"หากเราจะทำ Volatility Arbitrage เราจะใช้ Volatility แบบไหนในการ Hedge?"
Introduction
จาก Meet Up ล่าสุดที่มีการพูดถึงการทำ "Volatility Arbitrage" บน Option โดยการซื้อ (หรือขาย) Option ที่ราคาถูกกว่า (หรือแพงกว่า) โดยใช้ Volatility เป็นตัวกำหนดความถูกหรือแพงของตัว Option ซึ่งเป็นตัวอย่างของ "Non-directional Trading Strategy" หรือพูดอีกอย่างคือการทำกำไรโดยไม่สนทิศทางของราคา Underlying นั่นหมายความว่า เราจะต้องปิดความเสี่ยงที่จะเกิดขึ้นจากการเคลื่อนไหวของราคา Underlying เพื่อในที่สุดแล้วเราจะทำกำไรจากส่วนต่างของ Volatility
โดยเราสามารถปิดความเสี่ยงตรงนี้ได้โดยการทำ Delta Hedge หรือการซื้อหรือขาย Underlying เพื่อให้ค่า Delta ของ Portfolio เราอยู่ในช่วงที่เรารับได้ หรือการทำให้ค่า Delta เป็นศูนย์ (Delta-neutral) ตลอดอายุของ Option โดยค่า Delta (Δ) ภายใต้ Assumptions ของ Black-Scholes เป็นดังนี้
ซึ่งค่า Delta แสดงถึง การเปลี่ยนแปลงของราคา Option ต่อการเปลี่ยนแปลงของราคา Underlying
ในบทความนี้จะอ้างอิงเนื้อหาส่วนใหญ่จากบทความที่ชื่อว่า "Which Free Lunch Would You Like Today, Sir?: Delta Hedging, Volatility Arbitrage and Optimal Portfolios", (Ahmad and Wilmott, 2005).
Which Volatility Should We Use?
คำถามต่อมาคือ "แล้วเราจะใช้ค่า Volatility ตัวไหนในการทำ Delta Hedge?"
เรามา Recap กันนิดนึง ว่า Volatility นั้นเป็นค่าที่สะท้อนถึงความผันผวนของผลตอบแทนของหลักทรัพย์ ยิ่งความผันผวนมากก็จะยิ่งส่งผลให้ราคาของ Option สูงขึ้นไปด้วยเพื่อชดเชยความเสี่ยงที่เกิดจากความผันผวนนี้ ซึ่งค่า Volatility นั้นมีหลายประเภท ไม่ว่าจะเป็น Actual Volatility, Realised/Historical Volatility, Implied Volatility, Local Volatility, etc.
โดยในบทความนี้ เราจะมาดูกันว่าการใช้ค่า Actual และ Implied Volatility ในการทำ Delta Hedge จะส่งผลต่อกำไรของเราอย่างไร
สมมุติว่า เราสามารถ forecast ค่า Volatility ที่จะเกิดขึ้นตลอดอายุของ Option (Actual Volatility) ได้อย่างแม่นยำซึ่งเท่ากับ 30% และตอนนี้ Option สัญญานึงถูกซื้อขายอยู่ที่ Implied Volatility เท่ากับ 20% เราจะ assume ว่าค่า Volatility ทั้ง 2 จะเท่าเดิมไปตลอดอายุของ Option (Constant) โดยเราจะทำ Volatility Arbitrage โดยการซื้อ Option ที่ Implied Volatility เท่ากับ 20% เนื่องจากเรามองว่าราคาของ Option ถูกกว่าที่ควรจะเป็นที่ Actual Volatility เท่ากับ 30% และทำการ Delta Hedge เพื่อปิดความเสี่ยงจากการเคลื่อนไหวของราคา Underlying
Hedging with Actual Volatility
ก่อนอื่น เราจะ assume ว่าการเคลื่อนไหวของราคา Underlying เป็นไปตาม Process ดังนี้
โดยเราจะ apply Itô’s lemma และสามารถหา P&L แบบ One Time Step Mark-to-Market ของราคา Option ที่เปลี่ยนไปและการทำ Delta Hedge ได้จากสมการดังนี้
Note ไว้ว่า superscript 𝑎 นั้นหมายถึงค่าที่คำนวณโดยใช้ Actual Volatility และ 𝑖 เป็นค่าที่คำนวณโดยใช้ Implied Volatility
จากสมการข้างต้น จะเห็นได้ว่า P&L ที่จะเกิดขึ้นตอนหมดสัญญานั้น Guaranteed จากผลต่างของราคาของ Option ที่เกิดจาก Volatility ทั้งสอง ซึ่งเท่ากับ
where 𝜎 is the Actual Volatility, and 𝜎̃ is the Implied Volatility
อย่างไรก็ตาม จะสังเกตุได้ว่าในสมการยังมี Random Term (𝑑𝑋) อยู่ หมายความว่า แม้ Final P&L จะ Guaranteed แต่ระหว่างทางจะมี Randomness ซึ่งเกิดจาก 𝑑𝑋 ที่ยังเหลืออยู่
โดยเราจะเริ่มจากการ Simulate Path under Geometric Brownian Motion (อ่านเพิ่มเติมได้ที่ https://www.quant-corner.com/post/การจำลองราคาหุ้นด้วย-gbm) และเราจะ Mark-to-Market ราคา Option ด้วย Implied Volatility แต่เราจะ Hedge โดยใช้ Volatility ที่เรา Forecast ได้
รูปด้านล่างเป็นตัวอย่าง Mark-to-Market P&L ของการใช้ Actual Volatility ในการทำ Delta Hedge โดยการ Long Call Option อายุ 1 ปี ที่ Implied Volatility เท่ากับ 20% ที่ราคา Underlying เท่ากับ 100, ราคา Strike เท่ากับ 100 ซึ่งจะทำ Discrete Delta Hedging เป็นจำนวน 1,000 ครั้ง (Time-step) ในแต่ละ Path
Hedging with Implied Volatility
หากเรา derive สมการก่อนหน้านี้ แต่เปลี่ยนการคำนวณค่าต่างๆ ให้ใช้ Implied Volatility ในการคำนวณทั้งหมด เราจะสามารถ derive สมการดังกล่าวเพื่อหา One Time Step Mark-to-Market สำหรับการทำ Delta Hedge ด้วย Implied Volatility ได้ดังนี้
จะเห็นได้ว่า term ที่เป็น Δ𝑑𝑠 จะ cancel กัน และ Randomness Term, 𝑑𝑋, ได้หายไปจากสมการแล้ว
หมายความว่า P&L Paths ที่จะเกิดขึ้นนั้น Deterministic แต่ Final P&L หรือกำไรที่เราได้ตอนจบนั้นค่อนข้างจะกระจายตัว
โดยหากดูจากรูปภาพด้านล่างที่เป็นการ Simulation บน Parameter Set เดียวกับก่อนหน้านี้ เพียงแต่เป็นการทำ Delta Hedge โดยใช้ Implied Volatility จะเห็นได้ว่า Paths ค่อนข้าง Smooth กว่า อย่างไรก็ตาม Final P&L ค่อนข้าง Random หากเทียบกับการ Hedge ด้วย Actual Volatility
หนึ่งในข้อดีของการใช้ Implied Volatility ในการ Hedge คือ เราไม่จำเป็นที่จะต้อง forecast Actual Volatility ให้ถูกต้องแม่นยำ เพียงแค่เรารู้ว่า Actual จะสูงกว่า Implied ในกรณีที่เราจะ Long Volatility และ Actual จะตำ่ว่า Implied ในกรณีที่เราจะ Short ก็เพียงพอ
P&L Distribution
อย่างไรก็ตาม P&L ที่เกิดจากการใช้ Implied Volatility (ขวา) ในการ Hedge จะค่อนข้าง Path Dependent ซึ่งหากดูจากรูปข้างล่างที่เปรียบเทียบระหว่าง Final P&L และ Terminal Value ของ Underlying ในแต่ละ Path จะเห็นได้ว่าหากวันสุดท้าย ราคาของ Underlying จบใกล้ๆ At-the-Money ก็จะช่วย Maximise Final P&L ซึ่งถ้าเทียบกับการใช้ Actual Volatility (ซ้าย) นั้น Final P&L จะค่อนข้าง Constant และเกาะกันเป็นกลุ่มมากกว่า
หากจะให้อธิบายเพิ่มเติมว่าทำไม Distribution ของ P&L ที่ Hedge ด้วย Implied Volatility ถึง Peak ช่วงใกล้ๆ Strike เราสามารถสังเกตุได้จากสมการก่อนหน้าของการ Hedge ด้วย Implied Volatility ซึ่ง term ที่เห็นนั้นสะท้อนถึง Gamma P&L และค่า Gamma จะ Peak มากๆ ในช่วงที่ Option วิ่งอยู่แถวๆ Strike นั่นทำให้เรามีการซื้อขาย Underlying บ่อยมากยิ่งขึ้น (Rebalancing) ซึ่งในกรณีที่เรา Long Gamma เราจะซื้อ Underlying ที่ราคาถูก และไปขายที่ราคาแพงทำให้เกิดกำไรจากการ Hedge ได้
Summary
การทำ Simulation ข้างต้นนี้ Based On Black-Scholes Assumptions ซึ่งหลักๆ คือการที่เราเชื่อว่าค่า Volatility ที่เรา forecast ได้จะคงที่ไปตลอดอายุของ Option (ซึ่งในความเป็นจริง Volatility นั้นไม่ได้คงที่) และเรา assume ว่าตลาดจะมี Liquidity มากพอเราจะสามารถ Hedge ค่า Delta ได้ตามจำนวนและราคาที่ต้องการ และการซื้อขายของเราไม่กระทบต่อราคาตลาดจน Spot ที่ต้อง Hedge เปลี่ยนไป ซึ่งในความเป็นจริง การที่เรามี Position ที่ใหญ่ และตลาดมี Liquidity ไม่มากพอ อาจจะทำให้เราไม่สามารถ Hedge ได้ตาม Model ของเราได้
นอกจากนี้ แม้กำไรที่เกิดจากการใช้ Actual Volatility ในการ Hedge จะค่อนข้างคงที่และการันตี การที่เราจะ forecast Actual Volatility ได้ถูกต้องตลอดอายุของ Option นั้นเป็นไปได้ยาก ดังนั้นการใช้ Implied Volatility ในการ hedge ดูจะเป็นทางเลือกที่เป็นที่นิยมมากกว่า (หรือการ hedge โดยใช้ Historical Volatility สำหรับ Underlying ที่เราไม่สามารถ observe Implied Volatility ได้เนื่องจากไม่มี Option โดยเชื่อว่า Historical Volatility จะสะท้อนถึง Volatility ในอนาคต)
Appendix
ส่วนตรงนี้จะเป็นรายละเอียดการ derive สมการข้างต้นโดยผมเอง เนื่องจากผมไม่ได้จบ Math มาโดยตรง และผมพยายามทำความเข้าใจในแบบของตัวเองให้ได้มากที่สุด หากตรงไหนผิดพลาดสามารถบอกกันได้เลยครับ ผมยินดีที่จะเรียนรู้ในสิ่งที่ถูกต้อง
From the Author...
ห่างหายไปนานพอสมควรจากการเขียนบทความ (อีกแล้ววว) กลับมารอบนี้กับบทความที่ค่อนข้างเป็น Academic และ Mathematic มากกว่ารอบก่อนๆ ต้องบอกตามตรงว่าทำใจพอสมควรว่าจะเขียนแบบนี้ดีไหม เพราะอย่างที่กล่าวไว้ข้างต้นว่าผมไม่ได้จบ Math มาโดยตรง และรู้ตัวว่า Math Skill ไม่ได้สูงขนาดนั้น (บอกตามตรงว่าเพิ่งได้รู้จักกับ Stochastic Calculus เมื่อปีสองปีที่แล้วเอง 5555555) แต่เราก็ต้องก้าวออกจาก Comfort Zone บ้าง เพื่อที่จะได้เรียนรู้สิ่งใหม่ๆ จริงมั้ยย
ยังไงก็ขอฝากบทความน้อยๆ อันนี้ของผมไว้ด้วยนะครับ
ขอบคุณครับ...
May the Quant be with you.
Comentarios