บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง

หน้าพิมพ์ 113–136 · PDF 125–148

ดาวน์โหลด PDF บทนี้ ↓เปิดหนังสือต้นฉบับ ↗

หน้า PDF 125 · หน้าพิมพ์ 113 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง
เนื้อหาประกอบด้วย
3.1 อัตราดริฟท์และค่าความผันผวน
3.2 การเดินสุ่ม
3.3 การเคลื่อนที่แบบบราวน์เนียน
3.4 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง
3.5 การประมาณอัตราดริฟท์และค่าความผันผวน

บทนำ

        ในบทก่อนหน้า เราได้ศึกษาแบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง เช่น แบบจำลองต้นไม้ทวิภาคและ
ไตรภาค ซึ่งสามารถอธิบายการเปลี่ยนแปลงของราคาสินทรัพย์ในช่วงเวลาที่แยกเป็นช่วง ๆ ได้อย่าง
มีประสิทธิภาพ อย่างไรก็ตาม ราคาสินทรัพย์ทางการเงินในโลกความเป็นจริง เช่น ราคาหุ้นหรือดัชนี
ตลาด มีแนวโน้มเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตามเวลา และตอบสนองต่อข้อมูลใหม่ได้แทบจะในทันที
จึงจำเป็นต้องมีแบบจำลองที่สะท้อนพฤติกรรมดังกล่าวได้แม่นยำยิ่งขึ้น
บทที่ 3 นี้ จึ ง มุ่ ง เน้ น การศึ ก ษา แบบจํ า ลองราคาเวลาต่ อ เนื่ อ ง (Continuous-Time Price
Models) โดยเริ่มจากการทำความเข้าใจแนวคิดพื้นฐาน ได้แก่
    •   อัตราดริฟท์ ซึ่งสะท้อนแนวโน้มเฉลี่ยของราคาสินทรัพย์ในระยะยาว
    •   ค่าความผันผวน ที่บ่งชี้ระดับความไม่แน่นอนของการเคลื่อนไหวของราคา
    •   การเดินสุ่ม (Random Walk) ซึ่งเป็นแนวคิดเบื้องต้นของการเคลื่อนไหวแบบไม่สามารถ
        ทำนายได้
    •   และ การเคลื่ อ นที่ แ บบบราวน์ เนี ย น (Brownian Motion) ซึ่ ง เป็ น กระบวนการสุ่ ม
        ต่อเนื่องที่เป็นรากฐานสำคัญของแบบจำลองในตลาดการเงิน



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 126 · หน้าพิมพ์ 114 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

114                                                             อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
เมื่อเข้าใจองค์ประกอบพื้นฐานเหล่านี้แล้ว เราจะสามารถพัฒนาแบบจำลองราคาในรูปแบบต่อเนื่อง
ที่สะท้อนพฤติกรรมของราคาสินทรัพย์ในเชิงเวลาได้อย่างสมจริงมากขึ้น เช่น การใช้ Geometric
Brownian Motion ซึ่งเป็นแกนกลางของการจำลองราคาหุ้นในแบบจำลองต่าง ๆ ที่ใช้จริงในตลาด
ทุน
          สุดท้าย บทนี้ยังกล่าวถึงวิธีการประมาณค่าพารามิเตอร์สำคัญ ได้แก่ อัตราดริฟท์และค่า
ความผันผวน จากข้อมูลในอดีต เพื่อให้สามารถนำแบบจำลองไปใช้งานจริงได้ในการวิเคราะห์และ
ตัดสินใจลงทุน เช่น การคาดการณ์ความเสี่ยงของสินทรัพย์ หรือการกำหนดกลยุทธ์การป้องกันความ
เสี่ยงในพอร์ตการลงทุน

3.1 อัตราดริฟท์และค่าความผันผวน

          แบบจำลองราคาในเชิงเวลาไม่ว่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องหรือแบบต่อเนื่อง ต่างก็ต้องอาศัย
พารามิเตอร์หลัก 2 ประการในการอธิบายพฤติกรรมของราคาสินทรัพย์ นั่นคือ อัตราดริฟท์ (Drift
Rate) และ ค่าความผัน ผวน (Volatility) ซึ่งทำหน้าที่เป็ นตัวกำหนดทิศทางและระดับความไม่
แน่นอนของการเคลื่อนไหวของราคาในอนาคต
      •   อัตราดริฟท์ สะท้อนแนวโน้มการเปลี่ยนแปลงของราคาสินทรัพย์โดยเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่ง
          โดยสามารถมองได้ว่าเป็นอัตราผลตอบแทนที่คาดหวังของนักลงทุน หากไม่มีความผันผวน
          เข้ามาเกี่ยวข้อง
      •   ค่าความผันผวน บ่งชี้ถึงความไม่แน่นอนหรือความแปรปรวนของราคาสินทรัพย์ในแต่ละ
          ช่วงเวลา ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการประเมินความเสี่ยงของการลงทุน
ความเข้ า ใจในสองพารามิ เ ตอร์ นี้ เ ป็ น พื้ น ฐานสํ า คั ญ ในการพั ฒ นาแบบจํ า ลองเชิ ง เวลา เช่ น
Geometric Brownian Motion ซึ่ งถู ก นํ าไปใช้ ในหลากหลายบริบ ทของตลาดการเงิ น เช่ น การ
กำหนดราคาตราสารอนุพันธ์ การประเมินความเสี่ยงของพอร์ต และการสร้างกลยุทธ์ป้องกันความ
เสี่ยง ดังนั้น การศึกษาอัตราดริฟท์และค่าความผันผวนจึงเป็นจุดเริ่มต้นของการสร้างแบบจำลอง
ราคาที่มีประสิทธิภาพและสามารถใช้งานได้จริงในโลกการลงทุน

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 127 · หน้าพิมพ์ 115 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง                                                                        115
          พิจารณาช่วงเวลา [0,1] แบ่งช่วงเวลาออกเป็น N ช่วงเท่า ๆ กันจะได้ความกว้างหรือขนาด
คาบเวลา   N1 จากแบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาค สมมติให้ความน่าจะเป็นของการเคลื่อนไหว
ราคาขึ้ น เท่ า กั บ p ดั ง นั้ น ความน่ า จะเป็ น การเคลื่ อ นไหวราคาลงเท่ า กั บ 1 p จะได้ อั ต รา
ผลตอบแทนลอการิทึม k (n) สำหรับทุก ๆ n  1, 2,..., N
                                                               ln(1  u ) ; probability p
                                       k (n)  ln(1  K (n))                                            (3.1)
                                                                ln(1  d ) ; probability 1 p


          จากการแบ่ ง ช่ ว งเวลา [0,1] ออกเป็ น N ช่ อ งย่ อ ยเท่ า ๆ กั น ซึ่ ง จะทํ า ให้ เกิ ด จุ ด เวลา
t  0,1, 2,..., N   (ค าบ ) โด ย อั ต ราผ ล ต อ บ แ ท น ล อ ก าริ ทึ ม ทั้ งห ม ด บ น ช่ วง [0,1] เท่ ากั บ
k (1)  k (2)  ...  k ( N ) กํ า ห น ด สั ญ ลั ก ษ ณ์ ให้   E  k 0, N    แ ท น ค่ า ค า ด ห วั ง แ ล ะ
  Var k (0, N      แ ท น ส่ ว น เบี่ ย งเบ น ม า ต ร ฐ า น ข อ ง อั ต ร า ผ ล ต อ บ แ ท น ล อ ก า ริ ทึ ม
k (1)  k (2)  ...  k ( N ) โดยเรี ย ก  ว่ า อั ต ราดริ ฟ ท์ (drift rate) ซึ่ ง เป็ น ค่ า คาดของอั ต ราการ

เปลี่ยนแปลงราคาของ S (t ) นั่นคือ  เป็นค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทนลอการิทึมนั่นเอง และ
เรี ย ก  ว่ า ค่ า ความผั น ผวน (volatility) ซึ่ ง เป็ น ค่ า ส่ ว นเบี่ ย งเบนมาตรฐานของอั ต ราการ
เปลี่ ย นแปลงราคาของ S (t ) เพราะว่ า K (n) เป็ น ตั ว แปรเชิ งสุ่ ม อิ ส ระและ k (n)  ln(1  K (n))
สำหรับทุก ๆ n ดังนั้น k (n) เป็นตัวแปรเชิงสุ่มอิสระ สำหรับทุก ๆ n จะได้ว่า

                          E[k (1)]  E[k (2)]  ...  E[k ( N )]  NE[k (n)]                             (3.2)

  และ                 2  Var[k (1)]  Var[k (2)]  ...  Var[k ( N )]  NVar[k (n)]                      (3.3)
                                                                                             2
นั่นคือ สำหรับแต่ละ n  1, 2,..., N จะได้ E[k (n)]  N   และ Var[k (n)]                  2

                                                                                            N


 เพราะว่า                        E[k (n)]  p ln(1  u )  (1 p ) ln(1  d )                           (3.4)

และ                                              2
           Var[k (n)]  p ln(1  u )  E[k (n)]  (1 p ) ln(1  d )  E[k (n)]
                                                                                     2




                                                 2                             2
                            p ln(1  u )     (1 p ) ln(1  d )      2                      (3.5)


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 128 · หน้าพิมพ์ 116 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

116                                                                      อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
เมื่อแก้ระบบสมการ (3.4) และ (3.5) ได้
                                              1 p                                 p 
                     ln(1  u )              และ ln(1  d )      
                                                                                                  (3.6)
                                              p                                 1 p 

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า p  0.5 (ความน่าจะเป็นที่หุ้นขึ้นและลงในแต่ละเวลาเท่ากัน) จะได้
                  ln(1  u )            และ ln(1  d )                                  (3.7)
จากการแก้ระบบสมการ (3.7) จะได้
                                   1                                1      1  u 
                                   ln 1  u 1  d  และ      ln                         (3.8)
                                  2                               2  1  d 


ตัวอย่างที่ 3.1 จงหา E[k (n)] , Var[k (n)] ,  และ  สำหรับทุก ๆ n  1, 2,...,12 เมื่อกำหนด
u  0.02 , d  0.01 และ p  0.5

วิธีทำ เพราะว่า   1  0.0833 , E[k (n)]  0.5ln(1  u)  ln(1  d ) และ
                        12
                                                         2                            2
                 Var[k (n)]  0.5 ln(1  u )  E[k (n)]  0.5 ln(1  d )  E[k (n)]
ดังนั้น   E[k (n)]  0.5 ln(1  0.02)  ln(1 0.01)  0.0049
                                          2                                2
Var[k (n)]  0.5 ln(1  0.02)  0.0049  0.5 ln(1 0.01)  0.0049  0.00022280

และ   1 ln 1  u 1  d           1
                                                ln 1.02(0.99)  0.0585
           2                         2(0.0833)

             1     1  u    1      1.02 
            ln             ln         0.0517                                                
           2  1  d  2 0.0833  0.99 
                           


จากนิยามของอัตราผลตอบแทนลอการิทึม
                                                 ln(1  u ) ; probability p
                                        k (n)  
                                                  ln(1  d ) ; probability 1 p

จากสมการ (3.7) เราสามารถเขียน k (n) ในเทอมของ  และ  ได้เป็น
                          
                                             
                               1 p  ; probability p
                          
                                             
                                       p 
                 k ( n)  
                                                                       (n)                   (3.9)
                          
                                       p   
                                    
                                        ; probability 1 p
                          
                          
                                     1 p 
                          
                          
ดังนั้น                                           k (n)     (n)                             (3.10)

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 129 · หน้าพิมพ์ 117 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง                                                                                          117
                 
                     1 p 
                 
                           ; probability p
                           p 
                 
                    
เมื่อ    ( n)  
                        
                                                               เป็นตัวแปรเชิงสุ่ม สำหรับทุก ๆ n  1, 2,...
                            p 
                 
                             ; probability 1 p
                 
                         1 p 
                 
                 
                                                                  ; probability p
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า p  0.5 จะได้                      (n)  
                                                                   ; probability 1 p
                                                                  



ตัวอย่างที่ 3.2 จงเขียน S (1) และ S (2) ในเทอมของ  ,  , (1) และ (2) เมื่อกำหนดให้ p  0.5
                                   
วิธีทำ เพราะว่า k (n)      ; probability 0.5    (n) และ
                                       ; probability 0.5
                                                             
                                                             e   ; probability 0.5
                                     1  K (n)  e k ( n )  
                                                                        ; probability 0.5
                                                              e
                                                                   
                                                              
                                                              
จากแผนภาพต้นไม้ทวิภาคได้
                                                
                                                e   S (0) ; probability p
                                        S (1)  
                                                                                S (0)e  (1)
                                                
                                                e        S (0)  ; probability 1  p
                                                
                                                
                     ; probability 0.5
เมื่อ (1)   
                ; probability 0.5




    รูปที่ 3.13 S (1)  S (0)e  (1) เป็นมูลค่าสะสมของ S (0) ด้วยฟังก์ชันสะสม e                       k (1)
                                                                                                                   e  (1)
                   
                     2   
                   
                   e              S (0)                             ; probability 0.25
                   
                                         
และ        S (2)  
                   e
                   
                           
                                  e
                                       
                                               S (0)  e 2  S (0) ; probability 0.5
                   
                     2   
                   
                   e              S (0)                              ; probability 0.25
                   
                   
                    
                       2   
                    
                    e               S (0)                             ; probability 0.25
                    
                              
                  e             e            S (0)  e 2  S (0) ; probability 0.5
                    
                    
                       2   
                    
                    e              S (0)                               ; probability 0.25
                    
                    
                              2    (1)  (2)
                    S (0)e


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 130 · หน้าพิมพ์ 118 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

118                                                                                       อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
                                                            
                                                            
                ; probability 0.5                        2  ; probability 0.25
เมือ่ (2)                         และ (1)  (2)  0    ; probability 0.5
                 ; probability 0.5                      
                                                            
                                                            2  ; probability 0.25
                                                            




รูปที่ 3.14 S (2)  S (0)e2  (1) (2) เป็นมูลค่าสะสมของ S (0) ด้วยฟังก์ชันสะสม
                      2    (1)  (2)
e k (1) k (2 )  e                                                                                                    

3.2 การเดินสุ่ม
             กำหนดให้ w(n) เป็นตัวแปรเชิงสุ่มนิยาม โดย
                                           w(n)   (1)   (2)  ...   (n)   สำหรับทุก ๆ n  1, 2,...           (3.11)
และ w(0)  0 เราเรียก w(n) ว่า การเดินสุ่ม ( random walk) และเรียก w(n) ว่า การเดินสุ่ม
                                                                           
                                                                                  ; probability 0.5
สมมาตร (symmetric random walk) ถ้า (n)   
                                                                             ; probability 0.5
                                                                           


จะได้ว่า                                                 (n)  w(n)  w(n 1)                                     (3.12)




                                               รูปที่ 3.1 รูปแบบการเดินสุ่มสมมาตร w(n)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 131 · หน้าพิมพ์ 119 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง                                                                                                                                119




                           รูปที่ 3.2 การอธิบายเคลื่อนไหวของราคาหุ้นด้วยการเดินสุ่ม

ทฤษฎีบท 3.1 สำหรับเวลา t   n , n  1, 2,... จะได้ว่า ราคาหุ้น S (t ) อยู่ในรูป
                                                  S (t )  S (0)et  w(t )                                                                                      (3.13)
พิสูจน์ พิจารณา
                                                                                                                                                      n

                                                                                                                                                      k ( i )
                                    S (t )  S ( n)  S (0)e          k (0,  n )
                                                                                      S (0)e         k (1 )  k (2  ) ... k ( n )
                                                                                                                                           S (0)e   i1
                                                                                                                                                                  (3.14)
จากสูตร (3.10), k (i )    (i ) , i  1, 2,..., n เมื่อแทนใน (3.14) จะได้
                 n                                     n                                  n

                   (i )                    ( i )               n       ( i )
S (t )  S (0)e i1                 S (0)e           i1
                                                                    S (0)e              i1
                                                                                                       S (0)en  w( n )  S (0)et  w(t )                     




 ตัวอย่างที่ 3.3 (การจำลองราคาหุ้นด้วยการเดินสุ่ม) กำหนดเงื่อนไขของการจำลอง ดังนี้ ราคา
 เริ่มต้นของหุ้น S (0) = 100 , อัตราดริฟท์ µ = 0.02 , ความผันผวน σ = 0.1 และความกว้างของ
 ช่วงเวลา τ = 1 จงจำลองราคาหุ้นด้วยการเดินสุ่มที่เวลา t = 3

 วิธีทำ จากสูตรการคำนวณราคาหุ้น S=
                                   (t ) S (0) ⋅ e µt +σ w(t ) โดยที่
     w(t ) = λ (1) + λ (2) + λ (3)
 กรณีตัวอย่าง: สุ่มได้ λ (1) = +1, λ (2) = −1, λ (3) =  +1 จะได้ w(3) =+1 + (−1) + (+1) =1
 และ                     µ t + σ w(3)
                                    = 0.02 ⋅ 3 + 0.1 ⋅= 1 0.06 + 0.1= 0.16
 ดังนั้น                       S (3) = 100 ⋅ e0.16 ≈ 100 ⋅1.1735 = 117.35
 สำหรับการสุ่ม λ (n) กรณีอื่น ๆ แสดงได้ดังตารางต่อไปนี้
 ตารางเปรียบเทียบผลลัพธ์ของทุกกรณีของ λ (n)


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 132 · หน้าพิมพ์ 120 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

120                                                                       อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
  ลำดับ λ (1) , λ (2) , λ (3)              w(3) µ t + σ w(3)                          e µt +σ w(3)      S (3)
  1        +1, +1, +1                         3      0.06 + 0.3 = 0.36                          1.4330     143.30
  2        +1, +1, -1                         1      0.16                                       1.1735     117.35
  3        +1, -1, +1                         1      0.16                                       1.1735     117.35
  4        +1, -1, -1                         -1     0.06 - 0.1 = -0.04                         0.9608      96.08
  5        -1, +1, +1                         1      0.16                                       1.1735     117.35
  6        -1, +1, -1                         -1     -0.04                                      0.9608      96.08
  7        -1, -1, +1                         -1     -0.04                                      0.9608      96.08
  8        -1, -1, -1                         -3     0.06 - 0.3 = -0.24                         0.7866      78.66

 จะเห็นว่า ถึงแม้ว่า µ > 0 จะบ่งชี้แนวโน้มการเพิ่มขึ้นของราคา แต่เนื่องจาก λ (n) เป็นการสุ่ม
 แบบสมมาตร (symmetric random walk) ราคาหุ้นจึงสามารถผันผวนขึ้นหรือลงได้ในระยะสั้น
 S (t ) เป็นผลลัพธ์ที่สะท้อนถึงความไม่แน่นอนของตลาดการเงินในระยะสั้น                       


3.3 การเคลื่อนที่แบบบราวน์เนียน

         นิยามตัวแปรเชิงสุ่ม x(n) โดย
                                            k (n)  
                                 x ( n)                  สำหรับทุก ๆ n  1, 2,...                          (3.15)
                                               

เนื่องจาก k (n) เป็นตัวแปรเชิงสุ่มอิสระ ดังนั้น x(n) เป็นตัวแปรเชิงสุ่มอิสระด้วย

เพราะว่า E[k (n)]   และ Var[k (n)]       2



                                                   E[k (n)]  
ดังนั้น จะได้                       E[ x(n)]                      0                                        (3.16)
                                                          
                                               k (n)           1
และ                       Var[ x(n)]  Var[                 ]        Var[k (n)]  1                         (3.17)
                                                                2

โดยทฤษฎีลิมิตเข้าสู่ศูนย์กลาง (the central limit theorem) จะได้ว่า
                        x(1)  x(2)  ...  x(n)
                                                   X              เมื่อ n                                 (3.18)
                                    n



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 133 · หน้าพิมพ์ 121 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง                                                                                         121
โดยที่ X เป็นตัวแปรเชิงสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน* ( X ~  (0,1) )
เนื่องจาก k (n)    (n) ทำให้ได้
                                                      k (n)       k (n)  
                                            ( n) 
                                                           
                                                                                x ( n)                                (3.19)
                                                                         

นิยามเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง พิจารณาช่วงเวลา [0,1] แบ่งช่วง [0,1] เป็น N ช่วงเท่า ๆ กัน กำหนดให้
      1          n                       x ( n)
τ=      , t=
           n nτ=   ∈ [0,1] จะได้  (n)                                         เนื่องจาก w(n)   1   2  ...   n
      N          N                          N

ดังนั้นได้
                                                            x(1)  x(2)  ...  x(n)
                                                  w(n)                                                                   (3.20)
                                                                            N

นั่นคือ สำหรับ t   n , สำหรับทุก ๆ n  1, 2,..., N (โดยที่   N1 ) จะได้ว่า
                        N


                                                        x(1)  x(2)  ...  x( Nt N )          x(1)  x(2)  ...  x(n)
                wN (t N ) : w( Nt N )  t N                                             tN                              (3.21)
                                                                     Nt N                                  n

เมื่อให้ N   จะได้ t  n  t  [0,1] ผลที่ตามมา คือ
                                       N
                                             N

                                                        wN (t N )  t X  W (t )                                          (3.22)
เนื่องจาก X ~  (0,1) ดังนั้น W (t ) ~  (0, t ) สำหรับทุก ๆ t  0 นั่นคือ W (t ) เป็นตัวแปรเชิง
สุ่มซึ่ งมีการแจกแจงแบบปกติ ด้วยค่ าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน t และเราเรียกค่าลิ มิต W (t )
สำหรับทุก ๆ t  0 นี้ว่า การเคลื่อนที่แบบบราวน์เนียน (Brownian motion) หรือ กระบวนการวี
เนอร์ (Wiener process)
หมายเหตุ *ถ้า X ~  ( µ , σ 2 ) แล้วฟังก์ชันความหนาแน่นการแจกแจงความน่าจะเป็น คือ
                                   2
                        1 x  
               1           
                        2   
                                   
 f ( x)            e
              2


บทนิยาม 3.32 เรียกเซตของตัวแปรเชิงสุ่ม W (t ) ว่า การเคลื่อนที่แบบบราวน์เนียน ถ้าสำหรับ
                                                                        t 0


ทุก ๆ t  0 , W (t ) สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้
             1) W (0)  0
             2) W (t ) ~  (0, t ) ( E W (t )  0, Var W (t )  t )


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 134 · หน้าพิมพ์ 122 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

122                                                               อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
          3) สำหรับทุก ๆ s, t , u ซึ่ง 0  s  t  u ส่วนเพิ่ม W (t ) W (s) และ W (u) W (t ) เป็น
                 ตัวแปรเชิงสุ่มอิสระ
          4) สำหรับทุก ๆ s, t ซึ่ง 0  s  t ส่วนเพิ่ม (increment) W (t ) − W ( s) ~  (0, t − s)
หมายเหตุ 1) ความแตกต่างระหว่าง W (t ) และ w (t ) คือ W (t ) เป็นตัวแปรเชิงสุ่มสำหรับทุก ๆ ตัว
                                                    N


แปรเวลาต่อเนื่อง t  0 แต่ w (t ) เป็นตัวแปรเชิงสุ่ม สำหรับทุก ๆ ตัวแปรเวลาไม่ต่อเนื่อง t  n ,
                                   N



n  1, 2,...   โดยที่   N1
          2) สมบั ติข้อ (4) แสดงว่า W (t ) มี คุณ สมบั ติของส่วนเพิ่มนิ่ง (stationary increments)
คือ ส่ วนเพิ่ ม W (t ) − W ( s) มี การแจกแจงที่ ขึ้น อยู่กับ เพี ย งความยาวของช่ว งเวลา t  s โดยไม่
ขึ้นกับตำแหน่งของเวลา s หรือ t
          คุณสมบัตินี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง เนื่องจาก
      •   ทำให้กระบวนการมีความสมํ่าเสมอในเชิงเวลา (time-homogeneous) ซึ่งเป็นพื้นฐานใน
          การสร้างแบบจำลองทางการเงินและฟิสิกส์
      •   เอื้อให้สามารถคำนวณค่าคาดหวัง ความแปรปรวน และฟังก์ชันความหนาแน่นได้อย่างเป็น
          ระบบ
      •   ใช้ในการพิสูจน์และวิเคราะห์สมบัติของตัวแบบ เช่น สมการอิโต้และแบบจำลองแบล็กโชลส์
      •   หากขาดคุณสมบัตินี้ แบบจำลองจะไม่เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์โดยสมบูรณ์ และอาจ
          ต้องพิจารณากระบวนการอื่น เช่น Fractional Brownian motion ที่มีโครงสร้างความจำ
          (memory) และพฤติกรรมที่ซับซ้อนกว่า

ตัวอย่างที่ 3.4 (การจำลองการเคลื่อนที่แบบบราวน์จากการเดินสุ่มไม่ต่อเนื่อง) กำหนดพารามิเตอร์
อัตราดริฟท์ µ = 0.01 , ความผันผวน σ = 0.2 , ความกว้างของคาบเวลา τ = 0.1 และจำนวนขั้น
การเดินสุ่ม n = 100 จงจำลองการเคลื่อนที่แบบบราวน์จากการเดินสุ่มไม่ต่อเนื่อง
วิธีทำ จากนิยามกระบวนการสุ่ม กำหนดให้ตัวแปรสุ่มแต่ละช่วงเป็น
                                                          
                                                              ; probability 0.5
                             ) µτ + σλ (n) โดยที่  (n)  
                         k (n=
                                                          
                                                            ; probability 0.5
                                                          



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 135 · หน้าพิมพ์ 123 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง                                                            123
                                                          n
จากนั้นหาผลรวมสะสมของ k (n) ได้ ∑ k (i) ≡ K (t ) โดยที่ t = nτ เพื่อแปลงเป็นกระบวนการ
                                                         i =1

แบบบราวน์ กำหนดให้
                                                      K (t ) − µ t
                                         W (t ) =
                                                 W (t ) ~ N (0, t )
                                        σ
ผลการจำลองเชิงตัวเลข จากการสุม่ ค่า λ (n) จำนวน 100 ค่า และคำนวณตามนิยามข้างต้น พบว่า
ได้กราฟของ W (t ) ดังภาพ




           รูปที่ 3.3 กราฟแสดงกระบวนการ W (t ) จากการจำลองแบบเดินสุ่ม
กราฟด้านบนแสดงการจำลองกระบวนการบราวน์เนียน W (t ) จากการเดินสุ่มไม่ต่อเนื่องจำนวน
n = 100 ขั้นเวลา (steps) โดย

     •     แต่ละเส้นแสดงผลของการสุ่ม W (t ) จำนวน 10 เส้นทาง
เส้นสีดำหนาเป็น ค่าเฉลี่ยของทุกเส้นทาง ณแต่ละช่วงเวลา t                                        


3.4 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง

           ต่อไปจะสร้างแบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่องโดยการพิจารณา   N1 เมื่อ N   จะได้
ว่าจุดเวลา t   n เมื่อ n  1, 2,... เสมือนหนึ่งเป็นจุดเวลาที่ต่อเนื่องกัน สมมติให้ w(n) เป็นการ
เดิน สุ่มสมมาตร พิ จารณา S (t   )  S (t ) สํ าหรับ t   n , n  1, 2,... เมื่ อ   N1 และ N  
ในที่นี้ประมาณ S (t   )  S (t ) ในเทอมของ  ซึ่งมีดีกรีไม่เกินดีกรี 1 จากทฤษฎีบท 3.31 จะได้ว่า
S (t   )  S (t )  S (0)e (t  ) w(t  )  S (0)et  w(t )


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 136 · หน้าพิมพ์ 124 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

124                                                                                         อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
                                                                              
                       S (0)et  w(t ) e  w(t  ) w(t ) 1  S (t ) e
                                                                                       w ( t   ) w ( t )
                                                                                                                     
                                                                                                                    1   (3.23)
                                                                                                     2
โดยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของ e รอบจุด 0 ซึ่ง e  1  x  x2 ทำให้ได้
                                                  x                       x



                              
                                                                     w(t   )  w(t ) 
                                                                                              2
                              
S (t   )  S (t )  S (t ) 1      w(t   )  w(t )                                 1
                                                                            2                  
                                                                                                   
                                                                              2  w(t   )  w(t ) 
                                                                                                      2
                    
            S (t )     w(t   )  w(t )    w(t   )  w(t ) 
                     
                                                                                                                       (3.24)
                                                                                          2             

เพราะว่า w(t   )  w(t )   (t   )   ดังนั้น
                                 2      2



                                                                                                          2  
                 S (t   )  S (t )  S (t )     w(t   )  w(t )    w(t   )  w(t ) 
                                                                                                           2 
                                                                                                                        (3.25)
                                                

เพราะว่า  w(t   )  w(t )  (t   ) ซึ่งเป็นนิพจน์ของ  ดีกรีเกิน 1
                                                2 
ดังนั้น               S (t   )  S (t )     S (t )    w(t   )  w(t ) S (t )                            (3.26)
                                               2 

           เนื่ องจาก t  n เมื่ อ   N1 ดังนั้ น ราคาและการเดิน เชิงสุ มเชิงสมมาตรที่ เวลา t จึ ง
ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ N เพื่อให้สอดคล้องกันจะเขียนแทนราคาและการเดินเชิงสุ่มเชิงสมมาตรที่
เวลา t สำหรับ N  1, 2,... ด้วย S (t ) และ w (t ) ตามลำดับ ดังนั้น สมการ (3.26) สามารถเขียน
                                              N                N


ได้ในรูป
                           1                    2          1             1             
                S N (t      )  S N (t )     S N (t )    wN (t  )  wN (t ) S N (t )                    (3.27)
                           N                
                                                2          N    
                                                                            N           

ถ้ากำหนดให้ N   จะได้ว่า S (t )  S (t ) สำหรับบางตัวแปรเชิงสุ่ม S (t )
                                             N


ดังนั้น จากสมการ (3.27) แบบจำลองราคาหุ้น S (t ) สำหรับเวลาต่อเนื่องจึงอยู่ในรูป
                                                           2 
                                            dS (t )     S (t )dt   S (t )dW (t )                              (3.28)
                                                           2 

                                              dS (t )     2                    dW (t )
หรืออีกรูปหนึ่งคือ                                       S (t )   S (t )                                       (3.29)
                                               dt          2                     dt

เมื่อ dS (t )  S (t  dt )  S (t ) และ dW (t )  W (t  dt ) W (t ) เป็นส่วนเพิ่มของตัวแปรเชิงสุ่ม S (t )
และ W (t ) เหนือช่วงเวลาเล็ก ๆ dt และในทำนองเดียวกัน จาก(3.29) สำหรับเวลาไม่ต่อเนื่อง t  n
เมื่อ   N1 จะได้ว่า
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 137 · หน้าพิมพ์ 125 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง                                                          125
                                                   S N (t )  S (0)et  wN (t )          (3.30)
และถ้าให้ N   จะได้ว่า สำหรับเวลาต่อเนื่อง t  0 ,
                                                S (t )  S (0)et W (t )                 (3.31)
หากดำเนินการด้วยลอการิทึมฐานธรรมชาติทั้งสองข้าง จะได้
                                  ln S (t )  ln S (0)  t  W (t )                      (3.32)
เพราะว่า W (t ) ~  (0, t ) ดังนั้น ln S (t ) ~  (ln S (0) + µt , σ 2t )
จาก (3.32) และเขียนในอีกรูปหนึ่งได้
                                          S (t )
                                     ln
                                          S (0)
                                                  t  W (t )                            (3.33)
                                                       S (t ) 
และได้ว่า                                          ln          ~  µt , σ t
                                                                           2
                                                                             (      )      (3.34)
                                                       S (0) 
ซึ่งกล่าวได้ว่า กระบวนการราคาแบบเวลาต่อเนื่อง (continuous-time price process) หรือ การ
เคลื่ อนที่ แ บบบราวน์ เนี ย นเชิ งเรขาคณิ ต (Geometric Brownian Motion: GBM) ซึ่งแทนด้ ว ย
S (t ) มีการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบลอกนอร์มอล (lognormal distribution) กล่าวคือ ค่าของ

S (t ) มี ลั ก ษณะเป็ น เลขยกกํ า ลั ง ของค่ า ที่ มี ก ารแจกแจงแบบปกติ ซึ่ ง หมายความว่ า อั ต รา

ผลตอบแทนต่อเนื่ องของราคาในรูป ln  S (t )  มี การแจกแจงแบบปกติ (normal distribution)
                                                       
                                             S (0) 

นั่นคือ ln  S (t )  ~  ( µt , σ 2t ) ดังนั้น ราคาสินทรัพย์ S (t ) เองจึงมีการแจกแจงแบบลอกนอร์
                  
             S (0) 
มอล ซึ่งสามารถใช้ในการวิเคราะห์ความเสี่ยงของราคาในอนาคต และการประเมินความน่าจะเป็น
ของระดับราคาต่าง ๆ ตามฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น ดังแสดงในรูปด้านล่าง




                        รูปที่ 3.4 ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของ S (t )
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 138 · หน้าพิมพ์ 126 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

126                                                               อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ตัวอย่างที่ 3.5 (การจำลองราคาหุ้นด้วยกระบวนการเวลาเชิงต่อเนื่อง) สมมติว่า บริษัทวิจัยการเงิน
ต้องการประเมินความเสี่ยงของราคาหุ้นบริษัท A ซึ่งมีแนวโน้มเติบโตเฉลี่ยปีละ 5% และมีความผัน
ผวนของราคาอยู่ที่ 20% ต่อปี ผู้วิเคราะห์ต้องการศึกษาพฤติกรรมราคาหุ้นในช่วงเวลา 1 ปี โดยใช้
แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สามารถสะท้อนความไม่แน่นอนของตลาดได้ จงจำลองเส้นทางของ
ราคาหุ้น S (t ) จากกระบวนการราคาแบบเวลาต่อเนื่อง จำนวน 10 เส้นทาง และวิเคราะห์แนวโน้ม
ค่าเฉลี่ยของราคาในช่วงเวลา t ∈ [0,1]
วิธีทำ จากข้อมูล สมมติฐานของแบบจำลอง มีดังนี้ ราคาเริ่มต้นของหุ้น S (0) = 100 , อัตราดริฟท์
µ = 0.05 , ความผั น ผวนของราคา σ = 0.2 , ช่ ว งเวลาจํ า ลอง T = 1 ปี และจํ า นวนขั้ น เวลา
n = 1000 และ สูตรที่ใช้ในการจำลองการเปลี่ยนแปลงของราคาในแบบจำลอง GBM มีรูปแบบ
                                                         1                  
                                 S (t ) =S (0) ⋅ exp  µ − σ 2  t + σ W (t ) 
                                                         2                  
โดยที่ W (t ) คือกระบวนการบราวน์เนียน ซึ่งสร้างจากการสะสมค่าการเปลี่ยนแปลงสุ่ม
ตัวอย่างผลลัพธ์จากการจำลองเป็น ดังกราฟ ต่อไปนี้




รูปที่ 3.6 ผลการจำลองราคาหุ้น S (t ) จำนวน 10 เส้นทางจากแบบจำลอง GBM เส้นสีดำทึบคือเส้นค่าเฉลี่ยของ
แต่ละจุดเวลา
จากกราฟสามารถวิเคราะห์ผลลัพธ์ ได้ดังนี้
  1) แต่ละเส้นทางแสดงพฤติกรรมราคาหุ้นในสภาวะตลาดที่ต่างกัน
  2) ค่าเฉลี่ยของเส้นทางราคาในแต่ละช่วงเวลาเข้าใกล้เส้นแนวโน้ม (เส้นสีดำ) ที่สะท้อนดริฟท์
µ = 0.05

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 139 · หน้าพิมพ์ 127 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง                                                    127
     3) ความผันผวนของราคาสูงขึ้นเมื่อเวลาเพิ่มขึ้น ซึ่งสะท้อนผ่านการแผ่กระจายของแต่ละเส้น
โดยแบบจำลองนี้จะช่วยให้นักวิเคราะห์เข้าใจความเสี่ยงด้านราคาในอนาคต สามารถใช้ต่อยอดเพื่อ
คำนวณค่าความเสี่ยงทางการเงิน เช่นมูลค่าที่ความเสี่ยง (Value at Risk : VaR ) และ เป็นพื้นฐาน
สํ า คั ญ ของแบบจํ า ลองแบล็ ก โชลส์ (Black–Scholes model) สํ าหรับ การกํ าหนดราคาตราสาร
อนุพันธ์ซึ่งจะกล่าวถึงในบทถัด ๆ ไป                                                        

หมายเหตุ: ตัวอย่างโค้ดในการจำลองในตัวอย่าง
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parameters
S0 = 100          # Initial stock price
mu = 0.05          # Drift
sigma = 0.2 # Volatility
T=1              # Total time (in years)
n = 1000          # Number of steps
dt = T / n        # Time increment
t = np.linspace(0, T, n + 1) # Time vector
# Number of simulated paths
num_paths = 10
S_paths = []
# Simulate paths
for _ in range(num_paths):
   W = np.cumsum(np.sqrt(dt) * np.random.choice([1, -1], size=n))         # Brownian path
approximation
   W = np.insert(W, 0, 0) # W(0) = 0
   S = S0 * np.exp((mu - 0.5 * sigma**2) * t + sigma * W) # GBM formula
   S_paths.append(S)
S_paths = np.array(S_paths)
mean_S = np.mean(S_paths, axis=0)
# Plot
plt.figure(figsize=(12, 6))
for i in range(num_paths):

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 140 · หน้าพิมพ์ 128 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

128                                                                          อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
   plt.plot(t, S_paths[i], lw=1, alpha=0.6, label=f'Path {i+1}' if i == 0 else None)
plt.plot(t, mean_S, color='black', linewidth=2, label='Mean Path')
plt.axhline(S0, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.8)
plt.xlabel('Time $t$')
plt.ylabel('Stock Price $S(t)$')
plt.title('Multiple Simulations of Geometric Brownian Motion ($n=1000$ Steps)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

3.5 การประมาณอัตราดริฟท์และค่าความผันผวน

จากแบบจำลองราคาหุ้น S (t ) สำหรับเวลาต่อเนื่อง
                                          2 
                           dS (t )     S (t )dt   S (t )dW (t )                             (3.35)
                                          2 

จะเห็นว่าอัตราดริฟท์  และค่าความผันผวน  เป็นพารามิเตอร์ที่สำคัญมากอย่างยิ่ง อีกทั้ง
สำหรับในแบบจำลองต้นไม้ ยังเป็นพารามิเตอร์ที่สามารถช่วยในการคำนวณอัตราผลตอบแทน
ลอการิทึม
                                             ln 1  u  ; prob  0.5
                                     k n  
                                              ln 1  d  ; prob  0.5
                                               
และเราทราบว่า                         E[k (n)]   และ Var[k (n)]   2 

นั่นคือ ถ้ากำหนดให้   N1 จะได้ว่า
                 E[k (0, N )]  NE[k (n)] และ  2  Var k (0, N   NVar k (n                     (3.36)
         ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงการการประมาณอัตราดริฟท์และค่าความผันผวนของ S (t ) โดยใช้
ข้อมูลราคาในอดีต สมมติให้ S (t1 ), S (t2 ),...., S (tN ) เป็นราคาหุ้นในอดีต จากสมการ (3.36) จะเห็น
ว่าเราสามารถคำนวณ อัตราดิฟท์  และค่าความผันผวน  จากอัตราผลตอบแทนลอการิทึม และ



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 141 · หน้าพิมพ์ 129 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง                                                                                  129
เนื่องจาก S (t ) มีการแจกแจงแบบ ลอกนอร์มอล ดังนั้นจะให้ rk เป็นอัตราผลตอบแทนลอการิทึม
กำหนดโดย
                                            S (tk ) 
                                rk : ln                  ln S tk  ln S tk 1 
                                            S (tk 1 ) 
                                                                                                   , k  1,..., N   (3.38)
โดยความเป็นอิสระและกระจายเหมือนกัน (independent identically distributed: iid ) ของตัว
แปรเชิงสุ่ม rk จะได้
                                                2 
                               E  rk     t               และ         Var  rk    2 t             (3.39)
                                               2 

ดังนั้น  2  Var rk  และ   E rk   
                                                        2

                    t                      t         2

โดยสำหรับค่าความแปรปรวนของตัวอย่างคำนวณได้จาก
                                                             n
                                                     1
                                           s2 
                                                   n 1 k 1rk  r 
                                                                      2
                                                                                                                    (3.40)

ดังนั้นถ้า Var (rk )  s 2 และ E rk   r จะได้
                                                                      2              2
                   
                           s
                                 ˆ    และ   rt  2st  1t r  s2   ˆ                               (3.41)
                           t                                                             

ยิ่งไปกว่านั้น,
                                                           s2 
                                               ˆ (n)  r    s (n)
                               k (n)  ˆ t         
                                                                                                                    (3.42)
                                                            2 
                                                                                             s 2 
                                                                                     
                 
เมือ่  (n)  11 ;; prob  0.5                                       r  2  s ( n )

                         prob  0.5
                                    และเนื ่
                                           อ งจาก K (n)  e k ( n ) 1  e        
                                                                                                 1
                 
ผลที่ตามมาคือ
                                                        s 2                             s 2 
                                                        r   s                         r   s
                                               ue
                                                           2 
                                                                      1   และ d  e           2 
                                                                                                          1        (3.43)

ตัวอย่างที่ 3.6 สมมติว่าราคาปิดหุ้นตัวหนึ่ง ณ เริ่มวันเก็บข้อมูล ( t  0 ) เท่ากับ 90 บาท และราคา
ของหุ้นที่เวลาต่าง ๆ ในอดีตย้อนหลัง 10 วัน เป็นไปดังตารางต่อไปนี้ (ในที่นี้จำนวนจุดเวลา ใน 1 ปี
กำหนดให้เท่า 250 วันทำการใน 1 ปี )



วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 142 · หน้าพิมพ์ 130 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

130                                                                                         อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
   ti        0          1         2           3       4         5                    6            7            8            9           10
  Si
         90         93.05     93.04     96.38     97.11    98.08             100.35         99.61         104.58        106.38       107.21


จงประมาณอั ต ราดริฟ ท์ และค่ า ความผั น ผวนของหุ้น ตัวนี้ และหากต้องการจำลองราคาหุ้น ด้ว ย
แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค จงใช้อัตราดริฟท์และค่าความผันผวนที่ประมาณได้หา k (n) และเมื่อสมมติ
ว่าความน่าจะเป็นที่หุ้นจะเปลี่ยนแปลงด้วยอัตรา u และเปลี่ยนแปลงด้วยอัตรา d เท่ากัน
วิธีทำ โดยใช้สูตร (3.41), (3.43) สามารถคำนวณค่าต่าง ๆ โดยใช้โปรแกรม excel ช่วยคำนวณได้
                                                                         n
ดั ง ตาราง rk  ln S tk  ln S tk 1  และ s  n 1 1  rk  r 2 (ใน excel ใช้ คํ า สั่ ง s=stdev.s()
                                                                    k 1

และ r =average())
   t                     0       1            2       3         4               5            6            7        8             9       10
    S (t )           90.00    93.05       93.04    96.38    97.11            98.08       100.35        99.61   104.58     106.38     107.21
   ln S (t )        4.4998   4.5331      4.5330   4.5683   4.5758        4.5858          4.6087       4.6013   4.6500     4.6670     4.6748
    rk                       0.0333     -0.0001   0.0353   0.0075        0.0099          0.0229     -0.0074    0.0487     0.0171     0.0078
   s              0.017478
    r             0.017498


               1
ในที่นี้ t  250 ดังนั้น ค่าความผันผวนโดยประมาณ ˆ  s  0.017478  0.27634468
                                                                       t      1 / 250
                                                  2                                       2
และอัตราดริฟท์โดยประมาณ ˆ  1t r  s2   1/ 1250 0.017498  0.017478 2
                                                                                               
                                                                                              
                                                                                                   4.3363
                                                               
                   2                                    2
และ k (n)  r  s   s (n)  0.017498  0.017478   0.017478 (n)  0.00348
                                                                                             .0001
                                                                                                   2 ; prob  0.5
                                                                                                     3 ; prob  0.5
                  2                                 2                              
                                                                                       

                                  0.03482                         
และ K (n)  ek (n) 1  e0.000131 ; prob  0.5  0.03543 ; prob  0.5
                                                             0.00013 ; prob  0.5
                                                                                                                                        
                                 e          1 ; prob  0.5       


บทสรุปท้ายบทที่ 3

                 บทที่ 3 ได้นำเสนอแนวคิดของแบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญของการ
วิเคราะห์ ทางการเงิน สมัยใหม่ โดยเริ่มจากการทำความเข้าใจอัตราดริฟท์และค่าความผันผวนใน
ฐานะพารามิเตอร์หลักที่กำหนดแนวโน้มและความไม่แน่นอนของราคาสินทรัพย์ จากนั้นจึงพัฒนา

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 143 · หน้าพิมพ์ 131 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง                                                         131
แนวคิดผ่านกระบวนการเดินสุ่มและการเคลื่อนที่แบบบราวน์เนียน ไปสู่แบบจำลองที่สามารถอธิบาย
การเปลี่ยนแปลงของราคาในลักษณะต่อเนื่องได้อย่างสมจริงมากขึ้น
       แบบจํ า ลองเหล่ า นี้ เช่ น Geometric Brownian Motion (GBM) ถู ก นํ า ไปใช้ จ ริ ง อย่ า ง
แพร่หลายในวงการการเงิน เช่น
   •   การกํ า หนดราคาตราสารอนุ พั น ธ์ : แบบจํ า ลอง GBM เป็ น แกนกลางของสู ต ร Black-
       Scholes ซึ่งใช้ประเมินมูลค่าของออปชันในตลาด เช่น การกำหนดราคาคอลออปชันของ
       หุ้น A ที่มีอายุ 30 วัน โดยใช้ค่าอัตราดริฟท์และค่าความผันผวนจากข้อมูลย้อนหลัง 1 ปี
   •   การจัดการความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน: นักลงทุนสามารถใช้ค่าความผันผวนที่ได้จาก
       แบบจำลองเพื่อคำนวณมูลค่าที่ความเสี่ยง (Value at Risk: VaR ) และวางกลยุทธ์ป้องกัน
       ความเสี่ยง เช่น การซื้อพุตออปชันของหุ้น B เพื่อป้องกันความเสียหายจากการปรับตัวลง
       ของราคา
   •   การคาดการณ์ช่วงราคาสินทรัพย์: ด้วยการใช้การแจกแจงแบบปกติร่วมกับพารามิเตอร์ของ
       GBM นักลงทุนสามารถประมาณช่วงราคาที่หุ้นน่าจะอยู่ในอีก 10 วันข้างหน้า เช่น มีโอกาส
       95% ที่ราคาหุ้นจะอยู่ระหว่าง 68 ถึง 74 บาท
       ดังนั้น ความเข้าใจในแบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่องไม่เพียงแต่เป็นเครื่องมือเชิงทฤษฎี แต่ยัง
เป็นสะพานเชื่อมสำคัญที่นำแนวคิดทางคณิตศาสตร์ไปสู่การประยุกต์ใช้จริงในการกำหนดกลยุทธ์
การลงทุน การประเมินมูลค่าทางการเงิน และการจัดการความเสี่ยงได้อย่างมีประสิทธิภาพในโลก
แห่งความเป็นจริง

เอกสารอ้างอิง

[1] Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities.
Journal of Political Economy, 81(3), 637–654. https://doi.org/10.1086/260062
[2] Boyle, P. P. (1986). Option valuation using a three-jump process. International
Options Journal, 3(1), 7–12.


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 144 · หน้าพิมพ์ 132 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

132                                                        อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
[3] Cox, J. C., Ross, S. A., & Rubinstein, M. (1979). Option pricing: A simplified
approach. Journal of Financial Economics, 7(3), 229–263.
https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1
[4] Delbaen, F., & Schachermayer, W. (1994). A general version of the fundamental
theorem of asset pricing. Mathematische Annalen, 300(1), 463–520.
https://doi.org/10.1007/BF01450498
[5] Harrison, J. M., & Kreps, D. M. (1979). Martingales and arbitrage in multiperiod
securities markets. Journal of Economic Theory, 20(3), 381–408.
https://doi.org/10.1016/0022-0531(79)90043-3
[6] Hull, J. C. (2017). Options, futures, and other derivatives (9th ed.). Pearson.
[7] Merton, R. C. (1973). Theory of rational option pricing. The Bell Journal of
Economics and Management Science, 4(1), 141–183.
https://doi.org/10.2307/3003143
[8] Shreve, S. E. (2004). Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models.
Springer. https://doi.org/10.1007/b97490




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 145 · หน้าพิมพ์ 133 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง                                                      133
แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 3

1) สมมติว่าราคาหุ้น S เป็นไปตามแบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาค และ S (0)  100 โดยที่ความ
น่าจะเป็นของการเคลื่อนไหวราคาขึ้นเท่ากับการเคลื่อนไหวราคาลง และกำหนดให้แบ่งช่วงเวลา
[0,1] ออกเป็น 100 ช่องเท่า ๆ กัน ด้วยขนาดคาบเวลา              และกำหนดให้
                          E[k (1)]  E[k (2)]  ...  E[k (100)]  0.5

และ             Var[k (1)]  Var[k (2)]  ...  Var[k (100)]  0.01

จงคำนวณหาราคาหุ้น S (2)

2) จากแบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง กำหนดให้ E[k (n)]  0.0049 และ Var[k (n)]  0.0002
สำหรับทุก ๆ n  1, 2,...,12 จงคำนวณหา K (n)

3) จงประมาณค่ าความผัน ผวน  ต่อปี และอัตราดริฟท์  พร้อมทั้งคำนวณอั ตราผลตอบแทน
k (n) และ K (n) ของราคาหุ้นของบริษัทหนึ่งจากข้อมูลราคาปิดของหุ้นย้อนหลัง 22 วันทำการ ดังนี้


                       วันที่         ราคา           วันที่           ราคา
                                 0              50             11            51.08
                                 1           50.00             12            51.84
                                 2           50.00             13            50.88
                                 3           50.41             14            50.88
                                 4           51.10             15            50.58
                                 5           51.01             16            49.75
                                 6           50.89             17            48.90
                                 7           51.08             18            48.67
                                 8           51.08             19            48.31
                                 9           51.08             20            47.51
                                10           51.08             21            47.51

4) กำหนดให้ u = 0.015 , d = −0.01 , p = 0.5 , และแบ่งช่วงเวลา [0,1] ออกเป็น 20 ช่องย่อย


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 146 · หน้าพิมพ์ 134 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

134                                                           อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
           4.1) จงคำนวณค่า µ , σ , [k (n)] , Var[k (n)] สำหรับ n = 20

           4.2) จงเขียน S (1) และ S (2) ในรูปของ µ , σ , และ λ (1), λ (2)

                 (n) µτ n + σλ (n)τ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ λ (n)
5) จงพิสูจน์ว่า k=

6) สมมติว่าอัตราผลตอบแทนลอการิทึมของหุ้นมีการแจกแจงเป็นอิสระและเหมือนกัน (iid) จง
             n
พิสูจน์ว่า ∑ x(i) 
                   d
                     → X ~ N (0,1) เมื่อ n → ∞
            i =1



7) จงแสดงว่า หากราคาหุ้น S (t ) เปลี่ยนแปลงตามสมการ=
                                                   dS (t ) µ S (t )dt + σ S (t )dW (t )

แล้ว ln S (t ) ~  (ln S (0) + µt , σ 2t )

8) ให้เลือกหุ้นที่สนใจ นำเข้าข้อมูลราคาหุ้นที่สนใจย้อนหลัง 11 วันจาก Yahoo Finance หรือ
เว็บไซต์อื่น แล้วใช้ Excel คำนวณค่าต่อไปนี้
           8.1) อัตราผลตอบแทนลอการิทึม rk
           8.2) ค่าประมาณ µ และ σ
           8.3) คำนวณค่า u และ d

9) ให้เลือกหุ้นที่สนใจ นำเข้าข้อมูลราคาหุ้นรายวันย้อนหลัง 252 วัน และดำเนินการวิเคราะห์ เช่น
คำนวณ µ , σ รายปี อธิบายขั้นตอนการคำนวณโดยละเอียด

10) นักวิเคราะห์ต้องการใช้แบบจำลอง Brownian motion ทำนายความน่าจะเป็นที่ราคาหุ้นจะ
เกิน 10% จากราคาปัจจุบนั ในอีก 1 เดือน หาก µ = 0.1 , σ = 0.2 ต่อปี จงหาความน่าจะเป็น
ดังกล่าว

11) สมมติว่าหุ้นบริษัท A มีราคาปัจจุบัน 50 บาท อนาคต 6 เดือน ราคาจะอยู่ในช่วง 48–55 บาท
ด้วยความน่าจะเป็นเท่าใด หาก µ = 0.08 , σ = 0.25


วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 147 · หน้าพิมพ์ 135 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

บทที่ 3 แบบจำลองราคาเวลาต่อเนื่อง                                                           135
12. บริษัทประกันแห่งหนึ่งกำลังพัฒนากรมธรรม์ประเภท "ประกันความเสี่ยงการลงทุนในหุ้น" โดย
ให้ความคุ้มครองในกรณีที่ราคาหุ้นของบริษัท A ลดลงตํ่ากว่าระดับที่กำหนดภายในระยะเวลา 1 ปี
ข้างหน้า เพื่อกำหนดเบี้ยประกันที่เหมาะสม บริษัทประกันต้องการประมาณความน่าจะเป็นที่ราคา
หุ้นจะลดลงตํ่ากว่า 90 บาทในอีก 1 ปีข้างหน้า โดยใช้แบบจำลองการแจกแจงแบบลอกนอร์มอล
(log-normal distribution) ของราคาหุ้นที่เปลี่ยนแปลงตามแบบจำลองเวลา (Geometric
Brownian Motion) โดย กำหนดให้ ราคาหุ้นปัจจุบัน S (0) = 100 , อัตราดริฟท์รายปี µ = 0.08
ค่าความผันผวนรายปี σ = 0.25 สำหรับระยะเวลา t = 1 ปี จงตอบคำถามต่อไปนี้
    12.1) คำนวณความน่าจะเป็นที่ราคาหุ้น S (1) จะน้อยกว่า 90 บาทในอีก 1 ปีข้างหน้า
    12.2) หากบริษัทต้องการคุ้มครองความเสี่ยงนี้ด้วยอัตราการเรียกเก็บเบี้ยประกันเท่ากับมูลค่า
คาดหวังของความเสียหาย (Expected Loss) ให้คำนวณเบี้ยประกันที่ควรเรียกเก็บ
    12.3) อธิบายข้อสมมติของแบบจำลอง และความเหมาะสมในการนำไปใช้ในบริบทของการ
ประกันราคา
(แนะนำ: ใช้สมการลอกนอร์มอล ln S (t ) ~   ln S (0) +  µ − 1 σ 2  t , σ 2t  คำนวณ
                                                                2           
 ( S (1) < 90) โดยเปลี่ยนไปใช้ standard normal และคำนวณมูลค่าคาดหวังของส่วนต่างระหว่าง

ราคาที่คุ้มครองกับราคาจริง หากราคาจริงตํ่ากว่าระดับนั้น

13) แบบจำลอง Brownian motion แบบต่อเนื่อง (เช่น Geometric Brownian Motion) ถือว่า
ราคาหุ้นเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องและไม่มีการกระโดดของราคาในช่วงเวลาใด ๆ สมมติว่าคุณกำลัง
วิเคราะห์ราคาหุ้นของบริษัท B และพบว่า
    •   ราคาหุ้นกระโดดขึ้นทันที 5% ภายในไม่กี่วินาทีหลังจากการประกาศข่าวเชิงบวกอย่างมี
        นัยสำคัญ (เช่น การควบรวมกิจการ หรือผลประกอบการดีกว่าคาดมาก)
    •   เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นซํ้าได้ในลักษณะ "ก้าวกระโดด" แบบไม่ต่อเนื่องหลายครั้งในช่วงสั้น ๆ
จงตอบคำถามต่อไปนี้
    13.1) คุณยังสามารถใช้แบบจำลอง Brownian motion ได้หรือไม่ในกรณีนี้ เพราะเหตุใด

วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

หน้า PDF 148 · หน้าพิมพ์ 136 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗

136                                                                     อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
      13.2) อธิบายข้อจำกัดของ Geometric Brownian Motion ในการอธิบายพฤติกรรมราคาที่มี
การกระโดด
      13.3) เสนอแบบจำลองทางเลือกที่สามารถนำมาใช้ได้ในสถานการณ์นี้ พร้อมอธิบายสมการหรือ
แนวคิดโดยสังเขป (เช่น Merton Jump-Diffusion Model หรือ Poisson Jump Process)
      13.4) ยกตัวอย่างสถานการณ์จริงที่อาจเกิดการ “jump” ของราคาหุ้น และอธิบายว่าเหตุใด
แบบจำลองที่มีส่วน jump จึงเหมาะสมกว่าแบบจำลองต่อเนื่อง

14) สมมติว่าราคาหุ้น เปลี่ยนแปลงตามแบบจํ าลอง Geometric Brownian Motion (GBM) ซึ่งมี
                              1 2
                           µ − σ t +σ W ( t )
สมการ S=
       (t ) S (0) ⋅ e         2 
                                                  โดยที่ S (t ) แทน ราคาหุ้น ณ เวลา t , S (0) = 100 แทน
ราคาปัจจุบัน กำหนดให้ µ = 0.12 แทน อัตราผลตอบแทนคาดหวังต่อปี σ = 0.3 แทนความผัน
ผวนของราคาหุ้ น ต่ อ ปี , W (t ) เป็ น กระบวนการ Wiener หรื อ Brownian motion มาตรฐาน
สำหรับ t ∈ [0,1] ซึ่งคือช่วงเวลาจำลองเป็น 1 ปี (เช่น 252 วันทำการ)
         14.1) จงเขียนโปรแกรมภาษา Python หรือ ใช้ Microsoft Excel / Google Sheets เพื่อ
             o   สร้างชุดข้อมูลการเคลื่อนไหวของราคาหุ้นจำนวน 252 จุด (วันทำการใน 1 ปี)
             o   สุ่ ม ค่ า จากกระบวนการ Wiener, W (t ) หรื อ จํ า ลองจากผลรวมของ Normal
                 distribution
             o   วาดกราฟแสดงการเคลื่อนไหวของราคาหุ้นในช่วงเวลา t ∈ [0,1]
         14.2) ทดลองจำลองอย่างน้อย 3 ครั้ง และสังเกตว่าการเปลี่ยนแปลงของเส้นกราฟแตกต่าง
         กันอย่างไรบ้าง
         14.3) วิ เคราะห์ ค วามหมายของพารามิ เตอร์ µ และ σ และอธิบ ายว่าหากเปลี่ย นค่ า
เหล่านี้แล้วจะส่งผลต่อกราฟอย่างไร




วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ค้นหาบทและหน้า