Martingale Pricing — Black–Scholes อีกมุมหนึ่ง

ค่าเฉลี่ยเดียวกัน แต่ใช้คนละน้ำหนัก

ทบทวนตัวอย่างหุ้น 100 ที่อีกหนึ่งวันเป็น 101 หรือ 99, Call มี strike 100 และดอกเบี้ย 0% ถ้าเชื่อว่าราคาขึ้นด้วยความน่าจะเป็นจริง p=0.6 จะได้ payoff คาดหมาย 0.6 แต่พอร์ตหุ้นครึ่งหน่วยกับเงินกู้ 49.5 เลียนแบบ payoff 1/0 ได้ด้วยต้นทุน 0.5

น้ำหนักสำหรับตั้งราคาจึงเป็น q=0.5 ซึ่งทำให้ราคาหุ้นคาดหมายเท่ากับ 100 และ payoff คาดหมายเท่ากับ 0.5 การเปลี่ยน p ไม่ได้เปลี่ยนต้นทุนพอร์ตที่ให้ผลลัพธ์เดียวกันทุกสถานะ ดูขั้นตอนใน Binomial Model

ในเวลาต่อเนื่อง เราเรียกมาตรวัดที่อธิบายความน่าจะเป็นจริงว่า P และมาตรวัดสำหรับตั้งราคาที่ใช้บัญชีเงินสดเป็นหน่วยวัดว่า Q ส่วน q ตัวเล็กยังหมายถึงน้ำหนักขึ้นในต้นไม้ Binomial ตามเดิม

Q ไม่ได้แปลว่าผู้ลงทุนทุกคนไม่กลัวความเสี่ยง และไม่ได้บอกให้แก้สมมติฐานผลตอบแทนจริงของหุ้นเป็น r

ตลาดเล็ก ๆ และข้อมูลที่รู้ ณ เวลา t

ให้ ${\mathcal{F}}_t$ เป็นข้อมูลที่ทราบถึงเวลา t เช่น เส้นทางราคาที่เกิดขึ้นแล้ว ลำดับของชุดข้อมูลนี้เรียกว่า filtration กลยุทธ์ซื้อขายต้องใช้ข้อมูลที่มีอยู่ขณะตัดสินใจ ไม่ใช้ราคาที่จะเกิดในอนาคต

เริ่มด้วยหุ้นไม่มีปันผลและบัญชีเงินสด:

S คือราคาหุ้นต่อหน่วย, B คือมูลค่าบัญชีเงินสดเริ่มต้นหนึ่งหน่วย, r คือดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องต่อปี, μ คืออัตราผลตอบแทนคาดหมายของหุ้นต่อปี และ σ คือ volatility ต่อรากปี เราวัดเวลาเป็นปี โดย $\tau =T-t$ เป็นเวลาที่เหลือจน Option หมดอายุ

สมมติให้ r, μ, σ คงที่, σ>0, ซื้อขายได้ต่อเนื่องและเป็นเศษหน่วยได้, short และกู้ยืมได้, ไม่มีค่าธรรมเนียมหรือข้อจำกัดสภาพคล่อง และตลาดไม่มี arbitrage ใช้ filtration ที่สร้างจาก Brownian motion แหล่งเดียว สำหรับส่วนขยายท้ายบทจะเปลี่ยนสมมติฐานบางข้ออย่างชัดเจน

สัญญา European จ่าย $H=G(S_T)$ ที่เวลา T เช่น Call จ่าย $(S_T-K{)}^{+}$ โดย $x^{+}=\max (x,0)$ ค่า H เป็น payoff ยังไม่ได้หัก premium หรือดอกเบี้ยของเงินที่ใช้ซื้อ Option

Self-financing: เปลี่ยนจำนวนหุ้นได้ แต่เงินต้องมาจากในพอร์ต

ให้พอร์ตถือหุ้น ${\Delta }_t$ หน่วย และบัญชีเงินสด ${\beta }_t$ หน่วย:

เงื่อนไข self-financing คือ

กำไรขาดทุนมาจากสินทรัพย์ที่ถืออยู่ เมื่อเพิ่มจำนวนหุ้น ต้องจ่ายด้วยเงินสดในพอร์ตหรือกู้เพิ่มในบัญชีเดียวกัน ตัวอย่างหุ้นราคา 100 เปลี่ยนจาก 0.50 เป็น 0.60 หน่วย ต้องนำเงินสด 10 ไปซื้อหุ้น มูลค่ารวม ณ ราคานั้นจึงไม่เพิ่มขึ้นเพราะการสับเปลี่ยน holdings

สมการนี้เป็น เงื่อนไขของกลยุทธ์ ไม่ใช่การหาอนุพันธ์ของ ${\Delta }_t{S}_t$ แล้วละทิ้งพจน์ $d{\Delta }_t$ โดยไม่มีเหตุผล ทดลองการปรับหุ้นกับเงินสดได้ใน ห้องทดลอง Delta hedge

Arbitrage ในกรอบนี้คือกลยุทธ์ที่เริ่มด้วย V₀=0, ปลายทางไม่ขาดทุนด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง และมีโอกาสบวกที่จะได้กำไร เราจำกัดกลยุทธ์ให้เป็น admissible เช่น มูลค่าหลังคิดลดมีขอบเขตล่างตามเกณฑ์ที่กำหนด เพื่อไม่เปิดทางให้กลยุทธ์ทบเงินเดิมพันจนเป็นหนี้ได้ไม่จำกัด

ทำไมต้องหารราคาด้วยบัญชีเงินสด

ราคาหุ้น 100 วันนี้กับ 100 ปีหน้าไม่ใช่มูลค่า ณ เวลาเดียวกัน เราจึงเปลี่ยนหน่วยวัดเป็นจำนวนหน่วยบัญชีเงินสด:

ใช้ product rule โดย B ไม่มีส่วน Brownian จะได้

การ discount ลบส่วนเติบโต r ออก แต่ยังเหลือ drift μ−r จึงไม่ได้ทำให้หุ้นเป็น martingale ภายใต้ P โดยอัตโนมัติ

Martingale คือกระบวนการที่มีค่าคาดหมายสัมบูรณ์จำกัด และค่าคาดหมายในอนาคตเมื่อใช้ข้อมูลปัจจุบันเท่ากับค่าปัจจุบัน:

เส้นทางของ M ยังขึ้นลงได้มาก เงื่อนไขนี้พูดถึง ค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข ภายใต้มาตรวัดที่ระบุ ไม่ได้หมายความว่าราคาแต่ละเส้นทางคงที่

ถ้า S₀=100, μ=12%, r=5% และเวลา 1 ปี:

เราจะหามาตรวัด Q ที่ทำให้ค่าเฉลี่ยหลังคิดลดเท่ากับ 100 ซึ่งเข้ากับการวัดด้วยบัญชีเงินสด

Girsanov: เปลี่ยนน้ำหนักของเส้นทาง

กำหนด market price of risk ในกรณีไม่มีปันผลเป็น

สำหรับค่าคงที่นี้ ให้ density process

Z คือ Radon–Nikodym density ที่ใช้ถ่วงน้ำหนักผลลัพธ์เดิม สำหรับตัวแปรสุ่ม X ที่เหมาะสม ณ เวลา T:

Z เป็นบวกและมีค่าเฉลี่ยหนึ่ง เหตุการณ์ที่มีโอกาสศูนย์จึงยังมีโอกาสศูนย์เหมือนกันทั้งสองมาตรวัด เราเรียก P กับ Q ว่า equivalent แต่น้ำหนักของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เปลี่ยนได้

ทฤษฎีบท Girsanov บอกว่า

เป็น Brownian motion ภายใต้ Q แทน $d{W}_t^P=d{W}_t^Q-\theta dt$ ในสมการหุ้น:

ดังนั้น $d{S}_t=\sigma S_{t}d{W}_t^Q$ และ discounted GBM นี้เป็น Q-martingale เส้นทางที่อธิบายยังเป็นตัวแปรสุ่ม S เดิม เราเปลี่ยนมาตรวัดที่ใช้เฉลี่ย ไม่ได้ทำให้ผลตอบแทนจริงของหุ้นเปลี่ยนจาก μ เป็น r

ระวังเครื่องหมายและเงื่อนไข

ในบทนี้ Z ใช้เครื่องหมายลบหน้า θW ส่วน Wᴽ ใช้เครื่องหมายบวกหน้า θt ถ้าเปลี่ยนนิยาม θ เป็น (r−μ)/σ ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งคู่ให้สอดคล้องกัน

ถ้า θ เปลี่ยนตามเวลาและสถานะ จะใช้

เงื่อนไข Novikov

เป็นเงื่อนไข เพียงพอ ให้ Z เป็น true martingale สำหรับ θ คงที่และ T จำกัด ตรวจได้ทันที แต่ Novikov ไม่ใช่เงื่อนไขจำเป็นในทุกกรณี และการเห็นว่า SDE ไม่มี drift เพียงอย่างเดียวยังไม่รับประกัน true martingale ของกระบวนการทั่วไป

จากพอร์ตเลียนแบบสู่ Fundamental Asset Pricing Formula

ให้ $V_t=V_t/B_t$ สำหรับพอร์ต self-financing เมื่อไม่มีปันผล:

สำหรับพอร์ตเลียนแบบที่ stochastic integral นี้เป็น true martingale เช่น มีเงื่อนไข square-integrability ที่เหมาะสม เราใช้ค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไขได้ ถ้าพอร์ตจ่าย H ที่เวลา T จะได้

นี่คือราคาพอร์ตที่เลียนแบบ payoff ได้ ถ้า Option ราคาไม่เท่ากับพอร์ต เราซื้อด้านที่ถูกและขายด้านที่แพง ผลตอบแทนปลายทางหักล้างกัน เหลือส่วนต่างที่ขัดกับ no-arbitrage ภายใต้สมมติฐานตลาดที่ใช้

ทำไมราคานี้มีเพียงค่าเดียวใน Black–Scholes

ในแบบจำลองนี้ Brownian motion มีแหล่งเดียวและหุ้นมี σ≠0 ภายใต้ Brownian filtration และเงื่อนไข integrability ที่เหมาะสม martingale representation ทำให้แปลง discounted payoff เป็นการถือหุ้นกับเงินสดได้ ตลาดจึง complete สำหรับกลุ่ม claims ที่พิจารณา และ Q ของ numeraire นี้มีเพียงมาตรวัดเดียว

ตลาดที่มีแหล่งเสี่ยงซึ่งซื้อขายเพื่อ hedge ไม่ได้อาจมีหลาย Q ที่สอดคล้องกับ no-arbitrage ความไม่มี arbitrage เพียงอย่างเดียวจึงไม่ได้ให้ราคาเดียวสำหรับทุกสัญญาในทุกแบบจำลอง

ลองเฉลี่ยภายใต้ P, Q และ P ที่ถ่วงน้ำหนัก

ห้องทดลองใช้หุ้นไม่มีปันผล S₀=K=100 และจำลองราคาปลายงวด GBM แบบ exact วิธีแรกเฉลี่ย payoff ภายใต้ P แล้ว discount ด้วย r; วิธีที่สองจำลองภายใต้ Q โดยตรง; วิธีที่สามใช้เส้นทาง P แล้วคูณ Z ก่อนเฉลี่ย

ตัวประมาณนี้หารด้วย n ไม่ใช่ผลรวมน้ำหนัก เพราะ Z มี normalization ตามทฤษฎีอยู่แล้ว ในตัวอย่างจำกัด ค่าเฉลี่ย Z อาจไม่เท่ากับหนึ่งพอดี

ลองเปลี่ยน μ โดยคง r, σ และ T ไว้ ราคา analytic ภายใต้ Q ต้องไม่เปลี่ยน แต่ payoff คาดหมายภายใต้ P และน้ำหนัก Z เปลี่ยนได้ จากนั้นปรับ σ และดูว่าราคา Option เปลี่ยนอย่างไร

Standard error (SE) ที่แสดงวัดความคลาดเคลื่อนจากจำนวนตัวอย่าง ค่า Monte Carlo สองวิธีไม่จำเป็นต้องตรงกันพอดี และการเปลี่ยน μ อาจทำให้วิธีถ่วงน้ำหนักมีความแปรปรวนสูงขึ้น แม้คำตอบเชิงทฤษฎีเท่าเดิม การเพิ่มจำนวนตัวอย่างไม่ช่วยแก้ model error

กลับมาถึงสูตร Call ผ่าน Lognormal

ภายใต้ Q และเมื่อทราบ Sₜ ราคาปลายงวดเขียนเป็น

กำหนด $\Phi$ เป็น CDF ของ Standard Normal และ $\phi$ เป็น density ตั้ง

Call มี payoff เมื่อ ξ>−d₂ เราจึงแยกค่าเฉลี่ยได้เป็น

พจน์ที่สองให้ $K{e}^{-r\tau }\Phi (d_2)$ ส่วนพจน์แรกใช้การ complete the square:

เมื่อเลื่อนขอบเขตอินทิกรัลจาก −d₂ ไปเป็น −d₁ จะได้

Put ได้จาก put–call parity:

สำหรับ S=K=100, r=5%, σ=20% และ τ=1 ปี ได้ d₁=0.35, d₂=0.15, Call≈10.4506 และ Put≈5.5735 ต่อหนึ่งหน่วยหุ้น สอดคล้องกับบท Black–Scholes เดิม

ทำไม Φ(d₁) กับ Φ(d₂) จึงเป็นคนละความน่าจะเป็น

จากนิยามข้างต้น $\Phi (d_2)=Q(S_T>K\mid {\mathcal{F}}_t)$ แต่ $\Phi (d_1)$ ไม่ใช่ความน่าจะเป็นเดียวกันภายใต้ Q

เลือกหุ้นไม่มีปันผลเป็น numeraire แทนบัญชีเงินสด เราจะได้มาตรวัด $Q^S$ ที่มี density เทียบกับ Q:

เส้นทางที่หุ้นมีมูลค่าสูงได้รับน้ำหนักมากขึ้นภายใต้มาตรวัดนี้ และ

Call จึงเขียนได้เป็น $S_t{Q}^S(S_T>K\mid {\mathcal{F}}_t)-K{e}^{-r\tau }Q(S_T>K\mid {\mathcal{F}}_t)$ สองพจน์ใช้น้ำหนักคนละมาตรวัด แต่รวมกันเป็นราคาในหน่วยเงินเดียวกัน

ตัวอย่างเดิมให้ Φ(d₂)≈0.5596 และ Φ(d₁)≈0.6368 ราคา asset binary≈63.6831 ส่วน K เท่าของ cash binary≈53.2325 ผลต่างคือ Call≈10.4506 การนำ Φ(d₁) ไปเรียกว่าโอกาสใช้สิทธิภายใต้ Q หรือ P โดยไม่ระบุมาตรวัดจึงคลาดเคลื่อน

สูตรทั่วไปสำหรับ numeraire N คือ

N ต้องเป็นสินทรัพย์หรือพอร์ต self-financing ที่ซื้อขายได้และเป็นบวกอย่างเคร่งครัด พร้อมเงื่อนไขให้การเปลี่ยนมาตรวัดถูกต้อง ไม่ใช่เลือกกระบวนการบวกใด ๆ มาหารราคาแล้วอ้างสูตรนี้ได้ทันที

Feynman–Kac เชื่อมค่าเฉลี่ยกับ PDE

ให้ X ภายใต้ มาตรวัดเดียวกับที่ใช้คาดหมาย มี dynamics $d{X}_u=a(u,X_u)du+b(u,X_u)d{W}_u$ ภายใต้เงื่อนไขความเรียบ การเติบโต และ integrability ที่เหมาะสม ฟังก์ชัน

สัมพันธ์กับสมการ

ใน Black–Scholes ภายใต้ Q ใช้ a=rS, b=σS, c=r จึงได้

สมการตรงกับที่ได้จาก Delta hedge แต่ Feynman–Kac ไม่ได้เลือก Q ให้เรา ถ้าใส่ drift μ ภายใต้ P จะได้สมการสำหรับค่าคาดหมายภายใต้ P การได้ pricing measure ต้องมาจากเงื่อนไขตลาดและ no-arbitrage ก่อน

วิธีความน่าจะเป็นยังให้ข้อมูล hedge ได้ เมื่อหาฟังก์ชัน V แล้วใช้ Itô เปรียบเทียบส่วน Brownian จะได้ $\Delta =V_S$ เหมือนเดิม วิธี PDE, Monte Carlo และสูตร analytic จึงเป็นเครื่องมือคำนวณที่เชื่อมกันภายใต้แบบจำลองเดียวกัน

หุ้นจ่ายปันผล: ต้องนับผลตอบแทนรวม

ให้ D เป็น continuous dividend yield ต่อปี ไม่ใช่เงินปันผลก้อนคงที่ และใช้ D แทน q เพื่อไม่ให้สับสนกับน้ำหนัก Binomial ในส่วนนี้กำหนด μ เป็น expected total return ภายใต้ P:

ภายใต้ Q drift ของราคาหุ้นที่ไม่รวมปันผลเป็น r−D:

ตอนนี้ S/B เพียงอย่างเดียวไม่ใช่ Q-martingale เมื่อ D≠0 สิ่งที่เป็น martingale คือ discounted gains ซึ่งรวมปันผล:

หรือใช้มูลค่าพอร์ตที่นำปันผลกลับไปลงทุนในหุ้น $S_t^{\mathrm{TR}}=e^{Dt}{S}_t$ แล้วหารด้วย Bₜ เมื่อ D คงที่ จึงต้องระวังว่ากำลังใช้ ex-dividend price หรือ total-return asset เป็น numeraire

สูตรราคากลายเป็น

ตัวอย่างเดิมเพิ่ม D=2% ได้ Call≈9.2270 และ Put≈6.3301 โดย $C-P=S{e}^{-D\tau }-K{e}^{-r\tau }$ สมมติฐาน continuous yield นี้ไม่ใช่แบบจำลองปันผลเงินสดก้อนที่จ่ายตามวัน ex-dividend

พารามิเตอร์เปลี่ยนตามเวลา: รวม variance ก่อนถอดราก

ถ้า r(u), D(u), σ(u) เป็นฟังก์ชันเวลา ที่ทราบแน่นอน ให้

Y คือ yield สะสม ส่วน A คือความแปรปรวนสะสมของ log return ไม่ใช่ volatility เฉลี่ย ภายใต้ Q:

จึงได้

สูตรนี้เขียนสำหรับ A>0 ถ้า A=0 payoff ไม่สุ่มภายใต้ Q และราคา Call คือ $\max (S_t{e}^{-Y}-K{e}^{-R},0)$

ตัวอย่างครึ่งปีแรก r=4%, D=1%, σ=10% และครึ่งปีหลัง r=6%, D=3%, σ=30%:

Volatility เทียบเท่าหนึ่งปีคือ $\sqrt{A/1}\approx 22.3607\%$ ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 20% เพราะสิ่งที่บวกข้ามเวลาคือ variance ตัวอย่างนี้คำนวณราคาและตรวจ parity ได้ใน Notebook

ถ้า σ หรือ r เป็นตัวแปรสุ่ม สูตรที่แทนด้วยอินทิกรัล deterministic นี้ใช้ไม่ได้โดยอัตโนมัติ โดยเฉพาะดอกเบี้ยสุ่ม ตัว discount factor ต้องอยู่ในค่าคาดหมายตามกรอบที่ใช้

Black–76: Option บนราคา Futures

แยกเวลาสองตัวให้ชัด: T คือวันหมดอายุ Option และ U≥T คือวันครบกำหนด Futures ที่ Option อ้างอิง ให้ $F_t=F(t,U)$ เป็นราคา Futures ณ เวลา t สัญญา European Call จ่าย $(F_T-K{)}^{+}$ ณ เวลา T

ในแบบจำลองอัตราดอกเบี้ย deterministic และหุ้นที่ใช้ cost-of-carry ได้ ราคา forward กับ futures ตรงกัน ถ้าไม่มีปันผลและ r คงที่จะได้ $F(t,U)=S_t{e}^{r(U-t)}$ หากมีปันผลต่อเนื่องคงที่ ใช้ r−D แทน r

ภายใต้ Q สมมติ Futures เป็น lognormal:

Futures price ไม่มี drift rF ในสมการนี้ F เป็นราคาอ้างอิง ไม่ใช่มูลค่าทั้งก้อนที่จ่ายเพื่อซื้อสัญญา Futures กำไรขาดทุนจาก Futures เข้าบัญชีผ่าน settlement การตั้งพอร์ตต้องรวมเงินสดและ margin cash flows อย่างถูกต้อง

สำหรับสูตรถัดไปให้ r และ σF คงที่ พิจารณา European Option แบบชำระ premium ล่วงหน้าและจ่าย payoff ที่ T:

เรียกว่า Black–76 เวลาในสูตรคือ τ=T−t ส่วน U มีผลต่อราคา Futures และ volatility ของสัญญาที่เลือก ไม่ได้นำ U−t มาแทนเวลาหมดอายุ Option

ถ้า F=K=100, r=5%, σF=20%, τ=1 ราคา Call และ Put เท่ากันประมาณ 7.5771 และ parity คือ $C-P=e^{-r\tau }(F-K)$ สมมติฐานนี้ไม่ครอบคลุม Futures ราคาติดลบหรือรูปแบบ Option ที่ settle ต่างออกไป ส่วนดอกเบี้ยสุ่มอาจทำให้ราคา futures ต่างจาก forward

ลองสลับจาก Spot เป็น Futures โดยคงราคาอ้างอิง 100, strike 100 และพารามิเตอร์อื่นไว้ ค่า 100 ในสองโหมดเป็นคนละปริมาณ จึงไม่ควรคาดว่าราคาจะเท่ากัน ถ้าต้องการตรวจความเทียบเท่ากรณีส่งมอบที่วันหมดอายุ Option ให้ตั้ง $F=S{e}^{(r-D)\tau }$ แล้วเทียบสูตรภายใต้สมมติฐานเดียวกัน

ลองตรวจความเข้าใจ

1. ถ้าเพิ่ม μ จาก 8% เป็น 12% โดยคง S, K, r, σ และ T ไว้ ราคา Black–Scholes เปลี่ยนหรือไม่? แล้ว payoff คาดหมายภายใต้ P ล่ะ?
2. S/B เป็น martingale ภายใต้ Q เมื่อหุ้นจ่าย continuous yield D=2% หรือไม่? ต้องเพิ่มอะไรเข้าไป?
3. Φ(d₁) และ Φ(d₂) ต่างกันเพราะอะไร? ทั้งสองเป็นโอกาสที่หุ้นขึ้นภายใต้ P หรือไม่?
4. σ เท่ากับ 10% ครึ่งปีและ 30% อีกครึ่งปี ให้ volatility หนึ่งปีเท่าไร?
5. Option หมดอายุใน 3 เดือน อ้างอิง Futures ครบกำหนดใน 9 เดือน ใช้ τ เท่าไรใน Black–76?

ทดลองต่อและแหล่งอ่านประกอบ

ดาวน์โหลด Python Notebook เพื่อรันการเปลี่ยนมาตรวัด, Monte Carlo สองวิธี, cash/asset binary, พารามิเตอร์สองช่วง และ Black–76 ตัวอย่างใช้ seed ที่ระบุไว้และ Python standard library ผลสุ่มของ Python กับ JavaScript ไม่จำเป็นต้องตรงกัน แต่ต้องสอดคล้องกับสูตรและขอบเขต sampling error

บทนี้เรียบเรียงใหม่จากเอกสารประกอบการเรียน Martingales Theory: Application to Option Pricing — Black-Scholes All Over Again ของ CQF ที่ผู้ใช้ให้มา พร้อมตรวจสมการและคำนวณตัวอย่างใหม่ รายละเอียดแหล่งที่มา ขอบเขตหน้า และจุดที่ปรับแก้เก็บใน บันทึกที่มา โดยไม่เผยแพร่ PDF หรือภาพหน้าต้นฉบับ

อ่านกรอบ risk-neutral valuation และปันผลเพิ่มใน Martin Haugh — The Black-Scholes Model และศึกษาทฤษฎีการเปลี่ยนมาตรวัดใน Gregory F. Lawler — Stochastic Calculus: An Introduction with Applications หัวข้อ Girsanov’s Theorem สูตรในบทขึ้นกับสมมติฐานการเลียนแบบและแบบจำลอง ไม่ใช่ข้อยืนยันว่าความเสี่ยงทุกชนิดในตลาดจริงป้องกันได้หมด