Machine Learning · ประมาณ Factor Models · บทย่อย 1

Lab Factor Model: ประมาณค่าและตรวจความเสถียร

Lab นี้ใช้ scikit-learn ประมาณ Factor Model จากข้อมูลที่รู้คำตอบ แล้วเปลี่ยนข้อมูลเพียงเล็กน้อยเพื่อดูว่า loading แกว่งได้มากเพียงใด เราจะตรวจทั้งค่าที่โมเดล fit ได้ ค่า residual และหน่วยของ coefficient ก่อนใช้ Ridge หรือ Lasso ในบทถัดไป

ใช้แนวคิด OLS และ residual จาก Factor Investing และสมการหลายปัจจัยจาก Multifactor Models เป็นพื้นฐาน ตัวอย่างด้านล่างสร้างข้อมูลและ import ใหม่ทั้งหมด จึงรัน Lab นี้แยกได้ โดยเน้นการเรียกใช้ไลบรารีและตรวจผลที่โปรแกรมคืนมา

กำหนดก่อนว่าหนึ่งแถวบอกอะไร

เราจะอธิบายผลตอบแทนของกองทุนสมมติด้วยปัจจัยสองตัว ได้แก่ Market ซึ่งเป็นผลตอบแทนพอร์ตตลาดสมมติ และ Rate ซึ่งเป็นผลตอบแทนพอร์ตพันธบัตรสมมติ ชื่อ Rate ในตัวอย่างนี้หมายถึงผลตอบแทนของพอร์ต ไม่ใช่ระดับอัตราดอกเบี้ยหรือการเปลี่ยนแปลงของ yield

ข้อมูลทั้งหมดเป็นผลตอบแทนสมมติที่สร้างโดยตรงในโค้ด ไม่ต้องดาวน์โหลดราคาหรือเงินปันผลเพิ่ม ในงานจริงควรใช้ผลตอบแทนที่รวมการจ่ายเงินออกตามนิยามของชุดข้อมูล และตรวจสกุลเงิน ความถี่ และช่วงวันที่ให้ตรงกัน ถ้าใช้ excess return ต้องหักอัตราปลอดความเสี่ยงของช่วงเดียวกันตามนิยามโมเดล ไม่หักซ้ำจากปัจจัย long–short ที่เป็นผลต่างอยู่แล้ว

เริ่มด้วย NumPy สำหรับคำนวณอาร์เรย์ pandas สำหรับตาราง และ LinearRegression จาก scikit-learn สำหรับ Ordinary Least Squares หรือ OLS ซึ่งเลือกสมการด้วยผลรวม residual กำลังสอง ตัวอย่างทั้งหน้ารันต่อกันจาก namespace ว่างได้ โดยใช้ scikit-learn 1.6.1 ในการตรวจผล

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression

np.set_printoptions(precision=6, suppress=True)

import ... as ... ตั้งชื่อย่อให้ไลบรารี ส่วน from ... import ... ดึงคลาสที่ต้องการมาใช้ set_printoptions ปรับการแสดงตัวเลขเท่านั้น ไม่ปัดค่าที่ใช้คำนวณจริง

factor_dates = pd.period_range("2024-01", periods=8, freq="M")
market = np.array([-1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1]) * 0.02
rate = np.array([-1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1]) * 0.01
specific = np.array([-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1]) * 0.003
factor_data = pd.DataFrame({
    "Market": market,
    "Rate": rate,
    "Fund": 0.001 + 0.8 * market - 0.4 * rate + specific,
}, index=factor_dates)
print((factor_data * 100).round(2))

np.array([...]) สร้างชุดตัวเลขที่คำนวณพร้อมกันได้ เช่น คูณทุกสมาชิกด้วย 0.02 ส่วน pd.period_range สร้างชื่อเดือนแปดเดือน เริ่มมกราคม 2024 และ DataFrame นำคอลัมน์มาเรียงตาม index เดียวกัน

ตารางที่พิมพ์คูณ 100 เพื่อให้อ่านเป็นเปอร์เซ็นต์ เดือนแรกได้ Market −2%, Rate −1% และ Fund −1.4% ส่วนตัวแปร factor_data ยังเก็บทศนิยมเดิม เราสร้าง Fund ด้วย loading ที่รู้ล่วงหน้าเพื่อใช้ตรวจวิธีประมาณค่า นักวิเคราะห์ที่ใช้ข้อมูลจริงจะเห็นเพียงตารางและไม่รู้ค่าที่ใช้สร้างผลตอบแทน

จัด X และ y สำหรับส่งเข้า .fit

ใช้ สมการหลายปัจจัย กับ Market และ Rate ที่สร้างไว้: ผลตอบแทนกองทุนเท่ากับ intercept บวก loading คูณผลตอบแทนแต่ละปัจจัย แล้วบวก residual สำหรับ LinearRegression เราเก็บเฉพาะปัจจัยใน X และให้ estimator จัดการ intercept เอง จึงไม่เติมคอลัมน์หนึ่งเหมือนตัวอย่าง np.linalg.lstsq ในบทหลัก

factor_X = factor_data[["Market", "Rate"]]
factor_y = factor_data["Fund"]
first_explained = 0.001 + factor_X.iloc[0].to_numpy() @ np.array([0.8, -0.4])
print("X shape:", factor_X.shape, "y shape:", factor_y.shape)
print(f"First explained return: {100 * first_explained:.2f}%")
print(f"First observed return: {100 * factor_y.iloc[0]:.2f}%")

วงเล็บคู่ [["Market", "Rate"]] เลือกตาราง X รูป (8, 2) ส่วน factor_data["Fund"] เลือก Series y รูป (8,) เครื่องหมาย @ คูณสมาชิกที่ตรงกันแล้วรวม และ .iloc[0] เลือกเดือนแรก สมการที่ใช้สร้างข้อมูลให้ $0.001+0.8(-0.02)-0.4(-0.01)=-0.011$ หรือ −1.1% เทียบกับผลจริง −1.4% จึงเหลือ residual −0.3 จุดเปอร์เซ็นต์

แถว X และ y ต้องเป็นเดือนเดียวกัน การใส่ผลตอบแทนปัจจัยที่เกิดแล้วใช้ตรวจความสัมพันธ์ย้อนหลัง ส่วนการพยากรณ์ก่อนเดือนเริ่มยังต้องมีข้อสมมติของปัจจัย ตาม เงื่อนไขด้านเวลา

Fit ด้วย scikit-learn แล้วตรวจ residual

LinearRegression(fit_intercept=True) แก้ โจทย์ OLS โดยประมาณทั้ง loading และ intercept ส่งตารางปัจจัยเข้า .fit(X, y) แล้วอ่านผลจาก estimator ที่ fit แล้ว

factor_ols = LinearRegression(fit_intercept=True).fit(factor_X, factor_y)
factor_beta = pd.Series(factor_ols.coef_, index=factor_X.columns)
factor_alpha = factor_ols.intercept_
print("Loadings:")
print(factor_beta.round(6))
print(f"Monthly intercept: {100 * factor_alpha:.4f}%")

ได้ loading ของ Market เท่ากับ 0.8, Rate เท่ากับ −0.4 และ intercept เท่ากับ 0.1% ต่อเดือน coef_ เก็บ loading หลังฝึก ส่วน intercept_ เก็บค่าคงที่ ชื่อที่ลงท้ายด้วย _ ใน scikit-learn มักใช้กับผลที่ได้จากการฝึกแล้ว

เราเลือกข้อมูลให้ residual ตั้งฉากกับปัจจัย จึงกู้ค่าที่ใช้สร้างข้อมูลได้พอดี ผลนี้ไม่ได้หมายความว่า OLS จะกู้ loading จริงได้พอดีในข้อมูลทั่วไป หรือว่าแปดเดือนเพียงพอต่อการใช้งานจริง

factor_fitted = pd.Series(factor_ols.predict(factor_X), index=factor_X.index)
factor_residual = factor_y - factor_fitted
factor_rmse = np.sqrt(np.mean(factor_residual ** 2))
factor_r2 = 1 - np.sum(factor_residual ** 2) / np.sum((factor_y - factor_y.mean()) ** 2)
factor_cross = factor_X.to_numpy().T @ factor_residual.to_numpy()
print(f"RMSE: {100 * factor_rmse:.4f} percentage points per month")
print(f"In-sample R squared: {factor_r2:.6f}")
print("Residual mean:", round(factor_residual.mean(), 12))
print("X.T @ residual:", np.round(factor_cross, 12))

.predict นำสมการที่ฝึกแล้วมาใช้กับแต่ละแถว เราคำนวณ observed - fitted แล้วได้ RMSE (Root Mean Squared Error หรือรากของค่าเฉลี่ย residual กำลังสอง) 0.3 จุดเปอร์เซ็นต์ต่อเดือน และ $R^2$ ประมาณ 0.967972 ตัวแรกเป็นขนาด residual ในหน่วยเดียวกับผลตอบแทน ตัวหลังเปรียบเทียบผลรวม residual กำลังสองกับความแปรปรวนรอบค่าเฉลี่ยในชุดข้อมูลนี้

OLS ที่มี intercept และแก้ปัญหาได้ตรงตามสมการให้ residual มีค่าเฉลี่ยศูนย์และมี dot product กับแต่ละคอลัมน์ของ X เป็นศูนย์ นี่คือความตั้งฉากในข้อมูลที่ใช้ฝึก ไม่ได้พิสูจน์ว่า residual เป็นตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระจากปัจจัย หรือว่าความสัมพันธ์จะเหมือนเดิมในอนาคต

การตีความ intercept ต้องประเมิน ความไม่แน่นอนของ alpha และ ผลจากปัจจัยที่ตกหล่น แยกจากการตรวจว่า .fit คืนคำตอบถูกต้องหรือไม่

ตรวจ covariance ที่สร้างกลับจากผล fit

ตรวจ variance decomposition ของ Factor Model กับผลจาก .fit โดยคำนวณส่วน factor, residual และ variance ของ y แยกกัน ปัจจัยของชุดทดลองนี้ไม่มี covariance กัน แต่โค้ดยังคูณ covariance matrix เต็มเพื่อใช้ตรวจวิธีคำนวณ

factor_cov = factor_X.cov(ddof=0).to_numpy()
factor_systematic_variance = factor_ols.coef_ @ factor_cov @ factor_ols.coef_
factor_specific_variance = factor_residual.var(ddof=0)
factor_total_variance = factor_y.var(ddof=0)
print(f"Factor variance: {factor_systematic_variance:.8f}")
print(f"Residual variance: {factor_specific_variance:.8f}")
print(f"Total variance: {factor_total_variance:.8f}")
print(f"Monthly SD: {100 * np.sqrt(factor_total_variance):.4f}%")

ตัวอย่างนี้ใช้ ddof=0 ทุกพจน์เพื่อแยก variance ของแปดแถวที่มีอยู่ให้ตรงกัน ผลได้ 0.000272 จากปัจจัย และ 0.000009 จาก residual รวมเป็น 0.000281 หน่วยคือผลตอบแทนทศนิยมกำลังสองต่อหนึ่งเดือน ถอดรากได้ SD รายเดือน 1.6763% หากเลือก sample covariance แบบ ddof=1 ต้องใช้ convention เดียวกันทุกพจน์ของการเปรียบเทียบ

สำหรับหลายกองทุน ให้แต่ละแถวของ $B$ เป็น loading ของหนึ่งกองทุน ให้ ${\Sigma }_F$ เป็น covariance ของปัจจัย และ $\Omega$ เป็น covariance ของ residual:

การบังคับ $\Omega$ ให้เป็น diagonal แปลว่าสมมติว่า residual ของแต่ละกองทุนไม่สัมพันธ์กัน ไม่ใช่ผลอัตโนมัติของการทำ OLS เราลองเพิ่มกองทุน B ซึ่งมี residual ร่วมกับกองทุน A บางส่วน

second_noise = np.array([-1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, 1]) * 0.002
factor_Y = pd.DataFrame({
    "Fund A": factor_y,
    "Fund B": 0.0005 + 1.2 * market + 0.1 * rate + 0.5 * specific + second_noise,
}, index=factor_dates)
factor_multi = LinearRegression().fit(factor_X, factor_Y)
factor_B = factor_multi.coef_
factor_E = factor_Y.to_numpy() - factor_multi.predict(factor_X)
factor_Omega = np.cov(factor_E, rowvar=False, ddof=0)
factor_full_cov = factor_B @ factor_cov @ factor_B.T + factor_Omega
factor_diagonal_cov = factor_B @ factor_cov @ factor_B.T + np.diag(np.diag(factor_Omega))
print("Residual covariance:")
print(np.array2string(factor_Omega, precision=8))
print("Full model covariance:")
print(np.array2string(factor_full_cov, precision=8))
print(f"Off-diagonal change if residual covariance is removed: {factor_full_cov[0, 1] - factor_diagonal_cov[0, 1]:.8f}")

factor_Y มีสองคอลัมน์จึงประมาณสองสมการพร้อมกันได้ factor_B มีขนาด 2 × 2: แถวเป็นกองทุน คอลัมน์เป็นปัจจัย ส่วน np.cov(..., rowvar=False) บอกว่าแต่ละคอลัมน์เป็นตัวแปรที่จะหา covariance

ได้ residual covariance ระหว่างกองทุนเท่ากับ 0.0000045 หากลบทิ้งด้วยสมมติฐาน diagonal covariance รวมระหว่างกองทุนจะลดลงเท่าจำนวนนี้ การลดจำนวนพารามิเตอร์จึงแลกกับข้อสมมติ ไม่ใช่การกำจัดความเสี่ยงที่เหลือจริง อ่านต่อได้ที่ Factor Covariance และจำนวนพารามิเตอร์

สำหรับตัวอย่าง OLS นี้ที่มี intercept และใช้ช่วงข้อมูลเดียวกัน การคง residual covariance เต็มจะสร้าง sample covariance ของกองทุนกลับมาได้ ส่วนการเปลี่ยน loading เป็นค่าจาก penalized regression ในบทถัดไปอาจทำให้ residual ไม่ตั้งฉากกับ X อีก การแยก covariance ของข้อมูลที่เกิดขึ้นจริงจึงต้องตรวจพจน์ไขว้ใหม่ ไม่ควรยกเอกลักษณ์ของ OLS ไปใช้โดยไม่ตรวจ

ปัจจัยใกล้ซ้ำกันทำให้ Loading แกว่ง

สร้าง Proxy ให้เกือบเหมือน Market แล้วประมาณกองทุนที่รับ Market loading 0.8 เราจะเปลี่ยนผลตอบแทนกองทุนเพียงเดือนละ ±0.00001 หรือ ±0.001 จุดเปอร์เซ็นต์

near_X = pd.DataFrame({"Market": market, "Proxy": market + 0.001 * rate})
near_y = 0.001 + 0.8 * market + specific
near_ols = LinearRegression().fit(near_X, near_y)
changed_y = near_y + 0.00001 * (rate / 0.01)
changed_ols = LinearRegression().fit(near_X, changed_y)
near_comparison = pd.DataFrame({
    "Original": near_ols.coef_,
    "Tiny change in y": changed_ols.coef_,
}, index=near_X.columns)
print(f"Factor correlation: {near_X.corr().iloc[0, 1]:.9f}")
print(near_comparison.round(6))
print(f"Largest change in observed return: {100 * np.max(np.abs(changed_y - near_y)):.4f} percentage points")

correlation ระหว่างปัจจัยประมาณ 0.999999875 ก่อนเปลี่ยนข้อมูลได้ loading ประมาณ [0.8, 0] หลังเปลี่ยนเล็กน้อยกลับได้ [-0.2, 1.0] ทั้งสองสมการยังมีผลรวม loading ใกล้ 0.8 เพราะ Market และ Proxy เคลื่อนไหวแทบเหมือนกัน สมการจึงแบ่งความสัมพันธ์ระหว่างสองคอลัมน์ได้ยาก

ภาวะนี้เรียกว่า multicollinearity การเพิ่มข้อมูลที่แทบซ้ำกันจึงไม่ได้เพิ่มข้อมูลอิสระเท่าจำนวนคอลัมน์ ในกรณีซ้ำกันพอดี อาจมี loading หลายชุดที่ให้ค่าทำนายชุดเดียวกัน

correlation ติดลบใกล้ −1 ก็มีปัญหาเดียวกัน เพราะคอลัมน์หนึ่งเกือบเท่ากับอีกคอลัมน์คูณ −1 และในกรณีหลายปัจจัย ความซ้ำอาจเป็นผลรวมของหลายคอลัมน์โดยไม่มีคู่ใดมี correlation สูงมาก การดูตาราง correlation เป็นเพียงจุดเริ่มตรวจ ไม่ใช่การตรวจ rank ทั้งหมด

ขนาด Loading เปลี่ยนตามหน่วยข้อมูล

ทดสอบ การเปลี่ยนหน่วย factor ด้วย LinearRegression: คูณเฉพาะ Rate ด้วย 100 แล้ว fit ใหม่ โดยคง y และปัจจัยอื่นไว้ ตรวจทั้ง coefficient และ fitted returns

unit_X = factor_X.copy()
unit_X["Rate"] = 100 * unit_X["Rate"]
unit_ols = LinearRegression().fit(unit_X, factor_y)
print("New loadings:", unit_ols.coef_)
print("Same fitted returns:", np.allclose(unit_ols.predict(unit_X), factor_fitted))
print(f"Correlation with negative proxy: {np.corrcoef(market, -near_X['Proxy'])[0, 1]:.9f}")

ผลได้ Rate loading −0.004 และ Same fitted returns: True ซึ่งยืนยันว่า coefficient ชดเชยหน่วยที่เปลี่ยนไป บรรทัดสุดท้ายยังตรวจกรณี proxy กลับเครื่องหมาย ได้ correlation ใกล้ −1

บทถัดไปจะใช้ standardization เพื่อทำให้แต่ละคอลัมน์มีสเกลเทียบกันได้ก่อนลงโทษขนาด coefficient แล้วค่อยแปลง loading กลับสู่หน่วยเดิม โดยยังต้องดูความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยร่วมด้วย

เปลี่ยนจากผลตอบแทนที่เกิดแล้วเป็นข้อสมมติเกี่ยวกับอนาคต

เมื่อมี loading แล้ว เรายังต้องมีข้อสมมติของผลตอบแทนปัจจัยก่อนประมาณ expected return ของกองทุน สมมติ Market มีค่าเฉลี่ยรายเดือน 0.5% และ Rate มีค่าเฉลี่ย 0.2% หากยอมให้ intercept เดิมคงอยู่ จะได้

factor_assumptions = pd.DataFrame({"Market": [0.005], "Rate": [0.002]})
factor_expected_monthly = factor_ols.predict(factor_assumptions)[0]
factor_zero_alpha_monthly = factor_assumptions.iloc[0].to_numpy() @ factor_ols.coef_
print(f"Conditional monthly estimate: {100 * factor_expected_monthly:.4f}%")
print(f"Arithmetic annualized estimate: {100 * 12 * factor_expected_monthly:.4f}%")
print(f"Monthly estimate if alpha is set to zero: {100 * factor_zero_alpha_monthly:.4f}%")

ผลรายเดือน 0.42% คูณ 12 เป็น 5.04% แบบ arithmetic annualization ซึ่งใช้เทียบในหน่วยปี ไม่ใช่ CAGR หรือผลตอบแทนทบต้นที่ได้รับแน่นอน หากสมมติให้ alpha เป็นศูนย์ จะเหลือ 0.32% ต่อเดือน การกำหนด alpha เป็นศูนย์เป็นข้อสมมติด้านแบบจำลองที่เพิ่มเข้ามา ไม่ใช่สิ่งที่ .fit บังคับให้

ตัวอย่างนี้ใช้ปัจจัยเป็นผลตอบแทนพอร์ต สำหรับโมเดลที่ใช้การเปลี่ยนแปลง GDP หรือ inflation เป็นตัวแปรอธิบาย หน่วย loading และวิธีเชื่อมกับ risk premium จะต่างออกไป ส่วนปัจจัยเชิงสถิติ เช่น PCA มาจากการรวมข้อมูลตามเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ และไม่ได้มีคำอธิบายทางเศรษฐศาสตร์ที่แน่นอนโดยอัตโนมัติ

แบบฝึกหัด

ลองคำนวณจากสมการก่อนเปิดเฉลย ตัวเลขทั้งหมดเป็นข้อมูลสมมติของบทนี้

1. ถ้า Market ได้ 1% และ Rate ได้ −2% สมการที่ประมาณได้อธิบายผลตอบแทน Fund เท่าไร

$0.1\%+0.8(1\%)-0.4(-2\%)=1.7\%$ เป็นส่วนที่โมเดลอธิบายได้ ผลจริงยังมี residual เพิ่มเข้ามา

2. ถ้าเดือนนั้น Fund ได้จริง 1.1% จากค่าที่อธิบายได้ 1.7% residual เท่าไร

$1.1\%-1.7\%=-0.6$ จุดเปอร์เซ็นต์ สัญญาณลบหมายถึงผลจริงต่ำกว่าค่าที่สมการให้

3. X มี 120 แถวและ 5 คอลัมน์ แถวและคอลัมน์หมายถึงอะไร และ coef_ ยาวเท่าไร

ในรูปแบบที่ใช้ที่นี่ แถวคือ 120 เดือน คอลัมน์คือ 5 ปัจจัย ถ้า y เป็นผลตอบแทนของกองทุนเดียว coef_ มี 5 ค่า ส่วน intercept เก็บแยกต่างหาก

4. Residual ตั้งฉากกับ X ในชุดฝึก พิสูจน์ว่า residual เป็นอิสระจากปัจจัยหรือไม่

ไม่พิสูจน์ ความตั้งฉากเป็นเงื่อนไขของ OLS ในข้อมูลชุดนั้น ความเป็นอิสระเป็นเงื่อนไขที่แรงกว่าและไม่ได้ตามมาจาก covariance ศูนย์ทั่วไป

5. ปัจจัยคู่หนึ่งมี correlation −0.9999 ถือว่าห่างจากปัญหา multicollinearity หรือไม่

ยังเสี่ยง เพราะปัจจัยหนึ่งเกือบเป็นค่าติดลบของอีกปัจจัย สมการสามารถแลก loading ระหว่างกันได้มากโดยเปลี่ยน fitted returns น้อย

6. Loading ของ Rate เท่ากับ −0.4 เมื่อ Rate ใช้ทศนิยม ถ้าเปลี่ยนเป็นเปอร์เซ็นต์ตัวเลขจะเป็นเท่าไร

เป็น −0.004 เมื่อผลตอบแทนกองทุนยังใช้ทศนิยมเดิม เพราะ input ใหญ่ขึ้น 100 เท่า coefficient จึงต้องเล็กลง 100 เท่า

7. เหตุใดการใส่ผลตอบแทน Market ที่เกิดจริงในเดือนหน้า จึงยังไม่ใช่การพยากรณ์ก่อนเดือนหน้าเริ่ม

ตอนที่ต้องพยากรณ์ยังไม่รู้ค่านั้น การใส่ค่าที่เกิดจริงภายหลังใช้ตรวจความสัมพันธ์นอกชุดฝึกได้ แต่การพยากรณ์ล่วงหน้าต้องมีข้อสมมติหรือแบบจำลองของปัจจัยที่ใช้ข้อมูลซึ่งทราบในวันตัดสินใจ

แหล่งอ่านและขอบเขตของตัวอย่าง

เรียบเรียงใหม่จากการอ่าน Transcript ฉบับเต็มของ Coursera ได้แก่ Basics of Factor Investing, Introducing Factor Models, Typology of Factor Models และ Using Factor Models พร้อม Factor Models Lab ตรวจเมื่อ 3 ตุลาคม 2026

ตัวอย่างและโค้ดในหน้านี้เขียนใหม่ ไม่มีการแจก Transcript, notebook, ชุดข้อมูล หรือไลบรารีของผู้สอน รายละเอียดการเรียกใช้ไลบรารีอ้างอิง LinearRegression เราใช้คำว่า residual ตั้งฉากกับ regressors ในข้อมูลฝึก แทนการสรุปว่าเป็นอิสระ และไม่ใช้ตัวเลขผลตอบแทนหรือสภาวะตลาดในวิดีโอเก่าเป็นข้อสมมติปัจจุบัน