บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ
เนื้อหาประกอบด้วย
      6.1 บทนิยามของแคลคูลัสสโตแคสติก
      6.2 สมบัติของแคลคูลัสสโตแคสติก
      6.3 สมบัติมาร์ทิงเกลและการจำแนกส่วนประกอบดูบ-เมเยอร์
      6.4 ทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ

บทนำ

          ในระบบการเงินสมัยใหม่ที่เผชิญกับความผันผวนและความไม่แน่นอนในระดับสูง การ
ประเมิ น มู ล ค่ า ทรั พ ย์ ส ิ น ทางการเงิ น และการวิ เคราะห์ความเสี ่ย งจํ าเป็น ต้ อ งใช้เ ครื ่ องมื อ ทาง
คณิตศาสตร์ที่สามารถรองรับพฤติกรรมแบบสุ่มต่อเนื่องได้อย่างมีประสิทธิภาพ แนวคิดแคลคูลัส
ดั ้ ง เดิ ม ซึ ่ ง ตั ้ ง อยู ่ บ นสมมติ ฐ านของการเปลี ่ ย นแปลงที ่ ร าบเรี ย บและสามารถหาอนุ พ ั น ธ์ ไ ด้ ใน
ความหมายคลาสสิก ไม่เพียงพอในการวิเคราะห์การเคลื่อนไหวของราคาทรัพย์สินที่มีลักษณะ “ไม่
สามารถพยากรณ์ได้อย่างสมบูรณ์” ซึ่งเป็นธรรมชาติของข้อมูลทางการเงินในโลกแห่งความเป็นจริง
            แคลคูลัสสโตแคสติก (Stochastic Calculus) จึงได้รับการพัฒนาขึ้นมาเพื่อรองรับการ
วิ เ คราะห์ กระบวนการสุ ่ ม โดยเฉพาะในกรณี ข องการเคลื่ อนไหวแบบบราวเนีย น (Brownian
Motion) ซึ่งพบได้บ่อยในการจำลองราคาหลักทรัพย์ อัตราดอกเบี้ย และดัชนีทางเศรษฐกิจ แนวคิด
หลักในแคลคูลัสสโตแคสติก คือ บทตั้งของอิโต้ (Ito’s Lemma) ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญในการหา
ผลต่ างของฟั งก์ ช ั น ที ่ ขึ ้ น อยู ่ กั บ กระบวนการสุ่ มแบบต่ อเนื่ อ ง และเป็น รากฐานของการพั ฒ นา
แบบจำลองเชิ งสโตแคสติก เช่น แบบจำลอง Black-Scholes (Black & Scholes, ค.ศ.1973;
Merton, ค.ศ. 1973) และแบบจำลองอัตราดอกเบี้ย Vasicek และ CIR (Vasicek, ค.ศ. 1977; Cox,
Ingersoll & Ross, ค.ศ.1985)



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

208                                                                  อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

          นอกจากบทตั้งของอิโต้แล้ว บทนี้ยังนำเสนอ สมบัติมาร์ทิงเกล (Martingale Property)
และ การจำแนกส่วนประกอบดูบ–เมเยอร์ (Doob–Meyer Decomposition) ซึ่งเป็นแนวคิดสำคัญ
ในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่สนับสนุนการวิเคราะห์พฤติกรรมของกระบวนการสุ่มในบริบทของการเงิน
โดยเฉพาะในการกำหนดราคาสินทรัพย์ในโลกแห่งความเป็นกลางต่อความเสี่ยง (Risk-Neutral
World) การวิเคราะห์ดังกล่าวช่วยให้สามารถแยกพฤติกรรมของราคาทรัพย์สินออกเป็นองค์ประกอบ
ที่ส ามารถพยากรณ์ ได้ (Bounded Variation Component) และองค์ ป ระกอบที ่ ไม่ ส ามารถ
พยากรณ์ได้ (Martingale Component) ซึ่งมีบทบาทสำคัญต่อการสร้างแบบจำลองการเคลื่อนไหว
ของราคาทรัพย์สินที่สอดคล้องกับข้อมูลในเชิงสถิติ (Shreve, ค.ศ. 2004)
           อีกหนึ่งองค์ประกอบสำคัญที่กล่าวถึงในบทนี้ คือ ทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ (Girsanov’s
Theorem) ซึ่งเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่อนุญาตให้เปลี่ยนมาตรวัดความน่าจะเป็น (Change
Of Measure) จากโลกแห่งความเสี่ยง (Real-World Measure) ไปสู่โลกแห่งความเป็นกลางต่อ
ความเสี่ยง (Risk-Neutral Measure) ซึ่งเป็นแนวคิดสำคัญในการกำหนดราคาตราสารอนุพันธ์อย่าง
มีประสิทธิภาพในเชิงทฤษฎีและการประยุกต์ใช้จริง (Bjork, ค.ศ. 2009)
         การประยุกต์ใช้แคลคูลัสสโตแคสติกปรากฏให้เห็นในหลายสาขา ไม่เพียงแต่ในด้านการเงิน
การธนาคารเท่านั้น แต่ยังครอบคลุมถึงการประกันภัย การวิเคราะห์ระบบควบคุมแบบสุ่ม และ
วิศวกรรมการเงินที่ต้องการจำลองพฤติกรรมของราคาสินทรัพย์ที่มีลักษณะเปลี่ยนแปลงตามเวลา
อย่างไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์มูลค่าที่ความเสี่ยง (Value-At-Risk: VaR) การออกแบบ
อนุพันธ์ที่มีโครงสร้างซับซ้อน และการประเมินความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน
           กล่าวโดยสรุป บทที่ 6 มีวัตถุประสงค์เพื่อวางรากฐานทางทฤษฎีของแคลคูลัสสโตแคสติก
พร้อมนำเสนอเครื่องมือสำคัญ เช่น บทตั้งของอิโต้ สมบัติมาร์ทิงเกล ทฤษฎีบทการเปลี่ยนมาตรวัด
ความน่าจะเป็น และการจำแนกส่วนประกอบของกระบวนการสุ่ม ทั้งนี้เพื่อนำไปสู่ความเข้าใจและ
ความสามารถในการประยุกต์ใช้ในงานด้านการกำหนดราคาทางการเงินและการจัดการความเสี่ยงใน
บริบทที่มีความไม่แน่นอนอย่างแท้จริง



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                           209

6.1 บทนิยามของแคลคูลัสสโตแคสติก

           แคลคูลัสสโตแคสติก (stochastic calculus) เป็นหนึ่งในเครื่องมือหลักในคณิตศาสตร์
การเงิน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการพยากรณ์และจำลองความเสี่ยงทางการเงิน ในบริบทที่กระบวนการ
สุ่มแตกต่างจากการเคลื่อนไหวของราคาหลักทรัพย์ในเวลาที่ต่อเนื่อง ซึ่งมีลักษณะพิเศษที่แตกต่าง
จากการวิเคราะห์ที่มีอยู่ ส่วนหนึ่งเนื่องจากความสัมพันธ์ที่ซับซ้อนของความแปรผันในกระบวนการ
สุ่ม และผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงเพียงครู่ขณะหรือการเปลี่ยนแปลงในระยะสั้นๆที่สะสมขึ้น
เป็นผลที่มีนัยสำคัญในระยะยาว ซึ่งสามารถวัดได้โดยใช้เครื่องมือจากแคลคูลัสสโตแคสติก เช่น บท
ตั้งของอิโต้ (Ito's lemma) ทฤษฎีบทของกีร์ซานอฟ (Girsanov's theorem) และทฤษฎีการแทน
ของมาร์ทิงเกล (Martingale representation theorem) เป็นต้น
          แนวคิดของแคลคูลัสสโตแคสติก หรือ แคลคูลัสอิโต้ (stochastic calculus or Ito ’s
calculus ) มีแนวคิดที่คล้ายคลึงกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และเชิงปริพันธ์ปกติ ในแคลคูลัสปกตินั้น
สมมติว่า f t  เป็นฟังก์ชันที่อธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาค ณ เวลา t และอัตราการเปลี่ยนแปลง
ของการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่เวลา t ซึ่ง
                                                  dF (t )
                                                   dt
                                                           f (t , F (t ))             (6.1)
หรือเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น                       dF (t )  f (t , F (t ))dt           (6.2)
ยิ่งไปกว่านั้น หากอินทิเกรตสมการ (6.2) ตั้งแต่ 0 ถึง t จะได้
                                                      t

                                   F (t )  F (0)     f (s, F (s))ds                 (6.3)
                                                      0

         ในทำนองเดียวกันสำหรับแนวคิดของแคลคูลัสสโตแคสติกอาจเริ่มจากแบบจำลองราคาเวลา
ต่อเนื่องที่อธิบายการเคลื่อนที่ของราคาหุ้น S (t ) ซึ่งได้กล่าวถึงในบทที่ 2 คือ
                                  dS (t )     2                    dW (t )
                                             S (t )   S (t )                 (6.4)
                                   dt          2                     dt
                                                   2 
หรือเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น         dS (t )     S (t )dt   S (t )dW (t )    (6.5)
                                                   2 

เมื่อ W (t ) เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์ พิจารณาพจน์ของ dWdt(t ) เราทราบว่า
            t 0




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

210                                                                                     อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

                           dW  lim  wN (t  t )  wN (t )  W (t  dt ) W (t )
                                   N 
                                                                                                                     (6.6)
เป็นส่วนเพิ่ม (increment) ของตัวแปรเชิงสุ่ม W (t ) ด้วยลักษณะการเป็นการเดินสุ่มของ wN (t )
ทำให้ได้ว่า dWdt(t ) ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุก ๆ t  0
          เพื่อความสะดวกให้ Wt  W (t ) สมมติให้ f (t ) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ ถ้า dWdt(t )
หาอนุพันธ์ได้โดยกฎลูกโซ่ จะได้ว่า
                                              df             dW
                                                  f (Wt )  t
                                              dt              dt

นั่นคือ                                              df  f (Wt )dWt                                                (6.7)
แต่ในความจริง dWdt(t ) ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ดังนั้นการที่พยายามจะอธิบายสมบัติตามสมการ
(6.7) ด้วยแนวคิดของอนุพันธ์ปกติจึงดูไม่สมเหตุสมผลอย่างยิ่ง อย่างไรก็ตามหากพิจารณาการ
กระจายเทย์เลอร์ของ f จะได้ว่า
                                                                    2                       3
                                                            x                      x
                  f  x x  f  x  x f   x 
                                                               2!
                                                                        f   x 
                                                                                       3!
                                                                                                f   x         (6.8)
ดังนั้น สำหรับ x  Wt และส่วนเพิ่ม W t  t W t   Wt จะได้ว่า
                                                      2                           3
                                             Wt                       Wt 
                  f   Wt  f  Wt  
                                                2!
                                                          f  Wt  
                                                                             3!
                                                                                      f  Wt                   (6.9)
และเนื่องจาก Wt 2 t และทำให้ได้
                                                                    t 
                                   f   Wt  f  Wt                    f  Wt   o(t )                  (6.10)
                                                                        2!

เมื่อ o(t ) เป็นความคลาดเคลื่อนในเทอมของ t ที่มีกำลังที่สูงกว่ากำลัง 1 ดังนั้นเมื่อ t  0
จะได้ว่า
                                                               1
                                   df  f  Wt  dWt 
                                                               2
                                                                 f  Wt  dt                                      (6.11)




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                                           211




                                  รูปที่ 6.1 กราฟตัวแปรสุ่มบราวน์ W (t )

สมการ (6.12) เป็นที่รู้จักกันในชื่อ “บทตั้งของอิโต้ (Ito’s lemma)” ซึ่งเป็นสมการหลักในแคลคูลัสส
โตแคสติกหรือ แคลคูลัสอิโต้ (Ito’s calculus) สำหรับโดยทั่วไป ถ้ากำหนดให้ f (t , x) เป็นฟังก์ชัน
ของสองตั ว แปรที ่ มี ความเรี ย บ (smooth function) ซึ่งเป็น ฟังก์ช ัน ที่ห าอนุพัน ธ์ได้ทุกอันดับ
(infinitely diffirentiable function) สำหรับในแคลคูลัสปกติ เราได้ว่า
                                                f     f
                                         df 
                                                t
                                                   dt  dx
                                                       x
                                                                                                      (6.12)
                                                   f      f          1 2 f
แต่ในแคลคูลัสอิโต้ เราได้ว่า       df t , Wt  
                                                   t
                                                      dt 
                                                           x
                                                                dWt 
                                                                       2 x 2
                                                                              dWt 
                                                                                    2


                                                f 1  2 f 
                                                          dt  f dWt    (  dWt 2  dt )    (6.13)
                                                t 2 x 2         x


 ทฤษฎีบทที่ 6.1 (Ito’s lemma) กำหนดให้ f (t , x) เป็นฟังก์ชันของสองตัวแปรที่มีความเรียบ
 และกำหนดให้  X t t0 เป็นกระบวนการสุ่มซึ่ง dX t  t dt  t dBt สำหรับกระบวนการสุ่มบราวน์
 Bt t0 โดยที่ µt และ σ t เป็นอัตราดริฟท์และค่าความผันผวนที่เวลา t ≥ 0 จะได้ว่า
                                                    f     f t2  2 f  f
                                   df t , X t     t      2  dt      dBt                  (6.14)
                                                     t   x  2 x      
                                                                            x

 พิสูจน์ โดยใช้สมการ (6.13) และ Bt 2 t จะได้
                   f        f         1 2 f        2
 f t , X t        t   X t          X t   
                   t        x         2 x 2




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

212                                                                     อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
      f        f                        1 2 f                      2
        t   t t   t Bt        2  t
                                                   t   t Bt   
      t        x                        2 x
      f        f                   1 2 f 2
 
      t
         t   t t  t Bt  
                x                   2 x 2
                                                   2                                 2
                                                                                         
                                            t dt   2t t t Bt   t2 Bt   

      f        f                   1 2 f 2
 
      t
         t   t t  t Bt  
                x                   2 x 2        2
                                                                                    
                                            t t   2t t t Bt   t2 t   

      f   f 1 2  2 f        f
    t    t     2  t   Bt   o t 
    t    x 2   x             x

 เมื่อ o(t ) เป็นความคลาดเคลื่อนในเทอมของ t ที่มีกำลังที่สูงกว่ากำลัง 1
 ดังนั้นเมื่อ t  0 จะได้ว่า
                                      f     f t2  2 f  f
                     df t , X t     t      2  dt      dBt                                  
                                        t  x  2 x      x


             บทตั ้ งของอิ โ ต้ ถื อเป็ น หั ว ใจของคณิ ตศาสตร์ ก ารเงิ น สามารถหาผลต่ างเชิ ง อนุ พ ั น ธ์
(differential) ของฟั ง ก์ ช ั น ที ่ เ ป็ น กระบวนการสโตแคสติ ก ช่ ว ยให้ ส ามารถวิ เ คราะห์ ไ ด้ ว่ า
กระบวนการสโตแคสติกหนึ่ง ๆ จะเปลี่ยนแปลงอย่างไร นอกจากนี้บทตั้งของอิโต้ยังถูกนำไปใช้ใน
การสร้างและแก้สมการความแปรปรวนสำหรับตราสารการเงินที่สำคัญ ได้แก่ การแสดงว่าราคาตรา
สารทางการเงินเป็นกระบวนการสโตแคสติก และใช้ทฤษฎีบทนี้เพื่อหาสมการของการเปลี่ยนแปลง
ของราคา

 บทนิยามที่ 6.2 กำหนดให้ f (t , x) และ g (t , x) เป็นฟังก์ชันของสองตัวแปรที่มีความเรียบ และ
 กำหนดให้ F (t , x) เป็นฟังก์ชันสองตัวแปรซึ่ง dF  f t , Bt  dt  g t , Bt  dBt จะเรียก F (t , x) ว่า
                                                            t                t
 “ปริพันธ์สโคแคสติก” และเขียนแทนด้วย F t , Bt    f s, Bs  ds   g s, Bs  dBs
                                                            0                0


                                                                                     t
 ตัวอย่างที่ 6.1 กำหนดให้ Bt t0 เป็นกระบวนการสุ่มบราวน์ จงหาค่าของ  dBs
                                                                                     0

                                                                        2
 วิธีทำ พิจารณาฟังก์ชัน f (t , x)  x จะได้ ft  0 , fx  1 ,  2f  0
                                                                      x




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                                                 213
                                                  2   
 เนื่องจาก df t , Bt    ft  12  2f  dt  fx dBt จะได้
                                              x 

                     df t , Bt   0  0 dt  (1) dBt  dBt
                                           t                   t
 เนื่องจาก B0  0 ทำให้ได้  dBs   df s, Bs    Bs t0  Bt  B0  Bt                                  
                                           0                   0


                                                                                                     t
 ตัวอย่างที่ 6.2 กำหนดให้ Bt t0 เป็นกระบวนการสุ่มบราวน์ จงหาค่าของ  Bs dBs
                                                                                                     0

                                                                                            2
 วิธีทำ พิจารณาฟังก์ชัน f (t , x)  12 x2 จะได้ ft  0 , fx  x ,  2f  1
                                                                                           x
                                                  2   
 เนื่องจาก df t , Bt    ft  12  2f  dt  fx dBt
                                              x 
                                       1                1
 จะได้              df t , Bt   0   dt  Bt dBt  dt  Bt dBt
                                      2                2
                      t                        t                   t
                                                   1
                         df  s, Bs            2
                                                     ds        B dB      s       s
                     0                         0                   0

                                          t                            t
                              1      2     s t
                                Bs      
                               2      0  2  0                   B dB  s       s
                                                                       0
                                                           t
                  1       2 1      2 t
                  2
                     Bt    B0   
                            2        2                      B dB      s       s
                                                           0
                                     t
 เนื่องจาก B0  0 ดังนั้น  Bs dBs  1  Bt 2  t                                                           
                                                           2                       2
                                     0


                                                                                                     t   t
 ตัวอย่างที่ 6.3 กำหนดให้ Bt t0 เป็นกระบวนการสุ่มบราวน์ จงหาค่าของ  ds    dBs
                                                                                                     0   0

                                                                                                 2
 วิธีทำ พิจารณาฟังก์ชัน f (t , x)  t   x จะได้ ft   , fx   ,  2f  0
                                                                                                x
                                                  2   
 เนื่องจาก df t , Bt    ft  12  2f  dt  fx dBt จะได้
                                              x 

                     df t , Bt     0 dt   dBt  dt   dBt

 เนื่องจาก B0  0 ทำให้ได้

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

214                                                                                  อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
            t             t                   t
                                                                           t         t
            ds   dB   df s, B    f s, B   s   B   t   B
                                  s                       s        s       0       s 0           t                  
            0             0                   0



 ตัวอย่างที่ 6.4 กำหนดให้ Bt t0 เป็นกระบวนการสุ่มบราวน์ จงหาค่าของ
  t                          t
           2
        es  Bs ds  es  Bs dB
    
      
             
           2                            s
  0                          0

 วิธีทำ พิจารณาฟังก์ชัน f (t , x)  et  x จะได้ ft  et  x , fx   et  x ,
 2 f
           2 et  x
  x 2
                                                 2   
 เนื่องจาก df t , Bt    ft  12  2f  dt  fx dBt
                                       x 
                                   2
                                   
 จะได้      df t , Bt     et  Bt dt   et  Bt dBt
                                 2 
  t                          t
           2
        es  Bs ds  es  Bs dB   es  Bs  t  et  Bt  e B0
    
      
             
           2                            s             0
  0                          0
                                          t                            t
                                                     2
 เนื่องจาก B0  0 จะได้      es B ds   es B dBs  et  B 1
                                                              s                s             t
                                                                                                                  
                                                     2
                                          0                            0




6.2 สมบัติของแคลคูลัสสโตแคสติก

        ในหัวข้อนี้ กล่าวถึงสมบัติพื้นฐานของการวิเคราะห์และคำนวณในระบบที่มีความไม่
 แน่นอน โดยเฉพาะการจัดการกับสมการที่มีพจน์สุ่มเข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งต่างจากแคลคูลัสทั่วไป
 การดำเนินการเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลในที่นี้ต้องอิงกับกฎเฉพาะ เช่น กฎของอิโต้ เพื่อรองรับ
 พฤติกรรมของกระบวนการบราวน์และตัวแปรสุ่มอื่น ๆ ในตัวแบบทางคณิตศาสตร์และการเงิน

 ทฤษฎีบทที่ 6.3 กำหนดให้ Bt t0 เป็นกระบวนการสุ่มบราวน์ และกำหนดให้ g (t ) เป็นฟังก์ชัน
                                                                                                      t
 ไม่เชิงสุ่ม สมมติให้ It t0 เป็นกระบวนการสุ่มซึ่ง dIt  g (t )dBt นั่นคือ It   g (s)dBs โดย
                                                                                                      0

 ที่ I (0)  0 จะได้ ว ่ า สํ า หรั บ ทุ ก ๆ t  0 , ตั ว แปรสุ่ม It มีการแจกแจงแบบปกติ (normal
 distribution)


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                                                 215

 บทนิยามที่ 6.4 กำหนดให้  X t t0 เป็นกระบวนการสุ่ม จะเรียกกระบวนการสุ่ม  At t0 ว่า
 “กระบวนการสุ่มปรับตัวตาม (adapted process)” เทียบกับตัวแปรสุ่ม X t เมื่อ At ตัวแปรสุ่มที่
 ขึ้นกับเพียง X s สำหรับทุก ๆ s  t เท่านั้น

          กำหนดให้  X t t0 เป็นกระบวนการสุ่ม ตัวอย่างกระบวนการสุ่มปรับตัวตาม เช่น
          1) At  X t
          2) At  min  X t , c สำหรับบางค่าคงที่ c
          3) At  0max
                   t T
                         Xt 

          4) ถ้า  เป็นเวลาการหยุด (stopping time) แล้ว At  X  กระบวนการสุ่มปรับตัวตาม

            กระบวนการสุ่มปรับตัวตามนั้นใช้ในการอธิบายกระบวนการสุ่มที่ทุกตัวอย่างของการ
สั ง เกตในขั ้ น เวลา t สามารถคํ า นวณได้ จ ากข้ อ มู ล ที ่ ร ู ้ ม าก่ อ นหน้ า นี ้ หรื อ ที ่ เวลา t นั ่ น เอง
กระบวนการปรับตัวตามมีความสำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็นและมีการนำไปใช้ในหลายสาขา
รวมถึงทฤษฎีควบคุม ทฤษฎีความน่าจะเป็น และคณิตศาสตร์การเงิน สำหรับในคณิตศาสตร์การเงิน
กระบวนการปรับตัวตามองค์ประกอบที่สำคัญในตัวแบบต่างๆ เช่น การกำหนดราคาหุ้น (model of
a stock price) ซึ่งระบุว่าราคาของหุ้นเป็นฟังก์ชันของข้อมูลที่มีในการกรอง (filter) นั่นคือ ราคาหุ้น
ไม่ ส ามารถข้ า มข้ อ มู ล ที ่ ม ี อ ยู ่ ใ นการกรอง สมบั ต ิ ม าร์ ท ิ ง เกล (Martingale)เป็ น ตั ว อย่ า งของ
กระบวนการปรับตัวตามในการสังเกตและการพยากรณ์ที่ไม่แน่นอน ในทฤษฎีการหยุดที่เลือกได้
(optional stopping theorem : ost) ซึ่งเป็นทฤษฎี ทางความน่ าจะเป็น ที่ใช้ ในการวิเ คราะห์
Martingales และขั้นตอนสุ่มที่สามารถหยุดได้ ทฤษฎีนี้ได้รับการสร้างขึ้นเพื่อตอบคำถามว่า “ใน
กรณีที่มีการสุ่มการหยุด (random stopping time) ของการดำเนินการค่าคาดหมายที่ได้จากการ
หยุดนี้คืออะไร" ซึ่งมีความสำคัญเฉพาะเมื่อเราพิจารณามาร์ทิงเกลที่เราสามารถหยุดการดำเนินการ
ได้ตามความต้องการ ทฤษฎีนี้มีผลในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของสถานการณ์ที่สามารถสุ่มการ
หยุดได้ เช่น การเล่นพนัน คณิตศาสตร์การเงิน เป็นต้น ซึ่งมีประโยชน์ในการให้ความเข้าใจและ
พยากรณ์พฤติกรรมของกระบวนการสุ่มต่าง ๆ

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

216                                                                                    อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

 ทฤษฎี บ ทที ่ 6.5 (Ito ’s isometry) กํ า หนดให้ Bt t0 เป็ น กระบวนการสุ ่ ม บราวน์ และ
 กำหนดให้  At t0 กระบวนการสุ่มปรับตัวตามเทียบกับ Bt จะได้ว่า
                                                        2
                                            t        
                                                       
                                                                  t
                                                                 
                                                                             
                                                                             
                                             
                                                                  
                                                                        2
                                        E  As dBs    E   As  ds 
                                                       
                                                                                                                 (6.15)
                                                                     
                                           0                   0        


             Ito's isometry มีความสำคัญอย่างยิ่งในการวิเคราะห์การกระจายตัวของกระบวนการ
ทางการเงินที่สะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงของราคาหลักทรัพย์ตามเวลา ซึ่งมักจะเป็นกระบวนการสุ่ม
ที่คล้ายกับการเคลื่อนไหวของการเคลื่อนที่บราวน์ Ito's isometry ใช้ในการจำแนกฟังก์ชันของ
กระบวนการอิโต้ การจำแนกส่วนประกอบดู บ-เมเยอร์ และช่วยในการคำนวณความแปรปรวน
(variance) ของกระบวนการอิโต้โดยจำแนกส่วนเป็นส่วนประกอบที่เป็นมาร์ทิงเกลและส่วนประกอบ
ของการแปรผันจำกัด (bounded variation)
                                                                          t      2 
                                                                         
 ตัวอย่างที่ 6.5 กำหนดให้ Bt t0 เป็นกระบวนการสุ่มบราวน์ จงหาค่าของ E  dBs              
                                                                           0    
                                                                                        
 วิธีทำ วิธีที่1) วิธีโดยตรง จากตัวอย่างที่ 6.1 และ E  Bt 2   t เราได้ว่า
                      t                t 2                t     2 
                                                            
                        dBs  Bt   dBs    Bt   E  dBs    E  Bt    t
                                                      2                                 2
                                       
                                           
                                                          0
                                                                      
                                                                      
                                                                                        
                      0                 0
                                                                        
           วิธีที่2) วิธีใช้ Ito isometry เนื่องจาก At  1 เป็นตัวแปรสุ่มปรับตัวตาม
                              t       2       t      
                                      
                                                         
           ดังนั้น        E  1dBs    E  1 ds   E  s 0   E t   t
                                                      2                t
                              
                             0
                                        
                                               
                                                                      
                                                                                                                     
                                                  0     
                                          

                                                                          t         
 ตัวอย่างที่ 6.6 กำหนดให้ Bt t0 เป็นกระบวนการสุ่มบราวน์ จงหาค่าของ E   Bs  ds
                                                                                2
                                                                                                     
                                                                                    
                                                                          0        

 วิธีทำ เนื่องจาก At  Bs ตัวแปรสุ่มปรับตัวตาม โดย Ito isometry
    t                t               2 
                                  
                                       
 E   Bs  ds   E   Bs  dBs  
           2
                    0
                                      
                                         
    0        
                                           


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                                217

 และจากตัวอย่างที่ 6.2
                   t                                t        2
                               1         t                      1        1           t2
                                                   Bs dBs    Bt    Bt  t 
                                      2                                  4        2
                      Bs dBs   Bt  
                               2         2                 
                                                                 4        4            4
                   0                                    0

 เนื่องจาก E  Bt 2   t ดังนั้น
                          t        2 
                                              1         1           t2    t2 t2 t2
                       E  Bs dBs    E   Bt    Bt  t 
                                                        4        2
                          
                           0
                                       
                                               4      2            4
                                                                               0
                                                                             4 2 4
                                                                            
                                         
                          t         
                                    
 ผลที่ตามมา คือ           
                                 2
                       E   Bs  ds   0                                                   
                                    
                          0        



6.3 สมบัติมาร์ทิงเกลและการจำแนกส่วนประกอบดูบ-เมเยอร์

          ในหัวข้อนี้กล่าวถึงสมบัติมาร์ทิงเกล (Martingale property) เป็นสมบัติทางสถิติที่บ่งบอก
ถึงความคาดหวังของตัวแปรสุ่มในอนาคตที่จะมีค่าเท่ากับค่าปัจจุบันของตัวแปรสุ่มนั้น โดยไม่สนใจ
ค่าที่เกิดขึ้นในอดีต สมบัตินี้เป็นส่วนสำคัญในการคำนวณความน่าจะเป็นและการตั้งราคาสิน ค้า
อนุพันธ์ ถัดไปจะกล่าวถึงการจำแนกส่วนประกอบดูบ-เมเยอร์ (Doob-Meyer decomposition) ซึ่ง
เป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้กับสมบัติของฟังก์ชันมาร์ทิงเกลการจำแนกส่วนประกอบดูบ-เมเยอร์
เป็นวิธีการจำแนกส่วนประกอบของมาร์ทิงเกลออกเป็นส่วนของ "การเปลี่ยนแปลงที่พยากรณ์ได้"
(predictable change) และ "การเปลี่ยนแปลงที่พยากรณ์ไม่ได้" (unpredictable change) โดยที่
การเปลี่ยนแปลงที่พยากรณ์ไม่ได้นี้มีคุณสมบัติมาร์ทิงเกล ตามทฤษฎีดูบ-เมเยอร์ ฟังก์ชันมาร์ทิงเกล
สามารถแยกส่วนประกอบออกเป็น "พจน์ดริฟท์" (drift term) และ “พจน์รบกวน” (noise term)
หรือบางทีเรียกว่า “พจน์การกระโดด” (jump term) โดยที่พจน์ดริฟท์คือส่วนหนึ่งของสมการเชิง
อนุพันธ์สโตแคสติกที่แสดงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตามแนวโน้มหลักที่สามารถพยากรณ์ได้ เช่น
การเติบโตเฉลี่ยของราคาสินทรัพย์เมื่อไม่มีปัจจัยสุ่มเข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งสามารถคำนวณได้จากข้อมูล
ในอดีต ในขณะที่พจน์รบกวน คือส่วนหนึ่งของสมการที่เกิดจากความแปรปรวนแบบสุ่ม มักเกี่ยวข้อง
กับกระบวนการบราวน์ ใช้แทนความไม่แน่นอนหรือปัจจัยที่ไม่สามารถพยากรณ์ล่วงหน้าได้ในระบบ

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

218                                                                       อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

การจำแนกส่วนประกอบดูบ-เมเยอร์ เป็นเครื่องมือที่สำคัญในการวิเคราะห์การเคลื่อนไหวของตัว
แปรสุ่มที่มีสมบัติมาร์ทิงเกล พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติกในรูป
                                          dX t σ t dZ t + µt dt
                                          =                                                           (6.16)

โดยที่ µt และ σ t เป็นอัตราดริฟท์และค่าความผันผวนที่เวลา t ≥ 0
สมการ (6.16) สามารถเขียนในรูปปริพันธ์ท่สี มนัยกัน คือ
                                      t             t
                          X t = X 0 + ∫ σ s dZ s + ∫ µ s ds ≡ X 0 + M t + Bt                          (6.17)
                                      0             0

              t                            t
โดยที่ M = ∫ σ dZ และ
          t       s   s             Bt = ∫ µ s ds       เป็นส่วนประกอบการจำแนกของ X t ซึ่งเป็นที่รู้จัก
              0                            0


โดยทั่วไปในชื่อ “การจำแนกส่วนประกอบดูบ-เมเยอร์” ในที่นี้ต้องการวิเคราะห์แต่ละส่วนประกอบ
ของ X t โดยจะแสดงว่า M t มีสมบัติมาร์ทิงเกล นั่นคือ จะต้องแสดงว่า

                                   Et [ M T ] = M t สำหรับทุกๆ T > t                                 (6.18)

เมื่อ Et แทนตัวดำเนินการค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนดข้อมูลในอดีตจนถึงเวลา t




                              รูปที่ 6.2 กราฟกระบวนการสุ่มบราวน์ X             t




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                           219

กราฟด้านบนคือกราฟตัวอย่างของกระบวนการสุ่มบราวน์จำนวน 6 เส้นทาง ที่แสดงการเคลื่อนที่
แบบสุ่มเมื่อเวลา t เพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง 1 โดยแต่ละเส้นทางเริ่มต้นที่ตำแหน่ง 0 และกระจายตัวแบบ
สุ่มตามการแจกแจงปกติ
หมายเหตุ ตัวอย่างโค้ดในภาษาไพธอน สำหรับการวาดกราฟกระบวนการสุ่มบราวน์
 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt
 # ตั้งค่าเริ่มต้น
 np.random.seed(0) # สำหรับผลลัพธ์ที่สามารถทำซํ้าได้
 T = 1.0           # เวลารวม
 N = 500            # จำนวนขั้นเวลา
 dt = T / N         # ขนาดช่วงเวลา
 t = np.linspace(0, T, N)
 # จำนวนเส้นทางสุม่
 M=6
 # สร้างเส้นทางของกระบวนการบราวน์
 W = np.zeros((M, N))
 for i in range(M):
    W[i, 1:] = np.cumsum(np.sqrt(dt) * np.random.randn(N - 1))
 # วาดกราฟ
 plt.figure(figsize=(10, 6))
 for i in range(M):
    plt.plot(t, W[i], label=f'Path {i+1}')
 plt.title('Sample Paths of Brownian Motion')
 plt.xlabel('Time $t$')
 plt.ylabel('Position $W(t)$')
 plt.grid(True)
 plt.axhline(0, color='brown', linestyle='--', linewidth=0.7)
 plt.axvline(0, color='brown', linestyle='--', linewidth=0.7)
 plt.legend()
 plt.tight_layout()
 plt.show()

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

220                                                                                              อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

 โดยสมบัติมาร์ทิงเกลสามารถแสดงให้เห็นได้จากการพิจารณา M T ในรูป
                                            T
                                                                                 T              
                               M= M + ∫ σ dZ และ Et  ∫ σ s dZ s  = 0
                                   T    t       s         s
                                            t                                    t              

ดังนั้นจึงได้ว่า E [ M ] = M สำหรับทุกๆ T > t
                 t     T       t




นอกจากนี้สำหรับ t > s เนื่องจากความเป็นอิสระของ dZ s ยังได้อีกว่า

                      Et [σ s dZ s ] E=
                      =                  Es [σ s dZ s ] Et  Es=
                                      t                           [σ s ] Es [ dZ s ] 0                                    (6.19)
                                                              n                              t
                                                                                 2
ยิ่งไปกว่านั้น                                      lim ∑ ∆M j =
                                                    n →∞       ∫ σ s ds
                                                                   2
                                                                                                                            (6.20)
                                                              j =1                           0


ส่วนประกอบ       Mt        นี้เรียกว่า “ส่วนประกอบมาร์ทิงเกล (Martingale component)” ของ
                                                                  t
กระบวนการอิโต้ X t สำหรับส่วนประกอบ B = ∫ µ ds จะได้ว่า
                                                      t                      s
                                                                  0
                                                                      n
                                                                                     2
                                                      lim ∑ ∆B j =
                                                                 0 (vanishing quadratic variation)
                                                      n →∞
                                                                      j =1

                                                                  n                      t
และ                                                 lim ∑ ∆B j =
                                                    n →∞       ∫ µs ds                                                     (6.21)
                                                               j =1                      0

      t
เมื่อ ∫ µ ds มีค่า ส่วนประกอบ Bt นี้เรียกว่า “ส่วนประกอบของการแปรผันจำกัด (bounded
          s
      0


variation component)” ของกระบวนการอิโต้ X t ซึ่งเป็นส่วนที่บ่งบอกว่า X t มีการเปลี่ยนแปลง
ของค่าที่อยู่ภายในขอบ เขตที่กำหนดหรือไม่เกินค่าที่กำหนดไว้ โดยเป็นส่วนของกระบวนสุ่มที่
สามารถพยากรณ์หรือพยากรณ์ได้จากข้อมูลที่มีอยู่แล้ว

ทฤษฎีบท 6.6 (มาร์ทิงเกลในรูปชี้กำลัง) กำหนดให้ µt และ σ t เป็นฟังก์ชันอัตราดริฟท์และฟังก์ชัน
ค่าความผันผวน ที่สอดคล้องกับกระบวนการเคลื่อนที่บราวน์ Zt จะได้ว่ากระบวนการสโตแคสติก St
สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก

                                        =dSt St (σ t dZ t + µt dt )                                                          (6.22)

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                                                                221
                                                                 t               t        t
                                                                             1
                                                                 ∫ σ s dZ s − 2 ∫ σ s ds + ∫ µs ds
                                                                                     2


ก็ต่อเมื่อ                 =St S 0 e 0                                           0        0
                                                                                                     ≡ S0 At M t   (6.23)
               t                       t               t
                                                   1
               ∫ µs ds                 ∫ σ s dZ s − 2 ∫ σ s ds
                                                           2


เมื่อ At = e   0
                         และ M t = e   0               0




บทนิยามที่ 6.7 (เงื่อนไขของโนวิคอฟ : Novikov's Condition) กำหนดให้ W (t ) เป็นกระบวนการ
บราวน์มาตรฐาน (Standard Brownian Motion) บนช่วงเวลา [0, T ] และให้ θ (t ) เป็นฟังก์ชันที่
มีการปรับตัวได้ (adapted process) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดค่าบน [0, T ] ถ้า
                                                       1 T             
                                                  exp  ∫ θ 2 ( s ) ds   < ∞,
                                                       2 0             
เรากล่าวว่า θ (t ) สอดคล้องกับเงื่อนไขของโนวิคอฟ (Novikov's condition)
ในกรณีที่เงื่อนไขข้างต้นเป็นจริง จะได้ว่า กระบวนการต่อไปนี้
                                     t                     1 t             
                                exp  − ∫ θ ( s ) dW ( s ) − ∫ θ 2 ( s ) ds 
                         Z (t ) =
                                        0                  2 0
                                                                            
เป็นมาร์ทิงเกลที่ไม่ลบ (non-negative martingale) บนช่วง [0, T ]

 ตัวอย่างที่ 6.7 ( การวิเคราะห์สมบัติมาร์ทิงเกลและการจำแนกส่วนประกอบดูบ–เมเยอร์)
 พิจารณากระบวนการสโตแคสติก X (t ) ที่นิยามโดยสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก ดังนี้
                                           dX (t ) µ X (t ) dt + σ X (t ) dW (t )
                                           =
 โดยที่ W (t ) คือกระบวนการบราวน์มาตรฐาน จงตอบคำถามต่อไปนี้
    1) (สมบัติมาร์ทิงเกล) แสดงว่า M (t ) = exp  − 1 σ 2t − σ W (t ) 
                                                                          2                                 
     เป็นกระบวนการมาร์ทิงเกลภายใต้ฟิลเตรชันของ W (t )
     2) (การจำแนกส่วนประกอบดูบ–เมเยอร์) พิจารณากระบวนการ X (t ) ดังกล่าว
             2.1) เขียน X (t ) ในรูปการแยกองค์ประกอบระหว่าง bounded variation component
 และ martingale component
             2.2) อธิบายว่าพจน์ใดเป็นส่วนที่สามารถพยากรณ์ได้ และพจน์ใดเป็นส่วนที่ไม่สามารถ
 พยากรณ์ได้

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

222                                                                  อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

      3) การจำลองและประยุกต์ใช้งานจริง
        3.1) แสดงกราฟของแต่ละเส้นทางจากการจำลองเส้นทางของกระบวนการ X (t ) จำนวน
 6 เส้นทาง ตั้งแต่ t = 0 ถึง t = 1 โดย µ = 0.05 , σ = 0.2 , X (0) = 1
        3.2) แสดงการเปรียบเทียบระหว่างพจน์ drift และพจน์ martingale จากผลการจำลอง
        3.3) วิ เ คราะห์ ว ่ า เหตุใดการแยกองค์ ป ระกอบของกระบวนการแบบดูบ–เมเยอร์จึงมี
 ความสำคัญในการตั้งราคาสินค้าอนุพันธ์
 วิธีทำ การวิเคราะห์สมบัติมาร์ทิงเกลและการจำแนกส่วนประกอบดูบ--เมเยอร์
 กำหนดให้=  dX (t ) µ X (t ) dt + σ X (t ) dW (t ) โดยที่ W (t ) คือกระบวนการบราวน์มาตรฐาน

 ข้อที่ 1) แสดงว่า M (t ) = exp  − 1 σ 2t − σ W (t )  เป็นมาร์ทิงเกล
                                  2                  
 พิจารณาฟังก์ชันชี้กำลังของการเคลื่อนที่บราวน์ M (t ) = exp  − 1 σ 2t − σ W (t ) 
                                                                 2                   
 จะตรวจสอบว่า M (t ) เป็นมาร์ทิงเกล โดยใช้เงื่อนไขของโนวิคอฟ หาก
                                         1 T              
                                 exp  ∫ θ 2 ( s ) ds   < ∞,
                                         2 0              
                          t                     1 t             
                     exp  − ∫ θ ( s ) dW ( s ) − ∫ θ 2 ( s ) ds  จะเป็นมาร์ทิงเกล
 แล้วฟังก์ชนั Z (t ) =
                          0                     2 0             
 ในกรณีนี้ θ (t ) = σ เป็นค่าคงที่ ดังนั้น
                                  1 T 2         1     
                            exp  =
                             
                                     ∫
                                  2 0
                                       σ ds   exp  σ 2T  < ∞
                                                  2     
 ซึ่งเป็นจริงสำหรับทุก σ ∈  และ T < ∞ ดังนั้น M (t ) เป็นมาร์ทิงเกล
 ข้อที่ 2) การจำแนกส่วนประกอบดูบ--เมเยอร์ของ X (t )
 เริ่มจากสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก=dX (t ) µ X (t )dt + σ X (t )dW (t )
 นำมาเขียนในรูปปริพันธ์
                                             t              t
                                X (0) + ∫ µ X ( s ) ds + ∫ σ X ( s ) dW ( s )
                         X (t ) =
                                             0             0

 แยกเป็น 2 ส่วน
             t
 ส่วนที่1) ∫0 µ X ( s) ds ซึ่งเป็นส่วนของการแปรผันจำกัดและเป็นส่วนที่สามารถพยากรณ์ได้จาก
 ข้อมูลในอดีต

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                                223
            t
 ส่วนที่2) ∫0 σ X ( s) dW ( s) ซึ่งเป็นส่วนของมาร์ทิงเกลและเป็นส่วนที่ไม่สามารถพยากรณ์ได้
 ดังนั้น การจำแนกส่วนประกอบดูบ--เมเยอร์ของ X (t ) คือ
                                             t              t
                                X (0) + ∫ µ X ( s )ds + ∫ σ X ( s )dW ( s )
                         X (t ) =
                                   
                                         0
                                                     0
                                                               
                                      bounded variation            martingale

 ข้อที่ 3) การจำลองและการประยุกต์
 พิจารณาการประมาณเชิงตัวเลขโดยใช้วิธีออยเลอร์–มารุยามะ (Euler--Maruyama scheme)
                                  X i +1= X i + µ X i ∆t + σ X i ∆Wi
 โดยที่ ∆Wi ~  (0, ∆t ) ค่าเริ่มต้น X 0 = 1
 ในที่นี้เราจะจำลอง 6 เส้นทางของ X (t ) และสามารถแยกค่าของแต่ละช่วงเวลาออกเป็น 2 ส่วน
 พจน์ดริฟท์: µ X i ∆t (พยากรณ์ได้)
 พจน์รบกวน: σ X i ∆Wi (ไม่สามารถพยากรณ์ได้ ได้จาการสุ่ม)




 กราฟด้านบนแสดงการจำลอง 6 เส้นทางของกระบวนการ X (t ) โดยใช้วิธีออยเลอร์–มารุยามะ
 สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก
                                 µ X (t ) dt + σ X (t ) dW (t ),
                         dX (t ) =                                     X (0) =
                                                                             1
     •    แต่ละเส้นเริ่มต้นจากค่าเดียวกันที่ X (0) = 1
     •    ค่ากลางของเส้นทางมีแนวโน้มเพิ่มขึ้นตามพจน์ดริฟท์ ( µ = 0.05 )


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

224                                                                        อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

      •   ความกระจายของแต่ละเส้นเกิดจากพจน์รบกวน ( σ = 0.2 ) ที่สะท้อนความไม่แน่นอน
          จากการเคลื่อนที่แบบบราวน์
 จากกราฟของการจำลองสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติกทำให้เราเห็นลักษณะสำคัญ 2 ประการคือ
    1) แนวโน้มเฉลี่ยของเส้นทางจะสูงขึ้นเรื่อย ๆ ซึ่งเกิดจาก พจน์ดริฟท์ที่เป็นส่วนของสมการที่
       กำหนดทิศทางการเปลี่ยนแปลงแบบคงที่ เช่น ถ้าพจน์ดริฟท์เป็นบวก เส้นทางส่วนใหญ่
       จะไต่ขึ้น
    2) เส้นทางแต่ละเส้นจะกระจายออกจากกัน แม้จะเริ่มต้นจากจุดเดียวกัน เพราะมีผลของ
       พจน์ ร บกวนจากกระบวนการบราวน์ ซึ ่ งเป็น ส่ว นสุ่ม ทำให้แต่ล ะเส้น มีการสั่น หรือ
       เคลื่อนไหวไม่เหมือนกัน                                                          


หมายเหตุ วิธีออยเลอร์–มารุยามะ (Euler–Maruyama scheme) เป็นวิธีเชิงตัวเลขที่ใช้ในการ
ประมาณคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก (SDEs) โดยขยายมาจากวิธีออยเลอร์ (Euler's
method) ที่ใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดา (ODEs)
พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติกในรูปทั่วไป
                           dX (t ) a ( X (t ), t ) dt + b( X (t ), t ) dW (t )
                           =
โดยที่ W (t ) เป็นกระบวนการบราวน์มาตรฐาน
วิธีออยเลอร์–มารุยามะ จะประมาณค่าของ X (t ) บนกริดเวลา t0 , t1 ,…, tn ที่ ∆t= ti +1 − ti โดย
ใช้สูตร
                             X i +1= X i + a ( X i , ti ) ∆t + b( X i , ti ) ∆Wi
เมื่อ ∆Wi ~  (0, ∆t )

 ตัวอย่างโค้ดไพธอนสำหรับวิธีออยเลอร์–มารุยามะ
 \begin{verbatim}
 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt
 # พารามิเตอร์
 mu = 0.05
 sigma = 0.2

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                              225

 T = 1.0
 N = 500
 dt = T / N
 t = np.linspace(0, T, N+1)
 # สร้างเส้นทางของ W(t)
 np.random.seed(0)
 dW = np.random.normal(0, np.sqrt(dt), N)
 W = np.concatenate(([0], np.cumsum(dW)))
 # เริ่มต้นค่า X
 X = np.zeros(N+1)
 X[0] = 1.0 # ค่าเริ่มต้น
 # Euler–Maruyama
 for i in range(N):
    X[i+1] = X[i] + mu * X[i] * dt + sigma * X[i] * dW[i]
 # แสดงผล
 plt.figure(figsize=(10, 5))
 plt.plot(t, X, label='Euler–Maruyama Approximation')
 plt.title('Sample Path of SDE using Euler–Maruyama')
 plt.xlabel('Time')
 plt.ylabel('X(t)')
 plt.grid(True)
 plt.legend()
 plt.tight_layout()
 plt.show()
 \end{verbatim}
 \end{remark}



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

226                                                                    อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

การประยุกต์: การแยกส่วนของดูบ–เมเยอร์
การแยกสมการออกเป็น พจน์ดริฟท์ และ พจน์รบกวน ตามแนวคิดของการจำแนกส่วนประกอบดูบ–
เมเยอร์ มีประโยชน์สำคัญใน 2 ด้าน ดังนี้
      1) การกำหนดราคาสินค้าอนุพันธ์: ในการตั้งราคาสินค้าอนุพันธ์ เช่น ออปชันหรือฟิวเจอร์ส
         เราสามารถใช้ พ จน์ ด ริ ฟ ท์ ซึ ่ ง เป็ น ส่ ว นที ่ พ ยากรณ์ ไ ด้ ข องสมการ เพื ่ อ ประมาณ “ค่ า
         คาดหมาย” ของราคาในอนาคต ขณะเดียวกัน พจน์รบกวน ซึ่งเกิดจากความไม่แน่นอนหรือ
         ความผั น ผวนในตลาด จะสะท้ อ น “ความเสี ่ ย ง” ที ่ ไ ม่ ส ามารถควบคุ ม ได้
         การแยกทั้งสองพจน์นี้ทำให้การกำหนดราคามีความแม่นยำและมีเหตุผลทางคณิตศาสตร์
         มากขึ้น
      2) การบริหารความเสี่ยง: พจน์ดริฟท์แทนความเสี่ยงที่สามารถพยากรณ์และวางแผนรับมือได้
         เช่น ทิศทางของแนวโน้มราคาหรืออัตราดอกเบี้ย ส่วนพจน์รบกวนแทนความเสี่ยงที่เกิดจาก
         เหตุการณ์สุ่ม เช่น ความผันผวนของตลาดที่ไม่สามารถควบคุมได้โดยตรง การแยกสองพจน์
         นี้ช่วยให้นักลงทุนสามารถออกแบบกลยุทธ์ในการป้องกันความเสี่ยง (hedging) ได้อย่างมี
         ประสิทธิภาพ โดยมุ่งจัดการกับพจน์ดริฟท์ และยอมรับความไม่แน่นอนจากพจน์รบกวน
สรุปคือ การแยกสมการออกเป็นพจน์ดริฟท์และพจน์รบกวน ช่วยให้เราวิเคราะห์ เข้าใจ และใช้
ประโยชน์จากตัวแบบทางการเงินได้อย่างมีประสิทธิภาพทั้งในด้านการตั้งราคาและการบริหารความ
เสี่ยง
6.4 ทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ

           ทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ (Girsanov theorem) เป็นหลักการทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ
วิธีการปรับเปลี่ยนการวัดความน่าจะเป็น (change of measure) ในกระบวนการเคลื่อนที่บราวน์ซึ่ง
เป็นกระบวนการสโตแคสติกที่สำคัญในการพยากรณ์การเคลื่อนไหวของราคาหลักทรัพย์หรือการ
พยากรณ์ราคาของตราสารอนุพันธ์การเงิน ทฤษฎีบทกีร์ซานอฟช่วยให้เราสามารถเปลี่ยนตัววัดความ
น่าจะเป็นในโลกที่มีความเสี่ยงเป็นตัววัดความน่าจะเป็นในโลกที่ไม่มีความเสี่ยงหรือตัววัดความน่าจะ
เป็นความเป็นกลางต่ อความเสี่ย ง (risk-neutral measure) และทำให้เราสามารถคํ านวณค่า

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                              227

คาดหวัง (expected value) ในโลกที่ไม่มีความเสี่ยง ซึ่งนั่นก็คือราคาที่เราควรจะกำหนดในการซื้อ
ขายตราสารอนุพันธ์การเงิน เพื่อให้ง่ายต่อการอธิบายทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ จะขออธิบายพอสังเขปที่
เกี่ยวข้องกับคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ที่จะปรากฎในทฤษฎีกีร์ซานอฟ แต่จะไม่ลงรายละเอียดมาก
จนเกินไปจนทำให้ผู้อ่านรู้สึกอึดอัดและภาระให้ คำศัพท์เหล่านั้น ได้แก่ พีชคณิตซิกมา ตัวกรองหรือ
ฟิลเตอร์ (filter) เป็นต้น

พีชคณิตซิกมา (sigma-algebra: σ -algebra) หรือ สนามซิกมา (sigma-field ) เป็นโครงสร้างทาง
คณิตศาสตร์ที่สำคัญในคณิตวิเคราะห์และทฤษฎีความน่าจะเป็น มีบทนิยามทางคณิตศาสตร์ ดังนี้
กำหนดให้ X เป็นเซตและ 2 X เป็นเซตกำลัง (power set) ของเซต X

บทนิยาม 6.8 กำหนดให้ Σ ⊆ 2 X จะกล่าวว่า Σ เป็นพีชคณิตซิกมาบน X ก็ต่อเมื่อ Σ มีสมบัติ
ต่อไปนี้
           1) φ ∈ Σ
           2) ถ้า E ∈ Σ แล้ว E c ∈ Σ และ
                                             ∞
           3) ถ้า E1 , E2 , E3 ,... ∈ Σ แล้ว n∪=1 En ∈ Σ
            การวัดความน่าจะเป็น (probability measure) คือฟังก์ชันที่ใช้วัดการกระจายตัว ของ
ความน่าจะเป็นการวัดความน่าจะเป็นมีสมบัติตามบทนิยามต่อไปนี้

บทนิยาม 6.9 ถ้า Ω เป็นปริภูมิตัวอย่าง (sample space) และ  เป็นพีชคณิตซิกมาบน Ω การ
วัดความน่าจะเป็น P บน (Ω,  ) คือ ฟังก์ชัน P :  → [0,1] ที่มีสมบัติต่อไปนี้
              1 : ตัววัดความน่าจะเป็นของเซตของทุกโอกาสที่เป็นไปได้เท่ากับ 1
      1) P(Ω) =
      2) P(φ ) = 0 : ตัววัดความน่าจะเป็นของเซตว่างเท่ากับศูนย์
      3) Σ − additivity: ถ้า An เป็นลำดับของเซตที่ไม่ร่วมกัน ( An ∩ Am =
                                                                        φ สำหรับทุกๆ n ≠ m )

                          ∑ P ( An )
           แล้ว P(∪n An ) =
                               n




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

228                                                                    อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

การวัดความน่าจะเป็นใช้ในการระบุถึงความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ใดๆ ขึ้นของเหตุการณ์ที่
เป็นไปได้ทั้งหมด ในกรณีของการเกมลูกเต๋าที่เป็นธรรม การวัดความน่าจะเป็นที่จะได้หน้าลูกเต๋าที่
เป็นเลข 6 คือ 1/6 โดยที่ทุกหน้ามีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันทั้งหมด เป็นต้น

บทนิ ยาม 6.10 ตั ว กรองหรื อฟิ ล เตอร์ (filtration) { } คื อ ลำดับ ของพีขคณิตซิกมาที่เรีย ง
                                                              t


ตามลำดับที่กำหนดโดยระยะเวลา โดยสอดคล้องสมบัติต่อไปนี้
      1) s เป็นสับเซตของ t สำหรับทุก ๆ 0 ≤ s ≤ t (สมบัติของการเพิ่มขึ้น)
       2) t เป็น พีขคณิตซิกมา สำหรับทุก ๆ t (สมบัติการวัด)
       3) สำหรับทุก s < t ถ้า A∈ s แล้ว A∈ t (สมบัติที่สอดคล้องกับการเลื่อนเวลาที่แน่นอน)
การใช้ฟิลเตอร์ในการเคลื่อนไหวแบบบราวน์หรือกระบวนการสโตแคสติกที่เกี่ยวข้องกับเวลาช่วยให้
สามารถแสดงถึงปริมาณข้อมูลที่มีในแต่ละจุดเวลาที่ใช้เพื่อพยากรณ์การเคลื่อนไหวในอนาคต

บทนิยาม 6.11 ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่ม ฟังก์ชันก่อกำเนิดโมเมนต์ (moment generating function
- mgf) ของ X (ถ้ามี) คือฟังก์ชัน M X (t ) ที่ถูกกำหนดในรูป
                                     M X (t ) = E[etX ]                                             (6.24)
เมื่อ E ตัวดำเนินการค่าคาดหวัง
            ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ เป็นฟังก์ชันที่ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ ซึ่งช่วยในการ
คำนวณโมเมนต์ (moments) หรือค่าคาดหวังของกำลังของตัวแปรสุ่ม คือ ถ้า M ( t ) เป็นฟังก์ชัน
                                                                                        X


ก่อกำเนิดโมเมนต์ของตัวแปรสุ่ม X แล้ว ค่าคาดหวังของ X n สำหรับ n ใด ๆ จะเท่ากับอนุพันธ์
อันดับที่ n ของ M ( t ) ที่ t = 0
                    X




ทฤษฎีบท 6.12 (ทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ) สมมติว่า P เป็นตัววัดความน่าจะเป็นในปริภูมิของวิถีการ
เคลื่อนที่แบบบราวน์ Wt สมมุติว่า µ (ω ,t ) เป็นกระบวนการปรับตัวตาม

              t                  1
                                    t
                                                       
M t ( µ ) exp  ∫ µ (ω , s ) dWs − ∫ ( µ (ω , s ) ) ds  สำหรับ t ≤ T และ E P  M T ( µ )  =1
                                                   2
                                                                                                    (6.24)
              0                  20                   



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                                                 229

           มีสมบัติมาร์ทิงเกลแล้วจะได้ว่าจะมีตัววัดความน่าจะเป็น Q บนปริภูมิของวิถีการเคลื่อนที่แบบบราวน์
            Wt ที่ซึ่ง

                         1) ตัววัดความน่าจะเป็น Q สมมูลกับ ตัววัดความน่าจะเป็น P
                              นั่นคือ           Q( A) =
                                                      0 ⇔ P ( A) =
                                                                 0

                                               T
                                                         1
                                                                       T
                                                                                         
                         2) dQ =
                               exp  − ∫ µ (ω , t ) dWt − ∫ ( µ (ω , t ) ) dt 
                                                                          2

                              dP               0
                                                                     20                  
                                            t
                         3)   W=
                                t Wt + ∫ µ (ω , s )ds           สำหรับ     t ≤T    เป็นการเคลื่อนที่บราวน์บนปริภูมิความน่าจะ
                                            0


           เป็น ( Ω,  ,Q ) ที่มีฟิลเตอร์ { }          t


           พิสูจน์ นิยามตัววัดความน่าจะเป็น Q โดย
                                                                    E Q [ A] = E P [1A M T ]                           (6.25)
                            t                     t
                                                                        
       โดยที่ M t ( µ ) exp  ∫ µ (ω , s ) dWs − 1 ∫ ( µ (ω , s ) )2 ds  จะได้ว่า
       =
                            0                   20                     
                     T                           T               T
                                                                                       
            EQ =
                 exp ∫ f ( s ) dX s    E Q
                                                 exp ∫ f ( s ) dWs + ∫ µ (ω , s ) ds  
                    0                         0               0                
                 T                                 T
                                                                              1
                                                                                T
                                                                                                   
         = E exp  ∫ ( f ( s ) − µ (ω , s ) ) dWs + ∫ f ( s ) µ (ω , s ) ds − ∫ ( µ (ω , s ) ) ds  
                 P                                                                             2

                0                                 0
                                                                              20                    
               T                                1
                                                    T
                                                                                  1
                                                                                    T
                                                                                                    
     = E P exp  ∫ ( f ( s ) − µ (ω , s ) ) dWs − ∫ ( f ( s ) − µ (ω , s ) ) ds + ∫ ( f ( s ) ) ds  
                                                                             2                  2

              0                                20                              20                 
                     1T                 P     T                         1
                                                                              T
                                                                                                     
                                  )    ∫(                    ( ) ) s ∫ ( f ( s) − µ (ω , s ) ) ds  
                                                                                                 2
                      ∫(
                                   2
                          f ( s )    ds  E   exp    f ( s ) − µ  ω , s dW −
                     20                      0                         20                        
  1T                                          1
                                                  T
=  ∫ ( f ( s ) ) ds  E P  M T ( f − µ )  = ∫ ( f ( s ) ) ds
                 2                                            2

  20                                          20

                                                                                    1              
           และยิ่งไปกว่านั้นได้ว่า          E Q exp ( iλ ( X t − X s ) )  =exp  − λ 2 (t − s )  ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของ
                                                                                    2              
                                                                t
           การเคลื่อนที่บราวน์ ดังนั้น W= W + ∫ µ (ω , s)ds เป็นการเคลื่อนที่บราวน์
                                                    t       t                                                            
                                                                0




           วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

230                                                                  อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

การนำทฤษฎีบทกีร์ซานอฟไปใช้งาน
         ในการเปลี ่ ย นมาตรวั ดความน่ า จะเป็ น เพื่อการประเมิน มูล ค่าตราสารอนุพัน ธ์ ในการ
วิเคราะห์ราคาของสินทรัพย์ในตลาดการเงิน เรามักใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายการ
เคลื่อนไหวของราคาสินทรัพย์ โดยเฉพาะกระบวนการสุ่มแบบบราวน์เชิงเรขาคณิต เช่น
                              dS (t ) µ S (t ) dt + σ S (t ) dW  (t )
                              =
โดยที่ µ คืออัตราผลตอบแทนเฉลี่ยของสินทรัพย์ในโลกความเป็นจริงภายใต้มาตรวัดความน่าจะ
เป็น  , σ คือค่าความผันผวน และ W  (t ) คือกระบวนการบราวน์ในโลกจริง
          แม้สมการนี้จะสะท้อนพฤติกรรมของราคาหุ้นในตลาดจริง แต่เมื่อต้องการประเมินมูลค่า
ตราสารอนุพันธ์ เช่น ออปชัน เราไม่สามารถใช้ค่าคาดหวังภายใต้มาตรวัด  ได้โดยตรง เนื่องจากค่า
คาดหวังนั้นรวมความเสี่ยงของนักลงทุนเข้าไปแล้ว ซึ่งอาจไม่เหมาะสมกับการคำนวณราคาที่ยุติธรรม
           เพื่อแก้ปัญหานี้ เราใช้จึงทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ (Girsanov’s Theorem) ซึ่งช่วยให้สามารถ
เปลี่ยนมุมมองความน่าจะเป็นจากโลกจริง  ไปสู่โลกที่เป็นกลางต่อความเสี่ยง (risk-neutral
world) หรือมาตรวัด  ซึ่งเหมาะสมต่อการประเมินมูลค่าทางคณิตศาสตร์
          ทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ ระบุว่าหากนิยามกระบวนการใหม่
                                   dW
                                    = 
                                        (t ) dW  (t ) + θ (t ) dt
และนิยามฟังก์ชัน Radon–Nikodym derivative ซึ่งทำให้  สมมูลกับ  แล้ว W  (t ) จะเป็น
กระบวนการบราวน์ภายใต้มาตรวัด 
         ตัวอย่างประกอบ เช่น สมมติว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายการเคลื่อนไหวของ
ราคาหุ้น A ตามกลไกตลาดเป็นดังสมการ
                        dS (t ) 0.08S (t ) dt + 0.2 S (t ) dW  (t )
                        =
โดย µ = 0.08 , σ = 0.2 , และใช้อัตราคิดลด δ = 0.05
                               µ − δ 0.08 − 0.05
เมื่อเราคำนวณค่าพารามิเตอร์
                         =   θ =           = 0.15
                                      σ            0.2
จากนั้นเปลี่ยนกระบวนการบราวน์
                                   dW
                                    = 
                                        (t ) dW  (t ) + 0.15dt
ทำให้สมการภายใต้มาตรวัด  กลายเป็น
                              dS (t ) δ S (t ) dt + σ S (t ) dW  (t )
                              =
ซึ่งเป็นตัวแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายการเคลื่อนไหวของราคาหุ้น A ตามกลไกภายใต้
ความเป็นกลางต่อความเสี่ยงหรือภายใต้โลกที่ไม่มีความเสี่ยง นั่นเอง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                          231

ดังนั้น จะเห็นว่าทฤษฎีบทกีร์ซานอฟช่วยให้เราสามารถเปลี่ยนมุมมองของความน่าจะเป็นจากโลก
จริงไปสู่โลกที่ไม่มีความเสี่ยง ทำให้สามารถใช้ค่าคาดหวังภายใต้มาตรวัด  ในการประเมินราคา
ตราสารอนุพันธ์ได้อย่างถู กต้อง เช่นในการประเมินราคาของยูโรเปียนคอลออปชัน ซึ่งสามารถ
ประเมินราคาได้โดยใช้สูตร
              =                 C e −δ T   [ max( S (T ) − K , 0) ]

 ตัวอย่างที่ 6.8 (การประเมินราคาตราสารอนุพันธ์ภายใต้การเปลี่ยนมาตรวัดความน่าจะเป็นด้วย
 ทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ) สมมติบริษัทหลักทรัพย์แห่งหนึ่งกำลังพิจารณาออกตราสารอนุพันธ์ประเภท
 คอลออปชันแบบยุโรป สำหรับลูกค้าระดับสถาบัน โดยอิงกับราคาของสินทรัพย์อ้างอิงประเภท
 หนึ่งซึ่งมีพฤติกรรมการเคลื่อนไหวตามกระบวนการเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขา ซึ่งเป็นที่ยอมรับ
 ในตลาดการเงินว่าเหมาะสมสำหรับการจำลองราคาหุ้นในระยะสั้น
 สมมติราคาของสินทรัพย์ S (t ) ถูกกำหนดให้เป็นไปตามสมการ
                                µ S (t ) dt + σ S (t ) dW  (t ), S (0) =
                        dS (t ) =                                       100
 โดยมีพารามิเตอร์ที่ใช้ในการประเมินดังนี้
     - µ = 0.08 (อัตราผลตอบแทนที่คาดหวังในโลกจริง)
      - σ = 0.2 (ค่าความผันผวนของสินทรัพย์)
      - δ = 0.05 (อัตราดอกเบี้ยไม่มีความเสี่ยงคิดทบต้นต่อเนื่อง)
      - K = 105 (ราคาการใช้สิทธิ)
      - T = 1 ปี (ระยะเวลาคงเหลือจนถึงวันหมดอายุ)
 จงตอบคำถาม ต่อไปนี้
  1) (การเปลี่ยนมาตรวัดความน่าจะเป็น) เพื่อใช้หลักการประเมินราคาตราสารอนุพันธ์ภายใต้
      แนวคิดความเป็นกลางต่อความเสี่ยง (risk-neutral valuation) บริษัทต้องเปลี่ยนมาตรวัด
      ความน่าจะเป็นจากโลกจริง  ไปเป็นมาตรวัดความน่าจะเป็นภายใต้โลกที่ไม่มีความเสี่ยง
        (มาตรวัดความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง) จงระบุสมการที่ใช้ในการแปลง

      มาตรวัด และอธิบายแนวคิดพื้นฐานของการเปลี่ยนพจน์ดริฟท์โดยใช้พารามิเตอร์ θ



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

232                                                                  อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

  2) (การคำนวณค่าพารามิเตอร์ θ ) จงคำนวณค่า θ = µ − δ โดยใช้ค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดใน
                                                              σ
      โจทย์ พร้ อมอธิ บ ายความหมายของค่ า θ ในเชิงการเงิน และผลกระทบต่อการจำลอง
      กระบวนการภายใต้มาตรวัดใหม่
  3) (แบบจำลองราคาสินทรัพย์ภายใต้มาตรวัด  ) จงเขียนสมการของราคาสินทรัพย์ S (t ) ที่
      อยู่ภายใต้มาตรวัด  และอธิบายว่าพจน์ดริฟท์มีการเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเทีย บกั บ
      มาตรวัด 
  4) (การจำลองมอนติ คาร์โล: Monte Carlo Simulation) สมมุติว่าบริษัทสามารถจำ ลอง
      เส้นทางราคาของสินทรัพย์ S (t ) ได้จำนวน 10,000 เส้นทาง ภายใต้มาตรวัด  อธิบาย
      ขั้นตอนหลักของการจำลองเส้นทางดังกล่าว และการใช้ผลลัพธ์เพื่อวิเคราะห์ค่าคาดหวังของ
      ผลตอบแทนจากออปชัน
  5) (สู ต รการประเมิ น มู ล ค่ า คอลออปชั น และหลั กการคิดลด) จงเขีย นสูตรที่ใช้ส ำหรับ การ
      ประมาณราคาของออปชันดังกล่าว และ อธิบายหลักการของการคิดลดค่าคาดหวังกลับมา
      เป็นมูลค่าปัจจุบัน โดยใช้สูตร
              =C e −δ T   [ max( S (T ) − K , 0) ]
 วิธีทำ ข้อ 1) ในโลกจริงกระบวนการราคาของสินทรัพย์ S (t ) มีพจน์ดริฟท์เป็น µ และแสดง
 ด้วยสมการ                    dS (t ) µ S (t ) dt + σ S (t ) dW  (t )
                              =

 เพื่อเปลี ่ ย นไปสู ่ มาตรวั ดที ่เ ป็ น กลางต่ อความเสี ่ ย ง  เราใช้ทฤษฎีบ ทกีร ์ซานอฟโดยนิยาม
 กระบวนการใหม่ W  (t ) ดังนี้
                                           dW
                                            = 
                                                (t ) dW  (t ) + θ dt
 โดย θ = µ − δ เป็นค่าที่ปรับพจน์ดริฟท์เพื่อให้ W  (t ) กลายเป็นกระบวนการบราวน์ภายใต้
             σ
 มาตรวัดใหม่  ซึ่งทำให้สามารถใช้ค่าคาดหวังภายใต้  เพื่อประเมินราคาตราสารอนุพันธ์ได้
 อย่างเป็นกลางต่อความเสี่ยง
          ข้อ 2) จากข้อมูลโจทย์ µ = 0.08 , δ = 0.05 , σ = 0.2 ดังนั้น
                                      µ − δ 0.08 − 0.05
                            =θ        =           = 0.15
                                       σ        0.2
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                         233

 ความหมายของ θ เป็นอัตราส่วนของผลตอบแทนส่วนเกินเมื่อเทียบกับความเสี่ยงของสินทรัพย์
 สื่อถึง "ราคาของความเสี่ยง" (market price of risk) และใช้ในการแปลงกระบวนการแบบสุ่มจาก
 โลกจริงไปยังโลกที่ไม่มีความเสี่ยงหรือโลกที่เป็นกลางต่อความเสี่ยง
          ข้อ 3) เมื่อเปลี่ยนมาตรวัดจาก  ไปยัง  โดยใช้ทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ พจน์ดริฟท์จะ
 เปลี่ยนจาก µ เป็น δ ส่งผลให้สมการกลายเป็น
                                     dS (t ) δ S (t ) dt + σ S (t ) dW  (t )
                                     =
 ดังนั้น พจน์ดริฟท์ภายใต้  จะแสดงถึงอัตราผลตอบแทนที่ไม่มีความเสี่ยง ซึ่งช่วยให้เราสามารถ
 ใช้มาตรวัดนี้สำหรับการประเมินราคาที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงได้
          ข้อ 4) การจำลองมอนติคาร์โล มีขั้นตอนในการจำลอง ดังต่อไปนี้
    - แบ่งช่วงเวลาระหว่าง 0 ถึง T ออกเป็น N ขั้น และตั้งค่าเริ่มต้น S (0) = 100
    - สุ่มค่าจากการแจกแจงปกติ Zi ~  (0,1) แล้วคำนวณ ∆Wi = ∆t Zi
    - ใช้สมการจำลองด้วยวิธีออยเลอร์–มารุยามะ
                                   Si +1 = Si + δ Si ∆t + σ Si ∆Wi
    - ทำซํ้ากระบวนการนี้ 10,000 เส้นทาง เพื่อได้ S ( j ) (T ) แต่ละเส้น
 จากนั้นนำค่าที่ได้มาใช้คำนวณค่าคาดหวังของผลประโยชน์ของคอลออปชัน (payoff of call
 option) ในข้อถัดไป
          ข้อ 5) สูตรการประเมินมูลค่า Call Option ตามหลักการคิดลด
 ราคาของคอลออปชันสามารถประเมินได้ด้วยสูตร
              =C e −δ T   [ max( S (T ) − K , 0) ]
 โดยที่ δ คืออัตราคิดลด และ  คือค่าคาดหวังภายใต้มาตรวัด  ซึ่งหมายถึงการคำนวณจาก
 โลกที่เป็นกลางต่อความเสี่ยง การคูณด้วย e−δ T คือการนำมูลค่าในอนาคตกลับมาเป็นราคา
 ปัจจุบัน โดยผลลัพธ์จากการจำลอง Monte Carlo จำนวน 10,000 เส้นทางโดยใช้โปรแกรม
 ภาษาไพธอนมีดังนี้
 - ค่าเฉลี่ยของ S (T ) ประมาณ 105.10
 - ราคาของคอลออปชัน ประมาณ 8.02                                                        




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

234                                                                  อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

หมายเหตุ: ตัวอย่างโค้ดไพธอนในการจำลองและการคำนวณตามตัวอย่างที่ 6.8
 import numpy as np
 # Parameters
 S0 = 100       # Initial asset price
 delta = 0.05 # Risk-free rate or discount rate
 sigma = 0.2 # Volatility
 T = 1.0       # Time horizon
 K = 105        # Strike price
 n_paths = 10000 # Number of Monte Carlo simulations
 # Simulate S(T) under Q measure
 np.random.seed(42)
 Z = np.random.randn(n_paths)
 ST = S0 * np.exp((delta - 0.5 * sigma**2) * T + sigma * np.sqrt(T) * Z)
 # Compute average S(T)
 average_ST = np.mean(ST)
 # Compute price of European call option
 payoffs = np.maximum(ST - K, 0)
 call_price = np.exp(-delta * T) * np.mean(payoffs)
 average_ST, call_price


บทสรุปท้ายบทที่ 6

        บทที่ 6 ได้นำเสนอองค์ความรู้พื้นฐานที่สำคัญของแคลคูลัสสโตแคสติก ซึ่งเป็นเครื่องมือ
หลักในการวิเคราะห์กระบวนการสุ่มที่มีการเปลี่ยนแปลงต่อเนื่องในเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบท
ของแบบจำลองทางการเงินที่มีลักษณะสุ่มและไม่สามารถพยากรณ์ได้อย่างแน่นอน บทนี้เริ่มต้นด้วย
บทนิยามและสมบัติเบื้องต้นของแคลคูลัสสโตแคสติก ซึ่งครอบคลุมแนวคิดของการอินทิเกรตเชิงสโต
แคสติก การวิเคราะห์พฤติกรรมของกระบวนการบราวน์ และการประยุกต์ใช้ บทตั้งของอิโต้ (Ito’s
Lemma) ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เป็นผลของกระบวนการสุ่ม



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                              235

        เนื ้ อ หาในส่ ว นของ สมบั ต ิ ม าร์ ท ิ ง เกล (Martingale Property) และ การจํ า แนก
ส่วนประกอบดูบ–เมเยอร์ (Doob–Meyer Decomposition) ได้แสดงให้เห็นถึงการวิเคราะห์
พฤติกรรมของกระบวนการสุ่มในเชิงโครงสร้าง โดยการแยกกระบวนการออกเป็นส่วนที่สามารถ
พยากรณ์ได้ (bounded variation component) และส่วนที่ไม่สามารถพยากรณ์ได้ (martingale
component) ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการประเมินค่าคาดหมายของราคาทรัพย์สินทางการเงินภายใต้
กรอบการประเมินแบบไม่มีโอกาสทำกำไรโดยปราศจากความเสี่ยง (no-arbitrage condition)
        หัวข้อ ทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ (Girsanov’s Theorem) ซึ่งเป็นส่วนสำคัญในท้ายบท ได้
แสดงให้ เ ห็ น ถึ งกลไกการแปลงมาตรวั ด ความน่า จะเป็น จากโลกแห่ ง ความเสี่ ย ง (real-world
measure) ไปสู่โลกแห่งความเป็นกลางต่อความเสี่ยง (risk-neutral measure) ซึ่งเป็นแนวคิด
พื ้ น ฐานในการกํ า หนดราคาตราสารอนุ พั น ธ์ การเปลี่ย นมาตรวัดนี้มีความสำคัญ ต่ อการหาค่ า
คาดหมายภายใต้สมมุติฐานความเป็นกลางต่อความเสี่ยง เพื่อใช้เป็นมูลค่ายุติธรรมของเครื่องมือทาง
การเงินที่มีลักษณะไม่แน่นอน
        บทนี ้ ย ั ง ได้ น ํ า เสนอแนวคิ ด ของกระบวนการสุ ่ ม ปรั บ ตั ว ตาม (adapted process),
กระบวนการมาร์ทิงเกลในรูปชี้กำลัง (exponential martingale) ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ (moment
generating function) และโครงสร้างทางทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง เช่น พีชคณิตซิกมา (sigma-algebra)
และฟิลเตอร์ (filtration) เพื่อวางพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับการวิเคราะห์ที่มีความแม่นยำในระดับสูง
และเพื่อสร้างกรอบการวิเคราะห์ที่สอดคล้องกับแนวคิดของ stochastic differential equations ที่
ใช้กันอย่างแพร่หลายในวงการการเงิน
        โดยสรุป บทที่ 6 ได้นำเสนอเนื้อหาที่ครอบคลุมทั้งในเชิงทฤษฎีและการประยุกต์ ใช้เป็น
พื้นฐานสำหรับการศึกษาวิชาในระดับที่สูงขึ้น อาทิ แบบจำลอง Black-Scholes, แบบจำลองอัตรา
ดอกเบี้ย Vasicek และ CIR ตลอดจนการประยุกต์ใช้ในด้านการประเมินมูลค่าตราสารอนุพันธ์ การ
คำนวณ Value at Risk (VaR) และการบริหารความเสี่ยงเชิงปริมาณ ซึ่งล้วนเป็นเครื่องมือที่มี
ความสำคัญในโลกการเงินร่วมสมัย



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

236                                                                  อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์

เอกสารอ้างอิง
[1] Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities.
Journal of Political Economy, 81(3), 637–654. Https://Doi.Org/10.1086/260062
[2] Merton, R. C. (1973). Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics
and Management Science, 4(1), 141–183. Https://Doi.Org/10.2307/3003143
[3] Vasicek, O. (1977). An Equilibrium Characterization of the Term Structure. Journal
of Financial Economics, 5(2), 177–188. Https://Doi.Org/10.1016/0304-405x(77)90016-2
[4] Cox, J. C., Ingersoll, J. E., & Ross, S. A. (1985). A theory of the term structure of
interest rates. Econometrica, 53(2), 385–407. Https://Doi.Org/10.2307/1911242
[5] Shreve, S. E. (2004). Stochastic calculus for finance II: Continuous-Time Models.
Springer. Https://Doi.Org/10.1007/978-0-387-40101-4
[6] Björk, T. (2009). Arbitrage theory in continuous time (3rd Ed.). Oxford University
Press.




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

บทที่ 6 แคลคูลัสสโตแคสติกและทฤษฎีบทกีร์ซานอฟ                                              237

แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 6

1) กำหนดให้ Bt t0 เป็นกระบวนการสุ่มบราวน์ และสำหรับทุก ๆ ฟังก์ค่าจริง f บน 
                         t
นิยาม G f (t )   f (s)dBs จงแสดงว่า
                         0

         1.1)   E G f (t )  0
                                       ts
         1.2) Cov G f (t ), Gs (t )   f 2 (u)du
                                        0
                                                                                  2
2) กำหนดให้ Bt t0 เป็นกระบวนการสุ่มบราวน์ จงหาค่าของ  e B dBs   2 e B ds
                                                                          s           s




(แนะนำ พิจารณาฟังก์ชัน f (t , x)  e x )

3) กำหนดสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก (sde) dX t  At X t dBt , X 0  x0
                            t         t       
                                    1    2 
จงแสดงว่า                  
                                
            X t  x0 exp  As dBs 
                                     2       
                                         As ds
                                               
                                0         0
(แนะนำ พิจารณาฟังก์ชัน f (t , x)  x0e x )

4) ใช้ สูตรของอิโต้ (Ito’s formula) หาสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติกของ f (t , Bt )
เมื่อ Bt t0 เป็นกระบวนการสุ่มบราวน์ และ
           4.1) f (t , x)  sin x
           4.2) f (t , x)  et  x / t 2

5) กำหนดให้ Bt t0 เป็นกระบวนการสุ่มบราวน์ จงหาค่าของ E  X t 
และ Var  X t  เมือ X t เท่ากับค่าต่อไปนี้
                 t
         5.1)  dBs
                 0
                     t
         5.2)  Bs dBs
                     0
                 t             t
         5.3)  ds    dBs
                 0             0




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย

238                                                                                 อนุพนั ธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
                 t                                     t
                                2
         5.4)      es B ds   es B dBs
                                          s                    s

                                2
                 0                                     0

6) กำหนดให้ X (t=) µt + σ W (t ) เป็นกระบวนการอิโต้ โดยที่ W (t ) เป็นการเคลื่อนที่แบบ
บราวน์ จงหาค่า dY (t ) เมื่อ Y (t ) = ln( X (t )) โดยใช้ Ito’s Lemma
7)ให้ f (t , X (t )) = e X (t ) และ X (t ) = W (t )2 จงใช้ Ito’s Lemma เพื่อหา df และเปรียบเทียบ
ผลที่ได้กับแคลคูลัสปกติ พร้อมอธิบายผลต่างในเชิงคณิตศาสตร์
8) สมมุติให้ S (t ) เป็นราคาหุ้นที่เป็นไปตามสมการ=       dS (t ) µ S (t ) dt + σ S (t ) dW (t ) จงใช้ Ito’s
Lemma เพื่อหา d ln S (t ) และอธิบายความหมายทางการเงินของผลลัพธ์
9) จงพิสูจน์ว่า หาก φ (t ) เป็นฟังก์ชันไม่สุ่ม และ W (t ) เป็นกระบวนการบราวน์ แล้ว
                                                  ∫ φ (t )dW (t ) ~  ( 0, ∫ φ (t ) dt )
                                                   T                        T
                                                                                     2
                                                   0                        0
                         t
10) ให้ X (t ) = ∫0 sin( s) dW ( s) จงหาค่าคาดหมายและความแปรปรวนของ X (t ) โดยใช้ Ito
Isometry
11) ให้ f (t ,W (t )) = W (t )3 จงใช้ Ito’s Lemma เพื่อหา df และวิเคราะห์ว่า [W (t )3 ] ขึ้นกับ
 t หรือไม่
12) จงแสดงว่า M  =   (t ) W (t ) 2 − t เป็นมาร์ทิงเกล โดยพิสูจน์จากนิยามมาร์ทิงเกล
13) กำหนดให้ X (t=) µt + σ W (t ) จงจำแนก X (t )2 ให้อยู่ในรูปส่วนประกอบมาร์ทิงเกลและ
ส่วนประกอบการแปรผันจำกัดตามแนวคิด Doob–Meyer Decomposition
   ให้ X (t ) exp  σ W (t ) − 1 σ 2t  จงแสดงว่ า X (t ) เป็ น มาร์ ท ิ ง เกล และอธิ บ ายความ
14)=
                                             2            
เชื่อมโยงกับการประเมินราคาตราสารอนุพันธ์
15) พิจารณากระบวนการ dX=      (t ) µ dt + σ dW (t ) จงเปลี่ยนมาตรวัดจาก  เป็น  โดยใช้
Girsanov’s Theorem และเขียนรูปสมการ dX (t ) ภายใต้มาตรวัด 
16) จงอธิบายและแสดงให้เห็นว่า Girsanov’s Theorem ช่วยให้สามารถประเมินราคาคอลออปชัน
ยุโรปได้ภายใต้ risk-neutral measure โดยใช้ตัวแบบ Black-Scholes
                                             t  1                    t
                     exp  − ∫ θ ( s ) dW ( s ) − ∫ θ ( s ) 2 ds  โดยที่ θ (t ) เป็นฟังก์ชันกำหนด
17) กำหนดให้ Z (t ) =        0
                                                  0               2            
จงวิเคราะห์ว่า Z (t ) เป็นมาร์ทิงเกลหรือไม่ และอธิบายบทบาทของ Z (t ) ในการเปลี่ยนมาตรวัด
ความน่าจะเป็น

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์