บทที่ 5 แบบจำลองราคาอเมริกันออปชัน
หน้าพิมพ์ 185–206 · PDF 197–218
หน้า PDF 197 · หน้าพิมพ์ 185 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 5 แบบจำลองราคาอเมริกันออปชัน
เนื้อหาประกอบด้วย
5.1 อเมริกันออปชัน
5.2 การกำหนดราคาอเมริกันออปชัน
บทนำ
ในบทที่ 4 ได้มีการกล่าวถึงการกำหนดราคายูโรเปียนออปชัน โดยใช้แนวคิดพื้นฐานจาก
ทฤษฎี No-Arbitrage และ Risk-Neutral Valuation ผ่ า นแบบจํ า ลองต้ น ไม้ ท วิ ภ าค ซึ ่ ง ถื อ เป็ น
พื้นฐานสำคัญในการกำหนดราคาตราสารอนุพันธ์ (Hull, ค.ศ. 2022; Shreve, ค.ศ. 2004) อย่างไรก็
ตาม ในโลกของการเงินจริง ตราสารออปชันจำนวนมากไม่ได้ถูกจำกัดให้ใช้สิทธิได้เฉพาะในวันครบ
กำหนด แต่กลับเปิดโอกาสให้ผู้ถือสามารถใช้สิทธิได้ “เมื่อใดก็ได้” ตลอดอายุของสัญญา ตราสาร
ดังกล่าวเรียกว่า อเมริกันออปชัน (American Option)
อเมริกันออปชันจึงมีลักษณะสำคัญที่แตกต่างจากยูโรเปียนออปชันตรงที่ความยืดหยุ่นใน
การใช้สิทธิ ส่งผลให้การกำหนดราคาของอเมริกันออปชันมีความซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากต้อง
พิจารณาความคุ้มค่าระหว่างการใช้สิ ทธิทัน ที กับการถือครองต่ อไปเพื่ อใช้สิ ทธิในอนาคต การ
วิเคราะห์ดังกล่าวต้องอาศัยเทคนิค Backward Induction บนโครงสร้างของแบบจำลองต้นไม้
(binomial tree model) ซึ่งถูกพัฒนาโดย Cox, Ross, และ Rubinstein (ค.ศ.1979) เพื่อวิเคราะห์
ทางเลือกที่ดีที่สุด ณ ทุกจุดเวลา
บทนี้จะเริ่มต้นด้วยการนิยามและอธิบายคุณสมบัติพื้นฐานของอเมริกันออปชัน ทั้งในมุม
ของผู้ซื้อและผู้ออกออปชัน พร้อมทั้งอภิปรายความสัมพันธ์เชิงทฤษฎีระหว่างราคาของคอลออปชัน
และพุทออปชัน รวมถึงการวิเคราะห์ผลตอบแทนที่อาจเกิดขึ้นในแต่ละกรณี การพิสูจน์สมบัติต่าง ๆ
เช่น ขอบเขตราคา ความเสมอภาคเชิงประมาณ และความสั มพั นธ์ กับ ยูโรเปีย นออปชัน จะถู ก
นำเสนอในรูปของทฤษฎีบทและอสมการ เพื่อแสดงให้เห็นถึงโครงสร้างที่อยู่เบื้องหลังราคาตราสาร
ประเภทนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 198 · หน้าพิมพ์ 186 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
186 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
ในหัวข้อถัดไป จะกล่าวถึงกระบวนการกำหนดราคาของอเมริกันออปชันผ่านแบบจำลอง
ต้นไม้ทวิภาคแบบหลายคาบเวลา โดยเน้นการคำนวณย้อนหลังจากวันครบกำหนดสัญญา โดยในแต่
ละจุดเวลาจะต้องเปรียบเทียบระหว่างมูลค่าการใช้สิทธิทันที กับมูลค่าที่เกิดจากการถือครองออปชัน
ต่อไป ซึ่งเป็นแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีการเงินสมัยใหม่ที่มีรากฐานอยู่บน Martingale Property
และการประเมินค่าแบบ Risk-Neutral
นอกจากนี้ ยังมีการประยุกต์ ใช้แนวคิดดังกล่าวในการวิเคราะห์กรณี ที่ห ุ้น อ้างอิงมี การ
จ่ายเงินปันผล โดยต้องปรับราคาหุ้นให้อยู่ในรูปของราคาหลังหักปันผล (ex-dividend price) ก่อน
นำไปใช้ในการคำนวณราคาทางทฤษฎีของออปชัน และบทเรียนนี้ยังได้ยกตัวอย่างกรณีศึกษาเชิง
ปริมาณ เช่น การวิเคราะห์มูลค่าแฝงและมูลค่าตามเวลา ตลอดจนการประเมินราคาโดยใช้ Excel
หรือแบบจำลองเชิงคำนวณที่เหมาะสมกับบริบททางปฏิบัติ
ดังนั้น บทที่ 5 นี้จึงเป็นการขยายองค์ความรู้จากบทก่อนหน้า โดยเจาะลึกถึงอเมริกันออป
ชันซึ่งมีลักษณะใช้งานได้จริงในตลาดการเงินหลากหลายแห่ง ทั้งในตลาดหุ้น ตลาดสินค้าโภคภัณฑ์
และตลาดอนุพันธ์ โดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เข้มข้นเพื่อให้สามารถวิเคราะห์และตัดสินใจได้
อย่างแม่นยำ พร้อมรองรับการบริหารความเสี่ยงอย่างมีประสิทธิภาพ
5.1 อเมริกันออปชัน
อเมริกันออปชัน (American Option) คือ ตราสารอนุพันธ์ประเภทออปชันที่ให้ “สิทธิ” แก่
ผู้ถือในการซื้อ (Call) หรือขาย (Put) สินทรัพย์อ้างอิง ณ ราคาที่กำหนดไว้ในสัญญา (strike price)
ได้ทุกช่วงเวลา ตั้งแต่วันที่เริ่มต้นจนถึงวันครบกำหนดของสัญญา ซึ่งแตกต่างจากยูโรเปียนออปชันที่
สามารถใช้สิทธิได้เพียงในวันครบกำหนดเท่านั้น
ในเชิงทฤษฎี ความยืดหยุ่นนี้ทำให้อเมริกันออปชันมีมูลค่าสูงกว่ายูโรเปียนออปชันภายใต้
เงื่อนไขเดียวกันเสมอ หรืออย่างน้อยต้องไม่ตํ่ากว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของพุทออปชันหรือหุ้น
ที่มีการจ่ายเงินปันผล ความสามารถในการใช้สิทธิก่อนกำหนดเป็นปัจจัยที่ส่งผลต่อกลยุทธ์การลงทุน
และการบริหารพอร์ตอย่างมีนัยสำคัญ (Hull, ค.ศ. 2022)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 199 · หน้าพิมพ์ 187 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 5 แบบจำลองราคาอเมริกันออปชัน 187
การกำหนดราคาของอเมริกันออปชันจึงต้องพิจารณาทางเลือกของผู้ถือในการ “ใช้สิทธิ
ทันที” กับ “ถือครองสิทธิต่อไป” ซึ่งนำไปสู่การใช้กระบวนการย้อนกลับ (backward induction)
บนโครงสร้างของแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค (binomial tree model) เพื่อคำนวณมูลค่าในแต่ละจุด
เวลา โดยพิจารณาว่าค่าของออปชันในช่วงก่อนถึงวันครบกำหนด ควรเป็นค่ามากที่สุดระหว่าง
• มูลค่าจากการใช้สิทธิทันที (intrinsic value)
• มูลค่าจากการถือครองสิทธิต่อไป (continuation value)
แนวคิดนี้เชื่อมโยงโดยตรงกับหลักการปราศจากการค้ากำไร (No-Arbitrage Principle)
และการประเมินค่าแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง (Risk-Neutral Valuation) ซึ่งอยู่บนพื้นฐานของ
สมบัติมาร์ทิงเกล (Martingale Property) และเป็นแกนกลางของทฤษฎีการกำหนดราคาตราสาร
อนุพันธ์ ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึง
• สมบัติเชิงทฤษฎีของราคาคอลและพุทอเมริกันออปชัน
• อสมการที่แสดงขอบเขตของราคาที่เหมาะสมภายใต้เงื่อนไขต่าง ๆ
• ความสัมพันธ์เชิงเปรียบเทียบระหว่างราคาของอเมริกันออปชันกับยูโรเปียนออปชัน
• บทพิสูจน์ที่สนับสนุนข้อสรุปทางคณิตศาสตร์
• กรณีศึกษาที่ใช้วิเคราะห์มูลค่าของสิทธิในบริบทที่มีหรือไม่มีการจ่ายเงินปันผล
ในทางปฏิบัติ อเมริกันออปชันถูกใช้อย่างแพร่หลายในตลาดที่ให้การซื้อขายแบบต่อเนื่อง
เช่น ตลาดหุ้นสหรัฐฯ ซึ่งลักษณะของออปชันที่สามารถใช้สิทธิได้ล่วงหน้า เปิดโอกาสให้นักลงทุนปรับ
กลยุทธ์ได้อย่างยืดหยุ่นตามสภาพตลาด เช่น การใช้สิทธิก่อนวันประกาศจ่ายเงินปันผล หรือการ
บริหารความเสี่ยงในสถานการณ์ที่ราคาสินทรัพย์อ้างอิงผันผวนมาก
ในที่นี้ กำหนดสัญลักษณ์ให้ C และ P แทนราคาหรือค่าพรีเมียมของคอลอเมริกันออปชัน
A A
และพุทอเมริกันออปชัน ตามลำดับ ส่วนสัญลักษณ์อื่นๆ ยังคงเหมือนในหัวข้อที่ผ่าน ๆ มายกเว้นจะ
ระบุเป็นอย่างอื่น
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 200 · หน้าพิมพ์ 188 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
188 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
ทฤษฎีบท 5.1 (ความเสมอภาคเชิงประมาณระหว่างพุทและคอล) ราคาของคอลอเมริกันออป
ชั น และพุ ท อเมริ ก ั น ออปชั น ที ่ ม ี ร าคาใช้ ส ิ ท ธิ K และเวลาครบกํ า หนด T เหมื อ นกั น มี
ความสัมพันธ์ ดังอสมการต่อไปนี้
S (0) K C A P A S (0) KeT (5.1)
พิสูจน์ จะแสดงว่า ข้อ1) C P S (0) Ke
A A T
และ ข้อ 2) C P S (0) K
A A
ข้อ1) สมมติในทางตรงกันข้ามว่า C P S (0) Ke
A A T
ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรม ได้ดังนี้
- ออกคอลออปชันเพื่อขาย 1 สัญญา รับเงิน C บาท A
- ยืมเงิน Ke T
บาท
- ซื้อพุทออปชัน 1 สัญญา จ่ายเงิน P บาท A
- ซื้อหุ้น 1 หน่วย จ่ายเงิน S (0) บาท
- นำเงินที่เหลือจำนวน C Ke A T
P A S (0) 0 ไปลงทุนในตราสารหนี้ที่ให้อัตรา
ดอกเบี้ยคิดทบต้นต่อเนื่อง
จะได้ V (0) 0
สำหรับการถือสัญญาพุทอเมริกันออปชัน ผู้ถือสามารถเลือกใช้สิทธิ ที่บางเวลา t T ที่ทำให้ผล 1
ผลประโยชน์เป็นบวก โดยจะได้รับผลประโยชน์เท่ากับ K S (t ) บาท แต่หากไม่มีเวลาใช้สิทธิที่
1
ทำให้ผลประโยชน์เป็นบวก ผู้ถือจะใช้สิทธิที่เวลา T โดยจะได้รับผลประโยชน์เท่ากับ 0 บาท
สำหรับการถือสัญญาคอลอเมริกันออปชัน ผู้ถือสามารถเลือกใช้สิทธิ ที่บางเวลา t T 2
ที่ทำให้ผล ผลประโยชน์เป็นบวก โดยผู้ออกจะต้องจ่ายผลประโยชน์เท่ากับ S (t ) K บาท แต่ 2
หากไม่มีเวลาใช้สิทธิที่ทำให้ผลประโยชน์เป็นบวก ผู้ถือจะใช้สิทธิที่เวลา T โดยผู้ออกจะจ่าย
ผลประโยชน์เ ท่ากั บ 0 บาท ขายหุ ้ น 1 หน่ ว ย เวลา t รับ เงิน S (t ) บาท แต่ห ากไม่มีเวลา
2 2
ดังกล่าวขายที่ เวลา T รับเงิน S (T ) บาท
ที่เวลา T รับเงิน C KeA T
P A S (0) eT บาท จากการลงทุนในตราสารหนี้
เราพิจารณาค่าของ V (T ) ตามกรณีต่อไปนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 201 · หน้าพิมพ์ 189 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 5 แบบจำลองราคาอเมริกันออปชัน 189
กรณีที่ 1 ถ้าไม่มี t ที่มีสมบัติดังกล่าว จะได้
2
V (T ) C A KeT P A S (0) eT S (t2 ) or S (T ) K S (t1 ) or 0 0
กรณีที่ 2 ถ้าไม่มี t ที่มีสมบัติดังกล่าว จะได้
1
V (T ) C A KeT P A S (0) eT S (T ) or S (t2 ) S (t2 ) K or 0 0
กรณีที่ 3 ถ้ามีทั้ง t และ t ที่มีสมบัติดังกล่าว จะได้
1 2
V (T ) C A KeT P A S (0) eT S (t2 ) K S (t1 ) S (t2 ) K 0
จากทั้ง 3 กรณี จะได้ว่า V (T ) 0 ซึ่งขัดแย้งกับ หลักการปราศจากการค้ากำไร
จึงได้สรุปว่า C P S (0) Ke
A A T
ข้อ 2) พิสูจน์ได้ทำนองเดียวกันซึ่งขอละไว้เป็นแบบฝึกหัดสำหรับผู้อ่าน
บทแทรก 5.2 สำหรับหุ้นที่มีการจ่ายปันผลมีมูลค่าปัจจุบันเป็น div จะได้ว่า ราคาของออปชัน 0
CA และ P จะสอดคล้องตามอสมการ
A
S (0) div 0 K C A P A S (0) KeT (5.2)
และยิ่งไปกว่านั้น สำหรับหุ้นซึ่งมีการจ่ายปันผลด้วยอัตราทบต้นต่อเนื่อง div จะได้ว่า
S (0)edivT K C A P A S (0) KeT (5.3)
พิสูจน์ พิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกับทฤษฎีบท 5.13 โดยการพิจารณา S (0) เป็น S (0) div 0
ทฤษฎีบท 5.3 กำหนดให้อเมริกันออปชั นและยูโรเปี ยนออปชั นเป็น ตราสารภายใต้เงื ่ อนไข
เดียวกัน (สินค้าอ้างอิง S ราคาใช้สิทธิ K และระยะเวลาครบกำหนด T ) จะได้ว่า
C E C A และ P E P A (5.4)
พิสูจน์ จะพิสูจน์เฉพาะ C C สำหรับการแสดงว่า P P ขอละไว้เป็นแบบฝึกหัดสำหรับ
E A E A
ผู้อ่าน สมมติในทางตรงกันข้ามว่า CE CA
ที่เวลา t 0
- ออกยูโรเปียนคอลออปชันเพื่อขาย 1 สัญญา รับเงิน C บาท E
- ซื้ออเมริกันคอลออปชัน 1 สัญญา จ่ายเงิน C บาท A
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 202 · หน้าพิมพ์ 190 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
190 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
- นำเงินที่เหลือ C C 0 ไปลงทุนในตราสารหนี้อัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง
E A
จะได้ V (0) 0
หมายเหตุ สำหรับอเมริกันคอลออปชัน 1 สัญญา นักลงทุนสามารถปิดสถานะได้เมื่อมี t T ที่ทำ 1
ให้ S (t ) K จะได้ ผ ลประโยชน์ เท่ า กั บ S (t ) K บาท หากไม่มี t ดังกล่าว ปิดสถานะที่
1 1 1
t T ได้ผลประโยชน์ 0 บาท
ที่เวลา t T
- รับเงิน S (t ) K บาท จากการปิดสถานะอเมริกันคอลออปชัน
1
- รับเงิน C C e บาทจากการลงทุนในตราสารหนี้
E A T
- ปิดสถานะยูโรเปียนคอลออปชัน จ่ายผลประโยชน์ S (T ) K บาท
จะได้ V (T ) S (t ) K C C e S (T ) K 0 เกิดข้อขัดแย้งกับ หลักการ
1
E A T
ปราศจากการค้ากำไร ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า C C E A
ทฤษฎีบท 5.3 ราคาของอเมริกันคอลออปชันและยูโรเปียนคอลออปชัน ที่มีราคาใช้สิทธิ K และ
เวลาครบกำหนด T เหมือนกัน จะเท่ากันเมื่อเวลาใช้สิทธิกับเวลาครบกำหนดเป็นเวลาเดียวกัน
พิสูจน์ สมมติว่าเวลาใช้สิทธิกับเวลาครบกำหนดเป็นเวลาเดียวกัน จากทฤษฎีบท 5.15 เราได้ว่า
CE CA เหลือเพียงแต่แสดงว่า C C สมมติในทางตรงกันข้ามว่า
E A
CE CA
ที่เวลา t 0
- ออกสัญญาอเมริกันคอลออปชันเพื่อขาย 1 สัญญา รับเงิน C A บาท
- ซื้อยูโรเปียนคอลออปชัน 1 สัญญา จ่ายเงิน C E บาท
- นำเงินที่เหลือ C A C E 0 ไปลงทุนในตราสารหนี้อัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง
จะได้ V (0) 0
เนื่องจากเวลาใช้สิทธิกับเวลาครบกำหนดเป็นเวลาเดียวกัน ผู้ถืออเมริกันคอลออปชันจะใช้สิทธิที่
เวลา t T
ที่เวลา t T
- ปิดสถานะยูโรเปียนคอลออปชัน รับผลประโยชน์ S (T ) K บาท
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 203 · หน้าพิมพ์ 191 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 5 แบบจำลองราคาอเมริกันออปชัน 191
- รับเงิน C C e บาทจากการลงทุนในตราสารหนี้
A E T
- ปิดสถานะอเมริกันคอลออปชัน จ่ายผลประโยชน์ S (T ) K บาท
จะได้ V (T ) C C e 0 เกิดข้อขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
A E T
ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า C C
A E
ทฤษฎีบท 5.4 (ขอบเขตราคา) ราคาของอเมริกันคอลออปชันและอเมริกันพุทคอลออปชันของหุ้น
อ้างอิง S ไม่มีการจ่ายปันผล มีราคาใช้สิทธิ K และเวลาครบกำหนด T เหมือนกัน สอดคล้อง
ดังอสมการต่อไปนี้
T
S (0) Ke C S (0)
A
(5.5)
และ T
e K S (0) P K (5.6)
A
ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า หุ้นมีการจ่ายปันผล จะได้ว่า
max 0, S (0) K , S (0) div Ke C S (0)
0 (5.7) T A
และ max 0, S (0) K , S (0) div Ke P K
0 (5.8) T A
ทฤษฎีบท 5.5 (ราคาใช้สิทธิแปรเปลี่ยน) กำหนดให้ C ( K ) และ เป็นราคาของอเมริกัน คอ
A
ลออปชันและอเมริกันพุทออปชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรราคาใช้สิทธิ K ถ้า K และ K เป็น 1 2
ราคาใช้สิทธิของออปชันที่เวลา T ที่ซึ่ง K K แล้ว จะได้ว่า
1 2
C A ( K1 ) C A ( K 2 ) (5.9)
และ P A ( K1 ) P A ( K 2 ) (5.10)
ทฤษฎี บท 5.6 (จํ า นวนหุ ้ น ในสิ ทธิ แปรเปลี่ย น) กำหนดให้ C ( x) และ P ( x) เป็น ราคาของ
A A
อเมริกันคอลออปชันและอเมริกันพุทออปชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรจำนวนหน่วยที่ตราสารให้สิทธิซื้อ
(ขาย) x หน่วย โดยมีราคาใช้สิทธิสำหรับจำนวนหน่วยดังกล่าวเท่ากับ K เวลาใช้สิทธิ T ถ้า x 1
และ x เป็นจำนวนหุ้นที่ออปชันให้สิทธิซื้อ (ขาย) ที่ซึ่ง x x แล้ว จะได้ว่า
2 1 2
C A ( x1 ) C A ( x2 ) (5.11)
และ P A ( x1 ) P A ( x2 ) (5.12)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 204 · หน้าพิมพ์ 192 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
192 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
บทนิยาม 5.7 กำหนดให้ K เป็นราคาใช้สิทธิของออปชัน มูลค่าตามเวลา (the time value)
ของอเมริกันออปชัน นิยาม ดังนี้
- มูลค่าตามเวลาสำหรับคอลออปชัน เท่ากับ C (t ) S (t ) K
A
- มูลค่าตามเวลาสำหรับพุทออปชัน เท่ากับ P (t ) K S (t )
A
รูปที่ 5.8 มูลค่าตามเวลาของอเมริกันพุทออปชันรูปขวามือเปรียบเทียบราคาของพุทคอปชั่นกับ
มูลค่าแฝง
ตัวอย่างที่ 5.1 กำหนดให้หุ้นของบริษัทหนึ่ง มีราคาปัจจุบัน 125.50 บาทต่อหน่วยโดยที่
อเมริกันออปชันของหุ้นดังกล่าวที่ราคาใช้สิทธิต่างๆมีราคาดังตาราง ต่อไปนี้
ราคาใช้สิทธิ(บาท) ราคาออปชัน(บาท)
คอลออปชัน พุทออปชัน
115 18.50 3.25
125 12.75 6.50
135 7.25 10.25
จงคำนวณมูลค่าแฝง และมูลค่าตามเวลา
วิธีทำ จากนิยามของมูลค่าแฝงของออปชัน คือ
S (t ) K สำหรับคอลออปชัน และ K S (t ) สำหรับพุทออปชัน
และ มูลค่าตามเวลาของออปชันตามบทนิยาม 5.20 คือ
C (t ) S (t ) K สำหรับคอลออปชัน และ P (t ) K S (t ) สำหรับพุทออปชัน
A A
โดยค่าต่างๆที่คำนวณได้ แสดงในตารางต่อไปนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 205 · หน้าพิมพ์ 193 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 5 แบบจำลองราคาอเมริกันออปชัน 193
ราคาใช้ ราคาออปชัน(บาท) มูลค่าแฝง มูลค่าตามเวลา
สิทธิ(บาท) คอลออปชัน พุทออป คอลออปชัน พุทออปชัน คอลออปชัน พุทออปชัน
ชัน
115 18.50 3.25 10.50 0 8 3.25
125 12.75 6.50 0.50 0 12.25 6.50
135 7.25 10.25 0 9.5 7.25 0.75
5.2 การกำหนดราคาอเมริกันออปชัน
ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการกำหนดราคาอเมริกันออปชันด้วยแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค N -
คาบเวลา โดยนิยามของอเมริกันออปชัน เราทราบว่านักลงทุนสามารถใช้สิทธิได้ทุกๆ จุดเวลา n ซึ่ง
0 n N โดยมี ผ ลประโยชน์ f ( S (n)) ในที ่ นี้ จ ะแทนราคาอเมริ ก ั น ออปชั น ที ่ เ วลา n ด้ ว ย
สัญลักษณ์ D (n) A
พิจารณาแบบจำลอง 2 คาบเวลา จะได้ว่านักลงทุนสามารถเลือกใช้สิทธิ เพื่อให้เ กิ ดผล
ประโยชน์ได้ 2 จุดเวลา คือ ที่เวลา t 1 โดยมีผลประโยชน์ f (S (1)) และเวลาครบกำหนด ( t 2 )
โดยมูลค่าของออปชัน ณ เวลาครบกำหนด คือ D (2) f (S (2)) A
2
1 u S (0) ; probability p 2
เมื่อ 1 u 1 d S (0); probability 2 p (1 p )
S (2)
2 2
1 d S (0)
; probability 1 p
ที่เวลา t 1 ผู้ถือออปชันสามารถเลือกใช้สิทธิได้ทันทีซึ่งจะได้รับผลประโยชน์ f (S (1)) บาท หรือรอ
จนกว่าจะถึงเวลา t 2 ซึ่งจะได้รับผลประโยชน์ f (S (2)) เนื่องจากหากผู้ถือออปชันรอจนถึงเวลา
t2 แล้วราคาอเมริกันออปชันที่เวลา t 1 จะมีค่าเท่ากับ ราคาของยูโรเปียนออปชัน ซึ่งราคา
ออปชันที่เวลา t 1 คือ
(1 r )1 E * f ( S (2)) (1 r )1 p * f (1 u ) S (1) (1 p*) f (1 d ) S (1) (5.13)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 206 · หน้าพิมพ์ 194 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
194 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
ดังนั้น ทำให้ได้ว่าราคาของอเมริกันออปชันที่ t 1 จะต้องเท่ากับค่าสูงสุดระหว่าง ราคาใช้สิทธิทันที
กับราคาจากการรอให้ถึงเวลา t 2 นั่นคือ
D A (1) max f ( S (1)), (1 r )1 E * f ( S (2)) f1 ( S (1)) (5.14)
เมื่อ f ( x) max f ( x), (1 r ) p * f (1 u) x (1 p*) f (1 d ) x
1
1
พิจารณาในทำนองเดียวกัน จะได้ ว่าราคาของอเมริกันออปชันที่ t 0 จะต้องเท่ากับค่าสูงสุด
ระหว่าง ราคาใช้สิทธิทันที กับราคาจากการรอให้ถึงเวลา t 1 นั่นคือ
D A (0) max f ( S (0)), (1 r )1 p * f1 (1 u ) S (0) (1 p*) f1 (1 d ) S (0) (5.15)
สำหรับการกำหนดราคาอเมริกันออปชันด้วยแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค n คาบเวลา สามารถ
ทำได้ในลักษณะเดียวกันโดยการพิจารณาเวลาไปข้างหลังซึ่งจะได้ลำดับของ D (n) ดังต่อไปนี้ N
D A ( N ) f ( S ( N ))
D A ( N 1) max f ( S ( N 1)), (1 r ) p * f (1 u ) S ( N 1) (1 p*) f (1 d ) S ( N 1)
1
f N 1 ( S ( N 1))
D A ( N 2) max f ( S ( N 2)), (1 r )1 p * f N 1 (1 u ) S ( N 2) (1 p*) f N 1 (1 d ) S ( N 2)
f N 2 ( S ( N 2))
D (1) max f ( S (1)), (1 r ) p * f 2 (1 u ) S (1) (1 p*) f 2 (1 d ) S (1)
A 1
f1 ( S (1))
D A (0) max f ( S (0)), (1 r ) p * f1 (1 u ) S (0) (1 p*) f1 (1 d ) S (0)
1
(5.16)
ตัวอย่างที่ 5.2 กำหนดอเมริกันพุทออปชันของหุ้นบริษัทหนึ่ง มีราคาใช้สิทธิ 100 บาท อายุของ
สัญญา 6 เดือน ( t 2 ) สมมติว่าราคาปัจจุบันของหุ้นอ้างอิงเท่ากับ 90 บาท โดยมีอัตราการ
0.1 ;
เปลี่ยนแปลงราคา K (n) 0.1 ;
และอัตราผลตอบแทนของการลงทุนในตราสารหนี้เท่ากับ
0.20 ต่อปีทบต้นทุก 3 เดือน
จงคำนวณราคาของพุทออปชัน P (0) โดยใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 2 คาบเวลา
A
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 207 · หน้าพิมพ์ 195 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 5 แบบจำลองราคาอเมริกันออปชัน 195
วิธีทำ จากโจทย์ต้องการหา P (0) โดยใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 2 คาบเวลา ซึ่งต้นไม้แสดง
A
ราคาหุ้นอ้างอิง S (t ), t 0,1, 2 เป็นดังนี้
ในที่นี้ r 0.20 / 4 0.05 ต่อคาบเวลา และคำนวณความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง
0.05 0.1
0.75 เราจะคำนวณ P (0)
A
p*
0.1 0.1
จาก (5.54) โดยการสร้างลำดับราคาของพุทออปชัน ดังนี้
P A (2) 100 S (2)
P A (1) max 100 S (1) , (1 r )1 p *100 (1 u ) S (1) (1 p*) 100 (1 d ) S (1)
f1 ( S (1))
P A (0) max f ( S (0)), (1 r ) p * f1 (1 u ) S (0) (1 p*) f1 (1 d ) S (0)
1
ต่อไปคำนวณค่าต่างๆ ที่เกี่ยวข้องดังนี้ คำนวณมูลค่าแฝง 100 S (t ) , t 0,1, 2 ซึ่งแสดงได้
ด้วยต้นไม้ดังนี้
ต่อไปคำนวณ
(1.05 ) 0.75100 1.1S (1) 0.25100 0.9 S (1)
1
108.9
89.1
1
(1.05 ) 0.75 100 0.25 100 72.9
89.1
0 10.9
2.5952
(1.051 ) 0.75
0.25
10.9
27.1
14.2381
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 208 · หน้าพิมพ์ 196 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
196 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
เพื่อความสะดวกกำหนดให้
f1 ( x) max 100 x , (1.051 ) 0.75100 1.1x 0.25100 0.9 x
จะได้ f (S (1)) max 100 S (1) , (1.05 ) 0.75100 1.1S (1) 0.25100 0.9S (1)
1
1
1 2.5952
2.5952
max
,
,
19
14.2381 19
ดังนั้น จะได้ลำดับของราคาพุทออปชันได้ดังนี้
0 ;
P (2) 100 S (2)
A
10.9 ; or
27.1 ;
2.5952
P A (1) f1 ( S (1))
19
P A (0) max 10, (1.05)1 0.75 2.5952 0.25(19) max 10, 6.3775 10
นั่นคือ ราคาของพุทออปชัน P (0) 10 บาท
A
ตารางแสดงการคำนวณค่าพรีเมียมของพุทออปชัน (หุ้นไม่มีการจ่ายปันผล) โดยใช้โปรแกรม
excel
p* 0.75
1-p* 0.25
S(0) S(1) S(2)
90 99 108.9
81 89.1
72.9
[K-S(0)]+ [K-S(1)]+ [K-S(2)]+
10.00 1.00 0.00
19.00 10.90
27.10
P(2) P(1) P(0)
0.0000 2.5952 10.0000
10.9000 19.0000
27.1000
P(2)= [K-S(2)]+
P(1)= max{[K-S(1)]+,(1+r)^(-1)(p*(K-1.1S(1))+(1-p*)(K-0.9S(1)))}
P(0)= max{[K-S(0)]+,(1+r)^(-1)(p*(K-1.1S(0))+(1-p*)(K-0.9S(0)))}
สำหรับในกรณีที่หุ้นอ้างอิงมีการจ่ายเงินปันผลราคาที่นำมาคำนวณผลประโยชน์จะต้องเป็น
ราคาที่หักออกด้วยเงินปันผลแล้ว (ex-dividend stock price) ซึ่งการคำนวณราคาของอเมริกันออป
ชันสามารถศึกษาได้จากตัวอย่างต่อไปนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 209 · หน้าพิมพ์ 197 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 5 แบบจำลองราคาอเมริกันออปชัน 197
ตัวอย่างที่ 5.3 จากตัวอย่างที่ 5.2 จงคำนวณราคาของอเมริกันพุทออปชัน P (0) ถ้าสมมติว่า A
หุ้นอ้างอิงมีการจ่ายเงินปันผล 5 บาทที่เวลา t 2
วิธีทำ จากโจทย์ต้องการหา P (0) โดยใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 2 คาบเวลา โดยต้นไม้ราคา
A
หุ้นอ้างอิงที่หักออกด้วยเงินปันผลเป็นดังนี้
เราสามารถคำนวณราคา P (0) ได้เช่นเดียวกับกรณีที่หุ้นอ้างอิงไม่มีการจ่ายเงินปันผล โดยเริ่ม
A
จากคำนวณมูลค่าแฝงของพุทออปชัน ได้ดังนี้
ต่อไปคำนวณ
(1.05 ) 0.75100 1.1S (1) 0.25100 0.9 S (1)
1
0 15.90
(1.051 )0.75
0.25
15.90
32.10
(1.051 ) 0.75(0) 0.25(15.90)
3.7857
19
(1.05 ) 0.75(15.90) 0.25(32.10)
1
เพื่อความสะดวกกำหนดให้
f1 ( x) max 100 x , (1.051 ) 0.75100 1.1x 0.25100 0.9 x
จะได้ f (S (1)) max 100 S (1) , (1.05 ) 0.75100 1.1S (1) 0.25100 0.9S (1)
1
1
1 3.7857
3.7857
max
,
,
19
19 19
ดังนั้นจากลำดับของราคาพุทออปชันได้ดังนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 210 · หน้าพิมพ์ 198 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
198 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
0 ;
P (2) 100 S (2) 15.9 ; or
A
32.1 ;
3.7857
P A (1) f1 ( S (1))
19
P A (0) max 10, (1.05)1 0.75 3.7857 0.25(19) max 10, 7.2279 10
นั่นคือ ราคาของพุทออปชัน P (0) 10 บาท
A
ตารางการคำนวณค่าพรีเมียมของพุทออปชัน (หุ้นมีการจ่ายปันผล) โดยใช้โปรแกรม excel
p* 0.75
1-p* 0.25
S(0) S(1) S(2)-div
90 99 103.9
81 84.1
67.9
[K-S(0)]+ [K-S(1)]+ [K-S(2)]+
10.00 1.00 0.00
19.00 15.90
32.10
P(2) P(1) P(0)
0.0000 3.7857 10.0000
15.9000 19.0000
32.1000
P(2)= [K-(S(2)-div)]+
P(1)= max{[K-S(1)]+,(1+r)^(-1)(p*(K-1.1S(1))+(1-p*)(K-0.9S(1)))}
P(0)= max{[K-S(0)]+,(1+r)^(-1)(p*(K-1.1S(0))+(1-p*)(K-0.9S(0)))}
บทสรุปท้ายบทที่ 5
บทที่ 5 ได้กล่าวถึงการกำหนดราคา อเมริกันออปชัน ซึ่งเป็นตราสารอนุพันธ์ที่มีลักษณะ
พิเศษคือ ผู้ถือสามารถใช้สิทธิได้ ทุกช่วงเวลา จนถึงวันครบกำหนดของสัญญา โดยอิงอยู่บนหลักการ
สำคัญของทฤษฎีการเงินสมัยใหม่ คือ หลักการปราศจากการค้ากำไร (No-Arbitrage Principle)
และการประเมินค่าตามความเป็นกลางต่อความเสี่ยง (Risk-Neutral Valuation) ซึ่งมีรากฐานทาง
คณิตศาสตร์จาก สมบัติมาร์ทิงเกล (Martingale Property)
ความยืดหยุ่นของอเมริกันออปชันทำให้มีมูลค่าที่ซับซ้อนกว่า ยูโรเปียนออปชัน ซึ่งใช้สิทธิได้
เฉพาะวันหมดอายุ การกำหนดราคาจึงไม่สามารถใช้สูตรปิด (closed-form solution) อย่างในกรณี
ของแบบจำลองแบล็กโชลส์ได้โดยตรง แต่ต้องอาศัย แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค (Binomial Tree
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 211 · หน้าพิมพ์ 199 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 5 แบบจำลองราคาอเมริกันออปชัน 199
Model) หรือแบบจำลองเชิงเวลาอื่น ๆ เช่น Trinomial Tree หรือ Finite Difference Method ที่
สามารถคำนวณแบบ ย้อนกลับ (backward induction) เพื่อเปรียบเทียบ “มูลค่าการใช้สิทธิทันที”
กับ “มูลค่าการถือสิทธิต่อไป” ณ ทุกจุดเวลา
ในการใช้งานจริง แบบจำลองเหล่านี้มีบทบาทสำคัญในตลาดการเงินที่มีการซื้อขายอเมริกัน
ออปชันอย่างกว้างขวาง เช่น ตลาดหุ้นสหรัฐอเมริกา (CBOE: Chicago Board Options Exchange)
และตลาดตราสารอนุพันธ์ของ NYSE และ NASDAQ ซึ่งนักลงทุนสามารถใช้สิทธิคอลออปชันก่อน
การจ่ า ยเงิ น ปั น ผล หรื อใช้ พุ ทออปชั น เพื ่ อบริห ารความเสี่ย งในช่ว งที่คาดว่าราคาหุ้น จะลดลง
นอกจากนี้ นักลงทุนสถาบันยังใช้อเมริกันออปชันเป็นเครื่องมือในการสร้างกลยุทธ์การลงทุนเชิง
ป้องกันความเสี่ยง (hedging strategy) และเพิ่มความยืดหยุ่นในการบริหารพอร์ต
บทนี ้ ย ั งแสดงให้ เ ห็ น ถึ ง อสมการสํ าคัญ และทฤษฎีบ ท ที่ร ะบุขอบเขตราคา (bounds)
ความสั ม พั น ธ์ ก ั บ ยู โ รเปี ย นออปชั น และผลกระทบของเงิ น ปั น ผลต่ อ มู ล ค่ า ออปชั น ซึ ่ ง ล้ ว นมี
ความสำคัญทั้งในเชิงทฤษฎีและการตัดสินใจเชิงกลยุทธ์
โดยสรุป บทที่ 5 ไม่เพียงเสนอกรอบแนวคิดและเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์
มูลค่าของอเมริกันออปชันอย่างเป็นระบบ แต่ยังชี้ให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้ที่ชัดเจนในตลาดการเงิน
จริง ซึ่งสามารถช่วยให้นักลงทุน นักวิเคราะห์ และผู้จัดการกองทุนสามารถ กำหนดกลยุทธ์การลงทุน
ที่เหมาะสม ประเมินความคุ้มค่าของออปชัน และบริหารความเสี่ยงได้อย่างมีประสิทธิภาพ
เอกสารอ้างอิง
[1] Broadie, M., & Detemple, J. (1996). American option valuation: New bounds,
approximations, and a comparison of existing methods. Review of Financial Studies,
9(4), 1211–1250. https://doi.org/10.1093/rfs/9.4.1211
[2] Bjork, T. (2009). Arbitrage theory in continuous time (3rd ed.). Oxford University
Press.
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 212 · หน้าพิมพ์ 200 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
200 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์ [3] Cox, J. C., Ross, S. A., & Rubinstein, M. (1979). Option pricing: A simplified approach. Journal of Financial Economics, 7(3), 229–263. https://doi.org/10.1016/0304- 405X(79)90015-1 [4] Geske, R., & Johnson, H. E. (1984). The American put option valued analytically. Journal of Finance, 39(5), 1511–1524. https://doi.org/10.1111/j.1540- 6261.1984.tb04910.x [5] Haug, E. G. (2007). The complete guide to option pricing formulas (2nd ed.). McGraw-Hill. [6] Hull, J. C. (2022). Options, futures, and other derivatives (11th ed.). Pearson. [7] Shreve, S. E. (2004). Stochastic calculus for finance I: The binomial asset pricing model. Springer. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21621-2 [8] Wilmott, P., Howison, S., & Dewynne, J. (1995). The mathematics of financial derivatives: A student introduction. Cambridge University Press. วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 213 · หน้าพิมพ์ 201 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 5 แบบจำลองราคาอเมริกันออปชัน 201 แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 5 1) กำหนดให้ผู้ลงทุนซื้ออเมริกันคอลออปชันของหุ้นบริษัทหนึ่ง ซึ่งมีราคาใช้สิทธิ (strike price) เท่ากับ 145 บาท และมีอายุของสัญญา 6 เดือน โดยราคาซื้อออปชันเท่ากับ 15.50 บาท หากผู้ ลงทุนใช้สิทธิซื้อหุ้นในบางช่วงเวลาก่อนครบกำหนดและได้รับกำไร 13 บาทจากการใช้สิทธิ จง คำนวณราคาหุ้นอ้างอิงในขณะที่ใช้สิทธิ และพิจารณาว่าการใช้สิทธิก่อนครบกำหนดให้ผลตอบแทน สูงกว่าการถือจนครบสัญญาหรือไม่ เมื่อกำหนดให้อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ทบต้นต่อเนื่องเท่ากับ 7% ต่อ ปี 2) นักลงทุนซื้ออเมริกันพุทออปชันของหุ้นบริษัท A โดยมีอายุสัญญา 3 เดือน ราคาใช้สิทธิ 110 บาท ราคาซื้อออปชัน ณ วันที่ 31 ตุลาคม พ.ศ. 2557 เท่ากับ 12.50 บาท และราคาหุ้นอ้างอิงในวัน เดียวกันเท่ากับ 110 บาท จงวิเคราะห์ว่าราคาหุ้นควรลดลงมากน้อยเพียงใดภายในระยะเวลา 3 เดือน เพื่อให้นักลงทุนสามารถใช้สิทธิได้ทันทีที่ราคาหุ้นลดลงและไม่ขาดทุนจากการลงทุนในออปชัน โดยใช้อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ทบต้นต่อเนื่อง 6.5% ต่อปี 3) กำหนดให้นักลงทุนซื้ออเมริกันพุทออปชันของหุ้นอ้างอิงบริษัทหนึ่ง ซึ่งมีราคาใช้สิทธิเท่ากับ 80 บาท และราคาซื้อออปชันเท่ากับ 10.25 บาท โดยอายุของสัญญาคือ 3 เดือน สมมติว่าราคาหุ้น อ้างอิงในวันครบกำหนดอาจเป็นไปได้ 3 ค่า ได้แก่ 92, 80 หรือ 75 บาท โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากัน 1/3 จงคำนวณค่าคาดหวังของกำไร (หรือขาดทุน) จากการถืออเมริกันพุทออปชันฉบับนี้ และ พิจารณาว่าในกรณีใดควรใช้สิทธิก่อนครบสัญญา เมื่อใช้อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ 8% ต่อปี 4) กำหนดให้หุ้นของบริษัทหนึ่งมีราคาปัจจุบันเท่ากับ 130 บาทต่อหุ้น นักลงทุนกำลังพิจารณาซื้อ อเมริกันคอลออปชันที่มีราคาใช้สิทธิ (strike price) 120 บาท และมีอายุสัญญา 6 เดือน โดยมีราคา ซื้อขายของคอลออปชันนี้เท่ากับ 25.50 บาท จงวิเคราะห์ว่าอเมริกันพุทออปชันที่มีราคาใช้สิทธิและ อายุเท่ากันควรมีราคาประมาณเท่าใด เพื่อให้ไม่เกิดโอกาสในการทำกำไรโดยปราศจากความเสี่ยง วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 214 · หน้าพิมพ์ 202 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
202 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์ (arbitrage opportunity) และอธิบายว่าการเปิดโอกาสให้ใช้สิทธิได้ทุกเวลาก่อนครบกำหนดนั้นมี ผลต่อราคาพุทออปชันอย่างไร เมื่ออัตราดอกเบี้ยเงินกู้คิดทบต้นทุกครึ่งปีที่อัตรา 8.5% ต่อปี 5) ผู้ส่งออกเสื้อผ้ายี่ห้อหนึ่งในประเทศไทยต้องการทำอเมริกันพุทออปชันกับสถาบันการเงิน เพื่อ ป้องกันความเสี่ยงจากอัตราแลกเปลี่ยนของเงินสกุลดอลลาร์สหรัฐในอีก 6 เดือนข้างหน้า โดยอัตรา แลกเปลี่ยนปัจจุบันอยู่ที่ 33.25 บาทต่อดอลลาร์ สมมติว่าอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องสำหรับการ ลงทุนในเงินสกุลบาทไทยและสกุลดอลลาร์อยู่ที่ 2.5% และ 3.5% ต่อปีตามลำดับ จงหาราคาใช้สิทธิ ของอเมริกันพุทออปชัน และอเมริกันคอลออปชันที่ทำให้ราคาของคอลออปชันมากกว่าพุทออปชัน หนึ่งบาท ณ เวลาปัจจุบัน และอภิปรายว่าการใช้สิทธิได้ก่อนครบกำหนดจะเป็นประโยชน์ต่อผู้ ส่งออกในสถานการณ์ใดบ้าง 6) นักลงทุนสังเกตเห็นว่าอเมริกันคอลออปชันและอเมริกันพุทออปชันของหุ้นบริษัทหนึ่ง ซึ่งมีราคา ใช้สิทธิ 120 บาท และอายุสัญญา 9 เดือน กำลังซื้อขายอยู่ในตลาดที่ราคา 15.20 บาท และ 17.80 บาท ตามลำดับ ในขณะที่ราคาปัจจุบันของหุ้นคือ 105 บาท และอัตราดอกเบี้ยเงินกู้ทบต้นต่อเนื่อง คือ 6.7% ต่อปี จงวิเคราะห์ว่ามีโอกาสในการทำกำไรแบบปราศจากความเสี่ยงหรือไม่ หากมี ควร วางกลยุทธ์การลงทุนอย่างไรโดยคำนึงถึงความยืดหยุ่น ของการใช้สิทธิในอเมริ กันออปชัน และ ประเมินผลตอบแทนที่อาจเกิดขึ้น 7) กำหนดให้ราคาหุ้นอ้างอิงเริ่มต้น S (0) = 100 บาท ซึ่งเท่ากับราคาใช้สิทธิ K = 100 บาท อัตรา ดอกเบี้ยที่ปราศจากความเสี่ยงคิดทบต้นต่อเนื่องเท่ากับ r = 0.05 ต่อปี และใช้แบบจำลองต้นไม้ ทวิภ าค 4 คาบเวลา โดยกํ า หนดให้ เ มื ่ อ ราคาหุ ้ น เพิ่ ม ขึ้น u = 0.10 และลดลง d = −0.05 จง คำนวณหาราคาของ อเมริกันพุทออปชัน P A (0) ที่สามารถใช้สิทธิได้ทันทีหรือเมื่อครบกำหนด โดย พิจารณาว่าการใช้สิทธิทันทีให้ผลประโยชน์มากกว่าหรือไม่ 8) สำหรับอเมริกันพุทออปชัน กำหนดให้ราคาหุ้นอ้างอิงปัจจุบัน S (0) = 100 บาท ราคาใช้สิทธิ K = 110 บาท อั ต ราการขึ ้ น ของราคาหุ ้ น u = 0.2 และอั ตราการลดลง d = −0.1 โดยมี อั ต รา วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 215 · หน้าพิมพ์ 203 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 5 แบบจำลองราคาอเมริกันออปชัน 203
ดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง r = 0.05 และสมมติว่าการขายหุ้นในแต่ละครั้งต้องเสียค่านายหน้า 0.25%
ของมูลค่าหุ้นที่ขาย จงคำนวณกำไรของผู้ถือ อเมริกันพุทออปชัน และวิเคราะห์ว่าควรใช้สิทธิทันที
หรอรอให้ครบกำหนด โดยเปรียบเทียบผลตอบแทนสุทธิหลังหักค่านายหน้า
9) สํ า หรั บ อเมริ ก ั น ออปชั น กํ า หนดให้ ร าคาหุ ้ น อ้ า งอิ ง ปั จ จุ บ ั น และราคาใช้ ส ิ ท ธิ เ ท่ า กั น คื อ
S (0)= K= 1 บาท โดยใช้แบบจำลองต้ นไม้ ทวิภ าค 3 คาบเวลา และอัตราการขึ้น ของราคาหุ้น
u = 0.15 และอั ตราการลดลง d = −0.10 อั ต ราดอกเบี ้ ย จากการลงทุ น ที ่ ป ราศจากความเสี ่ ย ง
เท่ากับ 7.5% ต่อปี จงคำนวณมูลค่าของพอร์ตจำลองสำหรับอเมริกันคอลออปชันและอเมริกันพุท
ออปชัน และพิจารณาว่ามีจุดใดที่ควรใช้สิทธิก่อนครบกำหนด เพื่อให้ได้ผลประโยชน์สูงสุด
10) สมมติว่าอเมริกันออปชันของหุ้นบริษัทหนึ่งมีราคาใช้สิทธิ K = 110 บาท โดยราคาหุ้นอ้างอิงใน
ปัจจุบันคือ 100 บาท และมีการอัตราการเปลี่ยนแปลงราคาต่อคาบเวลา k (n) , n = 1, 2 ตามค่า
โดยที่ k (n) = 0.1823 เมื่อราคาหุ้นเพิ่มขึ้น, k (n) = −0.1054 เมื่อราคาหุ้นลดลง และกำหนด
อัตราผลตอบแทนของตราสารหนี้ที่ปราศจากความเสี่ยงคิดทบต้นต่อเนื่องคือ r = 0.6 ต่อปี โดยคิด
ทบต้นทุกเดือน จงใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 2 คาบเวลา คำนวณราคาของ
• อเมริกันคอลออปชัน C A (0)
• อเมริกันพุทออปชัน P A (0)
และพิจารณาว่าผู้ถือตราสารควรใช้สิทธิ ณ จุดเวลาใดเพื่อให้ได้ผลตอบแทนสูงสุด
11) สำหรับอเมริกันออปชันของหุ้นอ้างอิงที่มีราคาในปัจจุบันเท่ากับ S (0) = 100 บาท และราคาใช้
สิทธิ K = 100 บาท โดยใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลา กำหนดให้เมื่อราคาหุ้นเพิ่มขึ้น
u = 0.2 และลดลง d = −0.1 อั ต ราผลตอบแทนจากตราสารหนี ้ ท ี ่ ป ราศจากความเสี ่ ย งเท่ า กั บ
r = 0.08 ต่อปี โดยคิดทบต้นทุก 3 เดือน จงคำนวณราคาของอเมริกันคอลออปชัน C A (0) และ
อเมริ กั น พุ ทออปชั น P A (0) และพิ จ ารณาว่าการใช้ส ิทธิก่อนครบกำหนดในคาบเวลาใดจะให้
ผลตอบแทนมากที่สุด
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 216 · หน้าพิมพ์ 204 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
204 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์
12) สมมติว่าอเมริกันออปชันของหุ้นบริษัทหนึ่ง มีราคาใช้สิทธิ K = 90 บาท ราคาหุ้นอ้างอิงใน
ปัจจุบัน S (0) = 100 บาท โดยราคาหุ้นเปลี่ยนแปลงในแต่ละช่วงตามอั=
ตรา u 0.2,
= d -0.2
อัตราผลตอบแทนจากตราสารหนี้ปลอดความเสี่ยงเท่ากับ $r = 0.08$ ต่อปี โดยคิดทบต้นทุกครึ่งปี
และอายุของสัญญาคือ 6 เดือน
12.1) จงใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 20 คาบเวลา (binomial tree) คำนวณราคาของ
• อเมริกันคอลออปชัน C A (0)
• อเมริกันพุทออปชัน P A (0)
โดยใช้วิธี Backward Induction และพิจารณาการใช้สิทธิได้ทุกคาบเวลา
12.2) จงใช้สูตรของ Cox-Ross-Rubinstein (CRR model) สำหรับแบบจำลอง 20 คาบเวลา เพื่อ
คํ า นวณราคาอเมริ ก ั น คอลออปชั น และพุ ท ออปชั น โดยใช้ พ ารามิ เ ตอร์ เ ดี ย วกั บ ข้ อ 12.1 และ
เปรียบเทียบผลลัพธ์กับข้อ 12.1
12.3) กรณีที่หุ้นอ้างอิงมีการจ่ายปันผล 1 ครั้ง ที่ปลายเดือนที่ 6 (ช่วงเวลาหมดอายุของออปชัน)
เป็นจำนวน 5.5 บาท จงคำนวณราคาของ
• อเมริกันคอลออปชัน C (0)
A
• อเมริกันพุทออปชัน P (0)
A
โดยปรับราคาใช้ในต้นไม้ (stock price tree) เป็นราคาหลังหักปันผล (ex-dividend price) และ
วิเคราะห์ผลของเงินปันผลต่อการตัดสินใจใช้สิทธิในแต่ละจุดเวลา
13) สำหรับอเมริกันออปชัน กำหนดให้หุ้นของบริษัทหนึ่ง มีราคาปัจจุบัน 125.50 บาทต่อหน่วยโดย
ที่อเมริกันออปชันของหุ้นดังกล่าวที่ราคาใช้สิทธิต่างๆมีราคาดังตาราง ต่อไปนี้
ราคาใช้สิทธิ(บาท) ราคาออปชัน(บาท)
คอลออปชัน พุทออปชัน
110 19.50 4.25
120 13.75 7.50
130 8.25 11.25
จงคำนวณมูลค่าแฝง และมูลค่าตามเวลา
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 217 · หน้าพิมพ์ 205 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 5 แบบจำลองราคาอเมริกันออปชัน 205
14) กำหนดอเมริกันคอลออปชันของหุ้นบริษัทหนึ่ง มีราคาใช้สิทธิ 100 บาท อายุของสัญญา 6 เดือน
( t = 3 ) สมมติว่าราคาปัจจุบันของหุ้นอ้างอิงเท่ากับ 90 บาท โดยมีอัตราการเปลี่ยนแปลงราคา
0.0953 ;
k ( n)
และอัตราผลตอบแทนของตราสารหนี้ 0.20 ต่อปีทบต้นทุก 3 เดือน
0.1054 ;
14.1) จงคำนวณราคาของคอลออปชัน C (0) A
14.2) จงคำนวณราคาของอเมริกันคอลออปชัน C (0) ถ้าสมมติว่าหุ้นอ้างอิงมีการจ่ายเงิน
A
ปันผล 4.5 บาทที่เวลา t = 3
15) จงใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลาคำนวณราคาของคอลยูโรเปียนออปชันและคอลอเมริ
กันออปชันของหุ้นอ้างอิงของบริษัทหนึ่งซึ่งมีราคาใช้สิทธิ 100 บาทและมีอายุ 6 เดือนโดยสมมติว่า
S (0) = 48 บาท u = 0.15 , d = −0.20 และอัตราดอกเบี้ยจากการลงทุนในสินทรัพย์ที่ปราศจาก
ความเสี่ยงคิดทบต้นต่อเนื่อง 7 % ต่อปี
16) จงใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลา คำนวณและเปรียบเทียบราคายูโรเปียนคอลออปชัน
กับราคาอเมริกันคอลออปชัน ที่มีราคาใช้สิทธิ 20 บาท และมีอายุ 3 เดือน กำหนดให้ u = 0.15
d = −0.1 อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ 12% ต่อปีทบต้นทุกเดือน และ ราคาปัจจุบันเท่ากับ 18 บาท โดย
หุ้นอ้างอิงมีการจ่ายเงินปันผล 1 ครั้ง 0.50 บาท ต่อหุ้น ณ ปลายเดือนที่ 3
17) กำหนดยูโรเปียนคอลออปชันของหุ้นบริษัทหนึ่ง มีราคาใช้สิทธิ 30 บาท อายุของสัญญา 3 เดือน
สมมติว่าราคาปัจจุบันของหุ้นอ้างอิงเท่ากับ 32 บาท และอัตราผลตอบแทนของการลงทุนในตรา
สารหนี้ 0.3 ต่อปีทบต้นต่อเนื่องและอัตราผลตอบแทนลอการิทึมคาดหวัง 0.15 สมมติว่าราคา
หุ้นอ้างอิงมีค่าความผันผวน 20.35 % ต่อปี จงใช้สูตรของแบล็ก-โชลส์คำนวณหา C (t ) สำหรับ
E
t [0, 0.25] เมื่อแบ่งช่วงเวลาออกเป็น 10 ช่องเท่าๆกัน โดยสมมติว่าราคาของหุ้นอ้างอิงที่เวลาต่างๆ
จากการจำลองได้ผลลัพธิ์ดังนี้
ti 0 0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150 0.175 0.200 0.225 0.250
Si 32 32.20 31.34 30.41 29.10 31.01 31.89 32.08 33.08 34.08 33.58
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 218 · หน้าพิมพ์ 206 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
206 อนุพันธ์การเงินเชิงคณิตศาสตร์ 18) จงใช้แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 3 คาบเวลา คำนวณและเปรียบเทียบราคายูโรเปียนคอลออปชัน กับราคาอเมริกันคอลออปชัน ที่มีราคาใช้สิทธิ 120 บาท และมีอายุ 6 เดือน โดยกำหนด u = 0.2 d = −0.1 อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ 8 % ต่อปีทบต้นทุก 3 เดือน และ ราคาปัจจุบันเท่ากับ 100 บาท วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์