บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย
หน้าพิมพ์ 1–66 · PDF 13–78
หน้า PDF 13 · หน้าพิมพ์ 1 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย
เนื้อหาประกอบด้วย
1.1 ความรู้พื้นฐานตราสารอนุพันธ์
1.2 สมมติฐานและสัญลักษณ์ในแบบจำลอง
1.3 การกำหนดราคาฟอร์เวิร์ด
1.4 ฟอร์เวิร์ดเงินตราต่างประเทศและอัตราแลกเปลี่ยนล่วงหน้า
1.5 การกำหนดราคาออปชัน
1.6 การจัดการความเสี่ยงด้วยออปชัน
บทนำ
ในบทนี ้ จ ะกล่ า วถึ ง แบบจํ า ลองราคาอย่ า งง่ า ย (simple market model) หรื อ
แบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาค 1 ขั้น (one-step binomial model) ซึ่งเป็นแบบจำลองพื้นฐาน
ที่ใช้ในการอธิบายการเคลื่อนไหวของราคาสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยง โดยแบบจำลองนี้พิจารณาจุดเวลา
เพียงสองจุดเวลา คือ จุดเวลาปัจจุบัน ( t 0 ) และ จุดเวลาอนาคต ( t 1 ) ซึ่งราคาของสินทรัพย์
สามารถเคลื ่ อ นที ่ ไ ปยั ง สองค่ า ที ่ เ ป็ น ไปได้ ต ามอั ต ราส่ ว นที ่ ก ํ า หนดไว้ ล ่ ว งหน้ า (Cox, Ross, &
Rubinstein, ค.ศ.1979) แบบจำลองนี้ถือเป็นพื้นฐานสำคัญในการพัฒนา แบบจำลองราคาทาง
การเงินที่ซับซ้อนขึ้น เช่น แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค n ขั้น (multi-step binomial model) ซึ่ง
ขยายแนวคิ ด จากแบบจํ า ลองหนึ ่ ง ช่ ว งเวลาไปสู ่ แ บบจํ า ลองหลายช่ ว งเวลา ทํ า ให้ ส ามารถใช้
แบบจำลองนี้กับตราสารอนุพันธ์ที่มีอายุหลายงวด เช่น ออปชันยุโรปและออปชันอเมริกัน (Hull,
ค.ศ. 2022; Shreve, ค.ศ. 2004) นอกจากนี ้ ยังสามารถพัฒ นาเป็น แบบจำ ลองต้น ไม้ไ ตรภาค
(trinomial model) ซึ่งเพิ่มสถานะอีกหนึ่งสถานะของราคาเพื่อให้แบบจำลองมีความแม่นยำมาก
ขึ้น และสามารถประมาณการพฤติกรรมของสินทรัพย์ที่มีความซับซ้อนสูงขึ้นได้ (Boyle, ค.ศ. 1986)
แบบจำลองราคาอย่างง่ายยังเป็นพื้นฐานของ แบบจำลองราคาในเวลาต่อเนื่อง (continuous-
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 14 · หน้าพิมพ์ 2 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
2 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
time pricing models) เช่ น แบบจํ า ลอง Black-Scholes (Black & Scholes, ค.ศ. 1973;
Merton, ค.ศ. 1973) ซึ่งเป็นแบบจำลองสำคัญที่ใช้อธิบายราคาของออปชันและตราสารอนุพันธ์อื่น
ๆ ในตลาดทุน แนวคิดจากแบบจำลองเหล่านี้ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในการกำหนดราคาอนุพันธ์ทาง
การเงินที่หลากหลาย รวมถึงการประเมินความเสี่ยงและการบริหารพอร์ตการลงทุน
ในส่วนสุดท้ายของบทนี้ จะอธิบายถึง แนวคิดพื้นฐานในการจัดการความเสี่ยงของพอร์ต
การลงทุน (portfolio risk management) โดยอาศัยหลักการของ การป้องกันความเสี่ยงด้วย
กลยุทธ์ไร้อาร์บิทราจ (no-arbitrage hedging strategies) และการสร้าง พอร์ตการลงทุนที่มี
ความเสี่ยงเป็นศูนย์ (risk-neutral portfolio) ซึ่งเป็นหลักการสำคัญที่ใช้ในการกำหนดราคาตรา
สารอนุพันธ์ในแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค (Ross, ค.ศ.1976; Rubinstein, ค.ศ.1976)
1.1 ความรู้พื้นฐานตราสารอนุพันธ์
ตราสารอนุพันธ์ เป็นสัญญาทางการเงินที่ผู้ซื้อและผู้ขายตกลงที่จะซื้อหรือขายสินค้า อ้างอิง
(underlying assets) โดยข้อตกลงทำธุรกรรมดังกล่าวทำในปัจจุบันแต่ชำระราคาและส่งมอบสินค้า
อ้างอิงตามเวลาที่กำหนดไว้ในอนาคต ข้อตกลงทำธุรกรรมที่ระบุในตราสารอนุพันธ์อาจอยู่ในรูป
พันธะผูกพัน (obligation) ระหว่างคู่สัญญาทั้งฝ่ายซื้อและฝ่ายขาย หรืออาจเป็นข้อตกลงที่ให้สิทธิ
(right) แก่คู่สัญญาในการซื้อหรือขายสินค้าอ้างอิงหรือตัวแปรอ้างอิง ณ เวลาใดเวลาหนึ่งในอนาคต
โดยมีการระบุจำนวนหรือปริมาณและคุณภาพของสินค้าอ้างอิง ราคาซื้อขายและวิธีการส่งมอบสินค้า
อ้างอิงไว้เป็นการล่วงหน้า สินค้าอ้างอิงที่ระบุในตราสารอนุพันธ์ อาจเป็น
- สินทรัพย์ทางการเงิน เช่น หุ้นสามัญ กลุ่มของหุ้น พันธบัตรรัฐบาล
- ตัวแปรอ้างอิง เช่น ดัชนีราคาหุ้น (SET, SET100 และ SET50) เป็นต้น
- สินค้าโภคภัณฑ์ เช่น สินค้าและผลิตภัณฑ์ทางการเกษตร นํ้ามันดิบ สินแร่ เป็นต้น
1.1.1 ประเภทของตราสารอนุพันธ์ตามลักษณะพันธะผูกพันของสัญญา
ตราสารอนุพันธ์ตามลักษณะพันธะผูกพันของสัญญา จำแนกเป็น 3 ประเภท คือ สัญญาซื้อ
ขายล่วงหน้า ออปชัน และสัญญาสวอป
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 15 · หน้าพิมพ์ 3 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 3
1) สัญญาซื้อขายล่วงหน้า
เป็นสัญญาระหว่างคู่สัญญาสองฝ่ายที่ตกลงจะซื้อจะขายสินค้าอ้างอิงที่ระบุในสัญญา ในราคา
ปริมาณ และเวลาส่งมอบที่ได้กำหนดในไว้สัญญา โดยทั้งผู้ที่จะซื้อและผู้ที่จะขาย มีภาระผูกพันต้อง
ทำตามสัญญานั้น ๆ กล่าวคือ ฝ่ายผู้ขายจะต้องนำสินค้าอ้างอิงมาส่งมอบตามเวลาที่กำหนดไว้ใน
สัญญา และฝ่ายผู้ซื้อจะต้องชำระราคาตามกำหนด
ประเภทของสัญญาซื้อขายล่วงหน้ามีอยู่ 2 ประเภท คือ
1.1) สัญญาฟอร์เวิร์ด (forward contact) เป็นสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่คู่สัญญาตกลงซื้อ
ขายกันเองในตลาดที่ไม่เป็นทางการ (over-the-counter market) โดยคู่สัญญาจะต้องปฏิบัติตาม
ข้อผูกพันตามสัญญาฟอร์เวิร์ดโดยมีการส่งมอบตัวสินค้าอ้างอิงจริง (physical delivery)
ตัวอย่างของสัญญาฟอร์เวิร์ด ได้แก่ สัญญาฟอร์เวิร์ดเงินตราต่างประเทศ สัญญาฟอร์เวิร์ด
อัตราดอกเบี้ย (forward rate agreement หรือ FRA) สัญญาฟอร์เวิร์ดยางพารา และ สัญญาฟอร์
เวิร์ดดอกทิวลิป เป็นต้น
1.2) สัญญาฟิวเจอร์ส (future contact) เป็นสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่คู่สัญญาตกลงซื้อขาย
ผ่านนายหน้าในตลาดที่จัดตั้งอย่างทางการ (organized exchange) โดยคู่สัญญาตามสัญญาฟิว
เจอร์ส ส่วนใหญ่มิได้ต้องการส่งมอบหรือรับมอบตัวสินค้าอ้างอิงจริง ๆ เช่นเดียวกับสัญญาฟอร์เวิร์ด
แต่คู่สัญญาเลื อกที่จ ะล้ างหรื อปิ ดสถานะการเป็น คู ่สั ญญาได้ โดยการรับและจ่ ายเงินสด (cash
settlement)
ตัวอย่างของสัญญาฟิวเจอร์ส ได้แก่ สัญญาฟิวเจอร์สในดัชนีราคาหุ้น SET50 หรือ SET50
index futures ที่ซื้อขายในตลาดอนุพันธ์ TFEX และสัญญาซื้อขายสินค้าเกษตรล่วงหน้าในตลาด
ล่วงหน้า AFEX เป็นต้น
2) ออปชัน (option) หรือตราสารสิทธิ เป็นสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่ผู้ออกออปชันให้สิทธิ
(right) แก่ผู้ซื้อออปชันที่จะซื้อหรือขายสินค้าอ้างอิงหรือตัวแปรอ้างอิง ในราคา ปริมาณ และเวลา
ตามที่กำหนดไว้ในสัญญา สิทธิในที่นี้ มิใช่พันธะ เนื่องจากออปชันมีลักษณะเป็นใบแสดงสิทธิ ดังนั้นผู้
ซื้อออปชันจึงต้องจ่ายเงินเพื่อซื้อออปชัน เรียกว่า ค่าพรีเมียม (premium) เพื่อให้ได้มาซึ่ง สิทธิที่ระบุ
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 16 · หน้าพิมพ์ 4 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
4 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ในออปชัน หากผู้ถือออปชันใช้สิทธิ ผู้ออกหรือผู้ขายออปชันมีพันธะที่จะต้องขายหรือรับซื้อสินค้า
อ้างอิงหรือตัวแปรอ้างอิงตามที่ระบุในสัญญา
ประเภทของออปชันแบ่งตามการให้สิทธิแบ่งได้ 2 ประเภท
2.1) คอลออปชัน (call option) เป็นออปชันที่ให้สิทธิแก่ผู้ถือออปชันในการซื้อสินค้าอ้างอิง
2.2) พุทออปชัน (put option) เป็นออปชันที่ให้สิทธิแก่ผู้ถือออปชันในการขายสินค้าอ้างอิง
ตัวอย่างของออปชันที่มีการซื้อขายในศูนย์ซื้อขายอนุพันธ์ ได้แก่ คอลออปชันและพุทออป
ชันของ SET50 index
3) สัญญาสวอป (swap) เป็นสัญญาที่กำหนดให้คู่สัญญาแลกเปลี่ยนกระแสเงินสดที่จะเกิดขึ้น
ในอนาคตระหว่างกันเพื่อให้เหมาะสมกับการดำเนินธุรกิจของแต่ละฝ่ายโดยคู่สัญญาจะต้องปฏิบัติ
ตามพันธะผูกพันในการส่งมอบกระแสเงินสดระหว่างกันที่งวดที่กำหนดตลอดอายุสัญญา
ตั ว อย่ า งของสั ญ ญาสวอป ได้ แก่ สั ญ ญาสวอปเงิน ตราต่างประเทศ สัญ ญาสวอปอัตรา
ดอกเบี้ย เป็นต้น
รูปที่ 1.1 ประเภทของตราสารอนุพันธ์
1.1.2 ประโยชน์ของตราสารอนุพันธ์ และผู้ค้าในตลาดตราสารอนุพันธ์
วัตถุประสงค์หลักของการออกตราสารอนุพันธ์ คือเพื่อใช้เป็นเครื่องมือในการจัดการและ
บริห ารความเสี่ ย ง ผลจากการซื ้ อขายตราสารอนุพันธ์ทำให้เกิดผลประโยชน์ด้านการเก็งกำไร
นอกจากนี้ราคาที่เ กิดจากการซื้ อขายยั งช่วยให้ผ ู้ลงทุ นในสิน ค้าหลั ก ค้นพบราคาที่ แท้ จริ งของ
หลักทรัพย์หลักหรือสินค้าหลักได้เร็วขึ้นอีกด้วย
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 17 · หน้าพิมพ์ 5 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 5
จากวัตถุประสงค์หลักและประโยชน์ของตราสารอนุพันธ์ จึงสามารถจำแนกผู้ค้าในตลาดตรา
สารอนุพันธ์ได้เป็น 3 ประเภท คือ นักบริหารความเสี่ยง (hedger) นักเก็งกำไร (speculator) และ
นักค้ากำไร (arbitrageur) โดยผู้ค้าแต่ละประเภทมีคำจำกัดความ ดังนี้
1) นักบริหารความเสี่ยง (hedger) คือ ผู้ค้าที่ต้องการกำหนดราคาซื้อหรือขายสินค้าอ้างอิง
ไว้ก่อนที่จะมีการซื้อหรือขายจริงสินค้าอ้างอิงนั้นจริง เพื่อเป็นการลดความเสี่ยงจากความผันผวนของ
ราคาสินค้าอ้างอิง ทำให้ราคาสินค้าอ้างอิงมีความไม่แน่นอน เช่น ความไม่แน่นอนของราคาหุ้นและ
สินค้าต่าง ๆ อัตราดอกเบี้ย และอัตราแลกเปลี่ยน เป็นต้น
2) นักเก็งกำไร (speculator) คือ ผู้ค้าที่เข้ามาซื้อหรือขายตราสารอนุพันธ์ โดยต้องการทำ
กำไรจากความผันผวนของราคาตราสารอนุพันธ์หรือสินค้าอ้างอิงซึ่งทำให้เกิดส่วนต่างระหว่างราคา
ซื้อและราคาขาย นักเก็งกำไรที่เข้ามาไม่ได้มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ได้สิทธิในการซื้อหรือขายสิ นค้า
อ้างอิง นักเก็งกำไรมีส่วนช่วยทำให้ตลาดอนุพันธ์มีสภาพคล่องเนื่องจากมีการซื้อขายหมุนเวียน
เปลี่ยนมือกันอย่างต่อเนื่อง
3) นักค้ากำไร (arbitrager) คือ ผู้ค้าที่เข้ามาลงทุนในตลาดอนุพันธ์เพื่อแสวงหารายได้ จาก
ความไม่สมดุลระหว่างระหว่างราคาสินค้าอ้างอิงในตลาด 2 ตลาดคือ ในตลาดปัจจุบันหรือราคาเงิน
สด กับราคาในตลาดอนุพันธ์ หากราคาทั้งสองเคลื่อนไหวไม่สมดุลกันก็จะสามารถทำการค้ากำไรได้
โดยการซื้อสินค้าหรือตราสารในตลาดที่มีราคาตํ่าพร้อมกับการขายตราสารหรือสินค้าในตลาดที่ราคา
สูง ซึ่งเป็นการทำกำไรโดยปราศจากความเสี่ยง (arbitrage) ทั้งนี้ การค้ากำไรจะช่วยผลักดันให้ราคา
ของสินค้าหรือตราสารดังกล่าวมีการปรับราคาเข้าสู่จุดที่เหมาะสมได้เร็วขึ้น
1.2 สมมติฐานและสัญลักษณ์ในแบบจำลอง
แบบจำลองราคาอย่างง่าย เป็นแบบจำลองราคาแสดงการเคลื่อนไหวของราคาสินทรัพย์ ใน
รูปต้นไม้ทวิภาค 1 ขั้น (ในที่นี้จะกำหนดให้หุ้นเป็นตัวแทนของสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยง) แบบจำลอง
ราคาอย่างง่ายประกอบด้วย 2 จุดเวลา คือ จุดเวลาปัจจุบัน (เวลา=0) ซึ่งจะแทนด้วย t 0 และจุด
เวลาอนาคต (เวลา= T ) ซึ่งจะแทนด้วย t 1
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 18 · หน้าพิมพ์ 6 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
6 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
กำหนดให้ Ω เป็นปริภูมิตัวอย่างซึ่งเป็นเซตของผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม
บทนิยาม 1.1 กำหนดให้ Ω เป็นปริภูมิตัวอย่างซึ่งเป็นเซตของผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม
เรียกฟังก์ชัน X : Ω → ว่า ตัวแปรสุ่ม (Random Variable) และเรียก X : Ω → ว่าตัวแปร
สุ ่ ม คงที ่ (Constant Random Variable) ถ้ า X (ω ) = c สํ า หรั บ ทุ ก ๆ ω ∈ Ω โดยที่ c เป็ น
ค่าคงที่
เพื่อความสะดวกจะเรียกตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นตัวแปรสุ่มคงที่ว่า “ตัวแปรสุ่ม” และหากเป็นตัว
แปรสุ่มคงที่จะระบุโดยเฉพาะ
ต่อไปจะกำหนดสัญลักษณ์ต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้อง ดังต่อไปนี้ สำหรับเวลา t 0,1 กำหนดให้
S (t ) เป็นราคาหุ้นต่อหน่วย โดยที่ S (0) , S (1) คือ ราคาปัจจุบันและราคาอนาคต ตามลำดับ
A(t ) เป็นราคาตราสารหนี้ต่อหน่วยโดยที่ A(0) , A(1) คือ ราคาปัจจุบันและราคาอนาคต ตามลำดับ
กำหนดให้ K (1) S (1)S(0)S (0) �𝑢𝑢𝑑𝑑 ;; ความน่ าจะเป็น 𝑝𝑝
ความน่าจะเป็น 1 − 𝑝𝑝
เป็นอัตราผลตอบแทนของหุ้นต่อคาบซึ่ง
เป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงราคาหุ้นต่อคาบ โดยที่ 1 d u และ ความน่าจะเป็น 0 p 1
กำหนดให้ K A(1)A(0)A(0) r เป็นอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้ต่อคาบซึ่งเป็นอัตราการ
A
เปลี่ยนแปลงราคาตราสารหนี้ต่อคาบ และ เป็นอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องที่สมมูลกับ r นั่นคือ
1 r e จากนิยามของ K (1) จะได้ว่า
(1 + 𝑢𝑢)𝑆𝑆(0) ≡ 𝑆𝑆𝑢𝑢 ; ความน่าจะเป็น 𝑝𝑝
S (1) �
(1 + 𝑑𝑑)𝑆𝑆(0) ≡ 𝑆𝑆𝑑𝑑 ; ความน่าจะเป็น 1 − 𝑝𝑝
(1.1)
นั่นคือ S (1) เป็นตัวแปรสุ่มซึ่งเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่าทีแ่ น่นอนตามความน่าจะเป็น p โดยที่การ
เคลื่อนไหวของราคาหุ้นสามารถแสดงได้ด้วยต้นไม้ ดังรูปที่ 1.2
รูปที่ 1.2 ต้นไม้ราคาหุ้นที่เวลา t 0 และ t 1
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 19 · หน้าพิมพ์ 7 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 7
และ A(1) (1 r ) A(0) e A(0) (1.2)
จะเห็นว่า A(1) เป็นตัวแปรที่ทราบค่าแน่นอน (ตัวแปรสุ่มคงที)่ โดยที่การเคลื่อนไหวของราคาตรา
สารหนี้สามารถแสดงได้ ดังรูปที่ 1.3
รูปที่ 1.3 กระแสเงินสดของราคาตราสารหนี้ที่เวลา t 0 และ t 1
หมายเหตุ 1) สํ า หรั บ ในตํ า ราเล่ มนี ้ เนื ่ องจากการพิมพ์ส มการทางคณิ ตศาสตร์ ด้ว ยโปรแกรม
MathType ไม่รองรับภาษาไทย ดังนั้นในตำราเล่มนี้จะขออนุญาตใช้ข้อความ “probability” ใน
สมการแทนคำว่า “ด้วยความน่าจะเป็น” )
2) ในกรณีที่ราคาหุ้นเปลี่ยนแปลงด้วยอัตรา u ด้วยความน่าจะเป็น p จะเขียนแทน
ด้วยสัญลักษณ์ ในกรณีที่ราคาหุ้นเปลี่ยนแปลงด้วยอัตรา d ด้วยความน่าจะเป็น 1 p จะเขียน
แทนด้วยสัญลักษณ์
ตัวอย่างที่ 1.1 กำหนดให้หุ้น A มีราคา S (0) 28 บาท จงหาราคา S (1) เมื่อกำหนดให้ K (1)
0.1; ความน่าจะเป็ น 0.8
�
−0.2; ความน่าจะเป็ น 0.2
0.1)28; 30.8 ;
วิธีทำ จากโจทย์ได้ S (1) (1(1 0.2)28
; 22.4 ;
บทนิยาม 1.2 พอร์ตการลงทุน (portfolio) หรือเรียกโดยย่อว่า พอร์ต คือ เวกเตอร์แสดงปริมาณ
สินทรัพย์แต่ละสินทรัพย์ของการลงทุนโดยจะเขียนแทนด้วย Port
สมมติให้ Port x(t ), y(t ) x, y สำหรับเวลา t 0,1 กำหนดให้
V (t ) แทน มูลค่าของพอร์ตการลงทุน ที่เวลา t
x(t ) แทนปริมาณหุ้น (หน่วย ) ที่เวลา t
y (t ) แทนปริมาณตราสารหนี้ (หน่วย) ที่เวลา t
จะได้มูลค่าของพอร์ตการลงทุน คือ
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 20 · หน้าพิมพ์ 8 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
8 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
V (t ) xS (t ) yA(t ) สำหรับ t 0,1 (1.3)
xSu yA(1) ;
นั่นคือ V (0) xS (0) yA(0) และ V (1) xS (1) yA(1)
xS d yA(1) ;
(1.4)
เนื่องจาก S (1) ดังนั้น V (1) เป็นตัวแปรสุ่มด้วย โดยที่การเคลื่อนไหวของมูลค่าพอร์ตการลงทุน
สามารถแสดงได้ด้วยต้นไม้ ดังรูปที่ 1.4
รูปที่ 1.4 ต้นไม้มูลค่าของพอร์ตการลงทุนที่เวลา t 0 และ t 1
บทนิยาม 1.3 อัตราผลตอบแทน K ของพอร์ตการลงทุน Port x, y คือ อัตราส่วนของ
V
ผลต่างของมูลค่าปัจจุบันกับมูลค่าอนาคตของพอร์ตการลงทุนต่อมูลค่าปัจจุบัน นั่นคือ
V (1) V (0)
KV
V (0)
(1.5)
จากบทนิยาม 1.3 และ สูตร (1.4) จะได้ว่า
xuS (0) + yrA(0)
; ความน่าจะเป็น p
xS (0) + yA(0) (1.6)
KV = �
xdS (0) + yrA(0)
; ความน่าจะเป็น 1 − p
xS (0) + yA(0)
ตัวอย่างที่ 1.2 ตราสารหนี้ฉบับหนึ่งมีราคาปัจจุบัน 900 บาท และราคาในอีก 3 เดือนข้างหน้า
เท่ากับ 1,000 บาท และหุ้นของบริษัทหนึ่งมีราคาปัจจุบัน 30 บาทต่อหุ้น โดยที่ราคาในอีก 3 เดือน
ข้างหน้ามีโอกาสเท่ากับ 42 และ 27 บาทต่อหุ้น ด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และ 0.7 ตามลำดับ ถ้า
นักลงทุนคนหนึ่งลงทุนซื้อทั้งตราสารหนี้และหุ้นของบริษัทนี้ ด้วยเงินลงทุน 100,000 บาท โดยแบ่ง
เงินซื้อตราสารหนี้และหุ้นอย่างละครึ่ง จงหามูลค่าอนาคตและอัตราผลตอบแทนของพอร์ตการลงทุน
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 21 · หน้าพิมพ์ 9 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 9
นี้ในอีก 3 เดือนข้างหน้า โดยสมมติว่าสามารถซื้อตราสารได้เป็นจำนวนจริงใด ๆ ไม่จำเป็นต้องเป็น
จำนวนเต็มบวกเท่านั้น
วิธีทำ จากโจทย์กำหนดให้ A(0) 900 , A(1) 1, 000 , S (0) 30 , S (1) 42 ; p 0.3
27 ; 1 p 0.7
,
V (0) 100, 000 สมมติให้ x แทน ปริมาณหุ้น (หน่วย ) และ y แทน ปริมาณตราสารหนี้ (หน่วย)
จะได้ x 50, 000 / 30 และ y 50, 000 / 900 ดังนั้น มูลค่าของพอร์ตการลงทุนที่อนาคต
42 ; 125,555.56 ;
V (1) xS (1) yA(1) (50, 000 / 30)
(50, 000 / 900)(1, 000)
27 ; 100,555.56 ;
จากนิยามของอัตราผลตอบแทนของพอร์ตการลงทุน
125,555.56 ;
100, 000
V (1) V (0) 100,555.56 ;
KV
V (0) 100, 000
125,555.56 100, 000
;
100, 000 0.2556 ;
นั่นคือ KV
100,555.56 100, 000 0.0056 ;
;
100, 000
ค่ า คาดหวั งของอั ตราผลตอบแทนและความเสี่ย งจากการลงทุน เป็น เครื ่ องมื อที ่ใ ช้ วั ด
ประสิทธิภาพของพอร์ตการลงทุนว่าให้ผลตอบแทนคาดหวังมากน้อยเพียงใดและมีความเสี่ยงมาก
น้อยเพียงใด ต่อไปจะนิยามค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทนและความเสี่ยงจากการลงทุนจากอัตรา
ผลตอบแทน K ซึ่งเป็นตัวแปรสุ่ม
V
บทนิยาม 1.4 ค่าคาดหวัง (Expected Value) กำหนดให้ Ω เป็น ปริภูมิตัวอย่าง (sample space)
ซึ ่ งเป็ น เซตของผลลั พธ์ ที ่ เ ป็ น ไปได้ จ ากการทดลองสุ่ม และให้ X : Ω → เป็น ตัว แปรสุ่ม ที่
กำหนดค่าจากผลลัพธ์แต่ละรายการ
ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งแทนด้วย E X หมายถึง “ค่าเฉลี่ย” ที่เราคาดว่าจะได้
จากการสุ่มในระยะยาว และนิยามได้ดังนี้
กรณีตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (Discrete Random Variable)
E[ X ] = ∑ x ⋅ P( X = x) (1.7)
x∈
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 22 · หน้าพิมพ์ 10 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
10 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
โดยที่ คือเซตของค่าที่ตัวแปรสุ่ม X สามารถรับได้ และ P( X = x) คือความน่าจะเป็นที่ X
มีค่าเท่ากับ x
กรณีตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (Continuous Random Variable)
∞
E[=
X] ∫ x ⋅ f ( x)dx
−∞ X (1.8)
โดยที่ f X ( x) คือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (probability density function) ของตัว
แปรสุ่ม X
บทนิยาม 1.5 ความแปรปรวน (variance) ของ X เขียนแทนด้วย Var[ X ] นิยามโดย
Var[ X ] E[ X E[ X ]]2 (1.9)
บทนิยาม 1.6 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) ของ X เขียนแทนด้วย X
นิยามโดย
X Var[ X ] (1.10)
บทนิยาม 1.7 กำหนดให้ K เป็นอัตราผลตอบแทนของพอร์ตการลงทุน นิยาม
V
1) ค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทนจากการลงทุน คือ E K V
2) ความเสี่ยงจากการลงทุน คือ KV Var ( KV )
เมื่อ E ( X ) และ Var ( X ) เป็นค่าคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X ตามลำดับ
ทฤษฎีบท 1.8 กำหนดให้ K (1) เป็นอัตราผลตอบแทนของหุ้น และ K เป็นอัตราผลตอบแทน A
ของตราสารหนี้ จะได้
1) E K (1) pu (1 p)d และ E K r e 1 A
2) K (1) (u ) 2 p (d ) 2 (1 p ) เมื่อ E ( K (1)) และ KA 0
พิสูจน์ ได้โดยตรงจากนิยามของ K (1) และ K A
ตัวอย่างที่ 1.3 กำหนดให้ A(0) 100 , A(1) 110 , S (0) 50 และ S (1) 52 ; p 0.8
48 ; 1 p 0.2
จงคำนวณค่าของ K (1) , K , E K (1) , E K ,
A A K (1) และ KA
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 23 · หน้าพิมพ์ 11 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 11
52 50 0.04 ;
S (1) S (0)
50
วิธีทำ จากนิยาม K (1)
S (0)
48 50
0.04 ;
50
A(1) A(0) 110 100
KA 0.1 10%
A(0) 100
โดยนิยามค่าค่าหวัง จะได้
E K (1) 0.8(0.04) 0.2(0.04) 0.024 , E K A 0.1
K (1) 0.8(0.04 0.024) 2 0.2(0.04 0.024) 2 0.032 , K A 0
ตัวอย่างที่ 1.4 จากตัวอย่างที่ 1.3 กำหนดให้ลงทุนซื้อหุ้น 20 หน่วย และตราสารหนี้ 10 หน่วย
จงคำนวณค่า K , ค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทน E K และความเสี่ยงจากการลงทุน
V V KV
วิธีทำ จาก V (t ) xS (t ) yA(t )
จะได้ว่า V (0) 20 S (0) 10 A(0) 20(50) 10(100) 2, 000
52 ; 1, 040 1,100 2,140 ;
และ V (1) 20 S (1) 10 A(1) 10(110) 20
48 ; 960 1,100 2, 060 ;
จากนิยามของ
2,140 2, 000
0.07 ;
V (1) V (0) 2, 000
KV
V (0) 2, 060 2, 000
0.03 ;
2, 000
ค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทน E K 0.8(0.07) 0.2(0.03) 0.062
V
ความเสี่ยงจากการลงทุน KV 0.8(0.07 0.062) 2 0.2(0.03 0.062) 2 0.016
ตัวอย่างที่ 1.5 พิจารณาการลงทุนใน 3 โครงการดังนี้ โดยลงทุนในแต่ละโครงการด้วยเงินทุน
100,000 บาท เท่ากัน
โครงการที่ 1 ลงทุนกับตราสารหนี้ที่มีอัตราดอกเบี้ยต่อคาบ เท่ากับ 10 % อย่างเดียว
โครงการที่ 2 ลงทุนกับตราสารหุ้นที่มีอัตราผลตอบแทนต่อคาบ
0.2; p 0.7
K (1) อย่างเดียว
0.2; 1 p 0.3
โครงการที่ 3 แบ่งเงินทุน 50 : 50 ลงทุนกับตราสารหนี้และหุ้นในโครงการที่ 1 และ
โครงการที่ 2
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 24 · หน้าพิมพ์ 12 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
12 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
จงคำนวณค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทนและความเสี่ยงของแต่ละโครงการ
วิธีทำ โครงการที่ 1 เนื่องจากลงทุนกับตราสารหนี้ เพียงอย่างเดียว จะได้ K K r 0.1 V A
ดังนั้น ค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทน E K r 0.1 และ ความเสี่ยง 0
V KV KA
0.2 ;
โครงการที่ 2 เนื่องจากลงทุนกับหุ้น เพียงอย่างเดียว จะได้ K K (1) 0.2
V
;
ดังนั้น ค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทน E K E K (1) pu (1 p)d
V
0.7(0.2) 0.3(0.2) 0.08
และ ความเสี่ยง KV K (1) (u ) p (d ) 2 (1 p )
2
; เมื่อ E ( K )V
(0.2 0.08) 2 (0.7) (0.2 0.08) 2 (0.3) 0.1833
โครงการที่ 3 ลงทุนในตราสารหนี้ 50,000 บาท ลงทุนในหุ้น 50,000 บาท
ให้ x แทนปริมาณหุ้น (หน่วย ) และ y แทนปริมาณตราสารหนี้ (หน่วย)
จะได้ x 50,S (0)
000
และ y 50,A(0)
000
ทำให้ได้ V (0) 100, 000 และ
50, 000 (1 0.2) S (0) ; 50, 000
V (1) xS (1) yA(1)
(1 0.1) A(0)
S (0) (1 0.2) S (0) ; A(0)
50, 000(1.2) 50, 000(1.1); 115, 000;
50, 000(0.8) 50, 000(1.1);
95, 000 ;
115, 000 100, 000
;
V (1) V (0) 100, 000
0.15 ;
ผลที่ตามมา คือ KV
V (0) 95, 000 100, 000
0.05 ;
;
100, 000
ดังนั้น ค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทน E K (0.7)(0.15) (0.3)(0.05) 0.09
V
และ ความเสี่ยง (0.15 0.09) (0.7) (0.05 0.09) (0.3) 0.0917
KV
2 2
จากตัวอย่างที่ 1.5 แสดงให้เห็นว่าการลงทุนในตราสารหนี้เป็นการลงทุนที่ไม่มีความเสี่ยง
และค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทนเท่ากับอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้ การลงทุนในหุ้นเพียง
อย่างเดียวมีโอกาสได้อัตราผลตอบแทนสูงถึง 20 % นั่นคือจากการลงทุนด้วยเงิน 100,000 บาท
หากหุ ้ น ขึ ้ น ก็ มี โ อกาสได้ ร ั บ เงิ น จากการลงทุ น ถึ ง 120,000 บาท ขณะที่โ ครงการที ่ 1 จะได้ รั บ
110,000 บาท และโครงการที่ 3 จะได้รับ 50, 000(1.1) 50, 000(1.2) 115, 000 บาท เมื่อพิจารณา
ระดับความเสี่ยงจะเห็นว่าความเสี่ยงของโครงการที่ 2 สูงกว่าโครงการที่ 1 และ 3 การแบ่งเงิน
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 25 · หน้าพิมพ์ 13 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 13
ลงทุนตามกลยุทธ์ในโครงการที่ 3 ช่วยลดความเสี่ยงได้และยังได้ผลตอบแทนสูงกว่า การลงทุนในตรา
สารหนี้เพียงอย่างเดียวอีกด้วย
สำหรับการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายเพื่อกำหนดราคาหรือประเมินราคา
ของตราสารอนุพันธ์ซึ่งจะกล่าวในหัวข้อต่อไปนั้น ศึกษาภายใต้สมมติฐานที่กำหนดขึ้น ดังต่อไปนี้
สมมติฐาน 1.1(randomness) ราคาหุ้นในอนาคต S (1) เป็นตัวแปรสุ่มและราคาตราสารหนี้ใน
อนาคต A(1) ทราบค่าที่แน่นอน (ตัวแปรสุ่มคงที่)
สมมติฐาน 1.2 (positivity of prices) ราคา A(t ) และ S (t ) มีค่าเป็นบวกเสมอ สำหรับทุก ๆ
t 0,1
สมมติฐาน 1.3 (divisibility, liquidity and short selling) นักลงทุนสามารถถือครองจำนวน
หุ้น x และ จำนวนตราสารหนี้ y โดยที่ x, y สามารถเป็นจำนวนจริงใด ๆ ได้ (divisibility)
หากจำนวนสินทรัพย์ มีเครื่องหมายเป็น
( ) หมายถึง นักลงทุนเปิดสถานะซื้อ (long position) ซึ่งหมายถึงนักลงทุนซื้อ (buy) สินทรัพย์
ก่อนที่เวลาปัจจุบัน หลังจากนั้นขาย (sell) ที่ราคาในอนาคต
( ) หมายถึง นักลงทุนเปิดเปิดสถานะขาย (short position) ซึ่งหมายถึงนักลงทุนขายสินทรัพย์
ก่อนที่เวลาปัจจุบัน หลังจากนั้นซื้อสินทรัพย์นั้นคืนที่ราคาในอนาคต
นักลงทุนสามารถสามารถซื้อ และขาย หุ้นและตราสารหนี้ที่ราคาตลาดได้ตามความต้องการไม่มี
ข้อจำกัดทางด้านปริมาณ (liquidity)
อนุญาตให้นักลงทุนสามารถยืมขายสินทรัพย์ได้ (short selling) เช่น นักลงทุนยืมหุ้นมาจำนวน
หนึ่งแล้วขายหุ้นนั้นทันทีที่ราคาปัจจุบัน ( t 0 ) ในที่นี้ คือ S (0) การทำเช่นนี้จะเรียกว่านัก
ลงทุนเปิดสถานะขาย (short position) จะแทนปริมาณหุ้นในพอร์ตการลงทุนด้วยจำนวนที่เป็น
ลบ และหากต้องการจะปิดสถานะขาย ทำได้โดยซื้อหุ้นคืนตามจำนวนที่ยืมมาที่ราคาอนาคต S (1)
ในทำนองเดียวกัน สำหรับการยืมขายตราสารหนี้ทำได้โดยยืมตราสารหนี้และขายทันที่ราคา
ปัจจุบัน และซื้อตราสารหนี้คืนในอนาคตเท่ากับจำนวนที่ยืมมาที่ราคาในอนาคต เนื่องจากอัตรา
ดอกเบี้ยหรืออัตราผลตอบแทนของตราหนี้เป็นค่าที่ทราบแน่นอน ดังนั้นการยืมขายกับตราสารหนี้
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 26 · หน้าพิมพ์ 14 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
14 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
จึงเปรียบเสมือนการยืมเงินที่ปัจจุบันและคืนในอนาคต และต้องคืนเงินต้นรวมดอกเบี้ยที่อัตรา
เท่ากับอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้นั้น
สมมติฐานที่ 1.4 (solvency) มูลค่าของพอร์ตการลงทุนจะต้องไม่เป็นลบ นั่นคือ V (t ) 0
สำหรับทุก ๆ t 0,1
สมมติฐานที่ 1.5 (no-arbitrage principle : NAP) สำหรับพอร์ตการลงทุน port [ x, y] ใด ๆ
ถ้า V (0) 0 แล้ว V (1) 0
เรี ย ก สมมติ ฐ านที ่ 1.5 ว่ า หลั ก การปราศจากการค้ า กํ า ไร (no-arbitrage principle) ซึ่ ง
หมายความว่า ไม่มีการลงทุนใดซึ่งที่ได้ผลตอบแทนโดยปราศจากการลงทุน นั่นคือจะไม่เกิด
เหตุการณ์ที่นักลงทุนได้ผลกำไรโดยปราศจากการลงทุน
สมมติฐานที่ 1.6 (discrete unit prices) ราคาหุ้นในอนาคต S (1) เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็น
จำนวนจำกัด
ในความเป็นจริงการเคลื่อนไหวของราคาหุ้นสำหรับการเสนอซื้อเสนอขายแต่ละครั้งต้องเป็นไปตาม
ช่วงราคาที่กำหนดโดยขึ้นอยู่กับระดับราคาของแต่ละหุ้นและราคาหุ้นของแต่ละบริษัทจะถูกกำหนด
ราคาขอบเขตบน (ราคาเพดาน) และราคาขอบเขตล่ า ง (ราคาพื ้ น ) นั ่ น คื อ ราคาหุ ้ น ในอนาคต
สอดคล้องกับสมมติฐานที่ 1.6 นั่นเอง โดยระดับราคาของแต่ละหุ้นกำหนดดังตารางต่อไปนี้
ตาราง 1.1 ระดับราคาของหุ้นในตลาดหลักทรัพย์แห่งประเทศไทยข้อมูลจาก SETTRADE ปี พ.ศ. 2552
ระดับราคา ช่วงราคา
ตํ่ากว่า 2 บาท 0.01 บาท
ตั้งแต่ 2 บาท แต่ตํ่ากว่า 5 บาท 0.02 บาท
ตั้งแต่ 5 บาท แต่ตํ่ากว่า 10 บาท 0.05 บาท
ตั้งแต่ 10 บาท แต่ตํ่ากว่า 25 บาท 0.10 บาท
ตั้งแต่ 25 บาท แต่ตํ่ากว่า 100 บาท 0.25 บาท
ตั้งแต่ 100 บาท แต่ตํ่ากว่า 200 บาท 0.50 บาท
ตั้งแต่ 200 บาท แต่ตํ่ากว่า 400 บาท 1.00 บาท
ตั้งแต่ 400 บาทขึ้นไป 2.00 บาท
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 27 · หน้าพิมพ์ 15 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 15
จากตาราง 1.1 สมมติว่าราคาปัจจุบันของหุ้น a ราคาอยู่ที่ 2.8 บาท และมีราคาพื้น 2 บาท และ
ราคาเพดาน 3.6 บาท ดังนั้นราคาที่เป็นไปได้ในอนาคต คือ 2.00,2.02,…,2.82, 2.84, 2.86,… ,3.58,
3.60 ซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจำกัด
ทฤษฎีบท 1.9 ถ้า S (0) A(0) แล้ว d r u
บทพิสูจน์ สมมติให้ S (0) A(0)
จะแสดงว่า d r u โดยใช้ข้อขัดแย้ง สมมติในทางตรงกันข้ามว่า r d หรือ r u
กรณีที่ 1 ถ้า r d
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ยืมตราสารหนี้มาขาย 1 หน่วย ได้รับเงิน A(0) บาท (เทียบได้กับการยืมเงิน A(0) )
2) ซื้อหุ้น 1 หน่วย จ่ายเงิน S (0) บาท
ดังนั้น V (0) A(0) S (0) 0 ( S (0) A(0) )
ที่เวลา t 1 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ขายหุ้น 1 หน่วย ได้รับเงิน S (1) (1(1 ud))SS(0) ;
(0);
บาท
2) ซื้อตราสารหนี้คืน 1 หน่วย จ่ายเงิน A(1) (1 r ) A(0) บาท
(1 r ) A(0) ; u r S (0) ;
จะได้ V (1) S (1) A(1) (1(1 ud))SS(0)
(0) (1 r ) A(0) ;
(d r ) S (0) ;
เพราะว่า r d ดังนั้น (d r )S (0) 0 และ u r S (0) 0
ส่งผลให้ V (1) 0 ซึ่งขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร (NAP)
กรณีที่ 2 ถ้า r u
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ยืมหุ้นมาขาย 1 หน่วย ได้รับเงิน S (0) บาท
2) ซื้อตราสารหนี้ 1 หน่วย จ่ายเงิน A(0) บาท
ดังนั้น V (0) A(0) S (0) 0 ( S (0) A(0) )
ที่เวลา t 1 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ขายตราสารหนี้ 1 หน่วยได้รับเงิน A(1) (1 r ) A(0) บาท
2) ซื้อหุ้นคืน 1 หน่วย จ่ายเงิน S (1) (1(1 ud))SS(0) ;
(0);
บาท
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 28 · หน้าพิมพ์ 16 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
16 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
จะได้ V (1) A(1) S (1) (1(1 rr )) AA(0) (1 u ) S (0); (r u ) S (0);
(0) (1 d ) S (0); (r d ) S (0);
เพราะว่า r u ดังนั้น (r u)S (0) 0 และ (r d )S (0) 0
ส่งผลให้ V (1) 0 ซึ่งขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
จากทั้ง 2 กรณีจึงทำให้สรุปได้ว่า d r u
ความหมายของทฤษฎีบท 1.9 คือ ถ้าหากนักลงทุนลงทุนในตราสารหนี้และหุ้นด้วยจำนวนเงิ นที่
เท่ากันแล้วอัตราผลตอบแทนจากตราสารหนี้จะต้องอยู่ระหว่างผลตอบแทนที่ตํ่าที่สุดและสูงที่สุดของ
การลงทุนในหุ้นเท่านั้น มิฉะนั้นแล้วหากผลตอบแทนจากการลงทุนในตราสารหนี้ตํ่ากว่าผลตอบแทน
ที่ตํ่าที่สุดของหุ้นหรือสูงกว่าผลตอบแทนที่มากที่สุดของหุ้น จะก่อให้เกิดการทำกำไรโดยไม่มีความ
เสี่ยงคือเกิดการทำอาบิทราจ โดยหาก r d u นั่นหมายถึงว่าผลตอบแทนของตราสารหนี้ตํ่ากว่า
ผลตอบแทนจากการลงทุนในหุ้น นักลงทุนจะทำอาบิทราจโดยโยกเงินจากตราสารหนี้ (ยืมเงิน) และ
นำเงินไปลงทุนในหุ้น และหาก d u r นั่นหมายถึงว่า ผลตอบแทนจากการลงทุนในหุ้นตํ่ากว่า
การลงทุนในตราสารหนี้ นักลงทุนจะทำอาบิทราจโดยโยกเงินจากหุ้น (ยืมหุ้นมาขาย) และนำเงินที่ได้
ไปลงทุนในตราสารหนี้ นอกจากนี้หากกำหนดให้ เป็นอัตราดอกเบี้ยคิดทบต้นต่อเนื่องที่สมนัยกับ
r ( 1 r e ) นั่นคือ ln(1 r ) จะได้ว่า ln(1 d ) ln(1 u )
1.3 การกำหนดราคาฟอร์เวิร์ด
สั ญญาฟอร์ เ วิร ์ ดหรื อสั ญ ญาซื ้ อขายล่ ว งหน้า คือสัญ ญาที่แสดงข้อตกลงในการซื้อขาย
สินทรัพย์ที่มีความเสี่ยง (สินทรัพย์อ้างอิง) ในอนาคต ตามเวลาส่งมอบ ที่ราคาตกลง ( F ) ที่ระบุไว้ใน
ปัจจุบันซึ่งเรียกว่า ราคาฟอร์เวิร์ด (forward price) นักลงทุนที่ทำสัญญาเพื่อซื้อสินทรัพย์อ้างอิง
(Long forward agreement) จะเรี ย กว่ า เปิ ด สถานะลองฟอร์ เ วิ ร ์ ด (long forward position)
ส่วนนักลงทุนที่ทำสัญญาเพื่อขายสินทรัพย์อ้างอิง (Short forward agreement) จะเรียกว่า เปิด
สถานะชอร์ตฟอร์เวิร์ด (short forward position) โดยจะไม่มีการจ่ายใด ๆ ในการทำสัญญาฟอร์
เวิร์ด
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 29 · หน้าพิมพ์ 17 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 17
กำหนดให้ A(t ) และ S (t ) เป็นราคาของตราสารหนี้และหุ้นที่เวลา t 0,1 ตามลำดับ
สมมติว่านักลงทุนทำสัญญาฟอร์เวิร์ดเพื่อซื้อหุ้น (เปิดสถานะลองฟอร์เวิร์ด) ที่ราคาฟอร์เวิร์ด F โดย
นั กลงทุ น จะได้ ผ ลประโยชน์ (กํ า ไร) หากราคาหุ้น ที่อนาคตเคลื่อนที่ส ูงกว่า F และจะสูญ เสีย
ประโยชน์ (ขาดทุน) หากราคาหุ้นที่อนาคตเคลื่อนที่ตํ่ากว่าราคา F หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง หากราคา
หุ้นขึ้นสูงกว่า F นักลงทุนจะสามารถซื้อหุ้นได้ในราคาที่ถูกกว่า คือ ซื้อได้ที่ราคา F และถ้านัก
ลงทุนขายหุ้นนั้นทันทีที่ราคาตลาด ก็จะได้กำไร S (1) F ในทางตรงกันข้ามหากราคาหุ้นเคลื่อนที่ลง
ตํ่ากว่าราคา F นักลงทุนก็จะประสบกับการขาดทุนเนื่องจากต้องซื้อหุ้นที่ราคา F ซึ่งแพงกว่าราคา
หุ้นที่ราคาตลาดในขณะนั้น และขาดทุนเป็นจำนวน F S (1)
สํ า หรั บ ในที ่ น ี ้ จ ะเรี ย ก POF S (1) F ว่ า ผลประโยชน์ ของฟอร์ เ วิ ร ์ ด (payoff of
forward) โดยทั ่ ว ไปสํ าหรั บ การถื อ ลองฟอร์ เ วิ ร ์ ด จะได้ ผ ลประโยชน์ เ มื ่ อ POF >0 และจะเสีย
ผลประโยชน์เมื่อ POF 0 และสำหรับการถือชอร์ตฟอร์เวิร์ด จะมีลักษณะตรงกันข้ามกับการถือ
ลองฟอร์เวิร์ด กล่าวคือ ผู้ถือสัญญาจะได้ผลประโยชน์เมื่อราคาหุ้นในอนาคตเคลื่อนที่ลงตํ่ากว่าราคา
F เพราะว่าผู้ถือสามารถขายหุ้นได้ในราคาที่สูงกว่าราคาตลาดในขณะนั้น แต่ถ้าราคาหุ้นในอนาคต
เคลื่อนที่ขึ้นสูงกว่าราคา F นั่นคือ การถือชอร์ตฟอร์เวิร์ด จะได้ผลประโยชน์เมื่อ POF 0 และจะ
เสียผลประโยชน์เมื่อ POF>0
(a) สัญญาซื้อล่วงหน้า (b) สัญญาขายล่วงหน้า
รูปที่ 1.5 ผลประโยชน์ของสัญญาฟอร์เวิร์ด
ในหัวข้อก่อนหน้านี้ในพอร์ตการลงทุนจะมีแค่เพียงตราสารหุ้นกับตราสารหนี้เท่านั้น ใน
หัวข้อนี้จะเพิ่มสัญญาฟอร์เวิร์ดซึ่งเป็นตราสารอนุพันธ์ประเภทหนึ่งลงในพอร์ตด้วย โดยให้ z เป็น
จำนวนสัญญาฟอร์เวิร์ด ดังนั้นมูลค่าของพอร์ต V (t ) สำหรับ t 0,1 จะเป็นดังนี้
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 30 · หน้าพิมพ์ 18 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
18 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ที่เวลา t 0 (วันทำสัญญา) เนื่องจากไม่มีค่าใช้จ่ายในการทำสัญญาฟอร์เวิร์ดที่ปัจจุบัน ดังนั้น
V (0) xS (0) yA(0) z 0 (1.11)
และทีเ่ วลา t 1 (วันส่งมอบ)
V (1) xS (1) yA(1) z S (1) F (1.12)
ปัญหาที่น่าสนใจ คือ จะกำหนดราคาฟอร์เวิร์ดอย่างไรจึงจะไม่ทำให้เกิดการค้ากำไร (no arbitrage)
นั่นคือ จะกำหนดราคา F อย่างไรให้สอดคล้องกับหลักการปราศจากการค้ากำไร (NAP) เพื่อความ
เข้าใจปัญหาดังกล่าวขอให้ศึกษาตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1.6 สมมติให้ A(0) 100 , A(1) 110 และ S (0) 40 โดยไม่มีค่าใช้จ่ายอื่น ๆ ใน
การส่งมอบสินค้า จงตรวจสอบว่าจะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเกิดการค้ากำไร ถ้าราคาฟอร์เวิร์ด ณ
วันส่งมอบ ( t 1 ) เท่ากับ 42 บาท พร้อมทั้งหาราคาฟอร์เวิร์ดที่ควรจะเป็นที่ไม่ทำให้เกิดการค้า
กำไร
วิธีทำ ทดลองจำลองพอร์ตการลงทุนโดยการยืมหุ้นมาขายโดยสมมติยืมหุ้นเริ่มต้น 0.1, 0.2,
0.3,… หน่วย และนำเงินทั้งหมดที่ได้จากการขายหุ้นไปลงทุนกับตราสารหนี้ ดังตารางต่อไปนี้
ตาราง 1.2 การจำลองพอร์ตการลงทุนเพื่อหาการลงทุนที่ได้กำไรโดยปราศจากความเสี่ยง
ลงทุน yA(0) รับ จ่ายเงินซื้อหุ้น
ยืมหุ้น x หุ้น รับ xS (0) บาท บาท yA(1) บาท คืนที่ราคา F
V (0) V (1)
0.1 4 4 0 4.4 4.2 0.2
0.2 8 8 0 8.8 8.4 0.4
0.3 12 12 0 13.2 12.6 0.6
0.4 16 16 0 17.6 16.8 0.8
0.5 20 20 0 22 21 1
0.6 24 24 0 26.4 25.2 1.2
0.7 28 28 0 30.8 29.4 1.4
0.8 32 32 0 35.2 33.6 1.6
0.9 36 36 0 39.6 37.8 1.8
1 40 40 0 44 42 2
จากตารางตัวอย่างธุรกรรมที่ทำให้เกิดการค้ากำไร เมื่อ F 42 บาท เช่น
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 31 · หน้าพิมพ์ 19 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 19
1) ยืมหุ้นมาขาย 1 หน่วย รับเงิน 40 บาท
2) ซื้อตราสารหนี้ 0.4 หน่วย จ่ายเงิน 0.4(100) 40 บาท
3) เปิดสถานะลองฟอร์เวิร์ด 1 สัญญา เพื่อซื้อหุ้น 1 หน่วย ที่ราคา F ณ วันส่งมอบ t 1
(ไม่มีค่าใช้จ่ายในการทำสัญญา)
V (0) รับ – จ่าย 40 40 0
ที่เวลา t 1 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ขายตราสารหนี้ 0.4 หน่วย รับเงิน 0.4(110) 44 บาท (เทียบได้กับการยืมเงิน 44
บาท โดยมีการคิดดอกเบี้ย 10%)
2) ปิดสถานะลองฟอร์เวิร์ด โดยซื้อหุ้น 1 หน่วย ที่ราคา F 42 จ่ายเงิน 42 บาท
3) คืนหุ้น 1 หน่วย
V (1) รับ – จ่าย 44 42 2
จะเห็นว่ายังมีเงิน คงเหลื อในพอร์ต เท่ากับ 44-42=2 บาท ซึ่งจะเป็น กำไรของผู้ ค้ ากำไร ถ้า
พิจารณามูลค่าของพอร์ตที่เวลาต่าง ๆ จะได้ว่า V (0) 0 และ V (1) 2 นั่นคือการกำหนด
ราคา F 42 ไม่สอดคล้องกับหลักการปราศจากการค้ากำไรสำหรับกรณีนี้แสดงว่าราคาฟอร์
เวิร์ดที่กำหนดตํ่าเกินไป ดังนั้นราคาฟอร์เวิร์ดจะถูกปรับให้เพิ่มสูงขึ้น แต่หากปรับสูงขึ้นเกิน 44
บาท ก็จะเกิดการค้ากำไรอีกเช่นกัน
ตัวอย่างที่ 1.7 สมมติให้ A(0) 100 , A(1) 110 และ S (0) 40 โดยไม่มีค่าใช้จ่ายอื่น ๆ ใน
การทำสัญญาฟอร์เวิร์ดและการส่งมอบสินค้า จงตรวจสอบว่าจะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเกิดการค้า
กำไร ถ้ากำหนดราคาฟอร์เวิร์ด ณ วันส่งมอบ ( t 1 ) เท่ากับ 45 บาท พร้อมทั้งหาราคาฟอร์
เวิร์ดที่ควรจะเป็นที่ไม่ทำให้เกิดการค้ากำไร
วิธีทำ จำลองพอร์ตการลงทุนได้ในทำนองเดียวกับตารางที่ 1.2 โดยการยืมตราสารหนี้มาขาย
(เทียบเท่ากับการยืมเงิน ) และนำเงินทั้งหมดที่ได้ไปซื้อหุ้น ตัวอย่างการทำกำไรโดยปราศจาก
ความเสี่ยง อาจทำได้โดย
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ยืมตราสารหนี้มาขาย 0.4 หน่วย รับเงิน 40 บาท (เทียบเท่ากับการยืมเงิน 40 บาท )
2) ซื้อหุ้น 1 หน่วย จ่ายเงิน 40 บาท
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 32 · หน้าพิมพ์ 20 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
20 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
3) เปิดสถาะชอร์ตฟอร์เวิร์ด 1 สัญญาเพื่อขายหุ้น 1 หน่วยที่ราคา F 45 วันส่งมอบ t 1
(ไม่มีค่าใช้จ่ายในการทำสัญญา)
V (0) รับ – จ่าย 40 40 0
ที่เวลา t 1 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ปิดสถานะชอร์ตฟอร์เวิร์ด โดยขายหุ้น 1 หน่วย ที่ราคา F 45 รับเงิน 45 บาท
2) ซื้อและคืนตราสารหนี้ 0.4 หน่วย จ่าย 0.4(110)=44 บาท
V (1) รับ – จ่าย 45 44 1
จะเห็นว่าการทำธุรกรรมดังกล่าว จะได้กำไรแน่นอนเท่ากับ 45-44=1 บาท ถ้าพิจารณามูลค่าของ
พอร์ ต ที ่ เ วลาต่า ง ๆ จะได้ ว ่ า V (0) 0 และ V (1) 1 นั่น คือการกำหนดราคา F 45 ไม่
สอดคล้องกับหลักการปราศจากการค้ากำไรสำหรับกรณีนี้ราคาฟอร์เวิร์ดที่กำหนดสูงเกินไป
ดังนั้นราคาฟอร์เวิร์ดจะถูกปรับให้ลดตํ่าลง แต่หากถูกปรับตํ่าเกิน 44 บาท ก็จะเกิดการค้ากำไร
อีกเช่นเดิม นั่นแสดงว่า ราคาฟอร์เวิร์ดจะถูกปรับให้เข้าสู่ราคาที่สมดุล คือ 44 บาท หรือกล่าวอีก
นัยหนึ่ง คือ ราคาฟอร์เวิร์ด F 44 บาท จะเป็นราคาที่สอดคล้องกับหลักการปราศจากการค้า
กำไร ซึ่งจะทำให้ไม่เกิดการค้ากำไร
จากตัวอย่างที่ 1.6 และตัวอย่างที่ 1.7 ทำให้ทราบแนวทางในการกำหนดราคาฟอร์เวิร์ด ในที่นี้
ต้องการหาราคาฟอร์เวิร์ดภายใต้สมมติฐาน 1.1-1.6) โดยสมมติว่าในการส่งมอบสินค้า (หุ้น) ไม่มี
ค่าใช้จ่ายใด ๆ และหุ้นไม่มีการจ่ายเงินปันผล ถ้าเป็นสินค้าหรือสินทรัพย์อ้างอิงอื่น ๆ อาจจะมี
ค่าใช้จ่ายเกี่ยวข้องกับค่าขนส่ง ค่าจัดเก็บ อัตราแลกเปลี่ยนของกระแสเงินสด เป็นต้น ราคาฟอร์เวิร์ด
จะช่วยยืนยันได้ว่า มูลค่าปัจจุบันของเงินที่ผู้ซื้อสินค้าอ้างอิงจ่ายนั้น ควรเท่ากับ มูลค่าปัจจุบันของ
สินค้าอ้างอิงภายใต้อัตราดอกเบี้ยที่เกิดจากการลงทุนในสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยง ดังนั้นถ้า
กำหนดให้ r เป็นอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้ และ เป็นอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องหรือกำลัง
ดอกเบี้ยของดอกเบี้ย (force of interest) ของตราสารหนี้ที่สมมูลกับอัตราดอกเบี้ยทบต้น r จะได้
ว่า F (1 r ) S (0) นั่นคือ
1
F (1 r ) S (0) e S (0) (1.13)
ทฤษฎีบท 1.10 กำหนดให้ F เป็นราคาของฟอร์เวิร์ด จะได้ว่า F (1 r )S (0) e S (0)
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 33 · หน้าพิมพ์ 21 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 21
พิสูจน์ จะพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง สมมติว่า F (1 r )S (0)
นั่นคือ F (1 r )S (0) หรือ F (1 r )S (0)
กรณีที่ 1 ถ้า F (1 r )S (0)
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ยืมหุ้นมาขาย 1 หน่วย รับเงิน S (0) บาท
2) นำเงินที่ได้ทั้งหมดไปลงทุนกับตราสารหนี้ จ่าย S (0) บาท
3) เปิดสถานะลองฟอร์เวิร์ด 1 สัญญาเพื่อซื้อหุ้น 1 หน่วยที่ราคา F ณ วันส่งมอบ t 1
V (0) รับ – จ่าย S (0) S (0) 0
ที่เวลา t 1 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ขายตราสารหนี้ทั้งหมด ได้รับเงิน (1 r )S (0) บาท
2) ปิดสถานะลองฟอร์เวิร์ดโดยซื้อหุ้น 1 หน่วยซื้อหุ้นที่ราคา F จ่ายเงิน F บาท
3) คืนหุ้น 1 หน่วย
จะได้ V (1) รับ - จ่าย (1 r )S (0) F 0 ซึ่งขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
กรณีที่ 2 ถ้า F (1 r )S (0)
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ยืมเงิน S (0) บาท
2) ซื้อหุ้น 1 หน่วย จ่ายเงิน S (0) บาท
3) ทำชอร์ตฟอร์เวิร์ด 1 สัญญาเพื่อขายหุ้น 1 หน่วยที่ราคา F ณ วันส่งมอบ t 1
จะได้ V (0) รับ-จ่าย S (0) S (0) 0
ที่เวลา t 1 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ปิดสถานะชอร์ตฟอร์เวิร์ดโดยขายหุ้น 1 หน่วยที่ราคาฟอร์เวิร์ด F รับเงิน F บาท
2) คืนเงินที่ยืมมา จ่าย (1 r )S (0) บาท
จะได้ V (1) รับ-จ่าย F (1 r )S (0) 0 ซึ่งขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
จากทั้ง 2 กรณี จึงสรุปได้ว่า F (1 r )S (0)
หมายเหตุ การยืมตราสารหนี้มาขาย เทียบเท่ากับ การยืมเงินที่คิดดอกเบี้ยเท่ากับดอกเบี้ยของตรา
สารหนี้ เป็นอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องของตราสารหนี้ที่สมมูลกับ r
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 34 · หน้าพิมพ์ 22 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
22 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
บทแทรก 1.11 กำหนดให้ F เป็นราคาของฟอร์เวิร์ดของหุ้นที่มีอายุสัญญา T และมีการจ่ายเงิน
ปันผลที่เวลา t , 0 t T ด้วยเงินจำนวน div บาท จะได้ว่า
=F [ S (0) − div0 ] eδ T= S (0) − div ⋅ e −δ t e=
δT
S (0)eδ T − div ⋅ eδ (T −t )
=(1 + r )T S (0) − (1 + r )T −t div (1.14)
เมื่อ div0 = e−δ t div
ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าหุ้นที่มีการจ่ายเงินปันผลที่เวลา t ใด ๆ ด้วยอัตราทบต้นต่อเนื่อง จะได้ div
F= [ S (0) − div0 ] eδ T =
S (0) − S (0)(1 − e −δ t ) eδ T = S (0)eδ T −δ t
div
(1.15)
div
พิสูจน์ พิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกับ ทฤษฎีบท 1.6 โดยพิจารณาราคาปัจจุบันของหุ้นเป็นราคา
ส่วนลด S (0) div โดยมีส่วนลดเป็น div
0 0
ตัวอย่างที่ 1.8 (การประยุกต์ใช้ราคาฟอร์เวิร์ดกรณีหุ้นมีการจ่ายปันผล) สมมติบริษัท A ต้องการ
ทำสัญญาฟอร์เวิร์ดเพื่อซื้อหุ้นของบริษัท B จำนวน 1 หน่วย โดยจะรับมอบในอีก 6 เดือนข้างหน้า
(0.5 ปี) ซึ่งหุ้นจะมีการจ่ายเงินปันผลจำนวน 3 บาท ณ เวลา 3 เดือนข้างหน้า (0.25 ปี) โดยมี
ข้ อ มู ล ที ่ ก ํ า หนด ดั ง นี ้ ราคาหุ ้ น ปั จ จุ บ ั น S (0) = 120 บาท, เงิ น ปั น ผล div = 3 บาท ที ่ เ วลา
t = 0.25 ระยะเวลาของสั ญ ญาฟอร์ เ วิ ร ์ ด T = 0.5 ปี และ อั ต ราดอกเบี ้ ย ทบต้ น ต่ อ เนื ่ อ ง
δ 5%
= = 0.05 จงคำนวณราคาฟอร์เวิร์ด F
วิธีทำ จากสูตร= F eδ T S (0) − div ⋅ e −δ t
จะได้
= F e0.05⋅0.5 120 − 3 ⋅ e −0.05 = ⋅0.25
e0.025 120 − 3 ⋅ e −0.0125 ≈ 120.12 บาท
จะเห็นว่า บริษัท A สามารถใช้ฟอร์เวิร์ดล็อกราคาหุ้นไว้ท1ี่ 20.12 บาท ซึ่งคำนึงถึงการจ่ายปันผล
แล้ว โดยหากราคาหุ้นในอีก 6 เดือนข้างหน้าเกินกว่า 120.12 บาท บริษัท A จะได้ประโยชน์จาก
การทำฟอร์เวิร์ด ในกรณีนี้แสดงให้เห็นถึงการใช้ฟอร์เวิร์ดในการบริหารความเสี่ยงจากราคาหุ้นที่มี
การจ่ายปันผลระหว่างทาง
1.4 ฟอร์เวิร์ดเงินตราต่างประเทศ
สัญญาฟอร์เวิร ์ด เงินตราต่างประเทศ หรือ สัญญาซื้อขายเงิน ตราต่ างประเทศล่ว งหน้ า
(forward agreement) เป็นสัญญาซื้อหรือขายเงินตราต่างประเทศในอนาคตด้วยอัตราแลกเปลี่ยนที่
กำหนดไว้ล่วงหน้าตั้งแต่วันนี้ (lock rate) เพื่อป้องกันความเสี่ยงจากอัตราแลกเปลี่ยนที่มีความผัน
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 35 · หน้าพิมพ์ 23 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 23
ผวน อัตราแลกเปลี่ยนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าดังกล่าว เรียกว่าอัตราฟอร์เวิร์ด (forward rate) สามารถ
ใช้สัญญาฟอร์เวิร ์ดเงิน ตราต่ างประเทศเป็ นเครื่องมื อบริห ารความเสี่ ย งจากความผัน ของอั ต รา
แลกเปลี่ยนได้เช่นเดียวกับการใช้ฟอร์เวิร์ดในการบริหารความเสี่ยงราคาหุ้น ซึ่งโดยปกติธนาคารแห่ง
ประเทศไทยจะทำหน้าที่ควบคุมดูแลไม่ให้ค่าเงินแข็งค่าและอ่อนค่าเร็วเกินไปซึ่งอาจจะส่งผลกระทบ
โดยรวมต่อระบบเศรษฐกิจ ได้ และสำหรับธุรกิ จและผู้ป ระกอบการการใช้ สัญญาฟอร์เวิร์ ดเป็ น
เครื่องมือบริหารความเสี่ยงจากการแข็งค่าและอ่อนค่าของค่าเงินบาทจะมีลักษณะคล้ายกับการทำ
ประกันราคาอัตราแลกเปลี่ยน
1.4.1 การแข็งค่าและการอ่อนค่าของเงินบาท
หากกล่าวถึงการแข็งค่าและการอ่อนค่าของเงินบาทให้ถูกต้องนั้น จำเป็นต้องระบุว่าการแข็ง
ค่าและการอ่อนค่าของเงินบาทนั้นเมื่อเทียบค่าของเงินบาทกับเงินสกุลใด เช่นการแข็งค่าขึ้นของเงิน
บาทเมื่อเทียบกับเงินสกุลดอลลาร์สหรัฐ เป็นต้น
1) เงินบาทแข็งค่าเมื่อเทียบกับเงินสกุลดอลลาร์สหรัฐ หมายถึง การใช้เงินบาทน้อยลงใน
การแลกเปลี่ยนเป็นเงินดอลลาร์ ตัวอย่างเช่น ปัจจุบันอัตราแลกเปลี่ยนเงินบาทต่อเงินดอลลาร์
เท่ากับ 32 บาท ต่อ 1 ดอลลาร์ อีก 3 เดือนข้างหน้าอัตราแลกเปลี่ยนเงินบาทต่อเงินดอลลาร์มี
แนวโน้มจะอยู่ที่ 28 บาท ต่อ 1 ดอลลาร์ ปรากฎการณ์ในลักษณะนี้เรียกว่า “ค่าเงินบาทมีแนวโน้ม
แข็งค่าขึ้น” เพื่อความเข้าใจง่ายอาจพิจารณาเงินบาทเป็นสินค้าที่มีราคาซื้อขายในเงินสกุลดอลลาร์ก็
ได้ ดังนั้น อัตราแลกเปลี่ยนเงินบาทต่อเงินดอลลาร์เท่ากับ 32 บาท ต่อ 1 ดอลลาร์ จะมีความหมาย
เช่นเดียวกับ “เงินบาทจำนวน 1 บาท มีราคา 1 / 32 0.03125 ดอลลาร์” และ อัตราแลกเปลี่ยนเงิน
บาทต่อเงินดอลลาร์เท่ากับ 28 บาท ต่อ 1 ดอลลาร์ จะมีความหมายเช่นเดียวกับ “เงินบาทจำนวน 1
บาท มีราคา 1 / 28 0.03571 ดอลลาร์” ก็จะเห็นว่าการที่ค่าเงินบาทแข็งค่าขึ้น ก็จะมีความหมาย
เช่นเดียวกับเงินบาทมีราคาแพงขึ้นนั่นเอง
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 36 · หน้าพิมพ์ 24 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
24 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
รูปที่ 1.6 เงินบาทแข็งค่าขึ้นเมื่อเทียบกับเงินสกุลดอลลาร์สหรัฐ
(a) กราฟอัตราแลกเปลี่ยนบาท-ดอลลาร์ (b) กราฟอัตราแลกเปลี่ยนดอลลาร์-บาท
รูปที่ 1.7 อัตราแลกเปลี่ยนระหว่างบาทและดอลลาร์สหรัฐในช่วงที่เงินบาทแข็งค่าขึ้น
จากกราฟในรูป 1.7 (a) จะเห็นว่ากราฟของอัตราแลกเปลี่ยน บาท-ดอลลาร์ (1 บาท เท่ากับ x ดอล
ล่าร์) ในช่วงที่เงินบาทมีการแข็งค่าขึ้น กราฟจะมีลักษณะการเปลี่ยนแปลงแนวโน้มขึ้น ส่วนกราฟใน
รูป 1.7 (b) กราฟของอั ตราแลกเปลี่ย น ดอลลาร์-บาท (1 ดอลลาร์ เท่ากับ x บาท) กราฟจะมี
ลักษณะการเปลีย่ นแปลงแนวโน้มลง
การที่เงินบาทมีแนวโน้มแข็งค่าขึ้นเมื่อเทียบกับเงินสกุลสหรัฐก็จะมีทั้งผู้ที่ได้ประโยชน์และ
เสียประโยชน์
- ผู้ที่ได้ประโยชน์ ได้แก่ ผู้นำเข้าสินค้า (ซื้อในสกุลดอลลาร์ขายเป็นสกุลบาท) ประชาชนซื้อ
สินค้าต่างประเทศได้ถูกลง ลูกหนี้ที่กู้เงินต่างประเทศ (รับรายได้เป็นเงินบาทจ่ายหนี้คืนเป็น
ดอลลาร์) ลูกจ้างที่ทำงานในไทยส่งเงินกลับไปยังต่างประเทศ (รับค่าจ้างเป็นเงินบาทส่งเงิน
กลับบ้านเกิดเป็นเงินดอลลาร์) และนักลงทุนต่างประเทศที่โยกเงินมาลงทุนในประเทศไทย
และนำเงินออกไปเป็นเงินดอลลาร์ เป็นต้น
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 37 · หน้าพิมพ์ 25 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 25
- ผู้ที่เสียประโยชน์ ก็มีลักษณะตรงข้ามกัน คือ ผู้ที่ดำเนินกิจกรรมหรือธุรกิจโดยรับเงินเป็น
สกุ ล ดอลลาร์ แต่ ต้ องแลกเปลี ่ ย นเงิ น กลับ เป็น เงิน บาท เช่น ผู้ส ่งออก ลูกจ้างที่ทำงาน
ต่างประเทศและส่งเงินกลับประเทศไทย ผู้ประกอบการหรือลูกจ้างที่รับรายได้เป็นเงินใน
สกุลดอลลาร์และต้องแลกเปลี่ยนเป็นเงินบาท เป็นต้น
2) เงินบาทอ่อนค่าเมื่อเทียบกับเงินสกุลดอลลาร์สหรัฐ หมายถึง การใช้เงินบาทมากขึ้นใน
การแลกเปลี่ยนเป็นเงินดอลลาร์ ตัวอย่างเช่น ปัจจุบันอัตราแลกเปลี่ยนเงินบาทต่อเงินดอลลาร์
เท่ากับ 28 บาท ต่อ 1 ดอลลาร์ อีก 3 เดือนข้างหน้าอัตราแลกเปลี่ยนเงินบาทต่อเงินดอลลาร์มี
แนวโน้มจะอยู่ที่ 32 บาท ต่อ 1 ดอลลาร์ ปรากฎการณ์ในลักษณะนี้เรียกว่า “ค่าเงินบาทมีแนวโน้ม
อ่อนค่าลง” อีกความหมายหนึ่งคือ เงินบาทมีราคาถูกลง (ราคาในสกุลดอลลาร์) นั่นคือ ในปัจจุบัน
“1 บาท มีราคาเท่ากับ 1 / 28 0.03571 ดอลลาร์” แต่อีก 3 เดือนข้างหน้า “1 บาท มีราคาเท่ากับ
1 / 32 0.03125 ดอลลาร์” ก็จะเห็นว่าการที่ค่าเงินบาทอ่อนค่าลง ก็จะมีความหมายเช่นเดียวกับเงิน
บาทมีราคาถูกลงนั่นเอง
รูปที่ 1.8 เงินบาทอ่อนค่าลงเมื่อเทียบกับเงินสกุลดอลลาร์สหรัฐ
(a) กราฟอัตราแลกเปลี่ยนบาท-ดอลลาร์ (b) กราฟอัตราแลกเปลี่ยนดอลลาร์-บาท
รูปที่ 1.9 อัตราแลกเปลี่ยนระหว่างบาทและดอลลาร์สหรัฐในช่วงที่เงินบาทอ่อนค่าลง
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 38 · หน้าพิมพ์ 26 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
26 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
จากกราฟในรูป 1.9 (a) จะเห็นว่ากราฟของอัตราแลกเปลี่ยน บาท-ดอลลาร์ (1 บาท เท่ากับ x
ดอลลาร์) ในช่วงที่เงินบาทมีการอ่อนค่าลง กราฟจะมีลักษณะการเปลี่ยนแปลงแนวโน้มลง ส่วนกราฟ
ในรูป 1.9 (b) กราฟของอัตราแลกเปลี่ยน ดอลลาร์-บาท (1 ดอลลาร์ เท่ากับ x บาท) กราฟจะมี
ลักษณะการเปลี่ยนแปลงแนวโน้มขึ้น
การที่เงินบาทมีแนวโน้มอ่อนค่าลงมีทั้งผู้ที่ได้ประโยชน์และเสียประโยชน์ (ตรงข้ามกับเงิน
บาทแข็งค่า)
- ผู ้ ท ี ่ ไ ด้ ป ระโยชน์ คื อ ผู ้ ท ี ่ ด ํ า เนิ น กิ จ กรรมหรื อ ธุ ร กิ จ โดยรั บ เงิ น เป็ น สกุ ล ดอลลาร์ และ
แลกเปลี่ยนเงินกลับเป็นเงินบาท เช่น ผู้ส่งออก (รับรายได้เป็นดอลลาร์แลกกลับเป็นเงินไทย
ได้มากขึ้น) ลูกจ้างที่ทำงานต่างประเทศและส่งเงินกลับประเทศไทย ผู้ประกอบการหรือ
ลูกจ้างที่รับรายได้เป็นเงินในสกุลดอลลาร์และต้องแลกเปลี่ยนเป็นเงินบาท เป็นต้น
- ผู้ที่เสียประโยชน์ ได้แก่ ผู้นำเข้าสินค้า (ซื้อในสกุลดอลลาร์ขายเป็นสกุลบาท ราคาในสกุล
บาทแพงขึ้น) ประชาชนที่จำเป็นต้องซื้อสินค้าต่างประเทศ ลูกหนี้ที่กู้เงินต่างประเทศ (รับ
รายได้เป็นเงินบาทจ่ายหนี้คืนเป็นดอลลาร์ได้น้อยลง) ลูกจ้างที่ทำงานในไทยส่งเงินกลับไปยัง
ต่างประเทศ (รับค่าจ้างเป็นเงินบาทส่งเงินกลับบ้านเกิดเป็นเงินดอลลาร์) และนักลงทุน
ต่างประเทศที่โยกเงินมาลงทุนในประเทศไทยและนำเงินออกไปเป็นเงินดอลลาร์ เป็นต้น
รูปที่ 1.10 กราฟแสดงการเปลี่ยนแปลงของอัตราแลกเปลี่ยน THB/USD รายเดือน ตั้งแต่เดือน
กุมภาพันธ์ ค.ศ.2023 ถึง เดือน มกราคม ค.ศ.2024
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 39 · หน้าพิมพ์ 27 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 27
กราฟด้านบนแสดงการเปลี่ยนแปลงของอัตราแลกเปลี่ยน THB/USD รายเดือน ซึ่งมีเหตุการณ์
ทางเศรษฐกิจสำคัญที่อาจส่งผลต่อค่าเงินบาท เช่น
• Fed hints at rate hike (มี.ค. 2023): ทำให้ค่าเงินบาทเริ่มแข็งค่า
• Thai election results (พ.ค. 2023): ส่งผลให้เงินบาทผันผวน
• US inflation drops (ส.ค. 2023): ค่าเงินบาทแข็งค่าขึ้นต่อเนื่อง
• BOJ policy change (ต.ค. 2023): ทำให้เงินทุนเคลื่อนย้าย
• Thai GDP revised up (ธ.ค. 2023): สนับสนุนแนวโน้มแข็งค่าของเงินบาท
ตัวอย่างที่ 1.9 จงวิเคราะห์สถานการณ์ต่อไปนี้
กรณีที่ 1: เงินบาทแข็งค่า
สถานการณ์: สมมติบริษัท A ต้องนำเข้าสินค้าอิเล็กทรอนิกส์จากสหรัฐอเมริกา มูลค่า
$100,000 โดยจะชำระเงินภายใน 3 เดือน
รายการ ปัจจุบัน อีก 3 เดือน
อัตราแลกเปลี่ยน (THB/USD) 32 28 (บาทแข็งค่า)
การคำนวณ
1) ต้นทุนปัจจุบัน (หากชำระทันที)
= $100,000 × 32 = 3,200,000 บาท
2) ต้นทุนหลัง 3 เดือน (ถ้ารอจ่ายตอนแข็งค่า)
= $100,000 × 28 = 2,800,000 บาท
3) ส่วนต่างที่ประหยัดได้จากการแข็งค่า
= 3,200,000 − 2,800,000 = 400,000 บาท
บทวิเคราะห์เชิงประยุกต์: จะเห็นว่า บริษัท A ได้ประโยชน์จากการแข็งค่าของเงินบาท
ในการลดต้นทุนการนำเข้า ดังนั้น บริษัทอาจเลือกเลื่อนการชำระเงินหรือใช้สัญญา
Forward เพื่อเก็งกำไรจากแนวโน้มอัตราแลกเปลี่ยน
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 40 · หน้าพิมพ์ 28 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
28 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
กรณีที่ 2: เงินบาทอ่อนค่า
สถานการณ์: สมมติบริษัท B ส่งออกข้าวไปยังสหรัฐอเมริกา มูลค่า $100,000 โดยจะ
ได้รับเงินภายใน 3 เดือน
รายการ ปัจจุบัน อีก 3 เดือน
อัตราแลกเปลี่ยน (THB/USD) 28 32 (บาทอ่อนค่า)
การคำนวณ
1) รายได้ปัจจุบัน (หากรับเงินทันที)
= $100,000 × 28 = 2,800,000 บาท
2) รายได้หลัง 3 เดือน (ถ้ารอรับตอนอ่อนค่า)
= $100,000 × 32 = 3,200,000 บาท
3) ส่วนต่างรายได้ที่เพิ่มขึ้นจากการอ่อนค่า
= 3,200,000 − 2,800,000 = 400,000 บาท
บทวิเคราะห์เชิงประยุกต์: บริษัท B ได้ประโยชน์จากเงินบาทอ่อนค่าด้วยการแปลง
รายได้สกุลดอลลาร์เป็นเงินบาทได้มากขึ้น จึงอาจพิจารณาชะลอการแลกเปลี่ยนเงินหรือ
ทำสัญญา Forward เพื่อป้องกันความเสี่ยง
ตารางที่ 1.3: สรุปผลกระทบของอัตราแลกเปลี่ยน
ได้ประโยชน์เมื่อเงินบาท แข็ง ได้ประโยชน์เมื่อเงินบาท อ่อน
กลุ่ม
ค่า ค่า
ผู้นำเข้า ✔ ลดต้นทุน ✘ ราคานำเข้าสูงขึ้น
ผู้ส่งออก ✘ ได้เงินบาทน้อยลง ✔ ได้เงินบาทมากขึ้น
ผู้กู้เงินสกุลต่างประเทศ ✔ ชำระดอกเบี้ยถูกลง ✘ ชำระหนี้แพงขึ้น
ลูกจ้างไทยส่งเงินไปต่างประเทศ ✔ ใช้เงินบาทน้อยลง ✘ ใช้เงินบาทมากขึ้น
ลูกจ้างต่างประเทศส่งเงินกลับไทย ✘ ได้เงินบาทน้อยลง ✔ ได้เงินบาทมากขึ้น
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 41 · หน้าพิมพ์ 29 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 29
1.4.2 อัตราแลกเปลี่ยนล่วงหน้า
พิจารณาการลงทุนในตราต่างประเทศ 2 สกุลใด ๆ สมมติให้เป็นสกุลบาทไทย(THB) และ
เงิ น สกุ ล ต่ า งประเทศ (FRX) กํ า หนดให้ และ
THB FRX เป็ น อั ต ราดอกเบี ้ ย ทบต้ น ต่อ เนื ่ องที่
ปราศจากความเสี ่ ย งของเงิ น สกุ ล บาทไทย (THB) และเงิ น สกุ ล ต่ า งประเทศ (FRX) ตามลํ าดับ
พิจารณากลยุทธ์การลงทุนต่อไปนี้ สำหรับเวลา t 0, T กำหนดอัตราแลกเปลี่ยนสกุลบาทไทยกับ
สกุลต่างประเทศ เป็น Q(t ) บาท ต่อ 1 FRX
กลยุทธ์ที่ 1 ลงทุน Q(0) บาท กับโครงการลงทุนที่ได้รับอัตราดอกเบี้ย THB เป็นเวลา T
รูปที่ 1.11 กระแสเงินสดจากการลงทุนตามกลยุทธ์ที่ 1 (ลงทุนในสกุลเงินบาท)
กลยุทธ์ที่ 2 - ซื้อเงินตราต่างประเทศ 1 FRX ด้วยเงิน Q(0) บาท และนำเงินในสกุล
ต่างประเทศไปลงทุนกับโครงการลงทุนที่ได้รับอัตราดอกเบี้ย FRX เป็นเวลา T โดยทำสัญญา
ฟอร์เวิร์ดอัตราแลกเปลี่ยนที่ราคาฟอร์เวิร์ด (อัตราแลกเปลี่ยนล่วงหน้า) F
- เปิดสถานะชอร์ตของสัญญาฟอร์เวิร์ดสำหรับแลกเปลี่ยนเงินสกุลต่างประเทศเป็น
สกุลบาทไทย จำนวน e FRX T
FRX โดยมีราคาฟอร์เวิร์ด F บาทต่อ 1 FRX และเวลาส่งมอบ T
รูปที่ 1.12 กระแสเงินสดจากการลงทุนตามกลยุทธ์ที่ 2 (ลงทุนในสกุลเงินต่างประเทศ)
จะเห็นว่า ที่เวลา T ในกลยุทธ์ที่ 1 จะได้รับเงินในสกุลบาทไทยจำนวน Q(0)e THBT
บาท ส่วนในกล
ยุทธ์ที่ 2 เป็นการลงทุนในสกุลเงินต่างประเทศซึ่งจะได้รับเงินในสกุลต่างประเทศ จำนวน e FRX T
FRX
และทำสัญญาฟอร์เวอร์สเพื่อแลกเปลี่ยน (เปิดสถานะชอร์ต) มาเป็นเงินสกุลบาทไทยด้วยอัตรา
แลกเปลี่ยน F บาทต่อ 1 FRX ดังนั้นจะได้รับเงินในสกุลบาทไทย เท่ากับ Fe FRX T
บาท
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 42 · หน้าพิมพ์ 30 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
30 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
เนื่องจากทั้งสองกลยุทธ์ลงทุนด้วยเงินปัจจุบันเท่ากัน คือ Q(0) บาท หากการลงทุนทั้งสอง
กลยุทธ์ปราศจากการค้ากำไร จะได้ว่ามูลค่าอนาคตของการลงทุนที่เวลา T จะต้องเท่ากัน นั่นคือ
Q(0)eTHBT FeFRXT (1.16)
นัน่ คือ ราคาฟอร์เวิร์ดหรืออัตราแลกเปลี่ยนล่วงหน้า F บาทต่อ 1 FRX (แลกเปลี่ยนเงินกลับเป็น
สกุลบาทไทย)
F Q(0)e
THB FRX T
(1.17)
ตัวอย่างที่ 1.10 ผู้ส่งออกข้าวไทยไปยังสหรัฐอเมริกาต้องการทำสัญญาฟอร์เวิร์ดเพื่อแลกเปลี่ยน
เงินสกุลดอลลาร์เป็นเงินสกุลไทยในอีก 6 เดือนข้างหน้า ถ้าอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องสำหรับ
เงินฝากในเงินสกุลบาทไทยและสกุลดอลลาร์ เป็น 1.5 % และ 4.75% ตามลำดับ โดยอัตรา
แลกเปลี่ยนเงินสกุลไทยและเงินสกุลดอลลาร์ ณ ปัจจุบันเท่ากับ 33 บาท ต่อ 1 ดอลลาร์ จงหา
ราคาฟอร์เวิร์ดหรืออัตราแลกเปลี่ยนล่วงหน้าดังกล่าว
วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่าผู้ส่งออกลงทุนซื้อข้าวเป็นเงินสกุลบาทไทยและรับเงินมาเป็นเงินสกุลดอ
ลาร์ ดังนั้นจึงต้องทำสัญญาฟอร์เวิร์ดแลกเปลี่ยนเงินดังกล่าวกับมาเป็นเงินไทยที่ราคาฟอร์เวิร์ด
F บาทต่อ 1 ดอลลาร์ โดยสามารถคำนวณราคา F ได้จาก F Q(0)e
ในที่นี้
THB US T
Q(0) 33 (บาทต่อ 1 ดอลลาร์), THB 0.015 , 0.0475 และ T 6 / 12 0.5 จะได้
US
F 33e
32.4681 บาท ต่อ 1 ดอลลาร์
0.0150.0475 (0.5)
ตัวอย่างที่ 1.11 จากข้อมูลในตัวอย่างที่ 1.10 สมมติว่าสถาบันการเงินแห่งหนึ่งกำหนดอัตรา
แลกเปลี่ยนล่วงหน้าเท่ากับ 34 บาท ต่อ 1 ดอลลาร์สหรัฐ จงพิจารณาว่านักลงทุนสามารถทำอา
บิทราจได้หรือไม่ อย่างไร โดยอัตราแลกเปลี่ยนเงินสกุลไทยและเงินสกุลดอลลาร์ ณ ปัจจุบัน
เท่ากับ 33 บาทต่อ 1 ดอลลาร์
วิธีทำ จากตัวอย่างที่ 1.10 ได้ว่าอัตราแลกเปลี่ยนล่วงหน้าที่สอดคล้องกับปราศจากการค้ากำไร
เท่ากับ 32.4681 บาท ต่อ 1 ดอลลาร์ ดังนั้น อัตราแลกเปลี่ยนล่วงหน้าเท่ากับ 34 บาท ต่อ 1
ดอลลาร์ ที่โจทย์กำหนดให้เป็นอัตราที่สูงเกินไป ถ้าเป็นเช่นนี้ผู้ที่เปิดสถานะลองของสัญญาอัตรา
แลกเปลี่ยนล่วงหน้าย่อมได้ผลประโยชน์ เนื่องจากสามารถแลกเปลี่ยนเงินดอลลาร์กลับมาเป็นเงิน
บาทได้มากกว่าเดิม โดยแนวทางหนึ่งนักลงทุนสามารถทำอาบิทราจได้ ดังนี้
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 43 · หน้าพิมพ์ 31 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 31
1) กู้เงิน 33 บาท เพื่อแลกเปลี่ยนเป็นเงินดอลลาร์ 1 ดอลลาร์
2) นำเงินที่ 1 ดอลลาร์ ไปฝากในสกุลเงินดอลลาร์
3) ทำสัญญาฟอร์เวิร์ดอัตราแลกเปลี่ยนที่อัตราล่วงหน้า F 34 บาท ต่อ 1 ดอลลาร์
V (0) 33 33 0
ที่เวลา t 0.5 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ถอนเงินฝากในสกุลเงินดอลลาร์ ได้ 1 e 0.0475(0.5)
1.0240 ดอลลาร์
2) ใช้ ส ิ ท ธิ แ ลกเงิ น 1.0240 ดอลลาร์ เ ป็ น เงิ น บาทที ่ อ ั ต ราแลก F 34 บาทต่ อ 1
ดอลลาร์ แลกเป็นเงินบาทได้ 1.024034 34.8172 บาท
3) ชำระหนี้คืน 33 e 0.015(0.5)
33.2484 บาท
V (0.5) 34.8172 33.2484 0.5687 บาท
เงินจำนวน 0.5687 บาท เป็นกำไรที่ได้จากการทำอาบิทราจ
1.5 การกำหนดราคาออปชัน
ออปชันหรือตราสารสิทธิ (option) คือ สัญญาที่ให้สิทธิซื้อหรือขายสินทรั พย์ อ้ างอิ งใน
อนาคต โดยผู้ถือสามารถใช้สิทธิซื้อหรือขายสินทรัพย์อ้างอิงที่ราคาใช้สิทธิ (strike price: K ) หรือไม่
ใช้สิทธิตามสัญญาก็ได้ตามประเภทของสิทธิ ซึ่งได้แก่ คอลออปชันซึ่งให้สิทธิซื้อสินทรัพย์อ้างอิง และ
พุทออปชันซึ่งให้สิทธิขายสินทรัพย์อ้างอิง เนื่องจากออปชันเป็นตราสารที่ให้สิทธิแก่ผู้ถือสัญญา ผู้ถือ
จะต้องจ่ายเงินเพื่อแลกกับสิทธิ ซึ่งเป็นต้นทุนในการทำสัญญาออปชัน เงินจ่ายนี้เรียกว่า ค่าพรีเมียม
(premium) ซึ่งเป็นราคาของออปชันที่เวลา t 0 นั่นเอง
พิจารณาคอลออปชันที่ให้สิทธิซื้อหุ้นอ้างอิงที่ราคาใช้สิทธิ K จะได้ว่าที่เวลาใช้สิทธิ ( t 1 )
ผู้ถือสัญญาจะได้ประโยชน์หากราคาหุ้นพุ่งขึ้นเหนือ K เพราะผู้ถือได้สิทธิซื้อหุ้นในราคาที่ตํ่ากว่า
โดยผู้ถือสามารถทำกำไรได้โดยใช้สิทธิซื้อหุ้นที่ราคา K และขายหุ้นออกที่ราคาตลอด ดังนั้นจะได้
ผลประโยชน์ S (1) K แต่หากหุ้นลงตํ่ากว่า K ผู้ถือจะเลือกไม่ใช้สิทธิเนื่องจากสามารถซื้อหุ้นใน
ราคาตลาดได้ถูกกว่าในกรณีนี้ผลประโยชน์จะเป็นศูนย์ โดย ถ้าให้ C (t ) เป็นราคาของคอลออปชัน
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 44 · หน้าพิมพ์ 32 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
32 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
C (0) C0 จะเป็นค่าพรีเมียม หรือ ราคาออปชันที่ t 0 ซึ่งค่าพรีเมียมจะเป็นต้นทุนในการลงทุน
ในคอลออปชัน และ
Cu max (1 u ) S (0) K , 0 ;
C (1) S (1) K max S (1) K , 0
Cd max (1 d ) S (0) K , 0 ;
จะเป็นผลประโยชน์ของคอลออปชัน
รูปที่ 1.13 ราคาคอลออปชันที่เวลา t 0 และ t 1
สำหรับในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการกำหนดราคาออปชันซึ่งจะหมายถึงการกำหนดราคาออป
ชันที่เวลา t 0 หรือ ค่าพรีเมียม โดยใช้แบบจำลองราคาอย่างง่ายที่มีหุ้นเป็นสินทรัพย์อ้างอิง
(a) ผลประโยชน์ของคอลออปชันตามราคาหุ้นและตามเวลา (b) ผลประโยชน์ของคอลออปชันตาม
ราคาหุ้น
รูปที่ 1.14 ผลประโยชน์ของคอลออปชัน
ตัวอย่างที่ 1.12 กำหนดให้ A(0) 100, A(1) 110, S (0) 100 บาท และ S (1) 120 ;
80 ;
กำหนดราคาใช้สิทธิ K 100 จงพิจารณาว่าจะเกิดการค้ากำไรหรือไม่ หากกำหนดค่าพรีเมียม
C (0) 12
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 45 · หน้าพิมพ์ 33 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 33
วิธีทำ ขั้นตอนแรกคำนวณ C (1) ได้ C (1) 020 ;; คำนวณผลตอบแทนจากตราสารหนี้ ได้
A(1) A(0) 110 100
r 0.1 สามารถทดลองสร้างพอร์ตการลงทุนและคำนวณค่ามูลค่าของ
A(0) 100
พอร์ตการลงทุนได้ตามตารางที่ 1.4
ตารางที่ 1.4 การสร้างพอร์ตการลงทุนที่สามารถทำกำไรโดยปราศจากความเสี่ยงได้
(ซื้อ)
ยืมหุ้น รับ จ่าย ลงทุน รับ รับ รับ จ่าย จ่าย
x xS (0) C (0) yA(0) yA(1) Cu Cd xSu xS d
หุ้น บาท บาท บาท V (0) บาท บาท บาท บาท บาท Vu Vd
0.1 10 12 -2 0 -2.2 20 0 12 8 5.8 -10.2
0.2 20 12 8 0 8.8 20 0 24 16 4.8 -7.2
0.3 30 12 18 0 19.8 20 0 36 24 3.8 -4.2
0.4 40 12 28 0 30.8 20 0 48 32 2.8 -1.2
0.5 50 12 38 0 41.8 20 0 60 40 1.8* 1.8*
0.6 60 12 48 0 52.8 20 0 72 48 0.8* 4.8*
0.7 70 12 58 0 63.8 20 0 84 56 -0.2 7.8
0.8 80 12 68 0 74.8 20 0 96 64 -1.2 10.8
0.9 90 12 78 0 85.8 20 0 108 72 -2.2 13.8
1 100 12 88 0 96.8 20 0 120 80 -3.2 16.8
*เกิดการทำกำไรโดยปราศจากความเสี่ยง
ตัวอย่างการทำธุรกรรมตามพอร์ตการสีนำเงินซึ่งทำให้เกิดกำไรโดยปราศจากความเสี่ยง เป็นดังนี้
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ยืมหุ้นมาขาย 0.5 หน่วย จ่ายเงิน 50 บาท
2) เปิดสถานะลองสัญญาคอลออปชัน 1 สัญญา จ่ายเงิน 12 บาท เพื่อซื้อหุ้น 1 หุ้นที่ราคา
100 บาท
3) นำเงินที่เหลือ 50-12=38 ไปลงทุนในตราสารหนี้ จ่าย 38 บาท
ดังนั้นมูลค่าเงินของพอร์ต V (0) รับ-จ่าย = 50-12-38=0
ที่เวลา t 1 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ขายตราสารหนี้ รับเงิน 381.1 41.8 บาท
2) ปิดสถานะของคอลออปชัน โดยถ้าหุ้นขึ้นซื้อหุ้นที่ราคาใช้สิทธิ 100 บาท ขายที่ราคา
ตลาด 120 บาท แต่ถ้าหุ้นลงไม่ต้องใช้สิทธิ ได้รับเงินผลประโยชน์ C (1) 020 ;;
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 46 · หน้าพิมพ์ 34 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
34 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
3) ซื้อหุ้นคืน 0.5 หน่วย จ่ายเงิน 60 ;
40 ;
20 ; 60 ;
ดังนัน้ V (1) 41.804 0 ; 40 ; 1.804 บาทซึ่งเป็นกำไรที่ได้รับแน่นอน
จากธุรกรรมจะเห็นว่า V (0) 0 แต่ V (1) 1.804 ซึ่งขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
จากตัวอย่างที่ 1.12 จะเห็นว่าการกำหนดค่าพรีเมียมนั้นตํ่าเกินไปหากเป็นเช่นนี้แล้วจะมีนักลงทุน
เข้ามาค้ากำไรกันมากขึ้นโดยดำเนินธุรกรรมเช่นเดียวกับตัวอย่างที่ 1.12 มีผลทำให้ราคาพรีเมียมจะ
ปรับตัวสูงขึ้น
ตัวอย่างที่ 1.13 กำหนดให้ A(0) 100, A(1) 110, S (0) 100 บาท และ S (1) 120 ;
80 ;
กำหนดราคาใช้สิทธิ K 100 จงพิจารณาว่าจะเกิดการค้ากำไรหรือไม่ หากกำหนดค่าพรีเมียม
C (0) 15
วิธีทำ จากโจทย์ ขั้นตอนแรกคำนวณ C (1) ได้ C (1) 020 ;;
110 100
คำนวณผลตอบแทนจากตราสารหนี้ ได้ r 0.1
100
พิจารณาการทดลองพอร์ตการลงทุนและผลจากการสร้างพอร์ตตามตารางต่อไปนี้
ตารางที่ 1.5 การสร้างพอร์ตการลงทุนที่สามารถทำกำไรโดยปราศจากความเสี่ยงได้
ต้องใช้ (ออก) ยืม
ซื้อหุ้น เงิน รับ เงิน** รับ รับ จ่าย จ่าย คืนหนี้
x xS 0 C 0 yA(0) xSu xS d Cu Cd yA(1)
หุ้น บาท บาท บาท V 0 บาท บาท บาท บาท บาท Vu Vd
0.1 10 15 -5 0 12 8 20 0 -5.5 -2.5 13.5
0.2 20 15 5 0 24 16 20 0 5.5 -1.5 10.5
0.3 30 15 15 0 36 24 20 0 16.5 -0.5 7.5
0.4 40 15 25 0 48 32 20 0 27.5 0.5 4.5*
0.5 50 15 35 0 60 40 20 0 38.5 1.5 1.5*
0.6 60 15 45 0 72 48 20 0 49.5 2.5 -1.5
0.7 70 15 55 0 84 56 20 0 60.5 3.5 -4.5
0.8 80 15 65 0 96 64 20 0 71.5 4.5 -7.5
0.9 90 15 75 0 108 72 20 0 82.5 5.5 -10.5
1 100 15 85 0 120 80 20 0 93.5 6.5 -13.5
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 47 · หน้าพิมพ์ 35 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 35
*พอร์ตการลงทุนที่ทำให้เกิดกำไรโดยปราศจากความเสี่ยง
**การยืมเงินเทียบเทากับการยืมตราสารหนี้มาขาย
จากตารางการจำลองพอร์ตการลงทุนสามารถทำธุรกรรมให้เกิดการทำกำไรโดยปราศจากความ
เสี่ยง ได้ดังนี้
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ยืมเงิน 35 บาท
2) เปิดสถานะชอร์ตคอลออปชัน 1 สัญญาและขายสัญญา รับเงิน 15 บาท
(สัญญาให้สิทธิซื้อหุ้น 1 หุ้น ที่ราคา 100 บาท)
3) ซื้อหุ้น 0.5 หน่วย จ่ายเงิน 50 บาท
ดังนั้น V (0) 35 15 50 0 บาท
(*เปิดสถานะชอร์ต เทียบเท่ากับ การออกคอลออปชันมาขาย)
ที่เวลา t 1 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ขายหุ้น 0.5 หน่วย รับเงิน 60 ;
40 ;
2) ปิดสถานะชอร์ตของคอลออปชัน ซึ่งหากหุ้นมีราคาขึ้นผู้ถือจะซื้อหุ้นที่ราคาใช้สิทธิ 100
บาท ขายที่ราคาตลาด 120 บาท แต่ถ้าหุ้นลงจะไม่ใช้ใช้สิทธิ ดังนั้น ผู้ออกจะต้องจ่าย
ผลประโยชน์ C (1) 020 ;;
3) คืนเงินพร้อมดอกเบี้ย เท่ากับ 351.1 38.5 บาท
60 ; 20 ;
ดังนั้น V (1) 38.5 1.5 บาท
40 ; 0 ;
จากการทำธุรกรรมจะเห็นว่า V (0) 0 แต่ V (1) 1.5 ซึ่งเป็นการทำอาบิทราจ
จากตัวอย่างที่ 1.13 จะเห็นว่าการกำหนดค่าพรีเมียมนั้นสูงเกินไปหากเป็นเช่นนี้แล้วจะมีนักลงทุน
เข้ามาค้ากำไรกันมากขึ้นโดยดำเนินธุรกรรมเช่นเดียวกับในตัวอย่างที่ 1.13 และมีผลทำให้ค่าพรีเมียม
จะปรับตัวตํ่าลง จากทั้งสองตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าหากการกำหนดค่าพรีเมียมยังทำให้เกิดการค้า
กำไรจะทำให้มีนักลงทุนเข้ามาทำการค้ากำไร ซึ่งส่งผลให้ค่าพรีเมียมเคลื่อนที่เข้าสู่ราคาที่สมดุล (ค่า
พรีเมียมที่ไม่ทำให้เกิดการค้ากำไร) ดังนั้น จึงต้องกำหนดค่าพรีเมียม C (0) ที่ไม่ทำให้เกิดการค้ากำไร
นั่นคือสอดคล้องกับ หลักการปราศจากการค้ากำไร นั่นเอง โดยขั้นตอนในการคำนวณค่าพรีเมียม
C (0) สามารถทำได้ดังนี้
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 48 · หน้าพิมพ์ 36 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
36 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
1.5.1 กระบวนการกำหนดราคาคอลออปชัน
การกำหนดราคาคอลออปชันด้วยหลักการปราศจากการค้ากำไร เริ่มต้นด้วย พอร์ตการ
ลงทุนที่ประกอบด้วยตราสารหุ้น x หน่วย ตราสารหนี้ y หน่วย และ คอลออปชันในสถานะชอร์ต
1 สัญญา โดยอาศัยหลักการปราศจากการค้ากำไร นั่นคือ ถ้า V (0) 0 แล้ว V (1) 0 จะสามารถ
หาพอร์ตการลงทุนดังกล่าวได้ตามขั้นตอนต่อไปนี้
ขั้นตอนที่ 1) สมมติให้ [ x, y, 1] เป็นพอร์ตการลงทุนที่ซึ่ง
V (0) xS (0) yA(0) C (0) 0 (1.18)
โดยอาศัยหลักการปราศจากการค้ากำไร จะได้ว่า
V (1) xS (1) yA(1) C (1) 0 (1.19)
Cu max (1 u ) S (0) K , 0 ;
เมื่อ C (1)
Cd max (1 d ) S (0) K , 0 ;
จากสมการ (1.19) จะได้
x(1 u ) S (0) yA(1) Cu (1.20)
และ
x(1 d ) S (0) yA(1) Cd (1.21)
ขั้นตอนที่ 2) แก้ระบบสมการ (1.20) และ (1.21) เพื่อหาค่า x และ y จะได้
x
Cu Cd
(u d ) S (0)
และ y (1(u u)dC)(1(1r) Ad(0))C
d u
(1.22)
ขั้นตอนที่ 3) ค่าพรีเมียมหรือ ราคาของคอลออปชัน C (0) สามารถคำนวณได้จากสมการ (1.22)
ด้วยการแทนค่า x และ y ที่ได้จากขั้นตอนที่ 2) ได้ผลลัพธ์ คือ
Cu Cd (1 u )Cd (1 d )Cu
C (0)
ud
(u d )(1 r )
(1.23)
ผลลัพธ์ดังกล่าวเขียนเป็นทฤษฎีบทได้ ดังนี้
ทฤษฎีบท 1.12 ภายใต้สมมติฐาน 1.1) -1.6) จะได้ C (0) Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )C
u d d u
พิสูจน์ จะแสดงว่า C (0) Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )C
u d d u
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 49 · หน้าพิมพ์ 37 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 37
โดยสมมติในทางตรงกันข้ามว่า C (0) Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )Cu d d u
Cu Cd (1 u )Cd (1 d )Cu
นั่นคือ C (0)
ud
(u d )(1 r )
Cu Cd (1 u )Cd (1 d )Cu
หรือ C (0)
ud
(u d )(1 r )
กรณีที่ 1 ถ้า C (0) Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )C
u d d u
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ออกสัญญาคอลออปชันเพื่อขายสัญญา 1 สัญญาได้รับเงิน C (0) บาท
2) ซื้อหุ้น (uC d)CS (0) หน่วย จ่ายเงิน C C บาท
u d u d
ud
3) ซื้อตราสารหนี้ (1(u u)dC)(1(1r) Ad(0))C ตราสาร จ่ายเงิน (1 (uu)C d)(1(1rd) )C บาท
d u d u
ดังนั้น จะเหลือเงิน C (0) Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )C 0 บาท (โดยสมมติฐาน)
u d d u
4) นำเงินที่เหลือ C (0) Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )C ไปซื้อตราสารหนี้
u d d u
ดังนั้นมูลค่าเงินของพอร์ตลงทุน V (0) 0
ที่เวลา t 1 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
(1 u ) Cu Cd ;
u d
1) ขายหุ้น (uC d)CS (0) หน่วย ได้รับเงิน
u d
C Cd
(1 d ) u ;
u d
2) ขายตราสารหนี้ (1(u u)dC)(1(1r) Ad(0))C หน่วย ได้รับเงิน (1 u)C (1 d )C บาท
d u d u
ud
3) ขายตราสารจากการลงทุนด้วยเงินต้น C (0) Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )C บาท u d d u
จะได้เงินอีก C (0) Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )C (1 r ) บาท
u d d u
4) ผู้ถือคอลออปชันใช้สิทธิ ดังนั้นผู้ออก ต้องจ่ายเงินผลประโยชน์
Cu max (1 u ) S (0) K , 0 ;
C (1) บาท
Cd max (1 d ) S (0) K , 0 ;
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 50 · หน้าพิมพ์ 38 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
38 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
(1 u ) Cu Cd ;
u d (1 u )Cd (1 d )Cu
จะได้เงินคงเหลือ V (1)
Cu Cd
ud
(1 d ) ;
u d
C Cd (1 u )Cd (1 d )Cu C ;
C (0) u (1 r ) u
ud (u d )(1 r )
Cd ;
C Cd (1 u )Cd (1 d )Cu
C (0) u (1 r ) 0
ud (u d )(1 r )
ทำให้สรุปได้ว่า V (1) 0 ซึ่งขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
กรณีที่ 2 ถ้า C (0) Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )C
u d d u
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ยืมหุ้นมาขาย (uC d)CS (0) หน่วย ได้รับเงิน C C บาท
u d u d
ud
2) ยืมตราสารหนี้มาขาย (1(u u)dC)(1(1r) Ad(0))C หน่วย ได้รับเงิน (1 (uu)C d)(1(1rd) )C บาท
d u d u
3) ซื้อสัญญาคอลออปชัน 1 สัญญา จ่ายเงิน C (0) บาท
ดังนั้นจะเหลือเงิน Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )C C (0) 0 บาท (โดยสมมติฐาน)
u d d u
4) นำเงินที่เหลือ Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )C C (0) บาท ไปซื้อตราสารหนี้
u d d u
ดังนั้นมูลค่าเงินของพอร์ตลงทุนที่เวลา t 0 คือ V (0) 0
ที่เวลา t 1 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
Cu max (1 u ) S (0) K , 0 ;
1) ขายคอลออปชัน 1สัญญาได้รับเงิน C (1) บาท
Cd max (1 d ) S (0) K , 0 ;
2) ขายตราสารจากทีล่ งทุน Cuu Cd d (1 (uu)Cdd)(1(1rd) )Cu C (0) บาท
ได้รับเงิน Cuu Cd d (1 (uu)Cdd)(1(1rd) )Cu C (0) (1 r ) บาท
(1 u ) Cu Cd ;
u d
3) ซื้อหุ้นคืน (uCu d)CS d(0) หน่วย จ่ายเงิน
บาท
(1 d ) Cu Cd ;
u d
4) ซื้อตราสารหนี้คนื (1(u u)dC)(1
d (1 d )Cu
r ) A(0)
หน่ ว ย จ่ า ยเงิ น (1 u )Cd (1 d )Cu
(u d )
บาท
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 51 · หน้าพิมพ์ 39 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 39
Cu ; C Cd (1 u )Cd (1 d )Cu
จะได้ V (1) C (0) u (1 r )
Cd ; ud (u d )(1 r )
Cu Cd
(1 u ) ;
u d (1 u )Cd (1 d )Cu
Cu Cd ud
(1 d ) u d ;
Cu Cd (1 u )Cd (1 d )Cu
C (0) (1 r ) 0
ud (u d )(1 r )
ทำให้ได้ว่า V (1) 0 ซึ่งขัดแย้งกับ หลักการปราศจากการค้ากำไร
จากกรณี 1) และ กรณี 2) จึงทำให้สรุปได้ว่า C (0) Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )C
u d d u
ตัวอย่างที่ 1.14 กำหนดให้ A(0) 100, A(1) 110, S (0) 100 บาท และ S (1) 120 ;
80 ;
กำหนดราคาใช้สิทธิ K 100 จงคำนวณหาค่าพรีเมียม C (0) ของคอลออปชัน
วิธีทำ วิธีที่1 ใช้กระบวนการกำหนดราคาคอลออปชันจากที่โจทย์กำหนดให้คำนวณ C (1) ได้
max 120 100, 0 ; 20 ;
C (1)
max 80 100, 0 ; 0 ;
การกำหนดราคาคอลออปชัน สามารถทำได้ตามขั้นตอนต่อไปนี้
ขั้นตอนที่ 1) กำหนดให้ [ x, y] เป็นพอร์ตการลงทุนที่ไม่มีการทำกำไรโดยปราศจากความเสี่ยง ซึ่ง
V (0) xS (0) yA(0) C (0)
จะได้ว่า V (1) xS (1) yA(1) C (1)
ผลที่ตามมาคือ C (0) 100 x 100 y (1)
120 x 110 y ; 20 ;
และ C (1)
80 x 110 y ; 0 ;
นั่นคือ 120 x 110 y 20 (2)
120 x 110 y 0 (3)
ขั้นตอนที่ 2) แก้ระบบสมการ (2) และ (3) เพื่อหาค่า x และ y จะได้ x 12 และ y 114
ขั้นตอนที่ 3) นำค่า x 12 และ y 114 ไปแทนในสมการ (1)
จะได้ ค่าพรีเมียม หรือ ราคาของคอลออปชัน C (0) 100 12 100114 13.6364 บาท
วิธีที่ 2 ใช้สูตร (1.19) คือ C (0) Cu Cd (1 (uu)C d)(1(1rd) )C
u d d u
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 52 · หน้าพิมพ์ 40 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
40 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ในที่นี้ r A(1)A(0)A(0) 110100
100
0.1 1 r 1.1
120 100
;
S (1) S (0) 100 0.2 ;
K (1) u 0.2, d 0.2
S (0) 80 100 0.2 ;
;
100
20 ;
และ C (1) Cu 20, Cd 0
0 ;
โดยแทนค่าในสูตร (1.23) จะได้ C (0) 0.220 0
(0.2)
(1.2)(0) (0.8)(20)
(0.2 0.2)(1.1)
13.6364 บาท
อยากให้ผู้อ่านย้อนกลับไปดูตัวอย่างที่ 1.12 และ 1.13 อีกครั้งในความเป็นจริง ในฐานะนักลงทุนไม่มี
ทางรู้ว่าราคาพรีเมียม C (0) ของคอลออปชันที่ซื้อขายกันเป็นราคาที่สามารถทำกำไรโดยปราศจาก
ความเสี่ยง (ทำอาบิทราจ) ได้หรือไม่ แต่สามารถประเมินราคา C (0) ภายใต้ข้อมูลที่มีโดยใช้สูตร
(1.23) ได้ และสามารถทำอาบิทราจโดยสร้างพอร์ตการลงทุนเริ่มต้นจากพอร์ตที่ประกอบด้วยหุ้น
จำนวน x (uC d)CS (0) หน่วยและตราสารหนี้จำนวน y (1(u u)dC)(1(1r) Ad(0))C หน่วย ตามสูตร
u d d u
(1.22) เพื่อความเข้าใจลองศึกษาจากตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1.15 กำหนดให้ A(0) 100, A(1) 110, S (0) 100 บาท และ S (1) 120 ;
80 ;
กำหนดราคาใช้สิทธิ K 100 จงพิจารณาว่าจะเกิดการค้ากำไรหรือไม่ หากกำหนดค่าพรีเมียม
C (0) 15 (*ข้อมูลจากตัวอย่างที่ 1.14)
วิธีทำ จากตัวอย่างที่ 1.14 คำนวณราคาพรีเมียม C (0) 13.6364 บาท
จะเห็นว่าการกำหนดค่าพรีเมียม C (0) 15 เป็นราคาที่สูงเกินไป ซึ่งจะเป็นประโยชน์ต่อนักลงทุน
ที่ถือสถานะชอร์ตคอลออปชัน (สถานะเหมือนผู้ออกออปชันมาขาย) ซึ่งสามารถทำอาบิทราจได้
ดังนี้
เริ่มต้นด้วยคำนวณ x (uC d)CS (0) 0.2 200.2
u d 0
0.5 (ซื้อลงทุน) และ
100
(1 u )Cd (1 d )Cu 1.2(0) (0.8)(20)
y
(u d )(1 r ) A(0)
(0.2 0.2)(1.1)(100)
0.3636 (ยืมขาย)
จากข้อมูล สามารถทำธุรกรรม ได้ดังนี้
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 53 · หน้าพิมพ์ 41 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 41
1) ยืมขายตราสารหนี้ 0.3636 หน่วย รับเงิน 0.3636(100) 36.36 บาท
2) ออกคอลออปชัน 1 สัญญาและขายสัญญารับเงิน 15 บาท
(สัญญาให้สิทธิซื้อหุ้น 1 หุ้น ที่ราคา 100 บาท)
3) ซื้อหุ้น 0.5 หน่วย จ่ายเงิน 50 บาท
4) นำเงินที่เหลือ 36.36 15 50 1.36 บาท ไปซื้อตราสารหนี้
V (0) 36.36 15 50 1.36 0
ที่เวลา t 1 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ขายหุ้น 0.5 หน่วย รับเงิน 0.5120 ; 60 ;
80 ; 40 ;
2) ปิดสถานะชอร์ตของคอลออปชันซึ่งหากหุ้นมีราคาขึ้นผู้ถือจะซื้อหุ้นที่ราคาใช้สิทธิ 100
บาท ขายที่ราคาตลาด 120 บาท แต่ถ้าหุ้นลงจะไม่ใช้ใช้สิทธิ
ดังนั้นผู้ออกจะต้องจ่าย ผลประโยชน์ C (1) 020 ;;
3) ขายตราสารหนี้จากเงินทุนที่เหลือ 1.36 บาท รับเงิน 1.36(1.1) 1.496 บาท
4) ซื้อและคืนตราสารหนี้ 0.3636 หน่วย จ่ายงิน 40 บาท
ดังนั้น V (1) 60 ; 20 ;
40 ; 0 ;
1.496 40 1.496 บาทซึ่งเป็นกำไรที่จะได้รับแน่นอนจาก
การทำธุรกรรม
บทแทรก 1.13 ถ้า ความน่าจะเป็น p ur dd e udd1 แล้ว
pCu (1 p )Cd
C (0) (1.24)
e
พิสูจน์ จากทฤษฎีบท 1.12, C (0) Cu Cd (1 u)(Cu d(1)e d )C
u d d
u
(Cu Cd )e Cd uCd Cu dCu
(u d )e
e d 1Cu e u 1Cd
(u d )e
e d 1Cu u d e d 1Cd
(u d )e
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 54 · หน้าพิมพ์ 42 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
42 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
e d 1Cu u d e d 1Cd
(u d )e (u d )e
pCu (1 p )Cd
e
ทฤษฎีบท 1.14 ถ้า ความน่าจะเป็น p r d e d 1 แล้ว
ud ud
1
C (0) e E[C(1)] 1 r E[C(1)] (1.25)
พิสูจน์ ได้โดยตรงจาก บทแทรก 1.13 เพราะว่า
pCu (1 p )Cd
C (0) pe Cu (1 p )e Cd
e
E[e C(1)] e E[C(1)]
ทฤษฎีบท 1.14 ทำให้ทราบว่าราคาของคอลออปชันหรือค่าพรีเมียม ก็คือ มูลค่าปัจจุบัน
ของค่าคาดหวังของผลประโยชน์ของคอลออปชันนั่นเอง
รูปที่ 1.15 ค่าพรีเมียมของคอลคือมูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์ของคอล
ตัวอย่างที่ 1.16 กำหนดให้อัตราผลตอบแทนจากตราสารหนี้เท่ากับ 6 % ต่อช่วงเวลาและ
S (0) 90 บาท และ S (1) 120;
95 ;
กำหนดราคาใช้สิทธิ K 92 จงคำนวณราคาพรีเมียมของคอ
ลออปชันโดยใช้สูตร (1.25)
วิธีทำ จากที่โจทย์กำหนดให้ r 0.06 e 1 r 1.06 และ
120 90
S (1) S (0) 90 0.3333 ;
K (1)
S (0) 95 90 0.0556 ;
90
max 120 92, 0 ; 28 ;
คำนวณ C (1) และความน่าจะเป็น p ได้ดังนี้ C (1)
3 ;
max 95 92, 0 ;
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 55 · หน้าพิมพ์ 43 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 43
และ p r d 0.06 0.0556 0.0158 , 1 p 1 0.0158 0.9842
ud 0.3333 0.0556
โดยแทนค่าดังกล่าวในสูตร (1.25) ได้
C (0) e E[C(1)] 1.061 0.0158(28) 0.9842(3) 3.2028 บาท
1.5.2 การกำหนดราคาพุทออปชัน
สำหรับกรณีของพุทออปชันซึ่งเป็นสัญญาที่ให้สิทธิขายหุ้นอ้างอิงที่ราคาใช้สิทธิ K ตาม
เวลาที่กำหนดในสัญญา ผู้ถือสัญญาจะได้ผลประโยชน์หากราคาหุ้นอ้างอิงมีราคาเคลื่อนที่ลงตํ่ากว่า
ราคาใช้สิทธิ K เพราะว่าผู้ถือสัญญาสามารถขายที่ราคา K ซึ่งสูงกว่าราคาตลาด โดยผู้ถือสามารถ
ทำกำไรได้โดยซื้อหุ้นที่ราคาตลาด S (1) และใช้สิทธิขายที่ราคา K ซึ่งจะทำให้ได้กำไร K S (1)
ในทางตรงกันข้ามหากหุ้นมีราคาพุ่งขึ้นสูงกว่า K ผู้ถือจะไม่ใช้สิทธิขาย ดังนั้นถ้าให้ P(t ) เป็นราคา
ของพุทออปชัน P(0) P จะเป็นค่าพรีเมียม หรือ ราคาของพุทออปชันที่ t 0 และ
0
Pu max K (1 u ) S (0), 0 ;
P(1) max K S (1), 0 (1.26)
Pd max K (1 d ) S (0), 0 ;
จะเป็นผลประโยชน์ของพุทออปชัน
(a) ผลประโยชน์ของพุทตามราคาหุ้นและตามเวลา (b) ผลประโยชน์ของพุทตามราคาหุ้น
รูปที่ 1.16 ผลประโยชน์ของพุทออปชัน
การกำหนดราคาของพุทออปชัน หรือ ค่าพรีเมียมของพุทออปชันนั้น สามารถใช้ขั้นตอนเดียวกับการ
กำหนดราคาของคอลออปชัน โดยใช้หลักการปราศจากการค้ากำไร สมมติให้ x และ y เป็นจำนวน
ตราสารหุ้นและตราสารหนี้ที่ทำให้พอร์ตซึ่งประกอบด้วยพุทออปชัน 1 สัญญา (เปิดสถานะชอร์ต)
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 56 · หน้าพิมพ์ 44 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
44 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
สอดคล้องกับหลักการปราศจากการค้ากำไร นั่นคือ สำหรับพอร์ต [ x, y, 1] ถ้า V (0) 0 แล้ว
V (1) 0 ดังนั้น ถ้า P(t ) เป็นราคาของพุทออปชันที่เวลา t 0,1 จะได้
xS (0) yA(0) P(0) (1.27)
และ xS (1) yA(1) P(1) (1.28)
Pu max K (1 u ) S (0), 0 ;
เมื่อ P(1)
Pd max K (1 d ) S (0), 0 ;
ผลที่ตามมาได้
x(1 u ) S (0) yA(1) Pu (1.29)
x(1 d ) S (0) yA(1) Pd (1.30)
โดยการแก้ระบบสมการ ได้
x
Pu Pd
(u d ) S (0)
และ y (1(u u)dP)(1(1r) Ad(0)) P
d u
(1.31)
และแทนใน (1.27) ได้
Pu Pd (1 u ) Pd (1 d ) Pu
P(0)
ud
(u d )(1 r )
(1.32)
และถ้าความน่าจะเป็น p ur dd e udd1 ( 1 r e ) แล้วจะได้
pPu (1 p ) Pd
P (0) e E P (1) (1 r )1 E P (1) (1.33)
e
รูปที่ 1.17 ค่าพรีเมียมของพุทออปชันคือมูลค่าปัจจุบันของค่าคาดหวังของผลประโยชน์ของ
พุทออปชัน
ตัวอย่างที่ 1.17 กำหนดให้ A(0) 100, A(1) 110, S (0) 100 บาท และ S (1) 120 ;
80 ;
กำหนดราคาใช้สิทธิ K 100 จงคำนวณค่าพรีเมียม P(0)
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 57 · หน้าพิมพ์ 45 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 45
วิธีทำ ในที่นี้ P(1) 020;; , u 0.2 , d 0.2 และ r 0.1
สามารถคำนวณค่าพรีเมียม P(0) โดยใช้สูตร (1.26)
Pu Pd (1 u ) Pd (1 d ) Pu
P(0)
ud (u d )(1 r )
ได้ P(0) 0.20 200.2 (1 (0.2
0.2)(20) (1 0.2)(0)
0.2)(1 0.1)
4.55 บาท
ตัวอย่างที่ 1.18 (ข้อมูลจากตัวอย่างที่ 1.17) กำหนดให้ A(0) 100, A(1) 110, S (0) 100 บาท
และ S (1) 120 ;
80 ;
กำหนดราคาใช้สิทธิ K 100 จงพิจารณาว่าจะเกิดการค้ากำไรหรือไม่ หาก
กำหนดค่าพรีเมียม P(0) 3.5
วิ ธ ี ท ํ า จากตั ว อย่ า งที่ 1.17 P(1) 020;; , u = 0.2, d = −0.2 และ r = 0.1 และราคาพ
รีเมียมตามทฤษฎีได้ P(0) 4.55 บาท จะเห็นว่าการกำหนดค่าพรีเมียม P(0) 3.5 ตํ่าเกินไป
จะเป็นประโยชน์ต่อนักลงทุนที่ถือสถานะลองพุทออปชัน (สถานะซื้อ) ซึ่งสามารถทำอาบิทราจ ได้
ดังนี้
เริ่มต้นด้วยคำนวณ (ซื้อลงทุน) x (u P d)PS (0) (0.4)(100)
u d 0 20
0.5 หน่วย และ
(1 u ) Pd (1 d ) Pu 1.2(20) (0.8)(0)
y 0.5455 หน่วย จากข้อมูลสามารถทำธุรกรรมได้
(u d )(1 r ) A(0) (0.4)(1.1)(100)
ดังนี้
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ยืมเงินจำนวน yA(0) 0.5455(100) 54.55 บาท (เทียบเท่ากับการชอร์ตตราสารหนี้
หรือยืมตราสารหนี้มาขาย)
2) เปิดสถานะลองพุทคอลออปชัน 1 สัญญา จ่ายเงิน 3.5 บาท
(เพื่อรับสิทธิขายหุ้น 1 หุ้นที่ราคาใช้สิทธิ 100 บาท)
3) ซื้อหุ้น 0.5 หน่วย จ่ายเงิน 50 บาท
4) นำเงินที่เหลือ 54.55 3.5 50 1.05 บาท ไปซื้อตราสารหนี้
V (0) 54.55 3.5 50 1.05 0
ที่เวลา t 1 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้
1) ขายหุ้น 0.5 หน่วย รับเงิน 0.5120 ; 60 ;
80 ; 40 ;
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 58 · หน้าพิมพ์ 46 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
46 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
2) ปิดสถานะลองของพุทออปชัน โดยรับผลประโยชน์ P(1) 020 ;;
3) ขายตราสารหนี้จากเงินทุนที่เหลือ 1.05 บาท รับเงิน 1.05(1.1) 1.155 บาท
4) คืนเงิน 54.55(1.1) = 60.005 บาท
ดังนัน้ V (1) 60 ; 0 ; 1.155 60.005 1.15 บาท
40 ;
20 ;
เป็นกำไรที่จะได้จากการทำอาบิทราจ
1.6 การจัดการความเสี่ยงด้วยออปชัน
ในตลาดอนุพันธ์ประกอบด้วยนักลงทุนหลัก 3 ประเภท ได้แก่ 1) ผู้ค้ากำไร (arbitrager) 2)
นักเก็งกำไร (speculator) และ 3) นักบริหารความเสี่ยง (hedger) โดยในส่วนของผู้ค้ากำไรนั้นจะมุ่ง
แสวงหาผลตอบแทนจากความไม่สมดุลของราคาสินทรัพย์ในตลาด ซึ่งได้กล่าวไว้แล้วในหัวข้อ 1.3
และ 1.4 สำหรับในหัวข้อนี้จะเน้นการบริหารความเสี่ยงโดยใช้ออปชันเป็นเครื่องมือสำคัญตาม
หลักการของการจัดการความเสี่ยง โดยจะเปรียบเทียบระดับความเสี่ยงที่ต้องเผชิญเมื่อเทียบกับค่า
คาดหวังของผลตอบแทนของโครงการตั้งแต่ 2 โครงการขึ้นไป ด้วยการใช้สัมประสิทธิ์ความแปรผัน
(coefficient of variation: CV) ซึ่งเป็นการวัดความผันผวนสัมพัทธ์ที่ช่วยให้สามารถเปรียบเทียบ
การกระจายของข้อมูลในแต่ละชุดได้อย่างมีประสิทธิภาพ โดยสูตรในการคำนวณค่า CV คือ
σK ความเสี่ยง
CV
= = V
| E[ KV ] | ค่าคาดหวังของผลตอบแทน
ซึ่ง σ K แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทน และ E[ KV ] คือค่าคาดหวังขอผลตอบแทน
V
โดยการใช้ค่าสัมบูรณ์ของ E[ KV ] เพื่อให้ค่า CV มีค่าเป็นบวกเสมอ ทำให้สามารถใช้เปรียบเทียบ
ระดับความเสี่ยงต่อผลตอบแทนได้อย่างชัดเจนและแม่นยำ เช่น หากโครงการ A มีค่าคาดหวังของ
ผลตอบแทนเท่ า กั บ 10% และส่ ว นเบี ่ ย งเบนมาตรฐานของผลตอบแทนเท่ า กั บ 5% จะได้ ว่ า
5
CV=
A = 0.5 ขณะที่โครงการ B มีค่าคาดหวังของผลตอบแทนเท่ากับ 8% และมีความเสี ่ ย ง
10
เท่ากับ 8% เช่นกัน จะได้ว่า CVB= 8= 1.0 ดังนั้น แม้โครงการ B จะให้ผลตอบแทนที่น่าสนใจ แต่
8
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 59 · หน้าพิมพ์ 47 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 47
ในแง่ของความเสี่ยงสัมพัทธ์แล้ว โครงการ A มีความคุ้มค่ามากกว่าเพราะต้องเผชิญความเสี่ยงเพียง
0.5 หน่วยต่อผลตอบแทน 1 หน่วย ขณะที่โครงการ B ต้องเผชิญความเสี่ยง 1 หน่วยต่อผลตอบแทน
1 หน่วย
1.6.1 การใช้ออปชันเพิ่มความสามารถในการลงทุน
ในตลาดการเงิน ออปชัน (Option) ถือเป็นเครื่องมือทางการเงินที่ทรงพลังในการบริหาร
ความเสี ่ ย ง รวมถึ งการเพิ ่ มโอกาสในการทํ า กำไรโดยใช้เงิน ลงทุน เริ่มต้น น้อยกว่าการลงทุนใน
สินทรัพย์อ้างอิงโดยตรง ด้วยลักษณะเฉพาะที่ให้นักลงทุนสามารถกำหนดสิทธิในการซื้อหรือขาย
สินทรัพย์ในอนาคตในราคาที่ตกลงไว้ล่วงหน้า ออปชันจึงเป็นทางเลือกที่น่าสนใจสำหรับทั้งนักลงทุน
ที่ต้องการป้องกันความเสี่ยง (hedging) และนักเก็งกำไร (speculation)
การวิเคราะห์การใช้ออปชันเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพในการลงทุนจะชี้ให้เห็นถึงข้อได้เปรีย บใน
เชิงกลยุทธ์ โดยเฉพาะเมื่อนำมาเปรียบเทียบกับการลงทุนในหุ้นโดยตรง ตัวอย่างต่อไปนี้จะนำเสนอ
การคํ า นวณเชิ ง ตั ว เลขที ่ เ ปรี ย บเที ย บผลตอบแทน ความเสี ่ ย ง และสั ม ประสิ ท ธิ ์ ค วามแปรผัน
(coefficient of variation: CV) ระหว่าง 3 แนวทางการลงทุน ได้แก่
1) การลงทุนในหุ้นอย่างเดียว
2) การลงทุนในคอลออปชันอย่างเดียว
3) การลงทุนแบบผสมระหว่างหุ้นและคอลออปชันในสัดส่วนเท่า ๆ กัน
การเปรียบเทียบนี้จะช่วยให้นักลงทุนเห็นชัดถึงผลกระทบของการใช้เครื่องมืออนุพันธ์ต่อระดับ
ผลตอบแทนและความเสี่ยง โดยเฉพาะในบริบทของนักลงทุนที่มีวัตถุประสงค์ในการเพิ่มผลตอบแทน
สูงสุดภายใต้ข้อจำกัดของเงินลงทุนที่มีอยู่
ตัวอย่างที่ 1.19 สมมติว่าหุ้นของบริษัทหนึ่งมีราคา S (0) 50 และ S (1) 75 ; p 0.8
40 ; 1 p 0.2
และอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้ 4 % ต่อคาบ และสมมติว่า นักลงทุนมีเงินลงทุน 100,000
บาท และ ราคาใช้สิทธิของคอลออปชัน 50 บาท พิจารณาการการลงทุนกรณีที่ 1) , 2) และ 3)
ดังนี้
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 60 · หน้าพิมพ์ 48 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
48 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
กรณีที่ 1) หากนักลงทุนในหุ้นอย่างเดียว
กรณีที่ 2) หากนักลงทุนในคอลออปชันอย่างเดียว
กรณีที่ 3) หากนักลงทุนในหุ้นและคอลออปชันอย่างละเท่า ๆ กัน
S (1) S (0) 0.5 ;
วิธีทำ จากข้อมูลจะได้ K (1)
0.2;
u 0.5 , d 0.2 , r 0.04
S (0)
คำนวณค่าอื่น ๆ ได้ ดังนี้ C (1) max S (1) K , 0 025 ;; และ ค่าพรีเมียมจากสูตร
C Cd (1 u )Cd (1 d )Cu
C (0) u
ud (u d )(1 r )
ได้ C (0) 0.5250.2
0
(1 0.5)(0) (1 0.2)(25)
(0.5 0.2)(1 0.04)
8.2418 บาท
พิจารณาการลงทุนต่อไปนี้
กรณีที่ 1) หากนักลงทุนในหุ้นอย่างเดียว
จะซื้อหุ้นที่เวลา t 0 ได้ทั้งหมด 100, 000 2, 000 หน่วย และขายที่เวลา t 1 ได้รับเงิน
50
150, 000 ;
2, 000 S (1)
ได้กำไร 50, 000 ;
80, 000 ;
20, 000 ;
V (1) V (0)
0.5 ; 50% ;
และ KV
0.2 ;
V (0)
20% ;
เมื่อคำนวณค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทน จะได้ E[ K ] 0.8(0.5) 0.2(0.2) 0.28 28%
V
และ ความเสี่ยง 0.8(0.5 0.28) 0.2(0.2 0.28) 0.2912 29.12 %
KV
2 2
คำนวณสัมประสิทธิ์ความแปรผันหรือค่า cv (เพื่อเปรียบเทียบความเสี่ยงที่ต้องเผชิญเทียบกับค่า
KV ความเสี่ยง
คาดหวังของผลตอบแทน) คำนวณจาก CV
E[ KV ] ค่าคาดหวังของผลตอบแทน
ดังนั้น CV 0.2912 1.04 ซึ่งอาจตีความได้ว่าหากนักลงทุนต้องการผลตอบแทนเพิ่มขึ้น
0.28 1
1% นักลงทุนจะต้องเผชิญความเสี่ยงเพิ่มขึ้น 1.04%
กรณีที่ 2) หากนักลงทุนในคอลออปชันอย่างเดียว
นักลงทุนจะซื้อคอลออปชันที่เวลา t 0 ได้ทั้งหมด 100, 000 12,133 สัญญา และปิด
8.2418
สถานะลองของคอลออปชัน ที่เวลา t 1 ได้รับผลประโยชน์ 12,133C (1) 303,325
0
;
;
203,325 ;
2.03325 ;
203.325% ;
ได้กำไร
100, 000 ;
และ KV
1 ;
100% ;
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 61 · หน้าพิมพ์ 49 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 49
เมื่อคำนวณค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทน จะได้
E[ KV ] 0.8(2.03325) 0.2(1) 1.4266 142.66%
และ ความเสี่ยง
KV 0.8(2.03325 1.4266) 2 0.2(11.4266) 2 1.2133 121.33 %
ดังนั้น CV 1.2133 0.8505 ซึ่งตีความได้ว่าหากนักลงทุนต้องการผลตอบแทนเพิ่มขึ้น 1%
1.4266 1
นักลงทุนจะต้องเผชิญความเสี่ยงเพิ่มขึ้น 0.8505%
กรณีที่ 3) หากนักลงทุนในหุ้นและคอลออปชันอย่างละเท่า ๆ กัน
ที่เวลา t 0
- นำเงิน 50,000 บาท ไปซื้อหุ้นได้ 50, 000 1, 000 หน่วย
50
- นำเงิน 50,000 บาท ไปซื้อคอลออปชันได้ 50, 000 6, 067.67 สัญญา
8.2418
ที่เวลา t 1
- ขายหุ้นได้รับเงิน 1, 000 S (1) 75, 000 ;
40, 000 ;
บาท
- ปิดสถานะลองคอลออปชันรับผลประโยชน์
25 ;
151, 666.70 ;
6, 067.67 C (1) 6, 067.67
บาท
0 ;
0 ;
ดังนั้นได้กำไร 75, 000 ;
151, 666.70 ;
40, 000 ; 0 ;
126, 666.70 ;
100, 000
60, 000 ;
1.266667 ;
126.6667 %;
และ KV
;
0.6
60%
;
เมื่อคำนวณค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทน จะได้
E[ KV ] 0.8(1.266667 ) 0.2(0.6) 0.8933 89.33 %
และ ความเสี่ยง
KV 0.8(1.267 0.893) 2 0.2(0.6 0.893) 2 0.7467 74.67 %
ดังนั้น CV 0.7467 0.8358 ซึ่งอาจตีความได้ว่าหากนักลงทุนต้องการผลตอบแทนเพิ่มขึ้น
0.8933 1
1% นักลงทุนจะต้องเผชิญความเสี่ยงเพิ่มขึ้น 0.8358%
เมื่อเปรียบเทียบการลงทุนทั้ง 3 กรณี จะเห็นว่านักลงทุนประเภทนักเก็งกำไรย่อมชอบการลงทุนใน
กรณีที่ 2 และ 3 เนื่องจากมีโอกาสได้ผลตอบแทนที่สูงกว่าการลงทุนในกรณีที่ 1 แต่อย่างไรก็ตามก็
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 62 · หน้าพิมพ์ 50 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
50 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ต้องยอมรับความเสี่ยงที่สูงกว่าได้ ดังนั้นจะเห็นสมบัติที่สำคัญประการหนึ่งของออปชันคือสามารถ
เป็นเครื่องมือลงทุนแบบเก็งกำไรได้ซึ่งมีโอกาสได้ผลตอบแทนที่สูงกว่าการลงทุนกับสินค้าอ้างอิงนั้น
โดยตรงแต่ก็จะมีความเสี่ยงสูงเพิ่มขึ้นเช่นกัน
1.6.2 การใช้ออปชันในการบริหารความเสี่ยง
ในสภาวะตลาดที่ราคาสินทรัพย์ผันผวนอย่างไม่แน่นอน นักลงทุนต้องเผชิญกับความเสี่ยง
จากการรอคอยเพื่อเข้าซื้อสินทรัพย์ในอนาคต โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีความเชื่อว่าราคาจะปรับตัว
ขึ้นแต่ยังไม่สามารถลงทุนได้ในทันที หากราคาสูงขึ้นเกินกว่าที่คาด การเข้าซื้อในภายหลังอาจต้องใช้
ต้นทุนที่สูงเกินไป ทำให้เสียโอกาสในการทำกำไร
เพื่อรับมือกับสถานการณ์เช่นนี้ ออปชันกลายเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์อย่างมากในการ
ป้ องกั น ความเสี่ ยงจากความไม่ แน่ นอนของราคา โดยให้นักลงทุน มี "สิทธิ" แต่ไม่จำเป็น ต้ อง
"ผูกพัน" ที่จะซื้อสินทรัพย์ในอนาคตในราคาที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ทำให้นักลงทุนสามารถล็อกต้นทุน
การซื้อได้แม้ยังไม่มีเงินลงทุนเต็มจำนวนในปัจจุบัน
ตั ว อย่ า งต่ อไปนี ้ จะนํ า เสนอสถานการณ์ ที่น ักลงทุนมีเงิน ลงทุนอยู่จำนวนหนึ่ง แต่ต้อง
ตัดสินใจระหว่างการรอซื้อหุ้นในอนาคตโดยไม่มีการป้องกันความเสี่ยง กับการใช้กลยุทธ์ที่ผสมผสาน
การลงทุนในตราสารหนี้ร่วมกับการซื้อออปชันเพื่อรักษาสิทธิในการซื้อหุ้นในราคาที่กำหนด
จากแนวคิดข้างต้น พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่ า งที ่ 1.20 (จากตัวอย่างที่ 1.19) สมมติว่าหุ้นของบริ ษั ทหนึ่ งมีราคา S (0) = 50 และ
75; p = 0.8
S (1) = และอั ต ราดอกเบี ้ ย ของตราสารหนี ้ 4 % ต่ อ คาบ และสมมติ ว่ า
40;1 − p =
0.2
ปัจ จุ บ ั น นั กลงทุ น มี เ งิ น ลงทุ น 100,000 บาท และ ราคาใช้ส ิทธิของคอลออปชัน $50$ บาท
พิจารณาการใช้ออปชันในการบริหารความเสี่ยง ดังนี้
กรณีที่ 1) นำเงินไป 100,000 บาท ไปลงทุนในตราสารหนี้และรอคอยเวลาซื้อหุ้นในอนาคต
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 63 · หน้าพิมพ์ 51 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 51
กรณีที่ 2) นำเงินไป 100,000 บาท ไปลงทุนในตราสารหนี้ ในขณะเดียวกันก็ยืมเงินซื้อคอลออป
ชันที่ปัจจุบันและซื้อหุ้นในอนาคต ( สมมติว่า นักลงทุนสามารถยืมเงินซื้อออปชันเพื่อใช้สิทธิซื้อหุ้น
ที่จำนวนต่าง ๆ ได้ )
วิ ธ ี ทํ า กรณีที่ 1) นำเงินไป 100,000 บาท ไปลงทุนในตราสารหนี้ และรอคอยเวลาซื้อหุ ้ น ใน
อนาคต
ที่เวลา t 0
5) นำเงินไป 100,000 บาท ไปลงทุนในตราสารหนี้
ที่เวลา t 1
- รับเงินจากการลงทุนในตราสารหนี้ 100, 0001.04 104, 000 บาท
- นำเงิน 104,000 บาท ไปซื้อหุ้นที่ราคา S (1) 75 ; p 0.8
40 ; 1 p 0.2
104, 000
1,387 ; p 0.8
104, 000 70
ดังนัน้ นักลงทุนจะสามารถซื้อหุ้นได้ N S (1) 104, 000 หุ้น
2, 600 ; 1 p 0.2
40
ค่าคาดหวังของจำนวนหุ้นที่ซื้อได้ E [ N ] 1,387(0.8) 2, 600(0.2) 1, 629 หุ้น
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8(1,387 1, 629) 0.2(2, 600 1, 629) 485.20 หุ้น
N
2 2
คำนวณค่า CV 485.20 0.2978 ซึ่งอาจตีความได้ว่าหากนักลงทุนต้องการซื้อหุ้นเพิ่มขึ้น
1,629 1
1% นักลงทุนจะต้องเผชิญความเสี่ยงเพิ่มขึ้น 0.2978%
กรณีที่ 2) นำเงินไป 100,000 บาท ไปลงทุนในตราสารหนี้ ในขณะเดียวกันก็ยืมเงินซื้อออปชันที่
ปัจจุบันและซื้อหุ้นในอนาคต ( สมมติว่านักลงทุนสามารถยืมเงินซื้อออปชันเพื่อใช้สิทธิซื้อหุ้นที่
จำนวนต่าง ๆ ได้)
คำนวณหาราคาหุ้นสุทธิหลังใช้สิทธิจากคอลออปชัน S (1)
ที่เวลา t 0 (พิจารณา การใช้ออปชัน จากตัวอย่างที่ 1.16 C (0) 8.24 )
6) ยืมเงิน 8.24 บาท เพื่อซื้อคอลออปชัน 1 สัญญาที่ให้สิทธิซื้อหุ้นที่ราคา 50 บาท
ที่เวลา t 1
7) ปิดสถานะคอลออปชันรับผลประโยชน์ C (1) 025 ;; บาท
8) คืนเงินที่กู้มาพร้อมดอกเบี้ย 8.24(1 0.04) 8.57 บาท
ผลประโยชน์คงเหลือ เท่ากับ C (1) 8.57
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 64 · หน้าพิมพ์ 52 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
52 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ดังนั้น ราคาหุ้นสุทธิหลังใช้สิทธิจากคอลออปชัน
75;
25; 58.57;
S (1) S (1) C (1) 8.57
8.57 บาท
40;
0 ;
48.57;
จากการนำเงินไป 100,000 บาท ไปลงทุนในตราสารหนี้ก่อนนักลงทุนจะมีเงิน 104,000 บาทเพื่อ
104, 000
;
104, 000 58.57 1, 776 ;
ซือ้ หุน้ ดังนั้นจะซื้อหุ้นได้ทั้งหมด N S (1) 104, 000 2,141 ; หน่วย
;
48.57
ค่าคาดหวังของจำนวนหุ้นที่ซื้อได้ E [ N ] 1, 776(0.8) 2,141(0.2) 1,849 หุ้น
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8(1, 776 1, 849) 0.2(2,1411,849) 146 หุ้น
N
2 2
คำนวณค่า CV 146 0.0791 ซึ่งอาจตีความได้ว่าหากนักลงทุนต้องการซื้อหุ้นเพิ่มขึ้น 1%
1,849 1
นักลงทุนจะต้องเผชิญความเสี่ยงเพิ่มขึ้น 0.0791%
เมื่อเปรียบเทียบการลงทุนทั้ง 2 กรณี จะเห็นว่าในกรณีที่ 1 นั้น ในกรณีที่หุ้นขึ้นนักลงทุนจะซื้อหุ้นได้
แพงกว่าและได้จำนวนหุ้นน้อยกว่าในกรณีที่ 2 แต่ในกรณีที่หุ้นลงในกรณีที่ 2 จะซื้อหุ้นในราคาที่แพง
กว่าและได้จำนวนหุ้นน้อยกว่าในกรณีที่ 1 ดังนั้นคอลออปชันก็จะช่วยให้ซื้อหุ้นได้ถูกลงในกรณีท่ีหุ้น
ขึ้นนั่นเอง กรณีนี้เป็นการใช้ออปชันในการจัดการความเสี่ยงนั่นเอง นอกจากนี้จากตัวอย่างจะเห็นว่า
ค่าคาดหวังของจำนวนหุ้นที่ซื้อได้ของกรณีที่ 2 สูงกว่ากรณีที่ 1) และความผันผวนของจำนวนที่หุ้นที่
ซื้อได้ซึ่งวัดจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานก็สูงกว่าในกรณีที่ 1 เช่นกัน
ในกรณีที่นักลงทุนคาดว่าราคาหุ้นจะลดลง การขายหุ้นล่วงหน้า (short selling) เป็นกล
ยุทธ์ที่สามารถสร้างผลตอบแทนได้ แต่ก็มีความเสี่ยงหากราคาหุ้นกลับปรับตัวสูงขึ้น การใช้พุทออป
ชันจึงช่วยป้องกันความเสี่ยงจากขาดทุนในสถานการณ์ดังกล่าว ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึง
บทบาทของพุทออปชันในการจำกัดความเสี่ยงจากการขายหุ้นที่ยืมมา
ตัวอย่างที่ 1.21 สมมติราคาปัจจุบันของหุ้นบริษัทแห่งหนึ่ง คือ S (0) = 50 ถ้า
60; p = 0.2
S (1) = และอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้ 4 % ต่อคาบราคาใช้สิทธิของพุท
35;1 − p =
0.8
ออปชัน 55 บาท แล้วจงพิจารณาในแต่ละกรณีหากนักลงทุนลงทุนโดยยืมหุ้นมาขาย 100,000
หุ้น
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 65 · หน้าพิมพ์ 53 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 53
กรณีที่ 1) ยืมหุ้นมาขาย และนำเงินที่ได้ไปลงทุนในตราสารหนี้
กรณีที่ 2) ยืมหุ้นมาขาย และนำเงินที่ได้ไปลงทุนในตราสารหนี้และซื้อพุทออปชัน
วิธที ำ กรณีที่ 1) ยืมหุ้นมาขาย และนำเงินที่ได้ไปลงทุนในตราสารหนี้
ที่เวลา t 0 , ทำธุรกรรม ดังนี้
1) ยืมหุ้นมาขาย 100,000 หุ้น รับเงิน 100,000S (0) 100,000(50) 5,000,000
บาท
2) นำเงินไปลงทุนตราสารหนี้ 5,000,000 บาท
V (0) 0
ที่เวลา t 1 , ทำธุรกรรม ดังนี้
1) รับเงินจากการลงทุนในตราสารหนี้ 5, 000, 0001.04 5, 200, 000 บาท
60 ; 6,000,000 ;
2) ซื้อหุ้นคืน 100,000 หุ้น จ่ายเงิน 100,000S (1) 100,000
35 ; 3,500,000 ;
6,000,000 ; 800,000 ;
V (1) 5, 200,000
3,500,000 ; 1,700,000 ;
800,000 ;
คำนวณหาผลตอบแทน R V (1) V (0)
1,700,000 ;
ดังนั้น ค่าคาดหวังของผลตอบแทน E[ R] 800,000(0.2) 1,700,000(0.8) 1, 200,000
บาท
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
0.8(800, 000 1, 200, 000) 0.2(1, 700, 000 1, 200, 000) 1, 000, 000 หุ้น
R
2 2
คำนวณ CV 1,000,000 0.8333 ซึ่งตีความได้ว่าหากนักลงทุนต้องการผลตอบแทนเพิ่มขึ้น
1, 200,000 1
1% นักลงทุนจะต้องเผชิญความเสี่ยงเพิ่มขึ้น 0.8333%
กรณีที่ 2) ยืมหุ้นมาขาย และนำเงินที่ได้ไปลงทุนในตราสารหนี้และซื้อพุทออปชัน
S (1) S (0) 0.2 ;
จากโจทย์ กำหนด r 0.04 , K (1)
0.3 ;
,
S (0)
0 ;
P(1) max K S (1),0 ,
20 ;
คำนวณราคาพรีเมียมของพุทออปชัน P(0) P P (1 u ) P (1 d ) P
u d d u
ud (u d )(1 r )
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 66 · หน้าพิมพ์ 54 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
54 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
0 20 (1.2)(20) (0.7)(0)
6.15 บาท
0.2 (0.3) (0.5)(1.04)
ที่เวลา t 0 , ทำธุรกรรม ดังนี้
1) ยืมหุ้นมาขาย 100,000 หุ้น รับเงิน 100,000S (0) 100,000(50) 5,000,000
บาท
2) นำเงิน 2,500,000 บาท ไปซื้อตราสารหนี้
3) นำเงิน 2,500,000 บาท ไปซื้อพุทออปชัน จะซื้อได้ 2,500,000 406,504 สัญญา
6.15
V (0) 0
ที่เวลา t 1 , ทำธุรกรรม ดังนี้
1) รับเงินจากการลงทุนในตราสารหนี้ 2, 500, 0001.04 2, 600, 000 บาท
2) ปิดสถานะพุทออปชัน โดยรับผลประโยชน์ 406,504P(1) 8,130,
0 ;
000 ;
บาท
60 ; 6,000,000 ;
3) ซื้อหุ้นคืน 100,000 หุ้น จ่ายเงิน 100,000S (1) 100,000
35 ; 3,500,000 ;
0 ; 6,000,000 ; 3, 400,000 ;
V (1) 2,600,000
8,130,080 ; 3,500,000 ; 7, 230,080 ;
3, 400,000 ;
คำนวณหาผลตอบแทน R V (1) V (0)
7, 230,080 ;
ดังนั้นค่าคาดหวังของผลตอบแทน
E[ R ] (3, 400,000)(0.2) (7, 230,080)(0.8) 4,764,064 บาท
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
R 0.2(3, 400, 000 4, 764, 064) 2 0.8(7, 230, 080 4, 764, 064) 2 4, 265, 604
บาท
คำนวณค่า CV 4, 265,604 0.8954 ซึ่งอาจตีความได้ว่าหากนักลงทุนต้องการผลตอบแทน
4,764,064 1
เพิ่มขึ้น 1% นักลงทุนจะต้องเผชิญความเสี่ยงเพิ่มขึ้น 0.8954%
ตัวอย่างที่ 1.22 (ข้อมูลจากตัวอย่างที่ 1.21) สมมติราคาปัจจุบันของหุ้นบริษัทแห่งหนึ่ง คือ
60 ; p 0.2
S (0) 50 ถ้า S (1) และอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้ 4 % ต่อคาบ ราคาใช้
35 ; 1 p 0.8
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 67 · หน้าพิมพ์ 55 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 55
สิทธิของพุทออปชัน 55 บาท แล้วจงพิจารณาในแต่ละกรณีหากนักลงทุนต้องการขายหุ้นจำนวน
100,000 หุ้นที่อนาคต
กรณีที่ 1) รอคอยเวลาขายในอนาคต
กรณีที่ 2) นักลงทุนยืมเงินซื้อพุทออปชันที่ปัจจุบันและขายหุ้นในอนาคตที่ราคาใช้สิทธิ
วิธีทำ จากตัวอย่างที่ 1.21, ค่าพรีเมียม P(0) 6.15 บาท
พิจารณาการลงทุนต่อไปนี้
กรณีที่ 1) รอคอยเวลาขายในอนาคต
ที่เวลา t 0 , มีหุ้น 100,000 หุ้น มูลค่า 100,000(50) 5,000,000 บาท
V (0) 5,000,000
ที่เวลา t 1 ,
ขายหุ้น 100,000 หุ้นที่ราคา S (1) 35
60 ;
;
รั บ เงิ น 60 ;
100, 000
6, 000, 000 ;
บาท
35 ;
3, 500, 000 ;
6, 000, 000 ;
V (1)
3,500, 000 ;
1, 000, 000
;
V (1) V (0) 5, 000, 000 0.2 ;
ดังนัน้ อัตราผลตอบแทน KV V (0) 1,500, 000 0.3;
;
5, 000, 000
ค่าคาดหวังของผลตอบแทน E K 0.2(0.2) (0.3)(0.8) 0.20 20 %
V
ความเสี่ยง 0.2(0.2 0.2) 0.8(0.3 0.2) 0.04 4 %
KV
2 2
คำนวณ CV 0.04 0.2 ซึ่งตีความได้ว่าหากนักลงทุนต้องการผลตอบแทนเพิ่มขึ้น 1%
0.2 1
นักลงทุนจะต้องเผชิญความเสี่ยงเพิ่มขึ้น 0.02%
กรณีที่ 2) นักลงทุนยืมเงินซื้อพุทออปชันที่ปัจจุบันและขายหุ้นในอนาคตที่ราคาใช้สิทธิ
(ใช้พุทออปชันในการบริหารความเสี่ยง)
ที่เวลา t 0
ยืมเงิน 6.15 บาทเพื่อซื้อพุทออปชัน 1 สัญญาที่ให้สิทธิขายหุ้นที่ราคา 55 บาท ใน
อนาคต
ที่เวลา t 1
1) ปิดสถานะพุทออปชันโดยรับผลประโยชน์ P(1) 020 ;; บาท
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 68 · หน้าพิมพ์ 56 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
56 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
2) คืนเงินที่กู้มาพร้อมดอกเบี้ย 6.15(1 0.04) 6.40 บาท
ผลประโยชน์คงเหลือ เท่ากับ P(1) 6.40 บาท
ดังนั้น ราคาขายหุ้นสุทธิหลังใช้สิทธิ S (1) S (1) P(1) 6.40
60 ; 0 ; 53.60 ;
35 ; 20 ;
6.40
48.60 ;
บาท
5,360, 000 ;
ดังนั้น ขายหุ้น 100,000 หุ้น ได้เงินทั้งหมด 100, 000 S (1)
บาท
4,860, 000 ;
360, 000
;
V (1) V (0) 5, 000, 000 0.072 ; 7.2 % ;
อัตราผลตอบแทน KV V (0) 140, 000 0.028 ; 2.8 % ;
;
5, 000, 000
ค่าคาดหวังของผลตอบแทน E K 0.2(0.072) (0.8)(0.028) 0.008 0.8 %
V
ความเสีย่ ง 0.2( 0.072 0.008) 0.8(0.028 0.008) 0.4 40 %
KV
2 2
คำนวณ CV 0.4 50 ซึ่งตีความได้ว่าหากนักลงทุนต้องการผลตอบแทนเพิ่มขึ้น 1% นัก
0.008 1
ลงทุนจะต้องเผชิญความเสี่ยงเพิ่มขึ้น 50%
เมื ่ อ เปรี ย บเที ย บการลงทุ น ทั ้ ง 2 กรณี จะเห็ น ว่ า การซื ้ อ ออปชั น ช่ ว ยลดความเสี ่ ย งจากการ
เปลี่ยนแปลงราคา กล่าวคือในช่วงที่ราคาหุ้นตกลง นักทุนจะสามารถขายหุ้นในได้ในราคาที่สูงกว่า
ราคาตลาด จากตัวอย่างที่ 1.21-1.22 ทำให้สรุปได้ว่าในแง่ของการเป็นผู้ป้องกันความเสี่ยง หรือนัก
บริหารความเสี่ยงความเสี่ยง การซื้อออปชันเสมือนเป็นการทำประกันราคาของสินทรัพย์อ้างอิง โดย
ค่าพรีเมียมเปรียบเสมือน เบี้ยประกันและค่าธรรมเนียม ซึ่งถือเป็นต้นทุนที่ผู้ป้องกันความเสี่ยงยินดี
จ่ายนั่นเอง
บทสรุปท้ายบทที่ 1
ในบทที่ 1 นี้ได้นำเสนอแนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับการจำลองราคาตลาดอย่างง่าย (simple
market model) โดยเน้นการทํ า ความเข้ า ใจพื้ นฐานของตราสารอนุพันธ์ (derivatives) ซึ่งเป็ น
เครื่องมือทางการเงินที่มูลค่าขึ้นอยู่กับสินทรัพย์อ้างอิง เช่น หุ้น พันธบัตร และสินค้าโภคภัณฑ์ ตรา
สารเหล่านี้มีบทบาทสำคัญในการบริหารความเสี่ยงและการสร้างผลตอบแทนในตลาดการเงิน เนื้อหา
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 69 · หน้าพิมพ์ 57 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 57
ในบทนี้ยังครอบคลุมถึงสมมติฐานและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในแบบจำลอง เช่น สมมติฐาน
เรื่องตลาดที่มีประสิทธิภาพและไม่มีโอกาสทำกำไรโดยปราศจากความเสี่ยง (arbitrage-free) ซึ่งช่วย
ให้สามารถคำนวณราคาสินทรัพย์และวิเคราะห์ได้อย่างเป็นระบบ
การกำหนดราคาฟอร์เวิร์ด (forward price) ถูกอธิบายโดยการใช้ปัจจัยสำคัญ เช่น อัตรา
ดอกเบี้ยและระยะเวลาที่เหลือจนถึงวันส่งมอบ ทำให้เห็นถึงความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยเหล่านี้กับ
การตั้งราคาล่วงหน้า นอกจากนี้ยังได้กล่าวถึงการกำหนดราคาออปชัน (option pricing) โดยใช้
แบบจำลองหนึ่งขั้นเวลา (one-step binomial model) ซึ่งนำเสนอการคำนวณค่าคาดหวั งของ
ราคาสินทรัพย์ในอนาคตและการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันความน่าจะเป็นในการคำนวณ
หัวข้อสุดท้ายเน้นถึงการใช้ตราสารออปชันในการจัดการความเสี่ยง (hedging) โดยสามารถ
สร้างกลยุทธ์ที่ช่วยลดผลกระทบจากความผันผวนของราคาสินทรัพย์ได้ เนื้อหาที่กล่าวมานี้เป็น
พื้นฐานสำคัญสำหรับการศึกษาแบบจำลองที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นในบทถัดไป ซึ่งจะเพิ่มความลึกซึ้งในด้าน
การวิเคราะห์และการประยุกต์ใช้ในตลาดการเงินจริงอย่างมีประสิทธิภาพ
เอกสารอ้างอิง
[1] Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities.
Journal of Political Economy, 81(3), 637–654. https://doi.org/10.1086/260062
[2] Boyle, P. P. (1986). Option valuation using a three-jump process. International
Options Journal, 3(1), 7–12.
[3] Cox, J. C., Ross, S. A., & Rubinstein, M. (1979). Option pricing: A simplified approach.
Journal of Financial Economics, 7(3), 229–263. https://doi.org/10.1016/0304-
405X(79)90015-1
[4] Hull, J. C. (2022). Options, futures, and other derivatives (11th ed.). Pearson.
[5] Merton, R. C. (1973). Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics
and Management Science, 4(1), 141–183. https://doi.org/10.2307/3003143
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 70 · หน้าพิมพ์ 58 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
58 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์ [6] Ross, S. A. (1976). The arbitrage theory of capital asset pricing. Journal of Economic Theory, 13(3), 341–360. https://doi.org/10.1016/0022-0531(76)90046-6 [7] Rubinstein, M. (1976). The valuation of uncertain income streams and the pricing of options. The Bell Journal of Economics, 7(2), 407–425. https://doi.org/10.2307/3003264 [8] Shreve, S. E. (2004). Stochastic calculus for finance I: The binomial asset pricing model. Springer. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21621-2 วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 71 · หน้าพิมพ์ 59 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 59
แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 1
1) ตราสารหนี้ฉบับหนึ่งมีราคาซื้อตอนต้นปี 250 บาทต่อตราสาร อัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปี และหุ้น A
มีราคาซื้อตอนต้นปี 47 บาท ตอนสิ้นปีคาดว่าหุ้น A จะมีราคา
54 ; p = 0.8
S (1) =
45 ;1 − p =
0.2
จงคำนวณหา K (1) , K A , E [ K (1)] E [ K A ] , σ K (1) และ σ K A
2) ตราสารหนี้ฉบับหนึ่งมีราคาซื้อตอนต้นปี 150 บาทต่อหน่วย อัตราดอกเบี้ย 10% ต่อปี และหุ้น
BBB มีราคาซื้อตอนต้นปี 160 บาท ตอนสิ้นปีคาดว่าหุ้น BBB จะมีราคา S (1) 180 ; p 0.7
120 ; 1 p 0.3
กำหนดให้ลงทุนซื้ อหุ้ น 20 หน่วย และตราสารหนี้ 10 หน่วย จงหา K , ค่าคาดหวังของอัต รา
V
ผลตอบแทน E K และ ความเสี่ยงของการลงทุน
V KV
3) กำหนดให้ราคาตราสารหนี้เป็นดังนี้ A(0) 120 บาท มีอัตราดอกเบี้ย 10% ต่องวด และ ราคา
หุ้นของบริษัทหนึ่งเป็นดังนี้ S (0) 90 และ S (1) 100 ;
70 ;
กำหนดราคาใช้สิทธิ K 95
จงคำนวณหาค่าพรีเมียม C (0) ของคอลออปชัน
4) กำหนดให้ราคาตราสารหนี้เป็นดังนี้ A(0) 180 บาท, A(1) 200 และ ราคาหุ้นของบริษัทหนึ่ง
เป็ น ดั งนี ้ S (0) 75 และ S (1) 90 ;
60 ;
กํ า หนดให้ล งทุน ซื้อหุ้น x หน่ว ย และตราสารหนี้ y
หน่วย ถ้ามูลค่าของพอร์ตการลงทุนที่เวลา t 1 เป็น V (1) 11,, 574600 ;; จงหามูลค่าของพอร์ตการ
ลงทุนที่เวลา t 0
5) กำหนดให้ราคาตราสารหนี้เป็นดังนี้ A(0) 90 บาท, A(1) 100 และ ราคาหุ้นของบริษัทหนึ่ง
เป็นดังนี้ S (0) 100 และ K (1) 0.2
0.1
;
;
จงคำนวณหาค่าพรีเมียม C (0) ของคอลออปชัน พร้อม
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 72 · หน้าพิมพ์ 60 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
60 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ทั้งแสดงด้วยว่า C (0) ที่คำนวณสอดคล้องกับหลักการปราศจากการค้ากำไร กำหนดราคาใช้สิทธิ์
เท่ากับ 110 บาท
6) สำหรับแบบจำลองราคาต้น ไม้ ทวิภาคของราคาหุ้น S กำหนดให้ u 0.1 , d 0.1 และ
อัตราดอกเบี้ยต่อคาบของตราสารหนี้ A เท่ากับ 0.05 จงเขียนต้นไม้แสดงแบบจำลองราคาของคอ
ลออปชั น 1 คาบเวลาซึ ่ งสอดคล้ องกั บ หลั ก การปราศจากการค้ ากํ า ไร เมื่อกำหนด A(0) 100 ,
S (0) 100 และกำหนดราคาใช้สิทธิ์เท่ากับ 112 บาท
7) สมมติให้ราคาปัจจุบัน A(0) ของตราสารหนี้ชนิดหนึ่ง เท่ากับ 200 บาท ต่อหนึ่งหน่วย โดยมีอัตรา
ดอกเบี้ย 8 % ต่อปี และราคาปัจจุบัน S (0) ของหุ้นชนิดหนึ่ง เท่ากับ 100 บาท จงคำนวณราคาคอ
ลออปชัน C (0) ต่อหนึ่งสัญญาของหุ้นชนิดนี้ โดยมีราคาใช้สิทธิ์ เท่ากับ 105 บาท ซึ่งจะไม่ทำให้เกิด
การค้ากำไร คำนวณผลประโยชน์ ของคอลออปชัน C (1) ด้วย พร้อมทั้งคำนวณอัตรากำไรจากออป
ชัน ถ้าราคาของหุ้นชนิดในอนาคต S (1) 140 ; p 0.4
60 ;1 p 0.6
8) สมมติให้ราคาปัจจุบัน A(0) ของตราสารหนี้ชนิดหนึ่ง เท่ากับ 100 บาท โดยมีอัตราดอกเบี้ย 10
% ต่อปี ราคาปัจจุบัน S (0) ของหุ้นชนิดหนึ่ง เท่ากับ 80 บาท และ ราคาของหุ้นชนิดในอนาคต
110; p 0.7
S (1)
50 ; 1 p 0.3
จงพิจารณาว่าเพื่อเป็นการบริหารความเสี่ยงนักลงทุน ควรเลือกซื้อออป
ชันชนิดใด กำหนดราคาใช้ส ิทธิ์เท่ ากับ 80 บาท พร้อมทั้งคำนวณ ค่าความเสี่ยงของการลงทุ น
ดังกล่าว โดยสมมติว่านักลงทุนมีเงินลงทุน ณ ปัจจุบัน จำนวน 150,000 บาท โดยแบ่งเงิน ลงทุน
เป็น 3 ส่วนเท่า ๆ กันลงทุนในหุ้น ออปชันและตราสารหนี้
9) สมมติให้ราคาของตราสารหนี้ฉบับหนึ่งตอนต้นปีเท่ากับ 1,000 บาท โดยมีอัตราดอกเบี้ยร้อยละ
12 ต่อปี และราคาหุ้นตอนต้นปีเท่ากับ 51 บาท จงอธิบายพร้อมแสดงเหตุผลให้เห็นชัดว่าสำหรับ
สัญญาฟอร์เวิร์ดจะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเกิดการค้ากำไร ถ้ากำหนดราคาที่วันส่งมอบ เท่ากับ 56 บาท
(ส่งมอบสิ้นปี)
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 73 · หน้าพิมพ์ 61 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 61
10) กำหนดให้ A(0) 100, A(1) 108, S (0) 100 บาท และ S (1) 120 ;
90 ;
กำหนดราคาใช้สิทธิ K 110 จงอธิบายพร้อมแสดงเหตุผลให้เห็นชัดว่า จะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเกิด
การทำกำไร โดยไม่มีความเสี่ยง ถ้ากำหนดราคาพรีเมียมของพุทออปชัน P(0) 9.5 บาท
11) กำหนดอัตราดอกเบี้ยของการลงทุนในตราสารหนี้และอัตราดอกเบี้ยสำหรับการกู้ยืมเท่ากับร้อย
ละ 12 ต่อปี S (0) 100 บาท และ S (1) 130 ;
105 ;
กำหนดราคาใช้สิทธิ K 100 จงอธิบายพร้อม
แสดงเหตุผลให้เห็นชัดว่า จะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเกิดการทำกำไร โดยไม่มีความเสี่ยง ถ้ากำหนด
ราคาพรีเมียมของคอลออปชันเท่ากับ 8 บาท
12) สมมติให้ราคาปัจจุบันของตราสารหนี้ชนิดหนึ่ง เท่ากับ 50 บาท และราคาตราสารหนี้อีก 3
เดื อนข้ างหน้ าเท่ า กั บ 53 ถ้ า ราคาปั จ จุ บ ั น ของหุ้น ของบริษัทหนึ่ง เท่ากับ 80 บาท และ และ
คาดการณ์ว่าอีก 3 เดือนข้างหน้าราคาของหุ้นตัวนี้จะเคลื่อนที่เป็น 90 บาท และ 60 บาท ด้วย
ความน่าจะเป็น 30% และ 70% ตามลำดับ
12.1) จงใช้ค่าคาดหวังของราคาหุ้นในอนาคต E S (1) ในการวิเคราะห์แนวโน้มของการเคลื่อนที่
ของราคาหุ้น
12.2) จงคำนวณราคาฟอร์เวิร์ดของหุ้นอ้างอิงที่สอดคล้องกับ no arbitrage principle
12.3) จากผลการวิเคราะห์แนวโน้มการเคลื่อนที่ของราคาหุ้นในข้อ 1.1
12.3.1) ถ้ า นั กลงทุ น มี เ งิ น อยู ่ 1,000,000 บาทและต้องการซื้อหุ้น ในอนาคต นักลงทุน
จำเป็นต้องใช้เครื่องมือจำพวกสัญญาซื้อขายล่วงหน้าในการบริหารความเสี่ยงหรือไม่ ถ้าจำเป็นต้อง
ใช้และต้องใช้ส ัญญาฟอร์ เวิร ์ดควรเปิ ดสถานะสั ญญาฟอร์เวิร ์ดประเภทใด (long forward หรือ
short forward) เพราะอะไร
12.3.2) ถ้าปัจจุบันนักลงทุนมีหุ้นจำนวน 100,000 หุ้นและต้องการขายหุ้นในอนาคต นัก
ลงทุนจำเป็นต้องใช้เครื่องมือจำพวกสัญญาซื้อขายล่วงหน้าในการบริหารความเสี่ยงหรือไม่ ถ้า
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 74 · หน้าพิมพ์ 62 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
62 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
จำเป็นต้องใช้และต้องใช้สัญญาฟอร์เวิร์ดควรเปิดสถานะสัญญาฟอร์เวิร์ดประเภทใด (long forward
หรือ short forward) เพราะอะไร
(แนะนำ ลองพิจารณาจากค่าคาดหวัง ความเสี่ยงและ ค่า cv)
13) กำหนดอัตราดอกเบี้ยของการลงทุนในตราสารหนี้และอัตราดอกเบี้ยสำหรับการกู้ยืมเท่ากับร้อย
ละ 5 ต่อปี ถ้าราคาปัจจุบันของหุ้นของบริษัทหนึ่ง เท่ากับ 50 บาท และคาดการณ์ว่าอีก 3 เดือน
ข้างหน้าราคาของหุ้นตัวนี้จะเคลื่อนที่เป็น 75 บาท และ 30 บาท ด้วยความน่าจะเป็น 80 % และ
20% ตามลำดับ
13.1) จงใช้ค่าคาดหวังของราคาหุ้นในอนาคต E S (1) ในการวิเคราะห์แนวโน้มของการเคลื่อนที่
ของราคาหุ้น
13.2) จงคำนวณราคาพรีเมียมคอลออปชัน และราคาพรีเมียมของพุทออปชัน เมื่อกำหนดราคาใช้
สิทธิของออปชัน K S (0)
13.3) จากผลการวิเคราะห์แนวโน้มการเคลื่อนที่ของราคาหุ้นในข้อ 13.1
13.3.1) ถ้ านั กลงทุ น มี เ งิ น อยู ่ 1,000,000 บาทและต้องการซื้อหุ้น ในอนาคต นักลงทุน
จำเป็นต้องใช้เครื่องมือจำพวกสัญญาซื้อขายล่วงหน้าในการบริหารความเสี่ยงหรือไม่ ถ้าจำเป็นต้อง
ใช้และต้องใช้ออปชันควรเลือกเปิดสถานะสัญญาออปชันประเภทใด (คอลออปชัน หรือ พุทออปชัน)
เพราะอะไร
13.3.2) ถ้าปัจจุบันนักลงทุนมีหุ้นจำนวน 100,000 หุ้นและต้องการขายหุ้นในอนาคต นัก
ลงทุนจำเป็นต้องใช้เครื่องมือจำพวกสัญญาซื้อขายล่วงหน้าในการบริหารความเสี่ยงหรือไม่ ถ้า
จำเป็นต้องใช้และต้องใช้ออปชันควรเลือกเปิดสถานะสัญญาออปชันประเภทใด (คอลออปชันหรือ
พุทออปชัน) เพราะอะไร (แนะนำ ลองพิจารณาจากค่าคาดหวัง ความเสี่ยงและ ค่า cv)
14) สมมติให้ราคาปัจจุบัน A(0) ของตราสารหนี้ชนิดหนึ่ ง เท่ากับ 100 บาท และราคาอนาคต
A(1) = 105 บาท และราคาปั จ จุ บ ั น ของหุ ้ น บริ ษ ั ท หนึ ่ ง S (0) = 100 บาท และราคาอนาคต
130 ; ความน่าจะเป็น p
S (1) = �
70 ; ความน่าจะเป็น 1 − p
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 75 · หน้าพิมพ์ 63 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 63
14.1) จงหาความน่าจะเป็นความ p ซึ่งทำให้ P(0) (1 r ) E P(1)
1
14.2) จงคำนวณราคาพรีเมียมของออปชันต่อหนึ่งสัญญาของหุ้นชนิดนี้ ถ้ากำหนดราคาใช้สิทธิ
เท่ากับ S (0) บาท
14.3) จงอธิบายพร้อมแสดงเหตุผลให้เห็นชัดว่า จะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเกิดการทำกำไรโดยไม่มี
ความเสี่ยง ถ้ากำหนดราคาพรีเมียมของออปชันเท่ากับ 10 บาท
15) (การเปรียบเทียบการลงทุนในหุ้นกับคอลออปชัน) นักลงทุนมีเงินทุน 120,000 บาท ต้องการ
ลงทุนในหุ้นของบริษัทหนึ่งที่มีราคาปัจจุบัน 60 บาทต่อหุ้น โดยมีคอลออปชัน (European Call) ที่มี
ราคาใช้สิทธิ 65 บาท มีราคาพรีเมียม 4 บาทต่อสัญญา (1 สัญญา = 1 หุ้น) อัตราดอกเบี้ยปราศจาก
ความเสี่ยง 3% ต่อคาบ (ไม่ต้องนำไปคำนวณ) สมมุติว่าราคาหุ้นในสิ้นงวดอาจเป็นไปได้ 3 ค่า คือ 55
บาท, 65 บาท, และ 75 บาท โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ตอบคำถามต่อไปนี้
15.1) คำนวณกำไร-ขาดทุนของนักลงทุนในกรณีที่
(1) ลงทุนในหุ้นอย่างเดียว
(2) ลงทุนในคอลออปชันอย่างเดียว
(3) ลงทุนในหุ้นและคอลออปชันอย่างละเท่ากัน
15.2) คำนวณอัตราผลตอบแทน ค่าคาดหวังของผลตอบแทน ความเสี่ยง และสัมประสิทธิ์ความแปร
ผัน (CV) สำหรับแต่ละกรณี
15.3) วิเคราะห์ว่ากลยุทธ์ใดเหมาะสมที่สุดสำหรับนักลงทุนเชิงเก็งกำไร และนักลงทุนที่เน้นลดความ
เสี่ยง
16) (การวางกลยุทธ์การลงทุนภายใต้เงื่อนไขตลาด) นักลงทุนพิจารณาลงทุนในหุ้นที่มีแนวโน้มจะ
ปรับตัวขึ้น โดยมีคอลออปชันให้เลือกใช้งาน ดังนี้
• ราคาหุ้นปัจจุบัน = 80 บาท
• ราคาคอลออปชัน = 6 บาท (ราคาใช้สิทธิ 85 บาท)
• นักลงทุนมีเงินลงทุน 100,000 บาท
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 76 · หน้าพิมพ์ 64 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
64 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
• ราคาหุ้น ณ วันครบกำหนดอาจเป็น 70, 85 หรือ 100 บาท โดยมีความน่าจะเป็น 0.2, 0.5
และ 0.3 ตามลำดับ
คำถาม
16.1) หากนักลงทุนเลือกลงทุนในคอลออปชันทั้งหมด คำนวณจำนวนสัญญาที่สามารถซื้อได้ และ
ผลตอบแทนสุทธิที่อาจเกิดขึ้นในแต่ละกรณี
16.2) คำนวณค่าคาดหวังของผลตอบแทน ความเสี่ยง และ CV
16.3) หากนักลงทุนแบ่งเงินครึ่งหนึ่งมาลงทุนในหุ้นและอีกครึ่งในออปชัน ผลลัพธ์จะเปลี่ยนแปลง
อย่างไร
17) (การประเมินการใช้ฟอร์เวิร์ดและออปชันเพื่อป้องกันความเสี่ยง) บริษัทนำเข้าสินค้า A ซึ่งมี
ราคาขึ้นอยู่กับอัตราแลกเปลี่ยนดอลลาร์สหรัฐ ต้องจ่าย $50,000 ในอีก 3 เดือนข้างหน้า ขณะนี้มี 2
ทางเลือก
(ก) ทำสัญญา Forward โดยล็อกอัตราแลกเปลี่ยนไว้ที่ 35 บาท/ดอลลาร์
(ข) ซื้อ Call Option ที่ราคาใช้สิทธิ 35 บาท/ดอลลาร์ พรีเมียม 1 บาท/ดอลลาร์
สมมุติว่าอัตราแลกเปลี่ยนในอีก 3 เดือนอาจเป็น 33, 35, หรือ 38 บาท/ดอลลาร์ โดยมีความน่าจะ
เป็น 0.2, 0.5 และ 0.3 ตามลำดับ จงตอบคำถามต่อไปนี้
17.1) คำนวณจำนวนเงินที่บริษัทต้องจ่ายในแต่ละทางเลือก
17.2) คำนวณค่าคาดหวังของต้นทุนและความเสี่ยง
17.3) วิเคราะห์ว่าแนวทางใดเหมาะสมในกรณีที่บริษัทต้องการบริหารความเสี่ยงมากกว่าการเก็ง
กำไร
18) (การตัดสินใจลงทุนภายใต้ข้อจำกัดงบประมาณ) ผู้จัดการพอร์ตมีงบประมาณ 200,000 บาท
ต้องเลือกลงทุนในหุ้นหรือคอลออปชันของบริษัท X
• ราคาหุ้น X = 100 บาท
• ราคาคอลออปชัน (Call, strike 105) = 6 บาท
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 77 · หน้าพิมพ์ 65 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 1 แบบจำลองราคาอย่างง่าย 65
• ในอีก 3 เดือนข้างหน้า หุ้นอาจมีราคา 95, 105, หรือ 120 บาท โดยมีโอกาส 0.2, 0.5 และ
0.3 ตามลำดับ
คำถาม
18.1) จัดพอร์ตแบบ: (1) หุ้นทั้งหมด, (2) ออปชันทั้งหมด, (3) แบ่งพอร์ตเท่า ๆ กัน
18.2) สำหรับแต่ละกลยุทธ์ ให้คำนวณผลตอบแทนในแต่ละสถานการณ์
18.3) เปรียบเทียบ CV และวิเคราะห์ความเหมาะสมของแต่ละกลยุทธ์สำหรับนักลงทุนที่รับความ
เสี่ยงได้ต่างกัน
19) (ผลกระทบของเงิ น บาทแข็ ง ค่ า ต่ อ การนํ า เข้ า ) บริ ษ ั ท นํ า เข้ า สิ น ค้ า อิ เ ล็ ก ทรอนิ ก ส์ จ าก
สหรัฐอเมริกาจำนวน $250,000 โดยจะชำระเงินในอีก 2 เดือนข้างหน้า
ข้อมูล
• อัตราแลกเปลี่ยนปัจจุบัน: 36 บาท/USD
• อัตราแลกเปลี่ยนที่คาดการณ์ใน 2 เดือนข้างหน้า: 33 บาท/USD (เงินบาทแข็งค่า)
คำถาม
19.1) คำนวณจำนวนเงินบาทที่บริษัทต้องจ่าย หากชำระเงิน
o ตอนนี้ทันที
o อีก 2 เดือนข้างหน้าเมื่อเงินบาทแข็งค่าขึ้นตามที่คาด
19.2) คำนวณส่วนต่างที่บริษัทประหยัดได้จากการแข็งค่าของเงินบาท
19.3) วิเคราะห์เชิงกลยุทธ์ว่า บริษัทควรใช้ Forward Contract เพื่อป้องกันความเสี่ยงหรือไม่ หาก
อัตราแลกเปลี่ยนจริงอาจไม่เป็นไปตามคาดการณ์
20) (ผลกระทบของเงินบาทอ่อนค่าต่อผู้ส่งออก) บริษัทผู้ส่งออกไทยจะได้รับเงิน $400,000 จากการ
ขายสินค้าไปยังต่างประเทศในอีก 3 เดือนข้างหน้า
ข้อมูล
• อัตราแลกเปลี่ยนปัจจุบัน: 35 บาท/USD
• อัตราแลกเปลี่ยนที่คาดการณ์ใน 3 เดือนข้างหน้า: 38 บาท/USD (เงินบาทอ่อนค่า)
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 78 · หน้าพิมพ์ 66 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
66 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
คำถาม
20.1) คำนวณรายได้เป็นเงินบาทที่บริษัทจะได้รับในกรณี:
o แลกเงินทันทีวันนี้
o แลกเงินในอีก 3 เดือนเมื่อเงินบาทอ่อนค่า
20.2) คำนวณผลต่างของรายได้ และแสดงให้เห็นว่าเงินบาทอ่อนค่าทำให้รายได้เพิ่มขึ้นเท่าใด
20.3) หากบริษัทกั งวลว่าเงินบาทอาจกลับ มาแข็ งค่าที ่ 34 บาท/USD แทนที่จะอ่ อนค่า ควรใช้
เครื่องมือใดในการป้องกันความเสี่ยง และมีต้นทุนอย่างไรเมื่อเปรียบเทียบกับการไม่ใช้เครื่องมือ
ป้องกัน
วิชยั วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์