Foundations & Bachelier

เริ่มจากความต่างระหว่างสิทธิแบบยุโรปกับอเมริกัน แล้ววางฐานการกำหนดราคาแบบ Risk-neutral ก่อนเข้าสู่แบบจำลอง Bachelier

บทนำ (Introduction)

การพิจารณาอนุพันธ์ทางการเงิน (financial derivatives) มีรายละเอียดหลายอย่างนอกเหนือจากพื้นผิวความผันผวน (volatility surface) สิ่งสำคัญก่อนจะสร้างพื้นผิวดังกล่าวได้คือเราจำเป็นต้องทราบแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม เนื่องจากอนุพันธ์ถูกประยุกต์ในหลากหลายกรณี ผู้ใช้จึงมีโอกาสสับสนในการเลือกแบบจำลอง รวมถึงรายละเอียดของลักษณะออปชันซึ่งแบ่งได้เป็นสองประเภทหลัก ได้แก่ ออปชันแบบยุโรป (European option) ที่ใช้สิทธิได้เฉพาะ ณ วันครบกำหนด และออปชันแบบอเมริกัน (American option) ที่ใช้สิทธิได้ทุกเวลาก่อนหรือ ณ วันครบกำหนด โดยทั่วไปมูลค่าออปชันแบบอเมริกันไม่มีรูปแบบปิด (closed-form) ทำให้การคำนวณโดยไม่ใช้คอมพิวเตอร์เป็นเรื่องยาก อย่างไรก็ตามมีความพยายามประมาณมูลค่าออปชันแบบอเมริกันจากออปชันแบบยุโรปที่บวกด้วยส่วนเพิ่มของการใช้สิทธิล่วงหน้า (Early Exercise Premium) ก่อนจะไปถึงจุดนั้นเราจะแสดงภาพรวมความเป็นมาของแบบจำลองตามลำดับเวลา

Definition 1 (ออปชันและฟังก์ชันผลตอบแทน). ให้ $S_t$ แทนราคาสินทรัพย์อ้างอิง ณ เวลา $t$ ออปชันซื้อ (call) และออปชันขาย (put) ที่มีราคาใช้สิทธิ (strike) $K$ และวันครบกำหนด $T$ มีฟังก์ชันผลตอบแทน ณ เวลาครบกำหนดเท่ากับ

โดยที่ $(x{)}^{+}=\max (x,0)$. ออปชันแบบยุโรปให้สิทธิใช้ ณ เวลา $T$ เท่านั้น ส่วนออปชันแบบอเมริกันให้สิทธิใช้ ณ เวลาหยุด (stopping time) $\tau \in [t,T]$ ใด ๆ.

ภายใต้กรอบการกำหนดราคาแบบไร้การเก็งกำไร (no-arbitrage) มูลค่าของออปชันแบบยุโรป ณ เวลา $t$ เท่ากับค่าคาดหวังของผลตอบแทนที่คิดลด ภายใต้มาตรวัดความน่าจะเป็นเชิงกลาง-ความเสี่ยง (risk-neutral measure) $\mathbb{Q}$

ในขณะที่ออปชันแบบอเมริกันเป็นปัญหาการหยุดเหมาะสม (optimal stopping) โดย ${\mathcal{T}}_{[t,T]}$ คือเซตของเวลาหยุดที่รับค่าในช่วง $[t,T]$. โครงสร้างที่เหลือของบทความจัดเรียงตามพัฒนาการทางประวัติศาสตร์ของแบบจำลอง เริ่มจากแบบจำลองบาเชอลิเยในหัวข้อถัดไป ผู้อ่านที่ต้องการภูมิหลังเชิงปฏิบัติเพิ่มเติมสามารถศึกษาได้จาก (Hull 2018).

แบบจำลองบาเชอลิเย (Bachelier Model, 1900)

แบบจำลองแรกเริ่มถูกเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส หลุยส์ บาเชอลิเย (Louis Bachelier) ในวิทยานิพนธ์ปี ค.ศ. 1900 (Bachelier 1900) โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อพิจารณาพฤติกรรมของราคาสินทรัพย์ที่เปลี่ยนแปลงไป บาเชอลิเยเสนอให้ใช้สมมติฐานการเคลื่อนที่แบบบราวน์ (Brownian Motion) และสมมติว่าราคาสินทรัพย์มีการกระจายตัวแบบปกติ (Normal Distribution) ผลพลอยได้ประการหนึ่งของข้อสมมตินี้คือราคาสินทรัพย์สามารถมีค่าติดลบได้ ซึ่งในยุคหลังเคยถูกมองว่าเป็นจุดอ่อนของแบบจำลอง แต่กลับกลายเป็นคุณสมบัติที่จำเป็นในบางสถานการณ์ดังจะกล่าวถึงด้านล่าง งานของบาเชอลิเยเป็นพื้นฐานของการศึกษาแบบจำลองที่อธิบายพฤติกรรมของกระบวนการสุ่ม เมื่อสังเกตราคาสินทรัพย์ที่เคลื่อนที่แบบสุ่มเชิงเลขคณิต (Arithmetic Brownian Motion, ABM) แม้แบบจำลองนี้จะถูกเสนอตั้งแต่ปี ค.ศ. 1900 แต่ก็ถูกนำกลับมาใช้อีกครั้งในช่วงวิกฤตโควิด-19 (Covid-19) เมื่อเกิดเหตุการณ์ราคาน้ำมันดิบติดลบ จนกระทั่ง CME ได้ออกประกาศ CME Advisory #20-152 (วันที่ 8 เมษายน 2020) และ #20-171 (วันที่ 21 เมษายน 2020) (CME Group 2020a, 2020b) เพื่อเปลี่ยนกลับมาใช้แบบจำลองบาเชอลิเยสำหรับการกำหนดราคาออปชันบนสัญญาที่ราคาอ้างอิงอาจติดลบได้

Assumption 2 (พลวัตแบบ ABM). ให้ $F_t$ เป็นราคาฟอร์เวิร์ดของสินทรัพย์ที่ครบกำหนด ณ $T$ ภายใต้มาตรวัดเชิงกลาง-ความเสี่ยงและอัตราดอกเบี้ยคงที่ โดยเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์สโทแคสติก (Stochastic Differential Equation, SDE)

โดย ${\sigma }_N>0$ คือความผันผวนแบบปกติ (normal volatility) และ $W_t$ คือกระบวนการเวียนเนอร์มาตรฐาน ดังนั้น $F_T=F_0+{\sigma }_N{W}_T$ มีการกระจายตัว $\mathcal{N}(F_0,{\sigma }_N^{2}T)$.

Theorem 3 (สูตรราคาออปชันบาเชอลิเย). ภายใต้สมมติฐาน 2 และอัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยงคงที่ $r$ ราคาออปชันซื้อแบบยุโรปที่มีราคาใช้สิทธิ $K$ และครบกำหนด $T$ เท่ากับ

โดย $\Phi$ และ $\phi$ คือฟังก์ชันการแจกแจงสะสมและฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงปกติมาตรฐานตามลำดับ.

Proof. จาก (1.2) เขียน $F_T=F_0+{\sigma }_N\sqrt{T}Z$ โดย $Z\sim \mathcal{N}(0,1)$ ดังนั้น

ผลตอบแทนเป็นบวกก็ต่อเมื่อ $Z>-d$ โดย $d=(F_0-K)/({\sigma }_N\sqrt{T})$ จึงได้ เทอมแรกเท่ากับ $(F_0-K)\Phi (d)$ เนื่องจากความสมมาตร $1-\Phi (-d)=\Phi (d)$. สำหรับเทอมที่สองใช้เอกลักษณ์ $\int z\phi (z)\mathrm{d}z=-\phi (z)$ เพราะ ${\phi }^{\prime }(z)=-z\phi (z)$ ดังนั้น โดยใช้ความเป็นฟังก์ชันคู่ $\phi (-d)=\phi (d)$. รวมทั้งสองเทอมและคูณด้วยตัวประกอบคิดลด ${\mathrm{e}}^{-rT}$ ได้ (1.5) ตามต้องการ. ◻

Remark 4. คุณสมบัติเด่นของ (1.5) คือมูลค่ายังคงนิยามได้แม้ $F_0<0$ หรือ $K<0$ ซึ่งเป็นเหตุผลที่ CME เลือกใช้แบบจำลองนี้ในช่วงราคาน้ำมันติดลบ ต่างจากแบบจำลองแบล็ก-โชลส์ที่ต้องการ $\ln (F_0/K)$ และจึงไม่นิยามเมื่อราคาติดลบ.

Payoff และกำไรขาดทุน

Normal กับ Lognormal

ผู้เขียนต้นฉบับ · QuantCorner

Triphop Mahithitarmmatorn

ผู้เขียนบทความ “แบบจำลองการกำหนดราคาออปชัน: จากบาเชอลิเยถึงการประมาณค่าออปชันแบบอเมริกัน” ซึ่งเป็นต้นฉบับของซีรีส์นี้

อ่านบทนี้แล้วอยากเรียนรู้ต่อ? ติดตามผู้เขียนและ QuantCorner ได้ที่นี่