บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง
หน้าพิมพ์ 67–112 · PDF 79–124
หน้า PDF 79 · หน้าพิมพ์ 67 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง
เนื้อหาประกอบด้วย
2.1 บทนิยามและทฤษฎีพื้นฐานที่เกี่ยวข้อง
2.2 กลไกราคา
2.3 การวัดผลตอบแทน
2.4 แบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาค
2.5 ความเป็นกลางต่อความเสี่ยง
2.6 สมบัติมาร์ทิงเกล
2.7 ทฤษฎีบทหลักมูลการกำหนดราคาสินทรัพย์
2.8 แบบจำลองราคาต้นไม้ไตรภาค
บทนำ
การเคลื่อนไหวของราคาสินทรัพย์ทางการเงิน เช่น หุ้น ตราสารหนี้ และสินค้าโภคภัณฑ์ มัก
มีลักษณะไม่แน่นอนและผันผวนตามปัจจัยภายนอกต่าง ๆ ซึ่งทำให้ไม่สามารถคาดการณ์ ได้อย่าง
แม่นยำ (Hull, ค.ศ. 2017) เพื่อรับ มือกับความไม่แน่นอนดังกล่าว นักวิจัยและนักลงทุน จึงพั ฒนา
แบบจํ าลองทางคณิ ตศาสตร์เพื่ อใช้ ในการทํ าความเข้ าใจพฤติ กรรมของราคา และสนับ สนุน การ
ตัดสินใจลงทุนอย่างมีเหตุผล (Merton, ค.ศ.1973; Black & Scholes, ค.ศ.1973)
ในบทนี้ มุ่ ง เน้ น ที่ แบบจํ า ลองราคาไม่ ต่ อ เนื่ อ ง โดยเฉพาะแบบจํ า ลองต้ น ไม้ ท วิ ภ าค
(Binomial Tree Model) ซึ่งเป็นแบบจำลองพื้ นฐานที่ใช้อธิบายพฤติกรรมราคาของสินทรัพย์ที่มี
ความเสี่ยง โดยแสดงการเคลื่อนไหวของราคาภายใต้ความเป็นไปได้จำกัด เช่น ราคาอาจขึ้นหรือลง
ในแต่ละช่วงเวลา ซึ่งสามารถใช้กำหนดราคาตราสารอนุพันธ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ และยังต่อยอดสู่
แบบจำลองที่มีความซับซ้อนและแม่นยำมากขึ้น เช่น แบบจำลองต้นไม้ไตรภาค (Trinomial Tree
Model) ที่พัฒนาโดย Boyle (ค.ศ.1986)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 80 · หน้าพิมพ์ 68 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
68 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
นอกจากนี้ เนื้อหาในบทนี้ยังครอบคลุมถึงแนวคิดสำคัญหลายประการที่มีบ ทบาทโดยตรงในการ
ประยุกต์ใช้กับการลงทุนจริง ได้แก่
• กลไกราคา ที่เป็นพื้นฐานในการอธิบายแรงผลักดันของราคาสินทรัพย์
• ผลตอบแทนและความเสี่ยง ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของการ
ลงทุน
• แนวคิดเรื่องความเป็นกลางต่อความเสี่ยง (Risk-Neutral Measure) ที่ช่วยให้สามารถ
กำหนดราคาสินทรัพย์ในลักษณะที่เป็นธรรม
• สมบัติมาร์ทิงเกล (Martingale Property) ที่สะท้อนตลาดที่มีประสิทธิภาพและใช้ในการ
พัฒนาแบบจำลองคาดการณ์
• ทฤษฎี บ ทหลั ก มู ล การกํ า หนดราคาสิ น ทรั พ ย์ (Fundamental Theorem of Asset
Pricing) ซึ่งเป็ น รากฐานของการกำหนดราคาตราสารอนุ พัน ธ์ โดยไม่ เกิดโอกาสค้ากํ าไร
(arbitrage)
เนื้อหาในบทนี้จึงไม่เพียงแต่ให้ความรู้เครื่องมือเชิงทฤษฎี แต่ยังชี้ให้เห็นถึงการนำแนวคิดเหล่านี้ไป
ประยุ กต์ใช้ ในโลกการลงทุ น จริง เช่ น การสร้างกลยุ ทธ์การป้ องกั น ความเสี่ย ง การกํ าหนดราคา
สินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงสูง และการออกแบบพอร์ตการลงทุนภายใต้ภาวะไม่แน่นอน ทั้งนี้เพื่อให้นัก
ลงทุนสามารถตัดสินใจได้อย่างมีประสิทธิภาพและรองรับความผันผวนของตลาดในระยะยาว
2.1 บทนิยามและทฤษฎีพื้นฐานที่เกี่ยวข้อง
ก่อนที่จะเข้าสู่การสร้างแบบจำลองราคาสำหรับสินทรัพย์ทางการเงิน จำเป็นต้องมีความ
เข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับแนวคิดเชิงคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง โดยเฉพาะเรื่องของตัวแปรสุ่ม กลไกความ
น่าจะเป็น และโครงสร้างของปริภูมิความน่ าจะเป็ น เพื่ อให้ การวิเคราะห์ แบบจํ าลองมี รากฐานที่
มั่นคง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 81 · หน้าพิมพ์ 69 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 69
ในหัวข้อนี้ จะกล่าวถึงบทนิยามสำคัญและทฤษฎีพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นและ
ตัวแปรสุ่ม โดยจะนำเสนอเฉพาะส่วนที่ จำเป็น ต่อการวิเคราะห์ แบบจํ าลองราคา โดยจะ ละการ
พิสูจน์เพื่อคงไว้ซึ่งความกระชับและเน้นความเข้าใจเชิงแนวคิด
บทนิ ยาม 2.1 (ปริ ภู มิความน่ าจะเป็ น : Probability Space) กำหนดให้ Ω เป็ น ปริภู มิ ตัว อย่าง
(sample space) ซึ่ ง เป็ น เซตของผลลั พ ธ์ ที่ เ ป็ น ไปได้ ทั้ ง หมดจากการทดลองสุ่ ม กํ า หนดให้
{E∣E ⊆ Ω} เป็นแฟมมิลีของเหตุการณ์ (events) โดยที่ ต้องมีสมบัติดังต่อไปนี้
=
• (f-1) ถ้า E ∈ แล้วส่วนเติมเต็ม E c ∈
∞
• (f-2) ถ้า {En }∞n=1 เป็นลำดับของเหตุการณ์ใน แล้ว En ∈
n =1
กล่าวคือ ปิดภายใต้การยูเนียนนับได้
จากนั้ น กํ า หนดฟั ง ก์ ชั น P : → [0,1] ซึ่ ง เรี ย กว่ า มาตรวั ด ความน่ า จะเป็ น (probability
measure) โดยกำหนดให้
P( E ) = ∫ p (ω ) d ω สำหรับทุก E ∈ (2.1)
E
โดยที่ p : Ω → [0,1] เป็ น ฟั ง ก์ ชั น การแจกแจงความน่ า จะเป็ น (probability distribution
function) และต้องมีเงื่อนไขว่า
∫ p(ω )dω = 1
Ω
(2.2)
เราจึงเรียกอันดับสาม (Ω, , P) ว่า ปริภูมิความน่าจะเป็น (probability space) และเพื่อความ
สะดวก บางครั้งเขียนย่อเพียง Ω
หมายเหตุ: ในกรณีท่ี p เป็นฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องจะใช้ผลรวมแทน
การอินทิเกรต
P( E ) = ∑ p (ω ) (2.3)
ω∈E
และหากพิจารณากรณีที่ตัวแปรสุ่ม X : Ω → มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น f X ( x)
ซึ่งเป็นฟังก์ชันบนจำนวนจริง จะสามารถนิยามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E ⊆ ได้เป็น
∫ f X ( x)dx
P( X ∈ E ) =
E
(2.4)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 82 · หน้าพิมพ์ 70 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
70 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
∞
โดยมีเงื่อนไขว่า ∫ f ( x)dx = 1
−∞ X
ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะของการอินทิเกรตบน Ω เมื่อผลลัพธ์ของการทดลองเป็นค่าจริง (real-valued
outcomes)
บทนิยาม 2.2 (ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข) ให้ A และ B เป็น 2 เหตุการณ์ใด ๆ ความน่าจะ
เป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A เมื่อกำหนดเหตุการณ์ B เขียนแทนด้วย p( A | B) นิยามโดย
p( A B)
p( A | B)
p( B)
(2.5)
บทนิยาม 2.3 ให้ A และ B เป็น 2 เหตุการณ์ใด ๆ จะกล่าวว่า A และ B เป็นเหตุการณ์ที่อิสระ
กัน ก็ต่อเมื่อ
p ( A B) p ( A) p ( B) (2.6)
โดยสูตร (2.5) และ (2.6) จะได้ว่า A และ B เป็นเหตุการณ์ที่อิสระกัน ก็ต่อเมื่อ
p ( A | B) p ( A) (2.7)
ซึ่งสมมูลกับ
p ( B | A ) p ( B) (2.8)
บทนิยาม 2.4 ให้ X และ Y เป็นตัวแปรเชิงสุ่ม จะกล่าวว่า X และ Y เป็นอิสระต่อกัน ถ้า
p ( X x Y y ) p ( X x) P(Y y ) (2.9)
สำหรับทุก ๆ x, y
ทฤษฎีบท 2.5 (สมบัติเชิงเส้นของค่าคาดหวัง) ให้ X และ Y เป็นตัวแปรเชิงสุ่ม และ a, b จะ
ได้ว่า
E[aX bY ] aE[ X ] bE[Y ] (2.10)
บทนิยาม 2.6 ให้ X เป็นตัวแปรเชิงสุ่ม และ A เป็นเหตุการณ์ ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของ X
เมื่อกำหนดเหตุการณ์ A เขียนแทนด้วย E[ X | A] นิยามโดย
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 83 · หน้าพิมพ์ 71 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 71
E[ X | A] p ( X | A)d (2.11)
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า X เป็นตัวแปรเชิงสุ่มไม่ต่อเนื่อง E[ X | A] p( X | A)
ทฤษฎีบท 2.7 ให้ X และ Y เป็นตัวแปรเชิงสุ่ม, A เป็นเหตุการณ์ และ a, b จะได้ว่า
E[aX bY | A] aE[ X | A] bE[Y | A] (2.12)
ทฤษฎีบท 2.8 ให้ X และ A , i 1, 2,3,... เป็นเหตุการณ์ซึ่ง A A ทุก ๆ i j จะได้ว่า
i i j
E[ X ] E[ X | Ai ] p Ai (2.13)
i
ทฤษฎีบท 2.9 ให้ X และ Y เป็นตัวแปรเชิงสุ่มซึ่งอิสระต่อกัน จะได้ว่า
E[ XY ] E[ X ] E[Y ] (2.14)
ทฤษฎีบท 2.10 ให้ X เป็นตัวแปรเชิงสุ่ม จะได้ว่า
Var[ X ] E[ X 2 ] E[ X ]
2
(2.15)
ทฤษฎีบท 2.11 ให้ X เป็นตัวแปรเชิงสุ่ม และ a, b จะได้ว่า
Var[aX b] a 2 Var[ X ] (2.16)
ทฤษฎีบท 2.12 ให้ X , X , . . . , X เป็นตัวแปรเชิงสุ่ม ซึ่งทุกคู่ใด ๆ อิสระต่อกัน จะได้ว่า
1 2 n
n
Var[ X 1 X 2 . . . X n ] Var[ X i ] (2.17)
i 1
2.2 กลไกราคา
กำหนดให้เวลา t n มีหน่วยเป็นคาบหรืองวด (period) ซึ่งอาจจะเป็นวินาที นาที ชั่วโมง
วัน สัปดาห์ เดือน ไตรมาส ครึ่งปี ปี เป็นต้น นั่นคือ t n โดยที่ n 0,1, 2,3... และ เป็นขนาด
ของคาบเวลาที่กำหนด (fixed time step) ซึ่งจะเขียน t n แทน t n ในหน่วยคาบขนาด
กำหนดให้ S (t ) แทนราคาของหุ้ น ที่ ราคาที่ เวลา t ใด ๆ โดยที่ S (0) เป็ น ราคาปั จจุ บั น ของหุ้ น
ราคาปัจจุบันของหุน้ จะเป็นราคาที่นักลงทุนทุกคนทราบ ราคา S (t ) สำหรับ t 0 จะเป็นราคาหุ้นใน
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 84 · หน้าพิมพ์ 72 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
72 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
อนาคตซึ่งเป็นราคาที่ยังไม่ทราบ ในที่นี้กำหนดให้ S (t ) สำหรับ t 0 เป็นตัวแปรเชิงสุ่ม (random
variable) บนปริภูมิความน่าจะเป็น
ต่อไปจะกํ าหนดให้ เป็ น ปริภู มิความน่าจะเป็น เหตุการณ์ ของการเคลื่อนไหวราคาที่
เป็ น ไปได้ ทั้งหมด (feasible price movement) ซึ่ งจะเรีย ก แต่ล ะเหตุ การณ์ ของการเคลื่ อนไหว
ราคา ว่า สถานการณ์ หรือ ซีนารีโอส์ (scenarios) และในที่นจี้ ะกำหนดให้ S (t ) เป็น ตัวแปรเชิงสุ่ม
บวก บนปริภูมิความน่าจะเป็น นั่นคือ S (t ) : (0, )
กำหนดสัญลักษณ์ S (t , ) แทนราคาหุ้นที่เวลา t เป็นไปตามสถานการณ์ โดยที่
ราคาปั จ จุ บั น S (0) สามารถพิ จ ารณาเป็ น ตั ว แปรเชิ ง สุ่ ม คงที่ (constant random variable)
ในขณะที่ ราคาในอนาคต S (t ) เป็นตัวแปรเชิงสุ่มไม่คงที่ (non-constant random variable) นั่น
คือ สำหรับแต่ละ t 0 จะมีอย่างน้อย 2 สถานการณ์ , ซึ่ง S (t , ) S (t , )
1 2 1 2
ตั ว อย่ า งที่ 2.1 พิ จ ารณาตลาดซึ่ งมี 2 สถานการณ์ คื อ ตลาดขาขึ้ น (boom) และ ตลาดขาลง
(recession) แทนด้วย และ ตามลำดับ สมมติให้ราคาปัจจุบันของหุ้น เท่ากับ 10 บาทต่อ
1 2
หุ้น ซึ่งถ้าตลาดขาขึ้น ราคาอาจจะขึ้นเป็น 12 บาท และถ้าตลาดขาลงราคาอาจจะลงเป็น 7 บาท
ดังนั้นในที่นี้ , กำหนดให้ t 1 สามารถเขียนตารางราคาและสถานการณ์ได้ดังนี้
1 2
สถานการณ์ S (0) S (1)
1 10 12
2 10 7
และเขียนเป็นต้นไม้การเคลื่อนไหวของราคาได้เป็น
รูปที่ 2.1 ต้นไม้การเคลื่อนไหวของราคาในตัวอย่างที่ 2.1
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 85 · หน้าพิมพ์ 73 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 73
ตัวอย่ างที่ 2.2 พิ จารณาตลาดซึ่ งมี 3 สถานการณ์ คือ ตลาดขาขึ้น ตลาดขาลง และตลาดไม่มี
ทิศทาง แทนด้วย , และ ตามลำดับ โดยราคาและสถานการณ์สามารถเขียนตารางแสดง
1 2 3
ได้ดังนี้
สถานการณ์ S (0) S (1) S (2)
1 100 110 116
2 100 90 80
3 100 110 96
จากสถานการณ์ที่กำหนดให้เขียนเป็นต้นไม้การเคลื่อนไหวของราคาได้ดังนี้
รูปที่ 2.2 ต้นไม้การเคลื่อนไหวของราคาในตัวอย่างที่ 2.2
2.3 การวัดผลตอบแทน
ในการวิเคราะห์การลงทุนในหลักทรัพย์ ผลตอบแทน (Return) ถือเป็นตัวแปรสำคัญที่ใช้วัด
ความคุ้มค่าและประสิทธิภาพของการลงทุน โดยผลตอบแทนสามารถสะท้อนการเปลี่ยนแปลงของ
ราคาสินทรัพย์ในช่วงระยะเวลาหนึ่ง รวมถึงรายได้อื่น ๆ เช่น เงินปันผล ในเบื้องต้น เพื่อให้ง่ายต่อ
การนิยามและวิเคราะห์ จะพิจารณากรณีที่หุ้นไม่มีการจ่ายเงินปันผล ซึ่งช่วยให้สามารถมุ่งเน้นไปที่
ส่วนต่างของราคาหุ้นเป็นหลัก
หั ว ข้ อ นี้ จ ะเริ่ ม ต้ น จากการนิ ย ามอั ต ราผลตอบแทน (Rate of Return) และอธิ บ าย
ความสัมพันธ์กับมูลค่าเงินสะสม พร้อมทั้งแสดงตัวอย่างเพื่อให้เห็นถึงลักษณะของผลตอบแทนใน
สภาวะตลาดที่ แตกต่างกัน นอกจากนี้ ยังจะกล่ าวถึงอัต ราผลตอบแทนลอการิทึม (Logarithmic
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 86 · หน้าพิมพ์ 74 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
74 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
Return) ซึ่ ง เป็ น แนวคิ ด สํ า คั ญ ในการวิ เคราะห์ ผ ลตอบแทนในกรอบของคณิ ต ศาสตร์ ก ารเงิ น
เนื่องจากมีสมบัติการบวกที่สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในแบบจำลองต่าง ๆ ได้ง่ายขึ้น
เนื้อหาในหัวข้อนี้จึงครอบคลุมทั้งแนวคิดพื้นฐาน สูตรคำนวณ ความสัมพันธ์เชิงคณิตศาสตร์
และตัวอย่างประกอบที่ช่วยให้เข้าใจผลตอบแทนจากการลงทุนอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น ทั้งในรูปแบบปกติ
และแบบลอการิทึม พร้อมการคำนวณค่าคาดหวังที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญในการวิเคราะห์
ความเสี่ยงและผลตอบแทนในตลาดการเงินอย่างเป็นระบบ
บทนิยาม 2.13 กำหนดให้ S (t ) เป็นราคาต่อหุ้นที่ราคา t อัตราผลตอบแทน (rate of return) บน
ช่วงเวลา [m, n] (หน่วย เป็น คาบเวลา) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ K (m, n) ซึ่งเป็นตัวแปรเชิงสุ่ม
นิยามโดย
S ( n) S ( m)
K (m, n)
S ( m)
(2.18)
จากรูป (2.18) สามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น
S (n) (1 K (m, n)) S (m) (2.19)
รูปที่ 2.3 S (n) เป็นมูลค่าสะสมของเงิน S (m) ด้วยฟังก์ชันสะสม 1 K (m, n)
อัตราผลตอบแทนบน 1 ช่วงเวลา [n 1, n ] คือ K (n 1, n) จะเขียนแทนด้วย K (n)
S (n) S (n 1)
ดังนั้น K ( n)
S (n 1)
(2.20)
ซึ่งเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น
S (n) (1 K (n)) S (n 1) (2.21)
หมายเหตุ หากนำเงินปันผลเข้ามาพิจารณาด้วย จะได้อัตราผลตอบแทนเป็น
S (n) S (n 1) div(n)
K ( n)
S (n 1)
(2.22)
เมื่อ div(n) เป็นเงินปันผลต่อหุ้นที่จ่ายในคาบที่ n
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 87 · หน้าพิมพ์ 75 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 75
ตัวอย่างที่ 2.3 พิจารณาตลาดซึ่งมี 2 สถานการณ์ คือ ตลาดขาขึ้น และ ตลาดขาลง แทนด้วย 1
และ ตามลำดับ ในตัวอย่างที่ 2.1 สามารถเขียนตารางอัตราผลตอบแทน K (1) ได้ดังนี้
2
สถานการณ์ K (1)
1 0.2
2 -0.3
ตัวอย่างที่ 2.4 สมมติตลาดแห่งหนึ่งมี 3 สถานการณ์ คือ ตลาดขาขึ้น ตลาดขาลง และตลาดไม่มี
ทิ ศทาง แทนด้ ว ย , และ ตามลํ าดั บ จากตัวอย่ างที่ 2.2 จะได้ว่า อัตราผลตอบแทน
1 2 3
ตามแต่ละสถานการณ์แสดงในตารางดังต่อไปนี้
สถานการณ์ K (1) K (2) K (0, 2) K (0,1) K (1, 2)
1 0.1 0.0545 0.16 0.1545
2 -0.1 -0.1111 -0.2 -0.2111
3 0.1 -0.0127 -0.04 -0.0973
จากตัวอย่างที่ 2.4 จะเห็นว่า K (0,1) K (1, 2) K (0, 2) ดังนั้น อัตราผลตอบแทน K (m, n) ไม่มี
สมบัติการบวก (non-additivity) อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์ระหว่าง K (m, n) กับ K (n) ก็ยังเป็น
สิ่งที่น่าสนใจ
ตัวอย่างที่ 2.5 สมมติตลาดแห่งหนึ่งมี 3 สถานการณ์ คือ ตลาดขาขึ้น ตลาดขาลง และตลาดไม่มี
ทิศทาง แทนด้วย , และ ตามลำดับ จากตัวอย่างที่ 2.2 ถ้ากำหนดปันผล 1 บาทต่อหุ้น
1 2 3
จะได้ว่า อัตราผลตอบแทนตามแต่ละสถานการณ์แสดงในตารางดังต่อไปนี้
สถานการณ์ K (1) K (2) K (0, 2)
1 0.1100 0.0636 0.1800
2 -0.0900 -0.1000 -0.1800
3 0.1100 -0.0273 -0.0200
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 88 · หน้าพิมพ์ 76 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
76 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ทฤษฎีบท 2.14 ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราผลตอบแทน K (m, n) กับ K (n) อยู่ในรูป
1 K (m, n) 1 K (m 1) 1 K (m 2) . . . 1 K (n) (2.23)
พิสูจน์ พิจารณาแผนภาพกระแสเงิน
จากแผนภาพจะเห็นว่า S (n) เป็นเงินสะสมของการลงทุน ที่เวลา m ด้วยเงินลงทุน S (m) ด้วย
ฟังก์ชันเงินสะสะสม 1 K (m 1)1 K (m 2) . . . 1 K (n) นั่นคือ
S (n) 1 K (m 1) 1 K (m 2) . . . 1 K (n) S (m)
และจากบทนิยามของ K (m, n) ตามสูตร (2.2),
S (n) 1 K (m, n) S (m)
ดังนั้นจึงได้ว่า 1 K (m, n) 1 K (m 1) 1 K (m 2) . . . 1 K (n)
เนื่ องจากอั ต ราผลตอบแทน K (m, n) ไม่ มี สมบั ติการบวก ทำให้ ย ากต่ อการนํ าไปใช้ งาน จึงเป็ น
สาเหตุที่จำเป็ นต้องนิยามของอัตราผลตอบแทนใหม่ เพื่ อให้มีสมบัติการบวก อัตราผลตอบแทนที่
นิยามใหม่นี้เรียกว่า อัตราผลตอบแทนลอการิทึม หรือเรียกอีกชื่อหนึ่งคือ อัตราผลตอบแทนทบต้น
ต่อเนื่อง โดยนิยามดังต่อไปนี้
บทนิ ย าม 2.15 กํ า หนดให้ S (t ) เป็ น ราคาต่ อ หุ้ น ที่ เ วลา t อั ต ราผลตอบแทนลอการิ ทึ ม
(logarithmic return) บนช่วงเวลา [m, n] เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ k (m, n) ซึ่งเป็นตัวแปรเชิงสุ่ม
นิยามโดย
S ( n)
k (m, n) ln S (n) ln S (m) ln
S ( m)
(2.24)
เขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น
S ( n) e k ( m , n ) S ( m) (2.25)
และอัตราผลตอบแทนลอการิทึมบน 1 ช่วงเวลา [n 1, n ] คือ k (n 1, n) เขียนโดยย่อด้วย k (n)
S ( n)
ดังนั้น k (n) ln S (n) ln S (n 1) ln
S (n 1)
(2.26)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 89 · หน้าพิมพ์ 77 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 77
หมายเหตุ 1) หากนำเงินปันผลเข้ามาพิจารณาด้วย จะได้อัตราผลตอบแทนลอการิทึมเป็น
S (n) div(n)
k (n) ln
S (n 1)
(2.27)
เมื่อ div(n) เป็นเงินปันผลต่อหุ้นที่จ่ายในคาบที่ n
2) โดยการเปรียบเทียบจะได้ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราผลตอบแทนกับอัตรา
ผลตอบแทนลอการิทึม จะได้
1 K (m, n) e
k ( m,n )
(2.28)
ตัวอย่างที่ 2.6 พิจารณาตลาดซึ่งมี 3 สถานการณ์ คือ ตลาดขาขึ้น ตลาดขาลง และตลาดไม่มี
ทิศทาง แทนด้วย , และ ตามลำดับ โดยราคาและสถานการณ์สามารถเขียนในตารางได้
1 2 3
ดังนี้
สถานการณ์ S (0) S (1) S (2) S (3)
1 10 11 11.6 12
2 10 9 8 7
3 10 11 9.6 10
และตาราง อัตราผลตอบแทนลอการิทึมและสถานการณ์เป็นดังนี้
สถานการณ์ k (1) k (2) k (3) k (1) + k (2) + k (3) k (0,3)
1 0.0953 0.0531 0.0339 0.1823 0.1823
2 -0.1054 -0.1178 -0.1335 -0.3567 -0.3567
3 0.0953 -0.1361 0.0408 0 0
จากตัวอย่างที่ 2.6 จะเห็นได้ว่า k (0,3) k (1) + k (2) + k (3) ซึ่งเป็นผลที่ได้จากสมบัติการบวกที่จะ
กล่าวต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 2.16 ถ้าไม่มีการจ่ายเงินปันผล แล้ว อัตราผลตอบแทนลอการิทึม k (m, n) มีสมบัติการ
บวก นั่นคือ ถ้า m q n แล้ว
k (m, q ) k (q, n) k (m, n) (2.29)
พิสูจน์ จากนิยามของอัตราผลตอบแทนลอการิทึม จะได้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 90 · หน้าพิมพ์ 78 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
78 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
S ( n) S (q ) S (n) S (q ) S (n)
k (m, n) ln ln ln
ln
k (m, q) k (q, n)
S ( m) S ( m) S ( q ) S ( m) S (q )
ทฤษฎีบท 2.17 ถ้าไม่มีการจ่ายเงินปันผลแล้ว
k (m, n) k (m 1) k (m 2) . . . k (n) (2.30)
พิสูจน์ พิสูจน์ได้โดยตรงโดยใช้สมบัติการบวกตามทฤษฎีบท 2.16
บทนิ ย าม 2.18 กํ า หนดให้ K (t ) เป็ น อั ต ราผลตอบแทนซึ่ งเป็ น ตั ว แปรเชิ ง สุ่ ม ที่ เวลา t และ
กำหนดให้ p เป็นฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น เรียก E[ K (t )] ว่า อัตราผลตอบแทนที่คาดหวัง
(expected return) ที่เวลา t
ตั วอย่ า งที่ 2.7 พิ จ ารณาตลาดซึ่ งมี 3 สถานการณ์ คือ ตลาดขาขึ้น ตลาดขาลง และตลาดไม่ มี
ทิศทาง แทนด้วย , และ ตามลำดับ จากตัวอย่างที่ 2.4 โดยสมมติว่าความน่าจะเป็นของ
1 2 3
การเกิดสถานการณ์ เป็น 0.5, 0.25 และ 0.25 ตามลำดับ จงคำนวณหา E[ K (t )]
วิธิทำ จากตัวอย่างที่ 2.4 ได้ว่า
สถานการณ์ K (1) K (2)
1 0.1 0.0545
2 -0.1 -0.1111
3 0.1 -0.0127
ดังนั้น E[ K (1)] p( ) 0.1(0.5) 0.1(0.25) 0.1(0.25) 0.05
และ E[ K (2)] 0.0545(0.5) 0.1111(0.25) 0.0127(0.25) 0.0037
ทฤษฎีบท 2.19 ถ้า K (m 1) , K (m 2) , . . . , K (n) เป็นตัวแปรเชิงสุ่มอิสระ แล้ว จะได้ว่า
1 E K (m, n) 1 E K (m 1) 1 E K (m 2) . . . 1 E K (n) (2.31)
พิสูจน์ จากทฤษฎีบท 2.14 ,
1 K (m, n) 1 K (m 1)1 K (m 2) . . . 1 K (n)
โดยทฤษฎีบท 2.11 และ ทฤษฎีบท 2.13 จะได้ว่า
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 91 · หน้าพิมพ์ 79 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 79
1 E K (m, n) E 1 K (m, n) E 1 K (m 1)1 K (m 2) . . . 1 K (n)
E 1 K (m 1) E 1 K (m 2) . . . E 1 K (n)
1 E K (m 1) 1 E K (m 2) . . . 1 E K (n)
ดังนั้น 1 E K (m, n) 1 E K (m 1) 1 E K (m 2) . . . 1 E K (n)
ทฤษฎีบท 2.20 ถ้าหุ้นไม่มีการจ่ายเงินปันผลแล้ว
E k (m, n) E k (m 1) E k (m 2) . . . E k (n) (2.32)
พิสูจน์ พิสูจน์ได้โดยตรงโดยใช้โดยทฤษฎีบท 2.11
ข้ อ สั ง เกต จากทฤษฎี บ ท 2.19 จะเห็ น ว่ า การคํ า นวณค่ าคาดหวั งอั ต ราผลตอบแทนลอการิ ทึ ม
E k (m, n) ไม่ต้องใช้สมบัติความเป็นอิสระของตัวแปรเชิงสุ่ม k (m 1), k (m 2), . . . , k (n) แตกต่าง
จาก ทฤษฎีบท 2.18 ซึ่งการคำนวณค่าคาดหวังอัตราผลตอบแทน E K (m, n) จะต้องอาศัยความ
เป็นอิสระของตัวแปรเชิงสุ่ม K (m 1), K (m 2), . . ., K (n)
2.4 แบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาค
แบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาค (Binomial Tree Price Model) เป็นแบบจำลองพื้นฐานที่มี
ความสำคัญอย่างยิ่งในการอธิบ ายพฤติกรรมของราคาสินทรัพย์ โดยเฉพาะราคาของหุ้น ในตลาด
การเงิน แบบจำลองนี้มีข้อดีคือ เข้าใจได้ง่าย มีโครงสร้างชัดเจน และสามารถนำไปใช้วิเคราะห์ราคา
ของตราสารอนุพันธ์ เช่น ออปชัน ได้อย่างมีประสิทธิภาพ
ในหั ว ข้ อ นี้ จ ะกล่ าวถึ งแบบจํ าลองราคาต้ น ไม้ ท วิ ภ าคภายใต้ ส มมติ ฐ านที่ เหมาะสมบาง
ประการ โดยเน้นการนำเสนอแนวคิดหลัก โครงสร้างของแบบจำลอง และการคำนวณราคาภายใต้
กรอบของการเคลื่อนไหวราคาที่ไม่ต่อเนื่อง
เงื่อนไข bt-1 อัตราผลตอบแทนต่อคาบเวลา (one-step return) K (n) เป็นตัวแปรเชิงสุ่ม
ที่อิสระกัน นิยามโดย
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 92 · หน้าพิมพ์ 80 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
80 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
u ; probability p
K (n) (2.33)
d ; probability 1 p
สำหรับแต่ละคาบเวลาที่ n เมื่อ 1 d u และ 0 p 1
เงื่อนไข bt-2 อัตราผลตอบแทน r ต่อคาบ ของการลงทุนโดยปราศจากความเสี่ยง (risk-
free investment) คงที่ทุกคาบเวลา และ
d r u
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า เป็นอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องที่สมมูลกับ r แล้ว
ln(1 d ) ln(1 u )
เงื่อนไข bt-1 ทำให้ ทราบว่าราคา S (n) จะเคลื่อนไหวขึ้น หรือลงด้วยตัวประกอบ 1 u
และ 1 d สำหรับแต่ละคาบเวลาที่ n ส่วนอสมการ 1 d u จะเป็นสิ่งยืนยันว่า S (n) จะมีค่า
เป็ น บวกเสมอเมื่ อ S (0) เป็ น บวก ตั ว อย่ า งแผนภาพต้ น ไม้ ข องตั ว ประกอบของ S (n) สํ าหรั บ
n 1, 2,3 แสดงได้ดังนี้
รูปที่ 2.4 ต้นไม้ของตัวประกอบของ S (n) สำหรับ n 1, 2,3
จากแผนภาพต้นไม้สำหรับตัวแปรเชิงสุ่ม S (1) , S (2) และ S (3) จะได้ว่า
1 u S (0); probability p
S (1) (2.34)
1 d S (0); probability 1 p
1 u 2 S (0) ; probability p 2
S (2) 1 u 1 d S (0); probability 2 p (1 p )
(2.35)
1 d 2 S (0) ; probability 1 p
2
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 93 · หน้าพิมพ์ 81 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 81
3
1 u S (0) ; probability p 3
2
1 u 1 d S (0) ; probability 3 p 2 (1 p )
S (3)
(2.36)
1 u 1 d 2 S (0) ; probability 3 p 1 p 2
3 3
1 d S (0)
; probability 1 p
จากแนวคิดนี้ถ้ากำหนดให้ i สำหรับ i 0,1, 2,..., n เป็นจำนวนครั้งหรือจำนวนคาบเวลาที่
ราคาหุ้นขึ้น โดยที่ความน่าจะเป็นที่หุ้นขึ้นในแต่ละครั้ง เท่ากับ p และ n i เป็นจำนวนครั้งที่ราคา
หุ้นลง โดยที่ความน่าจะเป็นที่หุ้นขึ้นในแต่ละครั้ง เท่ากับ 1 p จะได้ว่า i เป็นตัวแปรเชิงสุ่มที่มีการ
แจกแจงความน่ าจะเป็ น แบบทวิ น าม ดั งนั้ น ความน่ าจะเป็น ที่หุ้ น ขึ้ น i ครั้งจากทั้ งหมด n ครั้ ง
เท่ากับ
n i
p 1 p ni
i เมื่อ in i !(nn! i)! (2.37)
ตั ว อย่ า งเช่ น ถ้ า พิ จ ารณาจํ า นวนครั้ งที่ ร าคาหุ้ น ขึ้น i ครั้ ง จากการพิ จ ารณาการลงทุ น
n 10 คาบ โดยกำหนดความน่าเป็นที่หุ้นขึ้นในแต่ละครั้ง เท่ากับ 0.5 จะได้ความน่าจะเป็นที่หุ้นขึ้น
จำนวน i ครั้ง สำหรับ i 0,1,...,10 แสดงได้ดังตารางต่อไปนี้
จำนวนครั้งที่หุ้นขึ้น i ความน่าจะเป็น p(i)
0 0.0009765625
1 0.0097656250
2 0.0439453125
3 0.1171875000
4 0.2050781250
5 0.2460937500
6 0.2050781250
7 0.1171875000
8 0.0439453125
9 0.0097656250
10 0.0009765625
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 94 · หน้าพิมพ์ 82 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
82 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
รูปที่ 2.5 ความน่าจะเป็นที่หุ้นขึ้นจำนวน i ครั้ง i 0,1,...,10
จาก (2.37) ทำให้ได้ ราคาหุ้น S (n) ณ เวลา n เท่ากับ
i ni
S (n) 1 u 1 d S (0) (2.38)
ด้วยความน่าจะเป็น in p 1 p สำหรับ i 0,1,..., n
i ni
ตัวอย่างที่ 2.8 สมมติให้ราคาหุ้น S (t ) เป็นไปตามแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค จงคำนวณหา u และ
d ที่ทำให้ S (1) 87 ;
76 ;
และ S (2) 92 ;
1 u S (0)
วิธีทำ จากแผนภาพต้นไม้ทวิภาค จะได้ S (1) 87
76
1 d S (0)
2
1 u S (0)
92
และ S (2) 1 u 1 d S (0)
?
?
2
1 d S (0)
นั่นคือ 1 u S (0) 87 (1)
1 d S (0) 76 (2)
2
1 u S (0) 92 (3)
(3) 92
; 1 u u 0.0575
(1) 87
(2) 1 d 76 76 92
; 1 d d 0.0762
(1) 1 u 87 87 87
ดังนั้น u 0.0575 และ d 0.0762
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 95 · หน้าพิมพ์ 83 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 83
ตัวอย่างที่ 2.9 สมมติให้ราคาหุ้น S (t ) เป็นไปตามแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค จงคำนวณหา u และ
121 ;
่ ำให้ S (2) 110 ; or
d ทีท เมื่อกำหนดให้ S (0) 100
100 ;
วิธีทำ จากแผนภาพต้นไม้ทวิภาค จะได้
1 u 2 100 ; 121 ;
S (2) 1 u 1 d 100 ; or 110 ; or
1 d 2 100 ;
100 ;
นั่นคือ 2
1 u 100 121 (1)
1 u 1 d 100 110 (2)
2
1 d 100 100 (3)
แก้สมการ (3) จะได้ d 0 ( d 1 )
แก้สมการ (1) จะได้ u 0.1 ( u d )
ดังนั้น u 0.1 และ d 0
ตั ว อย่ า งที่ 2.10 ส มม ติ ใ ห้ ราคาหุ้ น S (t ) เป็ น ไป ตามแบ บ จํ า ล องต้ น ไม้ ท วิ ภ าค โดยที่
32 ;
S (2) 28 ; or
จงคำนวณค่าของ x และตรวจสอบว่าสามารถสร้างต้นไม้ทวิภาคของราคา
x ;
ได้สมบูรณ์หรือไม่ ถ้าสร้างได้ สร้างได้แบบเดียวหรือไม่
วิธีทำ จากแผนภาพต้นไม้ทวิภาค จะได้
1 u 2 S (0) ; 32 ;
S (2) 1 u 1 d S (0); or 28 ; or
1 d 2 S (0) ; x ;
นั่นคือ 2
1 u S (0) 32 (1)
1 u 1 d S (0) 28 (2)
2
1 d S (0) x (3)
(1) (3); จะได้ (4)
2
1 u 1 d S (0) 32 x
2
28
แทน (2) ใน (4) จะได้ 282 32 x x 24.50
32
32
จากสมการ (1) และ (3) ได้ u 1
S (0)
และ d 1 24.50
S (0)
ตามลำดับ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 96 · หน้าพิมพ์ 84 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
84 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
24.50
1 d u จะได้ d 1
S (0)
และ u 1 S32(0)
นั่นแสดงว่า เมื่อกำหนด S (0) 0 จะสามารถสร้างต้นไม้ทวิภาคของราคาได้สมบูรณ์ และสร้างได้
แบบเดียว โดยที่
24.50
1 ; probability p
S (0)
K ( n)
32
1 ; probability 1 p
S (0)
เงื่อนไข bt-1 และ bt-2 ทำให้ได้ว่ากลไกราคาของหุ้นจะเคลื่อนไหวสัมพันธ์กับราคาของสินทรัพย์ที่
ไม่มีความเสี่ยง และ เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอของทฤษฎีบทที่จะกล่าวถึงในหัวข้อต่อไปนี้
2.5 ความเป็นกลางต่อความเสี่ยง
คำว่า ความเสี่ยง ในที่นี้จะหมายถึงโอกาสที่การลงทุนนั้นได้ผลตอบแทนไม่ได้เป็นไปตามที่
คาดหวังไว้หรือสูญเสียเงินต้นจากการลงทุน หรือเสี่ยงที่จะเสียโอกาสในการลงทุนกับโครงการลงทุน
อื่นที่ได้ผลตอบแทนที่ดีกว่า เป็นต้น โดยในหัวข้อก่อนหน้านี้ได้กล่าวถึงการใช้ส่วนเบี่ยงมาตรฐานเป็น
ดัชนีวัดความเสี่ยง ในหัวข้อนี้จะแบ่งพฤติกรรมของนักลงทุนที่มีต่อความเสี่ยงโดยใช้ค่าคาดหวังของ
ผลตอบแทนเป็นเกณฑ์ในการแบ่ง
ตามพจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถานได้จำแนกพฤติกรรมของที่คนต่อความเสี่ยงได้เป็น 3
ประเภท คือ
1) การไม่ชอบความเสี่ยง หรือ การหลีกเลี่ยงความเสี่ยง (risk aversion) นักลงทุนที่อยู่ใน
กลุ่มไม่ชอบความเสี่ยงจะมองหาการลงทุนที่ต้องมั่นใจว่า อัตราผลตอบแทนคาดหวังของการลงทุน
ใด ๆ จะต้องมากกว่าอัตราดอกเบี้ยในตลาด
2) การชอบความเสี่ยงหรือการค้นหาความเสี่ยง (risk seeking) นักลงทุนที่อยู่ในกลุ่มชอบ
ความเสี่ยงจะมองหาการลงทุนที่มีโอกาสทำกำไรได้สูงถึงแม้ว่าอัตราผลตอบแทนคาดหวังของการ
ลงทุนใด ๆ จะตํ่ากว่าอัตราดอกเบี้ยในตลาดก็ตาม เช่น นักเสี่ยงโชคจากการซื้อลอตเตอรี่ นักเก็งกำไร
ในหุ้นที่มีความผันผวนของราคาสูง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 97 · หน้าพิมพ์ 85 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 85
3) การเป็นกลางต่อความเสี่ยง (risk neutral) ซึ่งเป็นประเภทของพฤติกรรมต่อความเสี่ยง
ที่ไม่ได้เป็นทั้งกลุ่มที่ไม่ชอบความเสี่ยงและกลุ่มที่ชอบความเสี่ยง
เมื่อพิจารณาถึงราคาของหุ้นในอนาคตซึ่งแน่นอนว่าเป็นสิ่งที่เราไม่มีทางรู้ได้ แต่เป็นไปได้ที่
จะคาดเดาจากค่าคาดหวังของราคาจากแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค ดังนั้นแนวทางหนึ่งสำหรับการ
วิเคราะห์ความเสี่ยงคือการเปรียบเทียบค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทนจากการลงทุนในหุ้นกับค่า
คาดหวังของการลงทุนในสินทรัพย์ที่ไม่มีความเสี่ยง ซึ่งแนวคิดนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้อย่างมาก
ในทฤษฎีของอนุพันธ์ทางการเงิน (เช่น ออปชัน ฟอร์เวิร์ด ฟิวเจอร์ส) ซึ่งปรากฎในหนังสือเกี่ยวกับ
การกำหนดราคาตราสารอนุพันธ์ทั่วไปรวมถึงในตำราเล่มนี้ด้วย
พิจารณาค่าคาดหวังของราคาหุ้น S (t ) สำหรับ ที่เวลา t 1 ก่อน จากแบบจำลองต้น ไม้
ทวิภาค จะได้
S (0)(1 u ) ; probability p
S (1)
S (0)(1 d ) ; probability 1 p
ดังนั้น E[ S (1)] pS (0)(1 u ) (1 p ) S (0)(1 d ) S (0)(1 E[ K (1)])
เมื่ อ E[ K (1)] pu (1 p )d โดยจะขยายแนวคิ ด นี้ ไ ปยั ง ค่ า คาดหวั ง ของราคา สํ า หรั บ ที่ เวลา
t n จะได้ผลลัพธ์ ตามทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 2.21 ภายใต้เงื่อนไข bt-1 จะได้ว่า ค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทน
E[ K (n)] pu (1 p )d
สำหรับทุก ๆ n 0,1, 2,...
พิสูจน์ จากเงื่อนไข bt-1 เราทราบว่า K (n) ud ;;probability
probability p
1 p
สำหรับทุก ๆ n 0,1, 2,...
โดยนิยามของค่าคาดหวัง จะได้ E[ K (n)] pu (1 p)d
ทฤษฎีบท 2.22 ให้ S (n) เป็นราคาหุ้นที่เวลา t n สำหรับ n 0,1, 2,... จะได้ว่า
E[ S (n)] S (0)(1 E[ K (1)]) n (2.39)
เมื่อ E[ K (1)] pu (1 p )d
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 98 · หน้าพิมพ์ 86 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
86 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
พิสู จ น์ เพราะว่า S (n) เป็ น มู ล ค่ า อนาคตที่ ถูกสะสมจากเงิน ต้น S (0) ด้ ว ยตั วประกอบเงิ น สะสม
1 K (0, n)
นั่นคือ S (n) S (0)[1 K (0, n)]
ผลที่ตามมาคือ E S (n) S (0) E[1 K (0, n)] S (0) 1 E[ K (0, n)]
โดยทฤษฎีบท 2.18, 1 E ( K (0, n)) 1 E K (1) 1 E K (2) . . . 1 E K (n)
และจาก E[ K (n)] E[ K (1)] สำหรับทุก ๆ n 1, 2,...
จึงได้ว่า E S (n) S (0) 1 E[ K (1)]
n
รูปที่ 2.6 E S (n) เป็นมูลค่าสะสมของเงิน S (0) สะสมด้วยฟังก์ชันสะสม 1 E[ K (1)] n
สำหรับการลงทุนกับสินทรัพย์ที่ไม่มีความเสี่ยงด้วยเงินต้น S (0) เท่ากัน โดยมีอัตราดอกเบี้ยทบต้น r
ต่อคาบซึ่งสมมูลกับอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง จะได้เงินสะสมจากการลงทุนเป็นระยะเวลา n
คาบ เท่ากับ S (0)(1 r ) นั่นคือราคาสินทรัพย์ที่ไม่มีความเสี่ยงที่เวลา t n เท่ากับ
n
S (0)(1 r ) n S (0)e n (2.40)
และค่าคาดหวังของราคาสินทรัพย์ที่ไม่มีความเสี่ยงนี้ จะเท่ากับ
E S (0)(1 r ) n S (0)(1 r ) n (2.41)
จาก (2.39) และ (2.41) ทำให้ได้ว่าถ้าต้องการเปรียบเทียบค่าคาดหวังของราคาหุ้นกับราคาสินทรัพย์
ที่ไม่มีความเสี่ยง (เช่น ตราสารหนี้) นั้น เพียงพอที่จะเปรียบเทียบเฉพาะระหว่างอัตราดอกเบี้ย r กับ
E[ K (n)] และในที่นี้จะแบ่งประเภทนักลงทุนโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง r กับ E[ K (n)] ได้ดังนี้
เรียก นักลงทุนที่ชอบลงทุนในหุ้น เมื่อ E[ K (n)] r ว่า นักลงทุนประเภทไม่ชอบความเสี่ยง
เรียก นักลงทุนที่ชอบลงทุนในหุ้น เมื่อ E[ K (n)] r ว่า นักลงทุนประเภทชอบความเสี่ยง
เรียก นักลงทุนที่ชอบลงทุนในหุ้น เมื่อ E[ K (n)] r ว่า นักลงทุนประเภทเป็นกลางต่อความเสี่ยง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 99 · หน้าพิมพ์ 87 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 87
สำหรับในทางคณิ ตศาสตร์การเงิน จะศึกษาทฤษฎี ต่าง ๆ ภายใต้ความเป็นกลางต่อความ
เสี่ยงนั่นคือ หาความน่าจะเป็น p * ซึ่งทำให้ E *[ K (n)] r
โดยเรี ย ก p * ดั ง กล่ า วว่ า ความน่ า จะเป็ น ความเป็ น กลางต่ อ ความเสี่ ย ง (risk-neutral
probability) และเรี ย ก E * ว่ า การคาดหวั ง ความเป็ น กลางต่ อ ความเสี่ ย ง (risk-neutral
expectation)
โดยนิยามของค่าคาดหวังและ K (n) จะได้
E *[ K (n)] p * u (1 p*)d r (2.42)
เมื่อแก้สมการเพื่อหา p * จะได้
r d e d 1
p*
ud
ud
(2.43)
หมายเหตุ ในที่นี้นักลงทุนจะต้องจำไว้เสมอว่าความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง p *
คำนวณได้ในเชิงทฤษฎี ดังนั้นในทางปฏิบัติ p * อาจจะเท่าหรือไม่เท่ากับความน่าจะเป็นที่แท้จริง
p ก็ ได้ สํ าหรับ ตลาดการลงทุน ที่ p * p จะเรียกว่า ตลาดความเป็น กลางต่อความเสี่ ยง (risk-
neutral market) และถึงแม้ว่า p * กับ p จะไม่มีความสัมพันธ์กันซึ่งหมายถึงถ้าเราทราบค่า p *
ก็ไม่สามารถใช้ p * เพื่อคำนวณหา p แต่ p * มีประโยชน์ในแง่ของการนำไปใช้ในการศึกษาเชิง
ทฤษฎี การนํ า ไปใช้ ป ระโยชน์ ในเรื่ อ งของการประเมิ น มู ล ค่ า และการกํ า หนดราคาสิ น ทรั พ ย์
โดยเฉพาะอย่างยิ่งสินทรัพย์ที่เป็นตราสารอนุพันธ์ ซึ่งจะกล่าวถึงในบทต่อไป
ตัวอย่างที่ 2.11 กำหนดให้ u 0.2 และ r 0.1 จงหา p * ในเทอมของ d
0.1 d
วิธีทำ เพราะว่า p* ur dd ดังนั้น p* 0.2 d
ตัวอย่างที่ 2.12 จงแสดงว่า d r u ก็ต่อเมื่อ 0 p* 1
วิธีทำ เพราะว่า 0 p* ur dd 1 0 r d u d ( u d 0 ) d r u
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 100 · หน้าพิมพ์ 88 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
88 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ความหมายในเชิงเรขาคณิตของความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง p * สามารถอธิบายได้
ตามรูปที่ 2.5 คือ หากพิจารณา ( p*,1 p*) เป็นเวกเตอร์ในระนาบ จะได้ว่าเวกเตอร์
2
( p*,1 p*) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ (u r , d r ) เนื่องจาก
( p*,1 p*) (u r , d r ) p *(u r ) (1 p*)(d r )
p * u (1
p*)d p * r (1 p*)r r r 0
r
นอกจากนี้ยังได้ว่า ( p*,1 p*) เป็นจุดบนเส้นตรงที่เชื่อมระหว่าจุด (0,1) และ จุด (1, 0) ดังรูป
รูปที่ 2.7 ความหมายเชิงเรขาคณิตของความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง p *
รูปที่ 2.8 ความหมายเชิงเปรียบเทียบ p * กับคานสมดุล
หากพิจารณาอัตราดอกเบี้ย r ของการลงทุนที่ไม่มีความเสี่ยงเป็นจุดหมุนของคานจะได้ว่า p * และ
1 p * เปรียบเสมือนแรงที่มีทิศทางตรงข้ามกันมากระทำต่อปลายคานที่มีมวล u และ d
ตามลำดับเพื่อให้คานอยู่ในสถานการณ์สมดุล
ตั วอย่ า งที่ 2.13 การประยุ ก ต์ ใช้ "ความเป็ น กลางต่ อความเสี่ ย ง" ในเชิ งการตั ดสิน ใจลงทุ น และ
วิเคราะห์ กลยุ ท ธ์ ในโลกจริง เช่ น การจั ดพอร์ ตลงทุ น มีดังนี้ ในการวิเคราะห์ กลยุท ธ์ล งทุน โดย
เปรีย บเทียบกับ สินทรัพย์ที่ไม่มีความเสี่ ยง สมมติผู้จัดการกองทุน รายหนึ่งมีตัวเลือกในการลงทุ น
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 101 · หน้าพิมพ์ 89 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 89
ระหว่าง
• หุ้น A ที่มีลักษณะไม่แน่นอน (ความเสี่ยงสูง)
• หรือเลือกลงทุนในพันธบัตรรัฐบาล (Risk-Free Asset) ที่ให้ผลตอบแทน r = 3% ต่อปี
จากการวิเคราะห์สถานการณ์เศรษฐกิจ ผู้จัดการกองทุนประเมินว่าในปีหน้าหุ้น A จะมีผลตอบแทน
เป็นไปได้ 2 กรณี
สถานการณ์ ผลตอบแทนจากหุ้น A ( K (n) ) ความน่าจะเป็นจริง ( p )
ตลาดดี (Up) +12% 60%
ตลาดแย่ (Down) −4% 40%
การวิเคราะห์ด้วยแนวคิดความเป็นกลางต่อความเสี่ยง
1) คำนวณค่าคาดหวังจริงของหุ้น A
E[ K (n)]= 0.6 ⋅ 0.12 + 0.4 ⋅ (−0.04)= 0.072 − 0.016= 0.056= 5.6%
จากค่าคาดหวังนี้ ผู้จัดการกองทุนทราบว่า หุ้น A มีผลตอบแทนคาดหวังสูงกว่าสินทรัพย์ไร้ความ
เสี่ยง ( r = 3% )
2) ใช้แนวคิด "Risk Neutral Benchmarking" เพื่อตัดสินใจ
กำหนดให้ต้องการทราบว่า ในความเป็นกลางต่อความเสี่ยง (คือ E *[ K (n)]= r= 3% ) นักลงทุน
ควรประเมินว่า หุ้นนี้มีความ “น่าสนใจ” หรือไม่ โดยดูว่าค่าคาดหวังจริงสูงกว่า benchmark หรือไม่
• r → นักลงทุนจะมีแรงจูงใจลงทุนในหุ้น
ถ้า E[ K (n)] > E *[ K (n)] =
• ถ้า E[ K (n)] < r → นักลงทุนควรหลีกเลี่ยง (แม้บางสถานการณ์จะได้กำไรสูง)
ดังนั้น ข้อสรุปเชิงกลยุทธ์ คือ
• หุ้น A มีผลตอบแทนคาดหวังสูงกว่าอัตราผลตอบแทนของสินทรัพย์ไม่มคี วามเสี่ยง (5.6% >
3%)
• แม้มีความเสี่ยง แต่ผู้จัดการกองทุนอาจเลือกลงทุนในหุ้น A ได้ หากเขา ไม่เป็นกลางต่อ
ความเสี่ยง (เช่น ชอบความเสี่ยง หรือมีการกระจายความเสี่ยงดี)
จากตัวอย่างจะเห็นว่าแนวคิด "Risk Neutral Benchmarking" เพื่อตัดสินใจ มีประโยชน์ คือ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 102 · หน้าพิมพ์ 90 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
90 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
1) ช่วยประเมินว่าอัตราผลตอบแทนที่คาดหวัง "คุ้มค่า" กับความเสี่ยงหรือไม่
2) ใช้เป็นเกณฑ์เปรียบเทียบระหว่างสินทรัพย์เสี่ยงกับสินทรัพย์ปลอดภัย
3) ใช้จัดอันดับสินทรัพย์เพื่อตัดสินใจลงทุนตามพฤติกรรมของนักลงทุนแต่ละประเภท (risk-
averse, risk-seeking, risk-neutral)
2.6 สมบัติมาร์ทิงเกล
แนวคิดของมาร์ทิงเกล (Martingale) มีจุดเริ่มต้นจากการศึกษาพฤติกรรมของเกมที่ยุติธรรม
ซึ่งหมายถึงเกมที่ค่าคาดหวังของกำไรหรือขาดทุนในแต่ละครั้งมีค่าเป็นศูนย์ โดยที่ผลของการเดิมพัน
ในอดีตไม่สามารถนำมาใช้ทำนายผลในอนาคตได้อย่างมีประสิทธิภาพ กล่าวคือ หากให้ X i แทน
มูลค่าของพอร์ตหรือเงินลงทุนหลังการเดิมพัน ครั้งที่ i และ Z1 , Z 2 ,..., Zi แทนผลลัพธ์ก่อนหน้ า
สมบัติมาร์ทิงเกลจะกำหนดว่า
E[ X i +1 ∣Z1 , Z 2 ,..., Z i ] = X i
ซึ่งหมายความว่า ค่าคาดหวังของเงินลงทุนในรอบถัดไป เมื่อพิจารณาข้อมูลในอดีตทั้งหมด จะเท่ากับ
มูลค่าปัจจุบัน ซึ่งสะท้อนถึงแนวคิด "ตลาดที่มีประสิทธิภาพ" โดยข้อมูลในอดีตไม่สามารถใช้สร้างผล
กำไรอย่างสมํ่าเสมอในอนาคตได้
การนำแนวคิดมาร์ทิงเกลไปใช้ในโลกการลงทุน
ในเชิงการเงิน สมบัติมาร์ทิงเกลถูกนำมาใช้ในการสร้างแบบจำลองราคาสินทรัพย์ เช่น ใน
แบบจำลองราคาทางการเงิน แบบไร้อาร์บิ ทราจ (No-Arbitrage Pricing Theory) ซึ่งถือเป็นแกน
หลักของการกำหนดราคาตราสารอนุพันธ์ โดยเฉพาะในแบบจำลองเวลาต่อเนื่อง เช่น แบบจำลอง
Black-Scholes และแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค (binomial tree model)
ตัวอย่างการประยุกต์
• การประเมินราคาหุ้น: หากราคาหุ้น St ปรับตัวตามกระบวนการมาร์ทิงเกลภายใต้มาตร
ความเสี่ยงเป็นกลาง (risk-neutral measure) จะได้ว่า ราคาของสินทรัพย์ในอนาคตมีค่า
คาดหวังเท่ากับราคาปัจจุบันที่ปรับด้วยอัตราคิดลด (discount factor)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 103 · หน้าพิมพ์ 91 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 91
• การบริหารพอร์ต: นักลงทุนสามารถใช้มาร์ทิงเกลเป็นเกณฑ์เพื่อตรวจสอบว่าพอร์ตของตน
ไม่มีแนวโน้มคาดหวังที่จะเพิ่มหรือลด ซึ่งสอดคล้องกับสถานะที่ถูกป้องกันความเสี่ยงอย่าง
เหมาะสม
• การกำหนดราคาตราสารอนุพันธ์: แบบจำลองราคาทั้งหลายที่อิงมาร์ทิงเกล เช่น การใช้
ความน่าจะเป็นแบบเสมือน (equivalent martingale measure) ช่วยให้สามารถตีราคา
สิ น ทรั พ ย์ ที่ มี ค วามไม่ แ น่ น อนได้ อ ย่ า งเป็ น ระบบและหลี ก เลี่ ย งโอกาสการทํ า กํ า ไรโดย
ปราศจากความเสี่ยง
แนวคิดมาร์ทิงเกลไม่เพียงแต่เป็นพื้นฐานสำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็น แต่ยังมีบทบาทหลักในโลก
การเงิน โดยเฉพาะในการสร้างแบบจํ าลองราคา การประเมิ น มู ล ค่า การบริ ห ารพอร์ ต และการ
ออกแบบกลยุทธ์การลงทุนที่ตั้งอยู่บนสมมติฐานของตลาดที่มีประสิทธิภาพ การทำความเข้าใจสมบัติ
นี้ จึ งช่ ว ยให้ นั ก ลงทุ น และนั กวิ เคราะห์ ส ามารถตี ค วามพฤติ ก รรมของราคาสิ น ทรั พ ย์ ในบริ บ ทที่
สอดคล้องกับหลักเศรษฐศาสตร์การเงินสมัยใหม่ได้อย่างลึกซึ้ง
บทนิยาม 2.23 ให้ Z และ X เป็นลำดับของตัวแปรเชิงสุ่มบนปริภูมิความน่าจะเป็น
i
n
i 1 i
n
i 1
จะเรีย ก X ว่า มาร์ทิงเกล ที่ เกี่ยวข้องกั บ Z ถ้ า E[ X
i
n
i 1 i
n
i 1 i 1 | Z1 ...Z i ] X i และเรีย กลํ า ดั บ
Yi 1 X i 1 X i ว่ า ลํ า ดั บ ของผลต่ า งมาร์ ทิ ง เกล (martingale difference sequence) ซึ่ ง
E[Yi 1 | Z1 ...Z i ] 0
ต่อไปจะอธิบายมาร์ทิงเกลสำหรับราคาหุ้น S (n) จากทฤษฎีบท 2.22 ถ้าให้ p * เป็นความ
น่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง จะได้ว่าค่าคาดหวังของราคา S (n) เท่ากับมูลค่าสะสมของ
เงิน S (0) บาทสะสมด้วยอัตราดอกเบี้ยที่ปราศจากความเสี่ยง r เป็นเวลา n คาบ
นั่นคือ E * S (n) S (0)(1 r ) n S (0)e n (2.44)
โดยที่ r E *[ K (n)] และ เป็นอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องสมมูลกับ r
เพื่อให้สามารถเข้าใจแนวคิดของมาร์ทิงเกลได้ง่ายขึ้นขอให้ศึกษาจากตัวอย่างต่อไปนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 104 · หน้าพิมพ์ 92 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
92 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
ตั วอย่ า งที่ 2.14 พิ จ ารณาแบบจํ าลองต้ น ไม้ ท วิภ าค 2 คาบเวลา เมื่อกำหนด S (0) 100 บาท,
,
u 0.2 d 0.1 และ r 0.1 โดยสูตร (2.43) คำนวณ p* 23 ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นความเป็น
กลางต่อความเสี่ยง จากข้อมูลที่กำหนดให้เขียนเป็นต้นไม้ทวิภาค ได้ดังแผนภาพ
เมื่อพิจารณาค่าของ E *[S (2) | S (1)] เมื่อกำหนด S (1) 120 หรือ S (1) 90 จากรูปที่ 2.9 และ
จากบทนิยามของค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไข จะได้ E *[S (2) | S (1)] ดังนี้
ถ้า S (1) 120 จะได้ว่า
2 1
E *[ S (2) | S (1) 120] p S (2) | S (1) 120 144 108 132 S (1)(1 r )
3
3
(1)
ในทำนองเดียวกัน ถ้า S (1) 90 จะได้ว่า
2 1
E *[ S (2) | S (1) 90] p S (2) | S (1) 90 108 81 99 S (1)(1 r )
(2)
3 3
โดย (1) และ (2) สรุปได้ว่า
E *[ S (2) | S (1)] S (1)(1 r ) (3)
เมื่อคูณ (1 r ) ตลอด (3) จะได้
2
E *[ S (2)(1 r )2 | S (1)] S (1)(1 r )1 (4)
นั่นคือ
E *[ S(2) | S (1)] S(1) (5)
เมื่อ S (n) S (n)(1 r )
n
เรียกความสัมพันธ์ตามสมการ (5) ว่า สมบัติมาร์ทิงเกลของราคาหุ้น
แนวคิดจากตัวอย่างข้างต้น ทำให้ทราบว่าเมื่อ คาบเวลาที่ 1 ได้ผ่านไปแล้ว และทราบราคาของหุ้น
เท่ ากับ S (1) แล้ ว ณ คาบเวลาที่ 2 ซึ่งเป็น เวลาในอนาคต (ราคาคาหุ้ น S (2) ยังไม่ ทราบค่า) ค่า
คาดหวังความเป็นกลางต่อความเสี่ยงของราคาคาหุ้น S (2) จะมีความสัมพันธ์อย่างไรกับราคาหุ้น
S (1) ภายใต้แบบจำลองราคาทวิภาค
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 105 · หน้าพิมพ์ 93 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 93
แนวคิดดังกล่าวนำไปสู่ทฤษฎีบท 2.24 และสมบัติมาร์ทิงเกลของราคาหุ้น นั่นคือ สำหรับคาบเวลาที่
n ใด ๆ หากสมมติว่า คาบเวลาที่ n ได้ผ่านไปแล้ว และทราบราคาของหุ้น S (n) เราต้องการทราบ
ว่าค่าคาดหวังความเป็นกลางต่อความเสี่ยงของราคา S (n 1) มีความสัมพันธ์อย่างไรกับราคาหุ้น
S ( n)
ทฤษฎีบท 2.24 กำหนดให้ S (n) เป็นราคาหุ้น ซึ่งเป็นราคาที่ทราบ ที่เวลา t n ค่าคาดหวังความ
เป็นกลางต่อความเสี่ยงแบบมีเงื่อนไขของ S (n 1) จะเท่ากับ
E *[ S (n 1) | S (n)] S (n)(1 r ) (2.45)
พิสูจน์ สมมติให้ S (n) x เมื่อเวลาผ่านไป n คาบ
รูปที่ 2.9 ต้นไม้ทวิภาคราคาหลังจากทราบราคาที่เวลา n
จะได้
E *[ S (n 1) | S (n) x] p * x(1 u ) (1 p*) x(1 d ) x 1 p * (1 d)
p * u (2.46)
r
เนื่องจาก E *[ K (1)] p * u (1 p*)d r
ดังนั้น
E *[ S (n 1) | S (n) x] x 1 r S (n) 1 r
ทฤษฎีบท 2.24 ทำให้ทราบว่าค่าคาดหวังความเป็นกลางต่อความเสี่ยงของราคา S (n 1) เมื่อเวลา
n ได้ผ่านไปแล้ว (ทราบราคา S (n) แล้ว) เท่ ากับ มูลค่าสะสมของราคา S (n) ด้วยอัตราดอกเบี้ ย
ปราศจากความเสี่ยง r เป็นเวลา 1 คาบ
จากสมการ (2.45) ถ้าคูณด้วย (1 r ) ( n 1)
ทั้งสองข้าของสมการ จะได้
E *[ S (n 1)(1 r )( n1) | S (n)] S (n)(1 r )n (2.47)
กำหนดให้ S (n) S (n)(1 r ) จะได้n
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 106 · หน้าพิมพ์ 94 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
94 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
E *[ S (n 1) | S (n)] S (n) (2.48)
ในที่นี้เรียก S (n) S (n)(1 r ) ว่า ราคาหุ้นส่วนลด (discounted stock prices)
n
บทแทรก 2.25 (สมบัติของมาร์ทิงเกล) กำหนดให้ S (n) S (n)(1 r ) เป็นราคาหุ้นส่วนลด
n
จะได้ว่า E *[S (n 1) | S (n)] S (n) สำหรับทุก ๆ n 0,1, 2,...
จากบทแทรก 2.25 จะเห็นว่า ค่าคาดหวังของราคาหุ้นส่วนลดของคาบถัดไป (คาบเวลาที่
n 1 ) เมื่อทราบราคาในปัจจุบัน (คาบเวลาที่ n ) จะเท่ากับราคาหุ้นส่วนลดในปัจจุบัน ซึ่งจะกล่าว
ว่า ราคาหุ้นส่วนลด S (n) ก่อกำเนิดมาร์ทิงเกล ภายใต้ความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง
p * และ กล่าวว่า p * เป็น ความน่าจะเป็นมาร์ทิงเกล
ตัวอย่างที่ 2.15 กำหนดอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้เท่ากับ 0.2 ต่อปี จงหาค่าคาดหวังความเป็น
กลางต่อความเสี่ยงแบบมีเงื่อนไขของราคาหุ้น S (3) เมื่อกำหนดราคาหุ้น S (2) 110 บาท
วิธีทำ จากทฤษฎีบท 2.23, E *[S (n 1) | S (n)] S (n)(1 r )
จะได้ E *[ S (3) | S (2)] S (2)(1 r ) 110(1 0.2) 132
ดังนั้น ค่าคาดหวังความเป็นกลางต่อความเสี่ยงแบบมีเงื่อนไขของราคาหุ้น S (3) เมื่อกำหนดราคา
หุ้น S (2) 110 บาท เท่ากับ 132 บาท
ตั ว อย่ า งที่ 2.16 (การตรวจสอบสถานะพอร์ ต ด้ ว ยสมบั ติ ม าร์ ทิ ง เกล) สมมติ นั ก ลงทุ น ถื อ หุ้ น
S (0) = 100 บาท โดยคาดว่าอีก 6 เดือนข้างหน้า โดยราคาหุ้นเคลื่อนไหวตามตัวแบบต้นไม้ทวิภาค
2 คาบเวลาและหากราคาหุ้ น ขึ้น จะขึ้น ด้ว ยอัต รา u = 0.2 ต่อคาบและหากราคาหุ้ น ลงจะลงด้ว ย
อัตรา d = −0.1 ต่อคาบ สมมติว่าอัตราดอกเบี้ยที่ปราศจากความเสี่ยงเท่ากับ 4% ต่อปีทบต้นทุก 3
เดือน จงตรวจสอบสถานะพอร์ตด้วยสมบัติมาร์ทิงเกล
วิธีทำ 1) คำนวณความน่าจะเป็นแบบความเป็นกลางต่อความเสี่ยง
ในที่นี้ u = 0.2 , d = −0.1
= , r 0.04
= / 4 0.01
r − d 0.01 − (−0.1) 0.11
จะได้ =
p* = = ≈ 0.3667 และ 1 − p* ≈ 0.6333
u−d 0.2 − (−0.1) 0.3
2) ราคาหุ้นและราคาหุ้นส่วนลดในตัวแบบต้นไม้ 2 คาบเวลา
จากข้อมูลราคาของหุ้นเคลื่อนไหวตามตัวแบบต้นไม้ 2 คาบเวลา เป็นดังตารางต่อไปนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 107 · หน้าพิมพ์ 95 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 95
S (0) S (1) S (2)
t=0 t=1 t=2
100 120 144
90 108
81
ต่อไปจะคำนวณราคาหุ้นส่วนลดในตัวแบบต้นไม้ 2 คาบเวลา S (n) S (n)(1 r ) n
S=
(0) S (0)(1.01) = −0
S=(0) 100 , S (1) = S (1)(1.01) −1 และ S (2) = S (2)(1.01) −2
ผลลัพธ์ที่ได้แสดงดังตารางต่อไปนี้
S (0) S (1) S (2)
t=0 t=1 t=2
100 118.81 141.16
89.11 105.87
79.40
3) การตรวจสอบสมบัติมาร์ทิงเกล E *[S (n 1) | S (n)] S (n)
E *[ S (1) | S (0) =
100] =
0.3667(118.81) + 0.6333(89.11) =100.00 =S (0)
E *[ S (2) | S (1) =
120] =
0.3667(141.16) + 0.6333(105.87) =118.81 = S (1)
E *[ S (2) | S (1) =
90] =
0.3667(105.87) + 0.6333(79.40) = S (1)
89.11 =
จากผลการคำนวณจะเห็นว่า E *[S (n 1) | S (n)] S (n) สำหรับทุก ๆ n 1, 2
ดังนั้น ราคาหุ้นส่วนลด S (n) จึงมี สมบัติมาร์ทิงเกล ภายใต้ความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความ
เสี่ยง ( p* ) ซึ่งแปลความได้ว่า
1) พอร์ตการลงทุนที่อิงจากหุ้นนี้ ไม่ได้มีแนวโน้มว่าจะมีกำไรหรือขาดทุนโดยเฉลี่ยในอนาคต
— กล่าวคือ ค่าคาดหวังของมูลค่าพอร์ตในอนาคตจะเท่ากับค่าปัจจุบัน
2) เราสามารถใช้ ราคาหุ้ น ส่ ว นลด S (n) เป็ น เครื่ องมื อวิ เคราะห์ ว่า พอร์ตของเรามีการ
ป้องกันความเสี่ยงอย่างสมบูรณ์หรือไม่
o ถ้า S ( n) เป็นมาร์ทิงเกล → พอร์ตมีสถานะป้องกันความเสี่ยงสมดุล
o ถ้าไม่เป็น → อาจมีช่องว่างหรือความเสี่ยงที่ยังไม่ได้ถูกป้องกัน
3) สามารถใช้ สมบัติมาร์ทิงเกลของ S (n) เป็น พื้นฐานในการสร้างกลยุทธ์ลงทุนแบบ Delta-
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 108 · หน้าพิมพ์ 96 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
96 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
Neutral หรือ Portfolio Immunization
o เพราะกลยุ ท ธ์ เ หล่ า นี้ ต้ อ งการให้ พ อร์ ต ไม่ ต อบสนองเชิ ง กํ า ไร/ขาดทุ น ต่ อ การ
เคลื่อนไหวของราคาในอนาคต
o การที่ ร าคาหุ้ น ส่ ว นลดมี ส มบั ติ ม าร์ ทิ ง เกลช่ ว ยยื น ยั น ว่ า พอร์ ต จะไม่ ค าดหวั ง
ผลตอบแทนเกินกว่าความเป็นจริงในเชิงสถิติ
หมายเหตุ: การลงทุนแบบ Delta-Neutral เป็นกลยุทธ์ที่ปรับพอร์ตให้ไม่ไวต่อการเปลี่ยนแปลงของ
ราคาหลักทรัพย์ในระยะสั้น โดยกำหนดให้ค่า ∆ ของพอร์ตโดยรวมเท่ากับศูนย์ โดยที่ค่า ∆ ของ
พอร์ต คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของมูลค่าพอร์ตเมื่อราคาของสินทรัพย์อ้างอิงเปลี่ยนไป 1 หน่วย
กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ∆ = ∂V เมื่อ V คือมูลค่าพอร์ต และ S คือราคาสินทรัพย์อ้างอิง เช่น หุ้น
∂S
หากพอร์ตมีค่า ∆ =0 แสดงว่ามูลค่าพอร์ตไม่เปลี่ยนแปลงหากราคาหุ้นเปลี่ยนเพียงเล็กน้อย
2.7 ทฤษฎีบทหลักมูลการกำหนดราคาสินทรัพย์
ในการกำหนดราคาสินทรัพย์ทางการเงิน เช่น หุ้น ตราสารหนี้ หรือออปชัน หลักการสำคัญ
ที่รับ รองความสมเหตุ สมผลของราคาคือ “การไม่มีช่องทางในการทํ ากํ าไรโดยปราศจากความ
เสี่ยง” หรือที่เรียกว่า หลักการปราศจากการค้ากำไร (no-arbitrage principle)
ทฤษฎี บ ทหลั ก มู ล การกํ า หนดราคาสิ น ทรั พ ย์ เป็ น เสาหลั ก สํ า คั ญ ของการเงิ น เชิ ง
คณิตศาสตร์ ซึ่งระบุเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของการกำหนดราคาสินทรัพย์อย่าง
เหมาะสมภายใต้แบบจำลองความน่าจะเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทนี้แสดงให้เห็นว่า การไม่มี
อาร์บิทราจมี ความสมมู ลกับการมีอยู่ของความน่ าจะเป็นที่ เรียกว่า “ความเป็นกลางต่อความ
เสี่ ย ง” (risk-neutral probability) ซึ่ งสามารถนํ ามาใช้ ป ระเมิ น มู ล ค่ าของตราสารอนุ พั น ธ์ใน
แบบจำลองต่าง ๆ
ในหัวข้อนี้ จะกล่าวถึงแนวคิดนี้ผ่านกรอบของ แบบจำลองต้นไม้ทวิภาค ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้น
สำคัญ ในการพั ฒ นาสู่ แบบจํ าลองที่ซับซ้ อนยิ่งขึ้น เช่ น แบบจำลอง Black-Scholes ที่ใช้ในตลาด
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 109 · หน้าพิมพ์ 97 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 97
การเงินจริง ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงแต่มีความสำคัญในเชิงทฤษฎีเท่านั้น แต่ยังมี บทบาทในการพัฒนา
เครื่องมือกำหนดราคาและบริหารความเสี่ยงในตลาดทุนทั่วโลก
พิจารณาแบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาคที่มี K (n) ud ;; และ r เป็นอัตราดอกเบี้ยจาก
การลงทุนที่ปราศจากความเสี่ยง (ตราสารหนี้) จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างหลักการปราศจากการค้า
กำไร กับ d , u และ r ดังนี้
ทฤษฎี บท 2.26 แบบจำลองราคาต้น ไม้ทวิภาคจะสอดคล้องกับ หลักการปราศจากการค้ากำไรก็
ต่อเมื่อ d r u
พิสูจน์ เนื่องจากต้นไม้ทวิภาค 1 คาบเวลา ก่อกำเนิด ต้นไม้ทวิภาค n คาบเวลา ดังนั้นเพียงพอที่จะ
พิจารณาเพียงต้นไม้ทวิภาค 1 คาบเวลา เท่านั้น
( ) สมมติว่าแบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาคสอดคล้องกับหลักการปราศจากการค้ากำไร และสมมติ
โดยให้เกิดข้อขัดแย้งว่า r d หรือ r u
ถ้า r d ที่ เวลา t 0 สามารถทํ าธุรกรรมได้ดังนี้ ยืมเงิน จํ านวน S (0) บาท อัต ราดอกเบี้ย r
จากนั้นนำเงินที่ได้ ไปซื้อหุ้น 1 หุ้น ซึ่งจะทำให้ได้ V (0) 0 รอจนถึงเวลา t 1 ให้ทำธุรกรรมได้
ดังนี้ ขายหุ้นที่มีอยู่ 1 หุ้น รับเงิน S (1) บาทและคืนเงินที่ยืมมาเป็นเงิน S (0)(1 r ) บาท
(1 u ) S (0) S (0)(1 r ) ;
ดังนั้นจะได้ V (1) S (1) S (0)(1 r )
(1 d ) S (0) S (0)(1 r ) ;
u r ;
S (0)
0 ( r d u 0 d r ur )
d r ;
ซึ่งขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
ถ้า r u ที่เวลา t 0 สามารถทำธุรกรรมได้ดังนี้ ยืมหุ้น 1 หุ้นมาขาย รับเงิน S (0) บาท นำเงินที่
ได้ไปลงทุนในตราสารหนี้ที่มีอัตราดอกเบี้ย r ซึ่งจะทำให้ได้ V (0) 0 รอจนถึงเวลา t 1 ให้ทำ
ธุรกรรมได้ดังนี้ ขายตราสารหนี้รับเงิน S (0)(1 r ) บาท ซื้อหุ้นคืน 1 หุ้นจ่ายเงิน S (1) บาท
r u ;
ดังนั้น V (1) S (0)(1 r ) S (1) S (0)
0 ( d u r 0 r u r d )
r d ;
ซึ่งขัดแย้งกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 110 · หน้าพิมพ์ 98 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
98 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
จากทั้งสองกรณีจึงทำให้สรุปได้ว่า d r u
( ) สมมติว่า d r u จะแสดงว่า แบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาคสอดคล้องกับหลักการปราศจาก
การค้ากำไร ให้ [ x, y] เป็นพอร์ตการลงทุน ซึ่ง V (0) 0 จะได้
xS (0) yA(0) 0 (1)
จากสมการ (1) ทำให้ [ x, y] [ x, SA(0)
(0)
x] และเนื่องจาก V (1) xS (1) yA(1) และ V (1) 0
(เงื่อนไข solvency) ทำให้ได้
S (0)
x(1 u ) S (0) x A(0)(1 r ) ;
A(0) u r ;
V (1) xS (0) 0 (2)
S (0) d r ;
x(1 d ) S (0) x A(0)(1 r ) ;
A(0)
เนื่องจาก d r u d r 0 u r ส่งผลให้ x 0 ดังนั้นได้ V (1) 0
จึงสามารถสรุปได้ว่า แบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาคสอดคล้องกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
ทฤษฎีบท 2.27 แบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาคจะสอดคล้องกับหลักการปราศจากการค้ากำไร ก็
ต่อเมื่อ มีความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง p * ซึ่ง 0 p* 1
พิสูจน์ ได้โดยตรงจาก ตัวอย่างที่ 2.12 และ ทฤษฎีบท 2.26
ทฤษฎีบท 2.28 (ทฤษฎีบทหลักมูลการกำหนดราคาสินทรัพย์)
หลักการปราศจากการค้ากำไร สมมูลกับ การมีความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง P * บน
ปริภูมิความน่าจะเป็นของสถานการณ์ ซึ่ง P * ( ) 0 สำหรับ แต่ละสถานการณ์ และ
ราคาหุ้นส่วนลด S(n) S (n)(1 r ) สอดคล้องกับเงื่อนไข
n
E *[ S(n 1) S (n)] S(n)
สำหรับทุก ๆ n 0,1, 2,...
โดย บทแทรก 2.25 และทฤษฎีบท 2.28 ทำให้ได้ว่าทฤษฎีบทหลักมูลการกำหนดราคาสินทรัพย์เป็น
ทฤษฎีที่แสดงความสมมูลระหว่างหลักการปราศจากการค้ากำไรกับสมบัติมาร์ทิงเกล นั่นเอง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 111 · หน้าพิมพ์ 99 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 99
ตัวอย่างที่ 2.17 กำหนดอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้เท่ากับ 8 % ต่อปี และสมมติว่า ราคาหุ้นมี
การเคลื่อนไหวตามสถานการณ์ที่เป็นไปได้ 4 สถานการณ์ ดังนี้
สถานการณ์ S (0) S (1) S (2)
1 100 110 122
2 100 110 108
3 100 90 100
4 100 90 90
จงตรวจสอบว่าการเคลื่อนไหวของราคาหุ้นตามสถานการณ์ดังกล่าวสอดคล้องกับหลักการปราศจาก
การค้ากำไรหรือไม่
วิธีทำ โจทย์กำหนดให้ r 0.1 และจากตารางแสดงการเคลื่อนไหวของราคาหุ้นสามารถเขียนแทน
ด้วยแผนภาพต้นไม้ได้ดังนี้
เมื่อ a*, b * และ c * เป็นความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงแต่ละขั้วกิ่งของต้นไม้ดังรูป
จากแผนภาพคำนวณ a*, b * และ c * ได้ดังนี้
0.08 (10 / 100)
a*
10 / 100 (10 / 100)
0.9 , b * (120.08 (2 / 110)
/ 110) (2 / 110)
0.7714 และ
0.08 0
c* 0.72
(10 / 90) 0
จะได้ P * (1 ) a *b * 0.9(0.7714) 0.69426
P * (2 ) a *1 b * 0.9(0.2286) 0.20574
P * (3 ) 1 a *c * 0.1(0.72) 0.072
P * (4 ) 1 a *1 c * 0.1(0.28) 0.028
ดังนั้น มีความน่ าจะเป็ น ความเป็ น กลางต่ อความเสี่ย ง P * ซึ่ง P * ( ) 0 สำหรับ ทุก ๆ
ต่อไปคํ านวณราคาหุ้ น ส่ วนลดจาก S(n) S (n)(1 r ) สำหรับ ทุก ๆ n 0,1 ซึ่งจะได้แผนภาพ
n
ต้นไม้ของราคาส่วนลด S(n) ดังนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 112 · หน้าพิมพ์ 100 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
100 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
จากแผนภาพคำนวณ E *[S(n 1) S (n)] สำหรับทุก ๆ n 0,1 ได้ดังนี้
E *[ S(1) S (0) 100] 0.9(110)(1.081 ) 0.1(90)(1.081 ) 100 S(0)
E *[ S(2) S (1) 110] 0.7714(122)(1.082 ) 0.2286(108)(1.082 )
101.8515 108(1.081 ) S(1)
E *[ S(2) S (1) 90] 0.72(100)(1.082 ) 0.28(90)(1.082 )
83.33 90(1.081 ) S(1)
ดังนั้น โดยทฤษฎีบทหลักมูลการกำหนดราคาสินทรัพย์ การเคลื่อนไหวของราคาหุ้นตามสถานการณ์
ดังกล่าวสอดคล้องกับหลักการปราศจากการค้ากำไร
2.8 แบบจำลองราคาต้นไม้ไตรภาค
แบบจำลองราคาต้นไม้ไตรภาค (Trinomial Tree Price Model) เป็นการขยายแนวคิดจาก
แบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาคของ Cox, Ross และ Rubinstein โดยเพิ่มจำนวนกิ่งในแต่ละช่วงเวลา
จากเดิมที่ราคาสามารถ "เพิ่มขึ้น" หรือ "ลดลง" เท่านั้น ให้สามารถ "เพิ่มขึ้น" "ลดลง" หรือ "ทรงตัว"
ได้ นั่ น หมายความว่ าการเคลื่ อ นไหวของราคาสิ น ทรัพ ย์ ในแต่ ล ะช่ ว งเวลาสามารถเกิ ด ขึ้ น ได้ 3
ทางเลือก ทำให้แบบจำลองมีความยืดหยุ่นและสามารถสะท้อนพฤติกรรมของราคาสินทรัพย์ในโลก
จริงได้ดียิ่งขึ้น แบบจำลองนี้ได้รับความนิยมในวงการการเงิน โดยเฉพาะในการกำหนดราคาตราสาร
อนุพันธ์ เช่น ออปชัน ซึ่งมีลักษณะซับซ้อนหรือมีเงื่อนไขเฉพาะ เช่น ออปชันแบบอเมริกัน หรือออป
ชันที่สามารถใช้สิทธิได้หลายช่วงเวลา การใช้แบบจำลองต้นไม้ไตรภาคช่วยให้การประมาณค่ามีความ
แม่นยำมากขึ้นเมื่อเทียบกับแบบจำลองสองกิ่ง โดยเฉพาะเมื่อจำนวนช่วงเวลาในแบบจำลองมีจำกัด
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 113 · หน้าพิมพ์ 101 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 101
ในหัวข้อนี้ จะกล่าวถึงโครงสร้างของแบบจำลองราคาต้นไม้ไตรภาค พร้อมทั้งเงื่อนไขที่ใช้ใน
การสร้ างโมเดล ตลอดจนการคํ านวณค่ าความน่ า จะเป็ น และการนํ า ไปใช้ ในการกํ า หนดราคา
สินทรัพย์ทางการเงิน
แบบจำลองราคาต้นไม้ไตรภาค เป็นแบบจำลองที่ขยายแนวความคิดของแบบจำลองราคา
ต้นไม้ทวิภาคของ K (n) จากต้นไม้ 2 กิ่ง ไปยังต้นไม้ 3 กิ่ง ดังนั้นการเคลื่อนไหวของราคาจะไม่ได้มี
เฉพาะแค่ขึ้นกับลงเท่านั้น แต่จะมีการเคลื่อนไหวของราคาที่อยู่ระหว่าง 2 กิ่งนั้น คือมีการเคลื่อนไหว
ของราคาเป็นไปได้ 3 ทาง โดยแบบจำลองราคาต้นไม้ไตรภาค มีเงื่อนไขดังนี้
เงื่ อนไข tt-1 กํ าหนดให้ อั ต ราผลตอบแทนต่ อคาบ K (n) เป็ น ตัว แปรเชิ งสุ่ มที่ อิ ส ระกั น
นิยามในรูป
u ; probability p
K (n) m ; probability q
(2.49)
d ; probability 1 p q
เมื่อ d m u และ 0 p, q, p q 1
เช่นเดียวกับในแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค u และ d แทนการเคลื่อนไหวของราคาขึ้นและลง
ตามลำดับ ในขณะที่ m แทนการเคลื่อนไหวของราคาที่อยู่ระหว่างราคาที่เคลื่อนไหวขึ้นและลง ถ้า
m0 จะเรียกว่า ศูนย์กลางหลัก (typical neutral)
เงื่อนไข tt-2 กำหนดให้ r เป็นอัตราผลตอบแทนต่อคาบของสินทรัพย์ไม่มีความเสี่ยงซึ่ง
คงที่ทุกคาบเวลาและ d r u
เนื่องจาก S (1) (1 K (1))S (0) โดยเงื่อนไข tt-1 จะได้ S (1) ดังนี้
S (0)(1 u ) ; probability p
S (1) S (0)(1 m) ; probability q
(2.50)
S (0)(1 d ) ; probability 1 p q
ตัวอย่างที่ 2.18 จงเขียนต้นไม้ไตรภาคสำหรับ S (2) เมื่อสมมติว่าตลาดสอดคล้องตามเงื่อนไข tt-1
และ tt-2
วิธีทำ จากเงื่อนไข tt-1 เขียนแผนภาพต้นไม้ไตรภาคสำหรับตัวประกอบเงินสะสมได้ดังนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 114 · หน้าพิมพ์ 102 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
102 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
รูปที่ 2.10 ต้นไม้ไตรภาคตัวประกอบเงินสะสมของราคาที่เวลา t 2
จากแผนภาพ ได้
S (0)(1 u ) 2 ; probability p 2
S (0)(1 u )(1 m) ; probability 2 pq
S (0)(1 u )(1 d ) ; probability 2 p (1 p q )
S (2)
S (0)(1 m) 2 ; probability q 2
S (0)(1 m)(1 d ) ; probability 2(1 p q )q
2
S (0)(1 d ) ; probability (1 p q ) 2
จากเงื่อนไข สำหรับค่าคาดหวังความเป็นกลางต่อความเสี่ยง E *[ K (n)] r จะได้ว่าความจะน่าเป็น
ความเป็นกลางต่อความเสี่ยง p * และ q * สามารถเขียนได้อยู่ในรูป
p * (u r ) q * (m r ) (1 p * q*)(d r ) 0 (2.51)
เราสามารถพิ จ ารณาสามสิ่ ง อั น ดั บ ( p*, q*,1 p * q*) เป็ น เวกเตอร์ ใ น ตั้ ง ฉากกั บ
3
เวกเตอร์ (u r , m r , d r ) ซึ่งเป็นเวกเตอร์ของกำไร(ขาดทุน) ต่อหุ้นต่อคาบเวลา นั่นหมายความว่า
( p*, q*,1 p * q*) เป็นจุดบนรอยตัดระหว่างระนาบ (a, b, c) | a, b, c 0, a b c 1 กับระนาบ
ซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ของกำไร (u r , m r , d r ) ตามรูป ดังนี้
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 115 · หน้าพิมพ์ 103 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 103
รูปที่ 2.11 เรขาคณิตของความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง
เงื่อนไข tt-2 ยืนยันได้ว่ารอยตัดระหว่างระนาบสามเหลี่ยมกับระนาบซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์
ของกำไร (u r , m r , d r ) ไม่เป็นเซตว่าง เนื่องจากเวกเตอร์ (u r , m r , d r ) ไม่ผ่านอัฏภาคที่
เป็ น บวก (positive octant) จะได้ ว่ า มี ค วามน่าจะเป็ น ความเป็น กลางต่อ ความเสี่ ย งเป็น จำนวน
อนันต์ค่าอยู่บนเส้นตรงซึ่งเป็นรอยตัดตามรูปที่ 2.11
รูปที่ 2.12 อธิบายความหมายของความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงเชิงกลศาสตร์
นอกจากการพิจารณาความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงในเชิงเรขาคณิตตามรูปที่ 2.10
แล้ว ยังสามารถพิจารณาความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงในเชิงกลศาสตร์ บนคานสมดุล
ซึ่งมี r เป็นจุดหมุน โดยที่ q * เป็นแรงที่กระทำต่อวัตถุมวล m ซึ่งอยู่ระหว่างวัตถุปลายคานทั้งสอง
มวล d และ u และมีแรง 1 p * q * และ p * ตามลำดับ ดังรูปที่ 2.12
ตัวอย่างที่ 2.19 กำหนดให้ u 0.2 , m 0 , d 0.1 และ r 0 จงหาความน่าจะเป็นความเป็น
กลางต่อความเสี่ยงที่เป็นไปได้ทั้งหมด
วิธีทำ จากสมการ (2.51), p *(u r ) q *(m r ) (1 p * q*)(d r ) 0
โดยการแทนค่า ได้ p * (0.2 0) q * (0 0) (1 p * 0)(0.1 0) 0
โดยการแก้สมการ ได้ p* 1 / 3 และ q* s สำหรับทุก ๆ 0 s 1
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 116 · หน้าพิมพ์ 104 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
104 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
เนื่องจาก 0 < p * + q*, q* < 1 ดังนั้น 0 s 23 ดังนั้นความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความ
1
เสี่ยงที่เป็นไปได้ทั้งหมด คือ (=
p*, q*) , s | s ∈ (0, 2 / 3)
3
การวิเคราะห์เชิงกลยุทธ์
ผลลัพธ์ข้างต้นแสดงให้เห็นว่า มีชุดความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง ( p* , q* ) เป็น
จำนวนอนันต์ โดยมีลักษณะเป็นเส้นตรงบนระนาบ ซึ่งสามารถวิเคราะห์เชิงกลยุทธ์ได้ดังนี้
- แบบจำลองมีความยืดหยุ่นสูงในการประมาณพฤติกรรมของตลาดจริง
ความน่าจะเป็น q* สามารถปรับค่าได้ในช่วง (0, 2 ) เพื่อให้สอดคล้องกับสถานการณ์ของ
3
สินทรัพย์ เช่น หากสินทรัพย์มีแนวโน้มทรงตัวบ่อยกว่าขึ้นหรือลง ผู้ใช้แบบจำลองสามารถเลือก q*
ที่สูงขึ้นเพื่อสะท้อนลักษณะนี้
- เป็นเครื่องมือสนับสนุนการตัดสินใจลงทุนแบบ hedging หรือ delta-neutral
ความยืดหยุ่นของ p* และ q* ช่วยให้นักวิเคราะห์สามารถกำหนด hedge ratio ได้อย่าง
เหมาะสมกับลักษณะของราคาสินทรัพย์ในตลาดจริง
- สนับสนุนแนวคิดว่า ตลาดไม่จำเป็นต้องมี risk-neutral probability เดียว
ในกรณีนี้มีชุดค่าความน่าจะเป็นที่ทำให้มาร์ทิงเกลเป็นจริงได้หลายค่า ซึ่งชี้ให้เห็นว่าการประเมิน
ราคาตราสารอาจอยู่ในช่วง ไม่ใช่เพียงค่าเดียวแบบ deterministic
- ใช้วิเคราะห์ best-case / worst-case ของพอร์ตได้
การเลือก q* ใกล้ 0 หรือ 2 / 3 สามารถใช้เป็นกรณีศึกษาสำหรับวิเคราะห์ผลกระทบสูงสุดและ
ตํ่าสุดต่อพอร์ตในสถานการณ์ต่าง ๆ
ดังนั้น จะเห็นว่าชุดความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง
1
(=
p*, q*) , s | s ∈ (0, 2 / 3)
3
แสดงให้เห็นถึงความยืดหยุ่นในการกำหนดความน่าจะเป็นภายใต้แบบจำลองต้นไม้ไตรภาค และ
สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการกำหนดกลยุทธ์ลงทุน การป้องกันความเสี่ยง และการวิเคราะห์เชิง
ความน่าจะเป็นของราคาสินทรัพย์ในระยะสั้นได้อย่างมีประสิทธิภาพ
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 117 · หน้าพิมพ์ 105 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 105
หมายเหตุ: การลงทุนแบบ Hedging หมายถึง การจัดพอร์ตหรือทำธุรกรรมเพื่อลดความเสี่ยงจาก
การเปลี่ย นแปลงของราคาสิ น ทรัพ ย์ เช่ น การซื้อออปชัน หรือใช้ตราสารอนุ พัน ธ์เพื่ อชดเชยการ
เปลี่ยนแปลงราคาของสินทรัพย์หลัก
บทสรุปท้ายบทที่ 2
บทที่ 2 ได้ อ ธิ บ ายแบบจํ า ลองราคาไม่ ต่ อ เนื่ อ ง ซึ่ ง เป็ น เครื่ อ งมื อ สํ า คั ญ ในการอธิ บ าย
พฤติกรรมราคาของสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบทของตลาดทุนและตราสาร
อนุพันธ์ เนื้อหาในบทนี้ครอบคลุมตั้งแต่กลไกราคาและผลตอบแทน ไปจนถึงแบบจำลองโครงสร้าง
ต้นไม้ การวัดความเสี่ยง และทฤษฎีพื้นฐานที่ใช้ในการกำหนดราคาสินทรัพย์
• กลไกราคาและผลตอบแทน: ราคาสินทรัพย์มีลักษณะไม่แน่นอนและเปลี่ยนแปลงตามตัว
แปรสุ่ม เช่น ข่าวเศรษฐกิจ หรือพฤติกรรมนักลงทุน ตัวอย่างเช่น เมื่อมีข่าวดีเกี่ยวกับการ
ขยายสนามบินของ A ราคาหุ้นจะมีแนวโน้มปรับขึ้น และสามารถจำลองสถานการณ์นี้ด้วย
แบบจำลองต้นไม้ เพื่อพิจารณาความน่าจะเป็นของผลตอบแทนที่เปลี่ยนไปตามสถานการณ์
ต่าง ๆ
• แบบจำลองต้นไม้ทวิภาคและไตรภาค: เป็นเครื่องมือสำคัญในการกำหนดราคาสินทรัพย์
โดยสามารถนํ า ไปใช้ ในการประเมิ น ราคาคอลออปชั น เช่ น ในกรณี ศึ ก ษาของหุ้ น A
นักวิเคราะห์สามารถใช้ Binomial Tree Model เพื่อประเมินมูลค่าคอลออปชันที่มีอายุ 3
เดือน ราคาหุ้นปัจจุบัน 70 บาท และราคาใช้สิทธิ 72 บาท เพื่อพิจารณาว่าจะลงทุนในออป
ชันหรือไม่ภายใต้สถานการณ์ราคาที่อาจ “ขึ้น” หรือ “ลง” ในแต่ละช่วงเวลา
• ความเป็ น กลางต่ อความเสี่ยง และ สมบั ติ มาร์ทิงเกล: แนวคิดเหล่านี้ช่วยให้นักลงทุ น
สามารถใช้ "มาตรวัดราคายุติธรรม" โดยไม่ขึ้นกับทัศนคติส่วนตัว ตัวอย่างเช่น ในการลงทุน
หุ้น B ที่ มีความผั น ผวนตํ่ า นั กลงทุ น อาจประเมิ น ว่าราคาในอนาคตภายใต้ risk-neutral
measure จะเท่ากับราคาปัจจุบันที่ถูกคิดลด ซึ่งช่วยให้สามารถวางกลยุทธ์การลงทุนแบบ
hedge หรือปรับนํ้าหนักพอร์ตตามมูลค่าที่แท้จริง
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 118 · หน้าพิมพ์ 106 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
106 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
• ทฤษฎีบทหลักมูลการกำหนดราคาสินทรัพย์: เป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ตรวจสอบว่า
แบบจํ าลองที่ ส ร้างขึ้น สามารถใช้ ได้ จ ริงหรือไม่ โดยตรวจสอบว่าไม่มีโอกาสค้ากำไรโดย
ปราศจากความเสี่ ย ง (arbitrage) ตั ว อย่ า งเช่ น หากราคาคอลออปชัน ที่ คํ านวณได้ จ าก
แบบจำลอง Binomial Tree ไม่สอดคล้องกับราคาตลาด อาจเป็นสัญญาณว่ามีโอกาสทำ
กำไรหรือแบบจำลองยังไม่สมบูรณ์
การประยุกต์ใช้จริงในวงการการเงิน
• ธนาคารเพื่ อการลงทุน ใช้แบบจำลองเหล่านี้ เพื่ อสร้างผลิตภัณ ฑ์ อนุ พัน ธ์ที่ซับ ซ้อน เช่ น
Barrier Options หรือ Asian Options
• ผู้ จั ด การกองทุ น ใช้ Martingale property เพื่ อ ตรวจสอบกลยุท ธ์ Dynamic Hedging
และทำให้แน่ใจว่าผลตอบแทนที่คาดหวังไม่เบี่ยงเบนจากสมมติฐานพื้นฐาน
• นั ก ลงทุ น รายย่ อย สามารถใช้ แบบจํ าลองต้น ไม้ร่วมกับ การวิเคราะห์ปั จ จัย พื้ น ฐานและ
เทคนิค เช่น MACD หรือ RSI เพื่อประเมินโอกาสการซื้อขายในช่วงเวลาสั้น
แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่องจึงเป็นเครื่องมือที่มีความยืดหยุ่นและทรงพลัง ไม่เพียงแต่ในเชิงทฤษฎี
แต่ยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้จริงได้ในหลากหลายบริบท ทั้งในการวางแผนการลงทุน การกำหนด
ราคาสินทรัพย์ และการบริหารความเสี่ยง ทำให้ผู้เรียนมีพื้นฐานที่มั่นคงในการวิเคราะห์ตลาดและ
ตัดสินใจลงทุนอย่างมีประสิทธิภาพ
เอกสารอ้างอิง
[1] Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities.
Journal of Political Economy, 81(3), 637–654. https://doi.org/10.1086/260062
[2] Cox, J. C., Ross, S. A., & Rubinstein, M. (1979). Option pricing: A simplified
approach. Journal of Financial Economics, 7(3), 229–263.
https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 119 · หน้าพิมพ์ 107 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 107 [3] Delbaen, F., & Schachermayer, W. (1994). A general version of the fundamental theorem of asset pricing. Mathematische Annalen, 300(1), 463–520. https://doi.org/10.1007/BF01450498 [4] Harrison, J. M., & Kreps, D. M. (1979). Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets. Journal of Economic Theory, 20(3), 381–408. https://doi.org/10.1016/0022-0531(79)90043-3 [5] Hull, J. C. (2017). Options, futures, and other derivatives (9th ed.). Pearson. [6] Merton, R. C. (1973). Theory of rational option pricing. The Bell Journal of Economics and Management Science, 4(1), 141–183. https://doi.org/10.2307/3003143 วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 120 · หน้าพิมพ์ 108 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
108 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 2
1) พิ จ ารณาแบบจํ าลองราคาแบบเวลาไม่ ต่ อ เนื่ อ งของหุ้ น S ที่ ป ระกอบด้ ว ย 2 คาบเวลา ดั ง
แผนภาพ
และกำหนดให้ r เป็นอัตราดอกเบี้ยต่อคาบของตราสารหนี้ A จงหา a , b และ c ซึ่งเป็นความ
น่ าจะเป็ น ความเป็ น กลางต่ อ ความเสี่ ย งในเทอมของ r พร้อ มทั้ งตรวจสอบว่าแบบจำลองราคา
สอดคล้องกับทฤษฎีบทหลักมูลการกำหนดราคาสินทรัพย์หรือไม่
2) พิจารณาตลาดซึ่งมี 3 สถานการณ์ คือ , และ ตามลำดับ โดยราคาและสถานการณ์
1 2 3
สามารถเขียนตารางแสดงได้ดังนี้
สถานการณ์ S (0) S (1) S (2) S (3)
1 100 120 120 125
2 100 90 120 110
3 100 90 110 120
2.1) จากสถานการณ์ที่กำหนดให้จงเขียนเป็นต้นไม้การเคลื่อนไหวของราคา
2.2) จงคำนวณหา K (n)
2.3) จงคำนวณหา k (n) เมื่อกำหนดจ่ายเงินปันผล 2 บาทต่อหุ้นต่อคาบ
2.4) สมมติว่าความน่าจะเป็นของการเกิดสถานการณ์ , และ เป็น 0.5, 0.3 และ
1 2 3
0.2 ตามลำดับ จงหาค่าคาดหวังของ K (1,3)
3) สมมติว่าราคาหุ้น S เป็นไปตามแบบจำลองราคาต้นไม้ทวิภาค และ กำหนดให้
0.2 ; probability p
K (n)
0.05 ; probability 1 p
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 121 · หน้าพิมพ์ 109 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 109
กำหนดให้ S (0) 100 ถ้าความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงเท่ากับ 0.6 จงหาค่าคาดหวัง
ความเป็นกลางต่อความเสี่ยงแบบมีเงื่อนไขของราคาหุ้น S (3) เมื่อกำหนดราคาหุ้น S (2) บาท
4) จากโจทย์ขอ้ 3) จงหาราคาหุ้นส่วนลด (discounted stock prices) ของคาบเวลาที่ 3
5) พิจารณาตลาดซึ่งมี 3 สถานการณ์ คือ ตลาดขาขึ้น ตลาดขาลง และตลาดไม่มีทิศทาง แทนด้วย
1 , 2 และ 3 ตามลำดับ โดยราคาและสถานการณ์สามารถเขียนตารางแสดงได้ดังนี้
สถานการณ์ S (0) S (1) S (2)
1 90 100 110
2 90 80 90
3 90 110 99
จากสถานการณ์ที่กำหนดให้ จงเขียนเป็นต้นไม้การเคลื่อนไหวของราคาดังกล่าว
6) จากข้อ 5) โดยสมมติว่าความน่าจะเป็นของการเกิดสถานการณ์ เป็น 0.5, 0.2 และ 0.3
ตามลำดับ จงคำนวณค่าของ E[ K (t )] และ E[k (t )] ในกรณีต่อไปนี้
6.1) ไม่มีการจ่ายเงินปันผล
6.2) มีการจ่ายเงินปันผล 1.50 บาทต่อหุ้น
7) กำหนดให้ i เป็นอัตราดอกเบี้ยของตราสารหนี้ A ซึ่ง 100 A(2) A(0) 5,568 , A(0) 50
และสมมติว่าราคาของหุ้น S เป็นไปได้ 4 สถานการณ์ คือ , , และ ดังนี้
1 2 3 4
สถานการณ์ S (0) S (1) S (2)
1 100 110 120
2 100 110 115
3 100 90 100
4 100 90 80
ให้ p * , q * และ r * ความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงในกิ่งราคาของแต่ละขั้วกิ่งดังรูป
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 122 · หน้าพิมพ์ 110 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
110 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
จงแสดงว่าการกำหนดราคาของหุ้นสอดคล้องหลักการปราศจากการค้ากำไร หรือไม่
8) สมมติให้ราคาหุ้น S (t ) เป็นไปตามแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค จงคำนวณหา u และ d ที่ทำให้
90 ;
S (1) และ S (2) 89 ;
73 ;
9) สมมติให้ราคาหุ้น S (t ) เป็นไปตามแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค และ K (n) ud ;; ซึ่งทำให้
112 ;
S (2) 104 ; or
ถ้า S (0) 100 แล้ว จงหา S (3)
96 ;
10) สำหรับแบบจำลองราคาต้นไม้ไตรภาค กำหนดให้ u 0.12 , m 0.05 , d 0 และ r 0.1 จง
หาความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงที่เป็นไปได้ทั้งหมด
11) สมมติให้อัตราผลตอบแทนของตราสารหนี้เท่ากับ 3.5 % ต่อปี และราคาปัจจุบันของหุ้นบริษัท
หนึ่ง S (0) = 20 บาท และอัตราการเปลี่ยนแปลงราคาหุ้นแต่ละขั้วโหนดเท่ากับ
0.08 ;
K ( n)
สำหรับทุก ๆ n 1, 2,3,... จงแสดงว่า สำหรับทุกๆ n 0,1, 2,3 การ
0.02 ;
เคลื่อนไหวของราคาหุ้น S (n) สอดคล้องกับสมบัติมาร์ทิงเกล
12) กำหนดให้ A เป็นราคาของตราสารหนี้ ซึ่ง A(0) = 50 บาท และอัตราดอกเบี้ยคิดทบต้นของ
ตราสารหนี้ เท่ากับ 4% ต่อปี สมมติว่าราคาของหุ้น S เป็นไปได้ 4 สถานการณ์ คือ ω1 , ω2 , ω3
และ ω4 ดังนี้ สำหรับ t = 0,1, 2 (ปี)
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 123 · หน้าพิมพ์ 111 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
บทที่ 2 แบบจำลองราคาไม่ต่อเนื่อง 111
สถานการณ์ S (0) S (1) S (2)
ω1 90 100 120
ω2 90 100 102
ω3 90 80 100
ω4 90 80 75
12.1) จงคำนวณหาความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง P * (k ) สำหรับทุกๆ
k 1, 2,3, 4
12.2) จงวิเคราะห์แนวโน้มของราคาหุ้นจาก E [ S (2)]
12.3) จากการวิเคราะห์แนวโน้มของราคาหุ้นในข้อ 12.2) หากนักลงทุนลงทุนในหุ้นควร
เลือกเปิดสถานะชอร์ต หรือ สถานะลอง กำหนดให้วงเงินในการทำชอร์ตหรือลองเท่ากับ 100,000
บาท พร้อมทั้งหาค่าคาดหวังของอัตราผลตอบแทนและความเสี่ยงจากการลงทุน (ของพอร์ตการ
ลงทุน)
13) (การตรวจสอบสมบัติมาร์ทิงเกลของราคาหุ้น) ราคาหุ้นตัวหนึ่งมีมูลค่าเริ่มต้นที่ S0 = 100 บาท
โดยมีการเคลื่อนไหวตามแบบจำลองต้นไม้ทวิภาค 2 คาบ ดังนี้ หากราคาหุ้นขึ้น จะเพิ่มขึ้น 20% ต่อ
คาบ หากราคาหุ้นลง จะลดลง 10% ต่อคาบ กำหนดอัตราดอกเบี้ยปราศจากความเสี่ยง r = 0.05
ต่อคาบ
13.1) เขียนแผนภาพต้นไม้ของราคาหุ้น St สำหรับ t = 0,1, 2
13.2) คำนวณความน่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยง p*
13.3) เขียนแผนภาพต้นไม้ของราคาหุ้นส่วนลดและตรวจสอบว่าตรวจสอบสมบัติมาร์ทิงเกลของ
ราคาหุ้นส่วนลด
14) (วิเคราะห์พอร์ต Delta-Neutral ด้วยการลงทุนสองสินทรัพย์) สมมุติว่าคุณลงทุนในหุ้นสองตัว
คือ A และ B โดยข้อมูลมีดังนี้
- หุ้น A มีราคาปัจจุบัน S A = 100 และค่า Delta ต่อการเปลี่ยนแปลง +1
- หุ้น B มีราคาปัจจุบัน S B = 200 และ ค่า Delta ต่อการเปลี่ยนแปลง -0.5
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
หน้า PDF 124 · หน้าพิมพ์ 112 · ร่างเปิดหน้าต้นฉบับ ↗
ข้อความด้านล่างเป็นผลสกัดจาก text layer เท่านั้น ยังไม่ตรวจเทียบภาพต้นฉบับ รวมถึงสมการ ตาราง รูป ลำดับอ่าน และอักขระไทย
112 อนุพันธ์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์
14.1) ถ้าคุณต้องการสร้างพอร์ตที่มีค่า Delta รวมเป็นศูนย์ (Delta-Neutral) ควรลงทุนในหุ้น A
และ B ในสัดส่วนเท่าใด
14.2) หากราคาหุ้น A เพิ่มขึ้น 10 บาท ค่าพอร์ตจะเปลี่ยนแปลงเท่าใด
14.3) วิเคราะห์ว่า Delta-Neutral มีประโยชน์เช่นไรในการบริหารความเสี่ยง
15) (ตรวจสอบการไม่เกิด Arbitrage ด้วยสมบัติมาร์ทิงเกล) พิจารณาราคาหุ้นที่เปลี่ยนแปลงได้ 4
สถานการณ์ใน 2 คาบแรก ดังนี้
สถานการณ์ S0 S1 S2
1 100 110 122
2 100 110 108
3 100 90 100
4 100 90 90
15.1) สมมุติว่าอัตราดอกเบี้ยปราศจากความเสี่ยงคือ r = 0.05 ต่อคาบ จงตรวจสอบว่ามีความ
น่าจะเป็นความเป็นกลางต่อความเสี่ยงที่ทำให้ราคาหุ้นส่วนลดมีสมบัติมาร์ทิงเกลหรือไม่
15.2) คำนวณ [ S2 ∣S1 = 110] และเปรียบเทียบกับ S1 ว่าตรงตามสมบัติมาร์ทิงเกลหรือไม่
15.3) วิเคราะห์ผลลัพธ์ในแง่ของหลักการปราศจากการค้ากำไร
วิชัย วิทยาเกียรติเลิศ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์