top of page
Calendar Spread under VRPสารบัญ
Calendar Spread under VRPพิมพ์หน้านี้

BSM & Risk-neutral

วางฐานการกำหนดราคาออปชันก่อนใช้ค่ากรีกวิเคราะห์ Calendar Spread

บทนำ (Introduction)

ตลาดอนุพันธ์ (derivatives market) มีปัจจัยหลายด้านที่ส่งผลต่อราคาออปชัน (option pricing) กลยุทธ์ Calendar Spread ใช้ความแตกต่างของการเสื่อมมูลค่าเวลา (time value) และความผันผวนแฝง (implied volatility หรือ IV) ระหว่างสัญญาออปชันที่มีวันหมดอายุต่างกัน ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับเส้นทางราคา การเปลี่ยนแปลง IV ของแต่ละขา และต้นทุนการซื้อขาย ไม่ใช่ผลตอบแทนที่สม่ำเสมอโดยอัตโนมัติ (Options Industry Council).

ปัจจัยสำคัญที่นักลงทุนใช้ในการบริหารความเสี่ยงและประเมินสภาวะของพอร์ตโฟลิโอคือค่ากรีกซึ่งใช้วัดความไวของราคาออปชั่นต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรต่าง ๆ ได้แก่ ราคาสินทรัพย์อ้างอิง (underlying price) ความผันผวน (volatility) เวลาที่เหลือถึงวันหมดอายุ (time to expiration) และอัตราดอกเบี้ย (interest rate) การเข้าใจค่ากรีกช่วยให้ผู้ลงทุนสามารถเลือกช่วงเวลาการทำกลยุทธ์ได้อย่างเหมาะสม (Hull 2018).

บทเรียนนี้ใช้คำว่า Volatility Risk Premium (VRP) อย่างง่ายสำหรับส่วนต่าง IV−RVIV-RV โดย IV คือความผันผวนที่สะท้อนในราคาออปชัน และ RV คือความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงในช่วงที่พิจารณา ควรเทียบทั้งสองค่าด้วยช่วงเวลาและหน่วยรายปีเดียวกัน นิยามนี้ต่างจาก variance risk premium ซึ่งใช้อัตราความแปรปรวน เช่นในงาน Carr and Wu (2009) เมื่อ RV สูงกว่า IV ส่วนต่างของบทเรียนจะติดลบ การที่ IV พุ่งขึ้นเพียงอย่างเดียวจึงไม่ได้ทำให้ส่วนต่างกลับเครื่องหมาย.

บทความนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อ (1) อธิบายนิยามและคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของค่ากรีกแต่ละตัว (2) วิเคราะห์ปฏิสัมพันธ์ระหว่างค่ากรีกในกลยุทธ์ Calendar Spread และ (3) ระบุตัวแปรที่มีบทบาทหลักภายใต้สภาวะ VRP ที่แตกต่างกัน.

งานวิจัยที่เกี่ยวข้อง (Related Work)

แบบจำลองแบล็ก-โชลส์-เมอร์ตัน (Black-Scholes-Merton)

แบบจำลอง Black-Scholes-Merton (BSM) พัฒนาโดยแบล็ก-โชลส์ (Black and Scholes 1973) และเมอร์ตัน (Merton 1973) เป็นพื้นฐานของการกำหนดราคาออปชั่น (option pricing) สูตรราคาออปชั่น Call แบบ European มีรูปแบบดังนี้:

C=S N(d1)−Ke−rTN(d2),(1.1)C = S\,N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2), \tag{1.1}
โดยที่
d1=ln⁡(S/K)+(r+12σ2)TσT,d2=d1−σT,\begin{align*} d_1 &= \frac{\ln(S/K) + \bigl(r + \tfrac{1}{2}\sigma^2\bigr)T} {\sigma\sqrt{T}}, \tag{1.2} \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T}, \tag{1.3} \end{align*}
และ N(⋅)N(\cdot) คือฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของการแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normal CDF), SS คือราคาสินทรัพย์อ้างอิง, KK คือราคาใช้สิทธิ, TT คือระยะเวลาถึงวันหมดอายุ (ปี), rr คืออัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง และ σ\sigma คือความผันผวนของสินทรัพย์อ้างอิง.

รากฐานของแบบจำลองนี้คือสมมติฐานที่ว่าราคาสินทรัพย์อ้างอิงเคลื่อนที่ตาม กระบวนการ Geometric Brownian Motion (GBM) ซึ่งภายใต้มาตรวัดความเสี่ยงเป็นกลาง (risk-neutral measure Q\mathbb{Q}) เขียนเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก (stochastic differential equation, SDE) ได้ว่า:

dSt=r St dt+σ St dWtQ,(1.4)dS_t = r\,S_t\,dt + \sigma\,S_t\,dW_t^{\mathbb{Q}}, \tag{1.4}
โดยที่ WtQW_t^{\mathbb{Q}} คือ Brownian motion มาตรฐานภายใต้ Q\mathbb{Q}. กระบวนการนี้กำหนดให้ผลตอบแทนแบบลอการิทึม (log-return) มีการแจกแจงปกติ และเป็นที่มาของพจน์ 12σ2S2\tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 ในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบล็ก-โชลส์ที่จะกล่าวถึงต่อไป.

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบล็ก-โชลส์ (Black-Scholes Equation)

ภายใต้สมมติฐาน BSM ราคา V(S,t)V(S,t) ของออปชัน European บนสินทรัพย์ที่ไม่จ่ายเงินปันผลเป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบล็ก-โชลส์:

∂V∂t+12σ2S2∂2V∂S2+rS∂V∂S−rV=0.(1.5)\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - r V = 0. \tag{1.5}
เมื่อแทนนิยามของค่ากรีกลงใน (1.5) จะได้ความสัมพันธ์จากค่ากรีกดังนี้:
Θ+12σ2S2 Γ+rS Δ−rV=0,(1.6)\Theta + \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\,\Gamma + rS\,\Delta - rV = 0, \tag{1.6}
หรือจัดรูปเพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง Θ\Theta และ Γ\Gamma:
Θ=rV−rS Δ−12σ2S2 Γ.(1.7)\Theta = rV - rS\,\Delta - \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\,\Gamma. \tag{1.7}
สมการ (1.7) เป็นความสัมพันธ์พื้นฐานที่แสดงให้เห็นว่าสำหรับพอร์ตที่ Delta-neutral (Δ≈0\Delta \approx 0) พจน์ Θ\Theta และ Γ\Gamma มีแนวโน้มมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพจน์ rVrV มีค่าน้อย (อัตราดอกเบี้ยต่ำหรือมูลค่าออปชั่นไม่สูง):
Θ≈rV−12σ2S2 Γ,(Delta-neutral portfolio).(1.8)\Theta \approx rV - \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\,\Gamma, \quad \text{(Delta-neutral portfolio)}. \tag{1.8}
เมื่อพจน์ดอกเบี้ยและ Delta มีผลน้อย Positive Gamma จึงมาพร้อมกับ Negative Theta โดยประมาณ และในทางกลับกัน ความสัมพันธ์นี้อธิบายการแลกเปลี่ยน (trade-off) ของพอร์ตภายใต้สมมติฐานเดียวกัน แต่ไม่ใช่ข้อสรุปที่ใช้ได้ทุกพอร์ตหรือทุกโครงสร้าง IV.

สูตรกระจายแบบครบถ้วนในรูปของค่ากรีก

เมื่อกระจายสูตรแบล็ก-โชลส์แล้วจัดรูปสำหรับ Call Option ได้:

Δcall=N(d1),Γ=N′(d1)SσT,Θcall=−S N′(d1) σ2T−rKe−rTN(d2),ν=ST N′(d1),ρcall=KTe−rTN(d2),\begin{align*} \Delta_{\text{call}} &= N(d_1), \tag{1.9} \\[4pt] \Gamma &= \frac{N'(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}, \tag{1.10} \\[4pt] \Theta_{\text{call}} &= -\frac{S\,N'(d_1)\,\sigma}{2\sqrt{T}} - rKe^{-rT}N(d_2), \tag{1.11} \\[4pt] \nu &= S\sqrt{T}\,N'(d_1), \tag{1.12} \\[4pt] \rho_{\text{call}} &= KTe^{-rT}N(d_2), \tag{1.13} \end{align*}
โดยที่ N′(x)=12π e−x2/2N'(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2} คือฟังก์ชันความหนาแน่น (Probability Density Function) ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน.

บทบาทของ CDF (N)(N) เทียบกับ PDF (N′)(N') ในสูตรค่ากรีก

ในสูตรค่ากรีกข้างต้น ฟังก์ชันการแจกแจงปกติมาตรฐานปรากฏสองรูปแบบที่ทำหน้าที่ต่างกัน คือฟังก์ชันสะสม N(⋅)N(\cdot) (CDF) และฟังก์ชันความหนาแน่น n(⋅)=N′(⋅)n(\cdot) = N'(\cdot) (PDF) การแยกแยะว่าตัวใดปรากฏที่ค่ากรีกใด ช่วยให้เข้าใจความหมายเชิงสถิติของแต่ละค่า:

  • ค่ากรีกสำหรับการแจกแจงแบบสะสม (CDF) N(⋅)N(\cdot): ตัวราคาออปชั่นเอง, Δcall=N(d1)\Delta_{\text{call}} = N(d_1) และ ρcall∝N(d2)\rho_{\text{call}} \propto N(d_2) ค่าเหล่านี้ตอบคำถามเชิงความน่าจะเป็นสะสม เช่น N(d2)N(d_2) คือความน่าจะเป็นภายใต้ Q\mathbb{Q} ที่ออปชั่นจะจบในสถานะ ITM จึงมีค่าในช่วง [0,1][0,1] และอิ่มตัว (saturate) ที่ปลายทั้งสองข้าง.

  • ค่ากรีกสำหรับการแจงแจงความน่าจะเป็น (PDF) n(⋅)n(\cdot): Γ∝N′(d1)\Gamma \propto N'(d_1), ν∝N′(d1)\nu \propto N'(d_1) และพจน์หลักของ Θ\Theta ก็ ∝N′(d1)\propto N'(d_1) ค่าเหล่านี้วัด ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ณ จุดปัจจุบัน จึงสูงสุดที่ ATM (d1≈0d_1 \approx 0) และลู่เข้าสู่ศูนย์เมื่อออกห่างจาก ATM.

เหตุผลเชิงแคลคูลัสคือการหาอนุพันธ์เทียบ SS แต่ละครั้งจะแปลง CDF ให้กลายเป็น PDF ผ่านกฏลูกโซ่ (chain rule) กล่าวคือ Δ=∂C/∂S\Delta = \partial C/\partial S (อนุพันธ์อันดับหนึ่ง) ยังคงรูป CDF N(d1)N(d_1) ขณะที่ Γ=∂2C/∂S2\Gamma = \partial^2 C/\partial S^2 (อนุพันธ์อันดับสอง) ดึง N(d1)N(d_1) ลงมาเป็น N′(d1)N'(d_1) เช่นเดียวกับ ν\nu และ Θ\Theta ที่อนุพันธ์เทียบ σ\sigma และ tt ไปสัมผัสเลขชี้กำลังภายใน N(d)N(d) จึงปรากฏ N′N' ออกมา โดยสรุป CDF บอก “มวลความน่าจะเป็นที่อยู่เลย KK ออกไป” (โอกาสได้ใช้สิทธิ) ส่วน PDF บอก “ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นรอบราคา ปัจจุบัน” ซึ่งเป็นตัวกำหนดความโค้ง (Γ\Gamma) ความไวต่อความผันผวน (ν\nu) และอัตราการเสื่อมของเวลา (Θ\Theta).

การประเมินมูลค่าแบบ Risk-Neutral และทฤษฎี Martingale

แบบจำลองการกำหนดราคาออปชั่นทั้งหมดในบทความนี้ตั้งอยู่บนแนวคิดการประเมินมูลค่าแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง (risk-neutral valuation) ส่วนนี้สรุปแนวคิดเชิงทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลังเพื่อความครบถ้วน.

Martingale

กระบวนการสุ่ม {Mt}\{M_t\} เรียกว่าเป็นมาร์ติงเกลภายใต้มาตรวัด Q\mathbb{Q} และ filtration {Ft}\{\mathcal{F}_t\} ถ้าค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของค่าในอนาคตเท่ากับค่าปัจจุบันเสมอ:

EQ ⁣[ Mt∣Fs ]=Ms,s≤t.(1.14)\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[\,M_t \mid \mathcal{F}_s\,\right] = M_s, \qquad s \le t. \tag{1.14}
ในเชิงสัญชาตญาณมาร์ติงเกล คือ “เกมที่ยุติธรรม” (fair game) ที่ไม่มีแนวโน้ม (drift) ซึ่งคาดการณ์ได้ ค่าที่ดีที่สุดที่เราพยากรณ์อนาคตได้คือค่าปัจจุบันนั่นเอง เปรียบได้กับการโยนลูกเต๋าที่ผลในอดีตย่อมไม่ส่งผลใด ๆ ต่ออนาคต.

ตัวอย่าง: พิจารณาเกมทายเหรียญที่ได้/เสียตาละ 10 บาท สมมติขณะนี้ผู้เล่นมีเงิน Xt=150X_t = 150 บาท ตาถัดไป (Xt+1X_{t+1}) มีโอกาสเท่ากันที่จะได้เป็น 160 บาท หรือเหลือ 140 บาท ค่าคาดหวังของเงินตาถัดไปจึงเท่ากับ 12(160)+12(140)=150\tfrac{1}{2}(160) + \tfrac{1}{2}(140) = 150 บาท เท่ากับค่าปัจจุบันพอดี โดยไม่ขึ้นกับว่าผู้เล่นมาถึง 150 บาทได้อย่างไร

คุณสมบัตินี้ในเชิงคณิตศาสตร์เรียกว่า คุณสมบัติมาร์ติงเกล (martingale property) กล่าวคือ ค่าคาดหวังของค่าในอนาคตเมื่อทราบข้อมูลทั้งหมดจนถึงปัจจุบัน เท่ากับค่าปัจจุบันเสมอ:

E ⁣[Xt+1∣X1,X2,…,Xt]=Xt  (=150).\mathbb{E}\!\left[X_{t+1} \mid X_1, X_2, \dots, X_t\right] = X_t \;(= 150).
ข้อควรระวังคือคุณสมบัตินี้ต่างจาก คุณสมบัติมาร์คอฟ (Markov property) ซึ่งระบุเพียงว่าการแจกแจงของอนาคตขึ้นกับสถานะปัจจุบันเท่านั้น คือ P(Xt+1∣X1,…,Xt)=P(Xt+1∣Xt)P(X_{t+1} \mid X_1,\dots,X_t) = P(X_{t+1} \mid X_t) แต่ไม่ได้บังคับว่าค่าคาดหวังต้องเท่ากับค่าปัจจุบัน กระบวนการหนึ่งอาจเป็นมาร์ติงเกลโดยไม่เป็นมาร์คอฟ หรือเป็นมาร์คอฟโดยไม่เป็นมาร์ติงเกลก็ได้.

Risk-Neutral Measure (Q)(\mathbb{Q})

risk-neutral measure คือมาตรวัดความน่าจะเป็น Q\mathbb{Q} ที่สมมูล (equivalent) กับมาตรวัดเชิงกายภาพ P\mathbb{P} และทำให้ ราคาสินทรัพย์ที่คิดลดแล้ว S~t=e−rtSt\tilde{S}_t = e^{-rt}S_t เป็นมาร์ติงเกลภายใต้ Q\mathbb{Q} ภายใต้มาตรวัดนี้สินทรัพย์ทุกตัวให้ผลตอบแทนคาดหวังเท่ากับอัตราปลอดความเสี่ยง rr (พจน์ drift ถูกแทนที่จากผลตอบแทนจริง μ\mu เป็น rr) ราคาออปชั่นจึงเท่ากับค่าคาดหวังของผลตอบแทนที่คิดลด:

V0=EQ ⁣[ e−rT payoff(ST) ].(1.15)V_0 = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[\,e^{-rT}\,\mathrm{payoff}(S_T)\,\right]. \tag{1.15}
สูตรการคำนวณมูลค่าของออปชั่น Call ของแบล็ก-โชลส์ใน (1.1) ก็คือผลของ EQ ⁣[e−rT(ST−K)+]\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[e^{-rT}(S_T-K)^+\right] นั่นเอง.

ใช้ทำอะไร. ประโยชน์หลักคือ Q\mathbb{Q} ขจัด ผลตอบแทนจริง μ\mu และเบี้ยความเสี่ยงของนักลงทุนออกจากการกำหนดราคาทำให้ราคาออปชั่นไม่ขึ้นกับความชอบเสี่ยง (risk preference) ของแต่ละบุคคล เราจึงตั้งราคาได้ด้วยการคิดลดค่าคาดหวังเพียงอย่างเดียวโดยไม่ต้องทราบ μ\mu หรือฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของผู้ลงทุน นอกจากนี้การเลือก numéraire ต่างกันยังให้มาตรวัดมาร์ติงเกลที่ต่างกัน เช่น เมื่อใช้พันธบัตรไร้คูปองครบกำหนด TT เป็น numéraire จะได้ forward measure QT\mathbb{Q}^{T} ซึ่งทำให้ราคาล่วงหน้า FF เป็นมาร์ติงเกล (ไม่มี drift) อันเป็นเหตุผลที่ SDE ของบาเชอลิเยร์และแบล็ก-76 ใน (1.16) และ (1.20) ไม่มีพจน์ drift.

หากไม่มี Q\mathbb{Q} จะเกิดอะไรขึ้น. ทฤษฎีบทหลักของการกำหนดราคาสินทรัพย์ (Fundamental Theorem of Asset Pricing) (Harrison and Pliska 1981) ระบุว่าตลาด ปราศจากการเก็งกำไร (no-arbitrage) ก็ต่อเมื่อมีมาตรวัดมาร์ติงเกลที่สมมูลอย่างน้อยหนึ่งตัว ดังนั้นหากไม่มี Q\mathbb{Q} ดังกล่าว ย่อมมีโอกาสเก็งกำไรแบบไร้ความเสี่ยง (arbitrage / “free lunch”) ในตลาด และหากเราพยายามตั้งราคาด้วยมาตรวัดเชิงกายภาพ P\mathbb{P} โดยใช้ drift จริง μ\mu ราคาที่ได้ จะไม่สอดคล้องกันและเปิดช่องให้เก็งกำไร อีกทั้งยังต้องพึ่งพาเบี้ยความเสี่ยงของนักลงทุนแต่ละราย ทำให้ราคาไม่ถูกกำหนดอย่างเป็นเอกภาพ ในกรณีที่ Q\mathbb{Q} มีได้มากกว่าหนึ่งตัว (ตลาดไม่สมบูรณ์, incomplete market) ราคาที่ปราศจากการเก็งกำไรจะไม่ซ้ำกันแต่กลายเป็น ช่วงราคา แทน.

ความเชื่อมโยงกับความสัมพันธ์ Θ–Γ\Theta\text{--}\Gamma. เงื่อนไขที่ราคาออปชั่นซึ่งคิดลดแล้วต้องเป็นมาร์ติงเกลภายใต้ Q\mathbb{Q} บังคับให้พจน์ drift ในการกระจายตามบทแทรกของอิโต (Itô’s lemma) เป็นศูนย์ ซึ่งให้สมการแบล็ก-โชลส์ (1.5) โดยตรง ดังนั้นความสัมพันธ์ Θ–Γ\Theta\text{--}\Gamma ที่บทความนี้อาศัยจึงเป็นผลพวงโดยตรงของเงื่อนไข martingale/risk-neutral ไม่ใช่เพียงข้อสังเกตเชิงพีชคณิต.

Θ\Theta ในแบบจำลองบาเชอลิเยร์ (Bachelier) และ แบล็ก-76 (Black-76)

ความสัมพันธ์ Θ–Γ\Theta\text{--}\Gamma ใน (1.7) ไม่ได้เป็นลักษณะเฉพาะของแบบจำลองแบล็ก-โชลส์เท่านั้น แต่เป็นผลที่ตามมาจากโครงสร้างของกระบวนการสุ่มที่กำหนดให้สินทรัพย์อ้างอิงและเงื่อนไขการทำกำไรโดยปราศจากความเสี่ยง (no-arbitrage) ในตลาดที่มีประสิทธิภาพ เพื่อยืนยันประเด็นนี้ เราพิจารณาแบบจำลองทางเลือกอีกสองแบบ ได้แก่ Bachelier (normal model) และ Black-76 (log-normal forward model) ซึ่งตั้งอยู่บน กระบวนการสุ่มคนละแบบกับแบบจำลองแบล็ก-โชลส์ แล้วนำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ต่างกันและมีค่า Θ\Theta ที่ต่างกันเล็กน้อย ทั้งนี้เราสามารถตรวจสอบย้อนกลับจากสมการอนุพันธ์ย่อยนั้น ๆ ได้โดยตรง แต่เพื่อความชัดเจน ในส่วนนี้จะระบุสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก (stochastic differential equation) ของแต่ละแบบจำลองไว้ เพื่อให้เห็นว่าความสัมพันธ์ Θ–Γ\Theta\text{--}\Gamma เกิดขึ้นได้อย่างไรไม่ว่าจะเลือกพลวัตของราคาแบบใด.

ก่อนเข้าสู่รายละเอียด เราสรุปนิยามของสัญลักษณ์ที่ใช้ร่วมกันในส่วนนี้ ซึ่งหลายตัวเป็นสัญลักษณ์เฉพาะของแบบจำลองทางเลือกและมักไม่ปรากฏ ในตำราออปชั่นพื้นฐาน

นิยามสัญลักษณ์เฉพาะของแบบจำลองทางเลือก (Bachelier และ Black-76)
สัญลักษณ์ นิยาม
τ เวลาที่เหลือถึงวันหมดอายุ (τ = T − t) ใช้แทน T เพื่อเน้นว่าเป็นเวลาที่ลดลงเข้าหาศูนย์
F ราคาล่วงหน้า (forward price)  = S erτ สำหรับสินทรัพย์ที่ไม่จ่ายเงินปันผล
ℚT forward measure ที่ใช้พันธบัตรไร้คูปองครบกำหนด T เป็น numéraire ทำให้ F เป็น martingale (ไม่มี drift)
WtℚT Brownian motion มาตรฐานภายใต้ ℚT
σN normal (absolute) volatility — ความผันผวนของระดับราคา หน่วยเดียวกับราคา (ใช้ใน Bachelier)
σG log-normal (relative) volatility — ความผันผวนเชิงสัดส่วน เทียบได้กับ σ ของ BSM (ใช้ใน Black-76)
mA intrinsic forward value: mA = F − K (Bachelier)
zA standardised moneyness: zA=mA/(σNτ)z_A = m_A/(\sigma_N\sqrt{\tau}) คือระยะห่างของ F จาก K ในหน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
mG log-moneyness: mG = ln (F/K) (Black-76)
d1G, d2G ตัวแปรไร้มิติของ Black-76 (อนาล็อกของ d1, d2 ใน BSM แต่อิงราคาล่วงหน้า F แทนราคา spot S) นิยามตาม (1.22)
N(⋅), n(⋅) CDF และ PDF (n = N′) ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน
ΘN, ΓN Theta และ Gamma ภายใต้ Bachelier; ΘBL, ΓBL คือคู่เดียวกันภายใต้ Black-76

แบบจำลองของบาเชอลิเยร์ (Bachelier Model)

แบบจำลองบาเชอลิเยร์ใช้กระบวนการ Arithmetic Brownian Motion (ABM) เป็นพลวัตของราคาที่อิงกับราคาส่งมอบล่วงหน้า (forward price) FF ซึ่งเป็นมาร์ติงเกลภายใต้ forward measure QT\mathbb{Q}^{T} ราคาล่วงหน้าจึงเคลื่อนที่แบบไม่มี drift และมีความผันผวนเชิงสัมบูรณ์ (absolute/normal volatility) σN\sigma_N คงที่:

dFt=σN dWtQT.(1.16)dF_t = \sigma_N\,dW_t^{\mathbb{Q}^{T}}. \tag{1.16}
ข้อแตกต่างสำคัญจาก GBM คือ σN\sigma_N เป็นความผันผวนของ ระดับราคา (จึงมีหน่วยเดียวกับราคา) ไม่ใช่ความผันผวนเชิงสัดส่วน และแบบจำลองนี้ยอมให้ราคาติดลบได้ ราคา Call ที่ได้จากการคิดลดมูลค่าคาดหวังของผลตอบแทนภายใต้ QT\mathbb{Q}^{T} คือ:
CBC=e−rτ[mA N(zA)+σNτ n(zA)],(1.17)C_{\mathrm{BC}} = e^{-r\tau}\bigl[m_A\,N(z_A) + \sigma_N\sqrt{\tau}\,n(z_A)\bigr], \tag{1.17}
โดยที่ mA=F−Km_A = F - K คือ intrinsic forward value, zA=mA/(σNτ)z_A = m_A/(\sigma_N\sqrt{\tau}) คือ standardised moneyness, σN\sigma_N คือ normal (absolute) volatility, และ n(⋅)n(\cdot) คือ PDF ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน.

สมการอนุพันธ์ย่อยของบาเชอลิเยร์ (Bachelier) (forward-based, ไม่มี drift term):

∂C∂t+12σN2 ∂2C∂F2−rC=0⟺ΘN+12σN2 ΓN−rCBC=0.(1.18)\begin{split} &\frac{\partial C}{\partial t} + \tfrac{1}{2}\sigma_N^2\,\frac{\partial^2 C}{\partial F^2} - r C = 0 \\[2pt] &\quad\Longleftrightarrow\quad \Theta_N + \tfrac{1}{2}\sigma_N^2\,\Gamma_N - r C_{\mathrm{BC}} = 0. \end{split} \tag{1.18}
จัดรูปได้ ΘN=r CBC−12σN2 ΓN\Theta_N = r\,C_{\mathrm{BC}} - \tfrac{1}{2}\sigma_N^2\,\Gamma_N จากนั้นแทน ΓN=e−rτ n(zA)/(σNτ)\Gamma_N = e^{-r\tau}\,n(z_A)/(\sigma_N\sqrt{\tau}) ลงไป:
ΘN=r CBC−12σN2⋅e−rτ n(zA)σNτ=− e−rτ σN2τ n(zA)+r CBC.\begin{align*} \Theta_N &= r\,C_{\mathrm{BC}} - \tfrac{1}{2}\sigma_N^2 \cdot \frac{e^{-r\tau}\,n(z_A)}{\sigma_N\sqrt{\tau}} \notag \\ &= -\,\frac{e^{-r\tau}\,\sigma_N}{2\sqrt{\tau}}\,n(z_A) + r\,C_{\mathrm{BC}}. \tag{1.19} \end{align*}
สูตร (1.19) ที่ได้จากสมการอนุพันธ์ย่อย ตรงกับ ΘN\Theta_N ที่คำนวณโดยตรงด้วยอนุพันธ์เทียบ τ\tau ของ (1.17) จึงยืนยันความสอดคล้อง: ΘN+12σN2ΓN=rCBC\Theta_N + \tfrac{1}{2}\sigma_N^2\Gamma_N = rC_{\mathrm{BC}}. ■\blacksquare

แบบจำลองของแบล็ก-76 (Black-76 Model)

แบบจำลองของแบล็ก-76 (Black 1976) ใช้ forward price FF เป็นตัวแปรหลัก และสมมติให้ FF เคลื่อนที่แบบ Geometric Brownian Motion โดยไม่มี drift เนื่องจาก FF เป็นมาร์ติงเกลภายใต้ forward measure QT\mathbb{Q}^{T}:

dFtFt=σG dWtQT,(1.20)\frac{dF_t}{F_t} = \sigma_G\,dW_t^{\mathbb{Q}^{T}}, \tag{1.20}
โดยที่ σG\sigma_G คือความผันผวนเชิงสัดส่วน (log-normal/relative volatility) ราคา Call ที่ได้คือ:
CBL=e−rτ[F N(d1G)−K N(d2G)],(1.21)C_{\mathrm{BL}} = e^{-r\tau}\bigl[F\,N(d_1^G) - K\,N(d_2^G)\bigr], \tag{1.21}
โดยที่ mG=ln⁡(F/K)m_G = \ln(F/K) และ
d1G=mG+12σG2τσGτ,d2G=d1G−σGτ.(1.22)d_1^G = \frac{m_G + \tfrac{1}{2}\sigma_G^2\tau}{\sigma_G\sqrt{\tau}}, \qquad d_2^G = d_1^G - \sigma_G\sqrt{\tau}. \tag{1.22}

สมการอนุพันธ์ย่อยของแบล็ก-76 (ไม่มีพจน์ Δ\Delta เพราะ FF ไม่มี drift):

∂C∂t+12σG2F2 ∂2C∂F2−rC=0⟺ΘBL+12σG2F2 ΓBL=r CBL.(1.23)\begin{split} &\frac{\partial C}{\partial t} + \tfrac{1}{2}\sigma_G^2 F^2\,\frac{\partial^2 C}{\partial F^2} - r C = 0 \\[2pt] &\quad\Longleftrightarrow\quad \Theta_{\mathrm{BL}} + \tfrac{1}{2}\sigma_G^2 F^2\,\Gamma_{\mathrm{BL}} = r\,C_{\mathrm{BL}}. \end{split} \tag{1.23}
ใช้ F n(d1G)=K n(d2G)F\,n(d_1^G) = K\,n(d_2^G) (ซึ่งพิสูจน์ได้จาก n(d2G)=n(d1G) emGn(d_2^G) = n(d_1^G)\,e^{m_G}) และ ΓBL=e−rτ n(d1G)/(FσGτ)\Gamma_{\mathrm{BL}} = e^{-r\tau}\,n(d_1^G)/(F\sigma_G\sqrt{\tau}):
ΘBL=r CBL−12σG2F2⋅e−rτ n(d1G)FσGτ=− e−rτ FσG2τ n(d1G)+r CBL.\begin{align*} \Theta_{\mathrm{BL}} &= r\,C_{\mathrm{BL}} - \tfrac{1}{2}\sigma_G^2 F^2 \cdot \frac{e^{-r\tau}\,n(d_1^G)}{F\sigma_G\sqrt{\tau}} \notag \\ &= -\,\frac{e^{-r\tau}\,F\sigma_G}{2\sqrt{\tau}}\,n(d_1^G) + r\,C_{\mathrm{BL}}. \tag{1.24} \end{align*}
จึงยืนยันความสอดคล้อง: $\Theta_{\mathrm{BL}} + \tfrac{1}{2}\sigma_G^2 F^2\Gamma_{\mathrm{BL}} = r,C_{\mathrm{BL}}..\blacksquare$

บทสรุปเชิงเปรียบเทียบ

เราสรุปกระบวนการสุ่ม (stochastic process) ในระดับจุลภาคของแต่ละแบบจำลองไว้เทียบเคียงกัน เพื่อให้เห็นว่าความแตกต่างของสมการอนุพันธ์ย่อยและของค่า Θ\Theta สืบเนื่องมาจากพลวัตของราคาที่สมมติไว้ตั้งแต่ต้น:

BSM (GBM):dSt=r St dt+σ St dWt,Black-76:dFt=σG Ft dWt,Bachelier (ABM):dFt=σN dWt.\begin{align*} \text{BSM (GBM):} \quad & dS_t = r\,S_t\,dt + \sigma\,S_t\,dW_t, \tag{1.25} \\[2pt] \text{Black-76:} \quad & dF_t = \sigma_G\,F_t\,dW_t, \tag{1.26} \\[2pt] \text{Bachelier (ABM):} \quad & dF_t = \sigma_N\,dW_t. \tag{1.27} \end{align*}
ข้อสังเกตคือทั้งแบล็ก-76 และบาเชอลิเยร์ (Bachelier) ใช้ราคาล่วงหน้า (forward price) ซึ่งเป็น martingale จึงไม่มีพจน์ drift และทำให้พจน์ Δ\Delta หายไปจากสมการอนุพันธ์ย่อย ในทางตรงข้าม แบบจำลองแบล็ก-โชลส์ทำงานบนราคาสปอต (spot) ที่มี drift rSrS จึงยังคงพจน์ rSΔrS\Delta ไว้ ความแตกต่างเพียงข้อนี้ อธิบายโครงสร้างทั้งหมดของตารางที่ 2 ได้.

ทั้งสามแบบจำลองมีสมการอนุพันธ์ย่อยที่ให้ความสัมพันธ์เดียวกันในรูปทั่วไป:

Θ+12 V2 Γ=r(V−SΔ),(1.28)\Theta + \tfrac{1}{2}\,\mathcal{V}^2\,\Gamma = r(V - S\Delta), \tag{1.28}
โดยที่ V\mathcal{V} คือ “effective local vol” ของแต่ละแบบจำลองและพจน์ SΔS\Delta หายไปเมื่อ FF ไม่มี drift (BSM จะยังมีพจน์ rSΔrS\Delta):

ตารางที่ 2. เปรียบเทียบสมการอนุพันธ์ย่อยและ Θ ของแต่ละแบบจำลอง
Model PDE 𝒱2 พจน์ Δ
BSM Θ+12σ2S2Γ+rSΔ=rV\Theta+\tfrac{1}{2}\sigma^2S^2\Gamma+rS\Delta=rV σ2S2 มี
Black-76 Θ+12σG2F2Γ=rV\Theta+\tfrac{1}{2}\sigma_G^2F^2\Gamma=rV σG2F2 ไม่มี
Bachelier Θ+12σN2Γ=rV\Theta+\tfrac{1}{2}\sigma_N^2\Gamma=rV σN2 ไม่มี

ข้อสังเกตสำคัญ: เมื่อ r→0r \to 0 ทุกโมเดลลู่เข้าสู่ Θ=−12 V2 Γ\Theta = -\tfrac{1}{2}\,\mathcal{V}^2\,\Gamma ซึ่งหมายความว่า Long Gamma เสมอมาพร้อมกับ Negative Theta และ Short Gamma เสมอมาพร้อมกับ Positive Theta ไม่ว่าจะใช้แบบจำลองใด.

ผู้เขียนต้นฉบับ · QuantCorner

Triphop Mahithitarmmatorn

ผู้เขียนบทความ “การวิเคราะห์ค่ากรีกในกลยุทธ์ Calendar Spread ภายใต้สภาวะ Volatility Risk Premium” ซึ่งเป็นต้นฉบับของซีรีส์นี้

อ่านบทนี้แล้วอยากเรียนรู้ต่อ? ติดตามผู้เขียนและ QuantCorner ได้ที่นี่

Calendar Spread under VRPโดย Triphop Mahithitarmmatorn

ค้นหาในสมุดบันทึก

ปิด
คำค้นหา

© 2023 by QuantCorner, Thailand.

bottom of page