top of page
Option Pricing Modelsสารบัญ
Option Pricing Modelsพิมพ์หน้านี้

Unifying Theory

เชื่อมสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยกับค่าคาดหวัง แล้วปิดภาพด้วยความสัมพันธ์ No-arbitrage ระหว่างออปชันยุโรปและอเมริกัน

สูตรไฟย์นมัน-แคตซ์ (Feynman-Kac Formula)

สูตรไฟย์นมัน-แคตซ์ พัฒนาจากงานของ ริชาร์ด ไฟย์นมัน (Richard Feynman) (Feynman 1948) และ มาร์ก แคตซ์ (Mark Kac) (Kac 1949) เป็นสะพานเชื่อมระหว่างสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบพาราโบลา (parabolic partial differential equation) กับค่าคาดหวังบนกระบวนการสุ่ม วิธีนี้ลดความซับซ้อนของ PDE โดยเปลี่ยนปัญหาให้อยู่ในรูปค่าคาดหวังของฟังก์ชันบนวิถี (trajectory) ของสมการเชิงอนุพันธ์สโทแคสติก (Stochastic Differential Equation) แล้วหาย้อนกลับจากเงื่อนไขปลายทาง (Terminal condition) ที่ทราบ ข้อจำกัดสำคัญคือใช้ได้เมื่อตัวดำเนินการ (operator) ยังคงคุณสมบัติเชิงเส้น (linear) เท่านั้น

Definition 22 (PDE แบบพาราโบลาและตัวกำเนิดเชิงอนุพันธ์). สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสองในรูป

∂u∂t+Au−r(x,t)u+f(x,t)=0,A=μ(x,t)∂∂x+12σ2(x,t)∂2∂x2,(5.1)\frac{\partial u}{\partial t} + \mathcal{A}u - r(x,t)u + f(x,t) = 0, \qquad \mathcal{A} = \mu(x,t)\frac{\partial}{\partial x} + \tfrac12\sigma^2(x,t)\frac{\partial^2}{\partial x^2}, \tag{5.1}
เรียกว่าแบบ พาราโบลา เมื่อสัมประสิทธิ์การแพร่ σ2(x,t)≥0\sigma^2(x,t)\ge 0 (ดิสคริมิแนนต์ของส่วนอันดับสองเป็นศูนย์) ตัวดำเนินการ A\mathcal{A} เรียกว่าตัวกำเนิดเชิงอนุพันธ์ (infinitesimal generator) ของกระบวนการแพร่ XtX_t ที่มี drift μ\mu และความผันผวน σ\sigma.

Definition 23 (ตัวดำเนินการเชิงเส้นและฟังก์ชันตัวชี้บ่ง). ตัวดำเนินการ A\mathcal{A} เป็นเชิงเส้นถ้า A(au+bv)=a Au+b Av\mathcal{A}(a u + b v) = a\,\mathcal{A}u + b\,\mathcal{A}v สำหรับค่าคงที่ a,ba,b ใด ๆ และฟังก์ชัน u,vu,v ที่หาอนุพันธ์ได้พอเพียง; ฟังก์ชันตัวชี้บ่ง (indicator function) นิยามโดย 1A(x)=1\mathbf{1}_{A}(x) = 1 เมื่อ x∈Ax\in A และ 00 เมื่ออื่น ๆ ใช้สำหรับแยกบริเวณเงื่อนไข เช่น เขียนผลตอบแทนออปชันซื้อเป็น (S−K)1{S>K}(S-K)\mathbf{1}_{\{S>K\}}.

Theorem 24 (สูตรไฟย์นมัน-แคตซ์ รูปทั่วไป). ให้ u(x,t)u(x,t) เป็นผลเฉลยของ (5.1) ภายใต้เงื่อนไขปลายทาง u(x,T)=g(x)u(x,T)=g(x) โดยกระบวนการอ้างอิงเป็นไปตาม dXs=μ(Xs,s)ds+σ(Xs,s)dWs\mathrm{d}X_s = \mu(X_s,s)\mathrm{d}s + \sigma(X_s,s)\mathrm{d}W_s, Xt=xX_t=x แล้ว

u(x,t)=E ⁣[e−∫tTr(Xs,s) dsg(XT)+∫tTe−∫tsr(Xv,v) dvf(Xs,s) ds  ∣  Xt=x].(5.2)u(x,t) = \mathbb{E}\!\left[ \mathrm{e}^{-\int_t^T r(X_s,s)\,\mathrm{d}s} g(X_T) + \int_t^T \mathrm{e}^{-\int_t^s r(X_v,v)\,\mathrm{d}v} f(X_s,s)\,\mathrm{d}s \;\Big|\; X_t = x \right]. \tag{5.2}

Proof. นิยามกระบวนการที่คิดลด Ys=e−∫tsr(Xv,v)dvu(Xs,s)+∫tse−∫tvrf(Xv,v)dvY_s = \mathrm{e}^{-\int_t^s r(X_v,v)\mathrm{d}v}u(X_s,s) + \int_t^s \mathrm{e}^{-\int_t^v r}f(X_v,v)\mathrm{d}v. ใช้เล็มมาของอิโตกับ u(Xs,s)u(X_s,s) ร่วมกับตัวประกอบคิดลด แล้วรวมพจน์ที่เป็น ds\mathrm{d}s

dYs=e−∫tsr(us+Au−ru+f⏟=0 ตาม (5.1))ds+e−∫tsr σ(Xs,s) ux dWs.\mathrm{d}Y_s = \mathrm{e}^{-\int_t^s r}\Big(\underbrace{u_s + \mathcal{A}u - r u + f}_{=0\ \text{ตาม}~(5.1)}\Big)\mathrm{d}s + \mathrm{e}^{-\int_t^s r}\,\sigma(X_s,s)\,u_x\,\mathrm{d}W_s.
พจน์ดริฟท์เป็นศูนย์เพราะ uu สอดคล้อง PDE ดังนั้น YsY_s เป็นมาร์ทิงเกลเฉพาะที่ (local martingale) ภายใต้เงื่อนไขการเติบโตที่เหมาะสมจะเป็นมาร์ทิงเกลจริง (ดูรายละเอียดเชิงทฤษฎีการวัดใน (Karatzas and Shreve 1991; Shreve 2004)) จับค่าคาดหวังของ YTY_T เท่ากับ Yt=u(x,t)Y_t = u(x,t) และแทน u(XT,T)=g(XT)u(X_T,T)=g(X_T) ได้ (5.2). ◻

Corollary 25 (แบล็ก-โชลส์ที่มีพารามิเตอร์ขึ้นกับเวลา). สำหรับแบบจำลองแบล็ก-โชลส์ที่มีอัตราดอกเบี้ย r(t)r(t) อัตราปันผล q(t)q(t) และความผันผวน σ(t)\sigma(t) ขึ้นกับเวลา (แต่ไม่ขึ้นกับราคา) สูตรไฟย์นมัน-แคตซ์ให้ราคาออปชันซื้อในรูปเดียวกับแบล็ก-โชลส์ โดยแทนพารามิเตอร์คงที่ด้วยค่าเฉลี่ยเชิงปริพันธ์

rˉ=1τ ⁣∫tT ⁣r(s)ds,qˉ=1τ ⁣∫tT ⁣q(s)ds,σˉ2=1τ ⁣∫tT ⁣σ2(s)ds,τ=T−t,(5.3)\bar r = \frac1\tau\!\int_t^T\! r(s)\mathrm{d}s,\quad \bar q = \frac1\tau\!\int_t^T\! q(s)\mathrm{d}s,\quad \bar\sigma^2 = \frac1\tau\!\int_t^T\! \sigma^2(s)\mathrm{d}s,\quad \tau=T-t, \tag{5.3}
กล่าวคือ C=S0e−qˉτΦ(d1)−Ke−rˉτΦ(d2)C = S_0\mathrm{e}^{-\bar q\tau}\Phi(d_1) - K\mathrm{e}^{-\bar r\tau}\Phi(d_2) โดย d1,2d_{1,2} ใช้ rˉ,qˉ,σˉ\bar r,\bar q,\bar\sigma.

Proof. เนื่องจากพารามิเตอร์ขึ้นกับเวลาแต่เป็นฟังก์ชันกำหนด (deterministic) การอินทิเกรต ∫tTr(s)ds=rˉτ\int_t^T r(s)\mathrm{d}s = \bar r\tau เป็นค่าคงที่ กระบวนการล็อกราคายังเป็นเกาส์เซียนที่มีค่าเฉลี่ย (rˉ−qˉ−12σˉ2)τ(\bar r-\bar q-\tfrac12\bar\sigma^2)\tau และความแปรปรวน σˉ2τ\bar\sigma^2\tau แทนใน (5.2) ด้วย g(S)=(S−K)+g(S)=(S-K)^+ แล้วดำเนินการเช่นเดียวกับผลสืบเนื่อง 8 โดยใช้ตัวชี้บ่ง 1{ST>K}\mathbf{1}_{\{S_T>K\}} ได้ผลลัพธ์. ◻

Remark 26. ตัวดำเนินการ (operator) ทำหน้าที่ให้เกิดพลวัต (evolution) ของระบบที่สนใจ โดยการนำไปกระทำกับฟังก์ชัน กล่าวได้ว่าตัวดำเนินการทำหน้าที่เป็นตัวกำเนิด (generator) ของพลวัตต่าง ๆ ความเป็นเชิงเส้นของ A\mathcal{A} คือเงื่อนไขที่ทำให้ไฟย์นมัน-แคตซ์ใช้ได้ หาก PDE ไม่เป็นเชิงเส้น (เช่น แบบจำลองที่มีต้นทุนธุรกรรมของเลอลันด์ หรือแบบจำลองความผันผวนไม่แน่นอนแบบแบล็ก-โชลส์-บาเรนบลัตต์) การแทนด้วยค่าคาดหวังอย่างง่ายจะไม่เป็นจริง ทั้งนี้พึงสังเกตว่าแบบจำลองความผันผวนสุ่ม เช่น เฮสตัน ยังคงให้ PDE เชิงเส้น (เพียงแต่มีมิติสูงขึ้น) จึงยังใช้ไฟย์นมัน-แคตซ์ได้.

ฟังก์ชันกรีน (Green Function)

ฟังก์ชันกรีน (Green function) เป็นเครื่องมือเชิงวิเคราะห์ที่ให้ผลเฉลยของ PDE เชิงเส้นในรูปปริพันธ์ของเงื่อนไขปลายทาง แนวคิดคือหาผลเฉลยพื้นฐาน (fundamental solution) ที่ตอบสนองต่อแรงกระตุ้นแบบจุด (point source) แล้วซ้อนทับ (superpose) ด้วยหลักการเชิงเส้น

Definition 27 (ฟังก์ชันกรีน / ผลเฉลยพื้นฐาน). ฟังก์ชันกรีน G(x,t;y,T)G(x,t;y,T) ของตัวดำเนินการ (5.1) (กรณี f=0f=0) คือผลเฉลยของ

∂G∂t+AG−r(x,t)G=0,lim⁡t↑TG(x,t;y,T)=δ(x−y),(5.4)\frac{\partial G}{\partial t} + \mathcal{A}G - r(x,t)G = 0, \qquad \lim_{t\uparrow T} G(x,t;y,T) = \delta(x-y), \tag{5.4}
โดย δ\delta คือฟังก์ชันเดลตาของดิแรก (Dirac delta).

Theorem 28 (การแทนด้วยฟังก์ชันกรีน). ผลเฉลยของ (5.1) (กรณี f=0f=0) ที่มีเงื่อนไขปลายทาง u(x,T)=g(x)u(x,T)=g(x) เขียนได้เป็น

u(x,t)=∫−∞∞G(x,t;y,T) g(y) dy.(5.5)u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x,t;y,T)\,g(y)\,\mathrm{d}y. \tag{5.5}
สำหรับแบล็ก-โชลส์ที่มีพารามิเตอร์ขึ้นกับเวลา ฟังก์ชันกรีนในตัวแปรล็อก ξ=ln⁡S\xi=\ln S คือเคอร์เนลความร้อนแบบเกาส์ (Gaussian heat kernel)
G(ξ,t;η,T)=e−rˉτ2πσˉ2τexp⁡ ⁣(−(η−ξ−(rˉ−qˉ−12σˉ2)τ)22σˉ2τ),(5.6)G(\xi,t;\eta,T) = \frac{\mathrm{e}^{-\bar r\tau}}{\sqrt{2\pi\bar\sigma^2\tau}} \exp\!\left(-\frac{\big(\eta - \xi - (\bar r-\bar q-\tfrac12\bar\sigma^2)\tau\big)^2}{2\bar\sigma^2\tau}\right), \tag{5.6}
โดย rˉ,qˉ,σˉ2\bar r,\bar q,\bar\sigma^2 ตาม (5.3).

Proof. ความเป็นเชิงเส้นของตัวดำเนินการทำให้ผลรวม (integral superposition) ของผลเฉลยพื้นฐานเป็นผลเฉลยด้วย ตรวจสอบเงื่อนไขปลายทางโดยให้ t↑Tt\uparrow T แล้ว G→δ(x−y)G\to\delta(x-y) ทำให้ u(x,T)=∫δ(x−y)g(y)dy=g(x)u(x,T)=\int\delta(x-y)g(y)\mathrm{d}y = g(x) ตามต้องการ. สำหรับแบล็ก-โชลส์ เปลี่ยนตัวแปรเป็น ξ=ln⁡S\xi=\ln S แปลง PDE (2.2) ให้เป็นสมการความร้อนที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ (หลังดูดพจน์ดริฟท์และพจน์ −ru-ru) ผลเฉลยพื้นฐานของสมการความร้อนคือเคอร์เนลเกาส์ ให้ (5.6). แทนใน (5.5) ด้วย g(S)=(S−K)+g(S)=(S-K)^+ จะได้สูตรแบล็ก-โชลส์กลับคืน ซึ่งสอดคล้องกับผลจากไฟย์นมัน-แคตซ์ในผลสืบเนื่อง 25 แสดงให้เห็นความเท่าเทียมกันของมุมมองเชิง PDE (กรีน) และเชิงความน่าจะเป็น (ไฟย์นมัน-แคตซ์). ◻

ความสัมพันธ์ระหว่างออปชันแบบยุโรปและแบบอเมริกัน

ท้ายที่สุดเราแสดงความสัมพันธ์เชิงไร้การเก็งกำไรระหว่างออปชันสองประเภท ผลลัพธ์เหล่านี้เป็นเหตุผลว่าเหตุใดวิธีประมาณในบท American Approximations จึงเริ่มจากราคาออปชันยุโรปแล้วบวกส่วนเพิ่ม

Proposition 29 (ออปชันอเมริกันมีค่าไม่ต่ำกว่ายุโรป). สำหรับออปชันชนิดเดียวกันที่มี K,TK,T เท่ากัน CA≥CEC_A \ge C_E และ PA≥PEP_A \ge P_E เสมอ.

Proof. เซตของกลยุทธ์การใช้สิทธิของออปชันอเมริกัน (เวลาหยุด τ∈[t,T]\tau\in[t,T] ใด ๆ) ครอบคลุมกลยุทธ์ของยุโรป (บังคับ τ=T\tau=T) เป็นเซตย่อย ดังนั้นซูพรีมัมใน (1.3) ย่อมไม่ต่ำกว่าค่าเฉพาะใน (1.2) เชิงการเก็งกำไร หากสมมติว่า CA<CEC_A < C_E ผู้ลงทุนสามารถซื้ออเมริกัน ขายยุโรป ได้กำไรทันทีโดยไม่มีความเสี่ยง (เพราะสิทธิของอเมริกันเหนือกว่า) ซึ่งขัดกับหลักไร้การเก็งกำไร. ◻

Theorem 30 (ออปชันซื้อแบบอเมริกันบนหุ้นไม่จ่ายปันผลเท่ากับแบบยุโรป). ถ้าสินทรัพย์อ้างอิงไม่จ่ายปันผลระหว่างช่วงชีวิตของออปชัน และ r≥0r\ge 0 แล้วการใช้สิทธิออปชันซื้อแบบอเมริกันก่อนกำหนดไม่เคยเหมาะสม ดังนั้น CA=CEC_A = C_E.

Proof. จากขอบเขตล่างของราคาออปชันซื้อยุโรป (no-arbitrage lower bound) เรามี

CE(St,t)≥St−Ke−r(T−t)≥St−K,(5.7)C_E(S_t,t) \ge S_t - K\mathrm{e}^{-r(T-t)} \ge S_t - K, \tag{5.7}
โดยอสมการแรกมาจากการเปรียบเทียบพอร์ต “ถือออปชันซื้อกับเงินสด Ke−r(T−t)K\mathrm{e}^{-r(T-t)}” เทียบกับ “ถือหุ้นหนึ่งหน่วย” (Merton 1973) และอสมการที่สองมาจาก r≥0r\ge 0 ทำให้ Ke−r(T−t)≤KK\mathrm{e}^{-r(T-t)}\le K. เนื่องจาก CE≥0C_E\ge 0 ด้วยเสมอ จึงสรุปได้ว่า CE(S,s)≥(S−K)+C_E(S,s) \ge (S-K)^+ สำหรับทุก s∈[t,T]s\in[t,T].

พิจารณาเวลาหยุด τ∈T[t,T]\tau\in\mathcal{T}_{[t,T]} ใด ๆ นำอสมการข้างต้น ณ เวลา τ\tau มาใช้ได้ (Sτ−K)+≤CE(Sτ,τ)(S_\tau-K)^+ \le C_E(S_\tau,\tau) และเนื่องจากกระบวนการราคายุโรปที่คิดลด e−rsCE(Ss,s)\mathrm{e}^{-rs}C_E(S_s,s) เป็นมาร์ทิงเกลภายใต้ Q\mathbb{Q} (เพราะเป็นค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของผลตอบแทนคิดลดที่ตายตัว) ทฤษฎีบทการสุ่มหยุดเหมาะสม (optional sampling) ให้

EQ[e−r(τ−t)(Sτ−K)+ ∣ Ft]  ≤  EQ[e−r(τ−t)CE(Sτ,τ) ∣ Ft]  =  CE(St,t).\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\big[\mathrm{e}^{-r(\tau-t)}(S_\tau-K)^+ \,\big|\, \mathcal{F}_t\big] \;\le\; \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\big[\mathrm{e}^{-r(\tau-t)}C_E(S_\tau,\tau) \,\big|\, \mathcal{F}_t\big] \;=\; C_E(S_t,t).
จับซูพรีมัมทางซ้ายเหนือทุก τ∈T[t,T]\tau\in\mathcal{T}_{[t,T]} ได้ CA≤CEC_A \le C_E รวมกับ CA≥CEC_A \ge C_E จากบทตั้ง 29 สรุป CA=CEC_A = C_E กล่าวคือส่วนเพิ่มของการใช้สิทธิล่วงหน้าเป็นศูนย์ และการใช้สิทธิก่อนกำหนดไม่เคยให้มูลค่าสูงกว่าการถือจนครบกำหนด (อสมการเคร่งเมื่อ r>0r>0 และ t<Tt<T). ◻

Remark 31. สำหรับออปชันขายแบบอเมริกัน ผลลัพธ์ต่างออกไป เพราะขอบเขตล่าง PE≥Ke−r(T−t)−StP_E \ge K\mathrm{e}^{-r(T-t)} - S_t อาจต่ำกว่ามูลค่าการใช้สิทธิทันที K−StK - S_t เมื่อออปชันอยู่ในเงินลึก ทำให้การใช้สิทธิก่อนกำหนดอาจเหมาะสม จึงเกิดส่วนเพิ่ม PA>PEP_A > P_E อย่างแท้จริง และเป็นเหตุผลที่ต้องอาศัยวิธีเชิงต้นไม้หรือวิธีประมาณเชิงวิเคราะห์ในบท American Approximations สำหรับกรณีนี้.

บทสรุป (Conclusion)

บทความนี้ได้ทบทวนพัฒนาการของแบบจำลองการกำหนดราคาออปชันอย่างเป็นระบบ เริ่มจากแบบจำลองบาเชอลิเยที่รองรับราคาติดลบ ไปสู่แบล็ก-โชลส์-เมอร์ตันและแบล็ก-76 สำหรับสัญญาที่ต่างชนิดกัน ในส่วนของออปชันแบบอเมริกันเราได้แสดงแบบจำลองเชิงต้นไม้ทั้งทวินามและไตรนามพร้อมบทพิสูจน์การลู่เข้าสู่แบล็ก-โชลส์ด้วยทฤษฎีบทลิมิตกลาง และยืนยันอัตราการลู่เข้าเชิงคำนวณ ตลอดจนวิธีประมาณเชิงวิเคราะห์ของบาโรเน-อาเดซี-เวลีย์และบเยิร์กซุนด์-สเตนสลันด์ สุดท้ายเราได้ร้อยเรียงแบบจำลองเหล่านี้เข้ากับเครื่องมือเชิงทฤษฎีคือสูตรไฟย์นมัน-แคตซ์และฟังก์ชันกรีน ซึ่งแสดงความเท่าเทียมกันระหว่างมุมมองเชิงความน่าจะเป็นและเชิงสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย พร้อมทั้งพิสูจน์ความสัมพันธ์ไร้การเก็งกำไรระหว่างออปชันแบบยุโรปและอเมริกัน

Amin, Kaushik, and Ajay Khanna. 1994. “Convergence of American Option Values from Discrete- to Continuous-Time Financial Models.” Mathematical Finance 4 (4): 289–304. https://doi.org/10.1111/j.1467-9965.1994.tb00059.x.

Bachelier, Louis. 1900. “Théorie de La Spéculation.” Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure 17: 21–86. https://doi.org/10.24033/asens.476.

Barone-Adesi, Giovanni, and Robert E. Whaley. 1987. “Efficient Analytic Approximation of American Option Values.” The Journal of Finance 42 (2): 301–20. https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1987.tb02569.x.

Bjerksund, Petter, and Gunnar Stensland. 1993. “Closed-Form Approximation of American Options.” Scandinavian Journal of Management 9: S87–99. https://doi.org/10.1016/0956-5221(93)90009-H.

Black, Fischer. 1976. “The Pricing of Commodity Contracts.” Journal of Financial Economics 3 (1–2): 167–79. https://doi.org/10.1016/0304-405X(76)90024-6.

Black, Fischer, and Myron Scholes. 1973. “The Pricing of Options and Corporate Liabilities.” Journal of Political Economy 81 (3): 637–54. https://doi.org/10.1086/260062.

Boyle, Phelim P. 1986. “Option Valuation Using a Three-Jump Process.” International Options Journal 3: 7–12.

CME Group. 2020a. Advisory Notice #20-152: CME Clearing Plan to Address the Potential of a Negative Underlying in Certain Energy Options Contracts. CME Group Advisory.

CME Group. 2020b. Advisory Notice #20-171: Switch to Bachelier Options Pricing Model – Effective April 22, 2020. CME Group Advisory.

Cox, John C., Stephen A. Ross, and Mark Rubinstein. 1979. “Option Pricing: A Simplified Approach.” Journal of Financial Economics 7 (3): 229–63. https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1.

Feynman, Richard P. 1948. “Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics.” Reviews of Modern Physics 20 (2): 367–87. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.20.367.

Hull, John C. 2018. Options, Futures, and Other Derivatives. 10th ed. Pearson.

Kac, Mark. 1949. “On Distributions of Certain Wiener Functionals.” Transactions of the American Mathematical Society 65 (1): 1–13. https://doi.org/10.2307/1990512.

Karatzas, Ioannis, and Steven E. Shreve. 1991. Brownian Motion and Stochastic Calculus. 2nd ed. Vol. 113. Graduate Texts in Mathematics. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0949-2.

Merton, Robert C. 1973. “Theory of Rational Option Pricing.” The Bell Journal of Economics and Management Science 4 (1): 141–83. https://doi.org/10.2307/3003143.

Shreve, Steven E. 2004. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Finance. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4296-1.

ผู้เขียนต้นฉบับ · QuantCorner

Triphop Mahithitarmmatorn

ผู้เขียนบทความ “แบบจำลองการกำหนดราคาออปชัน: จากบาเชอลิเยถึงการประมาณค่าออปชันแบบอเมริกัน” ซึ่งเป็นต้นฉบับของซีรีส์นี้

อ่านบทนี้แล้วอยากเรียนรู้ต่อ? ติดตามผู้เขียนและ QuantCorner ได้ที่นี่

Option Pricing Modelsโดย Triphop Mahithitarmmatorn

ค้นหาในสมุดบันทึก

ปิด
คำค้นหา

© 2023 by QuantCorner, Thailand.

bottom of page