บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น
หน้าพิมพ์ 239–276 · PDF 251–288
หน้า PDF 251 · หน้าพิมพ์ 239 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น
เนื้อหาประกอบด้วย
7.1 ลักษณะที่พึงประสงค์ของแบบจำลองอัตราดอกเบี้ย
7.2 แบบจำลองของ Vasicek และแบบจำลอง CIR
7.3 แบบจำลอง Ho-Lee
7.4 แบบจำลอง Black-Derman-Toy
บทนำ
ในระบบการเงินที่มีพลวัตสูง อัตราดอกเบี้ยถือเป็นตัวแปรทางเศรษฐกิจที่มีผลกระทบ
โดยตรงต่อการประเมินมูลค่าตราสารหนี้ การกำหนดราคาตราสารอนุพันธ์ และการบริหารความ
เสี่ยงทางการเงินในระดับสถาบันและระบบเศรษฐกิจ การสร้างแบบจำลองเพื่ออธิบายพฤติกรรมของ
อัตราดอกเบี้ยจึงเป็นภารกิจหลักในคณิตศาสตร์การเงิน โดยเฉพาะแบบจำลองที่สามารถจับ การ
เคลื่อนไหวของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นในลักษณะต่อเนื่องของเวลา ซึ่งมีความผันผวนและไม่แน่นอน
สูง ในบริบทนี้ การใช้ แคลคูลัสสโตแคสติก (Stochastic Calculus) แทนแคลคูลัสของจำนวนจริงมี
ความจํ า เป็ น อย่ า งยิ ่ ง เนื ่ องจากแบบจํ า ลองที่มีตัว แปรสุ่มเชิงเวลา (เช่น Brownian Motion)
จำเป็นต้องใช้เครื่องมือคณิตศาสตร์ที่สามารถจัดการกับการเปลี่ยนแปลงที่ไม่สามารถคาดการณ์
ล่วงหน้าได้ ซึ่งเครื่องมือเหล่านี้ได้รับการพัฒนาและวางรากฐานโดย Itô (ค.ศ.1951) และต่อมาถูก
ประยุกต์ใช้ในงานด้านการเงินอย่างเป็นระบบในงานของ Black & Scholes (ค.ศ. 1973), Merton
(ค.ศ. 1973) และต่อเนื่องสู่การสร้างแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยที่ซับซ้อนมากขึ้น (Shreve, ค.ศ.
2004; Björk, ค.ศ. 2009)
บทนี้เริ่มต้นด้วยการพิจารณา ลักษณะที่พึงประสงค์ของแบบจำลองอัตราดอกเบี้ย อาทิ
ความสามารถในการอธิบายโครงสร้างอัตราดอกเบี้ยแบบปัจจุบัน (Term Structure) ความไม่เป็น
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 252 · หน้าพิมพ์ 240 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
240 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ลบของอัตราดอกเบี้ย และความสามารถในการกำหนดราคาพันธบัตรในลักษณะของมาร์ทิงเกล
ภายใต้มาตรการ Risk-Neutral (Brigo & Mercurio, ค.ศ. 2006)
ต่อจากนั้น ผู้อ่านจะได้ศึกษาแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นที่ได้รับความนิยมและถูกนำไปใช้
ในทางปฏิบัติ ดังนี้
• แบบจำลอง Vasicek (ค.ศ. 1977): เป็นแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยแรกที่มีโครงสร้าง Mean-
Reverting โดยอิงการเคลื่อนไหวสุ่มแบบบราวเนียน มีความสะดวกในการวิเคราะห์เชิงปิด
แม้จะมีข้อจำกัดด้านความเป็นลบของอัตราดอกเบี้ย
• แบบจำลอง Cir (Cox-Ingersoll-Ross, ค.ศ.1985): พัฒนาเพื่อแก้ปัญหาอัตราดอกเบี้ยติด
ลบ โดยใช้เทอมสแควร์รูทในพจน์ความผันผวน ซึ่งสอดคล้องกับพฤติกรรมของตลาดจริง
มากยิ่งขึ้น และสามารถเชื่อมโยงกับโครงสร้างอัตราผลตอบแทนได้ดี
• แบบจำลอง Ho-Lee (ค.ศ.1986): เป็นแบบจำลอง Non-Stationary ที่สามารถกำหนดให้
สอดคล้องกับโครงสร้างอัตราดอกเบี้ยเริ่มต้นได้แบบ Explicit ซึ่งมีความยืดหยุ่นในการใช้
งานจริง
• แบบจํ า ลอง Black-Derman-Toy (ค.ศ.1990): พั ฒ นาต่ อ จาก Ho-Lee โดยเพิ่ ม
ความสามารถในการสร้างความผันผวนที่เปลี่ยนแปลงตามอัตราดอกเบี้ยเองได้ (State-
Dependent Volatility)
แบบจำลองเหล่านี้นอกจากจะเป็นรากฐานในการวิเคราะห์ ทางทฤษฎีแล้ว ยังสามารถ
นำไปใช้จริงในกระบวนการกำหนดราคาตราสารอนุพันธ์ เช่น Bond Options, Swaptions, และ
Callable Bonds ตลอดจนการประเมินความเสี่ยงในพอร์ตสินทรัพย์ที่ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนไหวของ
อัตราดอกเบี้ย เช่น การวัด Duration, Convexity และ Value-At-Risk (Hull, ค.ศ. 2018)
ในทางทฤษฎี แบบจำลองเหล่านี้ยังเป็นรากฐานของการพัฒนาโมเดลที่ซับซ้อนขึ้น เช่น
แบบจำลอง Heath–Jarrow–Morton (Hjm) และแบบจำลองตลาดที่ขับเคลื่อนด้วยกระบวนการ
Lévy หรือกระบวนการ Jump-Diffusion ที่ใช้ในการประเมินราคาภายใต้ตลาดที่ไม่สมบูรณ์หรือมี
การเปลี่ยนแปลงเชิงโครงสร้าง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 253 · หน้าพิมพ์ 241 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 241
กล่าวโดยสรุป บทที่ 7 มีเป้าหมายเพื่อเสริมสร้างความเข้าใจในกลไกการสร้างแบบจำลอง
อัตราดอกเบี้ยระยะสั้นอย่างเป็นระบบ ครอบคลุมทั้งด้านแนวคิด ทฤษฎี และการประยุกต์ใช้จริง
โดยเฉพาะในด้ า นการเงิ น เชิ ง ปริ ม าณและการบริ ห ารความเสี ่ ย งที ่ ต ้ อ งการความแม่ น ยํ า เชิ ง
คณิตศาสตร์ระดับสูง
แบบจํ า ลองอั ต ราดอกเบี ้ ย มี บ ทบาทสํ า คั ญ มากในการกํ า หนดราคาตราสารอนุ พ ั น ธ์
โดยเฉพาะอนุพันธ์ของอัตราดอกเบี้ย (interest-rate-contingent claims) เช่น cap ของอัตรา
ดอกเบี้ย สวอป (swaps) ออปชันบนตราสารหนี้ และ ตราสารหนี้หนุนด้วยสินเชื่อที่อยู่อาศัย เป็นต้น
แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยที่มีชื่อเสียง เช่น แบบจำลองของ Vasicek ในปี ค.ศ.1977 แบบจำลอง
ของ Dothan ในปี ค.ศ.1978 แบบจํ า ลองของ Richard ในปี ค.ศ.1979 แบบจํ า ลองของ
Brennan-Schwartz ในปี ค.ศ.1979 แบบจำลองของ Langetieg ในปี ค.ศ.1980 แบบจำลอง
ของ Courtadon ในปี ค.ศ.1982 แบบจํ า ลองของ Cox–Ingersoll-Ross ในปี ค.ศ.1985
แบบจำลองดังกล่าวมีจุดด้อยและจุดเด่นแตกต่างกันไป ต่อมาแบบจำลองต่าง ๆ ได้รับการพัฒนาและ
ปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง เช่น ในปี ค.ศ.1986 Ho-Lee ได้นำเสนอและแสดงให้เห็นว่าแบบจำลองอัตรา
ดอกเบี้ยสามารถกำหนดให้สอดคล้องกับโครงสร้างเริ่มต้นตามที่ระบุได้อย่างไร ในเวลาต่อมา ในปี
ค.ศ. 1987 Health-Jarrow-Morton ได้นำเสนอรูปแบบทั่วไปของแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยเพื่อ
อธิบายโครงสร้างอัตราดอกเบี้ยและโครงสร้างความผันผวนของอัตราดอกเบี้ยซึ่งเป็นรูปแบบทั่วไปเชิง
ทฤษฎี
ในบทนี้กล่าวถึงแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นแบบต่าง ๆ เช่น แบบจำลองของ Vasicek
แบบจำลองของ Cox–Ingersoll-Ross: CIR (ค.ศ.1985) ซึ่งแบบจำลองดังกล่าวจะอธิบายโครงสร้าง
ปัจจุบันของอัตราดอกเบี้ยและโครงสร้างของความผันผวนของอัตราดอกเบี้ย อัตราดอกเบี้ยทันที
(spot rate) และอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้าได้เป็นอย่างดี แบบจำลองดังกล่าวสามารถระบุความผันผวน
ของอัตราดอกเบี้ยทันที (ความผันผวนของอัตราแลกเปลี่ยนทันที) และอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า (ความ
ผันผวนของอัตราแลกเปลี่ยนล่วงหน้า) ซึ่งสามารถนำไปการประยุกต์ใช้ในการกำหนดราคาออปชัน
และออปชันของตราสารหนี้แบบยุโรป (European bond options) อีกด้วย
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 254 · หน้าพิมพ์ 242 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
242 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
7.1 ลักษณะที่พึงประสงค์ของแบบจำลองอัตราดอกเบี้ย
อัตราดอกเบี้ยเป็นตัวแปรที่สำคัญในการวิเคราะห์และการกำหนดราคาตราสารหนี้และตรา
สารอนุพันธ์ แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยสามารถใช้ ในการอธิ บายพฤติกรรมโครงสร้างของอั ต รา
ดอกเบี้ยได้อย่างมีประสิทธิภาพและสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการกำหนดราคาของตราสารหนี้และ
อนุพันธ์ของตราสารหนี้เป็นไปอย่างมีประสิทธิภาพและเหมาะสม ภายใต้สมมติฐานว่าระดับอัตรา
ดอกเบี้ย rt r (t ) ณ เวลา t มีการเคลื่อนที่ในลักษณะสุ่ม ราคาตราสารหนี้และราคาอนุพันธ์ที่ถูก
กำหนดโดยระดับอัตราดอกเบี้ย rt ก็จะมีลักษณะการคลื่อนที่ในลักษณะสุ่มเช่นเดียวกัน ดังนั้น
พฤติกรรมการเคลื่อนที่ในลักษณะสุ่มของอัตราดอกเบี้ยระสั้น rt จึงเป็นดัชนีชี้วัดค่าของเหตุการณ์
ในช่วงระยะเวลาสั้น ๆ ( t ) ระหว่างเวลา t ถึง t t ได้เป็นอย่างดี อัตราผลตอบแทนที่ปราศจาก
ความเสี่ยงที่นักลงทุนจะได้รับสำหรับการลงทุนในช่วงเวลาตั้งแต่เวลาที่ t จนถึงเวลาที่ t t
เท่ากับร้อยละ r t t
ลักษณะอันพึงประสงค์ของกระบวนการจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นเพื่ออธิบายโครงสร้าง
ของอัตราดอกเบี้ยจึงเป็นสิ่งที่สำคัญ โดยลักษณะอันพึงประสงค์ของแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะ
สั้น r t มีอยู่ 3 ประการ ดังนี้
ประการที่ 1) อัตราดอกเบี้ยที่เป็นผลลัพธ์ที่ได้จากแบบจำลองควรมีค่าเป็นบวกเท่านั้น
เพราะหากแบบจำลองที่พัฒนาขึ้นมีโอกาสให้ผลลัพธ์เป็นอัตราดอกเบี้ยที่เป็นลบได้ จะหมายความว่า
ทางเลือกในการลงทุนนั้นไม่ใช่ทางเลือกในการลงทุนที่ดี ซึ่งถึงการลงทุนในโครงนั้นขาดทุน ซึ่งอาจ
กล่าวได้ว่าแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยที่มีโอกาสให้ผลลัพธ์อัตราดอกเบี้ยที่เป็นลบได้เป็นแบบที่ไม่ดี ไม่
สมเหตุสมผล
ประการที่ 2) อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น rt ที่ได้จากแบบจำลองควรจะมีพฤติกรรมรูปถดถอย
อัตโนมัติ (autoregressive) ซึ่งหมายถึง การที่สมารถใช้ค่าอัตราดอกเบี้ยของในตัวแบบในการ
พยากรณ์อัตราดอกเบี้ยเทอมต่อไปนั่นเอง ค่าของอัตราดอกเบี้ย rt ที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลาจะถูก
ดึงกลับเข้าสู่ค่าอัตราดอกเบี้ยเฉลี่ยระยะยาว และจะไม่ลู่ออก นั่นคือ อัตราดอกเบี้ยจะไม่สามารถ
เคลื่อนออกนอกเส้นทางสู่ค่าที่เป็นบวกอนันต์ ( ) หรือลบอนันต์ ( ) ได้ ( tlim
rt ) ซึ่ง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 255 · หน้าพิมพ์ 243 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 243
ถ้าหากแบบจำลองไม่มีคุณสมบัติการดึงอัตราดอกเบี้ยกลับเข้าสู่ค่าเฉลี่ยระยะยาวแล้ว ค่าอัตรา
ดอกเบี้ยที่ได้อาจจะไม่สมเหตุสมผล กล่าวคือ ค่าอัตราดอกเบี้ยจากแบบจำลองอาจจะอยู่ที่อัตรามาก
เกินไปไม่สอดคล้องกับความเป็นจริงและทำให้แบบจำลองขาดประสิทธิภาพในการนำไปใช้งานจริง
ประการที่ 3) แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยควรมีสูตรรูปปิด (closed form formula) เพื่อให้
สะดวกสำหรับการนำไปใช้งาน รวมทั้งสูตรรูปปิดในการคำนวณราคาของตราสารหนี้และราคาของ
อนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องเพื่อความสะดวกของผู้ใช้งาน ซึ่งสูตรรูปปิดสำหรับใช้ในการคำนวณราคาดังกล่าว
ควรอยู่ในรูปแบบที่เรียบง่าย ตรงไปตรงมา สะดวกและง่ายต่อการนำไปใช้งาน แบบจำลองที่ให้สูตร
ในการคำนวณราคาที่ซับซ้อนเกินไปทำให้การใช้งานยุ่งยากและเสียเวลาในการคำนวณซึ่งอาจไม่
เหมาะสมกับการนำมาใช้งานจริง
นอกจากลักษณะอันพึงประสงค์ทั้ง 3 ประการข้างต้นแล้ว ยังมีลักษณะอันพึงประสงค์อื่น ๆ
อีกที่ควรนำมาพิจารณาในการเลือกแบบจำลองเพื่อนำไปใช้งานจริง เช่น แบบจำลองควรมีความ
ยืดหยุ่นเพียงพอและสามารถปรับใช้กับเครื่องมือทางการเงิน อื่น ๆ อาทิ อนุพันธ์ที่มีความซับซ้อน
มากขึ้ น หรื อ ผลิ ต ภั ณ ฑ์ ท างการเงิ น ใหม่ ๆ แบบจํ า ลองพึ ง จะมี ค ่ า ผลลั พ ธ์ ท ี ่ ม ี ล ั ก ษณะพลวั ต
(dynamic) และสมเหตุสมผล เช่น แบบจำลองพึงให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับสิ่งที่ผู้ใช้งานสามารถ
สังเกตเห็นได้ทั้งจากปัจจุบันและอดีต โครงสร้างอัตราดอกเบี้ยที่ได้จากแบบจำลองควรสามารถ
อธิบายโครงสร้างของอัตราดอกเบี้ยในตลาดได้เป็นอย่างดีหรืออย่างน้อยควรต้องให้ค่าโดยประมาณที่
ดีได้ในระดับที่ผู้ปฏิบัติยอมรับได้ มีความความเชื่อถือในการนำแบบจำลองนั้นไปใช้งานจริง
ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น ที่เป็นที่รู้จักและนิยมใช้กันทั่วไป
เพื่อเป็นความรู้พื้นฐานพอสังเขป แบบจำลองดังกล่าว ได้แก่ แบบจำลองของ Vasicek แบบจำลอง
CIR แบบจำลอง Ho-Lee และแบบจำลอง Black-Derman-Toy
7.2 แบบจำลองของ Vasicek และแบบจำลอง CIR
แบบจำลอง Vasicek และ แบบจำลอง CIR เป็นแบบจำลองตัวแปรหนึ่งสถานะที่อธิบาย
โครงสร้างอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น r ที่มีกระบวนการค่าเฉลี่ยวกกลับ (mean-reverting process)
ซึ่งเป็นกระบวนการที่อธิบายว่าเมื่ออัตราดอกเบี้ยระยะสั้น r เปลี่ยนแปลงเพิ่มขึ้นสูงกว่าปกติ จะถูก
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 256 · หน้าพิมพ์ 244 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
244 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ดึงกลับไปสู่ระดับค่าเฉลี่ยระยะยาว เมื่ออัตราระยะสั้น r เปลี่ยนแปลงลดตํ่าลงกว่าปกติก็จะมีการ
เลื่อนขึ้นไปสู่ระดับเฉลี่ยระยะยาวเช่นกัน โครงสร้างอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น r สามารถอธิบายได้ดัง
สมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติกได้ดังสมการต่อไปนี้
drt a(b rt )dt rt dWt (7.1)
โดยที่ a , b , เป็นค่าคงที่บวก, เป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นลบ, b เป็นอัตราดอกเบี้ยระยะยาว และ a
เป็นค่าเฉลี่ยวกกลับ (mean reversion) ซึ่งทำหน้าที่ปรับการเคลื่อนไหวของอัตราดอกเบี้ย r ระยะ
สั้นให้มีแนวโน้มลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยของอัตราดอกเบี้ยระยะยาวโดยมีความแปรปรวนเท่ากับ 2 r 2
เมื่อ คือ ความผันผวน (volatility) หรือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation)
คือ ค่าความยืดหยุ่นที่ใช้วิเคราะห์รูปแบบของแบบจำลอง Vasicek และแบบจำลอง CIR
dt คือ ขนาดการเปลี่ยนแปลงของช่วงเวลา
dWt เป็นตัวแปรเชิงสุ่มบราวน์โดยที่ dz N 0, dt
สมการ (7.1) ในรูปการณ์ประมาณค่าสามารถเขียนได้เป็น
r a(b ri )t ri Wt
เมื ่ อ r ri1 ri นั ่ น คื อ สามารถพิ จ ารณาว่ า a(b ri )t เป็ น ค่ า ประมาณของ r เทอมของ
r Wt ถู ก พิ จ ารณาเป็ น ความคลาดเคลื ่ อ นของการประมาณซึ ่ ง มี ก ารแจกแจงปกติ ซ ึ ่ ง มี ค วาม
แปรปรวนเท่ากับ 2 r 2 t ในที่นี้จะพิจารณาค่าพารามิเตอร์ เป็นสองกรณีดังนี้ 0 และ
0.5
7.2.1 แบบจำลอง Vasicek
แบบจำลอง Vasicek คือแบบจำลอง (7.1) ในกรณีที่ 0 ซึ่งได้รับการนำมาพิจารณา
เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1977 โดยแบบจำลอง Vasicek อยู่ในรูป
drt a (b rt )dt dWt (7.2)
2
สำหรับแบบจำลอง Vasicek จะได้ rt N eat r0 b 1 eat , 2a 1 e2at ซึ่งทำค่าอัตราดอกเบี้ย
r ตามทฤษฎีสามารถมีค่าเป็นศูนย์และเป็นลบได้ หากเราพิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงราคาของ
หุ้น หรื ออั ต ราผลตอบแทนที ่ คาดหวั งของหุ ้ น ก็ ส ามารถประยุ กต์ใช้แบบจำลองเพื่อ อธิบ ายการ
เคลื่อนไหวของอัตราการเปลี่ยนแปลงของราคาหรือผลตอบแทนของหุ้นดังกล่าวได้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 257 · หน้าพิมพ์ 245 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 245
ตัวอย่างที่ 7.1 สมมติหุ้น aaa มีอัตราการเปลี่ยนแปลงราคา(r) 52 วัน ย้อนหลังเป็นดังตาราง ใน
ที่นี้เราพิจารณาอัตราการการเปลี่ยนแปลงราคาเป็นอัตราดอกเบี้ย จะเห็นว่าค่าอัตราดอกเบี้ยใน
ที่นี้สามารถมีค่าเป็นศูนย์และเป็นลบได้เนื่องจากเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลง การสร้างแบบจำลอง
Vasicek กรณีที่ 0 ตามสมการ (7.20), dr a(b r )dt dWt
วิธีทำ เริ่มต้นโดยกำหนดให้ t 1 และพิจารณาว่า a(b ri ) เป็นค่าประมาณของ r และ
เทอมของ z เป็ น ความคลาดเคลื ่ อ นของการประมาณซึ ่ ง มี ก ารแจกแจงปกติ ซ ึ ่ ง มี ค วาม
แปรปรวนเท่ากับ 2 จากข้อมูลอัตราการเปลี่ยนแปลงราคาย้อนหลัง ได้ตามขั้นตอนต่อไปนี้
ขั้นที่ 1) กำหนดค่าพารามิเตอร์เริ่มต้น (โดยสุ่ม) a a0 , b b0 , 0 (ในตัวอย่างนี้กำหนด
a b 0.02 )
ขั้นที่ 2) สร้างคอลัมน์ dr r rt 1 rt , a(b rt ) , x a(rt b) dr ,
pdf NORMDIST(x,0,0 ,FALSE) (ฟั ง ก์ ช ั น ความหนาแน่ น ความน่ า จะเป็ น ของความ
คลาดเคลื่อน) และ ln pdf ดังตารางที่ 7.1
ขั ้ น ที ่ 3) ใช้ ว ิ ธ ี ก ารประมาณค่ า ด้ ว ยความเป็ น ไปได้ ส ู ง สุ ด (maximum likelihood
estimation:mle) ในการประมาณค่าพารามิเ ตอร์ a, b , โดย excel solver ในโปรแกรม
excel แก้ปัญหาค่าสูงสุด โดย sum ln pdf
เป็นเซลล์ของค่าจุด ประสงค์ a, b , เป็นตัวแปรตัดสินใจ เมื่อทำการแก้ปั ญหาดั งกล่าวแล้ ว
ผลลั พธ์ ที ่ ได้ คื อ ค่ า ของพารามิ เ ตอร์ a, b และ ของแบบจํ าลอง Vasicek ที่อธิบ ายการ
เปลี่ยนแปลงราคาหุ้น aaa ซึ่งอยู่ในรูป
dr 1.3894(0.0000 r )dt 0.0190dWt
ตารางที่ 7.1 (สมมติ )อัตราการเปลี่ยนแปลงราคา(r) 52 วัน ย้อนหลังของหุ้น aaa
การเคลื�อนไหวของอัตราผลตอบแทน
0.0600
0.0400
0.0200
0.0000
0 10 20 30 40 50 60
-0.0200
-0.0400
-0.0600
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 258 · หน้าพิมพ์ 246 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
246 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
พารามิเตอร์
a 1.3894
b 0.0000
sig 0.0190
sum(ln(pdf)) 129.8854
วันเดือนปี r dr a(b-r) dr-a(b-r) pdf ln(pdf)
Jan 04, 2022 0.0096
Jan 05, 2022 -0.0239 -0.0335 -0.0133 -0.0202 11.9538 2.4810
Jan 06, 2022 -0.0194 0.0045 0.0332 -0.0287 6.6855 1.8999
Jan 07, 2022 0.0375 0.0569 0.0270 0.0299 6.0421 1.7988
Jan 10, 2022 -0.0051 -0.0426 -0.0521 0.0095 18.5622 2.9211
Jan 11, 2022 0.0146 0.0197 0.0071 0.0126 16.8666 2.8253
Jan 12, 2022 -0.0246 -0.0392 -0.0203 -0.0189 12.7925 2.5489
Jan 13, 2022 0.0050 0.0296 0.0342 -0.0046 20.4421 3.0176
Jan 14, 2022 -0.0095 -0.0145 -0.0069 -0.0076 19.4409 2.9674
Jan 17, 2022 -0.0239 -0.0144 0.0132 -0.0276 7.2914 1.9867
Jan 18, 2022 0.0092 0.0331 0.0332 -0.0001 21.0471 3.0468
Jan 19, 2022 0.0044 -0.0048 -0.0128 0.0080 19.2613 2.9581
Jan 20, 2022 0.0049 0.0005 -0.0061 0.0066 19.8045 2.9859
Jan 21, 2022 0.0094 0.0045 -0.0068 0.0113 17.6162 2.8688
Jan 24, 2022 0.0145 0.0051 -0.0131 0.0182 13.3005 2.5878
Jan 25, 2022 -0.0436 -0.0581 -0.0201 -0.0380 2.8350 1.0420
Jan 26, 2022 0.0136 0.0572 0.0606 -0.0034 20.7160 3.0309
Jan 27, 2022 0.0049 -0.0087 -0.0189 0.0102 18.2125 2.9021
Jan 28, 2022 0.0143 0.0094 -0.0068 0.0162 14.6023 2.6812
Feb 01, 2022 -0.0146 -0.0289 -0.0199 -0.0090 18.7886 2.9332
Feb 02, 2022 0.0094 0.0240 0.0203 0.0037 20.6470 3.0276
Feb 03, 2022 -0.0095 -0.0189 -0.0131 -0.0058 20.0718 2.9993
Feb 04, 2022 0.0143 0.0238 0.0132 0.0106 18.0001 2.8904
Feb 07, 2022 -0.0241 -0.0384 -0.0199 -0.0185 13.0505 2.5688
Feb 08, 2022 0.0000 0.0241 0.0335 -0.0094 18.6197 2.9242
Feb 09, 2022 0.0142 0.0142 0.0000 0.0142 15.8974 2.7662
Feb 10, 2022 0.0045 -0.0097 -0.0197 0.0100 18.2980 2.9068
Feb 11, 2022 -0.0045 -0.0090 -0.0063 -0.0027 20.8274 3.0363
Feb 14, 2022 -0.0239 -0.0194 0.0063 -0.0257 8.4232 2.1310
Feb 15, 2022 0.0136 0.0375 0.0332 0.0043 20.5142 3.0211
Feb 17, 2022 -0.0281 -0.0417 -0.0189 -0.0228 10.2066 2.3230
Feb 18, 2022 -0.0507 -0.0226 0.0390 -0.0616 0.1063 -2.2413
Feb 21, 2022 0.0178 0.0685 0.0704 -0.0019 20.9372 3.0415
Feb 22, 2022 -0.0088 -0.0266 -0.0247 -0.0019 20.9453 3.0419
Feb 23, 2022 0.0000 0.0088 0.0122 -0.0034 20.7063 3.0304
Feb 24, 2022 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 21.0474 3.0468
Feb 25, 2022 -0.0133 -0.0133 0.0000 -0.0133 16.4545 2.8006
Feb 28, 2022 0.0041 0.0174 0.0185 -0.0011 21.0133 3.0452
Jan 31, 2022 0.0132 0.0091 -0.0057 0.0148 15.5193 2.7421
Mar 01, 2022 -0.0263 -0.0395 -0.0183 -0.0212 11.2869 2.4236
Mar 02, 2022 0.0342 0.0605 0.0365 0.0240 9.4676 2.2479
Mar 03, 2022 -0.0401 -0.0743 -0.0475 -0.0268 7.7560 2.0485
Mar 04, 2022 0.0045 0.0446 0.0557 -0.0111 17.7230 2.8749
Mar 07, 2022 0.0000 -0.0045 -0.0063 0.0018 20.9576 3.0425
Mar 08, 2022 -0.0085 -0.0085 0.0000 -0.0085 19.0340 2.9462
Mar 09, 2022 0.0424 0.0509 0.0118 0.0391 2.5098 0.9202
Mar 10, 2022 -0.0401 -0.0825 -0.0589 -0.0236 9.7017 2.2723
Mar 11, 2022 0.0170 0.0571 0.0557 0.0014 20.9912 3.0441
Mar 14, 2022 0.0132 -0.0038 -0.0236 0.0198 12.1837 2.5001
Mar 15, 2022 0.0309 0.0177 -0.0183 0.0360 3.4526 1.2391
Mar 16, 2022 -0.0043 -0.0352 -0.0429 0.0077 19.3671 2.9636
Mar 17, 2022 0.0156 0.0199 0.0060 0.0139 16.0690 2.7769
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 259 · หน้าพิมพ์ 247 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 247
ขั้นที่ 4) จำลองหลายเส้นทางของอัตราดอกเบี้ยภายใต้แบบจำลอง Vasicek เพื่อสร้างภาพรวมของ
พฤติกรรมของอัตราดอกเบี้ย rt ภายใต้ความไม่แน่นอนและวิเคราะห์ความแปรปรวนของผลลัพธ์
ในแต่ละเส้นทาง
4.1) กำหนดพารามิเตอร์: a ความเร็วในการคืนกลับสู่ค่าเฉลี่ย b ค่าเฉลี่ยระยะยาว
σ ค่าความผันผวน r0 อัตราดอกเบี้ยเริ่มต้น T เวลาจํ า ลองทั ้ ง หมด
(วัน) ∆t ขนาดช่วงเวลา N จำนวนเส้นทางที่ต้องการจำลอง
4.2) เตรียมอาร์เรย์เก็บค่าการจำลอง: สร้างเมทริกซ์ขนาด N × steps เพื่อเก็บค่าของ
rt สำหรับทุกเส้นทางและทุกช่วงเวลา
4.3) วนลูปจำลองแต่ละเส้นทางโดยใช้สูตรของ Vasicek
rt +1 = rt + a (b − rt )∆t + σ ∆t Z t โดย Z t ~ (0,1)
รูปที่ 7.1 การจำลองหลายเส้นทางของแบบจำลอง Vasicek
จากกราฟแสดงการจำลอง 6 เส้นทางของอัตราดอกเบี้ยภายใต้แบบจำลอง Vasicek เป็น
ระยะเวลา 52 วัน โดยแต่ละเส้นทางแสดงความเป็นไปได้ของอัตราดอกเบี้ยที่แตกต่างกัน ซึ่งเป็น
ผลมาจากความแปรปรวนที่ถูกควบคุมโดยพารามิเตอร์ σ เส้นแต่ละสีแทนเส้นทางจำลองของ rt
โดย มีลักษณะ mean-reverting คือมีแนวโน้มกลับเข้าใกล้ค่าศูนย์ตามพารามิเตอร์ b = 0
หมายเหตุ โค้ด Python สำหรับจำลอง 6 เส้นทาง ตามตัวอย่างที่ 7.7
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 260 · หน้าพิมพ์ 248 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
248 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
# === Parameters ===
a = 1.3894 # mean reversion speed
b = 0.0000 # long-term mean
sigma = 0.0190 # volatility
r0 = 0.02 # initial rate
T = 52 # total time (days)
dt = 1 # time step
n_steps = int(T / dt)
n_paths = 6 # number of paths to simulate
# === Time grid and result matrix ===
time = np.linspace(0, T, n_steps)
rates = np.zeros((n_paths, n_steps))
rates[:, 0] = r0 # set initial value for all paths
# === Simulate each path ===
np.random.seed(42)
for i in range(n_paths):
for t in range(1, n_steps):
Z = np.random.randn()
dr = a * (b - rates[i, t-1]) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * Z
rates[i, t] = rates[i, t-1] + dr
# === Plot results ===
plt.figure(figsize=(10, 6))
for i in range(n_paths):
plt.plot(time, rates[i], label=f'Path {i+1}')
plt.title("Multiple Simulations of Vasicek Interest Rate Process")
plt.xlabel("Time (days)")
plt.ylabel("Interest Rate $r_t$")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.legend()
plt.show()
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 261 · หน้าพิมพ์ 249 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 249
อย่างไรก็ตาม ในการนำแบบจำลอง Vasicek ตามรูปสมการ (7.2) ในการอธิบายการเคลื่อนไหวของ
อัตราดอกเบี้ยและอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้ซึ่งค่าของอัตราดอกเบี้ยมีค่าเป็นบวกเสมอ พบว่ามี
ค่าสูงความผันผวน ในปี ค.ศ. 1985 จอห์นซีค็อกซ์ , โจนาธานอีอินเจอร์โซลล์ และสตีเฟนเอรอสส์
(John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll and Stephen A. Ross) ได้ ป รั บ ปรุ ง สมการของ
แบบจำลอง Vasicek ให้มีประสิทธิภาพมากขึ้นเพื่อแก้จุดด้อยที่เกิดขึ้นซึ่งทำให้ดอกเบี้ยระยะสั้นมีค่า
ติดลบ ซึ่งเรียกชื่อว่า แบบจำลอง Cox–Ingersoll–Ross หรือแบบจำลอง CIR ดังสมการที่ (7.3)
7.2.2 แบบจำลอง CIR
แบบจำลอง CIR คือแบบจำลอง (7.1) ในกรณีที่ 0.5 เป็นแบบจำลองที่พัฒนาขึ้นเพื่อลด
ความผันผวนที่สูงจากแบบจำลอง Vasicek โดยแบบจำลอง CIR อธิบายในรูปสมการดังนี้
drt a(b rt )dt rdWt (7.3)
โดยที่ 2ab 2 ซึ่งจะทำให้อัตราดอกเบี้ย rt มีค่าเป็นบวกเสมอ สำหรับแบบจำลองนี้
ตัวอย่างที่ 7.2 สมมติอัตราดอกเบี้ย (รายวัน) ของหุ้นกู้ aaa เป็นไปตามตารางที่ 7.2 สามารถ
สร้างแบบจำลอง CIR กรณีที่ 0.5 ตามสมการ (7.1), dr a(b r )dt rdWt
วิธีทำ จากข้อมูลอัตราอัตราดอกเบี้ยย้อนหลัง ได้ตามขั้นตอนต่อไปนี้
ขั ้ น ที่ 1) กํ าหนดค่ า พารามิ เ ตอร์ เริ ่ มต้ น (โดยสุ่ ม) a a0 , b b0 , 0 (ในตัว อย่างนี้ กํ า หนด
a b 0.02 )
ตารางที่ 7.2 (สมมติ) อัตราการดอกเบี้ยรายวัน ย้อนหลัง 52 วัน ย้อนหลังของหุ้นกู้ aaa
การเคลื�อนไหวของอัตราผลตอบแทน
0.0600
0.0500
0.0400
0.0300
0.0200
0.0100
0.0000
0 10 20 30 40 50 60
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 262 · หน้าพิมพ์ 250 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
250 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
พารามิเตอร ์
a 0.6572
b 0.0166
sig 0.1003
sum(ln(pdf)) 157.0656
วันเดือนปี r dr a(b-r) dr-a(b-r) pdf ln(pdf)
Jan 04, 2022 0.0096
Jan 05, 2022 0.0239 0.0143 0.0046 0.0097 24.9473 3.2168
Jan 06, 2022 0.0194 -0.0045 -0.0048 0.0003 25.7333 3.2478
Jan 07, 2022 0.0375 0.0181 -0.0018 0.0199 10.3089 2.3330
Jan 10, 2022 0.0051 -0.0324 -0.0137 -0.0187 12.9440 2.5606
Jan 11, 2022 0.0146 0.0095 0.0076 0.0019 53.7087 3.9836
Jan 12, 2022 0.0246 0.0100 0.0013 0.0087 25.4698 3.2375
Jan 13, 2022 0.0050 -0.0196 -0.0053 -0.0143 16.7356 2.8175
Jan 14, 2022 0.0095 0.0045 0.0076 -0.0031 51.0601 3.9330
Jan 17, 2022 0.0239 0.0144 0.0047 0.0097 24.8631 3.2134
Jan 18, 2022 0.0092 -0.0147 -0.0048 -0.0099 20.9856 3.0438
Jan 19, 2022 0.0044 -0.0048 0.0049 -0.0097 25.0346 3.2203
Jan 20, 2022 0.0049 0.0005 0.0080 -0.0075 31.6536 3.4549
Jan 21, 2022 0.0094 0.0045 0.0077 -0.0032 51.2598 3.9369
Jan 24, 2022 0.0145 0.0051 0.0047 0.0004 41.0111 3.7138
Jan 25, 2022 0.0436 0.0291 0.0014 0.0277 2.3688 0.8624
Jan 26, 2022 0.0136 -0.0300 -0.0177 -0.0123 16.0549 2.7760
Jan 27, 2022 0.0049 -0.0087 0.0020 -0.0107 22.4936 3.1132
Jan 28, 2022 0.0143 0.0094 0.0077 0.0017 55.1829 4.0107
Feb 01, 2022 0.0146 0.0003 0.0015 -0.0012 33.1041 3.4997
Feb 02, 2022 0.0094 -0.0052 0.0013 -0.0065 28.4954 3.3497
Feb 03, 2022 0.0095 0.0001 0.0047 -0.0046 36.6325 3.6009
Feb 04, 2022 0.0143 0.0048 0.0047 0.0001 40.8199 3.7092
Feb 07, 2022 0.0241 0.0098 0.0015 0.0083 26.2044 3.2659
Feb 08, 2022 0.0040 -0.0201 -0.0049 -0.0152 15.9379 2.7687
Feb 09, 2022 0.0142 0.0102 0.0083 0.0019 60.1027 4.0961
Feb 10, 2022 0.0045 -0.0097 0.0016 -0.0113 21.3848 3.0627
Feb 11, 2022 0.0045 0.0000 0.0080 -0.0080 29.4750 3.3835
Feb 14, 2022 0.0239 0.0194 0.0080 0.0114 13.9412 2.6348
Feb 15, 2022 0.0136 -0.0103 -0.0048 -0.0055 24.1655 3.1849
Feb 17, 2022 0.0281 0.0145 0.0020 0.0125 19.2206 2.9560
Feb 18, 2022 0.0507 0.0226 -0.0076 0.0302 4.7459 1.5573
Feb 21, 2022 0.0178 -0.0329 -0.0224 -0.0105 15.8630 2.7640
Feb 22, 2022 0.0088 -0.0090 -0.0008 -0.0082 24.7005 3.2068
Feb 23, 2022 0.0050 -0.0038 0.0051 -0.0089 27.0312 3.2970
Feb 24, 2022 0.0034 -0.0016 0.0076 -0.0092 24.1314 3.1835
Feb 25, 2022 0.0133 0.0099 0.0087 0.0012 66.7626 4.2011
Feb 28, 2022 0.0041 -0.0092 0.0022 -0.0114 21.2746 3.0575
Jan 31, 2022 0.0132 0.0091 0.0082 0.0009 61.5566 4.1200
Mar 01, 2022 0.0263 0.0131 0.0022 0.0109 22.1998 3.1001
Mar 02, 2022 0.0342 0.0079 -0.0064 0.0143 16.6901 2.8148
Mar 03, 2022 0.0401 0.0059 -0.0116 0.0175 13.8065 2.6251
Mar 04, 2022 0.0045 -0.0356 -0.0154 -0.0202 12.0044 2.4853
Mar 07, 2022 0.0032 -0.0013 0.0080 -0.0093 23.0180 3.1363
Mar 08, 2022 0.0085 0.0053 0.0088 -0.0035 58.0895 4.0620
Mar 09, 2022 0.0424 0.0339 0.0053 0.0286 0.3631 -1.0131
Mar 10, 2022 0.0401 -0.0023 -0.0170 0.0147 15.0201 2.7094
Mar 11, 2022 0.0170 -0.0231 -0.0154 -0.0077 18.4766 2.9165
Mar 14, 2022 0.0132 -0.0038 -0.0003 -0.0035 29.4196 3.3817
Mar 15, 2022 0.0309 0.0177 0.0022 0.0155 14.0657 2.6437
Mar 16, 2022 0.0043 -0.0266 -0.0094 -0.0172 14.0574 2.6431
Mar 17, 2022 0.0156 0.0113 0.0081 0.0032 53.8438 3.9861
ขั้นที่ 2) สร้างคอลัมน์ dr r rt 1 rt , a(b rt ) , x a(rt b) dr ,
pdf NORMDIST(x,0,0 rt ,FALSE) (ฟั ง ก์ ช ั น ความหนาแน่ น ความน่ า จะเป็ น ของความ
คลาดเคลื่อน) และ ln pdf ดังตารางที่ 7.2
ขั ้ น ที ่ 3) ใช้ ว ิ ธ ี ก ารประมาณค่ า ด้ ว ยความเป็ น ไปได้ ส ู ง สุ ด (maximum likelihood
estimation:mle) ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ a, b , โดยใช้ excel solver คำนวณปัญหา
ค่าสูงสุด โดย sum ln pdf เป็นเซลล์ของค่าจุดประสงค์ a, b , เป็นตัวแปรตัดสินใจ เมื่อทำการ
แก้ปัญหาดังกล่าวแล้วผลลัพธ์ที่ได้ คือ ค่าของพารามิเตอร์ a, b และ ที่ได้จากข้อมูล ดังนั้น
แบบจำลอง Vasicek ที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงราคาหุ้น aaa คือ
drt 0.6572(0.0166 rt )dt 0.1003 rt dWt
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 263 · หน้าพิมพ์ 251 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 251
ขั้นที่ 4) จำลองหลายเส้น ทางของอัตราดอกเบี้ยเพื่อสร้างภาพรวมของพฤติกรรมของอัต รา
ดอกเบี้ย rt ภายใต้ความไม่แน่นอนและวิเคราะห์ความแปรปรวนของผลลัพธ์ในแต่ละเส้นทาง
รูปที่ 7.2 การจำลองหลายเส้นทางของแบบจำลอง Vasicek
กราฟนี้แสดงผลการจำลอง 6 เส้นทางของอัตราดอกเบี้ย ตามแบบจำลอง Cox–Ingersoll–Ross
(CIR) ตามพารามิเตอร์ ความเร็วในการคืนกลับสู่ค่าเฉลี่ย a = 0.6572 , b = 0.0166 ค่าเฉลี่ย
ระยะยาว, ค่าความผันผวน σ = 0.1003 และค่าเริ่มต้นของอัตราดอกเบี ้ย r0 = 0.02 จาก
กราฟการจำลองจะเห็นว่าอัตราดอกเบี้ยจะไม่เป็นลบ (เพราะใช้ rt ในเทอมของการสุ่ม) โดยแต่
ละเส้นทางเส้นทางจะมีความผันผวนขึ้นกับค่าของ rt ในแต่ละช่วงเวลา
7.3 แบบจำลอง Ho-Lee
จากสมการ (7.1) เนื่องจากในการคาดการณ์ตลาดที่เกี่ยวกับอัตราดอกเบี้ยในอนาคตมีความ
เกี่ยวข้องกับเวลา จึงได้มีการเพิ่มพารามิเตอร์ t ซึ่งถูกกำหนดบนตัวแปรที่มีแนวโน้มวกกลับมายัง
อัตราดอกเบี้ยระยะยาว b และพิจารณาพารามิเตอร์ a และ ขึ้นอยู่กับเวลา t ด้วย ดังนั้น
สมการ (7.1) จึงมีความทั่วไปมากขึ้น ซึ่งอธิบายได้สมการต่อไปนี้
drt t a t b - rt dt t rt dWt (7.4)
จากสมการที่ (7.4) กรณีที่ a t 0 จะได้ว่า
drt a t t / a t b rt dt t rt dWt
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 264 · หน้าพิมพ์ 252 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
252 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
7.3.1 แบบจำลอง Ho-Lee
แบบจำลอง Ho-Lee คือแบบจำลองตามสมการ (7.4) ในกรณี 0 , a t 0 โดยการ
เปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น r อธิบายได้ด้วยสมการสโตแคสติก ดังนี้
drt t dt t dWt (7.5)
จากสมการ (7.5) ซึ่งจะเห็นว่าฟังก์ชัน t เป็นฟังก์ชันที่สามารถเลือกให้เหมาะสมซึ่งทำให้ตัวแปรเชิง
สุ่ม r มีค่าความแปรปรวนเท่ากับ 2 อย่างไรก็ตามแบบจำลองนี้มีข้อด้อย คือ ไม่สามารถปรับอัตรา
ดอกเบี้ยระยะสั้น r ให้เข้าสู่อัตราดอกเบี้ยระยะยาวได้
ตัวอย่างที่ 7.3 สมมติอัตราดอกเบี้ย (รายวัน) ของหุ้นกู้ aaa เป็นไปตามตารางที่ 7.2 สามารถ
สร้ า งแบบจํ า ลอง CIR กรณี ท ี ่ 0 , a t 0 และ t ตามสมการ (7.5),
drt t dt dWt จากข้อมูลอัตราอัตราดอกเบี้ยย้อนหลัง ได้ตามขั้นตอนต่อไปนี้
ขั้นที่ 1) กำหนดค่าพารามิเตอร์เริ่มต้น (โดยสุ่ม) 0 (ในตัวอย่างนี้กำหนด 0.02 )
ขั้นที่ 2) กำหนดฟังก์ชัน t ในที่นี้ใช้คำสั่งการหา format trendline ใน excel โดยจากการ
พิจารณาลักษณะแนวโน้มของข้อมูลเลือก format trendline โดยเลือกเส้นแนวโน้มจากค่า R 2
(r-square) ที ่ ม ี ค ่ า สู ง สุ ด โดยในที ่ น ี ้ เ ลื อ กเป็ น เส้ น แนวโน้ ม พหุ น ามกํ า ลั ง 2 ในรู ป
t 0.00003t 2 0.0014t + 0.00133 สำหรับ t 0,51 (วัน) ซึ่งมี R 2 0.0922 จะเห็นว่าค่า
R 2 ค่ อ นข้ า งตํ ่ า อย่ า งไรก็ ต ามก็ ส ู ง กว่ า เส้ น แนวโน้ ม เส้ น ตรง และ logarithmic ในที ่ น ี ้ เ พี ย ง
ยกตัวอย่างเป็นแนวทาง ผู้อ่านสามารถใช้แนวทางอื่นในการกำหนดฟังก์ชัน t
ตารางที่ 7.3 (สมมติ) อัตราการดอกเบี้ยรายวัน ย้อนหลัง 52 วัน ย้อนหลังของหุ้นกู้ aaa
การเคลื�อนไหวของอัตราผลตอบแทน
0.0600
0.0400
0.0200
0.0000
0 10 20 30 40 50 60
-0.0200
-0.0400
-0.0600
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 265 · หน้าพิมพ์ 253 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 253
พารามิเตอร์
sig 0.0325
sum(ln(pdf)) 102.4571
วันที� t วันเดือนปี r dr t dr-a(b-r) pdf ln(pdf)
0 Jan 04, 2022 0.0096
1 Jan 05, 2022 0.0239 0.0143 0.0119 0.0024 12.2594 2.5063
2 Jan 06, 2022 -0.0194 -0.0433 0.0106 -0.0539 3.0922 1.1289
3 Jan 07, 2022 0.0375 0.0569 0.0094 0.0475 4.2064 1.4366
4 Jan 10, 2022 -0.0051 -0.0426 0.0082 -0.0508 3.6144 1.2849
5 Jan 11, 2022 0.0146 0.0197 0.0071 0.0127 11.3930 2.4330
6 Jan 12, 2022 -0.0246 -0.0392 0.0060 -0.0452 4.6647 1.5400
7 Jan 13, 2022 0.0050 0.0296 0.0050 0.0246 9.2165 2.2210
8 Jan 14, 2022 0.0095 0.0045 0.0040 0.0005 12.2908 2.5089
9 Jan 17, 2022 -0.0239 -0.0334 0.0031 -0.0365 6.5242 1.8755
10 Jan 18, 2022 0.0092 0.0331 0.0023 0.0308 7.8354 2.0587
11 Jan 19, 2022 0.0044 -0.0048 0.0015 -0.0063 12.0606 2.4899
12 Jan 20, 2022 0.0049 0.0005 0.0008 -0.0003 12.2916 2.5089
13 Jan 21, 2022 0.0094 0.0045 0.0002 0.0043 12.1833 2.5001
14 Jan 24, 2022 0.0145 0.0051 -0.0004 0.0055 12.1157 2.4945
15 Jan 25, 2022 -0.0436 -0.0581 -0.0010 -0.0572 2.6080 0.9586
16 Jan 26, 2022 0.0136 0.0572 -0.0014 0.0586 2.4056 0.8778
17 Jan 27, 2022 0.0049 -0.0087 -0.0018 -0.0069 12.0198 2.4866
18 Jan 28, 2022 0.0143 0.0094 -0.0022 0.0116 11.5341 2.4453
19 Feb 01, 2022 -0.0146 -0.0289 -0.0025 -0.0264 8.8231 2.1774
20 Feb 02, 2022 0.0094 0.0240 -0.0027 0.0267 8.7632 2.1706
21 Feb 03, 2022 0.0095 0.0001 -0.0029 0.0030 12.2408 2.5048
22 Feb 04, 2022 0.0143 0.0048 -0.0030 0.0078 11.9440 2.4802
23 Feb 07, 2022 -0.0241 -0.0384 -0.0030 -0.0354 6.7877 1.9151
24 Feb 08, 2022 0.0000 0.0241 -0.0030 0.0271 8.6697 2.1598
25 Feb 09, 2022 0.0142 0.0142 -0.0029 0.0172 10.6904 2.3693
26 Feb 10, 2022 0.0045 -0.0097 -0.0028 -0.0069 12.0191 2.4865
27 Feb 11, 2022 0.0045 0.0000 -0.0026 0.0026 12.2519 2.5057
28 Feb 14, 2022 -0.0239 -0.0284 -0.0024 -0.0260 8.9136 2.1876
29 Feb 15, 2022 0.0136 0.0375 -0.0021 0.0396 5.8457 1.7657
30 Feb 17, 2022 -0.0281 -0.0417 -0.0017 -0.0400 5.7515 1.7495
31 Feb 18, 2022 -0.0507 -0.0226 -0.0013 -0.0213 9.9046 2.2930
32 Feb 21, 2022 0.0178 0.0685 -0.0008 0.0693 1.2594 0.2306
33 Feb 22, 2022 -0.0088 -0.0266 -0.0002 -0.0264 8.8364 2.1789
34 Feb 23, 2022 0.0000 0.0088 0.0004 0.0084 11.8854 2.4753
35 Feb 24, 2022 0.0000 0.0000 0.0011 -0.0011 12.2857 2.5084
36 Feb 25, 2022 -0.0133 -0.0133 0.0018 -0.0151 11.0344 2.4010
37 Feb 28, 2022 0.0041 0.0174 0.0026 0.0148 11.0736 2.4046
38 Jan 31, 2022 0.0132 0.0091 0.0034 0.0057 12.1054 2.4936
39 Mar 01, 2022 -0.0263 -0.0395 0.0043 -0.0438 4.9385 1.5971
40 Mar 02, 2022 0.0342 0.0605 0.0053 0.0552 2.8938 1.0626
41 Mar 03, 2022 -0.0401 -0.0743 0.0063 -0.0806 0.5615 -0.5771
42 Mar 04, 2022 0.0045 0.0446 0.0074 0.0372 6.3775 1.8528
43 Mar 07, 2022 0.0000 -0.0045 0.0086 -0.0131 11.3348 2.4279
44 Mar 08, 2022 -0.0085 -0.0085 0.0098 -0.0183 10.4892 2.3503
45 Mar 09, 2022 0.0424 0.0509 0.0111 0.0399 5.7843 1.7551
46 Mar 10, 2022 0.0401 -0.0023 0.0124 -0.0147 11.0969 2.4067
47 Mar 11, 2022 0.0170 -0.0231 0.0138 -0.0369 6.4474 1.8637
48 Mar 14, 2022 0.0132 -0.0038 0.0152 -0.0190 10.3526 2.3372
49 Mar 15, 2022 0.0309 0.0177 0.0167 0.0010 12.2867 2.5085
50 Mar 16, 2022 -0.0043 -0.0352 0.0183 -0.0535 3.1591 1.1503
51 Mar 17, 2022 0.0156 0.0199 0.0199 0.0000 12.2922 2.5090
ขั้นที่ 3) สร้างคอลัมน์ dr r rt 1 rt , (t ) ,
x dr (t ) , pdf NORMDIST(x,0,0 ,FALSE) (ฟังก์ชัน ความหนาแน่น ความน่ าจะเป็ น ของ
ความคลาดเคลื่อน) และ ln pdf ดังตารางที่ 7.3
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 266 · หน้าพิมพ์ 254 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
254 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ขั ้ น ที ่ 4) ใช้ ว ิ ธ ี ก ารประมาณค่ า ด้ ว ยความเป็ น ไปได้ ส ู ง สุ ด (maximum likelihood
estimation:mle) ในการประมาณค่าพารามิเ ตอร์ โดยใช้ excel solver คำนวณปั ญหา
ค่าสูงสุด โดย sum ln pdf เป็นเซลล์ของค่าจุดประสงค์ เป็นตัวแปรตัดสินใจ เมื่อทำการ
แก้ปัญหาดังกล่าวแล้วผลลัพธ์ที่ได้ คือ ค่าของพารามิเตอร์ ที่ได้จากข้อมูล ดังนั้น แบบจำลอง
Ho-Lee ที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงราคาหุ้น aaa คือ
drt (0.00003t 2 0.0014t + 0.00133)dt 0.0325dWt สำหรับ t 0,51 (วัน)
ในตัวอย่างนี้แสดงการหาแบบจำลอง Ho-Lee โดยประยุกต์ใช้ format trendline ในโปรแกรม
excel ในการกำหนดฟังก์ชัน t จากข้อมูลอัตราดอกเบี้ยในอดีต
ขั้นที่ 5) จำลองหลายเส้น ทางของอัตราดอกเบี้ ยเพื่อสร้างภาพรวมของพฤติกรรมของอัต รา
ดอกเบี้ย rt ภายใต้ความไม่แน่นอนและวิเคราะห์ความแปรปรวนของผลลัพธ์ในแต่ละเส้นทาง
รูปที่ 7.3 การจำลองหลายเส้นทางของแบบจำลอง Ho-Lee
กราฟนี้แสดงผลการจำลอง 6 เส้นทางของอัตราดอกเบี้ยรายวัน ตามแบบจำลอง Ho-Lee ในช่วง
เวลา 52 วัน โดยใช้พารามิเตอร์และฟังก์ชัน θ (t ) จากตัวอย่างที่ 7.9
θ (t )= 0.00003t 2 − 0.0014t + 0.00133 , σ = 0.0325 , r0 = 0.02
โดยจากกราฟการจำลองของตัวแบบ Ho-Lee จะเห็นว่า ไม่จำกัดค่า rt ให้อยู่เหนือศูนย์ คือ rt
สามารถติดลบได้ การเคลื่อนไหวของอัตราดอกเบี้ยสะท้อนแนวโน้มของตลาดผ่านฟังก์ชัน θ (t )
แบบกำลังสองที่ได้จากข้อมูลจริง ซึ่งเหมาะกับการใช้งานในตลาดที่ต้องการ “ความยืดหยุ่นในการ
กำหนดแนวโน้ม”
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 267 · หน้าพิมพ์ 255 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 255
7.3.2 แบบจำลองโครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาคตามแบบจำลอง Ho-Lee
ในหั ว ข้ อนี ้ จ ะกล่ า วถึ งแบบจํ า ลองโครงสร้างตาข่ายต้น ไม้ทวิภ าค (binomial-lattice
models) ของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นซึ่งสามารถพิจารณาเป็นการประมาณค่าของแบบจำลองเวลา
ต่อเนื่องของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น (continuous-time one factor short-rate model) โดย
แบบจำลองโครงร่างต้นไม้ทวิภาคโดยทั่วไปนิยมใช้ในกำหนดราคาอนุพันธ์ของอัตราดอกเบี้ยซึ่งมีการ
ซื้อขายในตลาดการเงิน
กำหนดให้ N (i, j ) แทนโหนดระบุเวลาที่ t i สภาวะที่ j , ri, j แทนอัตราดอกเบี้ยระยะ
สั้นที่กำหนดขึ้นที่เวลา t i สภาวะที่ j สำหรับช่วงเวลา [i, i 1]
รูปที่ 7.4 โครงร่างตาข่ายของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น
โดยการประยุกต์ใช้มาร์ทิงเกลสำหรับการกำหนดราคาสินทรัพย์ ให้ Si, j แทนราคาของ
สินทรัพย์ที่เวลา t i สภาวะที่ j
Si , j (1 ri , j )1 pSi 1, j 1 1 p Si 1, j (7.6)
รูปที่ 7.5 โครงร่างตาข่ายของราคาสินทรัพย์
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 268 · หน้าพิมพ์ 256 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
256 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
แบบจำลอง Ho-Lee เวลาต่อเนื่อง : drt t dt t dWt
แบบจำลอง Ho-Lee เวลาไม่ต่อเนื่อง : r t t 0, 2 t t
ให้ ri, j แทนอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นที่กำหนดขึ้นที่เวลา t i สภาวะที่ j สำหรับช่วงเวลา [i, i 1]
นิยาม Ri, j ตัวแปรเชิงสุ่มโดย
ri 1, j ri , j i i ru ; prob 0.5
Ri , j
, t 1 (7.7)
ri 1, j 1 ri , j i i rd ; prob 0.5
เป็นการเคลื่อนไหวของอัตราดอกเบี้ยจากโหนด i, j ตามรูปที่ 7.3
จากสมการ (7.7) จะได้ว่า
ri 1, j ri 1, j 1 2ri , j r r
i
2
และ i i1, j 2 i1, j1
กำหนดให้ Bi, j เป็นราคาตราสารหนี้ที่เวลาที่ i ( t i ) สภาวะที่ j โดยมีราคาไถ่ถอน
เท่ากับ C บาท ที่เวลาที่ N ( t N ) สำหรับทุก ๆ สภาวะ j , j 0,1,..., N ในโครงร่างตาข่าย
ราคาต้นไม้ทวิภาค N คาบเวลาของตราสารหนี้
รูปที่ 7.6 โครงร่างตาข่ายแสดงการเคลื่อนไหวของราคาตราสารหนี้และอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น
กำหนดให้ yk (ต่อปี) เป็นอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้ไม่มีคูปอง (zero-counpon bond)
อายุไถ่ถอน (year to maturity) ที่ปี k , k 1,..., N และกำหนดให้ B0k เป็นราคาปัจจุบันของตรา
สารหนี้ไม่มีคูปอง มีราคาไถ่ถอนเท่ากับ 1 บาทที่อายุไถ่ถอน (year to maturity) k โดยใช้สมการ
มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดสามารถคำนวณอัตราดอกเบี้ย yk ได้ดังนี้
C C
B0k k
yk k 1 , k 1,..., N
1 yk B0k
สมมุติว่าความน่าจะเป็นที่ราคาของตราสารหนี้จะเปลี่ยนแปลงขึ้น p 0.5 สามารถเขียน
โครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาค ได้ดังนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 269 · หน้าพิมพ์ 257 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 257
โครงร่างตาข่ายราคาต้นไม้ทวิภาค 1 คาบเวลา ของอัตราดอกเบี้ย ri, j ราคาตราสารหนี้ Bi, j
ขั้นที่ 1) เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนขอบ
1
B0,0 B01 C 1 y1 , B1,0 B1,1 C
ขั้นที่ 2) สร้างสมการจากโครงร่างตาข่ายราคาต้นไม้ทวิภาค
1
B0,0 0.5 1 r0,0 B1,0 B1,1
ขั้นที่ 3) แก้สมการ จากขั้นที่ 2) เพื่อหา r0,0
ผลลัพธ์ คืออัตราดอกเบี้ยระยะสั้น r0,0 y1 ในโครงร่างตาข่าย 0 คาบเวลา
รูปที่ 7.7 (a) โครงร่างตาข่ายราคา 1 คาบเวลา (b) โครงร่างตาข่ายอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 0 คาบเวลา
โครงร่างตาข่ายราคาต้นไม้ทวิภาค 2 คาบเวลา ของอัตราดอกเบี้ย ri, j ราคาตราสารหนี้ Bi, j
ขั้นที่ 1) เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนขอบ
B0,0 B02 C 1 y2
2
, B2,0 B2,1 B2,2 C
กำหนด r0,0 y1 จากโครงร่างตาข่ายอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 0 คาบเวลา
ขั้นที่ 2) สร้างสมการจากโครงร่างตาข่ายราคาต้นไม้ทวิภาค 2 คาบเวลา
1
B1,0 0.5 1 r1,0 B2,0 B2,1
1
B1,1 0.5 1 r1,1 B2,1 B2,2
1
B0,0 0.5 1 r0,0 B1,0 B1,1
ขั้นที่ 3) สร้างสมการจากตัวแบบ Ho-Lee
ri 1, j ri , j i i ru ; prob 0.5
Ri , j
ri 1, j 1 ri , j i i rd ; prob 0.5
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 270 · หน้าพิมพ์ 258 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
258 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
จะได้ r1,0 r0,0 0 0 และ r1,1 r0,0 0 0
จะเห็นว่าค่าของ r1,0 , r1,1 ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ 0 และ 0 เท่านั้น ดังนั้นหากเราทราบค่า 0 และ
0 ก็จะทำให้เราทราบค่าของ r1,0 , r1,1
ขั้นที่ 4) แก้ระบบสมการตามขั้นที่ 1) ,2) และ 3) เพื่อหาค่าความผันผวน 0 และ ค่า 0
แทนค่ากลับในสมการ ขั้นที่ 3)
ผลลัพธ์ คืออัตราดอกเบี้ยระยะสั้น r0,0 , r1,0 , r1,1 ในโครงร่างตาข่าย 1 คาบเวลา
รูปที่ 7.8 (a) โครงร่างตาข่ายราคา 2 คาบเวลา (b) โครงร่างตาข่ายอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 1 คาบเวลา
โครงร่างตาข่ายราคาต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลา ของอัตราดอกเบี้ย ri, j ราคาตราสารหนี้ Bi, j
ขั้นที่ 1) เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนขอบ
B0,0 B03 C 1 y3
3
, B3,0 B3,1 B3,2 B3,3 C ,
กำหนด r0,0 , r1,0 , r1,1 จากโครงร่างตาข่ายอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 1 คาบเวลา
ขั้นที่ 2) สร้างสมการจากโครงร่างตาข่ายราคาต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลา
1
B2,0 0.5 1 r2,0 B3,0 B3,1
1
B2,1 0.5 1 r2,1 B3,1 B3,2
1
B2,2 0.5 1 r2,2 B3,2 B3,3
1
B1,0 0.5 1 r1,0 B2,0 B2,1
1
B1,1 0.5 1 r1,1 B2,1 B2,2
1
B0,0 0.5 1 r0,0 B1,0 B1,1
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 271 · หน้าพิมพ์ 259 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 259
ขั้นที่ 3) สร้างสมการจากตัวแบบ Ho-Lee
r2,0 r1,0 1 1
r2,1 r1,0 1 1 หรือ r2,1 r1,1 1 1
r2,2 r1,1 1 1
ขั้นที่ 4) แก้ระบบสมการตามขั้นที่ 1) ,2) และ 3) เพื่อหาค่าความผันผวน 1 และ ค่า 1
แทนค่ากลับในสมการ ขั้นที่ 3)
ผลลั พ ธ์ คื อ อั ต ราดอกเบี ้ ย ระยะสั ้ น r0,0 , r1,0 , r1,1 , r2,0 , r2,1 , r2,2 ในโครงร่ า งตาข่ า ย 2
คาบเวลา
รูปที่ 7.9 (a) โครงร่างตาข่ายราคา 3 คาบเวลา (b) โครงร่างตาข่ายอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 2 คาบเวลา
โครงร่างตาข่ายราคาต้นไม้ทวิภาค N คาบเวลา ของอัตราดอกเบี้ย ri, j ราคาตราสารหนี้ Bi, j
ขั้นที่ 1) เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนขอบ
B0,0 B0N C 1 y N
N
, BN , j C , j 0,1,..., N
กํ า หนด ri, j , i, j 0,1,..., N 2 จากโครงร่ า งตาข่ า ยอั ต ราดอกเบี ้ ย ระยะสั ้ น N 2
คาบเวลา
ขั้นที่ 2) สร้างสมการจากโครงร่างตาข่ายราคาต้นไม้ทวิภาค N คาบเวลา
1
Bi , j 0.5 1 ri , j BN ,0 BN ,1
ขั้นที่ 3) สร้างสมการจากตัวแบบ Ho-Lee
ri 1, j ri , j i i
ri 1, j 1 ri , j i i
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 272 · หน้าพิมพ์ 260 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
260 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ขั้นที่ 4) แก้สมการ จากขั้นที่ 1), ขั้นที่ 2) และ ขั้นที่ 3) เพื่อหา เพื่อหาค่าความผันผวน N 2 และ
ค่า N 2 แทนค่ากลับ เพื่อหา rN 1, j , j 0,1,..., N 1
ผลลัพธ์ คืออัตราดอกเบี้ยระยะสั้น ri, j ; i, j 0,1,..., N 1 ในโครงร่างตาข่าย N 1 คาบเวลา
ตัวอย่างที่ 7.4 กำหนดอายุไถ่ถอน ละอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้ไม่มีคูปองซึ่งมีราคาไถ่ถอน
เท่ากับราคาที่ตราไว้ 1000 บาท ตามตาราง จงคำนวณอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นและราคาของตรา
สารหนี้ไม่มีคูปองด้วยแบบจำลองโครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาคตามแบบจำลอง Ho-Lee
อายุไถ่ถอน k ราคาไถ่ถอ C อัตราดอกเบี้ย yk ราคาปัจจุบัน B0k
1 1000 0.0900 917.40
2 1000 0.0950 834.00
3 1000 0.1000 751.30
4 1000 0.1050 670.70
5 1000 0.1100 593.50
C
วิธีทำ จากราคาปัจจุบันของตราสารหนี้ไม่มีคูปอง B0k k
1 yk
1000 1000
จะได้ B01 1
917.40 , B02 2
834.00 ,
1 0.0900 1 0.0950
1000
B03 3
751.30 ,
1 0.1000
1000 1000
B04 4
670.70 และ B05 4
593.50 ผลลัพธ์ใส่ไว้ในคอลัมน์
1 0.1050 1 0.1100
สุดท้ายของตารางด้านบน ต่อไปเป็นการจำลองอัตราดอกเบี้ยด้วยโครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาค
N คาบเวลา, N 1, 2,3, 4,5 ตามขั้นตอนต่อไปนี้
ขั้นที่ 1) เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนขอบ สำหรับแต่ละ N 1,...,5
B0,0 B0N 1, 000 1 y N
N
, BN , j 1000, j 0,1,..., N
กำหนด ri, j , i, j 0,1,..., N 2 จากโครงร่างตาข่ายอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น N 2 คาบเวลา
ขั้น ที่ 2) สํ า หรั บ แต่ ล ะ N 1,...,5 สร้ า งสมการจากโครงร่ า งตาข่า ยราคาต้น ไม้ ทวิภ าค N
คาบเวลา
1
Bi , j 0.5 1 ri , j BN ,0 BN ,1
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 273 · หน้าพิมพ์ 261 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 261
ตารางที่ 7.4 ผลลัพธ์โครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาค N คาบเวลา, N 1, 2,3, 4,5 ของราคาตรา
สารหนี้ไม่มีคูปอง
B(0,j) B(1,j)
917.40 1000
1000
B(0,j) B(1,j) B(2,j)
834.00 734.02 1000
1084.17 1000
1000
B(0,j) B(1,j) B(2,j) B(3,j)
751.30 608.71 777.31 1000
1029.18 881.26 1000
1017.31 1000
1000
B(0,j) B(1,j) B(2,j) B(3,j) B(4,j)
670.70 498.31 594.66 720.77 1000
963.86 763.12 809.28 1000
1014.95 922.59 1000
1072.78 1000
1000
B(0,j) B(1,j) B(2,j) B(3,j) B(4,j) B(5,j)
593.50 402.74 447.73 510.10 669.83 1000
891.14 649.62 641.91 745.62 1000
994.30 832.38 840.74 1000
1122.39 963.70 1000
1128.78 1000
1000
ขั้นที่ 3) สร้างสมการจากตัวแบบ Ho-Lee
ri 1, j ri , j i i
ri 1, j 1 ri , j i i
ขั้นที่ 4) แก้สมการ จากขั้นที่ 1), ขั้นที่ 2) และ ขั้นที่ 3) เพื่อหาค่าความผันผวน N 2 และ ค่า
N 2 แทนค่ากลับ เพื่อหา rN 1, j , j 0,1,..., N 1
ผลลัพธ์ คืออัตราดอกเบี้ยระยะสั้น ri, j ; i, j 0,1,..., N 1 ในโครงร่างตาข่าย N 1 คาบเวลา
ในที่นี้แก้ระบบสมการโดยใช้ excel solver ซึ่งผลลัพธ์ทั้งหมดแสดงในตารางที่ 7.4 และตารางที่
7.5
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 274 · หน้าพิมพ์ 262 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
262 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ตารางที่ 7.5 (ด้านซ้ายมือ) ผลลัพธ์โครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาค N คาบเวลา, N 1, 2,3, 4,5
ของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น (ด้านขวามือ) แสดงการสร้างสมการตามขั้นที่2) และขั้นที่ 3) และผล
จากการใช้ excel solver ในการแก้ระบบสมการ
r(0,j)
0.0900 r(0,0)
zeta0 0.052331
r(0,j) r(1,j) sig0 0.22 0.22
0.0900 0.3624 r(1,0) eq 0.00
-0.0776 r(1,1)
zeta1 0.136494
r(0,j) r(1,j) r(2,j) sig1 0.08 0.075876
0.0900 0.3624 0.2865 r(2,0) sig1 0.08 0.075876
-0.0776 0.1347 r(2,1) eq 0.00
-0.0170 r(2,2)
zeta2 0.025045
r(0,j) r(1,j) r(2,j) r(3,j) sig2 0.08 0.075876
0.0900 0.3624 0.2865 0.3874 r(3,0) sig2 0.08 0.075876
-0.0776 0.1347 0.2357 r(3,1) sig2 0.08 0.075876
-0.0170 0.0839 r(3,2) eq 0.00
-0.0678 r(3,3)
zeta3 0.029638
r(0,j) r(1,j) r(2,j) r(3,j) r(4,j) sig3 0.08 0.075876
0.0900 0.3624 0.2865 0.3874 0.4929 r(4,0) sig3 0.08 0.075876
-0.0776 0.1347 0.2357 0.3412 r(4,1) sig3 0.08 0.075876
-0.0170 0.0839 0.1894 r(4,2) sig3 0.08 0.075876
-0.0678 0.0377 r(4,3) eq 0.00
-0.1141 r(4,4)
7.4 แบบจำลอง Black-Derman-Toy
แบบจํ า ลอง Black-Derman-Toy หรื อ แบบจํ า ลอง BDT เป็ น แบบจํ า ลองที่ อ ธิ บ าย
โครงสร้างของอัตราดอกเบี้ยโดยพิจารณาภายใต้สมมติฐานว่าตัวแปรเชิงสุ่ม r มีการแจกแจงแบ
บล็อกนอร์มอล (log-normal distribution) โครงสร้างของอัตราดอกเบี้ยตามตัวแบบ BDT สามารถ
อธิบายได้ด้วยสมการดังนี้
d ln r t 't / t ln r dt t dWt (7.8)
มีลักษณะการพิจารณาคล้ายสมการที่ (7.5) โดยพิจารณาตัวแปรเชิงสุ่ม ln r เป็นตัวแปรที่มีการแจก
แจงแบบปกติ และกำหนดให้ค่าเฉลี่ยวกกลับ (mean reversion) เท่ากับ 't / t เนื่องจาก
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 275 · หน้าพิมพ์ 263 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 263
a(t ) และ t จะมีค่ามากกว่า 0 จะได้ว่า 't 0 ซึ่งหมายถึง ความแปรผันของอัตราดอกเบี้ ย
ระยะสั้นเมื่อเวลาผ่านไปจะมีค่าความผันผวนลดลง
รูปที่ 7.10 ตัวแปรเชิงสุ่ม r เป็นตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบล็อกนอร์มอล
แบบจำลอง Black-Derman-Toy (BDT) เป็นหนึ่งในแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยที่มีชื่อเสียง
และได้รับความนิยมอย่างมากในทฤษฎีโครงสร้างของอัตราผลตอบแทน (fixed income interest
theory) โดยประยุกต์ใช้กับแบบจำลองต้นไม้ทวิภาคที่แต่ละโหนดมีการเปลี่ยนแปลงเท่ากันซึ่งทำให้
ง่ายและมีความยืดหยุ่นในการใช้งาน โดยยังให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำ โดยค่าความผันผวนของแบบจำลอง
BDT จะขึ้นอยู่กับเวลาเท่านั้นและไม่เกี่ยวกับมูลค่าของอัตราดอกเบี้ย
แบบจำลองโครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาคตามแบบจำลอง BDT
จากแบบจำลอง BDT d ln r t 't / t ln r dt t dWt
เพื่อความสะดวกให้ z ln r จะได้
แบบจำลอง BDT เวลาต่อเนื่อง : dz t 't / t z dt t dWt
แบบจำลอง BDT เวลาไม่ต่อเนื่อง : z t (t ) z t 0, 2 t t
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในกรณีที่ค่าความผันผวน (t ) คงที่ ( (t ) 0 ) จะได้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 276 · หน้าพิมพ์ 264 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
264 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
แบบจำลอง BDT เวลาต่อเนื่อง : dz t z dt dWt
แบบจำลอง BDT เวลาไม่ต่อเนื่อง : z t zt 0, 2 t
ให้ zi, j ln ri, j แทนลอการิทึมของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นที่กำหนดขึ้นที่เวลา t i สภาวะที่ j
สำหรับช่วงเวลา [i, i 1] นิยาม Zi, j ตัวแปรเชิงสุ่มโดย
z z i i i1 zi , j i zu ; prob 0.5
i 1, j i , j i
Zi, j , t 1 (7.9)
i1
zi 1, j 1 zi , j i i zi , j i rd ; prob 0.5
i
r zi1, j
ru ; prob 0.5
i 1, j e
และ Ri, j e Zi , j
r zi1, j
เป็น การเคลื่อนไหวของอัตราดอกเบี้ย จาก
i 1, j 1 e rd ; prob 0.5
โหนด i, j ตามรูปที่ 7.4 จากสมการ (7.10) จะได้ว่า
zi 1, j zi 1, j 1 2 zi , j i i1 z z
i
2
i
zi , j และ i i1, j 2 i1, j1
r ri 1, j 1 r
i 1, j
นั่นคือ i 0.5 ln
r
ln
r
i
i1
ln ri , j และ i 0.5ln r i1, j
i , j i , j i i 1, j 1
พิจาณาตัวแปรเชิงสุ่ม Y นิยามโดย
yu ; prob 0.5
KY ( n )
yd ; prob 0.5
เมื่อ 0 yd yu จะได้ว่า E ln KY 0.5ln yd ln yu 0.5ln yd yu และ
2 2
n2 Var ln KY 0.5 ln yd 0.5ln yd yu 0.5 ln yu 0.5ln yd yu
2
yu
3 2
2
0.5 2 ln yd ln yd yu 2 ln yu ln yd yu 0.5 ln
yd
(7.10)
นั่นคือ ค่าความผันผวนของตัวแปรเชิงสุ่ม n 0.5ln yyu ดังนั้น ถ้ากำหนดให้ Ri, j ตัวแปรเชิงสุ่ม
d
นิยามโดย
ri 1, j ru ; prob 0.5
Ri , j
; prob 0.5
(7.11)
ri 1, j 1 rd
และให้ i เป็นค่าความผันผวนของตัวแปรเชิงสุ่ม ln Ri, j จะได้ว่า
E ln Ri , j 0.5 ln ri 1, j ln ri 1, j 1 0.5ln rd ru (7.12)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 277 · หน้าพิมพ์ 265 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 265
ri 1, j ru
และ (7.13)
i Var ln Ri , j 0.5ln 0.5ln
ri 1, j 1 rd
จะเห็นว่า i ในสมการ (7.8) และ สมการ (7.13) มีค่าเท่ากัน
สมมุติว่าความน่าจะเป็นที่ราคาของตราสารหนี้จะเปลี่ยนแปลงขึ้น p 0.5 และกำหนดให้
yk (ต่อปี) เป็นอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้ไม่มีคูปอง (zero-counpon bond) อายุไถ่ถอน (year
to maturity) ที่ปี k , k 1,..., N สามารถเขียนโครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาคตามแบบจำลอง BDT
ได้เช่นเดียวกับแบบจำลอง Ho-Lee โดยมีความแตกต่างกันในขั้นที่ 3 ดังนี้
โครงร่างตาข่ายราคาต้นไม้ทวิภาค N คาบเวลา ของอัตราดอกเบี้ย ri, j ราคาตราสารหนี้ Bi, j
ขั้นที่ 1) เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนขอบ
B0,0 B0N C 1 y N
N
, BN , j C , j 0,1,..., N (7.14)
กำหนด ri, j , i, j 0,1,..., N 2 จากโครงร่างตาข่ายอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น N 2 คาบเวลา
ขั้นที่ 2) สร้างสมการจากโครงร่างตาข่ายราคาต้นไม้ทวิภาค N คาบเวลา
1
Bi , j 0.5 1 ri , j BN ,0 BN ,1 ri, j e z i, j
(7.15)
ขั้นที่ 3) สร้างสมการจากตัวแบบ BDT
i1 z
zi 1, j zi , j i i zi , j i ri 1, j e i1, j
i
i1 z
zi 1, j 1 zi , j i i zi , j i ri 1, j 1 e i1, j
i
r r r
หรือ i 0.5 ln ir1, j ln ir1, j1 i i1 ln ri, j และ i 0.5ln r i1, j
i, j i, j i i 1, j 1
ขั้นที่ 4) แก้สมการ จากขั้นที่ 1), ขั้นที่ 2) และ ขั้นที่ 3) เพื่อหาค่าความผันผวน N 2 และ ค่า N 2
แทนค่ากลับ เพื่อหา rN 1, j , j 0,1,..., N 1
ผลลัพธ์ คืออัตราดอกเบี้ยระยะสั้น ri, j ; i, j 0,1,..., N 1 ในโครงร่างตาข่าย N 1 คาบเวลา
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 278 · หน้าพิมพ์ 266 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
266 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ตัวอย่างที่ 7.5 กำหนดอายุไถ่ถอน และราคาปัจจุบันของตราสารหนี้ไม่มีคูปองซึ่งมีราคาไถ่ถอน
เท่ากับราคาที่ตราไว้ 1000 บาท ในคอลัมน์ที่ 1และ 2 ตามตาราง จงคำนวณอัตราดอกเบี้ยระยะ
สั้นและราคาของตราสารหนี้ไม่มีคูปองด้วยแบบจำลองโครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาค
อายุไถ่ถอน k ราคาปัจจุบัน B0k ราคาไถ่ถอน C อัตราดอกเบี้ย yk
1 917.40 1000 0.0900
2 834.00 1000 0.0950
3 751.30 1000 0.1000
4 670.70 1000 0.1050
5 593.50 1000 0.1100
1000 1000
วิธีทำ จาก (7.8) ได้ y1
917.40
1 0.0900 , y2
834.00
1 0.0950
1000 1000
y3 3 1 0.1000 , y4 4 1 0.1050
751.30 670.70
1000
y5 5 1 0.1100
593.50
อัตราดอกเบี้ย yk , k 1,...,5 ที่คำนวณแสดงในคอลัมน์สุดท้ายในตารางด้านบน
ต่อไปเป็นการจำลองอั ตราดอกเบี ้ยด้วยโครงร่างตาข่ายต้น ไม้ ทวิภาค N คาบเวลา,
N 1, 2,3, 4,5 ตามขั้นตอนต่อไปนี้
ขั้นที่ 1) เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนขอบ สำหรับแต่ละ N 1,...,5
B0,0 B0N 1, 000 1 y N
N
, BN , j 1000, j 0,1,..., N
กำหนด ri, j , i, j 0,1,..., N 2 จากโครงร่างตาข่ายอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น N 2 คาบเวลา
ขั้น ที่ 2) สํ า หรั บ แต่ ล ะ N 1,...,5 สร้ า งสมการจากโครงร่ า งตาข่า ยราคาต้น ไม้ ทวิภ าค N
1
คาบเวลา Bi , j 0.5 1 ri , j BN ,0 BN ,1
ขั้นที่ 3) สร้างสมการจากตัวแบบ BDT
i1 z
zi 1, j zi , j i i zi , j i ri 1, j e i1, j
i
i1
z
zi 1, j 1 zi , j i i zi , j i ri 1, j 1 e i1, j
i
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 279 · หน้าพิมพ์ 267 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 267
ขั้นที่ 4) แก้สมการ จากขั้นที่ 1), ขั้นที่ 2) และ ขั้นที่ 3) เพื่อหาค่าความผันผวน N 2 และ ค่า
N 2 แทนค่ากลับ เพื่อหา rN 1, j , j 0,1,..., N 1
ผลลัพธ์ คืออัตราดอกเบี้ยระยะสั้น ri, j ; i, j 0,1,..., N 1 ในโครงร่างตาข่าย N 1 คาบเวลา
ในที่นี้แก้ระบบสมการโดยใช้ excel solver ซึ่งผลลัพธ์ทั้งหมดแสดงในตารางที่ 7.6 และตารางที่
7.7
ตารางที่ 7.6 ผลลัพธ์โครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาค N คาบเวลา, N 1, 2,3, 4,5 ของราคาตรา
สารหนี้ไม่มีคูปอง
B(0,j) B(1,j)
917.40 1000
1000
B(0,j) B(1,j) B(2,j)
834.00 862.41 1000
955.78 1000
1000
B(0,j) B(1,j) B(2,j) B(3,j)
751.30 730.77 772.76 1000
907.12 921.97 1000
976.22 1000
1000
B(0,j) B(1,j) B(2,j) B(3,j) B(4,j)
670.70 609.73 577.89 636.71 1000
852.44 836.14 858.94 1000
947.64 954.87 1000
986.58 1000
1000
B(0,j) B(1,j) B(2,j) B(3,j) B(4,j) B(5,j)
593.50 512.28 446.99 435.51 587.33 1000
781.60 741.02 721.37 780.67 1000
894.50 886.12 899.00 1000
946.47 957.01 1000
961.68 1000
1000
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 280 · หน้าพิมพ์ 268 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
268 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ตารางที่ 7.7 (ด้านซ้ายมือ) ผลลัพธ์โครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาค N คาบเวลา, N 1, 2,3, 4,5
ของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น (ด้านขวามือ) แสดงการสร้างสมการตามขั้นที่2) และขั้นที่ 3) และผล
จากการใช้ excel solver ในการแก้ระบบสมการ
r(0,j)
0.0900 r(0,0)
sig-1 0.186481
zeta0 1.635329
r(0,j) r(1,j) sig0 0.62 0.618905
0.0900 0.1595 r(1,0) eq 0.00
0.0463 r(1,1)
sig0 0.62
zeta1 0
r(0,j) r(1,j) r(2,j) sig1 0.62 0.622716
0.0900 0.1595 0.2941 r(2,0) sig1 0.62 0.622693
0.0463 0.0846 r(2,1) eq 0.00
0.0244 r(2,2)
sig1 0.62
zeta2 0.040093
r(0,j) r(1,j) r(2,j) r(3,j) sig2 0.62 0.62271
0.0900 0.1595 0.2941 0.5706 r(3,0) sig2 0.62 0.622687
0.0463 0.0846 0.1642 r(3,1) sig2 0.62 0.62271
0.0244 0.0473 r(3,2) eq 0.00
0.0136 r(3,3)
sig2 0.08
zeta3 0
r(0,j) r(1,j) r(2,j) r(3,j) r(4,j) sig3 0.06 0.458302
0.0900 0.1595 0.2941 0.5706 0.7026 r(4,0) sig3 0.06 0.458284
0.0463 0.0846 0.1642 0.2810 r(4,1) sig3 0.06 0.458302
0.0244 0.0473 0.1124 r(4,2) sig3 0.06 0.060028
0.0136 0.0449 r(4,3) eq 0.00
0.0398 r(4,4)
บทสรุปท้ายบทที่ 7
ในโลกการเงินสมัยใหม่ การเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยมีผลกระทบโดยตรงต่อการ
กำหนดราคาสินทรัพย์ การบริหารพอร์ตการลงทุน และการควบคุมความเสี่ยงเชิงระบบและเชิงกล
ยุทธ์ การทำความเข้าใจแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นจึงเป็นเครื่องมือสำคัญในคณิตศาสตร์
การเงิน โดยเฉพาะเมื่อใช้วิเคราะห์การเคลื่อนไหวของอัตราดอกเบี้ยที่มีลักษณะสุ่มและไม่เป็นเชิงเส้น
ในบทนี้ได้อธิบายแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นซึ่งครอบคลุมทั้งแบบจำลองแบบดั้งเดิม เช่น
แบบจำลอง Vasicek (ค.ศ.1977), CIR (ค.ศ.1985) ตลอดจนแบบจำลองที่พัฒนาต่อมา เช่น Ho-Lee
(ค.ศ.1986) และ Black-Derman-Toy (ค.ศ.1990) ซึ่งมีความยืดหยุ่นและสามารถสะท้อนความผัน
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 281 · หน้าพิมพ์ 269 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 269
ผวนของตลาดได้อย่างแม่นยำ แบบจำลองเหล่านี้สามารถอธิบายโครงสร้างของอัตราดอกเบี้ย ความ
ผันผวนของอัตราดอกเบี้ย และความสัมพันธ์กับอัตราดอกเบี้ยทันที (spot rate) และอัตราดอกเบี้ย
ล่วงหน้า (forward rate) ได้อย่างมีประสิทธิภาพ จุดเด่นและข้อจำกัดของแต่ละแบบจำลองได้รับ
การวิเคราะห์เปรียบเทียบเพื่อใช้เลือกให้เหมาะสมกับบริบทของการใช้งาน
ในเชิงการประยุกต์ใช้งานจริง แบบจำลองเหล่านี้มีบทบาทสำคัญ เช่น
• การกํ า หนดราคา ตราสารหนี ้ ท ี ่ ม ี ส ิ ท ธิ ไ ถ่ ถ อนล่ ว งหน้ า (callable bonds) ด้ ว ย
แบบจำลอง BDT หรือ Ho-Lee เพื่อสะท้อนโครงสร้างอัตราผลตอบแทน
• การประเมินมูลค่า ออปชันบนพันธบัตร (bond options) และ สวอปชัน (swaptions)
ด้วยแบบจำลอง CIR ที่สามารถควบคุมความเป็นบวกของอัตราดอกเบี้ย
• การวัดความเสี่ยงของพอร์ตผ่าน Duration, Convexity, และ Value-at-Risk (VaR)
ภายใต้แบบจำลองที่อิงอัตราดอกเบี้ยแบบสุ่ม
ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ เช่น ธนาคารพาณิชย์ที่มีพอร์ตสินเชื่อแบบอัตราลอยตัวสามารถใช้แบบจำลอง CIR
เพื่อประเมินผลกระทบจากความผันผวนของอัตราดอกเบี้ยต่อรายได้จากดอกเบี้ยสุทธิ (Net Interest
Margin) ได้อย่างแม่นยำและตอบโจทย์การกำกับดูแลความเสี่ยงตามแนวทาง Basel III
นอกจากนี้ แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นยังเป็นรากฐานของแบบจำลองขั้นสูง เช่น
แบบจำลอง Heath–Jarrow–Morton (HJM) ที่สามารถวิเคราะห์โครงสร้างความผันผวนของอัตรา
ดอกเบี้ยได้อย่างลึกซึ้ง รวมถึงโมเดลที่ใช้กระบวนการ Jump-Diffusion และ Lévy ซึ่งถูกพัฒนาเพื่อ
รองรับตลาดที่ไม่สมบูรณ์และไม่เป็นเชิงเส้น เช่น ตลาดที่มี default risk หรือการซื้อขายที่มีข้อจำกัด
กล่าวโดยสรุป บทที่ 7 ได้ถ่ายทอดแนวคิด ทฤษฎี และการประยุกต์ใช้แบบจำลองอัตราดอกเบี้ย
ระยะสั้นอย่างเป็นระบบ ทั้งในมิติของการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีและการนำไปใช้งานจริงในตลาดตรา
สารหนี้และอนุพันธ์ ตอบโจทย์ความซับซ้อนของตลาดการเงินยุคใหม่ และสร้างพื้นฐานที่แข็งแกร่ง
สำหรับการพัฒนาเครื่องมือทางการเงินที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นในอนาคต
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 282 · หน้าพิมพ์ 270 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
270 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์ เอกสารอ้างอิง [1] Björk, T. (2009). Arbitrage theory in continuous time (3rd ed.). Oxford University Press. [2] Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81(3), 637–654. https://doi.org/10.1086/260062 [3] Brigo, D., & Mercurio, F. (2006). Interest rate models: Theory and practice (2nd ed.). Springer. [4] Cox, J. C., Ingersoll, J. E., & Ross, S. A. (1985). A theory of the term structure of interest rates. Econometrica, 53(2), 385–407. https://doi.org/10.2307/1911242 [5] Ho, T. S., & Lee, S. B. (1986). Term structure movements and pricing interest rate contingent claims. The Journal of Finance, 41(5), 1011–1029. [6] Hull, J. C. (2018). Options, futures, and other derivatives (10th ed.). Pearson. [7] Merton, R. C. (1973). Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics and Management Science, 4(1), 141–183. https://doi.org/10.2307/3003143 [8] Shreve, S. E. (2004). Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models. Springer. https://doi.org/10.1007/978-0-387-40101-4 [9] Vasicek, O. (1977). An equilibrium characterization of the term structure. Journal of Financial Economics, 5(2), 177–188. https://doi.org/10.1016/0304-405X(77)90016-2 วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 283 · หน้าพิมพ์ 271 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 271
แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 7
1) นำเข้าข้อมูล อัตราการเปลี ่ยนแปลงราคา(r) 52 วัน ย้อนหลังของหุ้น ที่จดทะเบียนในบริ ษัท
หลักทรัพย์แห่งประเทศไทย พิจารณาอัตราการการเปลี่ยนแปลงราคาเป็นอัตราดอกเบี้ย จงสร้าง
แบบจำลอง Vasicek กรณีที่ 0 ตามสมการ dr a(b r )dt dWt จากอัตราการเปลี่ยนแปลง
ราคา(r) 52 วัน ย้อนหลังของหุ้นดังกล่าว
2) นำเข้าข้อมูล อัต ราการเปลี ่ยนแปลงราคา(r) 52 วัน ย้อนหลังของหุ ้น ที ่จดทะเบี ยนในบริ ษัท
หลักทรัพย์แห่งประเทศไทย พิจารณาอัตราการการเปลี่ยนแปลงราคาเป็นอัตราดอกเบี้ย จงสร้าง
แบบจำลอง CIR กรณีที่ 0.5 ตามสมการ dr a(b r )dt rdWt จากอัตราการเปลี่ยนแปลง
ราคา(r) 52 วัน ย้อนหลังของหุ้นดังกล่าว
3) กำหนดอายุไถ่ถอน และอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้ไม่มีคูปองซึ่งมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่
ตราไว้ 1000 บาท ตามตาราง จงคำนวณอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นและราคาของตราสารหนี้ไม่มีคูปอง
ด้วยแบบจำลองโครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาคตามแบบจำลอง Ho-Lee
อายุไถ่ถอน k ราคาไถ่ถอ C อัตราดอกเบี้ย yk
1 1000 0.0500
2 1000 0.0450
3 1000 0.0420
4 1000 0.0470
5 1000 0.0380
6 1000 0.0400
7 1000 0.0032
4) สมมุติตราสารหนี้ไม่มีคูปองอายุ 2 ปี มีราคาที่ตราไว้เท่ากับ 1,000 บาท มีราคาไถ่ถอนเท่ากับ
ราคาที่ตราไว้ จงคำนวณราคาตราสารหนี้ที่เวลา t 0, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00,1.25,1.50,1.75, 2 (ปี)โดย
ประยุกต์ใช้แบบจำลองของ Vasicek เมื่อกำหนดให้ค่าพารามิเตอร์ในแบบจำลองของ Vasicek,
a 0.00007512 (ต่อวัน), b 0.00006675 (ต่อวัน), 0.00000449 (ต่อวัน) และกำหนดให้ 1 ปี
เท่ากับ 365 วัน โดยสมมุติว่าอัตราดอกเบี้ยตามแบบจำลองของ Vasicek เป็นดังนี้
อายุไถ่ถอน t (วัน) อัตราดอกเบี้ย rt (ต่อวัน)
0 0.00006003
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 284 · หน้าพิมพ์ 272 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
272 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
91.25 0.00005468
182.5 0.00006749
273.75 0.00006770
365 0.00006562
456.25 0.00005232
547.5 0.00006423
638.75 0.00006277
730 0.00006109
5) สมมติตราสารหนี้อายุ 5 ปี มีราคาที่ตราไว้เท่ากับ 10,000 บาท และกำหนดจ่ายคูปอง ร้อยละ
6.00 ต่อปี จ่ายคูปองจำนวน 20 งวด จ่ายทุก ๆ 3 เดือน โดยมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้ จง
คํ า นวณราคาตราสารหนี ้ ท ี ่ เวลาเริ ่ ม ต้ น ( t 0 )โดยประยุ ก ต์ ใช้ แ บบจำ ลองของ Vasicek เมื่ อ
กำหนดให้ค่าพารามิเตอร์ในแบบจำลองของ Vasicek, a 0.00006212 (ต่อวัน), , 5.24922 x108
(ต่อวัน), 0.00000519 (ต่อวัน) และอัตราดอกเบี้ย ณ ปัจจุบัน r 0.0035234% (ต่อวัน) และ
กำหนดให้ 1 ปี เท่ากับ 365 วัน
6) นำเข้าข้อมูลอัตราดอกเบี้ย (รายวัน) ของพันธบัตรรัฐบาล จงสร้างแบบจำลอง CIR กรณีที่ 0
, a t 0 และ t ตามสมการ drt t dt dWt จากข้อมูลอัตราอัตราดอกเบี้ยย้อนหลัง
ของของพันธบัตรดังกล่าว
7) สมมติตราสารหนี้อายุ 3 ปี มีราคาที่ตราไว้เท่ากับ 10,000 บาท และกำหนดจ่ายคูปอง ร้อยละ
5.00 ต่อปี จ่ายคูปองจำนวน 12 งวด จ่ายทุก ๆ 3 เดือน โดยมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้ จง
คำนวณราคาตราสารหนี้ที่เวลาเริ่มต้น ( t 0 )โดยประยุกต์ใช้แบบจำลองของ CIR เมื่อกำหนดให้
ค่าพารามิ เ ตอร์ ในแบบจํ าลองของ CIR, 0.00006402 (ต่อวัน ) , 8.42524108 (ต่อวัน),
0.00000422 (ต่อวัน) และอัตราดอกเบี้ย ณ ปัจจุบัน r 0.0038234% (ต่อวัน) และกำหนดให้ 1
ปี เท่ากับ 365 วัน
8) กำหนดอายุไถ่ถอน และราคาปัจจุบันของตราสารหนี้ไม่มีคูปองซึ่งมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตรา
ไว้ 1000 บาท ในคอลั มน์ ที ่ 1และ 2 ตามตาราง จงจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นแบบจำลอง
Vasicek ที่ถูกขยายและราคาของตราสารหนี้ไม่มีคูปองด้วยโครงร่างตาข่ายต้นไม้ทวิภาค กำหนด
b 0.0019999862
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 285 · หน้าพิมพ์ 273 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 273
อายุไถ่ถอน k ราคาปัจจุบัน B0k ราคาไถ่ถอน C
1 900.20 1000
2 844.00 1000
3 761.20 1000
4 680.70 1000
5 623.50 1000
6 560.23 1000
7 521.20 1000
9) สมมติตราสารหนี้อายุ 3 ปี มีราคาที่ตราไว้เท่ากับ 1000 บาท และกำหนดจ่ายคูปอง ร้อยละ 4.00
ต่อปี จ่ายคูปองจำนวน 12 งวด จ่ายทุก ๆ 3 เดือน โดยมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้ จงคำนวณ
ราคาตราสารหนี้ที่เวลาเริ่มต้น ( t 0 ) จงหาราคาตราสารหนี้มีคูปองโดยประยุกต์ใช้แบบจำลองของ
CIR เมื ่ อ กํ า หนดให้ ค ่ า พารามิ เ ตอร์ ใ นแบบจํ า ลองของ CIR, 0.00005012 (ต่ อ วั น )
, 8.26543108 (ต่ อ วั น ), 0.00000612 (ต่ อ วั น ) และอั ต ราดอกเบี ้ ย ณ ปั จ จุ บั น
r 0.0035032% (ต่อวัน) และกำหนดให้ 1 ปี เท่ากับ 365 วัน
10) สมมุติตราสารหนี้ไม่มีคูปองอายุ 4 ปี มีราคาที่ตราไว้เท่ากับ 10,000 บาท มีราคาไถ่ถอนเท่ากับ
ราคาที ่ ต ราไว้ กํ า หนดราคาใช้ ส ิ ทธิ เ ท่ า กั บ 9800 บาท ของออปชั น ที่ป ลายปีที่ 2 และกำหนด
ค่าพารามิเตอร์ในแบบจำลองของ Vasicek, a 0.00005812 (ต่อวัน), b 0.00006212 (ต่อวัน),
0.00000438 (ต่ อ วั น ) และกํ า หนดให้ 1 ปี เท่ า กั บ 365 วั น สมมุ ต ิ ว ่ า อั ต ราดอกเบี ้ ย ตาม
แบบจำลองของ Vasicek เป็นดังนี้
อายุไถ่ถอน t (วัน) อัตราดอกเบี้ย rt (ต่อวัน)
0 0.00006883
182.5 0.00005671
365 0.00005430
547.5 0.00006805
730 0.00005976
912.5 0.00005992
1095 0.00006465
1277.5 0.00006436
1460 0.00006577
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 286 · หน้าพิมพ์ 274 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
274 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
10.1) จงคำนวณพุทออปชันบนตราสารหนี้ที่เวลา t 0, 0.5,1,1.5, 2 (ปี) โดยประยุกต์ใช้
แบบจำลองของ Vasicek
10.2) จงใช้สมการความเสมอภาคระหว่างคอลออปชันและพุทออปชัน ในการคำนวณค่า
ของคอลออปชันบนตราสารหนี้ไม่มีคูปองดังกล่าว
11) สมมติตราสารหนี้อายุ 3 ปี มีราคาที่ตราไว้เท่ากับ 1,000 บาท และกำหนดจ่ายคูปอง ร้อยละ
6.00 ต่อปี จ่ายคูปองจำนวน 6 งวด จ่ายทุก ๆ 6 เดือน โดยมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้ จง
คํ า นวณราคาตราสารหนี ้ ท ี ่ เวลาเริ ่ ม ต้ น ( t 0 )โดยประยุ ก ต์ ใช้ แ บบจำ ลองของ Vasicek เมื่ อ
กำหนดให้ค่าพารามิเตอร์ในแบบจำลองของ Vasicek, a 0.00005712 (ต่อวัน), , 8.42934 x108
(ต่อวัน), 0.00000395 (ต่อวัน) และอัตราดอกเบี้ย ณ ปัจจุบัน r 0.0042334% (ต่อวัน) และ
กำหนดให้ 1 ปี เท่ากับ 365 วัน (1 งวด เท่ากับ 182.5 วัน) จงคำนวณราคาพรีเมียมของคอลออป
ชันบนตราสารหนี้ที่มีคูปอง ที่มีเวลาใช้สิทฺธิตามสัญญาที่ปลายปีที่ 1 (นับจากวันออกตราสาร) โดย
ประยุกต์ใช้แบบจำลองของ Vasicek เมื่อกำหนดอัตราดอกเบี้ย r* r 0.0045334% (ต่อวัน) ซึ่ง
เป็นอัตราผลตอบแทนจากการถือครองตราสารหนี้จนครบกำหนดไถ่ถอน
12) สมมติตราสารหนี้อายุ 4 ปี มีราคาที่ตราไว้เท่ากับ 1,000 บาท และกำหนดจ่ายคูปอง ร้อยละ
4.20 ต่อปี จ่ายคูปองจำนวน 8 งวด จ่ายทุก ๆ 6 เดือน โดยมีราคาไถ่ถอนเท่ากับราคาที่ตราไว้ จง
คํ า นวณราคาตราสารหนี ้ ท ี ่ เวลาเริ ่ ม ต้ น ( t 0 )โดยประยุ ก ต์ ใช้ แ บบจำ ลองของ Vasicek เมื่ อ
กำหนดให้ค่าพารามิเตอร์ในแบบจำลองของ Vasicek, a 0.00007112 (ต่อวัน), , 8.26641x108
(ต่อวัน), 0.00000512 (ต่อวัน) และอัตราดอกเบี้ย ณ ปัจจุบัน r 0.0039314% (ต่อวัน) และ
กำหนดให้ 1 ปี เท่ากับ 365 วัน
13) อธิบายเหตุผลเชิงคณิตศาสตร์และเศรษฐศาสตร์ที่ว่า ทำไมแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นจึง
ควรให้ผลลัพธ์ที่เป็นค่าบวกเสมอ พร้อมยกตัวอย่างแบบจำลองที่ไม่ตอบโจทย์ข้อนี้ เช่น Vasicek
Model ที่สามารถให้ r (t ) < 0
14) เปรียบเทียบสมรรถนะของแบบจำลองที่ให้ค่าอัตราดอกเบี้ยติดลบ กับแบบจำลองที่กำหนด
อัตราดอกเบี้ยให้เป็นค่าบวกเท่านั้น โดยใช้อัตราดอกเบี้ยจำลองแบบ Monte Carlo เพื่อเปรียบเทียบ
ผลกระทบต่อการกำหนดราคาตราสารหนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 287 · หน้าพิมพ์ 275 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 7 แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น 275
15) กำหนดพารามิเตอร์ของแบบจำลอง Vasicek
= a 0.1,
= b 0.05,
= σ 0.02, =
r (0) 0.03
จงคำนวณราคาตราสารหนี้ไม่มีคูปองที่มีอายุ 1 ปี และ 2 ปี ตามแบบจำลอง Vasicek
16) ใช้ ข ้ อ มู ล อั ต ราดอกเบี ้ ย ย้ อ นหลั ง 60 วั น ของพั น ธบั ต รรั ฐ บาล (รายวั น ) เพื ่ อ ประมาณ
ค่าพารามิเตอร์ในแบบจำลอง CIR โดยใช้วิธี Maximum Likelihood Estimation (MLE) และ
อธิบายผลที่ได้ในเชิงเศรษฐศาสตร์
17) สมมุติว่าราคา Zero-Coupon Bond ในแต่ละช่วงอายุตามตารางด้านล่าง จงจำลองอัตรา
ดอกเบี้ยระยะสั้นในแต่ละช่วงเวลาตามแบบจำลอง Ho-Lee แบบตาข่ายต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลา
18) อธิบายข้อดีและข้อจำกัดของแบบจำลอง Ho-Lee ในบริบทของการจัดทำ Yield Curve ให้
สอดคล้องกับข้อมูลตลาด และเปรียบเทียบกับแบบจำลอง CIR
19) สมมุติว่าราคา Zero-Coupon Bond ในแต่ละช่วงอายุตามตารางด้านล่าง จงคำนวณอัตรา
ดอกเบี้ยระยะสั้นในแต่ละโหนดของแบบจำลอง BDT สำหรับ 3 คาบเวลา
20) อธิบายผลของการเปลี่ยนแปลงค่าความผันผวน σ (t ) ที่ลดลงเมื่อเวลาผ่านไปตามแบบจำลอง
BDT ต่อราคาของ Callable Bond
21) (การจำลองอัตราผลตอบแทนด้วยแบบจำลอง Vasicek จากข้อมูลราคาหุ้นจริง) ดาวน์โหลด
ข้อมูลราคาปิดรายวันของหุ้น AOT จากเว็บไซต์ Yahoo Finance ย้อนหลัง 60 วัน แล้ว
21.1) คำนวณอัตราผลตอบแทนรายวัน rt โดยใช้สูตร rt = ln St จากนั้นประมาณ
St −1
ค่ า พารามิ เ ตอร์ a , b , และ σ ของแบบจํ า ลอง Vasicek ด้ ว ยวิ ธ ี Maximum Likelihood
Estimation (MLE) โดยใช้แบบจำลอง
drt =a (b − rt ) dt + σ dWt
21.2) ทำการจำลองอัตราผลตอบแทน 10,000 เส้นทางในช่วงเวลา 30 วันข้างหน้า แล้ว
เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเส้นทางจำลองกับข้อมูลจริง
22) (การจำลองอัตราดอกเบี้ยด้วยแบบจำลอง CIR จากข้อมูลพันธบัตรรัฐบาลไทย) ดาวน์โหลดข้อมูล
อัตราดอกเบี้ยพันธบัตรรัฐบาลไทยอายุ 1 ปี จากธนาคารแห่งประเทศไทยหรือ SETSMART ในช่วง 3
เดือนล่าสุด
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 288 · หน้าพิมพ์ 276 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
276 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
22.1) แปลงข้อมูลเป็นอัตราผลตอบแทนรายวัน และประมาณค่าพารามิเตอร์ a , b , และ
σ ของแบบจำลอง CIR โดยใช้
drt =a (b − rt ) dt + σ rt dWt
22.2) จำลองเส้นทางอัตราดอกเบี้ยในช่วงเวลา 60 วันข้างหน้าอย่างน้อย 10 เส้นทาง และ
วิเคราะห์ลักษณะ mean-reverting และการไม่เป็นค่าลบของแบบจำลอง
23) (การประเมินแบบจำลอง Ho-Lee ด้วยข้อมูลราคาทองคำจริง) ดาวน์โหลดข้อมูลราคาทองคำ
(Gold Spot USD) จากเว็บไซต์ Investing.com ย้อนหลัง 90 วัน
23.1) คำนวณอัตราผลตอบแทนรายวัน rt จากข้อมูลดังกล่าว ใช้แบบจำลอง Ho-Lee
drt θ (t ) dt + σ dWt
=
โดยประมาณค่า θ (t ) ด้วยพหุนามดีกรีสองผ่าน Excel หรือ Python แล้วจำลองเส้นทางราคา
ทองคำ 30 วัน จำนวน 5 เส้นทาง วิเคราะห์ความเหมาะสมของแบบจำลอง Ho-Lee ต่อพฤติกรรม
ราคาทองคำ
24) (การเปรียบเทียบแบบจำลอง BDT กับเหรียญดิจิทัล Bitcoin) ดาวน์โหลดข้อมูลราคาของ
Bitcoin (BTC-USD) จาก Yahoo Finance ย้อนหลัง 60 วัน
24.1) คำนวณ log-return รายวัน ใช้แบบจำลอง Black-Derman-Toy (BDT)
drt θ (t ) dt + σ (t ) rt dWt
=
โดยประมาณฟังก์ชัน θ (t ) และ σ (t ) ด้วยเทคนิค regression หรือ trendline ผ่าน Excel จาก
ข้อมูล log-return ที่ได้ จากนั้นจำลองเส้นทางราคาในอนาคตอย่างน้อย 5 เส้นทาง และเปรียบเทียบ
ผลลัพธ์กับแบบจำลอง Ho-Lee และ Vasicek เพื่อประเมินความเหมาะสมของแต่ละแบบจำลองต่อ
ข้อมูลเหรียญดิจิทัล
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์