top of page
รูปภาพนักเขียนJuglans Regia

Differential equations

“Since Newton, mankind has come to realize that the laws of physics are always expressed in the language of differential equations.” by Steven Strogatz,
“นับตั้งแต่นิวตัน มนุษยชาติได้ตระหนักว่ากฎของฟิสิกส์มักแสดงออกมาในภาษาของ Differential equations” by Steven Strogatz,

Differential equations หรือสมการ Differential ไม่ได้เป็นภาษาของฟิสิกต์เท่านั้นแต่ Differential equations ยังเป็นภาษาของการเงินด้วย ทำไม Differential equations ถึงเป็นภาษาของโลกที่แตกต่างกันขนาดนี้ได้?




Differential equations เป็นสมาการที่ใช้อธิบายการเปลี่ยนแปลงของบ้างสิ่ง โดยเฉพาะกับเวลา เช่นการเคลื่อนที่เราวัดระยะทางกับเวลา ซึ่งมันอธิบายฟิสิกต์อย่างพอดิบพอดีโดยเฉพาะกับกลศาสตร์นิวตันที่เราพยายามอธิบายแรง ความเร่ง เวลา ระยะทาง


แต่การเปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับเวลาไม่ได้มีแค่ใน ฟิสิกต์ ในทางการเงินเราก็ต้องการวัดการเปลี่ยนแปลงของเงิน(ผลตอบแทน)ต่อเวลาเหมือนๆกัน ดังนั้นมันคงไม่ใช่เหตุบังเอิญที่ศาสตร์สองศาสตร์มีภาษาเดียวกัน แต่เพราะ ศาสตร์สองศาสตร์ ต้องการเข้าใจการเปลี่ยนแปลงต่อเวลาเหมือนๆกัน โดยเฉพาะสินค้าทางการเงินที่มี Term Structure ของเวลา เช่น อนุพันธ์ ตราสารหนี้ Differential equations จะสามารถทำให้เราเข้าใจการกำหนดราคามากขึ้น ดังนั้นเราอาจพูดได้ว่า


“Since Black-Scholes, mankind has come to realize that the laws of financial market are always expressed in the language of differential equations.”
“นับตั้งแต่ Black-Scholes มนุษยชาติได้ตระหนักว่ากฎของตลาดการเงินมักแสดงออกมาในภาษาของ Differential equations” 


แล้ว  Differential equations มันคืออะไร?


อย่างที่บอก Differential equations เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายการเปลี่ยนแปลงเราจึงเรียกว่า กับอนุพันธ์ หรือ dy by dx โดยจะแสดงอัตราที่ตัวแปรเปลี่ยนแปลงโดยสัมพันธ์กัน และสามารถใช้เพื่อคาดการณ์ว่าระบบจะพัฒนาไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป



จากรูปเมื่อ y เป็นฟังชั่นของเวลา Differential equations จะหน้าตาประมาณนี้จะเรียกว่า Ordinary Diserential Equation คำจำกัดความ: ODE คือสมการที่มีอนุพันธ์ตั้งแต่หนึ่งอนุพันธ์ของตัวแปรตามซึ่งสัมพันธ์กับตัวแปรอิสระตัวเดียว คำว่า " Ordinary" ถูกใช้เพราะว่าอนุพันธ์มาจากตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้น โครงสร้าง: ODE สามารถแสดงได้ในรูปแบบ dy/dx = f(x, y) โดยที่ y คือตัวแปรตาม x คือตัวแปรอิสระ และ f(x, y) คือฟังก์ชันบางส่วนของ x และ y โดยทั่วไป ODE จะใช้เพื่อสร้างแบบจำลองระบบที่แตกต่างกันไปตามมิติเดียว ซึ่งโดยทั่วไปคือเวลา คำตอบของ ODE คือฟังก์ชันที่เป็นไปตามสมการเมื่อถูกแทนที่ลงไป การแก้ ODE เกี่ยวข้องกับการค้นหาฟังก์ชัน (หรือชุดของฟังก์ชัน) ที่ตอบสนองความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งมักเกี่ยวข้องกับการอินทิเกรตสมการและการใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อค้นหาคำตอบเฉพาะ


ส่วน  Partial Differential Equations (PDEs) เป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์บางส่วนของตัวแปรตามที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระหลายตัว สิ่งเหล่านี้อธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงในทิศทางหรือมิติที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงเรียกว่า " Partial "

order

order หรือลำดับของ Differential Equations เป็นคุณสมบัติพื้นฐานที่บ่งชี้อนุพันธ์ลำดับ(เลขยกกำลัง)สูงสุดที่มีอยู่ในการจำแนกสมการและกำหนดวิธีการแก้สมการ ในการค้นหาลำดับนั้น เราจะต้องระบุคำที่มีอนุพันธ์สูงสุด ตัวอย่างเช่น สมการที่มีอนุพันธ์อันดับสามเป็นพจน์สูงสุดคือสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสาม ลำดับนี้ให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับความซับซ้อนของระบบที่กำลังสร้างแบบจำลอง เนื่องจากสมการลำดับที่สูงกว่าสามารถแสดงไดนามิกที่ซับซ้อนมากขึ้นและต้องใช้เงื่อนไขเริ่มต้นมากขึ้นในการแก้ปัญหา

ความสำคัญของ order ขยายไปถึงจำนวนเงื่อนไขเริ่มต้นที่จำเป็นสำหรับโซลูชันเฉพาะ สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งต้องมีเงื่อนไขเริ่มต้นหนึ่งรายการ ในขณะที่สมการลำดับที่สองจำเป็นต้องมีสองเงื่อนไข เช่น ตำแหน่งเริ่มต้นและความเร็วสำหรับระบบกลไก สิ่งนี้สะท้อนถึงความทรงจำของระบบ โดยที่แต่ละลำดับจะพิจารณาระดับการขึ้นต่อกันของค่าในอดีตหนึ่งระดับ - ลำดับที่หนึ่งสำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลง ลำดับที่สองสำหรับการเร่งความเร็ว และอื่นๆ

ในทางปฏิบัติ สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีลำดับสูงกว่ามักจะมีคำตอบและพฤติกรรมที่ซับซ้อนกว่า

ส่งท้าย

วันนี้เราได้ทำความรู้จักDifferential equations หรือสมการ Differential ที่เปรียบได้กับภาษาของฟิสิกต์เและตลาดการเงินเราจะมาต่อในคราวหน้าอย่างแน่นอน

0 ความคิดเห็น

Comentarios


bottom of page