Option Pricing Modelsพิมพ์หน้านี้
American Approximations
ประมาณมูลค่าของสิทธิใช้ก่อนครบกำหนดด้วย European value และ Early Exercise Premium
สูตรขอบเขตการใช้สิทธิในบทนี้พิจารณา Call ที่ S,K,σ,τ>0S,K,\sigma,\tau>0S,K,σ,τ>0, r>0r>0r>0 และ b<rb<rb<r หาก b≥rb\ge rb≥r ภายใต้ r≥0r\ge0r≥0 จะไม่มีประโยชน์จากการใช้ Call ก่อนกำหนด จึงใช้ CA=cC^A=cCA=c และไม่แทนค่าลงสูตรขอบเขตที่มีตัวหาร r−br-br−b โดยตรง สำหรับ BAW ที่ r=0r=0r=0 ต้องใช้ลิมิต M/k→2/(σ2τ)M/k\to2/(\sigma^2\tau)M/k→2/(σ2τ) แทนการหาร 0/00/00/0; สูตรขอบเขต Bjerksund–Stensland ที่แสดงด้านล่างจำกัดไว้ที่เงื่อนไขข้างต้น
การประมาณของบาโรเน-อาเดซี-เวลีย์ (Barone-Adesi-Whaley, 1987)
วิธีบาโรเน-อาเดซี-เวลีย์ เสนอโดย โจวานนี บาโรเน-อาเดซี (Giovanni Barone-Adesi) และ โรเบิร์ต เวลีย์ (Robert E. Whaley) (Barone-Adesi and Whaley 1987) เพื่อแก้ปัญหาที่การคำนวณเชิงต้นไม้ใช้เวลานาน แนวคิดหลักคือมูลค่าออปชันอเมริกันเท่ากับมูลค่าออปชันยุโรปบวกกับส่วนเพิ่มของการใช้สิทธิล่วงหน้า (Early Exercise Premium) จากนั้นใช้การประมาณเชิงวิเคราะห์ (analytical approximation) แบบกำลังสอง (quadratic approximation) โดยแปลงสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ordinary differential equation, ODE) แบบออยเลอร์ (Euler equation) แล้วหาผลเฉลย
ให้ ε(S,τ)=VA(S,τ)−VE(S,τ)\varepsilon(S,\tau) = V^{A}(S,\tau) - V^{E}(S,\tau)ε(S,τ)=VA(S,τ)−VE(S,τ) เป็นส่วนเพิ่มของการใช้สิทธิล่วงหน้า โดย τ=T−t\tau = T-tτ=T−t และให้ bbb เป็นต้นทุนการถือครอง ในบริเวณที่ยังไม่ใช้สิทธิ (continuation region) ทั้ง VAV^{A}VA และ VEV^{E}VE สอดคล้องกับ PDE แบล็ก-โชลส์เวอร์ชันทั่วไป
12σ2S2εSS+bS εS−rε−ετ=0,(4.1)\frac12\sigma^2 S^2 \varepsilon_{SS} + bS\,\varepsilon_S - r\varepsilon - \varepsilon_\tau = 0,
\tag{4.1}21σ2S2εSS+bSεS−rε−ετ=0,(4.1)
ε\varepsilonε ก็สอดคล้องกับ PDE เดียวกัน กำหนด
M=2r/σ2M = 2r/\sigma^2M=2r/σ2,
N=2b/σ2\mathcal{N} = 2b/\sigma^2N=2b/σ2 และ
k(τ)=1−e−rτk(\tau) = 1-\mathrm{e}^{-r\tau}k(τ)=1−e−rτ (เราใช้อักษร
kkk ตัวเล็กเพื่อไม่ให้สับสนกับราคาใช้สิทธิ
KKK) แล้วเขียน
ε=k(τ) g(S,k)\varepsilon = k(\tau)\,g(S,k)ε=k(τ)g(S,k) ตามข้อเสนอของแมกมิลลัน (MacMillan)
Proposition 17 (สมการกำลังสองของ BAW). เมื่อประมาณโดยละเลยพจน์ M(1−k) ∂g/∂kM(1-k)\,\partial g/\partial kM(1−k)∂g/∂k ฟังก์ชัน ggg สอดคล้องกับ ODE แบบออยเลอร์ S2gSS+NS gS−Mk g=0,(4.2)S^2 g_{SS} + \mathcal{N} S\,g_S - \frac{M}{k}\,g = 0,
\tag{4.2}S2gSS+NSgS−kMg=0,(4.2)
ซึ่งมีผลเฉลยรูป g=Sqg = S^{q}g=Sq โดย qqq เป็นรากของสมการกำลังสองลักษณะเฉพาะ (characteristic quadratic) q2+(N−1)q−Mk=0,q2=−(N−1)+(N−1)2+4M/k2.(4.3)q^2 + (\mathcal{N}-1)q - \frac{M}{k} = 0,
\qquad
q_2 = \frac{-(\mathcal{N}-1) + \sqrt{(\mathcal{N}-1)^2 + 4M/k}}{2}.
\tag{4.3}q2+(N−1)q−kM=0,q2=2−(N−1)+(N−1)2+4M/k.(4.3)
Proof. แทน ε=k(τ)g(S,k)\varepsilon = k(\tau)g(S,k)ε=k(τ)g(S,k) ลงใน (4.1) โดยใช้กฎลูกโซ่ ετ=k′g+k gk k′\varepsilon_\tau = k'g + k\,g_k\,k'ετ=k′g+kgkk′ และ k′(τ)=re−rτ=r(1−k)k'(\tau) = r\mathrm{e}^{-r\tau} = r(1-k)k′(τ)=re−rτ=r(1−k) ดังนั้น ετ=r(1−k)(g+k gk)\varepsilon_\tau = r(1-k)\big(g + k\,g_k\big)ετ=r(1−k)(g+kgk). หารตลอดด้วย 12σ2k\tfrac12\sigma^2 k21σ2k และใช้ M,NM,\mathcal{N}M,N ที่นิยามไว้ พร้อมรวมพจน์ −Mg−Mk(1−k)g=−Mkg-Mg - \frac{M}{k}(1-k)g = -\frac{M}{k}g−Mg−kM(1−k)g=−kMg ได้
S2gSS+NSgS−Mkg−M(1−k) gk=0.S^2 g_{SS} + \mathcal{N}S g_S - \frac{M}{k}g - M(1-k)\,g_k = 0.S2gSS+NSgS−kMg−M(1−k)gk=0.
การประมาณกำลังสองของ BAW คือละพจน์
M(1−k)gkM(1-k)g_kM(1−k)gk ซึ่งสมเหตุสมผลในสองขีดจำกัด: เมื่อ
τ→∞\tau\to\inftyτ→∞ ตัวประกอบ
(1−k)=e−rτ→0(1-k)=\mathrm{e}^{-r\tau}\to 0(1−k)=e−rτ→0 และเมื่อ
τ→0\tau\to 0τ→0 ส่วนเพิ่มของการใช้สิทธิล่วงหน้า
ε\varepsilonε เองมีค่าเล็กมากจนความคลาดเคลื่อนจากการละพจน์นี้ไม่ส่งผลต่อราคาอย่างมีนัยสำคัญ เหลือ
(4.2). เนื่องจากเป็นสมการออยเลอร์ ลองผลเฉลย
g=Sqg=S^qg=Sq แทนแล้วได้
q(q−1)+Nq−M/k=0q(q-1)+\mathcal{N}q - M/k = 0q(q−1)+Nq−M/k=0 ซึ่งจัดรูปเป็น
(4.3). เลือกรากบวก
q2q_2q2 สำหรับออปชันซื้อเพื่อให้ส่วนเพิ่ม
ε\varepsilonε ลู่เข้าสู่ศูนย์เมื่อ
S→0S\to0S→0. ◻
Theorem 18 (สูตรประมาณ BAW สำหรับออปชันซื้อแบบอเมริกัน). ราคาออปชันซื้อแบบอเมริกันประมาณได้ด้วย CA(S)≈{c(S)+A2(SS∗)q2,S<S∗,S−K,S≥S∗,(4.4)C^{A}(S) \approx
\begin{cases}
c(S) + A_2\left(\dfrac{S}{S^\ast}\right)^{q_2}, & S < S^\ast,\\[2ex]
S - K, & S \ge S^\ast,
\end{cases}
\tag{4.4}CA(S)≈⎩⎨⎧c(S)+A2(S∗S)q2,S−K,S<S∗,S≥S∗,(4.4)
โดย c(S)c(S)c(S) คือราคาออปชันซื้อแบบยุโรป (แบล็ก-โชลส์/แบล็ก-76 ตามค่า bbb) ราคาวิกฤต S∗S^\astS∗ (critical exercise price) เป็นผลเฉลยของเงื่อนไขการเชื่อมต่อแบบราบรื่น (value-matching และ smooth-pasting) S∗−K=c(S∗)+S∗q2(1−e(b−r)τΦ(d1(S∗))),(4.5)S^\ast - K = c(S^\ast) + \frac{S^\ast}{q_2}\Big(1 - \mathrm{e}^{(b-r)\tau}\Phi(d_1(S^\ast))\Big),
\tag{4.5}S∗−K=c(S∗)+q2S∗(1−e(b−r)τΦ(d1(S∗))),(4.5)
และ A2=S∗q2(1−e(b−r)τΦ(d1(S∗)))A_2 = \dfrac{S^\ast}{q_2}\big(1 - \mathrm{e}^{(b-r)\tau}\Phi(d_1(S^\ast))\big)A2=q2S∗(1−e(b−r)τΦ(d1(S∗))) โดยที่ d1d_1d1 ในที่นี้ใช้รูปทั่วไปที่มีต้นทุนการถือครอง bbb คือ d1(S)=[ln(S/K)+(b+12σ2)τ]/(στ)d_1(S) = \big[\ln(S/K)+(b+\tfrac12\sigma^2)\tau\big]\big/\big(\sigma\sqrt{\tau}\big)d1(S)=[ln(S/K)+(b+21σ2)τ]/(στ) (ลดรูปเป็น (2.5) เมื่อ b=rb=rb=r และเป็น (2.8) เมื่อ b=0b=0b=0).
แนวพิสูจน์. ที่ราคาใต้จุดวิกฤต (S<S∗S<S^\astS<S∗) ยังไม่ใช้สิทธิ มูลค่าเท่ากับออปชันยุโรปบวกส่วนเพิ่ม ε=A2(S/S∗)q2\varepsilon = A_2 (S/S^\ast)^{q_2}ε=A2(S/S∗)q2 ที่ราคาเหนือหรือเท่ากับ S∗S^\astS∗ ใช้สิทธิทันทีจึงได้ S−KS-KS−K. ค่าคงตัว A2A_2A2 และราคาวิกฤต S∗S^\astS∗ กำหนดจากเงื่อนไขสองข้อ ณ S=S∗S=S^\astS=S∗: (i) value-matching c(S∗)+A2=S∗−Kc(S^\ast)+A_2 = S^\ast - Kc(S∗)+A2=S∗−K และ (ii) smooth-pasting คือความชันเท่ากันสองข้าง c′(S∗)+q2A2/S∗=1c'(S^\ast) + q_2 A_2/S^\ast = 1c′(S∗)+q2A2/S∗=1. ใช้ c′(S∗)=e(b−r)τΦ(d1(S∗))c'(S^\ast) = \mathrm{e}^{(b-r)\tau}\Phi(d_1(S^\ast))c′(S∗)=e(b−r)τΦ(d1(S∗)) (เดลตาของออปชันยุโรป) แก้ (ii) หา A2A_2A2 แล้วแทนใน (i) ได้ (4.5) ซึ่งแก้เชิงตัวเลข (เช่น นิวตัน-ราฟสัน) เพื่อหา S∗S^\astS∗. ◻
Remark 19. กรณีออปชันขายแบบอเมริกันใช้รากลบ q1=12[−(N−1)−(N−1)2+4M/k]q_1 = \tfrac12\big[-(\mathcal{N}-1)-\sqrt{(\mathcal{N}-1)^2+4M/k}\big]q1=21[−(N−1)−(N−1)2+4M/k] และส่วนเพิ่ม A1(S/S∗∗)q1A_1(S/S^{\ast\ast})^{q_1}A1(S/S∗∗)q1 โดยมีเงื่อนไขขอบเขตในลักษณะคู่ขนาน.
การประมาณของบเยิร์กซุนด์-สเตนสลันด์ (Bjerksund-Stensland, 1993)
วิธีบเยิร์กซุนด์-สเตนสลันด์ ถูกเสนอโดย เพตเตอร์ บเยิร์กซุนด์ (Petter Bjerksund) และ กุนนาร์ สเตนสลันด์ (Gunnar Stensland) (Bjerksund and Stensland 1993) แนวคิดหลักคือแทนขอบเขตการใช้สิทธิที่แท้จริง (ซึ่งขึ้นกับเวลา) ด้วย ขอบเขตแบน (flat exercise boundary) ที่เป็นราคากระตุ้นคงที่ XXX (trigger price) เพียงค่าเดียว วิธีนี้ให้สูตรปิดโดยประมาณที่คำนวณเร็วมากและมีความแม่นยำใกล้เคียงกับ BAW
Theorem 20 (สูตรปิดโดยประมาณของบเยิร์กซุนด์-สเตนสลันด์). กำหนดค่าคงที่ β=(12−bσ2)+(bσ2−12)2+2rσ2,(4.6)\beta = \Big(\tfrac12 - \tfrac{b}{\sigma^2}\Big) + \sqrt{\Big(\tfrac{b}{\sigma^2}-\tfrac12\Big)^2 + \tfrac{2r}{\sigma^2}},
\tag{4.6}β=(21−σ2b)+(σ2b−21)2+σ22r,(4.6)
ราคากระตุ้น XXX และค่าคงตัว α\alphaα B∞=ββ−1K,B0=max (K, rr−bK),X=B0+(B∞−B0)(1−eh(τ)),α=(X−K)X−β,(4.7)B_\infty = \frac{\beta}{\beta-1}K,\quad
B_0 = \max\!\Big(K,\ \tfrac{r}{r-b}K\Big),\quad
X = B_0 + (B_\infty-B_0)\big(1-\mathrm{e}^{h(\tau)}\big),\quad
\alpha = (X-K)X^{-\beta},
\tag{4.7}B∞=β−1βK,B0=max(K, r−brK),X=B0+(B∞−B0)(1−eh(τ)),α=(X−K)X−β,(4.7)
โดย h(τ)=−(bτ+2στ)B0B∞−B0h(\tau) = -\big(b\tau + 2\sigma\sqrt{\tau}\big)\dfrac{B_0}{B_\infty-B_0}h(τ)=−(bτ+2στ)B∞−B0B0 ราคาออปชันซื้อแบบอเมริกันสำหรับกรณี S<XS<XS<X ประมาณได้ด้วย CA(S)≈αSβ−α ϕ(S,τ;β,X,X)+ϕ(S,τ;1,X,X)−ϕ(S,τ;1,K,X)−K ϕ(S,τ;0,X,X)+K ϕ(S,τ;0,K,X),(4.8)\begin{aligned}
C^{A}(S) \approx \alpha S^{\beta}
- \alpha\,\phi(S,\tau;\beta,X,X)
+ \phi(S,\tau;1,X,X)\\
{}- \phi(S,\tau;1,K,X)
- K\,\phi(S,\tau;0,X,X)
+ K\,\phi(S,\tau;0,K,X),
\end{aligned}\tag{4.8}CA(S)≈αSβ−αϕ(S,τ;β,X,X)+ϕ(S,τ;1,X,X)−ϕ(S,τ;1,K,X)−Kϕ(S,τ;0,X,X)+Kϕ(S,τ;0,K,X),(4.8)
ส่วนกรณี S≥XS\ge XS≥X ใช้สิทธิทันทีได้ CA(S)=S−KC^{A}(S)=S-KCA(S)=S−K. ฟังก์ชันช่วย ϕ\phiϕ นิยามเป็น ϕ(S,τ;γ,H,X)=eλτSγ[Φ(d)−(XS)κΦ (d−2ln(X/S)στ)],(4.9)\phi(S,\tau;\gamma,H,X) = \mathrm{e}^{\lambda\tau}S^{\gamma}\Big[\Phi(d) - \Big(\tfrac{X}{S}\Big)^{\kappa}\Phi\!\Big(d - \tfrac{2\ln(X/S)}{\sigma\sqrt{\tau}}\Big)\Big],
\tag{4.9}ϕ(S,τ;γ,H,X)=eλτSγ[Φ(d)−(SX)κΦ(d−στ2ln(X/S))],(4.9)
และ λ=−r+γb+12γ(γ−1)σ2,d=−ln(S/H)+(b+(γ−12)σ2)τστ,κ=2bσ2+(2γ−1).(4.10)\lambda = -r + \gamma b + \tfrac12\gamma(\gamma-1)\sigma^2,\quad
d = -\frac{\ln(S/H) + \big(b+(\gamma-\tfrac12)\sigma^2\big)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}},\quad
\kappa = \frac{2b}{\sigma^2} + (2\gamma-1).
\tag{4.10}λ=−r+γb+21γ(γ−1)σ2,d=−στln(S/H)+(b+(γ−21)σ2)τ,κ=σ22b+(2γ−1).(4.10)
แนวพิสูจน์. กำหนดกลยุทธ์การใช้สิทธิแบบง่าย: ใช้สิทธิทันทีที่ SSS แตะราคากระตุ้นคงที่ X≥KX\ge KX≥K เป็นครั้งแรก มูลค่าของกลยุทธ์นี้เป็นขอบเขตล่างของราคาออปชันอเมริกันที่แท้จริง (เพราะเป็นเวลาหยุดที่ยอมรับได้แต่ไม่จำเป็นต้องเหมาะสมที่สุด) ฟังก์ชัน ϕ(S,τ;γ,H,X)\phi(S,\tau;\gamma,H,X)ϕ(S,τ;γ,H,X) คือค่าคาดหวังคิดลดของ Sτγ1{Sτ<H}S_\tau^{\gamma}\mathbf{1}_{\{S_\tau<H\}}Sτγ1{Sτ<H} ภายใต้เงื่อนไขว่าราคายังไม่เคยแตะ XXX ตลอดช่วง ซึ่งคำนวณได้ในรูปปิดโดยหลักการสะท้อน (reflection principle) ของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ที่มีอุปสรรค (barrier) พจน์ αSβ\alpha S^\betaαSβ แทนมูลค่าเมื่อราคาแตะขอบเขต ส่วนพจน์ ϕ\phiϕ ที่เหลือปรับแก้ผลตอบแทนภายในบริเวณต่อเนื่อง เมื่อรวมเข้าด้วยกันตามโครงสร้าง (4.8) จะได้ราคาประมาณ ราคากระตุ้น XXX ถูกเลือกให้เหมาะสมโดยประมาณผ่าน (4.7) ซึ่งสอดแทรกระหว่างค่าขอบเขตทันที B0B_0B0 กับค่าขอบเขตเมื่อ τ→∞\tau\to\inftyτ→∞ คือ B∞B_\inftyB∞. ◻
Remark 21. บเยิร์กซุนด์และสเตนสลันด์ปรับปรุงวิธีนี้ในปี ค.ศ. 2002 โดยใช้ขอบเขตแบนสองช่วง (two-step flat boundary) เพื่อเพิ่มความแม่นยำ แต่โครงสร้างเชิงทฤษฎีของฟังก์ชัน ϕ\phiϕ ยังคงเดิม.
