสามารถจำแนกตามระยะเวลาของการฝากหรือการกู้เช่น อัตรา
ดอกเบี้ยเงินฝากประเภท1 เดือน, 3 เดือน หรือ 2 ปี เป็นต้น สำหรับอัตราดอกเบี้ย ที่เราคุ้นเคย
ได้แก่ อัตราดอกเบี้ย MLR, MOR และ MRR นอกจากนี้ยังมีอัตราดอกเบี้ยการกู้ยืมเงินกันระหว่าง
สถาบันการเงิน เข่น อัตราดอกเบี้ย REPO, BIBOR หรือ อัตราดอกเบี้ย THBFIX ซึ่ง จะมีระะยะ
เวลาสั้นสุดตั้งแต่อัตราดอกเบี้ยข้ามคืน (หรือ overnight rate) อัตรา 1 วัน, 7 วัน,14 วัน, 1 เดือน
ไปจนถึง 1 ปี
ตาราง 9.2 อัตราดอกเบี้ยอ้างอิง m-THOR (หน่วย : ร้อยละต่อปี)




ที่มา: ข้อมูลวันที่ 14 กรกฏาคม พ.ศ.2564 สมาคมตลาดตราสารหนี้ไทย (THAIBMA)
ตาราง 9.3 อัตราดอกเบี้ยอ้างอิง THOR average (หน่วย : ร้อยละต่อปี)




ที่มา: ข้อมูลวันที่ 12 พฤษภาคม พ.ศ.2564 สมาคมตลาดตราสารหนี้ไทย (THAIBMA)




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

332                                                                                   อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
9.2 ราคาฟอร์เวิร์ดของตราสารหนี้ไม่จ่ายคูปองและฟอร์เวิร์ดอัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ด

              สำหรับ T1  T2 พิจารณาสัญญาฟอร์เวิร์ด หรือ สัญญาล่วงหน้า (forward contact) อายุ
T1 ปี บ นตราสารหนี ้ ไ ม่ ม ี ค ู ป องอายุ       ไถ่ถอน T2 ปี ( T2 -zero coupon bond: T2 -zcb) กำหนดให้
Z t , T2    เป็นราคาที่เวลา t ของตราสารหนี้ไม่มีคูปองอายุไถ่ถอน 1 บาทที่เวลา T2 และ 2 เป็น
อัตราดอกเบี้ยต่อปีคิดทบต้นต่อเนื่องของ T2 -zcb สำหรับ 0  t  T2 จะได้
                                                        Z t , T2   e2 (T2 t )                              (9.3)
กำหนดให้ P(t , T2 ) เป็นราคาตราสารหนี้ที่เวลา t ที่มีราคาไถ่ถอน X ซึ่งเท่ากับราคาที่ตราไว้ ( T2 -
zcb- X ) จะได้
                                          P (t , T2 )  XZ (t , T2 )                                             (9.4)
กำหนดให้ F (t , T1 , T2 ) เป็นราคาฟอร์เวิร์ด (forward price) บนตราสารหนี้ดังกล่าว ตกลงกันที่เวลา
t ที่จะซื้อ T2 -zcb ที่เวลา T1 พิจารณาพอร์ตการลงทุน a และ b ที่เวลา t ดังนี้


 พอร์ต a ประกอบด้วย T2 -zcb
 พอร์ต b ประกอบด้วยสัญญาล่วงหน้าอายุ T1 บน T2 -zcb ซึ่งมีราคาใช้สิทธิ์ (delivery price) K ที่เวลา T1

เนื่องจากมูลค่าไถ่ถอนที่เวลา T2 ของทั้งพอร์ต a และ พอร์ต b เท่ากันคือ 1 บาทโดยหลักการ
ปราศจากการค้ากำไร (no arbitrage principal: NAP) จะได้ว่า มูลค่าปัจจุบันที่เวลา t ของทั้ง 2
พอร์ตต้องเท่ากัน คือ
                                                        Z t , T2   KZ t , T1                                (9.5)
เนื่องจากราคาล่วงหน้าบนตราสารหนี้ F (t , T1 , T2 ) คือราคาใช้สิทธิ์ K ดังนั้น
                                              Z (t , T2 ) e2 (T2 t )
                     F (t , T1 , T2 )  K 
                                              Z (t , T1 )
                                                            (T t )  e  2 2
                                                                            (T t )1 (T1 t )
                                                                                                                 (9.6)
                                                           e 1 1

เมื่อ 1 เป็นอัตราดอกเบี้ยต่อปีคิดทบต้นต่อเนื่องของ T2 -zcb สำหรับ 0  t  T1 และราคาล่วงหน้า
บนตราสารหนี้ T2 -zcb- X เท่ากับ XF (t , T1 , T2 )



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                                       333




  รูปที่ 9.1 ราคาตราสารหนี้ T2 -zcb ณ วันออกสัญญา t  0 และราคาที่เวลา t ใด ๆ ตามลำดับ

กำหนดให้ f เป็นอัตราดอกเบี้ยต่อปีคิดทบต้นต่อเนื่องซึ่ง F (t , T1 , T2 )  e f (T T ) จากสมการ
               1,2
                                                                                                     1,2     2   1




(9.6) ได้ว่า
                                                     f1,2 (T2 T1 )
                                                                       e  2 2
                                                                            (T t )1 (T1 t )
                               F (t , T1 , T2 )  e
                                                          2 (T2  t )  1 (T1  t )
โดยการแก้สมการสำหรับ f , ได้  1,2          f1,2 t  
                                                                  T2  T1

เรียก f1,2 t  ว่า “อัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ด หรือ อัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า (forward interest rate)”
สำหรับช่วงเวลา T1 ถึง T2 ทำสัญญา ณ เวลา t




                     รูปที่ 9.2 อัตราดอกเบี้ยของ zcb และ อัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ด f                         1,2




เพื่อความสะดวก กำหนดให้ T1  T และ T2  T   และแทน f1,2 t  ด้วย fT ,T  t  จะได้
                                                  2 (T    t )  1 (T  t )
                                     fT ,T  
                                                              
                                                                                                                     (9.7)


 ตัวอย่างที่ 9.2 ตั๋วเงินคลังไม่มีคูปองฉบับหนึ่งอายุ 12 เดือน (12m-zcb) มีราคาที่ตราไว้ 1,000
 บาท ซื้อขายในราคาส่ วนลด 5% ต่อปี และมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้ สมมติอัต รา
 ดอกเบี้ยของตั๋วเงินคลังบนช่วง [0,9/12] เท่ากับอัตราดอกเบี้ยบนช่วง [0,1]
           1) จงคำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของสัญญาฟอร์เวิร์ดบน 12m-zcb ณ ปลายเดือนที่ 3 และ
 เวลาใช้สิทธิปลายเดือนที่ 9

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

334                                                                                 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
            2) จงหาอัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ด สำหรับช่วงเดือนที่ 9 ถึง เดือนที่ 12
 วิธีทำ 1) จากโจทย์ให้ T1  9 / 12 , T2  12 / 12  1 และ t  3 / 12 จากส่วนลด 5% ราคาของ
 12m-zcb ณ เท่ากับ 0.951,000  950 บาท ให้  เป็นอัตราดอกเบี ้ย คิดทบต้ นต่ อเนื่อ งของ
 12m-zcb บนช่วง [0,1] ปี จะได้
                                                                         1000 
              P 0, T2   950  1,000 Z 0, T2   1,000e*1    ln            0.051293
                                                                          950 

 เป็นอัตราดอกเบี้ยของตั๋วเงินคลังบนช่วง [0,9/12] เท่ากับอัตราดอกเบี้ยบนช่วง [0,1] ดังนั้น รา
 คาฟอร์เวิร์ดของสัญญาฟอร์เวิร์ดดังกล่าว เท่ากับ
                                     Z (3 / 12,1) 
  1, 000 F (t , T1 , T2 )  1, 000                       1, 000e0.051293(19/12)
                                      Z (3 / 12,9 / 12) 

                          1, 000 0.987259  987.259

            2) ให้ f เป็นอัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ด จะได้
                       1,2



                              987.259                f (19/12)            12 ln 0.987259
         F (t , T1 , T2 )             0.987259  e 1,2          f1,2                   0.05129145
                               1, 000                                               3

                                                                                                                


9.3 สัญญาฟอร์เวิร์ดอัตราดอกเบี้ยและฟอร์เวิร์ดอัตราดอกเบี้ย xIBOR

          สั ญญาฟอร์ เ วิ ร ์ ด อั ต ราดอกเบี ้ ย หรื อ สั ญญาอัต ราดอกเบี้ยล่วงหน้า (forward rate
agreements: FRAs) เป็นสัญญาฟอร์เวิร์ดหรือสัญญาล่วงหน้า (forward contract) ที่อ้างอิงกับ
อัตราดอกเบี้ย ส่วนใหญ่จะซื้อขายในตลาดระหว่างสถาบันการเงินและธนาคารอื่น ๆ (interbank)
โดยคู่สัญญาที่ทำสัญญา FRA นั้น ตกลงกันจะชำระส่วนต่างที่อาจจะเกิดขึ้นจากการที่ดอกเบี้ยใน
อนาคตมีการปรับตัวเพิ่มขึ้นหรือลดลงจากอัตราดอกเบี้ยที่กำหนดไว้ในสัญญา โดยถ้าอัตราดอกเบี้ยที่
ใช้อ้างอิง xIBOR สูงขึ้นเกินกว่าอัตราที่ตกลงกันไว้ (อัตราใช้สิทธิ K :strike rate or FRA rate ) ณ
วันใช้สิทธิ ผู้ขาย FRA จะต้องจ่ายภาระดอกเบี้ยส่วนที่เกินนี้ให้กับผู้ซื้อ FRA แต่ในทางกลับกันถ้า
อัตราดอกเบี้ยลดลงกว่าอัตราดอกเบี้ยที่ตกลงกันไว้ตอนแรก ผู้ซื้อจะต้องจ่ายภาระดอกเบี้ยส่วนต่างนี้
ให้กับผู้ขาย FRA อัตราดอกเบี้ยอ้างอิงที่นิยมที่สุดสำหรับใช้กับ FRA ก็คือ อัตราดอกเบี้ย LIBOR
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                 335
ประเภท 3 เดือน สำหรับสัญญาฟอร์เวิร์ดที่ตกลงทำสัญญาที่เวลา t  T โดยมีเงินต้นอ้างอิง N
(notional principle) และ LT (T , T   ) เป็ น อั ต ราดอกเบี ้ ย xIBOR จ่ า ยทั น ที ณ เวลา T จ่ า ย
ระหว่างเวลา T ถึง T   เพื่อความเข้าใจที่มากขึ้นขอให้ศึกษาจากตัวอย่างต่อไปนี้


 ตัวอย่างที่ 9.3 บริษัท a กู้เงิน 10 ล้านบาท กับธนาคารแห่งหนึ่งโดยธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ย
 ลอยตัว THOR+1% ต่อปีโดยมีกำหนดจ่ายดอกเบี้ยทุกปี (ทุก 12 เดือน) ต่อมาบริษัท a ประเมิน
 จากสภาพเศรษฐกิจที่ผ่านมา อัตราดอกเบี้ย THOR มีแนวโน้มปรับตัวสูงขึ้นไปอยู่ที่ 9 % ต่อปี
 เพื่อเป็นการป้องกันความเสี่ยงดังกล่าว บริษัท a จึงตัดสินใจทำสัญญา FRA กับธนาคาร b และ
 สามารถกำหนดอัตราดอกเบี้ยในสัญญาได้เท่ากับ 8 % ต่อปี ที่เงินต้น 10 ล้านบาท กำหนดให้
 บริษัท a มีสถานะเป็นผู้ซื้อ FRA และธนาคาร b เป็นผู้ขาย FRA โดยมีการชำระส่วนต่างของ
 ดอกเบี้ยทุก ๆปี จงพิจารณาว่าสัญญาดังกล่าวจะช่วยป้องกันความเสี่ยงจากการเปลี่ยนแปลงอัตรา
 ดอกเบี้ยหรือไม่ อย่างไร ในกรณีต่าง ๆ ดังนี้
          1) อัตราดอกเบี้ย THOR ปรับตัวขึ้นสูงขึ้นไปอยู่ที่ 10.5 % ต่อปี ในอีก 12 เดือนข้างหน้า
          2) อัตราดอกเบี้ย THOR ปรับตัวลดลงเหลือ 6.5 % ต่อปี ในอีก 12 เดือนข้างหน้า
 วิธีทำ 1) ในกรณีที่อัตราดอกเบี้ย THOR มีการปรับตัวขึ้นสูงขึ้นไปอยู่ที่ 10.5 % ต่อปีในอีก 12
 เดือนข้างหน้า บริษัท a จะภาระในการจ่ายอัตราดอกเบี้ยเงินกู้ เท่ากับ 10.5 %+1%=11.5% ต่อ
 ปี ซึ่งสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยประมาณการที่เท่ากับ 9% ต่อปี อย่างไรก็ตามบริษัท a ได้ทำสัญญาไว้
 กับธนาคาร b ที่อัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปี ในกรณีนี้บริษัท a จะได้รับอัตราดอกเบี้ยส่วนต่างเท่ากับ
 10.5%-8%=2.5% ต่ อ ปี นั ่ น คื อ บริ ษ ั ท aได้ ร ั บ ดอกเบี ้ ย จาก ธนาคาร b เท่ า กั บ
 2.5% 10,000,000  250,000 บาท

          2) ในกรณีที่อัตราดอกเบี้ย THOR ปรับตัวลดลงเหลือ 6.5 % ต่อปีต่อปีในอีก 12 เดือน
 ข้างหน้า บริษัท a จะภาระในการจ่ายอัตราดอกเบี้ยเงินกู้ เท่ากับ 6.5 %+1%=7.5% ต่อปี ซึ่งตํ่า
 กว่าอัตราดอกเบี้ยประมาณการที่เท่ากับ 9% ต่อปี อย่างไรก็ตามบริษัท a ได้ทำสัญญาไว้กับ
 ธนาคาร b ที่อัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปี ในกรณีนี้บริษัท a ต้องชำระอัตราดอกเบี้ยส่วนต่างเท่ากับ

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

336                                                           อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
 8%-7.5%=0.5% ต่ อปี ให้ กั บ ธนาคาร b นั ่ น คื อ บริษัท a จ่ายเงิน ดอกเบี้ย ให้กับ ธนาคาร b
 เท่ากับ 0.5% 10,000,000  50,000 บาท




    รูปที่ 9.3 สัญญาฟอร์เวิร์ดอัตราดอกเบี้ยระหว่างบริษัท a (ผู้ซื้อ FRA) และ ธนาคาร b (ผู้ขาย
                                                      FRA)

 จากแผนภาพจะเห็นว่าบริษัท a สามารถปรับอัตราดอกเบี้ยลอยตัว THOR+1% ต่อปี มาเป็น
 อัตราดอกเบี้ยคงที่ 8% ต่อปีได้ เพื่อเป็นการป้องกันความเสี่ยงจากความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย
 ในตลาด ซึ่งจะเห็นว่าหากบริษัท a คาดการณ์ถูกต้องว่าอัตราดอกเบี้ยตลาดจะปรับตัวสูงขึ้นจริง
 เป็น 10.5 % บริษัท a จะประหยัดเงิ นเพื่ อจ่ายเป็น ค่ าดอกเบี ้ย ได้มากถึ ง 250,000 บาท แต่
 อย่างไรก็ตามหากบริษัท a คาดการณ์เหตุการณ์ผิดอัตราดอกเบี้ยตลาดปรับตัวลดลงเป็น 6.5%
 บริษัท a ก็จะต้องจ่ายเงินเพิ่มเป็นค่าดอกเบี้ย 50,000 บาท                                   


         จากตัวอย่างจะเห็นว่าสัญญา FRA ประกอบด้วย ผู้ซื้อ FRA ซึ่งจะเป็นฝั่งที ่ถือดอกเบี้ ย
ลอยตัวอยู่และมีความประสงค์จะซื้ออัตราดอกเบี้ยคงที่ K กับผู้ขาย FRA ซึ่งจะเป็นฝั่งที่จะขาย
อัตราดอกเบี้ย คงที่ K โดยผลประโยชน์ของทั ้ง 2 ฝ่ายจะขึ้นอยู่ กั บระดับ การเปลี่ยนของอัต รา
ดอกเบี้ยจ่ายทันที LT T , T    ซึ่งสรุปได้ดังนี้
         สำหรับผู้ซื้อ FRA

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                    337
                      จ่าย (pay)       NK                          ที่เวลา T  
                      รับ (receive)            NLT T , T                   ที่เวลา T  
ดังนั้น ผลประโยชน์ (payoff) สำหรับผู้ซื้อ FRA ที่เวลา T   เท่ากับ  N  LT T , T    K 
นั่นคือ ผลประโยชน์ สำหรับผู้ซื้อ FRA ที่เวลา T ซึ่งจะแทนด้วย , PofTbuyer
                                                   N  LT T , T     K 
                                   PofTbuyer                                                     (9.8)
                                                    1   LT T , T   

จากสมการประโยชน์สำหรับผู้ซื้อ FRA จะเห็นว่า ณ วันใช้สิทธิ หากอัตราดอกเบี้ย LT (T , T   )
สูงขึ้นเกินกว่า อัตราใช้สิทธิ K ผู้ซื้อ FRA จะได้รับเงินสดคำนวณจากดอกเบี้ยส่วนที่เกินจากผู้ขาย
FRA แต่ในทางตรงกันข้ามหากอัตราดอกเบี้ย LT (T , T   ) ลดลงกว่าอัตราใช้สิทธิ K ผู้ซื้อจะต้อง
จ่ายเงินสดคำนวณจากดอกเบี้ยส่วนต่างนี้ให้กับผู้ขาย FRA
        สำหรับผู้ขาย FRA
                      รับ              NK                          ที่เวลา T  
                      จ่าย             NLT T , T               ที่เวลา T  
ดังนั้น ผลประโยชน์ สำหรับผู้ขาย FRA ที่เวลา T   เท่ากับ  N  K  LT T , T   
นั่นคือ ผลประโยชน์ สำหรับผู้ขาย FRA ที่เวลา T ซึ่งจะแทนด้วย , PofTseller
                                                   N  K  LT T , T   
                                   PofTseller                                                    (9.9)
                                                    1   LT T , T   

จากสมการผลประโยชน์สำหรับผู้ขาย FRA จะเห็นว่า ณ วันใช้สิทธิ หากอัตราดอกเบี้ย LT (T , T   )
สูงขึ้นเกินกว่า อัตราใช้สิทธิ K ผู้ขาย FRA จะได้จ่ายเงินสดคำนวณจากดอกเบี้ยส่วนที่เกินให้กับผู้ซื้อ
FRA แต่ในทางตรงกันข้ามหากอัตราดอกเบี้ย LT (T , T   ) ลดลงกว่าอัตราใช้สิทธิ K ผู้ขายจะ
ได้รับเงินสดคำนวณจากดอกเบี้ยส่วนต่างนี้ให้กับผู้ซื้อ FRA
        จากธุรกรรมของคู่สัญญาของ FRA จะเห็นว่าเป็นธุรกรรมระหว่างอัตราดอกเบี้ย 2 ฝั่ง คือ
ฝั่งอัตราดอกเบี้ยคงที่ (fixed leg) และ ฝั่งอัตราดอกเบี้ยลอยตัว (floating leg) ถ้าพิจารณามูลค่า
ปัจจุบันของกระแสเงินสดในแต่ละฝั่ง จะได้ว่า มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดที่เวลา t ของฝั่งอัตรา
ดอกเบี้ยคงที่ (fixed leg) แทนด้วยสัญลักษณ์ PV fixed
                                               FRA
                                                    (t ) ,



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

338                                                                                      อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
                                                                   KN                    KN
                                     FRA
                                 PV fixed (t )  Z (t , T ) 
                                                                 1  K
                                                                         e (T t ) 
                                                                                        1  K
                                                                                                                   (9.10)
ในทำนองเดียวกัน มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดที่เวลา t ของฝั่งอัตราดอกเบี้ยลอยตัว (floating
leg) แทนด้วยสัญลักษณ์ PV floating
                          FRA
                                  (t ) ,

                                                                  L  s N                       L  s N
                                  FRA
                              PV floating (t )  Z (t , T )                    e (T t )                      (9.11)
                                                                  1  L                           1  L

เมื่อ s เป็นอัตรา spread (%), N แทนเงินต้นอ้างอิง (notional principle ) และ L  LT T , T   
อัตราดอกเบี้ย xIBOR จ่ายทันที (อัตราดอกเบี้ยตลาด) สำหรับช่วงเวลา T ถึง T   โดยเฉพาะอย่าง
ยิ่ง ถ้า  เป็นอัตราดอกเบี้ยต่อปีคิดทบต้นต่อเนื่องของ T -zcb สำหรับ 0  t  T
                                                       KN                                           L  s N
                      FRA
                  PV fixed (t )  e
                                     (T t )
                                                 
                                                     1  K
                                                              และ PV floating
                                                                      FRA
                                                                              (t )  e (T t )                  (9.12)
                                                                                                        1  L

           สำหรับการซื้อขาย FRA กำหนดอัตราใช้สิทธิ (อัตราดอกเบี้ยคงที่) K  F FRA (t , T , T   )
เมื ่ อ F FRA (t , T , T   ) เป็ น อั ต ราที ่ ท ํ า ให้           PVt FRA   (หรื อ npv ) เท่ า กั บ 0 กํ า หนดให้
F FRA (t , T , T   )   แทนอัตราดอกเบี้ย xIBOR ฟอร์เวิร์ด (fixed rate) ที่เวลา t สำหรับช่วงเวลา T
ถึง T   ซึ่งเป็นค่าของอัตราใช้สิทธิ์ K ซึ่งสัญญา FRA มีมูลค่าเป็นศูนย์ที่เวลา t  T

ทฤษฎีบท 9.1 สำหรับทุก ๆ เวลา t  T อัตราดอกเบี้ย xIBOR ฟอร์เวิร์ด
                                                              Z t , T   Z t , T   
                              F FRA (t , T , T   )                                                              (9.13)
                                                                    Z t , T   

เมื่อ Z t , T  เป็นราคาที่เวลา t ของตราสารหนี้ไม่มีคูปองอายุไถ่ถอน 1 บาทที่เวลา T
พิสูจน์ พิจารณาพอร์ตการลงทุนที่ประกอบด้วย T -zcb ในสถานะลอง (long position) ซึ่งมีราคา
ไถ่ถอน 1 บาท ที่เวลา T และ T    - zcb ในสถานะชอร์ต(short position) ซึ่งมีมูลค่าชำระคืน
1   K บาทที่เวลา T  

           ที่เวลา T   มูลค่าของพอร์ตเท่ากับ
                               1   LT T , T     1   K     LT T , T     K                     (9.14)
ซึ่งเป็นผลประโยชน์ของ FRA ดังนั้นมูลค่าของ FRA ที่เวลา t จะแทนด้วย VK (t , T ) ,
                                      VK (t , T )  Z t , T   1   K  Z t , T                            (9.15)

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                                        339
เนื่องจาก Zt (T , T   ) เป็นอัตราดอกเบี้ย xIBOR ฟอร์เวิร์ดที่เวลา t สำหรับช่วงเวลา T ถึง T  
ซึ่งเป็นค่าของอัตราใช้สิทธิ์ K ซึ่งสัญญา FRA มีมูลค่าเป็นศูนย์
ดังนั้น Z t , T   1   K  Z t , T     0
                                           Z t , T   Z t , T   
นั่นคือ     F FRA (t , T , T   )  K                                                                                
                                                 Z t , T   

          จาก (9.11) โดยการแทน t  T และ Z T , T   1 จะได้
                                            1  Z T , T   
                 F FRA (T , T , T   )                          LT (T , T   )                                 (9.16)
                                              Z T , T   
                                                                      1
นั่นคือ                                 Z T , T                                                               (9.17)
                                                            1   LT (T , T   )




          รูปที่ 9.4 ตัวประกอบส่วนลดในเทอมของ zcb และ อัตราดอกเบี้ย xIBOR ฟอร์เวิร์ด

หมายเหตุ ความแตกต่างระหว่าง Lt t , t    และ F                  FRA
                                                                         (t , T , T   ) คือ Lt t , t    เป็นอัตรา

ดอกเบี้ย xIBOR จ่ายทันที ณ เวลา t จ่ายระหว่างเวลา t ถึง t   แต่ F                           FRA
                                                                                                    (t , T , T   ) อั ต รา

ดอกเบี้ย xIBOR ฟอร์เวิร์ด ณ เวลาทำสัญญา t สำหรับช่วงเวลา T ถึง T  


 ตัวอย่างที่ 9.4 ตั๋วเงินคลังไม่มีคูปองฉบับหนึ่งอายุ 6 เดือน มีราคาที่ตราไว้ 1,000 บาท ซื้อขาย
 ในราคาส่วนลด 5% ต่อปี และมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้
            1) จงคำนวณราคาตั๋วเงินคลังที่เวลา t  3 เดือน เมื่ออัตราดอกเบี้ยจ่ายทันที xIBOR จ่าย
 ทันที ณ เวลาปลายเดือนที่ 3 ( t  3 / 12 นับจากวันออกตราสาร) เท่ากับ 1.5 % ต่อปี (อัตรา
 ดอกเบี้ยเชิงเดี่ยว)
            2) จากข้อ 1) จงคำนวณอัตราดอกเบี้ยเชิงเดี่ยวฟอร์เวิร์ดที่ทำสัญญาทัน ทีเดื อนที่ 3
 สำหรับการกู้ยืมในช่วงเวลาระหว่างเดือนที่ 4 ถึงเดือนที่ 6

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

340                                                                                   อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
 วิธีทำ 1) ในที่นี้โจทย์กำหนดอัตราดอกเบี้ย
  L3/12 3 / 12,3 / 12  3 / 12  L0.25 0.25, 0.5  0.015
                                                      1                                         1
 จะได้ Z (0.25,0.5)  1   L t , t     1  0.25L
                                       t                                   0.25   0.25,0.5
                                                                                     1
                                                         1  0.25(0.015)  0.9962640

 ดังนั้นราคาตั๋วเงินคลังที่เวลา t  3 เดือน เท่ากับ
 1,000 Z (0.25,0.5)  1,0000.9962640  996.2640

            2) หาอัตราดอกเบี้ยเชิงเดี่ยวฟอร์เวิร์ดที่ทำสัญญาเดือนที่ 3 สำหรับการกู้ยืมในช่วงเวลา
 ระหว่างเดือนที่ 4 ถึงเดือนที่ 6 ซึ่งคือ
  F FRA (3 / 12, 4 / 12, 4 / 12  2 / 12)  F FRA (0.25,0.3333,0.5)
 สมมติให้  เป็นอัตราดอกเบี้ยคิดทบต้นต่อเนื่องสำหรับช่วงปลายเดือนที่ 3 ถึงปลายเดือนที่ 6
 เนื่องจาก Z (0.25,0.5)  e0.50.25  0.9962640                       0.014971985

  ดังนั้น Z 0.25,0.3333  e        0.014971985(0.33330.25)
                                                                    0.998754

 เนื่องจาก F FRA (t , T , T   )  Z t , T   Z t , T   
                                                Z t , T   

 ดังนั้น F FRA (0.25,0.3333,0.5)  
                                               Z 0.25,0.3333  Z 0.25,0.5
                                                   0.1667 Z 0.25,0.5
                                               0.998754  0.9962640
                                                                    0.014991                                   
                                                0.1667 0.9962640


          กำหนดให้ LT T , T    เป็นอัตราดอกเบี้ยเชิงเดี่ยว xIBOR จ่ายทันที (spot xIBOR rate)
ระหว่างเวลา T ถึง T   ซึ่ง LT T , T    เป็นตัวแปรเชิงสุ่ม จะได้ว่า
                                                                           Z t , T   Z t , T   
                 Et*T   LT T , T     F FRA (t , T , T   )                                         (9.18)
                                                                                   Z t , T   

เมื่อ E*Tt   X T  แทนค่าคาดหวังแปรผันตามเวลา t ของตัวแปรเชิงสุ่ม X T
ภายใต้การปราศจากการค้ากำไร ดังนั้น มูลค่าปัจจุบันของ Et*T   LT T , T    ที่เวลาทำสัญญา t
เท่ากับ
             Z t , T    Et*T   LT T , T     Z t , T    F FRA (t , T , T   )              (9.19)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                                            341




                       รูปที่ 9.5 มูลค่าปัจจุบันของการจ่ายด้วยอัตรา xIBOR ที่เวลา t
มูลค่าปัจจุบันของอัตราดอกเบี้ยเชิงเดี่ยว xIBOR จ่ายทันที LT T , T    ณ เวลา t ประมาณด้วย
Z t , T    Et*T   LT T , T     Z t , T    F FRA (t , T , T   )

                                                            Z t , T   Z t , T   
                                            Z t , T                             
                                                                  Z t , T         

                                               Z t , T   Z t , T   
                                           
                                                           
                                                                                                                   (9.20)

 ตัวอย่างที่ 9.5 ตั๋วเงินคลังไม่มีคูปองฉบับหนึ่งอายุ 6 เดือน มีราคาที่ตราไว้ 1,000 บาท ซื้อขาย
 ในราคาส่วนลด 5% ต่อปี และมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้ จงคำนวณมูลค่าปัจจุบันของ
 การจ่ า ยด้ วยอัตราดอกเบี ้ย xIBOR LT T , T    ที่ป ลายเดือนที่ 5 โดยที่ xIBOR เป็น อัตรา
 ดอกเบี้ยระยะเวลา 3 เดือน
 วิธีทำ จากโจทย์   123  0.25 ปี, T  126  0.5 ปี) เนื่องจาก ราคาซื้อของตั๋วเงินคลังเท่ากับ
 (1 0.05)(1, 000)  995 บาท และ

                      มูลค่าปัจจุบันของราคาซื้อ  มูลค่าปัจจุบันของราคาไถ่ถอน
                                                     995  1, 000 P (0, 0.5)  1, 000e (0.5)

 จะได้ e  0.9952  0.990025
                                                                                                  
 ค่าปัจจุบันของการจ่ายด้วยอัตรา xIBOR ที่ปลายเดือนที่ 5  e (T t )  e 1
                                                                                                    
                                                                                                  0.9900250.25 1
                                                                      0.990025(0.50.255/12)                   
                                                                                                       0.25        

                                                                      0.01000417=1.000417 %             ต่อปี        




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

342                                                          อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
9.4 สัญญาฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ย xIBOR

        หัวข้อ 9.4 จะกล่าวถึงสัญญาฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ย xIBOR ซึ่งเป็นเครื่องมือทางการเงินที่
ช่วยให้นักลงทุนสามารถป้องกันความเสี่ยงหรือเก็งกำไรจากการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยใน
ตลาด โดยจะมีการวิเคราะห์โครงสร้างและการใช้งานของสัญญาฟิวเจอร์สนี้ในเชิงลึก

9.4.1 สัญญาฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ย

        สัญญาฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ย (bond futures or interest rate futures: IRF) คือ สัญญา
ล่วงหน้าระหว่างผู้ซื้อกับผู้ขายในการซื้อขายหรือแลกเปลี่ยนกระแสเงินสดซึ่งอ้างอิงกับอัตราดอกเบี้ย
ระยะสั้นและระยะยาว โดยกำหนดราคาและขนาดของสัญญาไว้ตั้งแต่วันนี้ และสัญญากันว่าจะทำ
การส่งมอบกระแสเงินสดอ้างอิงกับอัตราดอกเบี้ยกันในอนาคต ในตลาดที่จัดตั้งขึ้นอย่างเป็นทางการ
ซึ่งในที่นี้ คือ ตลาดอนุพันธ์ โดยกำหนดให้ใช้วิธีการชำระราคากันเป็นเงินสดเท่านั้นโดยคำนวณจาก
ส่วนต่างของราคาตลาด ณ วันที่ส่งมอบกับราคาที่ตกลงกันไว้ตั้งแต่แรก อัตราดอกเบี้ยอ้างอิง xIBOR
สัญญาฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ยที่ซื้อขายในตลาดซื้อขายแลกเปลี่ยนชิคาโก้ (Chicago Mercantile
Exchange: CME) และ ตลาดแลกเปลี่ยนออปชันและฟิวเจอร์สระหว่างประเทศลอนดอน (London
International Financial Futures And Options Exchange: LIFFE) ได้แก่ ฟิวเจอร์สยูโรดอลลาร์
(Eurodollar: ED) และ ฟิวเจอร์สยูไรบอร์ (EURIBOR: ER) ตามลำดับ ตัวอย่างสัญญาฟิวเจอร์อัตรา
ดอกเบี้ยในประเทศไทย เช่น สัญญาฟิวเจอร์สที่อ้างอิงกับอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นเช่น อ้างอิงกับ 6
เดือน THBFIX และ 3 เดือน-BIBOR สัญญาฟิวเจอร์สที่อ้างอิงกับอัตราดอกเบี้ยระยะยาวเช่น อ้างอิง
กับพันธบัตรรัฐบาลที่กำหนดมาตรฐานไว้ให้มีอายุ 5 ปีและจ่ายคูปองที่ 5% เป็นต้น โดยประโยชน์
ของสัญญาฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ย ได้แก่
        1) ใช้ในการเก็งกำไรจากแนวโน้มของอัตราดอกเบี้ยได้ และ
        2) ใช้ในการบริหารความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุนได้ เป็นต้น




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                               343
9.4.2 ฟิวเจอร์สตลาดเงิน (money market future)

         บทบาทที่สำคัญประการหนึ่งของอัตราดอกเบี้ย xIBOR คือใช้ในการสร้างเครื่องมือทาง
การเงินที่เรียกว่า ฟิวเจอร์สตลาดเงิน (money market future) สัญญาซื้อขายแลกเปลี่ยนที่สำคัญ
ได้ แก่ Eurodollar (ED) และ EURIBOR (ER) ซึ่งซื้อขายในตลาดอนุ พัน ธ์ Chicago Mercantile
Exchange (CME) และตลาดซื ้ อ ขายล่ ว งหน้ า London International Financial Futures And
Options Exchange (LIFFE) ตามลำดับ
         การซื้อขายสัญญาฟิวเจอร์สตลาดเงินอัตราดอกเบี้ยจะมีลักษณะคล้ายกับการซื้อขาย FRA
พิจารณาฟิวเจอร์สตลาดเงินบนอัตราดอกเบี้ย xIBOR ที่ชำระราคาและส่งมอบเวลา T (settlement
date) และเวลาครบกำหนด T   (maturity date) ราคาของสัญญาฟิวเจอร์สตลาดเงินที่เวลา t
(อั ต ราคงที่ ) สํ า หรั บ ช่ ว งเวลา T ถึ ง T   แทนด้ ว ย p FUT t , T ,   (ต่ อ หน่ ว ยเงิ น ต้ น อ้ า งอิ ง
โดยทั่วไปมักจะกำหนดเงินต้นอ้างอิง เท่ากับ 1,000,000 USD (EUR, THB หรือ YJP))
กำหนดโดย
                                          p FUT t , T ,    100 1 LT T , T                      (9.21)
และผลประโยชน์ (payoff) ของสัญญาฟิวเจอร์สตลาดเงินที่เวลา T   ,
ผลประโยชน์ของสัญญาฟิวเจอร์สตลาดเงินที่เวลา T     p FUT t , T ,    100 1 LT T , T   
เมื่อ LT T , T    เป็นอัตราดอกเบี้ยเชิงเดี่ยว xIBOR จ่ายทันที (spot xIBOR rate) ระหว่างเวลา T
ถึง T   และนิยามอัตราดอกเบี้ยฟิวเจอร์สตามนัย (corresponding future implied rate) จาก
ราคาของสัญญาฟิวเจอร์สตลาดเงิน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ F FUT (t , T , T   ) โดย
                                     F FUT (t , T , T   )  1 0.01 p FUT (t , T ,  )                  (9.22)

หมายเหตุ โดยปกติการซื้อขายฟิวเจอร์สในตลาดอนุพันธ์จะมีการคำนวณมูลค่าทรัพย์สินสุทธิโดยให้
สะท้อนราคาตลาดที่เป็นธรรมที่เรียกว่า mark-to-market ซึ่งเป็นวิธีการประเมินมูลค่าทรัพย์สินที่
กองทุนถืออยู่ไม่ว่าจะเป็น หุ้น หุ้นกู้ พันธบัตร อนุพันธ์ ฯลฯ ให้เป็นมูลค่าตามตลาดหรือราคาตลาด



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

344                                                            อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ปัจจุบัน หรือราคาล่าสุด ที่เกิดการซื้อขายจริงๆในวันนั้นๆ หรือวันก่อนก่อนหน้า (หากวันนั้นไม่มีการ
ซื้อขาย) การ mark-to-market เพื่อคำนวณกำไรขาดทุน แบ่งได้ 2 ประเภท
        1) daily mark-to-market เป็นการประเมินมูลค่ากำไรขาดทุนจากการมีสถานะคงค้างใน
สัญญาฟิวเจอร์ส โดยจะทำทุกสิ้นวัน
        2) real time mark-to-market เป็นการประเมินมูลค่ากำไรขาดทุนจากการมีสถานะคงค้าง
ในสัญญาฟิวเจอร์ส โดยจะทำในระหว่างวัน โดยการ mark to market ซึ่งเป็นการประกาศราคาเพื่อ
คำนวณกำไรขาดทุน ณ สิ้นวัน (settlement price)

 ตัวอย่างที่ 9.6 สมมติอัตราดอกเบี้ย 3m-LIBOR จ่ายทันที (spot LIBOR rate) ระหว่างเดือน
 ที่ 6 ถึง เดือนที่ 9 เท่ากับ 1.25% ต่อปี จงหาราคาของฟิวเจอร์สตลาดเงินและอัตราดอกเบี้ยฟิว
 เจอร์สตามนัย บนอัตราดอกเบี ้ย 3m-LIBOR และ สำหรับช่วงเวลาเดื อนที่ 6 ถึง เดือนที่ 9
 (สัญญาฟิวเจอร์สตลาดเงินบนอัตราดอกเบี้ย 3m-LIBOR เรียกว่า Eurodollar futures)
 วิธีทำ ในที่นี้ T  6  0.5 ,   3  0.25 , T    9  0.75 (เดือนที่ 9)
                     12              12                  12
 ราคาของสัญญาฟิวเจอร์สตลาดเงิน p FUT (t , T ,  )
  100 1 L0.5 0.5, 0.75  100 1 0.0125  98.75

 และ อัตราดอกเบี้ยฟิวเจอร์สตามนัย F FUT (t , T , T   )  1 0.0198.75  0.0125  1.25%
                                                                                             


9.5 ค่าความผันผวนตามนัยและราคาของฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ยที่มีการปรับแต่งความนูน

        หัวข้อ 9.5 จะกล่าวถึงค่าความผันผวนตามนัยและราคาของฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ยที่มีการ
ปรับแต่งความนูน ซึ่งเป็นการประเมินและวิเคราะห์ผลกระทบของความผันผวนของอัตราดอกเบี้ยที่มี
การเปลี่ยนแปลงในตลาดการเงิน โดยมีการใช้เทคนิคการปรับแต่งความนูนเพื่อเพิ่มความแม่นยำใน
การคาดการณ์



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                                 345
9.5.1 ค่าความผันผวนตามนัย

           จากสมการของแบล็กโชลส์ราคาคอลออปชันที่เวลา t บน T  zcb อยู่ในรูป
                                            CK t , T   St  (d1 )  KZ t , T  (d 2 )                    (9.23)
                    S            2 
                ln  t   r  T  t 
                    K           2 
โดยที่ d1                                         และ d2  d1   T  t ,  ฟังก์ชันการแจกแจงปกติสะสม,
                            T t

St เป็นราคาของ T  zcb ที่เวลา t , K เป็นราคาใช้สิทธิ, r เป็นอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องต่อปี

และ T  t เป็นอายุคงเหลือของตราสารหนี้ (หน่วยปี) ซึ่งคือ ระยะเวลาที่เหลืออยู่จนถึงวันครบ
กำหนดไถ่ถอนของตราสารหนี้มักมีหน่วยเป็นจำนวนปี ( T365
                                                    t
                                                       เมื่อ กำหนดให้ 1ปี มี 365 วัน), 
เป็นความผันผวน โดยเรียกค่าความผันผวนนี้ว่า ค่าความผันผวนตามนัย (implied volatility) โดย
การแทน St  F t , T  Z t , T  เมื่อ F t , T  เป็นราคาฟิวเจอร์ส (future price) ในสมการ (9.23)
จะได้
                                CK t , T   Z t , T  F t , T  (d1 )  K  (d 2 )                     (9.24)
                        F t , T    2                                 F t , T    2 
                    ln              T  t                       ln               T  t 
                          K   2                                   K   2 
โดยที่       d1                                         และ d2 
                                T t                                                  T t

           พิ จ ารณาค่ า ความผั น ผวนที ่ ส ภาวะคุ ้ ม ทุ น แฝง (at-the-money) ซึ ่ ง จะเขี ย นแทนด้ ว ย
 ATM   ATM t , T      นั ่ น คื อ พิ จ าณาในกรณี ที่ K  F t , T  (ราคาฟิ ว เจอร์ ส =ราคาใช้ ส ิ ท ธิ ) จาก
(9.24) ได้
                                               T  t               T  t 
                                    
  C t , T   Z t , T  F t , T   ATM               ATM         
                                            2                    2         
                                                T  t  
                                    
              Z t , T  F t , T 2  ATM            1                                            (9.25)
                                             2           

โดยแทน Z t , T   er (T t ) และแก้สมการ (9.25) เพื่อหาค่า  ATM ได้
                                                             2      C t , T  er (T t )  F (t , T ) 
                                                                   
                                       ATM t , T                                                 
                                                                                                            (9.24)
                                                           T  t              2 F (t , T )              




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

346                                                                                     อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
เมื่อ   1 ในปี ค.ศ. 1988 Curtis และ Carriker ได้เสนอการประมาณค่าความผันผวนตามนัย
ด้วยค่าความผันผวนที่สภาวะคุ้มทุนแฝง (at-the-money)  ATM t , T 
นั่นคือ ค่าความผันผวนตามนัย    t , T  ประมาณได้ด้วย
                                                                      r T t 
                                                                                  F t , T 
                                                 2       C t , T  e
                                                                                                           (9.25)
                                                T  t             2 F t , T               

ต่อมาในปี ค.ศ.1996 Corrado และ Miller ได้ทำการปรับปรุงสูตรการประมาณค่าความผันผวนตาม
นัยในรูปสมการกำลังสอง (quadratic formula) ของสภาวการณ์ที่ใกล้สภาวะคุ้มทุนแฝง (near-
the-money ) โดย
                                                                                           
                                                    2                              4Y 2 
                          t , T  
                                                                                   2
                                                                 C  Y  C  Y                              (9.26)
                                            T  t  St  X t                         

เมื่อ Y  St 2 X t , X t  Ker (T t ) และ St  F t , T  erT t นอกจากนี้ยังสามารถประมาณ  2
                                n

                              x  x  i
                                                2


ด้วยความแปรปรวน s 2  i1 n 1                       จากกลุ่มตัวอย่างของอัตราผลตอบแทนลอการิทึม X ของ
ตราสารหนี้ไม่มีคูปอง ดังที่ได้กล่าวไว้แล้วในบทที่ 3
                                                    n                 
                                                                      2
                                                   
                                                 N 
                                                             
                                                             xi  x  
                                                                         
นั่นคือ                              2  s2 N        i 1
                                                                                                                  (9.27)
                                                           n 1

เมื่อ n เป็นขนาดของกลุ่มตัวอย่าง, Si เป็นราคาตราสารหนี้ไม่มีคูปองที่เวลาที่ i ( i  0,1, 2,..., n ),
           Si
xi  ln
          Si1
               อัตราผลตอบแทนลอการิทึมของตราสารหนี้ไม่มีคูปอง ( i  1, 2,..., n ), x เป็นค่าเฉลี่ย
ของอัตราผลตอบแทนลอการิทึมของตราสารหนี้ไม่มีคูปอง และ N เป็นจำนวนจุดเวลาที่แบ่งใน 1
คาบเวลา (ในที่นี้จำนวนจุดเวลา ใน 1 ปีกำหนดให้เท่า 250 วันทำการใน 1 ปี )

 ตัวอย่างที่ 9.7 สมมติว่าราคาปัจจุบันของ 6M  zcb ฉบับหนึ่งเท่ากับ 975 บาทและปัจจุบัน
 ราคาคอลออปชันบนตราสารหนี้ฉบับนี้เท่ากับ 6.5 บาท โดยมีราคาใช้สิทธิ 983 บาท โดยมีไถ่
 ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้เท่ากับ 1,000 บาท และอายุคงเหลือของตราสารหนี้ฉบับนี้เท่ากับ 90


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                                                347
 วัน กำหนดอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องเท่ากับ 3.5% ต่อปี จงประมาณค่าความผันผวนตามนัย
    ด้วย
  1) ค่ า ความผั น ผวนที ่ ส ภาวะคุ ้ ม ทุ น แฝง  ATM t , T  2) สู ต รในรู ป สมการกํ า ลั ง สองของ
 Corrado
 วิธีทำ ในที่นี้โจทย์กำหนดให้ T  t  90  0.2466 ปี , r  0.035 , C (t , T )  6.5 ,
                                                           365
 F (t , T )  St e   r (T t )
                                  975e    0.035(0.2466)
                                                            983.4508 บาท

            1) ประมาณค่ า ความผั น ผวนตามนั ย ด้ ว ยค่ า ความผั น ผวนที ่ ส ภาวะคุ ้ ม ทุ น แฝง
                      ATM t , T 

                                   2       C t , T  er (T t )  F (t , T ) 
                                          
 จาก  ATM t , T                                                         
                                                                                   โดยที่ St  F t , T  erT t และ   1
                                  T  t              2 F (t , T )              

 ,  ฟังก์ชันการแจกแจงปกติสะสม จะได้
                                   2      6.5e0.035(0.2466)  983.4508 
                                                                     0.033653  3.3653 %
                                 0.2466          2(983.4508)          

 (ใช้ ฟังก์ชัน norm.s.inv () ใน excel ช่วยคำนวณค่า)
            2) ประมาณค่าความผันผวนตามนัยด้วยสูตรในรูปสมการกำลังสองของ Corrado
                                                                                     
                                               2                          2  4Y 2 
                                                         C  Y  C  Y         
                                       T  t  St  X t                        

 เมื่อ Y  St 2 X t , X t  Ker (T t ) และ St  F t , T  erT t
 โดยการแทนค่าได้ St  975 , X t  983e0.035(0.2466)  974.5531 , St  X t  1949.5531 ,
       St  X t   975  974.5531
 Y
          2
                
                         2
                                                               ,
                                  0.2235 C  Y  6.5  0.2235  6.2765                                    ,
 4Y 2 4(0.22352 )
  
     
           
                   0.063579                      ได้
                            2                                
                             6.2765  6.27652  0.063579   0.03249  3.249%                                          
            0.2466 1949.5531                                 




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

348                                                                                อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
9.5.2 ราคาของฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ยที่มีการปรับแต่งความนูน

          เมื่ออัตราดอกเบี้ยฟิวเจอร์สหรืออัตราดอกเบี้ยตามนัย F FUT (t , T , T   ) ปรับตัวเพิ่มขึ้นสูง
กว่าอัตราคุ้มทุน (break-even rate ) เมื่อเทียบกับอัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ด FRA จะก่อให้เกิดสถา
การณ์ ท ี ่ ท ํ า เกิ ด พฤติ ก รรมทางการเงิ น ที ่ ท ํ า ให้ เ กิ ด การตั ด สิ น ใจอย่ างไม่ส มเหตุ ส มผล เรี ย กว่ า
พฤติกรรมความเอนเอียงทางการเงิน (financial bias) นั่นคือ พฤติกรรมความเอนเอียงทางการเงิน
จะเกิดขึ้นเมื่อ
                                         F FRA (t , T , T   )  F FUT (t , T , T   )                            (9.23)
เพื่อเป็นการกำจัดความลำเอียงที่เกิดขึ้นจะต้องทำการปรับแต่งหรือปรับลดอัตราดอกเบี้ยตามนัย
F FUT (t , T , T   )   ด้วยผลต่างระหว่างอัตราดอกเบี้ยตามนัยกับอัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ด
                                         F FUT (t , T , T   )  F FRA (t , T , T   )                            (9.28)
ซึ่งเรียกว่า การปรับแต่ งความนู น (adjustment convexity) ในทางปฏิบัติ อาจจะประมาณค่ า
ปรับแต่งความนูนอย่างง่าย ( simple adjustment convexity) ด้วย 1  2T T    นั่นคือ
                                                                                           2

      ค่าปรับแต่งความนูน  F FUT (t , T , T   )  F FRA (t , T , T   )  12  2T T                          (9.29)
เมื่อ  เป็ น ค่ าความผัน ผวนตามนัย ต่อปี (per-annum implied volatility) ของอัตราดอกเบี้ย
                                      n            
                                                   2
                                                                                                n
                                     
                                  N 
                                     
                                          xi  x  
                                                                                             x  x 
                                                                                                     i
                                                                                                           2


ระยะสั้นสามารถประมาณ  2  s 2 N   i1n 1                                 เมื่อ s 2  i1                  เป็นค่าความ
                                                                                                    n 1

แปรปรวนของอัตราผลตอบแทนลอการิทึมจากกลุ่มตัวอย่าง X ของตราสารหนี้ไม่มีคูปองดังที่ได้
กล่าวไว้แล้วในหัวข้อก่อนหน้านี้
                                                                              1
ดังนั้น                      F FUT (t , T , T   )  F FRA (t , T , T   )   2T T   
                                                                              2
                                                                                                                   (9.30)

 ตัวอย่างที่ 9.8 สมมติว่าราคาปัจจุบันของ 6M  zcb ฉบับหนึ่งเท่ากับ 975 บาทและปัจจุบัน
 ราคาคอลออปชันบนตราสารหนี้ฉบับนี้เท่ากับ 6.5 บาท โดยมีราคาใช้สิทธิ 983 บาท โดยมีไถ่



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                           349
 ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้เท่ากับ 1,000 บาท และอายุคงเหลือของตราสารหนี้ฉบับนี้เท่ากับ 90
 วัน กำหนดอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องเท่ากับ 3.5% ต่อปี
 จงหา 1) จงประมาณค่าปรับแต่งความนูน โดยใช้ค่าความผันผวนที่สภาวะคุ้มทุนแฝง
                                                                      30
           2) อัตราดอกเบี้ยฟิวเจอร์ส F FUT (t , T , T   ) เมื่อ   365  0.0822

 วิธีทำ 1) จากข้อ 9.7)  ATM  0.033653 ได้
 ค่าปรับแต่งความนูน  1  2T T     1 (0.0336532 )  6  6  30   0.0001648
                             2                  2                12 12          365

       2) อัตราดอกเบี้ยฟิวเจอร์ส F FUT (t , T , T   )  F FRA (t , T , T   )  1  2T T   
                                                                                             2

   เนื่องจาก F FRA (t , T , T   )    
                                     Z t,T  Z t,T    e              r (T t )
                                                                                     e  r (T t  )
                                                        
                                             Z t , T                   e    r (T t  )



                                        e0.035(90/365)  e0.035(90/36530/365)
                                                                                 0.035050391
                                          (30 / 365)e0.35(90/36530/365)

 ดังนั้น F FUT (t , T , T   )  0.035050391  0.0001648  0.0352152                                    



9.6 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย

            สวอปอัตราดอกเบี้ย (interest rate swap) เป็นสัญญาสวอปที่มีการซื้อขายมากที่สุดใน
โลกเป็นการแลกเปลี่ยนการจ่ายอัตราดอกเบี้ยคงที่ (fixed rate ) และลอยตัว (variable rate or
floating rate) ระหว่างคู่สัญญา โดยจะเรียกผู้จ่ายดอกเบี้ยคงที่ว่า “ผู้ซื้อสัญญาสวอป” และ เรียกผู้
จ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัวว่า “ผู้ขายสัญญาสวอป” คู่สัญญาจะทำการเจรจาต่อรอง (otc) กันเพื่อ
แลกเปลี่ยนกระแสเงินสดจากการคิดด้วยอัตราดอกเบี้ยคงทีแ่ ละอัตราดอกเบี้ยลอยตัวภายใต้ข้อตกลง
ที่กำหนดร่วมกัน โดยอาจจะมีตัวกลาง (financial intermediary :fi) หรือไม่มีตัวกลางก็ได้ การมี
ตั ว กลางจะช่ ว ยอํ า นวยความสะดวกในการทำสัญ ญาให้กับ คู่ส ัญ ญา ทำให้เกิดสภาพคล่องการ
แลกเปลี่ยนและช่วยรับความเสี่ยงจากการบิดพลิ้วและการไม่ปฎิบัติตามสัญญาของคู่สัญญา แต่ก็จะ
ทำให้คู่สัญญาทั้งสองฝ่ายมีต้นทุนทางการเงินที่สูงขึ้น


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

350                                                            อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
9.6.1 ประโยชน์ของสัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย

        เราสามารถใช้สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ยในการป้องกันความเสี่ยงจากความผันผวนของ
อัตราดอกเบี้ยและลดต้นทุนทางการเงิน โดยพิจารณาจากแนวโน้มอัตราดอกเบี้ย กล่าวคือ หากอัตรา
ดอกเบี้ยเป็นแนวโน้มคงที่หรือลดลง อาจพิจารณาชำระอัตราดอกเบี้ยลอยตัว เพื่อสามารถลดภาระ
ดอกเบี้ย แต่หากอัตราดอกเบี้ยเปลี่ยนเป็นขาขึ้น อาจพิจารณาชำระอัตราดอกเบี้ยคงที่ เพื่อการ
บริหารต้นทุนทางการเงิน การได้เปรียบเสียเปรียบของคู่สัญญาเมื่ออัตราดอกเบี้ยมีการเปลี่ยนแปลง
แสดงได้ในตารางที่ 9.4 และแสดงการเคลื่อนไหวดังรูปที่ 9.5

ตารางที่ 9.4 การได้เปรียบเสียเปรียบของคู่สัญญาเมื่ออัตราดอกเบี้ยมีการเปลี่ยนแปลง
                      คู่สัญญา            การเปลีย่ นแปลงของระดับอัตราดอกเบี้ยตลาด
                                                ลดลง                  เพิ่มขึ้น
             ผู้จ่ายอัตราดอกเบี้ยคงที่         ขาดทุน                  กำไร
             ผู้จ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัว         กำไร                ขาดทุน




รูปที่ 9.6 เปรียบเทียบการได้เปรียบเสียเปรียบระหว่างอัตราดอกเบี้ยคงที่และอัตราดอกเบี้ยลอยตัว
                                 จากการเคลื่อนไหวของอัตราดอกเบี้ย




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                             351




                                      (a) กรณีไม่มีตัวกลาง




                                       (b) กรณีมีตัวกลาง
   รูปที่ 9.7 อัตราดอกเบี้ยที่เกิดตามสัญญาสวอป กำหนดเครื่องหมาย + แทนอัตราดอกเบี้ยจ่าย
     เครื่องหมาย -แทนอัตราดอกเบี้ยรับ และหัวลูกศรแสดงทิศเข้าและออกของกระแสเงินสด

        สมมติจากรูปที่ 9.7 (a) สัญญาสวอประหว่างบริษัท a และบริษัท b เริ่มต้นด้วย
        1) ระบุความต้องการของแต่ละบริษัท
           บริษัท a : ต้องการได้รับอัตราดอกเบี้ยคงที่
           บริษัท b : ต้องการได้รับอัตราดอกเบี้ยลอยตัว
        2) กำหนดเงินต้นที่ใช้ในการคำนวณกระแสเงินสดที่เกิดขึ้นในอนาคตตามต้องการซึ่งเรียกว่า
“เงินต้นอ้างอิง หรือ เงินต้นสัญกรณ์ (notation principal)” โดยจำนวนเงินต้นอ้างอิง หมายถึง เงิน
ต้นซึ่งมิใช่จำนวนเงินที่แลกเปลี่ยนกันจริงเมื่อเริ่มทำสัญญาสวอป เพียงแต่ใช้อ้างอิงเพื่อคำนวณหา
จำนวนเงินในกระแสเงินสดจากอัตราดอกเบี้ยคงที่และอัตราดอกเบี้ยลอยตัว เท่านั้น
        3) ข้อตกลงการแลกเปลี่ยนอัตราดอกเบี้ยระหว่างกัน
        - บริษัท a ตกลงจะจ่ายกระแสเงินสดจากอัตราดอกเบี้ยลอยตัวกับบริษัท b เพื่อแลกกับการ
ได้รับกระแสเงินสดจากอัตราดอกเบี้ยคงที่



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

352                                                              อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
         - บริษัท b ตกลงจะจ่ายกระแสเงินสดจากอัตราดอกเบี้ยคงที่กับบริษัท a เพื่อแลกกับการ
ได้รับกระแสเงินสดจากอัตราดอกเบี้ยลอยตัว
         4) การชำระส่วนต่างกระแสเงินสดระหว่างอัตราดอกเบี้ยคงที่ซึ่งกำหนดไว้ในสัญญากับอัตรา
ดอกเบี้ยแบบลอยตัวที่เกิด ณ ต้นงวดคูณด้วยจำนวนเงินต้นอ้างอิงที่กำหนดในสัญญา และจ่าย
กระแสเงินสดตามระยะเวลาที่ระบุไว้ในสัญญา เช่น สัญญาสวอปที่มีอายุ 3 ปี และมีการชำระราคา
ทุก 6 เดือน หมายความว่า ผู้ซื้อสัญญาตกลงจะชำระส่ว นต่ างของกระแสเงิน สดระหว่างอั ตรา
ดอกเบี้ยคงที่และอัตราดอกเบี้ยแบบลอยตัว ทุกๆ สิ้นเดือนที่ 6 โดยอัตราดอกเบี้ยลอยตัว ณ ปลาย
งวดที่ i ซึ่งจะถูกกำหนดให้เท่ากับอัตราดอกเบี้ยปลายงวดที่ i 1
หมายเหตุ การทำสัญญาสวอปโดยมีตัวกลางทางการเงิน จะมีการกำหนดผลประโยชน์ให้กับตัวกลาง
ในหน่วยของ “จุดพื้นฐาน” หรือ “basis points” เขียนย่อเป็น bps หรือ “bips”ซึ่งเป็นหน่วยวัด
ทั่วไปสำหรับอัตราดอกเบี้ยและเปอร์เซ็นต์ทางการเงินอื่น ๆ โดย 1 bps เท่ากับ 0. 01% = 0.0001
และใช้เพื่อแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในตราสารทางการเงิน เช่น กำหนดผลประโยชน์
ให้กับตัวกลาง 3 bps จะเท่ากับกับหนดผลประโยชน์ให้ 0. 03% หรือ อัตรา 0.0003 เป็นต้น

.6.2 การคำนวณผลของอัตราดอกเบี้ยหลังใช้สัญญาสวอป

         การคำนวณผลของอัตราดอกเบี้ยหลังใช้สัญญาสวอปของแต่ละบริษัททำได้โดย
อัตราดอกเบี้ยหลังใช้สัญญาสวอปของแต่ละบริษัท เท่ากับ ผลรวมของอัตราดอกเบี้ยรับและดอกเบี้ย
จ่ายของแต่ละบริษัทนั้น ซึ่งสามารถเขียนสรุปได้ดัง ตารางต่อไปนี้
ตารางที่ 9.5 อัตราดอกเบี้ยจากการใช้สัญญาสวอป
                    รายการ                         บริษัท a                    บริษัท b
 อัตราดอกเบี้ยตามภาระหนี้สินที่ต้องจ่าย             a %                      xIBOR + b %
 อัตราดอกเบี้ยจ่ายตามสวอป                       xIBOR + x %                      c %

 อัตราดอกเบี้ยรับตามสวอป                            c %                   - (xIBOR + x %)
 อัตราดอกเบี้ยสุทธิ (รับ)                     xIBOR + ( x  c )%         - (xIBOR + ( x  c )%)
 อัตราดอกเบี้ยหลังใช้สัญญาสวอป              xIBOR + ( a  x  c )%          (bc x ) %

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                            353
         พิจารณากระแสเงินสดในฝั่งอัตราดอกเบี้ยลอยตัว xIBOR ที่มีเงินต้นอ้างอิง N และจ่าย
กระแสเงิ น สด Ci , i  1, 2,..., n ปลายงวด ตามอั ต ราดอกเบี ้ ย ตลาด xIBOR ณ ต้ น งวด (
L0 , L1 , L2 ,..., Ln1 ) นั่นคือ Ci  Li1 N , i  1, 2,..., n กระแสเงินสดจ่าย Ci , i  1, 2,..., n แสดงได้ดัง

แผนภาพต่อไปนี้




                  รูปที่ 9.8 กระแสเงินสดที่คำนวณด้วยอัตราดอกเบี้ยลอยตัว xIBOR

 ตัวอย่างที่ 9.9 (การใช้สัญญาสวอปเพื่อแปลงอัตราดอกเบี้ยจากหนี้สิน) สมมติว่าบริษัท a.และ
 บริษัท b.มีภาระหนี้สินที่ต้องชำระเจ้าหนี้ของตน โดยที่บริษัท a.มีภาระที่จะต้องชำระหนี้ที่ต้อง
 จ่ายอัตราดอกเบี้ย.5 % ต่อปี.ส่วนบริษัท.b.มีภาระการชำระหนี้ที่ต้องจ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัว
 THOR.+2 % ต่อปีต่อมาทั้ งสองบริษั ทต้องการแปลงการจ่ายหนี ้สิ นของตนเอง โดยบริษัท a
 ต้องการแปลงหนี้สินเป็นจากการคิดดอกเบี้ยคงที่เป็นแบบลอยตัว ในขณะที่บริษัท b ต้องการ
 แปลงหนี ้ ส ิ น เป็ น แบบคงที ่ ทั ้ งสองบริ ษั ทตกลงทำสัญ ญาสวอปอัตราดอกเบี้ย อายุ 1 ปี เพื่อ
 แลกเปลี่ยนกระแสเงินสด ตามข้อตกลง ดังนี้
 ข้อตกลงตามสัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ยอายุ 1 ปี
          1) บริษัท a ต้องจ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัว THOR +1.5% ต่อปี ให้กับบริษัท b เพื่อแลก
 กับการได้รับอัตราดอกเบี้ยคงที่ 5.5 % ต่อปี
          2) บริษัท b ต้องจ่ายอัตราดอกเบี้ยคงที่ 5.5 % ต่อปี เพื่อแลกกับการได้รับอัตราดอกเบี้ย
 ลอยตัว THOR +1.5% ต่อปี
          3) กำหนดเงินต้นอ้างอิง เท่ากัน คือ 100,000,000 บาท และกำหนดการจ่ายแลกเปลี่ยน
 กระแสเงินสดทุก ๆ 3 เดือน จ่ายปลายงวดจ่ายงวดแรกวันที่ 1/8/63
          จากข้อมูลความต้องการของบริษัท a และ b และข้อตกลงสามารถแสดงดังตารางต่อไป



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

354                                                                     อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

 ตารางที่ 9.6 อัตราดอกเบี้ยจากการใช้สัญญาสวอปในตัวอย่างที่ 9.9
                    รายการ                                 บริษัท a                     บริษัท b
  อัตราดอกเบี้ยตามภาระหนี้สินที่ต้องจ่าย                     5%                        THOR +2%
  อัตราดอกเบี้ยจ่ายตามสวอป                               THOR +1.5%                        5.5 %
  อัตราดอกเบี้ยรับตามสวอป                                   -5.5 %                   - (THOR + 1.5%)
  อัตราดอกเบี้ยสุทธิ (รับ)                               THOR - 4%                    - (THOR - 4%)
  อัตราดอกเบี้ยหลังใช้สัญญาสวอป                          THOR + 1%                         6%

 และกระแสเงินสดของบริษัท a เป็นไปตามตารางที่ 9.7
 ตารางที่ 9.7 อัตราดอกเบี้ย 3m-THOR (สมมติขึ้นเพื่อใช้ในการคำนวณอ้างอิงอัตราดอกเบี้ย
 3m-THOR ตั้งแต่ เดือน 17 เมษายน พ.ศ. 2563 – 12 พฤษภาคม พ.ศ. 2564) และตัวอย่างการ
 คำนวณกระแสเงินสดของบริษัท a (plain vanilla swap)
                                                   ดอกเบี้ยคำนวณจากเงินต้นอ้างอิง 1,000,000 บาท
   วันที่     THOR           THOR+1.5 จ่ายตามสวอป รับตามสวอป ตามภาระหนี้ หลังใช้สัญญา
             (% ต่อปี)               % (THOR+1.5%)   1.375%    1.25 %        สวอป
                              (% ต่อปี)          /4 (5.5 %/4)  (5%/4)    (THOR+1%)/
                                          ต่องวด      ต่องวด   ต่องวด              4
                                                                            ต่องวด
  1/5/63      0.93844         2.43844          -                  -              -                 -
  1/8/63      0.58732         2.08732      609,610.00        1,375,000.00   1,250,000.00      484,610.00
  1/11/6      0.49190         1.99190      521,830.00        1,375,000.00   1,250,000.00      396,830.00
     3
  1/2/64      0.49239         1.99239      497,975.00        1,375,000.00   1,250,000.00      372,975.00
  1/5/64      0.49286         1.99286      498,097.50        1,375,000.00   1,250,000.00      373,097.50


 *เพื่อความสะดวกเขียน THOR แทน 3m-THOR



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                    355
9.6.3 ความได้เปรียบเชิงเปรียบเทียบจากสัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย

         เครดิตทางการเงิน คือ ความน่าเชื่อถือทางการเงินที่ส่งผลดีในด้านการขอกู้สินเชื่อต่างๆ
หรือการทำธุรกิจ ตลอดจนธุรกรรมทางการเงินทั่วไป หากผู้กู้มีเครดิตที่ดี ธนาคารหรือสถาบัน
การเงินต่างๆ ก็จะจะพิจารณาว่าผู้กู้ยืมมีความน่าเชื่อถือ มีความเสี่ยงน้อยหรือไม่มีความเสี่ยงในการ
ผิดนัดชำระหนี้ ทำให้การขอสินเชื่อ หรือบริการต่างๆ ทางการเงินจากสถาบันทางการเงินนั้นง่ายกว่า
ผู้กู้ที่มีเครดิตในระดับที่ตํ่ากว่าหรือมีประวัติทางการเงินไม่ดีนัก ดังนั้นเครดิตเป็นสิ่งที่มีความสำคัญ
มากสำหรับการกู้ยืม ระดับอัตราดอกเบี้ยเงินกู้จึงมักถูกกำหนดตามระดับเครดิต กล่าวคือผู้กู้ที่มี
เครดิตดีมักจะได้รับอัตราดอกเบี้ยในระดับที่ตํ่ากว่าผู้กู้ที่มีเครดิตตํ่ากว่า อย่างไรก็ตามในบางครั้งหาก
เปรียบเทียบระหว่างอัตราดอกเบี้ยคงที่และอัตราดอกเบี้ยลอยตัวระหว่างผู้กู้ 2 ฝ่ายใดๆ การกำหนด
อัตราดอกเบี้ยซึ่งถูกใช้เป็นราคาของเงินกู้ตามเครดิตของผู้กู้นั้น ๆ อาจเป็นระดับอัตราดอกเบี้ยที่ไม่
สมดุลกันก็ได้ ความไม่สมดุลของอัตราดอกเบี้ยตามระดับเครดิตดังกล่าวก่อให้เกิดความได้เปรียบเชิง
เปรียบเทียบ (comparative advantage argument) ของดอกเบี้ยของทั้ง 2 ฝ่ายได้ ความได้เปรียบ
เชิงเปรียบเทียบจากสัญญาสวอป สามารถอธิบายได้ดังนี้
         สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ยสามารถใช้ได้เมื่อคู่สัญญามีข้อได้เปรียบเชิงเปรียบเทียบในการ
กู้ยืมในตลาดอัตราดอกเบี้ยคงที่ ในขณะที่อีกฝ่ายมีความได้เปรียบเชิงเปรียบเทียบในการกู้ยื มใน
ตลาดอัตราดอกเบี้ยลอยตัว คู่สัญญาจะได้ประโยชน์ร่วมกันคือการทำให้ต้นทุนการกู้ยืมของทั้ง 2
ฝ่ายลดตํ่าลง ผลประโยชน์สุทธิ (net gain) ที่เกิดขึ้นจากความสมดุลของอัตราดอกเบี้ยที่เกิดขึ้น
ระหว่างอัตราดอกเบี้ยคงที่และดอกเบี้ยลอยตัว โดยที่
               ผลประโยชน์สุทธิที่เกิดขึ้นกับทั้ง 2 ฝ่าย = a  b                                 (9.31)
เมื่อ a เป็นส่วนต่างของอัตราดอกเบี้ยคงที่ และ b เป็นส่วนต่างของอัตราดอกเบี้ยลอยตัว
         เราสามารถทำความเข้าใจเกี่ยวกับความได้เปรียบเชิงเปรียบเทียบของอัตราดอกเบี้ยได้โดย
พิจารณาจากตัวอย่างต่อไปนี้




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

356                                                              อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

 ตัวอย่างที่ 9.10 ( ความได้เปรียบเชิงเปรียบเทียบของอัตราดอกเบี้ย ) สมมติว่า ณ ปัจจุบัน
 บริษัท a.และบริษัท b.สามารถกู้เงินโดยมีอัตราดอกเบี้ยกู้ยืม ตามตารางต่อไปนี้
 ตารางที่ 9.8 อัตราดอกเบี้ย (สมมติ) ที่บริษัท a.และบริษัท b ได้รับจากการกู้ยืม
            รายการอัตราเบี้ยเงินกู้     บริษัท a      บริษัท b         ส่วนต่างอัตรา
                                                                          ดอกเบี้ย
            อัตราดอกเบี้ยคงที่          6.9 %          6.5 %                0.4
            อัตราดอกเบี้ยลอยตัว       THOR + 2 %   THOR + 1.2 %             0.8

 จากตารางที่ 9.8 คำนวณส่วนต่างของอัตราดอกเบี้ยแต่ละประเภทของแต่ละบริษัท พบว่า
 ส่วนต่างของอัตราดอกเบี้ยคงที่ของทั้ง 2 บริษัท = rate (a) – rate (b)=6.9 % - 6.5 % = 0.4 %
 ส่วนต่างของอัตราดอกเบี้ยลอยตัวของทั้ง 2 บริษัท = rate (a) – rate (b)
                                                   = (THOR+2 %) – (THOR + 1.2 %) = 0.8 %
 จะเห็นว่าส่วนต่างของอัตราดอกเบี้ยของอัตราดอกเบี้ยทั้ง 2 ประเภทของ 2 บริษัทนั้นไม่เท่ากัน
 เหตุการณ์ในลักษณะเช่นนี ้อาจกล่าวได้ว่าการกำหนดราคาหรื ออัตราดอกเบี้ยระหว่างอั ต รา
 ดอกเบี้ยคงที่กับดอกเบี้ยของทั้ง 2 บริษัทเกิดความไม่สมดุลกันตามระดับคะแนนเครดิตที่แตกต่าง
 กันส่งผลให้เกิดความได้เปรียบเชิงเปรียบเทียบของดอกเบี้ยแต่ละประเภท ซึ่งสามารถพิจารณาได้
 ดังนี้
          หากพิจารณาว่าการกำหนดอัตราดอกเบี้ยคงที่ของทั้ง 2 บริษัทอยู่ในระดับที่สมดุล คือ
 ระดับอัตราดอกเบี้ยสอดคล้องกับระดับคะแนนเครดิตของทั้ง 2 ฝ่ายแล้ว นั่นแสดงว่า อัตรา
 ดอกเบี้ยลอยตัวของบริษัท a สูงเกินไป หรือ อัตราดอกเบี้ยลอยตัวของบริษัท b ตํ่าเกินไป ถ้าเป็น
 เช่นนี้ เราจะกล่าวว่า อัตราดอกเบี้ยลอยตัวของบริษัท b ได้เปรียบเชิงเปรียบเทียบมากกว่า อัตรา
 ดอกเบี้ยลอยตัวของบริษัท a ดังนั้น บริษัท b.สามารถกู้ยืมอัตราดอกเบี้ยลอยตัวได้ตํ่ากว่าโดย
 เปรียบเทียบ




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                            357
          ในทางกลับกันหากพิจารณาว่า การกำหนดอัตราดอกเบี้ยลอยตัวของทั้ง 2 บริษัทอยู่ใน
 ระดับที่สมเหตุสมผล คือ ระดับอัตราดอกเบี้ยสอดคล้องกับระดับคะแนนเครดิตของทั้ง 2 ฝ่ายแล้ว
 นั่นแสดงว่าอัตราดอกเบี้ยคงที่ของบริษัท b สูงเกินไป หรือ อัตราดอกเบี้ยคงที่ของบริษัท a ตํ่า
 เกินไป ถ้าเป็นเช่นนี้ เราจะกล่าวว่า อัตราดอกเบี้ยคงที่ของบริษัท a ได้เปรียบเชิงเปรียบเทียบ
 มากกว่า อัตราดอกเบี้ยคงที่ของบริษัท b ดังนั้น บริษัท b.สามารถกู้ยืมอัตราดอกเบี้ยคงที่ได้ตํ่า
 กว่าโดยเปรียบเทียบ




 รูปที่ 9.9 (a) ในกรณีที่สมมติว่าอัตราดอกเบี้ยคงที่ของทั้ง 2 ฝ่ายสมดุล อัตราดอกเบี้ยลอยตัวของ
 บริษัท b ได้เปรียบเชิงเปรียบเทียบกว่า อัตราดอกเบี้ยลอยตัวของบริษัท a (b) ในกรณีที่สมมติว่า
 อั ต ราดอกเบี ้ ย ลอยตั ว ของทั ้ ง 2 ฝ่ า ยสมดุ ล อั ต ราดอกเบี ้ ย คงที ่ ข องบริ ษ ัท a ได้ เ ปรี ย บเชิ ง
 เปรียบเทียบกว่า อัตราดอกเบี้ยคงที่ของบริษัท b
          สมมติว่าบริษัท a.มีภาระหนี้ที่ต้องชำระจากการกู้เงินด้วยอัตราดอกเบี้ยคงที่ แต่ต้องการ
 จะเปลี่ยนเป็นอัตราเบี้ยแบบลอยตัว ในขณะที่บริษัท b.มีภาระหนี้ที่ต้องชำระจากการกู้ยืมเงินด้วย
 อัตราดอกเบี้ยลอยตัวแต่ต้องการจะเปลี่ยนเป็นอัตราเบี้ยแบบคงที่ ทั้งสองบริษัทจึงตกลงกันทำ
 สั ญญาสวอปอั ตราดอกเบี ้ ย โดยมี ตั ว กลางทางการเงิน และตัว กลางกำหนดค่าธรรมเนีย ม 3
 bsp=0.03% โดยเรียกเก็บจากทั้งสองฝ่าย ฝ่ายละ 1.5 bps=0.015% โดยสัญญาสวอปมีข้อตกลง
 ดังนี้
          1. บริษัท a ตกลงจ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัวเท่ากับ THOR + 1.5% (+ ค่าธรรมเนียม
 0.015%) โดยแลกเปลี่ยนกับการรับอัตราดอกเบี้ยคงที่เท่ากับ 6.6%
          2. บริ ษ ั ท b.ตกลงจ่ า ยอั ต ราดอกเบี ้ ย คงที ่ 6.6% (+ ค่ า ธรรมเนี ย ม 0.015%) โดย
 แลกเปลีย่ นกับการรับอัตราดอกเบี้ยลอยตัวเท่ากับ THOR + 1.5%
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

358                                                         อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
         กระแสเงินของธุรกรรมทั้งหมดสามารถแสดงได้ตามแผนภาพในรูปที่ 9.10




                 รูปที่ 9.10 อัตราดอกเบี้ยที่เกิดจากการทำสัญญาสวอป
         จากแผนภาพสามารถสรุปผลลัพธ์ของการทำธุรกรรมได้ดัง ตารางที่ 9.9

 ตารางที่ 9.9 ผลสรุปการทำธุรกรรมจากการใช้ข้อได้เปรียบเชิงเปรียบเทียบ
                    รายการ                      บริษัท a                     บริษัท b
  อัตราดอกเบี้ยตามภาระหนี้สินที่ต้องจ่าย         6.9 %                    THOR +1.2 %
  อัตราดอกเบี้ยจ่ายตามสวอป                   THOR +1.515%                    6.615%
  อัตราดอกเบี้ยรับตามสวอป                        -6.6%                  - (THOR + 1.5%)
  อัตราดอกเบี้ยสุทธิ (รับ)                   THOR – 5.185%            - (THOR – 5.115%)
  อัตราดอกเบี้ยหลังใช้สัญญาสวอป              THOR + 1.815%                   6.315%
  อัตราดอกเบี้ยเดิม                            THOR +2%                       6.5%
  อัตราดอกเบี้ยที่ลดลง (ประหยัดขึ้น)            0.185%                       0.185%

         จากตารางที่.9.9.จะเห็นได้ว่า การใช้สัญญาสวอปทำให้ทั้ง 2 ฝ่ายได้กู้ยืมเงินตามประเภท
 อัตราดอกเบี้ยที่ต้องการด้วยต้นทุนการกู้ยืมโดยรวมที่ลดลง ถึงแม้ว่าทั้งสองฝ่ายจะต้องจ่ าย
 ค่าธรรมเนียมในการทำธุรกรรมให้ตัวกลาง ฝ่ายละ 1.5 bps ก็ตาม โดยที่
         บริษัท a มีอัตราดอกเบี้ยหลังใช้สัญญาสวอป THOR + 1.815% ในขณะที่อัตราดอกเบี้ย
 เดิม THOR +2% ซึ่งมีอัตราดอกเบี้ยที่ลดลง (ประหยัดขึ้น) 0.185% และ

           บริษัท b มีอัตราดอกเบี้ยหลังใช้สัญญาสวอป 6.315% ในขณะที่อัตราดอกเบี้ยเดิม 6.5%
 ซึ่งมีอัตราดอกเบี้ยที่ลดลง (ประหยัดขึ้น) 0.185%                                       




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                          359
9.6.4 มูลค่าของสวอปอัตราดอกเบี้ย

         สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ยเป็นสัญญาแลกเปลี่ยนกระแสเงินสดที่ตกลงกันไว้ตามระยะเวลา
ที่ระบุไว้ Ti , i  1,..., n , โดย T0 และ Tn เป็นจุดเวลาเริ่มต้นและจุดเวลาสิ้นสุดของสัญญา ตามลำดับ
กระแสเงินสดเหล่านี้คำนวณจากเงินต้นอ้างอิง N โดยปกติแล้วความถี่ในการแลกเปลี่ยนกระแสเงิน
สดของฝั ่ ง อั ต ราดอกเบี ้ ย ลอยตั ว (floating leg) และฝั ่ ง อั ต ราดอกเบี ้ ย คงที่ (fixed leg) K ไม่
จํ า เป็ น ต้ อ งเหมื อ นกั น แต่ ส ํ า หรั บ สั ญ ญาสวอปแบบวะนิ ล ลา (vanilla) หรื อ สวอปมาตรฐาน
(standard swap) จะกํ า หนดความถี ่ ในการแลกเปลี่ย นกระแสเงิน สดของทั้งสองฝั ่งเหมื อ นกั น
กํ า หนดให้ T  i 1    Ti   i สํ า หรั บ บางค่ า คงที ่  i , i  0,1,..., n 1 ในทางปฏิ บ ั ต ิ ร ะยะเวลา

i , i  0,1,..., n 1 อาจแตกต่างกันเล็กน้อย (เช่นระยะเวลา 91/365 และ 92/365 ซึ่งทั้งสองค่ามี

ค่าประมาณ 0.25) ดังนั้นเพื่อความสะดวกในที่นี้จะกำหนดให้ i   , i  0,1,..., n 1 กำหนดให้
LTi  LTi Ti1 , Ti  เป็นอัตราดอกเบี้ยลอยตัว xIBOR สำหรับช่วงเวลา Ti1 ถึง Ti และ K เป็นอัตรา

ดอกเบี้ยคงที่ สำหรับช่วงเวลา T0 ถึง Tn การแลกเปลี่ยนกระแสเงินสดของทั้งสองฝั่งดังนี้ และแสดง
ได้ดังแผนภาพในรูปที่
         ฝั่งอัตราดอกเบี้ยคงที่
                          จ่าย            NK                       ที่เวลา Ti , i  1,..., n
                          รับ             NLTi1 Ti1 , Ti       ที่เวลา Ti i  1,..., n
         ฝั่งอัตราดอกเบี้ยลอยตัว
                          รับ             NK                       ที่เวลา Ti , i  1,..., n
                          จ่าย            NLTi1 Ti1 , Ti       ที่เวลา Ti i  1,..., n




        รูปที่ 9.11การแลกเปลี่ยนกระแสเงินสดของทั้งสองฝั่งในสัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

360                                                                                                                 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
9.6.4.1 มูลค่าของสวอปอัตราดอกเบี้ย (swap value)

             จากการแลกเปลี่ยนกระแสเงินสดของทั้งสองฝั่งในสัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย ตามแผนภาพ
ในรูป 9.11 มูลค่าของสวอปในฝั่งอัตราดอกเบี้ยคงที่คือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดจ่ายฝั่งอัตรา
ดอกเบี้ยคงที่ จะมูลค่าปัจจุบันดังกล่าวด้วยแทนด้วยสัญลักษณ์ VKfixed t  ,
                                                                   n
                                              VKfixed t     NKZ t , Ti   NK  Pt T0 , Tn                                            (9.32)
                                                                  i 1

                                      n
เมื่อ P T , T    Z t , T  ส่วนมูลค่าของสวอปในฝั่งอัตราดอกเบี้ยลอยตัวคือมูลค่าปัจจุบันของ
         t    0     n                             i
                                     i 1


กระแสเงิ น สดจ่ า ยฝั ่ ง อั ตราดอกเบี ้ ย ลอยตั ว จะมู ล ค่ าปัจ จุบ ัน ดั ง กล่าวด้ว ยแทนด้ว ยสัญ ลั ก ษณ์
VKfloating t  ,
                             n                                              n
 VKfloating t     NLTi1 Z t , Ti   N   Z t , Ti1   Z t , Ti   N  Z t , T0   Z t , Tn                            (9.33)
                            i 1                                           i 1


จะเห็นว่าปัจจุบันของกระแสเงินสดจ่ายฝั่งอัตราดอกเบี้ยลอยตัว VKfloating t  เป็นผลต่างของราคา
ของ T0  zcb- N และ Tn  zcb- N ที่เวลา t

บทนิยาม 9.2 กำหนดให้ L  L T , T  เป็นอัตราดอกเบี้ยลอยตัว xIBOR สำหรับช่วงเวลา Ti1
                                                  Ti     Ti         i 1          i


ถึง Ti และ K เป็นอัตราดอกเบี้ยคงที่ สำหรับช่วงเวลา T0 ถึง Tn มูลค่าของสวอปอัตราดอกเบี้ย
(swap value) VKSW t  สำหรับ t  T0 นิยามโดย
                                                        VKSW t   VKfloating t   VKfixed t                                             (9.34)
บทนิยาม 9.3 กำหนดให้ L  L T , T  เป็นอัตราดอกเบี้ยลอยตัว xIBOR สำหรับช่วงเวลา Ti1
                                                  Ti     Ti         i 1          i

                                                 n
ถึง Ti และ p T , T    Z t , T  อัตราดอกเบี้ยสวอปล่วงหน้า (forward swap rate) yt T0 , Tn 
                        t        0        n                   i
                                                i 1


สำหรับ t  T0
                                                                       n

                                                                    L Z t , T     Ti1       i
                                                                                                         Z t , T0   Z t , Tn 
                                              yt T0 , Tn   i1 n                                                                          (9.35)
                                                                                                              Pt T0 , Tn 
                                                                         Z t , T 
                                                                           i 1
                                                                                             i



โดยบทนิยาม 9.1 และบทนิยาม 9.3 ,

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                                   361
VKSW t   VKfloating t   VKfixed t   N  Z t , T0   Z t , Tn   NK  pt T0 , Tn 
               Z t , T   Z t , T      
                                               N  pt T0 , Tn    yt T0 , Tn   K  N  pt T0 , Tn 
                    0            n 
                                           K
                 pt T0 , Tn           
                                                 

นั่นคือ
                                            VKSW t    yt T0 , Tn   K  N  pt T0 , Tn                  (9.36)


 ตัวอย่างที่ 9.11 สมมติว่าบริษัท a.และบริษัท b.มีภาระหนี้สินที่ต้องชำระเจ้าหนี้ของตน โดยที่
 บริษัท a.มีภาระที่จะต้องชำระหนี้ที่ต้องจ่ายอัตราดอกเบี้ย.4 % ต่อปี.ส่วนบริษัท.b.มีภาระการ
 ชำระหนี้ที่ต้องจ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัว THOR.+2 % ต่อปีต่อมาทั้งสองบริษัทต้องการแปลงการ
 จ่ายหนี้สินของตนเอง โดยบริษัท a ต้องการแปลงหนี้สินเป็นจากการคิดดอกเบี้ยคงที่เป็นแบบ
 ลอยตัว ในขณะที่บริษัท b ต้องการแปลงหนี้สินเป็นแบบคงที่ ทั้งสองบริษัทตกลงทำสัญญาสวอป
 อัตราดอกเบี้ยอายุ 1 ปี เพื่อแลกเปลี่ยนกระแสเงินสด ตามข้อตกลง ดังนี้
 ข้อตกลงตามสัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ยอายุ 1 ปี
             1) บริษัท a ต้องจ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัว THOR +2% ต่อปี ให้กับบริษัท b เพื่อแลก
 กับการได้รับอัตราดอกเบี้ยคงที่ 4 % ต่อปี
             2) บริษัท b ต้องจ่ายอัตราดอกเบี้ยคงที่ 4% ต่อปี เพื่อแลกกับการได้รับอัตราดอกเบี้ย
 ลอยตัว THOR +2% ต่อปี
          3) กำหนดเงินต้นอ้างอิง เท่ากัน คือ 100,000,000 บาท และกำหนดการจ่ายแลกเปลี่ยน
 กระแสเงินสดทุก ๆ 3 เดือน จ่ายปลายงวดจ่ายงวดแรกวันที่ 1/8/63 โดยอัตราดอกเบี้ย THOR
 (%ต่อปี) ที่เวลาต่าง ๆ เป็นไป ตามตารางต่อไปนี้
                                           วันที่                   THOR (% ต่อปี)
                                         1/5/63                       2.93844
                                         1/8/63                       2.58732
                                         1/11/63                      2.49190
                                         1/2/64                       2.49239
                                         1/5/64                       2.49286

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

362                                                                                     อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
           ก) จงเขียนตารางแสดงกระแสเงินสดของบริษัท a และบริษัท b
           ข) จงหามูลค่าของสวอปอัตราดอกเบี้ย
 เมือ่ กำหนดอัตราดอกเบี้ยคิดลดเท่ากับ 4.2% ต่อปีคิดทบต้นทุก 3 เดือน
 วิธีทำ กระแสเงินสดของบริษัท a เป็นไปตามตารางต่อไปนี้
                                                                   (4)
                                                                             0.042
 จากที่โจทย์กำหนดให้อัตราดอกเบี้ยต่อ 3 เดือน= i                                   0.0105
                                              4                                4
                                        1
                               i (4) 
 ดังนั้นตัวประกอบส่วนลด v  1    1.01051  0.989609104
                                 4 
 และจากโจทย์คำนวณกระแสเงินสดจากการคิดอัตราดอกเบี้ยลอยตัว THOR +2% ต่อปี และ
 อัตราดอกเบี้ยคงที่ 4 % ต่อปี เมื่อกำหนดเงินต้นอ้างอิง เท่ากัน คือ 100,000,000 บาท ดังตาราง
 ด้านล่างในคอลัมน์ที่ 4 และ 5 ตามลำดับ และมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดของฝั่งดอกเบี้ย
 ลอยตัวและฝั่งอัตราดอกเบี้ยคงที่ แสดงในคอลัมน์ 6 และ 7 ตามลำดับ
               VKfloating  1,234,610.00v +1,146,830.00v 2 +1,122,975.00v 3 +1,123,097.50v 4

                            4,510,373.36
               VKfixed  1,000,000v +1,000,000v 2 +1,000,000v 3 +1,000,000v 4

                       3,897,165.15
 มูลค่าของสวอป V             K
                              SW
                                    VKfloating  VKfixed  4,510,373.36  3,897,165.15

                                     613, 208.21
      วันที่      THOR             THOR+2%       กระแสเงินสดฝั่ง   กระแสเงินสดฝั่ง         มูลค่าปัจจุบัน      มูลค่าปัจจุบัน
                 (% ต่อปี)          (% ต่อปี)   อัตราดอกเบี้ย      อัตราดอกเบี้ยคงที่     ฝั่งดอกเบี้ยลอยตัว   ฝั่งดอกเบี้ยคงที่
                                                ลอยตัว             1% (4%/4)
                                                (THOR+2%)/4        ต่องวด
                                                ต่องวด
  1/5/63         2.93844            4.93844              -                   -
  1/8/63         2.58732            4.58732     1,234,610.00       1,000,000.00           1,221,781.30         989,609.10
  1/11/6         2.49190            4.49190
                                                1,146,830.00       1,000,000.00           1,123,120.64         979,326.18
     3
  1/2/64         2.49239            4.49239     1,122,975.00       1,000,000.00           1,088,331.34         969,150.10
  1/5/64         2.49286            4.49286     1,123,097.50       1,000,000.00           1,077,140.09         959,079.77

                                                                   ผลรวม                  4,510,373.36         3,897,165.15

                                                                   มูลค่าของสวอป          613,208.21


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                                                                     363
9.6.4.2 ความสัมพันธ์ของมูลค่าของสวอปอัตราดอกเบี้ยกับราคาตราสารหนี้ที่มีการจ่ายคูปอง

          ให้ N เป็นเงินต้นอ้างอิง สำหรับตราสารหนี้ที่มีการจ่ายคูปองคงที่ (fixed rate bond) อายุ
n ปี ( 0    1 ) โดยมี ร าคาที ่ ต ราไว้ N บาท อั ต ราคู ป อง K ต่ อปี จ่ า ยทุ ก ๆ  ปี จ่ า ยคู ป อง

ทั้งหมด n ครั้ง จ่ายครั้งละ c N บาท สมมติราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้ ราคาตราสารหนี้ที่มี
การจ่ายคูปองคงที่ B        fixed
                           K       (t ) ,

                               BKfixed (t )  K  NPt T0 , Tn   NZ t t , Tn                                                 (9.37)
และสำหรับตราสารหนี้ที่มีการจ่ายคูปองลอยตัว (floating rate bond) อายุ n ปี ( 0    1 ) โดย
มีราคาที่ตราไว้ N บาท อัตราคูปองเท่ากับอัตราดอกเบี้ยลอยตัว xIBOR L                                      Ti1    LTi1 Ti1 , Ti  ต่อปี

จ่ายทุก ๆ  ปี จ่ายคูปองทั้งหมด n ครั้ง จ่ายครั้งที่ i เท่ากับ LT  N บาท สมมติราคาไถ่ ถอนi1



เท่ากับราคาที่ตราไว้ ราคาตราสารหนี้ที่มีการจ่ายคูปองลอยตัว B                        floating
                                                                                               (t ) ,
                                      n
                B floating (t )    NLTi1 Z t , Ti   N  Z t , T0   Z t , Tn   NZ t , Tn                        (9.38)
                                     i 1


พิจารณาผลต่างของราคาตราสารหนี้จ่ายคูปองลอยตัวกับราคาตราสารหนี้จ่ายคูปองคงที่
B floating (t )  BKfixed (t )   N  Z t , T0   Z t , Tn   NZ t , Tn    K  NPt T0 , Tn   NZ t , Tn 

                             N  Z t , T0   Z t , Tn   K  NPt T0 , Tn 

                             VKfloating t   VKfixed t   VKSW t 

นั่นคือ                                       VKSW t   B floating (t )  BKfixed (t )

(9.39)




      รูปที่ 9.12 เปรียบเทียบกระแสเงินสดระหว่างตราสารหนี้จ่ายคูปองลอยตัวกับตราสารหนี้
                                                       จ่ายคูปองคงที่

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

364                                                               อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
บทสรุปท้ายบทที่ 9

        ในบทที ่ 9 นี้ ไ ด้ ก ล่ า วถึ ง สั ญ ญาสวอปอั ต ราดอกเบี ้ ย (Interest Rate Swap) ซึ ่ ง เป็ น
ข้อตกลงระหว่ างคู่ส ัญญาในการแลกเปลี่ยนภาระดอกเบี้ย โดยใช้อัตราดอกเบี้ยคงที่ และอั ต รา
ดอกเบี้ยลอยตัวที่คำนวณจากจำนวนเงินต้นอ้างอิง แม้จะไม่มีการแลกเปลี่ยนเงินต้นจริง สัญญานี้ถือ
เป็นเครื่องมือสำคัญในการบริหารความเสี่ยงจากความผันผวนของอัตราดอกเบี้ยในอนาคต และมีการ
ใช้งานอย่างแพร่หลายในตลาดการเงิน
        ใน พื้นฐานอัตราดอกเบี้ยลอยตัว ได้อธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยที่สัมพันธ์
กับปัจจัยทางเศรษฐกิจ เช่น อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น และใช้เป็นพื้นฐานในการคำนวณฟอร์เวิร์ดอัตรา
ดอกเบี้ย ราคาฟอร์เวิร์ดของตราสารหนี้ไม่จ่ายคูปองและฟอร์เวิร์ดอัตราดอกเบี้ย อธิบายการ
กำหนดราคาของตราสารในอนาคตโดยใช้อัตราผลตอบแทนที่สัมพันธ์กับระยะเวลาของตราสารหนี้
สัญญาฟอร์เวิร์ดอัตราดอกเบี้ยและฟอร์เวิร์ดอัตราดอกเบี้ย xIBOR กล่าวถึงการคำนวณราคา
สำหรับอัตราดอกเบี้ยในอนาคต โดยใช้ตัวแปรอ้างอิง เช่น LIBOR หรือ SOFR ซึ่งมีความสำคัญใน
การกำหนดเงื่อนไขสัญญาสวอป ขณะที่ สัญญาฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ย xIBOR ช่วยเสริมการบริ
หารความเสี่ยงและการเก็งกำไรในตลาดอนุพันธ์ของอัตราดอกเบี้ย
        ในหั ว ข้ อ ค่ า ความผั น ผวนตามนั ย ได้ อธิบ ายการใช้ค่าความผัน ผวนโดยนัย (implied
volatility) ในการกำหนดราคาสัญญาฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ย โดยรวมถึงการปรับแต่งความโค้ง
(convexity adjustment) เพื่อให้ราคาสะท้อนโครงสร้างตลาดอย่างถูกต้อง
          หัวข้อสุดท้ายกล่าวเกี่ยวกับ สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย เจาะลึกถึง plain vanilla swap
ซึ่งเป็นรูปแบบสวอปพื้นฐานที่ไม่ซับซ้อน โดยอาศัยกระแสเงินสดของอัตราดอกเบี้ยคงที่และลอยตัวที่
แตกต่างกัน คู่สัญญาจะปฏิบัติตามเงื่อนไขในสัญญาเพื่อป้องกันความเสี่ยงจากความผันผวนของ
อัตราดอกเบี้ยในตลาดจริง
          โดยสรุป บทนี้ได้นำเสนอทฤษฎีสำคัญ เช่น การกำหนดราคาฟอร์เวิร์ดและฟิวเจอร์ส การ
ประเมินค่าความผันผวน และการใช้อัตราดอกเบี้ยอ้างอิง เพื่อแสดงให้เห็นถึงบทบาทของสัญญาส
วอปอัตราดอกเบี้ยในฐานะเครื่องมือทางการเงินที่มีประสิทธิภาพในตลาดที่มีความซับซ้อนและ
เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                       365
เอกสารอ้างอิง

[1] Hull, J. C. (2022). Options, futures, and other derivatives (11th ed.). Pearson.
[2] Sundaram, R. K., & Das, S. R. (2016). Derivatives: Principles and practice (2nd ed.).
McGraw-Hill Education.
[3] Chance, D. M., & Brooks, R. (2015). An introduction to derivatives and risk
management (10th ed.). Cengage Learning.
[4] Neftci, S. N. (2000). An introduction to the mathematics of financial derivatives
(2nd ed.). Academic Press.
[5] Tuckman, B., & Serrat, A. (2011). Fixed income securities: Tools for today's markets
(3rd ed.). Wiley.




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

366                                                                อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 9

1) จงนับวันลงทุนของโครงการลงทุนหนึ่งซึ่งเริ่มลงทุนวันที่ 8 มีนาคม 2560 และวันสิ้นสุดโครงการ
วันที่ 31 สิงหาคม 2565 โดย
          1.1) นับจำนวนวันแท้จริง และ เวลาลงทุนในหน่วยปี
          1.2) นับจำนวนวันสามัญ

2) ตั๋วเงินคลังไม่มีคูปองฉบับหนึ่งอายุ 24 เดือน (12m-zcb) มีราคาที่ตราไว้ 1,000 บาท ซื้อขายใน
ราคาส่วนลด 4.5% ต่อปี และมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้ สมมติอัตราดอกเบี้ยของตั๋วเงินคลัง
บนช่วง [0,15/12] เท่ากับอัตราดอกเบี้ยบนช่วง [0,2]
          2.1) จงคำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของสัญญาฟอร์เวิร์ดบน 24m-zcb ณ ปลายเดือนที่ 6 และ
เวลาใช้สิทธิปลายเดือนที่ 12
          2.2) จงหาอัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ด สำหรับช่วงเดือนที่ 12 ถึง เดือนที่ 15

3) บริ ษ ั ท a กู ้ เ งิ น 20 ล้ า นบาท กั บ ธนาคารแห่ ง หนึ ่ ง โดยธนาคารคิ ด อั ต ราดอกเบี ้ ย ลอยตั ว
THOR+2% ต่อปีโดยมีกำหนดจ่ายดอกเบี้ยทุกปี (ทุก 12 เดือน) ต่อมาบริษัท a ประเมินจากสภาพ
เศรษฐกิจที่ผ่านมา อัตราดอกเบี้ย THOR มีแนวโน้มปรับตัวสูงขึ้นไปอยู่ที่ 10 % ต่อปี เพื่อเป็นการ
ป้องกันความเสี่ยงดังกล่าว บริษัท a จึงตัดสินใจทำสัญญา FRA กับธนาคาร b และสามารถกำหนด
อัตราดอกเบี้ยในสัญญาได้เท่ากับ 8.5 % ต่อปี ที่เงินต้น 20 ล้านบาท กำหนดให้บริษัท a มีสถานะ
เป็นผู้ซื้อ FRA และธนาคาร b เป็นผู้ขาย FRA โดยมีการชำระส่วนต่างของดอกเบี้ย ทุก ๆปี จง
พิจารณาว่าสัญญาดังกล่าวจะช่วยป้องกันความเสี่ยงจากการเปลี่ยนแปลงอัตราดอกเบี้ยหรือไม่
อย่างไร ในกรณีต่าง ๆ ดังนี้
           3.1) อัตราดอกเบี้ย THOR ปรับตัวขึ้นสูงขึ้นไปอยู่ที่ 11 % ต่อปี ในอีก 12 เดือนข้างหน้า
           3.2) อัตราดอกเบี้ย THOR ปรับตัวลดลงเหลือ 7 % ต่อปี ในอีก 12 เดือนข้างหน้า

4) ตั๋วเงินคลังไม่มีคูปองฉบับหนึ่งอายุ 9 เดือน มีราคาที่ตราไว้ 1,000 บาท ซื้อขายในราคาส่วนลด
7% ต่อปี และมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้
          4.1) จงคำนวณราคาตั๋วเงินคลังที่เวลา เดือน เมื่ออัตราดอกเบี้ยจ่ายทันที xIBOR จ่ายทันที
ณ เวลาปลายเดือนที่ 6 ( นับจากวันออกตราสาร) เท่ากับ 2.5 % ต่อปี (อัตราดอกเบี้ยเชิงเดี่ยว)

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                               367
        4.2) จากข้อ 4.1) จงคำนวณอัตราดอกเบี้ยเชิงเดี่ยวฟอร์เวิร์ดที่ทำสัญญาทันทีเดือนที่ 6
สำหรับการกู้ยืมในช่วงเวลาระหว่างเดือนที่ 6 ถึงเดือนที่ 9

5) ตั๋วเงินคลังไม่มีคูปองฉบับหนึ่งอายุ 12 เดือน มีราคาที่ตราไว้ 1,000 บาท ซื้อขายในราคาส่วนลด
6% ต่อปี และมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้ จงคำนวณมูลค่าปัจจุบันของการจ่ายด้วยอัตรา
xIBOR, LT T , T    ที่ปลายเดือนที่ 6 โดยที่ xIBOR เป็นอัตราดอกเบี้ยระยะเวลา 6 เดือน

6) สมมติอัตราผลตอบแทนของ 1y-zcb และ 2y-zcb เท่ากับ 1.5% และ 3% ตามลำดับ
        6.1) จงคำนวณอัตราดอกเบี้ยเชิงเดี่ยวฟอร์เวิร์ดที่ทำสัญญาทันทีเดือนที่ 12 สำหรับการกู้ยืม
ในช่วงเวลาระหว่างเดือนที่ 12 ถึงเดือนที่ 24 (หา f1,11 1 )
         6.2) ถ้าอัตราดอกเบี้ยเชิงเดี่ยวฟอร์เวิร์ดที่ทำสัญญาทันทีเดือนที่ 24 สำหรับการกู้ยืมใน
ช่วงเวลาระหว่างเดือนที่ 24 ถึงเดือนที่ 36 เท่ากับ 3.5% (กำหนด f 2,21 2  3.5% ) จงหาอัตรา
ผลตอบแทนของ 3y-zcb

7) สมมติอัตราดอกเบี้ย 3m-LIBOR จ่ายทันที (spot LIBOR rate) ระหว่างเดือนที่ 9 ถึง เดือนที่
12 เท่ากับ 2.25% ต่อปี จงหาราคาของฟิวเจอร์สตลาดเงินและอัตราดอกเบี้ยฟิวเจอร์สตามนัยบน
อัตราดอกเบี้ย 3m-LIBOR และ สำหรับช่วงเวลาเดือนที่ 9 ถึง เดือนที่ 12 (สัญญาฟิวเจอร์สตลาด
เงินบนอัตราดอกเบี้ย 3m-LIBOR เรียกว่า Eurodollar futures)

8) สมมติว่าราคาปัจจุบันของ 3M  zcb ฉบับหนึ่งเท่ากับ 970 บาทและปัจจุบันราคาคอลออปชัน
บนตราสารหนี้ฉบับนี้เท่ากับ 7.5 บาท โดยมีราคาใช้สิทธิ 978 บาท โดยมีไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้
เท่ากับ 1,000 บาท และอายุคงเหลือของตราสารหนี้ฉบับนี้เท่ากับ 60 วัน กำหนดอัตราดอกเบี้ยทบ
ต้นต่อเนื่องเท่ากับ 2.5% ต่อปี จงประมาณค่าความผันผวนตามนัย  ด้วย
          8.1) ค่าความผันผวนที่สภาวะคุ้มทุนแฝง  ATM t , T 
          8.2) สูตรในรูปสมการกำลังสองของ Corrodo

9) สมมติว่าราคาปัจจุบันของ 6M  zcb ฉบับหนึ่งเท่ากับ 965 บาทและปัจจุบันราคาคอลออปชัน
บนตราสารหนี้ฉบับนี้เท่ากับ 8.5 บาท โดยมีราคาใช้สิทธิ 989 บาท โดยมีไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้
เท่ากับ 1,000 บาท และอายุคงเหลือของตราสารหนี้ฉบับนี้เท่ากับ 120 วัน กำหนดอัตราดอกเบี้ยทบ
ต้นต่อเนื่องเท่ากับ 4.5% ต่อปี

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

368                                                              อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
จงหา          9.1) จงประมาณค่าปรับแต่งความนูน โดยใช้ค่าความผันผวนที่สภาวะคุ้มทุนแฝง
                                                                            60
              9.2) อัตราดอกเบี้ยฟิวเจอร์ส F FUT (t , T , T   ) เมื่อ   365

10) สมมติว่าบริษัท A และบริษัท B มีภาระหนี้สินที่ต้องชำระแก่เจ้าหนี้ของตน ดังนี้
     • บริษัท A มีภาระชำระหนี้โดยจ่ายอัตราดอกเบี้ยคงที่ 5.4% ต่อปี

     • บริษัท B มีภาระชำระหนี้โดยจ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัว THOR + 1.5% ต่อปี

ต่อมาทั้งสองบริษัทต้องการ แปลงประเภทของภาระดอกเบี้ย ที่ต้องจ่าย
     • บริษัท A ต้องการเปลี่ยนจากการจ่ายดอกเบี้ยคงที่เป็น อัตราดอกเบี้ยลอยตัว

     • บริษัท B ต้องการเปลี่ยนจากการจ่ายดอกเบี้ยลอยตัวเป็น อัตราดอกเบี้ยคงที่

ทั้งสองฝ่ายจึงตกลงทำ สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ยอายุ 1 ปี โดยมีข้อตกลงดังนี้
     1) บริษัท A ตกลงจ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัว THOR + 1.6% ต่อปี ให้กับบริษัท B เพื่อแลกกับ
         การได้รับอัตราดอกเบี้ยคงที่ 5.6% ต่อปี
     2) บริษัท B ตกลงจ่ายอัตราดอกเบี้ยคงที่ 5.6% ต่อปี ให้กับบริษัท A เพื่อแลกกับการได้รับ
         อัตราดอกเบี้ยลอยตัว THOR + 1.6% ต่อปี
     3) กำหนด เงินต้นอ้างอิง (notional principal) เท่ากับ 100,000,000 บาท
     4) มีการจ่ายและรับดอกเบี้ย ทุก 3 เดือน (quarterly) โดย จ่ายปลายงวด
     5) งวดแรกจ่ายวันที่ 1 กรกฎาคม 2567
โดยอัตราดอกเบี้ย THOR (% ต่อปี) ที่เวลาต่าง ๆ เป็นไปตามตารางต่อไปนี้
                                 วันที่              THOR (% ต่อปี)
                               1/4/67                  1.93844
                               1/7/67                  1.58732
                               1/10/67                 1.49190
                               1/1/68                  1.49239
                               1/4/68                  1.49286
กำหนดใช้ อัตราดอกเบี้ยคิดลด 4.2% ต่อปี (คิดทบต้นทุก 3 เดือน) สำหรับการคำนวณมูลค่าปัจจุบัน
จงตอบคำถามต่อไปนี้ (อธิบายอย่างละเอียด)
       10.1) จงคำนวณกระแสเงิ นสด ของบริษัท A ในแต่ละงวดจากการจ่ายดอกเบี ้ยลอยตั ว
(THOR + 1.6%) และรับดอกเบี้ยคงที่ 5.6% ต่อปี โดยคำนวณตามเงินต้นอ้างอิง 100 ล้านบาท


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                            369
       10.2) จงหามูลค่าปัจจุบัน (Present Value) ของกระแสเงินสดแต่ละงวด โดยใช้อัตราคิดลด
4.2% ต่อปี (ทบต้นทุก 3 เดือน) และหาผลรวมของมูลค่าปัจจุบันของฝั่งอัตราดอกเบี้ยลอยตัวและฝั่ง
อัตราดอกเบี้ยคงที่
       10.3) จงคำนวณมูลค่าของสวอปอัตราดอกเบี้ย (Swap Value) ณ วันเริ่มต้นสัญญา
       10.4) วิเคราะห์ว่า บริษัท A ได้รับหรือสูญเสียจากการทำสัญญาสวอปครั้งนี้เท่าใด

11) สมมติว่า ณ ปัจจุบัน บริษัท a.และบริษัท b.สามารถกู้เงินโดยมีอัตราดอกเบี้ยกู้ยืม ตามตาราง
ต่อไปนี้
                    รายการอัตราเบี้ยเงินกู้       บริษัท a        บริษัท b
                 อัตราดอกเบี้ยคงที่               7.2 %            6%
                 อัตราดอกเบี้ยลอยตัว          LIBOR + 1.8%     LIBOR +1 %
จงตอบคำถามต่อไปนี้ (อธิบายอย่างละเอียด)
         11.1) อัตราดอกเบี้ยคงที่และอัตราดอกเบี้ยลอยตัวของทั้ง 2 บริษัทอยู่ในสภาวะสมดุล
หรือไม่เพราะเหตุใด
         11.2) โดยใช้หลักการของความได้เปรียบเชิงเปรียบเทียบ บริษัทใดได้เปรียบเชิงเปรียบเทียบ
ในอัตราดอกเบี้ยคงที่ และบริษัทใดได้เชิงเปรียบเทียบในอัตราดอกเบี้ยลอยตัว
         11.3) สมมติว่าในปัจจุบัน บริษัท a.กู้ยืมเงินด้วยอัตราดอกเบี้ยลอยตัว และบริษัท b กู้ยืม
เงินด้วยอัตราดอกเบี้ยคงที่และหากบริษัท a.ต้องการเปลี่ยนจากการกู้ยืมเงินด้วยอัตราดอกเบี้ย
ลอยตัวไปเป็นอัตราดอกเบี้ยแบบคงที่ ในขณะที่บริษัท b.ต้องการเปลี่ยนจากการกู้ยืมเงินด้วยอัตรา
ดอกเบี้ยคงที่ไปเป็นอัตราดอกเบี้ยลอยตัว โดยทำสัญญาสวอปเพื่อทำให้ทั้ง 2 บริษัทได้รับอั ตรา
ดอกเบี้ยที่ตํ่าลง โดยสัญญาสวอปมีข้อตกลง ดังนี้
         1) บริ ษั ท a ตกลงจ่ า ยอั ตราดอกเบี ้ ย คงที่ เท่ากับ [6 % + ค่าธรรมเนีย มของธนาคาร
0.015%] โดยแลกเปลี่ยนกับการรับอัตราดอกเบี้ยลอยตัวเท่ากับ LIBOR +0.8%
         2) บริษัท b.ตกลงจ่ายอัตราดอกเบี้ยลอยตัว [LIBOR +0.8%+ ค่าธรรมเนียมของธนาคาร
0.015%] โดยแลกเปลี่ยนกับการรับอัตราดอกเบี้ยคงที่เท่ากับ 6 %
คำถาม 11.3.1 ) จงเขียนแผนภาพแสดงการไหลของกระแสเงินของธุรกรรมทั้งหมด
         11.3.2) จงคำนวณอัตราอัตราดอกเบี้ยที่เป็นผลหลังจากใช้สัญญาสวอปของทั้ง 2 บริษัท
และทั้ง 2 บริษัท ได้รับอัตราดอกเบี้ยถูกลงเท่าไร

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

370                                                                    อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
12) สมมติ ว ่ า อั ต ราสวอปฟอร์ เ วิ ร ์ ดสํ า หรั บ 1 ปี (2y-forward swap rate) ณ ปัจ จุบ ัน เท่ากั บ
1.47% ( y0 [0,1]  1.5% ) และ อัตราสวอปสำหรับ 2 ปี (2y-swap rate) และอัตราสวอปสำหรับ
3 ปี (3y-swap rate) เท่ากับ 2.1% และ 2.4% ตามลำดับ ตกลงแลกเปลี่ยนกระแสเงินทุก ๆ สิ้น
เดือน ใช้ข้อมูลดังกล่าวตอบปัญหาต่อไปนี้
         12.1) จงคำนวณหา Z (0,1), Z (0, 2) และ Z (0,3) และ P0 (0,3)
         12.2) จงคำนวณหาราคาตราสารหนี้มีคูปองที่จ่ายคูปองคงที่ อายุ 3 ปี ราคาที่ตราไว้ 1,000
บาท อัตราคูปอง 4% ต่อปี มีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้ โดยใช้ผลลัพธ์จาก 12.1) ในการ
คำนวณ

13) ตราสารหนี้มีคูปองจ่ายคูปองคงที่ฉบับหนึ่ง มีราคาที่ตราไว้ 1,000 บาท อัตราคูปอง 10% ต่อปี
จ่ายคูปองทุก 3 เดือน จงตอบคำถามต่อไปนี้
        13.1) จงคำนวณราคา B (0)   fixed
                                  10%

        13.2) สมมติว่า y เป็นอัตราดอกเบี้ยซึ่ง
                                                   n
                                      fixed
                                    B10%    (0)  c  v k  1,000v n
                                                  k 1

 เมื่อ v  (1  y) , n เป็นจำนวนงวดของการจ่ายคูปอง และ c ป็นคูปองจ่ายต่องวด จงหาอัตรา
                 1



ผลตอบแทนภายใน (internal rate of return : irr) ต่อปี เทียบเท่ากับอัตราดอกเบี้ย y

14) บริษัท ABC ลงทุนในตั๋วเงินคลังชนิดหนึ่งที่มีอัตราดอกเบี้ยระบุไว้เท่ากับร้อยละ 3.6% ต่อปี โดย
กำหนดระยะเวลาลงทุนตั้งแต่วันที่ 15 มกราคม 2563 ถึงวันที่ 18 มิถุนายน 2564 โดยมีจำนวนเงิน
ลงทุนทั้งสิ้น 5,000,000 บาท และเป็นการลงทุนประเภทอัตราดอกเบี้ยเชิงเดี่ยว
         14.1) จงคำนวณจำนวนวันลงทุนและเวลาลงทุนในหน่วยปีโดยใช้วิธี
                 (ก) การนับจำนวนวันแท้จริง (Actual/Actual)
                 (ข) การนับจำนวนวันสามัญ (30/360)
                 (ค) การนับวันด้วยกฎของธนาคาร (Actual/360)
         14.2) จงคำนวณดอกเบี้ยที่บริษัทได้รับตามแต่ละวิธีการนับวัน และเปรียบเทียบว่าแบบใด
ให้ผลตอบแทนมากที่สุด




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                              371
15) นักวิเคราะห์การเงินของบริษัท DEF ต้องคำนวณต้นทุนการกู้เงินจำนวน 20,000,000 บาท โดย
เริ่มกู้ในวันที่ 31 มีนาคม 2565 และครบกำหนดชำระคืนวันที่ 30 กันยายน 2565 โดยคิดอัตรา
ดอกเบี้ยอยู่ที่ 6.0% ต่อปี และเป็นการคิดดอกเบี้ยเชิงเดี่ยว
          15.1) จงคำนวณจำนวนวันลงทุนในแต่ละวิธี
                  (ก) วิธีนับจำนวนวันแท้จริง (Actual/Actual)
                  (ข) วิธีนับวันสามัญ (30/360)
                  (ค) กฎของธนาคาร (Actual/360)
          15.2) จงคำนวณดอกเบี้ยที่บริษัทต้องชำระโดยใช้แต่ละวิธี และวิเคราะห์ว่าในสถานการณ์นี้
วิธีการใดช่วยลดต้นทุนดอกเบี้ยได้มากที่สุด

16) (การคำนวณราคาฟอร์เวิร์ดและอัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ดจาก Zero-Coupon Bonds) ตั๋วเงินคลัง
ไม่มีคูปอง (zero-coupon bond: ZCB) ฉบับหนึ่งมีราคาที่ตราไว้ (face value) เท่ากับ 1,000 บาท
โดยมีราคา ณ วันออกฉบับหนึ่ง (0-year) เท่ากับ P(0,1) = 950 บาท และอีกฉบับหนึ่งมีราคา ณ
วันเดียวกันแต่มีอายุ 1.5 ปี เท่ากับ P(0,1.5) = 910 บาท
    16.1) จงคํ า นวณอั ตราดอกเบี ้ ย คิ ด ทบต้ น ต่อ เนื่ อง (continuously compounded interest
rate) สำหรับช่วงเวลา [0,1] และ [0,1.5]
    16.2) จงคำนวณราคาฟอร์เวิร์ด ของ ZCB ที่มีอายุ 0.5 ปี (จาก t = 1 ถึง t = 1.5 ) ณ เวลา
ปัจจุบัน
    16.3) จงหาอัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ด แบบคิดทบต้นต่อเนื่องในช่วง [1,1.5]

17) (การประยุกต์ ราคาฟอร์เวิ ร์ดในการตัดสิน ใจลงทุน) สมมติว่านักลงทุน รายหนึ่งต้องการซื้อ
พันธบัตรรัฐบาลไม่มีคูปอง (zero-coupon bond) ที่จะไถ่ถอนในอีก 1 ปีข้างหน้า (ครบกำหนดใน
วันที่ 31 ธันวาคม พ.ศ. 2568) โดยพันธบัตรนี้มีมูลค่าที่ตราไว้เท่ากับ 1,000 บาท ปัจจุบัน (วันที่ 31
ธันวาคม พ.ศ. 2566) พันธบัตรนี้ซื้อขายในราคา 925 บาท และมีอีกฉบับหนึ่งที่ครบกำหนดในอีก 2
ปี (31 ธันวาคม พ.ศ. 2569) ซื้อขายในราคา 850 บาท
          17.1) จงคำนวณอัตราดอกเบี้ยคิดทบต้นต่อเนื่อง r1 และ r2 สำหรับพันธบัตรอายุ 1 ปี
และ 2 ปี ตามลำดับ



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

372                                                          อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
        17.2) หากนักลงทุนต้องการทำสัญญาฟอร์เวิร์ดเพื่อซื้อพันธบัตรที่มีอายุเหลือ 1 ปี ณ วันที่
31 ธันวาคม พ.ศ. 2567 (forward contract อายุ 1 ปี เพื่อซื้อ ZCB อายุ 1 ปี ณ สิ้นปีหน้า) จง
คำนวณราคาฟอร์เวิร์ด ของพันธบัตรดังกล่าว
       17.3) จงอธิบายว่าหากในวันที่ 31 ธันวาคม พ.ศ. 2567 ราคาตลาดของพันธบัตรดังกล่าว
แตกต่างจากราคาฟอร์เวิร์ด จะเกิดโอกาสการทำกำไรไร้ความเสี่ยง (arbitrage) หรือไม่ อย่างไร

18) (การประเมินผลตอบแทนจากสัญญา FRA เพื่อบริหารความเสี่ยงอัตราดอกเบี้ย)
บริษัท A กู้ยืมเงินจำนวน 15 ล้านบาทจากธนาคารแห่งหนึ่ง โดยธนาคารเรียกเก็บอัตราดอกเบี้ยแบบ
ลอยตัวเท่ากับ THOR + 1.2% ต่อปี โดยมีการชำระดอกเบี้ยทุกปี (12 เดือน) บริษัท A คาดการณ์ว่า
ในอีก 1 ปีข้างหน้าอัตราดอกเบี้ย THOR จะเพิ่มสูงขึ้น และจึงต้องการป้องกันความเสี่ยงจากการ
ปรับตัวของอัตราดอกเบี้ยนี้
บริษัท A จึงทำสัญญา Forward Rate Agreement (FRA) กับธนาคาร B โดยมีรายละเอียดดังนี้
    - บริษัท A มีสถานะเป็นผู้ซื้อ FRA และธนาคาร B เป็นผู้ขาย FRA
    - กำหนดอัตราดอกเบี้ยในสัญญา FRA (FRA rate) เท่ากับ 8% ต่อปี
    - เงินต้นอ้างอิง 15,000,000 บาท
คำถาม
    18.1) หากอัตราดอกเบี้ย THOR ณ เวลาชำระจริงเพิ่มขึ้นเป็น 9.5% ต่อปี บริษัท A ได้รับหรือ
จ่ายเงินส่วนต่างจากสัญญา FRA เท่าไร
    18.2) หากอัตราดอกเบี้ย THOR ลดลงเหลือ 6.5\% ต่อปี บริษัท A ได้รับหรือจ่ายเงินส่วนต่าง
เท่าไร
    18.3) จงวิเคราะห์ว่าการทำ FRA ครั้งนี้ช่วยลดความเสี่ยงทางการเงินของบริษัท A ได้อย่างไร

19 (การวิเคราะห์มูลค่าและทิศทางผลตอบแทนของ FRA เมื่ออัตราดอกเบี้ยเปลี่ยนแปลง) พิจารณา
นักลงทุนรายหนึ่งทำสัญญา FRA โดยมีรายละเอียดดังนี้
   - สถานะของนักลงทุน: ผู้ขาย FRA
   - อัตราดอกเบี้ยตาม FRA: 4.2% ต่อปี
   - อัตราดอกเบี้ยอ้างอิง: 3-month THOR
   - เงินต้นอ้างอิง: 25,000,000 บาท
   - ระยะเวลาสัญญา: 3 เดือน เริ่มใช้สิทธิ ณ วันที่ 1 กันยายน พ.ศ. 2567

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                            373
     19.1) หาก ณ วันที่ 1 กันยายน พ.ศ. 2567 อัตราดอกเบี้ย 3-month THOR อยู่ที่ 5.0% ต่อปี
จงคำนวณผลตอบแทน (payoff) ที่นักลงทุนต้องจ่ายให้กับผู้ซื้อ FRA
     19.2) หากอัตราดอกเบี้ย 3-month THOR อยู่ที่ 3.0% ต่อปี จงคำนวณผลตอบแทนที่นักลงทุน
จะได้รับ
     19.3) จงอธิบายลักษณะความเสี่ยงของการถือครองสถานะผู้ขาย FRA และกลยุทธ์ป้องกันความ
เสี่ยงที่เหมาะสม

20) (การคำนวณราคาของสัญญาฟิวเจอร์สตลาดเงินและอัตราดอกเบี้ยตามนัย) นักลงทุนรายหนึ่ง
ต้องการใช้สัญญาฟิวเจอร์สตลาดเงินเพื่อเก็งกำไรจากการคาดการณ์ว่าอัตราดอกเบี้ยในตลาดจะ
เพิ่มขึ้น โดยพิจารณาสัญญาฟิวเจอร์สอ้างอิงกับอัตราดอกเบี้ย 3-month LIBOR ซึ่งจะครบกำหนด
ในอีก 3 เดือนข้างหน้า
ข้อมูล ณ ปัจจุบัน:
    - อัตราดอกเบี้ย LIBOR จ่ายทันทีสำหรับช่วงเดือนที่ 3 ถึงเดือนที่ 6 เท่ากับ 2.25% ต่อปี
    - สัญญาฟิวเจอร์สมีเงินต้นอ้างอิง (notional principal) เท่ากับ 1,000,000 ดอลลาร์สหรัฐ
          20.1) จงคำนวณราคาของสัญญาฟิวเจอร์สตลาดเงิน ณ เวลาปัจจุบัน
          20.2) จงคำนวณอัตราดอกเบี้ยฟิวเจอร์สตามนัย (implied futures rate)
          20.3) อธิบายว่าผลกำไรหรือขาดทุนจะเกิดขึ้นอย่างไร หากในวันครบกำหนดอัตราดอกเบี้ย
LIBOR อยู่ที่ 2.75% ต่อปี

21) (การใช้ฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ยเพื่อป้องกันความเสี่ยงของพอร์ตลงทุน) บริษัทการเงินแห่งหนึ่งมี
พอร์ตการลงทุนพันธบัตรระยะยาว และกังวลว่าอัตราดอกเบี้ยในตลาดจะเพิ่มสูงขึ้น ซึ่งจะทำให้
มูลค่าพอร์ตลดลง บริษัทจึงต้องการป้องกันความเสี่ยงโดยใช้สัญญาฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ย
ข้อมูลเบื้องต้น:
   - มูลค่าพอร์ตการลงทุนพันธบัตร = 50,000,000 บาท
   - สัญญาฟิวเจอร์สอ้างอิงกับอัตราดอกเบี้ย 6-month BIBOR มีขนาดสัญญาเท่ากับ 1,000,000
บาท
   - อัตราดอกเบี้ยปัจจุบัน = 1.80% ต่อปี
   - อัตราดอกเบี้ยคาดการณ์ในอีก 6 เดือน = 2.30% ต่อปี


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

374                                                        อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
   21.1) จงคำนวณจำนวนสัญญาฟิวเจอร์สที่บริษัทควรใช้เพื่อป้องกันความเสี่ยงจากการเพิ่มขึ้นของ
อัตราดอกเบี้ย
   21.2) จงคำนวณผลตอบแทนโดยประมาณจากสถานะในฟิวเจอร์สเมื่ออัตราดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นเป็น
2.30% ณ วันครบกำหนด
   21.3) วิเคราะห์ข้อดีและข้อจำกัดของการใช้สัญญาฟิวเจอร์สในการบริหารความเสี่ยงในกรณีนี้

22) (การปรับค่าความนูนในราคาของฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ย) นักวิเคราะห์การเงินพิจารณาการ
ลงทุนในสัญญาฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ยที่มีอัตราดอกเบี้ยอ้างอิงแบบลอยตัว (เช่น 3-month LIBOR)
โดยใช้แบบจำลองการก่อเกิดอัตราดอกเบี้ยสุ่มตามกระบวนการ Brownian motion ที่มีความผัน
ผวนของอัตราดอกเบี้ย σ = 0.012 ต่อปี
  - ราคาฟิวเจอร์สดั้งเดิม (ไม่ปรับความนูน) = 96.50
   - เวลาคงเหลือจนถึงวันครบกำหนดของฟิวเจอร์ส = 0.75 ปี
   22.1) จงคำนวณปรับค่าความนูน (Convexity Adjustment) โดยใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับความผัน
ผวน σ และเวลา T
   22.2) จงหาราคาฟิวเจอร์สที่ปรับความนูนแล้ว (Convexity-Adjusted Futures Price)
   22.3) อธิบายความสำคัญของการปรับความนูนในเชิงกลยุทธ์สำหรับนักเก็งกำไรและผู้บริหาร
พอร์ต
หมายเหตุ: สูตรปรับค่าความนูนโดยประมาณมีรูปแบบดังนี้
                                                       1 2
                           Convexity Adjustment ≈        ⋅σ ⋅ T
                                                       2
เมื่อ σ คือความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย และ T คือระยะเวลาคงเหลือจนถึงวันครบกำหนด
(หน่วยเป็นปี)

23) (การวิเคราะห์ผลกระทบของค่าความผันผวนและความนูนต่อราคาฟิวเจอร์ส) นักลงทุนรายหนึ่ง
สังเกตว่าราคาฟิวเจอร์สอัตราดอกเบี้ยที่มีอายุคงเหลือ 1 ปี มีการเคลื่อนไหวไม่สอดคล้องกับการ
คาดการณ์อัตราดอกเบี้ยในตลาดล่วงหน้า โดยมีรายละเอียดดังนี้
    - อัตราดอกเบี้ยฟอร์เวิร์ดที่คาดการณ์ล่วงหน้า = 3.25%
    - ความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย (annualized volatility) = 1.8% ต่อปี
    - ราคาฟิวเจอร์สที่สังเกตได้ในตลาด = 96.60

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 9 สัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ย                                                            375
   23.1) จงคำนวณราคาฟิวเจอร์สที่ควรเป็น หากนำค่าความนูนมาปรับด้วย โดยใช้สูตรปรับความ
นูนภายใต้สมมติฐานแบบ Gaussian interest rate model
    23.2) เปรียบเทียบราคาที่ได้จากการคำนวณกับราคาที่สังเกตในตลาด และวิเคราะห์ว่าเกิ ด
สถานการณ์ overpricing หรือ underpricing หรือไม่
    23.3) หากนักลงทุนเชื่อว่าตลาดไม่ได้สะท้อนความเสี่ยงตามความนูนอย่างเหมาะสม ควรใช้กล
ยุทธ์ใดในการทำกำไรจากสถานการณ์นี้
หมายเหตุ: สูตรการปรับความนูนที่ใช้โดยทั่วไป คือ
                                                        1 2
                            Convexity Adjustment ≈        ⋅σ ⋅ T
                                                        2
ซึ ่ งเป็ น การประมาณค่ า ที ่ มาจากแบบจํ าลองความเสี่ย งของอัตราดอกเบี้ย แบบ Gaussian หรือ
Heath-Jarrow-Morton framework

24) (การใช้สัญญาสวอปเพื่อจัดการโครงสร้างหนี้) บริษัท A มีภาระดอกเบี้ยจากการกู้เงินที่อัตรา
ดอกเบี ้ ย ลอยตั ว เท่ า กั บ THOR + 1.2% ต่ อปี โดยมี เ งิ น ต้ น 100,000,000 บาท และต้ อ งการ
เปลี่ยนเป็นภาระดอกเบี้ยคงที่เพื่อควบคุมต้นทุนทางการเงินในช่วง 1 ปีข้างหน้า บริษัทจึงทำสัญญาส
วอปกับธนาคาร B โดยมีรายละเอียดดังนี้
   - บริษัท A จ่ายอัตราดอกเบี้ยคงที่ 3.5\% ต่อปี และรับอัตราดอกเบี้ยลอยตัว THOR + 1.2\%
จากธนาคาร B
   - กำหนดจ่ายดอกเบี้ยทุก 6 เดือน โดยใช้เงินต้นอ้างอิง 100,000,000 บาท
   - อัตรา THOR ในช่วงเวลาต่าง ๆ มีดังนี้:
       - วันที่เริ่มต้นสัญญา: 1.90% ต่อปี
       - ครบ 6 เดือน: 2.50% ต่อปี
       - ครบ 12 เดือน: 2.80% ต่อปี
   24.1) คำนวณกระแสเงินสดสุทธิ (Net Cash Flow) ของบริษัท A ในแต่ละรอบการจ่ายดอกเบี้ย
   24.2) หากอัตราคิดลดสำหรับหามูลค่าปัจจุบันเท่ากับ 3.0% ต่อปี จงคำนวณมูลค่าปัจจุบันของ
กระแสเงินสดจากสัญญาสวอปทั้งหมด
   24.3) วิเคราะห์ว่าบริษัท A ได้ประโยชน์จากการทำสวอปครั้งนี้หรือไม่



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

376                                                       อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
25) (การประเมินผลกำไรจากสัญญาสวอปอัตราดอกเบี้ยสองทาง) บริษัท X และบริษัท Y มีลักษณะ
ของแหล่งเงินทุนต่างกัน โดยบริษัท X สามารถกู้เงินที่อัตราดอกเบี้ยคงที่ 5.5% ต่อปี และอัตรา
ลอยตัว THOR + 1.0% ส่วนบริษัท Y สามารถกู้เงิน ที่ อัตราคงที ่ 6.3% ต่อปี และอัตราลอยตัว
THOR + 1.4%
ทั้งสองบริษัทต้องการแลกเปลี่ยนอัตราดอกเบี้ย โดย
    - บริษัท X ต้องการเปลี่ยนจากคงที่ไปลอยตัว
    - บริษัท Y ต้องการเปลี่ยนจากลอยตัวไปคงที่
ทั้งสองบริษัทตกลงทำสัญญาสวอป โดยมีรายละเอียด
    - บริษัท X จ่าย THOR + 1.2% และรับคงที่ 5.8%
    - บริษัท Y จ่ายคงที่ 5.8% และรับ THOR + 1.2%
    - เงินต้นอ้างอิง: 50,000,000 บาท จ่ายดอกเบี้ยทุก 6 เดือน
    - THOR ในช่วง 6 เดือนแรก = 2.2% และ 6 เดือนถัดไป = 2.6%
    25.1) คำนวณผลกำไรหรือขาดทุนสุทธิของทั้งบริษัท X และ Y ในแต่ละรอบดอกเบี้ยจากสัญญา
สวอป
    25.2) วิเคราะห์ว่าบริษัทใดได้ประโยชน์จากการทำสวอป และเพราะเหตุใด
    25.3) หากต้องการให้ทั้งสองฝ่ายได้ประโยชน์เท่าเทียมกัน ควรปรับอัตราคงที่หรืออัตราลอยตัว
อย่างไร




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์